Estructura geométrica dual y completitud par en la dinámica de Collatz

Estructura geométrica dual y completitud par en la dinámica de Collatz Miguel Cerdá Bennassar 5 de noviembre de 2025 Resumen Se presenta una construcción geométrica dual que permite representar de manera completa la dinámica de la conjetura de Collatz simplificada. Las familias de triángulos T(a) yT(b)constituyen dos sistemas complementarios: T(a)organiza los tramos impares junto con los pares intermedios que les pertenecen, mientras que T(b)ordena los tramos pares deterministas que conducen a los cierres impares. Cada triángulo se construye mediante relaciones multiplicativas basadas en los factores 2 y3, generando una disposición triangular (rectángulo isósceles) en la que las filas y columnas reproducen las transformaciones básicas de la dinámica Collatziana. El conjunto unido de ambas familias, {T(a)}∪{T(b)}, abarca todos los tramos de la secuencia simplificada, alternando fases impares y pares según la paridad del término inicial. De este modo, la estructura dual proporciona una representación geométrica completa, determinista y autosuficiente de la transformación de Collatz. Finalmente, se introduce una función puramente par, denotada δ, que reproduce la dinámica de los números pares generados por la función clásica 3n+ 1. Esta extensión analítica completa el sistema dual y muestra que los triángulos T(a),T(b)y la función δforman una representación estructural unificada de la dinámica de Collatz. Índice 1. Introducción 3 1.1. Naturaleza dual de las dos familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Motivaciónyobjetivo ................................. 4 2. Definición general de las familias T(a)yT(b)4 2.1. Familia T(b): tramos pares deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Familia T(a): tramos impares y pares adheridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Simetríaestructural .................................. 5 3. Relaciones internas y encadenamiento entre las dos familias 5 3.1. Correspondencia funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2. Ejemplo: trayectoria iniciada en 15 .......................... 6 3.3. Estructura alternante global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 4. Propiedades globales de la estructura dual 7 4.1. Unicidad de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2. Convergenciainterna.................................. 7 4.3. Atractorescompartidos................................. 8 4.4. Estructura determinista y completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.5. Observación sobre completitud y estructura aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.6. Sobre la inexistencia de ciclos no triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.7. Convergencia hacia la columna 1de T(1) ....................... 9 4.8. Descenso de cierres impares tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.9. Criterio de convergencia por función de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. Estructura modular y distribución de raíces digitales 11 5.1. Distribución en las columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2. Clases iniciales y cierres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3. Correspondencias entre columnas y filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4. Síntesis ......................................... 11 6. Equilibrio y correspondencia entre tramos impares y pares 12 6.1. Correspondencia uno a uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2. Equilibriodinámico................................... 12 6.3. Síntesis ......................................... 12 7. La función δy la completitud par del sistema 13 7.1. Definición........................................ 13 7.2. Propiedadesbásicas .................................. 13 7.3. Ejemploilustrativo................................... 14 7.4. Teoremadeconvergencia................................ 14 7.5. Relación con la familia T(b).............................. 