Estructura y convergencia en la familia de triángulos T (a)

Estructura y convergencia en la familia de triángulos T(a) Miguel Cerdá Bennassar 1 de noviembre de 2025 Resumen El presente estudio desarrolla un modelo estructural para analizar la dinámica de la conjetura de Collatz mediante la familia de triángulos numéricos T(a). Cada triángulo representa un sistema de tramos discretos que organizan los valores de una secuencia en filas y cierres pares conectados de manera determinista. La introducción de los atractores (Fn, Sn)permite describir la convergencia como un proceso modular y 2-ádico, en el que los enlaces entre triángulos preservan la congruencia y reducen progresivamente la componente par. Se demuestra la existencia de un único ciclo trivial en toda la familia y la periodicidad modular de los segundos atractores, lo que revela un orden interno que explica la convergencia global hacia el ciclo final 4→2→1. El modelo triangular unifica así estructura, dinámica y convergencia en una formulación algebraicamente coherente. Índice 1. Introducción 2 2. Definición de la familia T(a)2 3. Correspondencia con los tramos de Collatz 3 4. Diagonal de cierres y dinámica multiplicativa 4 5. Propiedades modulares y raíces digitales 5 6. Atractores de las filas 5 7. Regla de encaje único de cualquier impar en la familia 9 8. Conclusiones 11 1 1. Introducción Las tablas triangulares T(a)forman una familia de estructuras numéricas relacionadas con las secuencias de Collatz y sus tramos intermedios. Cada triángulo T(a)organiza los números de una secuencia en filas y columnas, según reglas aditivas simples que reflejan la dinámica multiplicativa de la conjetura. El objetivo de este estudio es formalizar la construcción de los triángulos T(a), describir sus propiedades modulares, establecer su conexión con los tramos de las secuencias de Collatz y analizar el papel de los atractores (primeros y segundos) que marcan los límites accesibles de cada tramo. 2. Definición de la familia T(a) Definición 2.1 (Triángulo T(a)).Para cada entero a≥0, el triángulo T(a)se define por la fórmula general T(a)n,k = 3k−1(a+ 1)2n−1−1, n, k ≥1. Convención. n≥0, k ≥1, T(a)0,1=a, T(a)n,k = 3k−1(a+ 1)2n−1−1 (n≥1). Cada fila ny columna kforman una red de números congruentes entre sí. El primer elemento de la primera columna (k= 1)esa, único elemento de la fila 0. La construcción puede entenderse así: En cada columna, el término siguiente se obtiene del anterior con el factor 2. El paso a una nueva columna equivale a multiplicar por 3. Figura 1: Triángulo T(0): disposición de impares y cierres. 2 Observación 2.1 (Intuición geométrica corta).Cada celda se obtiene escalando (a+ 1) por un factor binario 2n−1(fila) y un factor ternario 3k−1(columna), y restando 1:T(a)n,k = 3k−1(a+1)2n−1−1. Así, las filas son “bandas 2-ádicas”, las columnas “bandas 3-ádicas”, y la diagonal Dn(a) = (a+ 1)6n−1−1reúne los últimos impares (tipo II) de cada fila. Observación 2.2 (Triángulos válidos).Los valores aque generan triángulos coherentes con las secuencias de Collatz son los congruentes a≡0,4 (m´od 6), es decir, a= 0,4,6,10,12,16, . . .. En cada uno de estos triángulos T(a)aparece, de forma ordenada, la totalidad de los números naturales N: toda secuencia de Collatz, iniciada en cualquier número impar, puede descomponerse en tramos que se hallan contenidos en alguno de los triángulos de la familia. Por tanto, la unión de todos los T(a)con a≡0,4 (m´od 6) constituye una partición funcional de N. Fórmulas particulares T(a)n,1= (a+ 1)2n−1−1, T(a)n,2= 3(a+ 1)2n−1−1, T(a)n,3= 9(a+ 1)2n−1−1, . . . Estas expresiones muestran que todas las columnas son números de Mersenne escalados. 3. Correspondencia con los tramos de Collatz Cada fila de T(a)representa un tramo intermedio de una secuencia de Collatz: el conjunto de términos comprendidos entre un impar y el primer número par posterior. En el triángulo T(0), por ejemplo, la fila 4contiene el tramo impar de la secuencia de 15 (versión simplificada): 15,23,35,53,80, que corresponde a los valores T(0)5,1, T(0)5,2, T(0)5,3, T(0)5,4, T(0)5,5. Observación 3.1 (Tramo clásico).En la función clásica de Collatz g(n) = (n/2, n par, 3n+ 1, n impar, los números pares intermedios del mismo tramo se corresponden con los elementos de la fila siguiente del triángulo T(a),restando una unidad: pares intermedios ={T(a)n+1,k −1 : 1 ≤k≤n+ 1 }. Así, por ejemplo, los pares intermedios de la secuencia de 15 46,70,106,160, . . . se encuentran en la fila 5de T(0). 