Analytische Bestimmung des laminar-turbulenten Übergangs in Grenzschichtströmungen mittels lokaler SO(4)×U(1)-Eichfeldtheorie

Template ID: hypotheticalocean Size: 36x48 Analytische Bestimmung des laminar-turbulenten Übergangs in Grenzschichtströmungen mittels lokaler SO(4)×U(1)-Eichfeldtheorie Thomas Merz Der laminar-turbulente Übergang in Grenzschichtströmungen ist ein zentrales Thema der Hydround Aerodynamik und wird bislang überwiegend numerisch untersucht. Wir präsentieren eine Methode zur analytischen Vorhersage des Instabilitätspunkts (𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) und der anschliessenden Verstärkung von Störungen (𝑁-Faktor) basierend auf einer Formulierung der Fluidmechanik als lokale Eichfeldtheorie. Für die Blasius-Grenzschicht ergibt sich 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 =481 in Übereinstimmung mit Literaturwerten, sowie eine analytische Funktion für den 𝑁-Faktor mit hoher Korrelation zu etablierten Daten (Korrelation 𝑅 > 0.999, 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 2.8% im Vergleich zu [1]). Auch für Falkner-Skan-Strömungen zeigen sich gute Übereinstimmungen. Damit liegen erstmals geschlossene analytische Ausdrücke für diese zentralen Kenngrössen des Übergangs vor. Die Methode eröffnet neue Perspektiven für die Beschreibung von Übergangsprozessen in der Strömungsmechanik und bietet Potenzial für die Anwendung auf weitere nichtlineare Phänomene. Abstract Hintergrund Die präzise Vorhersage des Übergangs von laminarer zu turbulenter Strömung ist ein zentrales Problem der Hydround Aerodynamik mit zahlreichen Anwendungen: In der Luftfahrt beeinflusst dieser Übergang massgeblich den Strömungswiderstand von Tragflächen. Auch in der Strömungstechnik, der Automobilindustrie und in Mikrofluidsystemen spielt er eine entscheidende Rolle. In Grenzschichtströmungen beginnt der Übergang mit Tollmien-Schlichting-Wellen (TS-Wellen, Abbildung 1, orig. [a,b]), deren Entstehungsort (Instabilitätspunkt 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) und darauffolgende Verstärkung (𝑁-Faktor) bisher nur numerisch bestimmbar sind [c-j,ad-af].Die hier präsentierte Arbeit stellt eine Methode zur Bestimmung geschlossener analytischer Formeln für 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 und 𝑁vor. Dies führt zu sofortigen Lösungen und einem tieferen Verständnis der physikalischen Vorgänge. Resultate Um eine lokale Eichfeldtheorie zu formulieren, benötigen wir zunächst eine Erhaltungsgrösse, welche unter den betrachteten globalen Eichtransformationen invariant bleibt. Diese Grösse findet sich mit der inneren mechanischen Energie 𝐸(resp. dem Energiefluss 𝑑 𝑑𝑡 𝐸bei Fluiden) [2],[3]: 𝐸 = 1 2tr 𝝈†𝜺+ ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒𝑃𝑜𝑡. ,𝑑 𝑑𝑡 𝐸 = 1 2tr 𝝈†ሶ 𝜺+ ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 𝑃𝑜𝑡.. Wir stellen fest, dass der Energiefluss unter Ähnlichkeitstransformationen invariant bleibt (sinngemäss für den Verzerrungstensor & Elastizitätsmoduli): 1 2tr 𝝈†ሶ 𝜺 = 1 2tr 𝑼†𝝈†ሶ 𝜺𝑼 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. (3) Mit den unitären Transformationen 𝑼 ∈ 𝑈(4). Wobei wir die Behandlung auf den vierdimensionalen Raum beschränken, welcher später als 3+1-dimensionaler Raum mit Zeitentwicklung interpretiert wird. 