Funciones Reales de Una Variable: Calculo Diferencial

Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia, Universidad de Alcalá DOI:10.5281/zenodo.17566684 9 de noviembre de 2025 Índice 1. Revisión de conceptos básicos 2 1.1. Los números reales como campo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Funciones elementales y transformaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Límites ................................................ 3 1.5. Continuidad.............................................. 4 1.6. Asíntotas y comportamiento asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Derivadas: interpretación y aplicaciones 5 2.1. Definición e interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Rectatangenteynormal................................... 5 2.2. Reglasdederivación ......................................... 6 3. Optimización de funciones 6 3.1. Extremoslocales ........................................... 6 3.2. Extremosglobales .......................................... 6 4. Polinomios de Taylor y Maclaurin 6 4.1. Definición............................................... 6 4.2. RestodeLagrange .......................................... 7 4.3. Ejemplos ............................................... 7 4.4. Series de Maclaurin más comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia 1. Revisión de conceptos básicos 1.1. Los números reales como campo ordenado completo Definición 1.1 (Axiomas básicos).El conjunto de los números reales Res un campo ordenado completo. Esto significa: 1. (Axiomas de campo) En Restán definidas dos operaciones +y·que satisfacen asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de elementos neutros 0y1, e inversos aditivo y multiplicativo (para x= 0). 2. (Axiomas de orden) Existe un orden total ≤compatible con las operaciones: si a≤bentonces a+c≤b+c; y si 0≤ay0≤bentonces 0≤ab. 3. (Completitud) Todo subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo (mínima cota superior). Equivalente: no hay “huecos” en R. Definición 1.2 (Intervalos, valor absoluto).Para a<b, denotamos (a, b) = {x∈R:a<x<b}, [a, b] = {x∈R:a≤x≤b}, etc. El valor absoluto |x|es la distancia de xa0y cumple: |x| ≥ 0,|xy|=|x||y|, |x+y| ≤ |x|+|y|. 1.2. Funciones reales de variable real Definición 1.3 (Función, dominio, codominio e imagen).Una función es una aplicación f:D→Cque asocia a cada x∈Dun único y∈C, que denotamos y=f(x). Aquí Des el dominio yCel codominio. La imagen es Im(f) = {f(x) : x∈D} ⊆ C. Definición 1.4 (Inyectividad, suprayectividad, biyectividad).fes inyectiva si f(x1) = f(x2)⇒x1=x2; suprayectiva si Im(f) = C;biyectiva si es ambas. Definición 1.5 (Operaciones y composición).Dados f, g :D→R: (f+g)(x) = f(x) + g(x),(fg)(x) = f(x)g(x),f g(x) = f(x) g(x)(g= 0). Si f:D→Eyg:E→R, la composición es (g◦f)(x) = g(f(x)). Definición 1.6 (Monotonía, acotación, simetrías).Sea I⊆Run intervalo. fes creciente en Isi x1< x2⇒ f(x1)≤f(x2)(estrictamente creciente con <). Es acotada superiormente si ∃Mtal que f(x)≤Men I. Es par si f(−x) = f(x)yimpar si f(−x) = −f(x)(cuando el dominio es simétrico). Ejemplo 1.7 (Dominio e imagen con varias restricciones).Sea f(x) = √2x−1 x2−1+ ln(x−3). Dominio: 1. √2x−1requiere 2x−1≥0⇒x≥1 2. 