3 Observación 3.2 (Posición inicial del tramo).Aunque cada fila de T(a)representa un tramo completo de una secuencia de Collatz, el tramo no siempre comienza en el primer impar de la fila: puede iniciarse en cualquier impar de ella, incluso en el último, según el punto donde la secuencia entre al triángulo. Lo que permanece invariable es que el último elemento de la fila representa siempre el cierre real del tramo. Observación 3.3 (Distribución de impares en las filas).En cada fila de T(a)aparecen dos tipos de impares: tipo I: 4r+ 3,tipo II: 4r+ 1. Regla general. En toda fila, los impares que ocupan las posiciones iniciales son de tipo I, y el último elemento impar (justo antes del cierre par) es siempre de tipo II. Excepción (fila n= 1). Es la fila con un único impar y es de tipo II. 4. Diagonal de cierres y dinámica multiplicativa Definición 4.1 (Diagonal de cierres).La diagonal formada por los últimos elementos impares de cada fila, Dn(a)=T(a)n,n = (a+ 1)6n−1−1, representa los valores de cierre de cada tramo. Esta diagonal sintetiza el doble crecimiento de la función: el factor 2(al avanzar en la fila) y el factor 3(al abrir columna). Por tanto, los Dn(a)constituyen una geodésica de cierres de tramos. Lema 4.1 (Cierre impar tipo II y enlace decreciente).Sea w=Dn(a) = T(a)n,n = (a+1)6n−1−1el último impar de una fila (diagonal de cierres). Entonces w≡1 (m´od 4) (es de tipo II), y el impar que inicia el tramo siguiente es u=3w+ 1 4= 3w−1 4+ 1 < w. Demostración. Escriba w= 4r+ 1 (tipo II). Entonces u= (3w+ 1)/4 = 3r+ 1 y w−u= (4r+ 1) −(3r+ 1) = r > 0. Corolario 4.2 (Cadena estrictamente decreciente de cierres impares).Si se restringe la dinámica a los cierres impares (los Dn(a)a lo largo de las sucesivas filas), la sucesión Dn0(a0)7→ 3Dn0(a0)+1 47→ 3Dn1(a1)+1 47→ · · · es estrictamente decreciente hasta alcanzar 1. Demostración. Aplicación iterada del Lema 4.1. El único punto fijo es w= 1. Teorema 4.3 (Convergencia por rango de cierres impares tipo II).Considérese el grafo cuyos nodos son los cierres impares W={Dn(a)}(y, equivalentemente, todos los impares tipo II que cierran filas), con aristas w→ucuando u= (3w+ 1)/4. Defínase la función de rango R:W→Npor R(w) = w. Entonces para toda arista w→ucon w > 1se cumple R(u)<R(w), y el único punto fijo es w= 1. En particular, toda trayectoria desciende y termina en 1. Demostración. Es consecuencia inmediata del Lema 4.1. 4 5. Propiedades modulares y raíces digitales El comportamiento de las raíces digitales mod 9es regular y depende únicamente de la columna k. Proposición 5.1 (Estructura modular de las columnas).Para todo aynse cumple: Columna 1: rd(T(a)n,1) = (1,3,7,6,4,9) (ciclo de periodo 6), Columna 2: rd(T(a)n,2) = (2,5) (ciclo de periodo 2), Columnas k≥3 : rd(T(a)n,k) = 8. Esquema de prueba. Considerando T(a)n,k + 1 = 3k−1(a+ 1)2n−1y trabajando módulo 9: Para k= 1, las potencias de 2mod 9 recorren (1,2,4,8,7,5). Para k= 2, el factor 3reduce el ciclo a (2,5). Para k≥3,9|3k−1, por lo que T(a)n,k ≡ −1≡8 (m´od 9). 6. Atractores de las filas Cada fila de T(a)contiene un conjunto de números que siguen la dinámica de Collatz. Para describir los límites alcanzables de estos tramos se introducen los atractores de fila. Definición 6.1 (Primeros y segundos atractores).Sea Fnel primer atractor de la fila n, ySnel segundo atractor. Cumplen las recurrencias: Fn+1 = 3Fn+ 1, Sn+1 = 9Sn+ 1. Observación 6.1 (Fórmulas cerradas). Fn= 3n−1F1+3n−1−1 2, Sn= 9n−1S1+9n−1−1 8. Los semilleros F1yS1dependen del triángulo T(a). Por ejemplo, en T(0): F1= 1 ⇒Fn= (3n−1+ 1)/2, S1=1⇒Sn=9n−1 8. 