Lema de densidad 2-ádica en la trayectoria impar de Collatz

Lema de densidad 2-ádica en la trayectoria impar de Collatz Miguel Cerdá Bennassar Noviembre de 2025 Resumen Resumen. En este trabajo se describe la parte impar–par de la función clásica de Collatz a partir de su valoración 2-ádica. Primero se demuestra que los impares cuyo 3n+ 1 tiene valoración exacta ν2(3n+ 1) = rforman una progresión aritmética que, al restringirse al conjunto de los impares, aparece con densidad 1/2r−1. Esto explica el patrón de huecos crecientes que se observa en la representación gráfica de las trayectorias (Figura 1). A continuación se aprovecha ese mismo dato 2-ádico para introducir el nodo de cierre par A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, que es el último par antes de volver a un impar, y se agrupan todos los impares que producen el mismo Aen familias 4-ádicas FA. Se prueba que los únicos nodos de cierre par posibles son los de la forma A≡2,10 (m´od 12) y que, bajo la dinámica reducida T(A) = A/2, todas las familias distintas de F2conducen inmediatamente a un impar de F2={1,5,21,85, . . .}. De este modo, en la estructura reducida por familias el ciclo 4→2→1es único y actúa como atractor global. Palabras clave: conjetura de Collatz, dinámica 2-ádica, familias 4-ádicas, densidad modular, nodo de cierre par, ciclo 4–2–1. Abstract This paper describes the odd–even part of the classical Collatz function from a 2-adic perspective. First, it is shown that the odd integers satisfying ν2(3n+ 1) = rform an arithmetic progression that, when restricted to the odd integers, appears with density 1/2r−1. This explains the pattern of increasing gaps observed in the graphical representation of the trajectories (Figure 1). The same 2-adic information is then used to introduce the even closure node A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, which represents the last even number before returning to an odd value. All odd numbers that produce the same Aare grouped into 4-adic families FA. It is proved that the only possible even closure nodes satisfy A≡2,10 (mod 12), and that under the reduced dynamics T(A) = A/2, every family distinct from F2leads immediately to an odd number belonging to F2={1,5,21,85, . . .}. Hence, in the reduced family structure, the cycle 4→2→1is unique and acts as a global attractor. Keywords: Collatz conjecture, 2-adic dynamics, 4-adic families, modular density, even closure node, 4–2–1cycle. 1 1. Introducción La Figura 1muestra una representación visual de la trayectoria de los números impares bajo la función clásica de Collatz, elaborada por el propio autor. Cada fila contiene los valores sucesivos que aparecen en la parte par de la trayectoria, es decir, los términos de la forma 3n+ 1,3n+ 1 2,3n+ 1 22, . . . , 3n+ 1 2r−1, hasta alcanzar el último número par antes de volver a un impar. El patrón de huecos visibles en la tabla refleja una estructura de densidades decrecientes gobernada por la potencia de dos que divide a 3n+ 1. Figura 1: Trayectoria de los números impares nhasta el último par en la función de Collatz clásica. Cada fila representa los valores pares obtenidos sucesivamente en 3n+ 1,(3n+ 1)/2, (3n+ 1)/22, etc. 2. Lema de densidad 2-ádica Lema 2.1 (Densidad 2-ádica decreciente).Sea mun número impar y sea r=ν2(3m+ 1) el exponente de la mayor potencia de 2que divide a 3m+ 1. Entonces los impares mque verifican ν2(3m+ 1) = rconstituyen una progresión aritmética de módulo 2r+1, y su densidad dentro del conjunto de los impares es δr=1 2r−1. Justificación de la densidad. La congruencia 3m+ 1 ≡0 (mod 2r)tiene una única solución m≡a(mod 2r)porque gcd(3,2r)=1. Esto describe a los enteros mtales que ν2(3m+ 1) ≥r. Para aislar los que satisfacen exactamente ν2(3m+ 1) = rconsideramos la congruencia módulo 2r+1. Escribiendo m=a+t2rcon t= 0,1y usando que 3a+ 1 = 2rccon cimpar, se obtiene 3m+ 1 = 2r(c+ 3t). Si t= 0, entonces c+ 3tes impar y por tanto ν2(3m+ 1) = r. Si t= 1, entonces c+ 3 es par y, en consecuencia, ν2(3m+ 1) ≥r+ 1. Por tanto, los mcon ν2(3m+ 1) = rforman exactamente una clase módulo 2r+1. Como dentro de los enteros la densidad de una clase módulo 2r+1 es 1/2r+1, y la densidad de los impares es 1/2, la densidad relativa dentro de los impares es 1/2r+1 1/2=1 2r−1. Corolario 2.2 (Separación entre apariciones sucesivas).Sea drla distancia entre dos números impares consecutivos que verifican ν2(3m+ 1) = r. Entonces dr= 2r−1−1. 