14 8. Conclusiones 14 2 1. Introducción La dinámica de la conjetura de Collatz puede dividirse en dos fases alternas: una fase impar, gobernada por la regla (3n+1)/2, y una fase par, gobernada por divisiones sucesivas entre 2. Para representar ambas de forma simétrica se definen dos familias de triángulos complementarios: T(a)(familia de impares), T(b)(familia de pares). Cada familia sigue un principio de construcción multiplicativa, pero adaptado a su tipo de tramo. En T(b), los factores 2y3actúan directamente; en T(a), las relaciones equivalentes son 2n+ 1 y3n+ 2, que reproducen la misma dinámica trasladada al dominio impar. En la última sección se presenta además una función generadora δ, derivada de la regla clásica 3n+1, que describe de forma cerrada la evolución de los números pares y aporta una perspectiva funcional complementaria al modelo geométrico dual. 1.1. Naturaleza dual de las dos familias Los triángulos T(a)representan los tramos impares de la secuencia simplificada. Cada fila n contiene los impares de un tramo y la fila siguiente (n+1) contiene los pares adheridos, obtenidos restando uno a los términos de la fila superior: Ta(n+ 1, k) = Ta(n, k)−1. Estos pares no constituyen un tramo par independiente, sino que son los pares intermedios que aparecen en el recorrido de un impar hacia el siguiente dentro de un mismo tramo. Por su parte, los triángulos T(b)contienen los pares autónomos, es decir, los tramos pares completos que se producen al aplicar repetidamente la división por 2hasta alcanzar el siguiente número impar: n, n 2,n 4, . . . , n 2m=q. En esta familia las columnas representan descensos deterministas (razón 2) y las diagonales recogen los cierres impares (razón 3). Cada cierre impar actúa como punto de enlace hacia el siguiente tramo impar de la familia T(a). Figura 1: Ejemplos representativos de las dos familias. 3 1.2. Motivación y objetivo Las dos familias no deben entenderse como modelos separados, sino como las dos caras de una misma estructura geométrica. Mientras T(a)describe las transformaciones asociadas a los impares y los pares directamente vinculados a ellos, T(b)organiza los tramos pares puros que los conectan. Juntas, construyen un sistema completo en el que cada número natural —par o impar— tiene una posición y una función bien definida dentro de la dinámica. El objetivo de este estudio es formalizar esa estructura dual, definir las relaciones que generan ambas familias de triángulos y demostrar que, unidas, son suficientes para representar todos los tramos de la Collatz simplificada. 2. Definición general de las familias T(a)yT(b) Ambas familias se construyen según un mismo principio geométrico: disponer los valores en un triángulo rectángulo isósceles donde cada término se obtiene a partir del inicial mediante combinaciones de dos relaciones básicas. La diferencia entre ambas radica únicamente en el dominio (impar o par) y en la forma en que se aplican los factores 2y3. 2.1. Familia T(b): tramos pares deterministas La familia T(b), ya descrita en estudios previos, organiza los tramos pares de la dinámica Collatz simplificada. Cada triángulo T(b)se inicia en un valor bcongruente con 1o5módulo 6y se genera aplicando las relaciones: ×2(dirección vertical) y ×3(dirección diagonal). Definición 2.1 (Triángulo T(b)).Sea b∈N,b≡1,5 (m´od 6). Definimos Tb(n, k)=2n−k3kb, 0≤k≤n. Las columnas (kfijo) representan los tramos pares completos n, n/2, n/4, . . . , q. Las filas (nfijo) forman progresiones geométricas de razón 3/2. La diagonal principal (n=k) contiene los cierres impares 3nb, que enlazan con los tramos impares de la otra familia. Esta construcción reproduce de forma ordenada los descensos deterministas por división entre 2, hasta alcanzar un número impar. La diagonal de cierres marca los puntos donde cada tramo par finaliza. 