Funciones Reales de Una Variable: Calculo Integral

Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia, Universidad de Alcalá DOI:10.5281/zenodo.17575007 10 de noviembre de 2025 Índice 1. Definición y Teoremas del Cálculo Integral 2 1.1. Definiciónformaldeintegral..................................... 2 1.2. Teoremasfundamentales....................................... 2 2. Métodos de integración 3 2.1. Integraciónporsustitución ..................................... 3 2.2. Integraciónporpartes ........................................ 3 2.3. Integración de funciones racionales por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.1. Grado P(x) ≥grado Q(x) (caso impropio): división polinómica . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.2. Grado P(x) <gradoQ(x)(casopropio) .......................... 5 3. Integrales definidas e impropias 7 3.1. Definicióngeneral........................................... 7 3.2. Propiedadesbásicas ......................................... 7 3.3. Integralesimpropias ......................................... 7 4. Aplicaciones de la integración 8 4.1. Cálculodeáreas ........................................... 8 4.2. Volúmenesderevolución....................................... 8 4.3. Áreadesuperficiederevolución................................... 8 4.4. Longituddearcodeunacurva ................................... 9 1 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia 1. Definición y Teoremas del Cálculo Integral 1.1. Definición formal de integral Definición 1.1 (Integral definida).Sea f: [a, b]→Runa función acotada. La integral definida de fen [a, b] se define como el límite de las sumas de Riemann: Zb a f(x)dx = l´ım n→∞ n X i=1 f(x∗ i)∆xi, cuando el límite existe. Representa el área bajo la curva y=f(x)entre x=ayx=b. El símbolo x∗ iindica que el punto se elige de manera arbitraria dentro del subintervalo [a+ (i−1)∆x, a +i∆x]. Observación 1.2. Si fes continua en [a, b], entonces es integrable (Teorema de Riemann). Ejemplo 1.3. Área bajo f(x)=x2en [0,1] Z1 0 x2dx =x3 3 1 0 =1 3. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Área bajo y=x2en [0,1] 1.2. Teoremas fundamentales Teorema 1.4 (Teorema Fundamental del Cálculo).Si fes continua en [a, b]yFes una antiderivada de f, entonces: Zb a f(x)dx =F(b)−F(a). Ejemplo 1.5. f(x) = x2,F(x) = x3 3: Z1 0 x2dx =13 3−03 3=1 3. Teorema 1.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales).Si fes continua en [a, b], existe c∈(a, b)tal que: f(c) = 1 b−aZb a f(x)dx. Ejemplo 1.7. Para f(x)=x2en [0,1]:Z1 0 x2dx =1 3, así que c2=1 3⇒c≈0.577. 