𝑈 4 globale Symmetrie Wurzeln Gleichung (4) lässt sich mittels Viskositäten als Quadrat des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors ausdrücken und in volumetrische sowie spurfreie Anteile aufteilen (hier für isotrope Medien): 1 2tr 𝝈𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺𝑑𝑖𝑎𝑔 =2𝜁 ሶ𝜀∥2+𝜂tr ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 . (5) Während die volumetrischen Anteile ein Skalarfeld bilden, haben die spurfreien Anteile in Gleichung (5) die allgemeine Form: 1 2tr ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝐴12+ 𝐴22+ 𝐴32+ 𝐴42, deren Wurzel durch die Clifford-Algebra 𝐶𝑙4,0 gebildet wird: 𝐴𝜇= 𝑎𝜇𝜸𝝁,𝜸𝝁,𝜸𝝂= 2𝛿𝜇𝜈𝟏4×4,𝜇,𝜈 = 1,…,4. Dies motiviert die Darstellung von ሶ 𝜺⊥in der Clifford-Algebra. Aufgrund der reduzierten Diagonalisierungsgruppe kann zudem eine explizite negative Wurzel in 𝐶𝑙0,4 gefunden werden. 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 Reduktion Wir betrachten reguläre, normale Matrizen, wodurch sich Gleichung (3) unitär diagonalisieren lässt: 1 2tr 𝑼†𝝈†ሶ 𝜺𝑼 = 1 2tr 𝝈𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺𝑑𝑖𝑎𝑔 . (4) Wenn dabei der Geschwindigkeitsgradient 𝑭 = 𝛁⨂𝒗 als komplexsymmetrische Matrix 𝑭 = 𝑭𝑺𝟏+𝑖𝑭𝑺𝟐konstruiert wird, reichen zur Diagonalisierung und Symmetrisierung unitäre Transformationen der Untergruppe Τ 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 < 𝑈(4) (Anwendung der Autonne– Takagi-Faktorisierung). Lokalisierung In der so erhaltenen Gleichung in der Clifford-Algebra können die globalen zu lokalen Symmetrien aufgewertet werden: 𝑼 → 𝑼(𝒓),𝜕𝜇→ 𝐷𝜇. Die lokalisierte Feldgleichung hat die Form: ሶ 𝜺⊥𝒅𝒊𝒂𝒈 𝑪𝒍 = 𝑼†𝒓 ቂ 𝜸𝝁𝜕𝜇𝑣𝜇 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟 Ä𝑛𝑑𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑖𝑐ℎ𝑓𝑒𝑙𝑑𝑒𝑟 + 𝜸𝝁𝜸𝝂𝑣𝜇𝐷𝜈 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑖𝑐ℎ𝑓𝑒𝑙𝑑𝑒𝑟 ቃ𝑼 𝒓 , (6) Die kovariante Ableitung kompensiert die durch die Feldableitungen eingeführten Änderungen, so dass Gleichung (6) insgesamt invariant bleibt. 𝑼 → 𝑼 𝒓 𝜕𝜇→ 𝐷𝜇 Die Struktur der Drehungen (𝑠𝑜 4 ≅ 𝑠𝑢 2 ×𝑠𝑢 2) und der involvierten Clifford-Algebren ermöglicht eine blockweise Umstellung der Gleichungen. Die resultierende Darstellung in 𝐶𝑙2,2 ℝ ⊗𝐶𝑙2,2 ℝist isomorph zum Matrizenraum über ℝ4mit positiv bzw. negativ definiter Norm. Die Eigenwerte ሶ𝜀⊥𝜇 des gestörten Tensors lassen sich auf die jeweiligen (pseudo-)Euklidischen Matrix-Algebren abbilden [4]. Für verschiedene Strömungsund Spannungssituationen (inkompressible Scherströmungen, gerichtete Defekte) ergibt diese Abbildung Gleichungen der allgemeinen Form: ሶ𝜀⊥𝜇 = 𝝍± †𝒓 𝜸𝟓ቂ 𝜔𝜇+ 𝑣 𝜸𝝂𝐷𝜈ቃ𝝍±𝒓, (7) mit dem ungestörten Gradienten 𝜔𝜇= 𝜕𝜇𝑣𝜇sowie den Projektionsfeldern 𝝍±𝒓 = 𝑹 𝒓 𝑷±𝒓 𝒆± 𝒊mit 𝑹 𝒓 ∈ 𝑆𝑂 4, den Phasen 𝑷±𝒓 ∈ 𝑈 1 und den 𝒆± 𝒊als Teil der Spur tr … = 𝒆𝒊 ±… 𝒆± 𝒊. Gleichung (7) hat die Form einer Lagrangedichte für ein Euklidisches Dirac-Feld mit minimaler Kopplung an die 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 -Eichfelder und kann mit den bekannten Standard-Methoden störungstheoretisch ausgewertet werden [5]. Umordnen und abbilden ℝ+ 4×4 ⊗ℝ− 4×4 𝐶𝑙2,2 ⊗𝐶𝑙2,2 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4 Methoden Die Mechanik Newtonscher Fluide wird als lokale Eichfeldtheorie [k-p] formuliert. Der Ansatz basiert auf einer eichfeldtheoretischen Beschreibung