5 Figura 2: Atractores en T(0). La cadena de primeros atractores (Fn)verifica Fn+1 = 3Fn+ 1 y la de segundos atractores (Sn)verifica Sn+1 = 9Sn+ 1. Los Snmarcan el límite proyectado de cada tramo: si Snes par puede coincidir con el cierre real; si es impar, aún falta la división por potencias de 2. (Elaboración propia, a partir de los valores de T(0)). Observación 6.2 (Crecimiento interno y observado).En una misma fila ndel triángulo T(a), el crecimiento interno entre dos columnas k < k∗cumple T(a)n,k∗+ 1 T(a)n,k + 1 = 3k∗−k. Este crecimiento es puramente geométrico: cada paso de columna multiplica por 3el valor de T(a)n,k + 1. Sin embargo, el crecimiento observado respecto a un atractor externo A (por ejemplo FtoFt/2j) depende del punto inicial xdel tramo: G(x→A) = A x. Si el tramo comienza en impares finales (columnas grandes), el crecimiento efectivo es menor; si empieza en impares iniciales, es mayor. 6 Comentario (Crecimiento local y descenso global).El crecimiento de los valores dentro de una fila de T(a)no es monótono. Los impares de tipo I (4r+3) producen incrementos temporales al aplicar la regla simplificada de Collatz, f(n) = 3n+1 2, mientras que los de tipo II (4r+1) actúan como cierres que restituyen el descenso. Así, cada fila presenta una oscilación interna: fases de crecimiento parcial seguidas de un cierre decreciente que conecta con el siguiente tramo. El resultado es un descenso global cuando se consideran los enlaces entre filas, ya que los cierres impares w≡1 (m´od 4) generan una sucesión estrictamente decreciente bajo la transformación w7→ (3w+ 1)/4. En síntesis: Dentro de cada fila (nivel local) existen aumentos y reducciones alternas. Entre filas consecutivas (nivel estructural) se cumple una monotonía descendente global. Esta distinción explica por qué la convergencia de la familia T(a)no depende de la monotonicidad paso a paso, sino de la estructura finita y acíclica de sus enlaces entre cierres. Observación 6.3 (Convergencia compartida de filas a un mismo atractor).Como se aprecia en la Figura 2, diferentes filas de T(0) pueden converger al mismo atractor externo. Por ejemplo, las filas (7,11,17,26) y(15,23,35,53,80) convergen ambas al atractor 40, y por extensión comparten los atractores siguientes 20,10 y5. La magnitud del crecimiento depende del elemento de la fila que se tome como referencia: 40 7≈5,7,40 11 ≈3,6,40 17 ≈2,4,40 26 ≈1,5. Así, el crecimiento de un tramo es relativo y está condicionado por la posición del impar dentro de su fila. Este fenómeno se repite en todas las filas de todos los triángulos T(a), revelando la existencia de atractores comunes y la convergencia compartida de trayectorias distintas hacia los mismos valores. Significado dinámico El primer atractor Fnrepresenta el salto directo 3x+ 1 aplicado al impar que origina la fila. El segundo atractor Snindica el límite del tramo que podemos conocer sin utilizar divisiones por potencias de 2. Muchos Snno son el término par real del tramo, sino una proyección del cierre que aún no se ha dividido por 2. Observación 6.4 (Regla por paridad del segundo atractor).Si Snes par, entonces puede coincidir con el cierre real del tramo. El impar siguiente se obtiene dividiendo Snpor 2ν2(Sn). Si Snes impar, el tramo permanece abierto: el siguiente impar real se obtiene aplicando 3Sn+ 1 y dividiendo el resultado por 2ν2(3Sn+1). Así, los segundos atractores marcan el final del tramo observable, pero no necesariamente el cierre efectivo del ciclo. Los segundos atractores aparecen con periodicidad modular en a: exactamente cuatro clases residuales en (m´od 24) (p. ej. a≡0,10,16,18). 7 Conclusión 6.1 (Naturaleza de la convergencia).La convergencia en la familia T(a) no depende del valor inicial, sino del encadenamiento estructural entre triángulos. Cada enlace reduce el exponente 2-ádico y conserva la congruencia modular, de modo que las trayectorias descienden por una secuencia de triángulos T(a)→T(a′)→T(a′′)→ · · · con atractores cada vez menores en el sentido estructural descrito. Los atractores (Fn, Sn) actúan como puntos de absorción intermedios que canalizan la dinámica hacia el ciclo final 4→2→1. Toda trayectoria, directa o indirectamente, converge a este ciclo mediante una sucesión finita de triángulos válidos. Además, el Teorema 4.3 establece que los cierres impares de tipo II, definidos en la Diagonal de Cierres (Definición 4.1), forman una sucesión estrictamente decreciente bajo