2 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia 2. Métodos de integración 2.1. Integración por sustitución Definición 2.1 (Cambio de variable).Sea funa función continua y u=g(x)una función derivable. Si g′(x)aparece como factor en la integral, se puede hacer el cambio de variable: Zf(g(x))g′(x)dx =Zf(u)du. Observación 2.2. La sustitución es útil cuando la derivada de una parte del integrando aparece como factor multiplicativo. Es el análogo de la regla de la cadena en derivación. Ejemplo 2.3 (Sustitución directa).Calcule Z2xex2dx. Sea u=x2⇒du = 2x dx. Entonces: Z2xex2dx =Zeudu =eu+C=ex2+C. Ejemplo 2.4 (Sustitución trigonométrica).Calcule Zdx √1−x2. Sea x= sin θ⇒dx = cos θ dθ. Entonces: Zdx √1−x2=Zcos θ dθ p1−sin2θ =Zdθ =θ+C= arcsin x+C. Ejemplo 2.5 (Sustitución racional).Calcule Zx x2+ 1 dx. Sea u=x2+ 1 ⇒du = 2x dx ⇒1 2du =x dx. Entonces: Zx x2+ 1 dx =1 2Zdu u=1 2ln |u|+C=1 2ln(x2+ 1) + C. 2.2. Integración por partes Definición 2.6 (Fórmula de integración por partes).Si u=u(x)yv=v(x)son funciones derivables, entonces: Zu dv =uv −Zv du. Observación 2.7. Es útil cuando el integrando es producto de funciones, especialmente cuando una se simplifica al derivar y la otra se mantiene integrable. Ejemplo 2.8 (Polinomio por exponencial).Calcule Zxexdx. Sea u=x⇒du =dx,dv =exdx ⇒v=ex. Entonces: Zxexdx =xex−Zexdx =xex−ex+C. Ejemplo 2.9 (Logaritmo).Calcule Zln x dx. Sea u= ln x⇒du =1 xdx,dv =dx ⇒v=x. Entonces: Zln x dx =xln x−Zx·1 xdx =xln x−Z1dx =xln x−x+C. 3 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia Ejemplo 2.10 (Trigonométrica por polinomio).Calcule Zxcos x dx. Sea u=x⇒du =dx,dv = cos x dx ⇒v= sin x. Entonces: Zxcos x dx =xsin x−Zsin x dx =xsin x+ cos x+C. Observación 2.11 (Técnica de partes repetidas).Cuando el integrando es un producto de un polinomio y una función que no se simplifica al integrar (como sin x,ex), se puede aplicar la fórmula varias veces. Ejemplo: Zx2exdx requiere dos aplicaciones sucesivas. Ejemplo 2.12 (Partes repetidas).Calcule Zx2exdx. Primera parte: u=x2,dv =exdx. Zx2exdx =x2ex−Z2xexdx. Segunda parte: u= 2x,dv =exdx. Z2xexdx = 2xex−Z2exdx = 2xex−2ex. Resultado final: Zx2exdx =x2ex−(2xex−2ex)=x2ex−2xex+ 2ex+C. 2.3. Integración de funciones racionales por fracciones parciales Observación 2.13 (Estrategia general).Para integrar R(x) = P(x) Q(x): 1. (Reducción a propia) Si grado P ≥grado Q, realiza la división de polinomios:R(x) = S(x)+ R1(x) Q(x) con deg R1<deg Q. 2. (Factorización real de Q)Escribe Q(x)como producto de factores lineales reales (x−a)(posible multiplicidad) y factores cuadráticos irreducibles reales (x2+px +qcon p2−4q < 0). 3. (Descomposición de fracciones y Cálculo de coeficientes) Cálculo de coeficientes igualando numeradores (método de coeficientes indeterminados) o usando atajos (método de Heaviside para raíces simples). Para cada factor lineal (x−a)de multiplicidad mcon m X k=1 Ak (x−a)k. Para cada factor cuadrático irreducible x2+px +qde multiplicidad mcon m X k=1 Bkx+Ck (x2+px +q)k. 4. (Integración) Usa Zdx x−a= ln |x−a|+C,Zdx (x−a)m=−1 (m−1)(x−a)m−1para m≥2, y para cuadráticos irreducibles combina logaritmos yarctangente tras completar cuadrados. 