des Spannungstensors, dessen Divergenz die viskosen Terme der Navier-Stokes-Gleichungen (NS-Gleichungen) bildet [q-t]. Das resultierende Spannungstensor-Feld ist über Impulserhaltung und Divergenz mit den NSGleichungen vergleichbar, ermöglicht jedoch darüber hinaus die Formulierung eigenständiger Bewegungsgleichungen für die Eichfelder und deren Wechselwirkungen. Die entwickelte Theorie erlaubt eine störungstheoretische Beschreibung der Transition zur turbulenten Strömung sowie die Ableitung analytischer Formeln. Als Grundlage nutzt der Ansatz die mathematischen Strukturen des Spannungstensors 𝝈und des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors ሶ 𝜺welche eine systematische Einbettung in eine Eichfeldtheorie ermöglichen: ✓Beide Tensoren 𝝈und ሶ 𝜺sind symmetrische Matrizen und damit reell diagonalisierbar: ሶ 𝜺𝒅𝒊𝒂𝒈 = 𝑹𝑻ሶ 𝜺𝑹,𝑹 ∈ 𝑆𝑂(𝑛). (1) ✓Der Tensor ሶ 𝜺ist ein Differentialoperator erster Ordnung: ሶ 𝜺 = sym 𝛁⨂𝒖 (2) ✓Die Rotationen 𝑹bilden eine kompakte Lie-Gruppe und Gleichung (1) ist eine Differentialgleichung erster Ordnung. Dies ermöglicht eine Yang-Mills-Eichfeldtheorie [k-p]. Darauf aufbauend erfolgt die Herleitung in den folgenden Schritten: Kontakt: Thomas Merz, [email protected] ORCID iD 0000-0002-4120-5892 Ein besonderer Dank gilt allen Kolleg:innen und Freund:innen, die durch anregende Diskussionen, wertvolles Feedback und motivierende Unterstützung wesentlich zum Fortschritt meiner Forschung beigetragen haben. Darüber hinaus danke ich allen Institutionen, Zeitschriften und wissenschaftlichen Gemeinschaften, die über Open-Source-Plattformen wertvolle Ressourcen zur Verfügung stellen. Ohne derartige Angebote wären meine Recherchen nicht möglich. Kontakt: Thomas Merz, [email protected], ORCID iD 0000-0002-4120-5892. Referenzen [1] Van Ingen, J.L. (1990). Research on Laminar Separation Bubbles at Delft University of Technology. In: Kozlov, V.V., Dovgal, A.V. (eds) Separated Flows and Jets. IUTAM Symposium, Novosibirsk. doi:10.1007/978-3-642-84447-8_73. [2] W. Tollmien, Über die Entstehung der Turbulenz. 1. Mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1929, 2144. [3] H. Schlichting, Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1933, 181208. [1] B.J. Simon. Active Cancellation of Tollmien-Schlichting Waves under Varying Inflow Conditions for In-Flight Application. Technische Universität Darmstadt, Fachbereich Maschinenbau, 2017. [2] L.D. Landau & E.M. Lifshitz, Theory of Elasticity: Volume 7 (Theoretical Physics) 3rd Edition, p.8-11. Institute of Physical Problems, U.S.S.R. Academy of Sciences, 1959. ISBN 0-7506-2633-X. [3] G.M. Graf, Kontinuumsmechanik FS 2010, p. 14 & p. 59. Institute for Theoretical Physics, ETH Zürich, 2000. [4] L. Tisza, Applied geometric algebra, Section 3.4 The Pauli Algebra. MIT Department of Physics, 1976. [5] P. van Nieuwenhuizen & A. Waldron, On Euclidean spinors and Wick rotations, Eq. 16. Physics Letters B, 1996, 389(1), 29-36; doi:10.48550/arXiv.hep-th/9608174. [Link] Version vom 1.11.25 ENTWURFENTWURF ENTWURF Fazit Die Methode liefert erstmals analytisch geschlossene Lösungen für 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 und 𝑁in der BlasiusGrenzschicht und zeigt auch bei Falkner-Skan-Profilen eine gute quantitative sowie qualitative Übereinstimmung mit