2. x2−1= 0 ⇒x=±1. 3. ln(x−3) requiere x−3>0⇒x > 3. La intersección es x > 3, que ya excluye ±1y satisface x≥1 2. Por tanto, Dom(f) = (3,∞). Imagen: sí sabemos que ln(x−3) → ∞ cuando x→ ∞, y el cociente con raíz se hace pequeño; así, Im(f) es no acotada superiormente. Ejemplo 1.8 (Imagen por completación de cuadrados).Sea g(x) = x2+ 2x+ 5 = (x+ 1)2+ 4. Como (x+ 1)2≥0, se tiene g(x)≥4yg(−1) = 4. Luego Im(g) = [4,∞), con Dom(g) = R. Ejemplo 1.9 (Inversa de una función estrictamente monótona).Sea h(x) = e2x+1. Es estrictamente creciente y biyectiva de Ren (0,∞). Su inversa sobre (0,∞)es y=h(x)⇐⇒ ln y= 2x+ 1 ⇐⇒ x=ln y−1 2=h−1(y). 2 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia 1.3. Funciones elementales y transformaciones gráficas Definición 1.10. Clases básicas: Polinómicas: p(x) = anxn+···+a0(Dom = R). Racionales: r(x) = p(x) q(x)(Dom = R−{q= 0}). Potencias y raíces: xα(conveniente restringir Dom si αno entero). Exponenciales: ax(a > 0,a= 1); Logarítmicas: logax(x > 0). Trigonométricas: sin,cos,tan, . . .; Hiperbólicas: sinh,cosh, . . . Observación 1.11 (Transformaciones).Si y=f(x), entonces: y=f(x−c)desplaza ca la derecha; y=f(x) + kdesplaza khacia arriba. y=af(x)estira verticalmente; y=f(bx)comprime horizontalmente si b > 1. y=−f(x)simetría respecto de Ox; y=f(−x)simetría respecto de Oy. −3−2−1 0 1 2 3 0 2 4 6 8 Transformaciones de y=x2 y=x2 y= (x−1)2+ 2 y= 2x2 1.4. Límites Definición 1.12 (Límite ε–δ).Decimos que l´ımx→af(x) = Lsi para todo ε > 0existe δ > 0tal que 0<|x−a|< δ ⇒ |f(x)−L|< ε. Definición 1.13 (Límites laterales e infinitos).l´ımx→a−f(x)(por la izquierda) y l´ımx→a+f(x)(por la derecha). Hablamos de límite infinito si f(x)crece sin cota: l´ımx→af(x) = ∞. Proposición 1.14 (Álgebra de límites).Si l´ımx→af(x) = Lyl´ımx→ag(x) = M, entonces l´ım(f±g) = L±M, l´ım(fg) = LM, l´ım f g=L M(M= 0). Teorema 1.15 (Teorema del sándwich).Si h(x)≤f(x)≤k(x)yl´ımx→ah(x) = l´ımx→ak(x) = L, entonces l´ımx→af(x) = L. Ejemplo 1.16. Cálculo de límites: 3 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia 1. Factorización: l´ım x→2 x2−4 x−2= l´ım x→2 (x−2)(x+ 1) x−2= l´ım x→2(x+ 1) = 3. 2. Racionalización: l´ım x→0 √x+ 1 −1 x= l´ım x→0 (√x+ 1 −1)(√x+ 1 + 1) x(√x+ 1 + 1) = l´ım x→0 x x(√x+ 1 + 1) =1 2. 3. Sándwich: como −1≤sin(1/x)≤1, entonces −|x| ≤ xsin(1/x)≤ |x|, y l´ımx→0xsin(1/x)=0. 4. Límite notable: l´ım x→0 sin x x= 1. 1.5. Continuidad Definición 1.17 (Continuidad en un punto).fes continua en asi existe l´ımx→af(x)y coincide con f(a). Proposición 1.18 (Cierre por operaciones).Si fygson continuas en a, entonces f±g,fg yf/g (si g(a)= 0) son continuas en a. Si fes continua en ayges continua en f(a), entonces g◦fes continua en a. Definición 1.19. Tipos de discontinuidad: Removible: existe l´ımx→af(x)pero f(a)es distinto o no está definido. De salto: existen límites laterales finitos pero distintos. Infinita: alguno de los límites laterales es ±∞. Ejemplo 1.20 (Ajuste de un parámetro para continuidad).Sea f(x) =    x2−4 x−2, x = 2, a, x = 2. Como x2−4 x−2=x+ 2 para x= 2, entonces l´ımx→2f(x) = 4. Para que fsea continua en x= 2, debe ser a= 4. Teorema 1.21 (Valor intermedio (Bolzano)).Si fes continua en [a, b]yyestá entre f(a)yf(b), existe c∈(a, b)tal que f(c) = y. En particular, si f(a)f(b)<0, existe ccon f(c)=0. Teorema 1.22 (Weierstrass).Si fes continua en [a, b], entonces alcanza su máximo y su mínimo absolutos en [a, b]. 