2.3.1. Grado P(x) ≥grado Q(x) (caso impropio): división polinómica Ejemplo 2.14 (División previa y luego fracciones parciales).Integre Z2x3−3x+ 5 x2−1dx. 4 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia Paso 1 (división): 2x3−3x+ 5 x2−1= 2x+−x+ 5 x2−1. Paso 2 (descomposición de la parte propia): −x+ 5 x2−1=−x+ 5 (x−1)(x+ 1) =A x−1+B x+ 1. Igualando numeradores: −x+5=A(x+ 1) + B(x−1) = (A+B)x+ (A−B). Así, A+B=−1yA−B= 5 ⇒A= 2, B =−3. Resultado: Z2x3−3x+ 5 x2−1dx =Z2x dx +Z2 x−1−3 x+ 1dx =x2+ 2 ln |x−1|−3ln|x+ 1|+C. 2.3.2. Grado P(x) <grado Q(x) (caso propio) Raíces reales simples en el denominador Si Q(x) = Qn j=1(x−aj)con ai=aj, entonces P(x) Q(x)= n X j=1 Aj x−aj , Aj= l´ım x→aj (x−aj)P(x) Q(x)(método de Heaviside). Ejemplo 2.15 (Raíces simples reales).Integre Z2x+ 3 x2−1dx. Como x2−1=(x−1)(x+ 1) y las raíces son simples, 2x+ 3 (x−1)(x+ 1) =A x−1+B x+ 1. Heaviside: A=2x+ 3 x+ 1 x=1 =5 2, B =2x+ 3 x−1x=−1 =−1 2. Entonces Z2x+ 3 x2−1dx =5 2ln |x−1|− 1 2ln |x+ 1|+C. Raíces reales repetidas (multiplicidad >1). Si (x−a)aparece con multiplicidad m≥2, se usa P(x) (x−a)m·R(x)= m X k=1 Ak (x−a)k+(términos por otros factores). La integración produce términos de tipo ln |x−a|(sólo para k= 1) y potencias negativas para k≥2. Ejemplo 2.16 (Factor lineal doble).Integre Z1 x(x−1)2dx. Descomposición: 1 x(x−1)2=A x+B x−1+C (x−1)2. Igualando numeradores: 1=A(x−1)2+B x(x−1) + C x. Expandiendo: 1=A(x2−2x+ 1) + B(x2−x) + Cx = (A+B)x2+ (−2A−B+C)x+A. 5 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia Coeficientes:      A+B= 0, −2A−B+C= 0, A= 1.⇒A= 1, B =−1, C = 1. Integración: Z1 x(x−1)2dx =Z1 x−1 x−1+1 (x−1)2dx = ln |x|−ln |x−1|− 1 x−1+C. Ejemplo 2.17 (Factor lineal triple con numerador no trivial).Integre Z2x+ 1 (x−2)3dx (ya es propia). Proponga 2x+ 1 (x−2)3=A x−2+B (x−2)2+C (x−2)3. Multiplicando por (x−2)3: 2x+1=A(x−2)2+B(x−2)+C. Evalúa en x= 2:2·2 + 1 = C⇒C= 5. Deriva ambos lados: 2 = A·2(x−2) + B; en x= 2 se obtiene B= 2. Usa x= 1:2(1) + 1 = 3 = A(1 −2)2+B(1 −2)+C=A−2+5⇒A= 0. Resultado: Z2x+ 1 (x−2)3dx =Z2 (x−2)2+5 (x−2)3dx =−2 x−2−5 2(x−2)2+C. Raíces complejas simples (factores cuadráticos irreducibles). Si x2+px +qno factoriza en R(discriminante p2−4q < 0), P(x) (x2+px +q)·R(x)=Ax +B x2+px +q+(términos por otros factores). La integral se separa en: ZAx +B x2+px +qdx =A 2ln(x2+px +q) + ZB−Ap 2 x2+px +qdx. Completando el cuadrado x2+px +q= (x+p 2)2+q−p2 4se obtiene un término con arctan. Ejemplo 2.18 (Cuadrático irreducible).Integre Z2x+ 3 x2+ 4x+ 5 dx. Completa cuadrado: x2+ 4x+ 5 = (x+ 2)2+ 1. Observa que d dx(x2+ 4x+ 5) = 2x+ 4. Escribimos 2x+ 3 x2+ 4x+ 5 =2x+ 4 x2+ 4x+ 5 −1 x2+ 4x+ 5. Integra: Z2x+ 4 x2+ 4x+ 5 dx = ln(x2+ 4x+ 5),Zdx (x+ 2)2+ 1 = arctan(x+ 2). Resultado: Z2x+ 3 x2+ 4x+ 5 dx = ln(x2+ 4x+ 5) −arctan(x+ 2) + C. Ejemplo 2.19 (Forma general con separación sistemática).Integre Z5x+ 7 x2+ 2x+ 5 dx. Completa: x2+ 2x+ 5 = (x+ 1)2+ 4 yD′(x)=2x+ 2. 