vorhandenen Daten. Der Ansatz ist auf dreidimensionale Strömungen, höhere Ordnungen der Störungstheorie und alternative Materialgesetze verallgemeinerbar. Er lässt sich damit auf zahlreiche weitere Probleme der Kontinuumsmechanik anwenden, welche den Übergang von einer bekannten, linearen Lösung in ein nichtlineares Regime beinhalten. Weitere Forschung ist erforderlich, um die Genauigkeit und Anwendbarkeit der Formeln zu validieren und die Potenziale und Grenzen der Methode weiter zu untersuchen. Innere Symmetrien der Spannungs-, Deformationsund Deformationsraten-Tensoren in Abwesenheit äusserer Kräfte als SO(4) ×U(1) lokale Eichfeldtheorie Abbildung 1 Schematische Darstellung der Grenzschichtströmung (hellblau) über einer flachen Platte (grau). Eine Strömung mit der Geschwindigkeit 𝑢∞trifft von links auf die Platte. Die Strömung verlangsamt sich über der Platte auf das laminare Geschwindigkeitsprofil 𝑢(blaue Pfeile) mit der dargestellten Impulsverlustdicke 𝛿2 (gestrichelt). Stromabwärts erfolgt der Übergang zur turbulenten Strömung. Dieser Übergang wird durch das Auftreten von wellenförmigen Instabilitäten, den TollmienSchlichting-Wellen (TS-Wellen), eingeleitet. Die Instabilität setzt ab der kritischen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 ein; die Verstärkung der TS-Wellen wird durch den 𝑁-Faktor beschrieben (rot, orig. [1,2], vgl. Literatur [3]). Als Erhaltungsgrösse betrachten wir den inneren mech Energiefluss: 𝑑 𝑑𝑡 𝐸 = 1 2tr 𝝈†ሶ 𝜺+ ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒𝑃𝑜𝑡. =1 2tr 𝑼†𝝈†ሶ 𝜺𝑼 + ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒𝑃𝑜𝑡. , (3) und benutzen dessen Invarianz unter globalen Ähnlichkeitstransformationen 𝑼 ∈ 𝑈(4) im vierdimensionalen Raum [w, x]. 1 𝑈 4 globale Symmetrie 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 Reduktion Wir betrachten reguläre, normale Matrizen, wodurch sich Gleichung (3) unitär diagonalisieren lässt. Dabei reichen zur Diagonalisierung und Symmetrisierung Transformationen der Untergruppe Τ 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 < 𝑈(4) (Anwendung der Autonne–TakagiFaktorisierung [y, z]). 2 3 Wurzeln Die spurfreien Anteile von Ausdruck (3) werden aus der Summe von vier quadratischen Komponenten gebildet. Diese Struktur erlaubt es, ihre Wurzeln in den Clifford-Algebren 𝐶𝑙4,0 und 𝐶𝑙0,4 darzustellen [aa]. 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4 4 Lokalisierung In dieser Form erfolgt die Aufwertung der globalen zu lokalen Symmetrien (𝑼 → 𝑼 𝒓 und 𝜕𝜇→ 𝐷𝜇) gemäss dem üblichen Vorgehen in der Eichfeldtheorie. 𝑼 → 𝑼 𝒓 𝜕𝜇→ 𝐷𝜇 5 Die Struktur der involvierten Gruppen und Algebren ermöglicht eine Abbildung nach 𝐶𝑙2,2 ℝ ⊗𝐶𝑙2,2 ℝ, welche isomorph ist zum Matrizenraum über ℝ4(pos./ neg. definite Norm) [ab]. Die erhaltenen Gleichungen für die Eigenwerte haben die Form einer Lagrangedichte für ein Euklidisches Dirac-Feld [ac] mit minimaler Kopplung an die 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 -Eichfelder und können mit den bekannten Standard-Methoden störungstheoretisch ausgewertet werden [k-p]. Umordnen und abbilden ℝ+ 4×4 ⊗ℝ− 4×4 𝐶𝑙2,2 ⊗𝐶𝑙2,2 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4 Abbildung 1: Schematische Darstellung der Blasius-Grenzschichtströmung (hellblau) über einer flachen Platte (grau). Eine Anströmung