1.6. Asíntotas y comportamiento asintótico Definición 1.23. Asíntotas: Vertical:x=asi l´ımx→a±f(x) = ±∞. Horizontal:y=Lsi l´ımx→±∞ f(x) = L. Oblicua:y=mx +nsi l´ımx→∞ f(x)−(mx +n)= 0. Ejemplo 1.24 (Cociente racional con asíntota oblicua).Sea f(x) = 2x2+ 1 x−1. División de polinomios: 2x2+ 1 x−1= 2x+2+ 3 x−1. Así, x= 1 es asíntota vertical, y y= 2x+ 2 es asíntota oblicua porque 3 x−1→0cuando |x|→∞. 4 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia −4−2 0 2 4 −10 −5 0 5 10 f(x) = 2x2+ 1 x−1 2. Derivadas: interpretación y aplicaciones 2.1. Definición e interpretación geométrica La derivada de una función en un punto es la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. Se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto. f′(a) = l´ım h→0 f(a+h)−f(a) h.(1) 2.1.1. Recta tangente y normal La recta tangente en (a, f(a)) tiene ecuación: y=f′(a)(x−a) + f(a). La recta normal es perpendicular a la tangente: y=−1 f′(a)(x−a) + f(a). Ejemplo 2.1 (Tangente y normal para f(x) = x2en x= 1).f′(x)=2x, así que f′(1) = 2. Recta tangente: y= 2(x−1) + 1. Recta normal: y=−1 2(x−1) + 1. 5 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia −2−1 0 1 2 −1 0 1 2 3 y=x2, tangente y normal en x= 1 y=x2 tangente normal 2.2. Reglas de derivación Producto: (fg)′=f′g+fg′. Cociente: f g′=f′g−fg′ g2. Cadena: (g◦f)′(x) = g′(f(x)) ·f′(x). Ejemplo 2.2 (Regla del producto).Si f(x) = x2,g(x) = sin x, entonces (fg)′= 2xsin x+x2cos x. 3. Optimización de funciones 3.1. Extremos locales Un punto crítico cumple f′(x)=0of′no existe. Prueba de la segunda derivada: Si f′′(x)>0, mínimo local. Si f′′(x)<0, máximo local. Ejemplo 3.1 (Máximos y mínimos).f(x) = x3−3x2+ 2.f′(x) = 3x2−6x= 3x(x−2), puntos críticos: x= 0,x= 2.f′′(x) = 6x−6.f′′(0) = −6(máximo local), f′′(2) = 6 (mínimo local). 3.2. Extremos globales Se comparan extremos locales y valores en los extremos del dominio. 4. Polinomios de Taylor y Maclaurin 4.1. Definición Para fderivable hasta orden nen torno a a: Tn(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f′′(a) 2! (x−a)2+···+f(n)(a) n!(x−a)n. Caso a= 0: Maclaurin. 6 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Diferencial A. Calabia 4.2. Resto de Lagrange Rn(x) = f(n+1)(ξ) (n+ 1)! (x−a)n+1, ξ ∈(a, x). Observación 4.1. Si |f(n+1)(t)| ≤ M, entonces |Rn(x)| ≤ M|x−a|n+1 (n+ 1)! . 4.3. Ejemplos Ejemplo 4.2 (Maclaurin para ex).f(k)(x) = ex,f(k)(0) = 1.T4(x) = 1 + x+x2 2+x3 6+x4 24 . Para x= 0.5: T4(0.5) ≈1.6484,e0.5≈1.6487. Error: |R4(0.5)| ≤ e0.5(0.5)5 5! ≈0.00043. Ejemplo 4.3 (Taylor para sin xen a=π/4).f(x) = sin x, derivadas alternan entre sin ycos. En a=π/4: sin(π/4) = cos(π/4) = √2 2.T3(x) = √2 2+√2 2(x−π 4)−√2 4(x−π 4)2−√2 12 (x−π 4)3. Ejemplo 4.4 (Estimación del error).Para sin xen [0, π/4],|f(4)(x)| ≤ 1. Si usamos orden 3: |R3(x)| ≤ |x−π/4|4 4! . 4.4. Series de Maclaurin más comunes ex=∞ X n=0 xn n!. sin x=∞ X n=0 (−1)nx2n+1 (2n+ 1)!. cos x=∞ X n=0 (−1)nx2n (2n)!. ln(1 + x) = ∞ X n=1 (−1)n+1 xn n,|x|<1. −2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 exvs T4(x) ex T4(x) 7