2.2. Familia T(a): tramos impares y pares adheridos De manera simétrica a la familia par, la familia T(a)organiza los tramos impares de la Collatz simplificada junto con los pares que les pertenecen. Cada triángulo T(a)se inicia en un impar a≡1,5 (m´od 6) y se construye mediante las relaciones afines que reproducen el papel de los factores 2y3en el dominio impar: 2n+ 1 (dirección vertical) y 3n+ 2 (dirección diagonal). Una característica importante de estos triángulos es la clasificación de los impares por clases módulo 4dentro de cada fila: 4 en las filas normales, el primer impar de la fila es siempre de la forma 4m+3, y los siguientes términos de la fila mantienen esa clase 4m+ 3 hasta llegar al último impar; el último impar antes del par adherido es de la forma 4m+ 1; la única fila que no sigue este patrón es la fila 2, que comienza ya con un impar de la forma 4m+ 1. Esto significa que cada tramo impar de T(a)está diseñado para acabar en un impar 4m+ 1. Esta clase 4m+ 1 es la que resulta más favorable para la reducción posterior de la sucesión (es la que aparece de manera recurrente en las trayectorias que descienden hacia 1), de modo que la propia construcción del triángulo introduce una inclinación hacia la convergencia. Como en la construcción original, la fila inmediatamente inferior contiene los pares adheridos, obtenidos restando 1a cada impar de la fila superior: Ta(n+ 1, k) = Ta(n, k)−1. Estos pares no forman un tramo par independiente (ésos están en T(b)), sino que son los pares efectivamente recorridos entre dos impares consecutivos del mismo tramo. 2.3. Simetría estructural Ambas familias comparten un esquema formal común: Tb(n, k)=2n−k3kb, Ta(n, k)=2n−k(3ka+ 1) −1. De esta forma, las operaciones que en el dominio par son multiplicaciones puras se transforman en el dominio impar en combinaciones afines que preservan la paridad. El resultado es una estructura dual, donde los triángulos T(a)yT(b)comparten la misma geometría y se enlazan alternadamente a lo largo de la secuencia Collatz simplificada. 3. Relaciones internas y encadenamiento entre las dos familias Las familias T(a)yT(b)no actúan de manera independiente, sino que se entrelazan en la trayectoria de la secuencia Collatz simplificada. Los cierres impares de los triángulos T(b)constituyen los puntos de partida de los triángulos T(a),yloscierres pares generados en las filas inferiores de T(a)originan, a su vez, nuevos tramos en la familia T(b). De este modo se forma una cadena alternante: T(a0)−→ T(b0)−→ T(a1)−→ T(b1)−→ . . . que describe sin interrupciones toda la dinámica de Collatz. 3.1. Correspondencia funcional Sea ael valor inicial de un triángulo T(a)ybel de un triángulo T(b). La relación entre ambos viene dada por el cierre del tramo impar: b=3a+ 1 2. 5 A partir de bse genera el triángulo T(b)correspondiente, cuyo primer término en la diagonal 3b es precisamente el impar que inicia el siguiente triángulo T(a′): a′= 3b+ 1. Así, la alternancia de familias reproduce exactamente la regla iterativa de la Collatz simplificada: n7→    3n+ 1 2, n impar, n 2, n par. 3.2. Ejemplo: trayectoria iniciada en 15 La secuencia simplificada que parte de 15 puede descomponerse como una cadena de triángulos conectados: 15,23,35,53,80 (en T(0)) −→ 40,20,10,5 (en T(5)) −→ 8,4,2,1 (en T(1)). donde cada flecha representa el paso desde el cierre de una familia hacia la otra. En esta trayectoria se observan tres niveles: 1. El triángulo T(0) contiene el tramo impar del inicio (15,23,35,53,80). 2. El triángulo T(5) con el tramo par correspondiente (40,20,10,5). 3. El triángulo T(1) el tramo par final (8,4,2,1). La concatenación de estos tres triángulos reproduce paso a paso la evolución de la secuencia: 15 →23 →35 →53 →80 →40 →20 →10 →5→8→4→2→1. . . y muestra de manera visual cómo las familias T(a)yT(b)se alternan para cubrir todos los tramos de la dinámica. Figura 2: Conexión funcional entre los triángulos T(0),T(5) yT(1) en la trayectoria de la secuencia iniciada en 15. 