la transformación w7→ (3w+ 1)/4.Esta propiedad proporciona una función de rango constructiva dentro de la familia T(a), confirmando de modo explícito la monotonía descendente de los enlaces entre tramos y su convergencia hacia 1. Demostración. Sea T(a)un triángulo válido, con filas indexadas desde n= 0 y columnas k≥1, y sea T(a)n,k = 3k−1(a+ 1) 2n−1−1 (n≥1), T(a)0,1=a. Fijemos una fila n≥1y denotemos por w=T(a)n,n = (a+ 1) 6n−1−1 su último impar. El cierre par asociado a esa fila es la celda siguiente en columna, T(a)n,n+1 = 3n(a+ 1) 2n−1−1, y, por tanto, el cierre par real (el número par que se divide por potencias de 2para enlazar con el siguiente tramo) es E:= T(a)n,n+1 + 1 = 3n(a+ 1) 2n−1. Como 3n(a+ 1) es impar, se tiene ν2(E) = n−1, y el impar que inicia el siguiente tramo (tras dividir por la máxima potencia de 2) es u:= E 2ν2(E)=3n(a+ 1) 2n−1 2n−1= 3n(a+ 1), que es efectivamente impar. Para identificar el triángulo y la posición de uusamos el encaje único impar: factorizamos u+ 1 = 2α3βrcon gcd(r, 6) = 1, y definimos a′=r−1, n′=α+ 1, k′=β+ 1. Entonces u=T(a′)n′,k′, es decir, upertenece de forma única al triángulo T(a′)y a la celda (n′, k′). Además, como r≡1ó5 (m´od 6), se deduce a′=r−1≡0ó4 (m´od 6), 8 de modo que T(a′)es también un triángulo válido. En consecuencia, el paso T(a)cierre de la fila ny división por 2ν2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ T(a′) está bien definido yesdeterminista: toda fila termina en un cierre par E, cuya reducción 2-ádica produce un impar uque encaja de forma única en un triángulo válido siguiente. Obsérvese que los argumentos anteriores describen la estructura del enlace inter–triángulos (finitud intrafila, cierre par y encaje único), pero no imponen una monotonía global de un funcional de rango; por ello, la traducción de esta descripción estructural en una convergencia universal requiere, en su caso, la existencia de una función de rango bien fundada que disminuya en cada enlace (véase el Teorema 6.1). Alcance. El modelo triangular T(a)establece un marco estructural finito y disyunto que descarta ciclos internos y vagabundeo dentro de cada triángulo. La convergencia global se reduce a exhibir un funcional de rango que decrezca en cada enlace inter-triángulo. Este texto documenta la estructura y señala ese cuello técnico. Esta descripción es un marco representacional: su traducción en una convergencia universal requiere el criterio del Teorema 6.1 (función de rango bien fundada). Teorema 6.1 (Convergencia condicional por función de rango).Sea Gel grafo dirigido cuyos nodos son las filas de los triángulos T(a)y cuyas aristas son los enlaces producidos al dividir el cierre par por 2ν2hasta obtener el impar siguiente. Si existe una función de rango bien fundada R:{filas de T(a)}−→N×N tal que para todo enlace X→Yse cumple R(Y)≺lex R(X), entonces toda trayectoria en Ges finita y, por tanto, converge al ciclo final 4→2→1. Comentario. Los tres principios estructurales del modelo (i) finitud intrafila, (ii) indexación discreta de T(a), y (iii) disjunción de pertenencia impar ⇒triángulo, garantizan ausencia de ciclos no triviales intra-triángulo y descartan vagabundeo local. El paso global se reduce a exhibir una Rmonótona en los enlaces inter-triángulo. Observación 6.5 (Reciprocidad con la aciclicidad demostrada).El Teorema 6.1 establece un criterio suficiente de convergencia basado en la existencia de una función de rango bien fundada R. Sin embargo, el resultado del Teorema 7.1 (demostración del ciclo trivial único) implica que el grafo de enlaces Ges acíclico dentro del modelo T(a). Por tanto, de la teoría general de órdenes bien fundados en grafos dirigidos se deduce la existencia de alguna función de rango Rque verifica R(Y)≺lex R(X)para cada enlace X→Y. Aunque dicha función no se ha construido explícitamente, su existencia queda garantizada estructuralmente por la aciclicidad del sistema. 7. Regla de encaje único de cualquier impar en la familia Sea wun número impar. La familia de triángulos T(a)permite ubicarlo de forma única. Proposición 7.1 (Encaje único de un impar).Todo impar wpuede expresarse de manera única como w= 3k′−1(a′+ 1)2n′−1−1, 9