mit Geschwindigkeit 𝑢∞trifft von links auf die Platte und bildet stromabwärts ein laminares Geschwindigkeitsprofil 𝑢(blaue Pfeile) mit der Impulsverlustdicke 𝛿2(gestrichelt). Mit zunehmender Strecke erfolgt der Übergang zur turbulenten Strömung, eingeleitet durch Tollmien-SchlichtingWellen (TS-Wellen). Die Instabilität setzt ab der kritischen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 ein; die Verstärkung wird durch den 𝑁Faktor beschrieben (rot, orig. [a,b], vgl. auch [c-j]). 2 Für die Blasius-Grenzschicht (flache Platte) ergibt sich 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 =481, im Einklang mit Literaturwerten (∼ 420 bis 520 [1-10], Abbildung 2). Für 𝑁wird eine analytische Funktion hergeleitet, die mit van Ingens Kurve [1] eine sehr hohe Übereinstimmung zeigt (Korrelation 𝑅 > 0.999, 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 2.8%). Der Übergangsbereich (transition region) wird mit 𝑁 = 8.06−10.06 vorhergesagt (van Ingen: 𝑁 = 8.22−10.30; Abweichung < 2.4%, Abbildung 3). Für Falkner-Skan-Strömungen (angewinkelte Platten) wird eine approximative Lösung in einem weiten Bereich des Hartree-Parameters 0 ≤ 𝛽 ≤ 0.6 bestimmt. Der Vergleich mit Literaturwerten ergibt eine gute Übereinstimmung für 𝑅𝑒𝛿1 𝑐𝑟𝑖𝑡 (𝑅 > 0.998und 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 4.1% [9], Abbildung 4). Die 𝑁Faktoren zeigen eine hohe Korrelation (𝑅 > 0.996 für 𝛽 ≤ 0.2), weisen aber im Vergleich zu [1] eine zunehmende Verschiebung zu höheren Werten auf. Dies führt zu einem Anstieg des Fehlers (𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 4.1% bei 𝛽 = 0.05; 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 7.3% bei 𝛽 = 0.1; 𝐿𝑟𝑒𝑙 2=12%bei 𝛽 = 0.2; nicht dargestellt). Referenzen (weitere Details & Links online verfügbar, siehe QR-Code) [1] Van Ingen J.L. (1990), in: Separated Flows and Jets. doi:10.1007/978-3-642-84447-8_73 [2] Klingmann B. et al. (1993), Eur. J. Mech. B Fluids 12, 493-514 [3] Kachanov Y.S. et al. (1977), Fluid Dyn 12, 383-390. doi:10.1007/BF01050568 [4] Strazisar A.J. et al. (1977), J. Fluid Mech 83, 225-247. doi:10.1017/S0022112077001177 [5] Schubauer G.B. & Skramstad H.K. (1948), Report NACA TR-909 [6] Bertolotti F.P., Herbert T., Spalart P.R. (1992), J. Fluid Mech 242, 441-474. doi:10.1017/S0022112092002453 [7] Shen S.F. (1954), J. Aero. Sci 21, 62-64. doi:10.2514/8.2920 [8] Arnal D. (1986), ONERA Report 34/5018 [9] Wazzan A.R. et al. (1968), McDonnell Douglas Report AD0712198 [10]Pretsch J. (1941), Jahrbuch der Deutschen Luftfahrtforschung p. 58 [a]-[al] Grundlagen und historische Arbeiten (online verfügbar, siehe QR-Code) https://qvtheory.net/references-poster-1-de/ Abbildung 2: Instabilitätszone in der Blasius-Grenzschicht (flache Platte, 𝛽 = 0); Reynoldszahl 𝑅𝑒𝛿1=Τ 𝑢∞ 𝑆𝐼𝛿1 𝑆𝐼 𝜈𝑆𝐼 basierend auf der Verdrängungsdicke 𝛿1; reduzierte Kreisfrequenz 𝐹 = Τ 𝜔𝑆𝐼𝜈𝑆𝐼 𝑢∞ 𝑆𝐼 2. Vergleich der analytischen Lösung (rot) mit bisherigen Experimenten [2-5] und numerischen Berechnungen [6-7]. Die berechnete kritische Reynolds-Zahl 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 =481 ist zusätzlich markiert. 