2 Proof. Del Lema anterior se deduce que los impares que cumplen la condición forman una progresión aritmética con paso 2r. Dado que entre los impares sólo hay la mitad de los enteros, la distancia efectiva entre términos consecutivos en esa progresión dentro del conjunto de los impares es 2r−1. Por tanto, el número de huecos entre dos valores consecutivos es dr= 2r−1−1. Observación 2.1. El lema muestra que cada fila inferior de la tabla representa un subconjunto cada vez más raro de impares. Para niveles rfinitos la densidad es positiva, pero en el límite r→ ∞ se anula. Este comportamiento pone de manifiesto la estructura jerárquica y 2-ádica de la dinámica de Collatz: en cada nivel de divisibilidad por 2, la densidad de impares que lo alcanzan se reduce a la mitad, lo que en la representación gráfica se traduce en un espaciado creciente y una tabla progresivamente más vacía. 3. Reducción 4-ádica y representación comprimida de las columnas impares La Sección anterior mostró que los impares cuyo 3n+ 1 tiene valoración 2-ádica igual a r aparecen con densidad 1/2r−1dentro del conjunto de los impares. Esto explica por qué las filas inferiores de la Figura 1son cada vez más raras. En esta sección aprovechamos precisamente ese mismo dato 2-ádico para agrupar las columnas: si dos impares producen, tras agotar las divisiones por 2, el mismo último par A, entonces pertenecen a una misma familia 4-ádica. De este modo, la información de densidad (vertical) se traduce en una organización por familias (horizontal), sobre la que puede estudiarse la convergencia hacia la familia (2). Sea nun número impar y sea A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1 el último número par de su trayectoria impar de Collatz, es decir, el par que aparece justo antes de volver a un impar. Obsérvese que si escribimos 3n+ 1 = 2r·q(qimpar), entonces A= 2q, de modo que A/2 = qes precisamente el impar siguiente. En particular, todo último par visible es de la forma A≡2 (mod 4), y más concretamente se tiene A≡2o10 (mod 12). A partir de este Apodemos describir toda la familia de impares que producen exactamente ese mismo último par. La condición general que deben satisfacer es 3m+1=A·2scon s≥0, porque al dividir 3m+ 1 entre 2s−1obtenemos 3m+ 1 2s−1=A, que es justo la definición de último par. Para que msea entero necesitamos que A·2s≡1 (mod 3). Como 2≡ −1 (mod 3), esto nos da dos casos: Si A≡1 (mod 3) (esto es, A≡10 (mod 12)), entonces 2s≡1 (mod 3) y por tanto sdebe ser par. Escribiendo s= 2kobtenemos m=A·22k−1 3=A·4k−1 3, k = 0,1,2, . . . 3 Si A≡2 (mod 3) (esto es, A≡2 (mod 12)), entonces A·2s≡1 (mod 3) exige que ssea impar. Escribiendo s= 2k+ 1 obtenemos m=A·22k+1 −1 3=2A·4k−1 3, k = 0,1,2, . . . Esto nos lleva a la siguiente definición. Definición 3.1 (Familia asociada a un último par).Sea Aun último par visible de la trayectoria impar de Collatz, con A≡2,10 (mod 12). Definimos la familia asociada a Acomo FA=         A·4k−1 3:k≥0,si A≡10 (mod 12), 2A·4k−1 3:k≥0,si A≡2 (mod 12). Todos los elementos de FAgeneran la misma cola par y, por tanto, la misma columna en la Figura 1. La dinámica de Collatz puede representarse entonces de forma comprimida sobre los últimos pares: a cada A(par) le hacemos el paso siguiente de Collatz, que es A7→ A/2, y ese impar A/2 pertenece a alguna otra familia FB. Esto da lugar al grafo dirigido de la Figura 2, en el que se han dibujado algunas de las familias más bajas: por ejemplo, F10 ={3,13,53,213, . . . },F14 ={9,37,149,...},F22 ={7,29,117,...