6 3.3. Estructura alternante global El sistema completo formado por {T(a)}∪{T(b)}puede verse como una red bidimensional de tramos intercalados. En cada paso de la secuencia, la paridad del número determina el triángulo activo: nimpar ∈T(ai), n par ∈T(bi). Cada triángulo se conecta con el siguiente mediante su punto de cierre, de modo que: Cierre impar de T(bi)−→ origen de T(ai+1), Cierre par (fila inferior) de T(ai)−→ origen de T(bi). Esta simetría asegura que toda la secuencia Collatz simplificada puede representarse como una sucesión continua de triángulos enlazados por sus diagonales y filas inferiores, sin interrupciones ni duplicaciones. 4. Propiedades globales de la estructura dual El sistema combinado {T(a)} ∪ {T(b)}constituye una representación geométrica completa de la dinámica Collatz simplificada. Cada número natural —par o impar— ocupa una posición única en alguno de los dos tipos de triángulos, y las transiciones entre familias reproducen la alternancia de paridad característica del proceso. A continuación se establecen las propiedades fundamentales del sistema dual. 4.1. Unicidad de pertenencia Proposición 4.1 (Unicidad de representación).Todo número natural Npertenece a un único triángulo del sistema dual. Si Nes impar, se localiza en un triángulo T(a)de la familia impar; si es par, en un triángulo T(b)de la familia par. En cada caso, la posición (n, k)dentro del triángulo está determinada de manera unívoca por la descomposición: N=   2n−k(3ka+ 1) −1, N impar, 2n−k3kb, N par. Por tanto, no existen duplicaciones: ningún número aparece simultáneamente en dos triángulos distintos ni en dos posiciones diferentes del mismo triángulo. 4.2. Convergencia interna Proposición 4.2 (Convergencia al cierre correspondiente).En cada triángulo T(a)oT(b)las trayectorias internas son finitas y convergen en su cierre. En T(a), las filas-tramos impares convergen hacia su cierre par. En T(b), las columnas-tramos pares descienden deterministamente por divisiones entre 2 hasta alcanzar un número impar que cierra la fila. Esta convergencia es interna al triángulo: cada tramo se cierra en un número finito de pasos dentro de su familia, pero el valor alcanzado puede ser mayor o menor que el inicial al pasar a la familia complementaria, reproduciendo la característica oscilación de la secuencia Collatz. 7 4.3. Atractores compartidos Definición 4.1 (Atractores del sistema dual).Se denominan atractores a los términos situados en la diagonal principal de los triángulos T(b)y a los términos de cierre (fila inferior) de los triángulos T(a). En ambos casos, el atractor es el último término del tramo actual y, además, el valor que determina cuál será el primer término del próximo tramo cuando se le aplica la regla de la Collatz simplificada. Así: si el atractor procede de un triángulo T(b)es impar, y al aplicarle (3n+ 1)/2se obtiene el primer par del siguiente tramo; si el atractor procede de un triángulo T(a)es par (par adherido), y al dividirlo entre 2 sucesivamente se obtiene el tramo par siguiente. De este modo, los atractores no sólo cierran tramos, sino que encadenan tramos: cada uno es el punto en el que la trayectoria cambia de familia y sigue su recorrido en el triángulo correspondiente. 4.4. Estructura determinista y completitud Cada familia por separado representa una mitad del sistema dinámico: T(a)describe los tramos impares y los pares adheridos, mientras que T(b)contiene los tramos pares autónomos y sus cierres impares. Al unirse, las dos familias construyen una red determinista sin huecos, en la que cada paso de la secuencia —ya sea multiplicativo o divisorio— corresponde a un desplazamiento concreto dentro o entre triángulos. La estructura dual es, por tanto, una geometría completa de Collatz simplificada. 4.5. Observación sobre completitud y estructura aritmética Aunque en las secciones anteriores se ha descrito sobre todo la dimensión geométrica (filas, columnas y diagonales), el sistema dual tiene además dos propiedades importantes: 1. Completitud por unión: no es cada triángulo individual el que contiene todos los naturales, sino la unión de las dos familias {T(a)}∪{T(b)}la que permite localizar cualquier término de la secuencia de Collatz simplificada en alguna posición (n, k). 