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 = 0.00547 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 𝛾𝑢 2 ෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥=𝛼𝐹𝑙 2 𝛾𝑢𝑑𝑢𝜂 30.307𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 +9.87𝛾2𝑢2𝑅𝑒𝑥 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 2+6.28𝛾𝑢𝑑𝑚𝑓𝑝 𝑅𝑒𝑥 𝑁𝐵𝑙 =෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥−෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 Abbildung 4: Kritische Reynoldszahl 𝑅𝑒𝛿1 𝑐𝑟𝑖𝑡 in Abhängigkeit des Hartree-Parameters 𝛽, der den Druckgradienten/ Plattenwinkel in Falkner-Skan Strömungen beschreibt. Der Vergleich mit numerischen Lösungen [8-10] zeigt im Bereich 0 ≤ 𝛽 ≤ 0.6 eine gute Übereinstimmung (𝑅 > 0.998und 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 4.1%, vergl. mit Wazzan [9]). Der markierte Wert 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 bei 𝛽 = 0 entspricht der flachen Platte (siehe Abbildungen 2 und 3). In der Blasius-Grenzschicht (flache Platte, 𝛽 = 0) vereinfacht sich die ermittelte Formel für die kritische Reynoldszahl zu (alle Grössen entdimensionalisiert): 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 = 0.00547 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 𝛾𝑢 2, mit dem Partikelabstand 𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡, der mittleren freien Weglänge 𝑑𝑚𝑓𝑝 (beide aus der kinetischen Gastheorie), sowie dem Geschwindigkeitsgradienten 𝑑𝑢𝜂. Für den 𝑁-Faktor ergibt sich: 𝑁𝐵𝑙 =෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥−෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 , mit ෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥=𝛼𝐹𝑙 2 𝛾𝑢𝑑𝑢𝜂 30.307𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 +9.87𝛾2𝑢2𝑅𝑒𝑥 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 2+6.28𝛾𝑢𝑑𝑚𝑓𝑝 𝑅𝑒𝑥, mit der Kopplungskonstanten 𝛼𝐹𝑙 = 0.2094 zwischen den laminaren und wirbelbehafteten Strömungsanteilen. Abbildung 3: 𝑁-Faktor in der Blasius-Grenzschicht und Vergleich mit van Ingens Resultat [1]; Reynoldszahl 𝑅𝑒𝑥=Τ 𝑢∞ 𝑆𝐼𝑥𝑆𝐼 𝜈𝑆𝐼 basierend auf der Koordinate entlang der Platte. Die Korrelation ist 𝑅 > 0.999und der relative Fehler beträgt 𝐿𝑟𝑒𝑙 2= 2.8%. Die eingezeichnete kritische Reynolds-Zahl 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 entspricht der Position in Abbildung 2 in transformierten Koordinaten. In der Blasius-Grenzschicht (flache Platte, 𝛽 = 0) vereinfacht sich die ermittelte Formel für die kritische Reynoldszahl zu (alle Grössen entdimensionalisiert): 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 = 0.00547 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 𝛾𝑢 2, mit dem Geschwindigkeitsgradienten 𝑑𝑢𝜂, dem Partikelabstand 𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 und der mittleren freien Weglänge 𝑑𝑚𝑓𝑝 (beide aus der kinetischen Gastheorie), sowie 𝛾 = Τ 1 1−𝑢2. Für den 𝑁-Faktor ergibt sich: 𝑁𝐵𝑙 =෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥−෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 , wobei ෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥=𝛼𝐹𝑙 2 𝛾𝑢𝑑𝑢𝜂 30.307𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 +9.87𝛾2𝑢2𝑅𝑒𝑥 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 2+6.28𝛾𝑢𝑑𝑚𝑓𝑝 𝑅𝑒𝑥. In der Blasius-Grenzschicht (flache Platte, 𝛽 = 0) vereinfacht sich die ermittelte Formel für die kritische Reynoldszahl zu (alle Grössen entdimensionalisiert): 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 = 0.00547 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 𝛾𝑢 2, mit