}. Todas ellas apuntan a la familia F2={1,5,21,85, . . . }. Proposición 3.1 (Unicidad del ciclo 4,2,1en la estructura reducida por familias).Considérese el grafo dirigido Gcuyos nodos son las familias FAdefinidas antes a partir del último par A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, y donde trazamos una arista FA−→ FB si, tras aplicar a un impar de FAel paso 3x+ 1 y agotar las divisiones por 2hasta el último par, el impar obtenido pertenece a FB. Entonces, en este grafo Gla única familia que admite un autoenlace FA−→ FA es la familia F2={1,5,21,85, . . .}, correspondiente al ciclo clásico 4→2→1. En particular, no existen ciclos dirigidos en Gformados por familias distintas. Proof. Si A= 2, el paso siguiente es 27→ 1, y 1pertenece justamente a la misma familia F2, por lo que se obtiene el autoenlace F2→ F2y el ciclo 4→2→1. Si A>2, como Aes el último par, se tiene que A= 2qcon qimpar, y el paso siguiente es A7→ q. Pero qno pertenece a la familia FA, sino a otra familia determinada por ese impar. Por tanto, desde FAse sale siempre hacia otra familia distinta. Eso impide la existencia de ciclos formados por varias familias. Como consecuencia directa del resultado anterior, se deduce que el único nodo cíclico de la estructura reducida actúa también como punto de atracción para todas las demás familias. Este hecho puede formularse del modo siguiente. 4 Proposición 3.2 (Clases modulares de los últimos pares y convergencia a F2).Sea Ael último número par de una trayectoria impar de Collatz, es decir A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1. Entonces necesariamente A≡2o10 (mod 12). Además, en ambos casos la aplicación reducida T(A) = A/2produce, en un solo paso, un impar que pertenece a la familia F2={1,5,21,85, . . .}. Proof. Si nes impar, 3n+ 1 es par y, al reducirlo módulo 12, sólo pueden aparecer los residuos 3n+ 1 ≡4o10 (mod 12), porque los impares módulo 12 son 1,3,5,7,9,11 y3n+ 1 toma los valores 4,10,4,10,4,10 respectivamente. En ambos casos el último par visible es de la forma A=3n+ 1 2r−1≡2o10 (mod 12). Si A≡2 (mod 12), el siguiente impar tras dividir entre 2 es A/2≡1 (mod 6), y si A≡10 (mod 12), entonces A/2≡5 (mod 6). En ambos casos el impar resultante pertenece a la secuencia {1,5,21,85, . . . }que caracteriza la familia F2. Por tanto, toda familia FAcon A>2termina, tras un número finito de iteraciones de la regla reducida, en F2. Corolario 3.1 (Atractor único de la estructura reducida por familias).En la estructura reducida por familias FAdefinida a partir del último par visible de la función de Collatz, el ciclo 4→2→1constituye el único bucle cerrado y actúa como atractor global. Todas las familias FA con A>2forman un conjunto numerablemente infinito de nodos que convergen hacia la familia F2, única que se autoconecta. 2 10 14 22 FA . . . F2: (1,5,21,85, . . .) F10 : (3,13,53,213, . . .) F14 : (9,37,149, . . .) F22 : (7,29,117, . . .) Familias restantes (A≡2,10(mod 12)) Figura 2: Estructura reducida por familias 4-ádicas. Todas las familias FAcon A≡2,10 (mod 12) convergen en la familia F2, única con autoenlace. 5 Comentario (Nota final).La estructura reducida por familias 4-ádicas proporciona una visión compacta de la dinámica impar–par de Collatz. Su organización jerárquica y el papel central de la familia (2) revelan un sistema cuya estructura modular es completamente determinada, donde cada trayectoria individual encuentra su reflejo en una única ruta de convergencia. Esta correspondencia entre nivel aritmético y estructura funcional sintetiza la lógica interna del proceso iterativo. Conclusión El presente estudio no aborda la conjetura de Collatz en su totalidad, pero aporta un marco estructural alternativo para describir su dinámica impar–par. A partir del lema de densidad 2-ádica se obtiene una jerarquía vertical de niveles de divisibilidad, mientras que la reducción 4-ádica organiza las trayectorias en familias horizontales definidas por su nodo de cierre par. Ambas perspectivas convergen en una representación compacta donde todas las familias se reducen al atractor F2, correspondiente al ciclo 4→2→1. Este enfoque revela la naturaleza 2-ádica y modular de Collatz y ofrece una vía analítica para reinterpretar su comportamiento global desde una estructura finita y determinista. 6