6 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia Descompón 5x+ 7 = α(2x+ 2) + β: 5x+7=α(2x+ 2) + β⇒(5=2α, 7=2α+β⇒α=5 2, β = 2. Entonces Z5x+ 7 x2+ 2x+ 5 dx =5 2Z2x+ 2 x2+ 2x+ 5 dx + 2 Zdx (x+ 1)2+ 22 =5 2ln(x2+ 2x+ 5) + 2 2arctanx+ 1 2+C=5 2ln(x2+ 2x+ 5) + arctanx+ 1 2+C. 3. Integrales definidas e impropias 3.1. Definición general Sea funa función real. La integral definida en [a, b]se interpreta como el límite de sumas de Riemann: Zb a f(x)dx = l´ım n→∞ n X i=1 f(x∗ i)∆xi,∆xi=b−a n. Si el límite existe, decimos que fes integrable en [a, b]. 3.2. Propiedades básicas Linealidad: Zb a (αf +βg)dx =αZb a f dx +βZb a g dx. Aditividad: Zc a f dx =Zb a f dx +Zc b f dx. Positividad: Si f(x)≥0en [a, b], entonces Zb a f(x)dx ≥0. Ejemplo 3.1 (Área bajo f(x) = x2). Z1 0 x2dx =x3 3 1 0 =1 3. 3.3. Integrales impropias Una integral es impropia si: 1. Algún límite de integración es infinito. 2. La función no es acotada en el intervalo. Caso con límite infinito Z∞ a f(x)dx = l´ım b→∞ Zb a f(x)dx. Ejemplo 3.2 (Convergente). Z∞ 1 1 x2dx = l´ım b→∞ −1 x b 1 = 1. 7 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia Caso con discontinuidad Si ftiene una discontinuidad en c∈(a, b): Zb a f(x)dx = l´ım ε→0+ Zc−ε a f(x)dx +Zb c+ε f(x)dx!. Ejemplo 3.3 (Divergente). Z1 −1 1 xdx no existe (diverge). Ejemplo 3.4 (Integral impropia convergente). Z∞ 0 e−xdx =−e−x ∞ 0= 1. 4. Aplicaciones de la integración 4.1. Cálculo de áreas La integral definida permite calcular el área bajo una curva y=f(x)en un intervalo [a, b], siempre que f(x)≥0en dicho intervalo: A=Zb a f(x)dx. Ejemplo 4.1. Área bajo f(x) = sin xen [0, π]: Zπ 0 sin x dx =−cos x|π 0= 2. Ejemplo 4.2 (Área entre curvas).Área entre y=x2yy=xen [0,1]: A=Z1 0 (x−x2)dx =x2 2−x3 3 1 0 =1 2−1 3=1 6. 4.2. Volúmenes de revolución Al rotar una curva y=f(x)alrededor del eje x, el volumen generado se calcula mediante el método de discos: V=πZb a [f(x)]2dx. Ejemplo 4.3 (Volumen).Calcule el volumen generado al rotar y=x2en [0,1] alrededor del eje x: V=πZ1 0 (x2)2dx =πZ1 0 x4dx =πx5 5 1 0 =π 5. 4.3. Área de superficie de revolución La superficie generada al rotar una curva y=f(x)alrededor del eje xse calcula con: S= 2πZb a f(x)p1+[f′(x)]2dx. Ejemplo 4.4. Para f(x)=x2en [0,1]: S= 2πZ1 0 x2p1 + (2x)2dx. 8 Funciones Reales de Una Variable: Cálculo Integral A. Calabia 4.4. Longitud de arco de una curva La longitud de una curva y=f(x)en el intervalo [a, b]se calcula con: L=Zb ap1+[f′(x)]2dx. Ejemplo 4.5. Queremos calcular la longitud de arco de la función y= ln(1 −x2)en el intervalo x∈1 4,3 4. Primero, derivamos la función: f(x) = ln(1 −x2)⇒f′(x) = −2x 1−x2 Aplicamos la fórmula de longitud de arco: L=Z3/4 1/4s1 + −2x 1−x22 dx =Z3/4 1/4s(1+x2)2 (1 −x2)2dx =Z3/4 1/4−1 + 2 1−x2dx = =Z3/4 1/4−1dx +Z3/4 1/4 1 1+xdx +Z3/4 1/4 1 1−xdx =−1 2+ ln 7 4−ln 5 4−ln 1 4+ ln 3 4 Este valor representa la longitud de arco exacta de la curva y= ln(1 −x2)entre x=1 4yx=3 4. 9