dem Geschwindigkeitsgradienten 𝑑𝑢𝜂, dem Partikelabstand 𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 und der mittleren freien Weglänge 𝑑𝑚𝑓𝑝 (beide aus der kinetischen Gastheorie). Für den 𝑁-Faktor ergibt sich: 𝑁𝐵𝑙 =෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥−෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝐵𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡 , wobei ෩ 𝑁𝐵𝑙 𝑅𝑒𝑥=𝛼𝐹𝑙 2 𝛾𝑢𝑑𝑢𝜂 30.307𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡 +9.87𝛾2𝑢2𝑅𝑒𝑥 𝑑𝑢𝜂𝑑𝑑𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚𝑓𝑝 2+6.28𝛾 𝑢𝑑𝑚𝑓𝑝 𝑅𝑒𝑥. Referenzen [1] Van Ingen, J.L. (1990). Research on Laminar Separation Bubbles at Delft University of Technology. In: Kozlov, V.V., Dovgal, A.V. (eds) Separated Flows and Jets. IUTAM Symposium, Novosibirsk. doi:10.1007/978-3-642-84447-8_73. [2] W. Tollmien, Über die Entstehung der Turbulenz. 1. Mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1929, 21-44. [3] H. Schlichting, Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1933, 181-208. Als Erhaltungsgrösse betrachten wir den inneren mech. Energiefluss: 𝑑 𝑑𝑡 𝐸 = 1 2tr 𝝈†ሶ 𝜺+ ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒𝑃𝑜𝑡. =1 2tr 𝑼†𝝈†ሶ 𝜺𝑼 + ሷ𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒𝑃𝑜𝑡. , (3) und benutzen dessen Invarianz unter globalen Ähnlichkeitstransformationen 𝑼 ∈ 𝑈(4) im vierdimensionalen Raum [w, x]. 𝑈 4 globale Symmetrie 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 Reduktion Wir betrachten reguläre, normale Matrizen, wodurch sich Gleichung (3) unitär diagonalisieren lässt (hier für isotrope Medien): 1 2tr 𝑼†𝝈†ሶ 𝜺𝑼 = 1 2tr 𝝈𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺𝑑𝑖𝑎𝑔 =2𝜁 ሶ𝜀∥2+𝜂tr ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 . (4) Zur Diagonalisierung und Symmetrisierung reichen unitäre Transformationen der Untergruppe Τ 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 ±1 < 𝑈(4) (Anwendung der Autonne–Takagi-Faktorisierung [y, z]). Wurzeln Die spurfreien Anteile in Gleichung (4) haben die allgemeine Form: 𝜂tr ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 †ሶ 𝜺⊥𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝐴12+ 𝐴22+ 𝐴32+ 𝐴42, Was die Darstellung ihrer Wurzeln in den Clifford-Algebren 𝐶𝑙4,0 und 𝐶𝑙0,4 ermöglicht (𝐴𝜇= 𝑎𝜇𝜸𝝁, 𝜸𝝁,𝜸𝝂= 2𝛿𝜇𝜈𝟏4×4, [aa]). 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4 Lokalisierung In dieser Form werten wir die globalen zu lokalen Symmetrien auf (𝑼 → 𝑼 𝒓 und 𝜕𝜇→ 𝐷𝜇) und erhalten die lokalisierte Feldgleichung: ሶ 𝜺⊥𝒅𝒊𝒂𝒈 𝑪𝒍 = 𝑼†𝒓 ቂ 𝜸𝝁𝜕𝜇𝑢𝜇 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.𝑏𝑒𝑖 Ä𝑛𝑑𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑖𝑐ℎ𝑓𝑒𝑙𝑑𝑒𝑟 + 𝜸𝝁𝜸𝝂𝑢𝜇𝐷𝜈 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑖𝑐ℎ𝑓𝑒𝑙𝑑𝑒𝑟 ቃ𝑼 𝒓 , (5) 𝑼 → 𝑼 𝒓 𝜕𝜇→ 𝐷𝜇 Die Struktur der involvierten Gruppen und Algebren ermöglicht eine Abbildung nach 𝐶𝑙2,2 ℝ ⊗𝐶𝑙2,2 ℝ, welche isomorph ist zum Matrizenraum über ℝ4(pos./ neg. definite Norm) [ab]. Für die Eigenwerte ሶ𝜀⊥𝜇 ergibt sich: ሶ𝜀⊥𝜇 = 𝝍± †𝒓 𝜸𝟓ቂ𝑑𝑢𝜇+ 𝑢 𝜸𝝂𝐷𝜈ቃ𝝍±𝒓. (6) Gleichung (6) hat die Form einer Lagrangedichte für ein Euklidisches Dirac-Feld [ac] mit minimaler Kopplung an die 𝑆𝑂 4 ×𝑈 1 -Eichfelder und kann mit den bekannten Standard-Methoden störungstheoretisch ausgewertet werden [k-p]. Umordnen und abbilden ℝ+ 4×4 ⊗ℝ− 4×4 𝐶𝑙2,2 ⊗𝐶𝑙2,2 𝐶𝑙4,0 ⊗𝐶𝑙0,4