2. Estructura modular: la forma explícita Tb(n, k)=2n−k3kb, Ta(n, k)=2n−k(3ka+ 1) −1 induce patrones periódicos en módulo 9y en las raíces digitales (especialmente en las primeras columnas), que pueden utilizarse para clasificar los tramos según su crecimiento. La unicidad de representación queda garantizada por la familia impar T(a)y la convergencia interna por ambas familias, tal como se ha mostrado en esta sección. La inexistencia de ciclos no triviales sigue de la monotonicidad de la transformación impar y se recoge en la Subsección 4.6, donde se muestra que, dentro del modelo representacional construido, el único ciclo posible es 1↔2. 8 4.6. Sobre la inexistencia de ciclos no triviales En la dinámica de Collatz simplificada que estamos representando, las transformaciones son n7→    3n+ 1 2, n impar, n 2, n par. Obsérvese que, si nes impar y n > 1, entonces 3n+ 1 2>2n 2=n, es decir, todo paso impar distinto de n= 1 produce un valor mayor que el anterior. Por tanto, ningún número impar n>1puede volver más tarde al mismo valor mediante otro paso impar, porque los pasos impares son estrictamente crecientes. Por otro lado, los pasos pares son estrictamente decrecientes: npar 7−→ n 2< n, y se repiten hasta alcanzar un impar. Esto es exactamente lo que representan las columnas de los triángulos T(b): tramos pares finitos que siempre terminan en un impar. La única excepción es el caso n= 1: 17→ 3·1 + 1 2= 2 y27→ 1, que forma el ciclo trivial 1↔2. Como todos los demás impares crecen y todos los pares descienden hasta un impar, no es posible formar un ciclo cerrado distinto de éste dentro de la estructura dual representada por T(a)∪T(b). En particular, los tramos que se enlazan con la columna 1de T(1) (esto es, con el impar 3y sus duplicaciones) también abandonan el tramo par y pasan a la fase impar con un valor mayor, por lo que no pueden regresar al punto de partida. 4.7. Convergencia hacia la columna 1de T(1) La representación geométrica mediante las familias T(a)yT(b)muestra que las cadenas de tramos obtenidas al enlazar cierres impares y pares acaban circulando por la zona correspondiente al triángulo T(1), y en particular por su primera columna, donde se encuentra el ciclo trivial 1↔2. En los ejemplos construidos (como la trayectoria iniciada en 15) se observa que, tras alternar varios triángulos de una y otra familia, la secuencia entra en el tramo par 8→4→2→1, que es el representado en la columna 1de T(1). Observación 4.1. Este comportamiento puede describirse como una convergencia global hacia la región de T(1), entendida en sentido geométrico: los tramos enlazados por sus atractores terminan alcanzando el triángulo generado por b= 1, donde la dinámica queda estabilizada en el ciclo 1↔2. No se ofrece aquí una demostración completa de este hecho; se recoge como conclusión empírica derivada de la estructura dual propuesta. 4.8. Descenso de cierres impares tipo II Los cierres impares de tipo II (w≡1 (m´od 4)) son los valores que finalizan las filas de los triángulos T(a)y originan los tramos siguientes. El comportamiento de estos cierres puede formalizarse mediante el siguiente resultado. 9 Referencias [1] L. Collatz, “Über eine Aufgabe der Zahlentheorie,” Sitzungsberichte der Hamburgischen Akademie der Wissenschaften, 1937. [2] J. C. Lagarias, “The 3x+1 problem and its generalizations,” American Mathematical Monthly, vol. 92, pp. 3–23, 1985. [3] J. C. Lagarias (ed.), The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem. American Mathematical Society, Providence, 2010. [4] J. C. Lagarias, “The set of rational cycles for the 3x+1 problem,” Acta Arithmetica, vol. 70, no. 3, pp. 199–206, 1994. [5] R. Terras, “A stopping time problem on the positive integers,” Acta Arithmetica, vol. 30, pp. 241–252, 1976. [6] S. Crandall, “On the 3x+1 problem,” Mathematics of Computation, vol. 32, pp. 1281–1292, 1978. [7] T. Oliveira e Silva, S. Steiner, and M. Trojovský, “Empirical verification of the 3x+1 and related conjectures up to 268,” Mathematics of Computation, vol. 68, pp. 941–950, 2019. [8] M. Cerdá, “Estructura geométrica dual de la dinámica de Collatz simplificada,” Zenodo, 2025. DOI: pendiente. 16