ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ОБЪЕМНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ

Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 136 http://nauko-sfera.ru/ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 536.2 DOI 10.5281/zenodo.17291687 Научная статья ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ОБЪЕМНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ THE PROBLEM OF NONLINEAR THERMAL CONDUCTIVITY WITH VOLUMETRIC ABSORPTION КАНАРЕЙКИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, доцент кафедры высшей математики и физики, Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ). KANAREYKIN ALEKSANDR IVANOVICH, Associate professor of the department of higher mathematics and physics, Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting. Работа посвящена моделированию тепловых процессов в нелинейных средах. В современной теории теплообмена фундаментальное значение имеют явления, которым присуща нестационарность, нелинейность и отсутствие локального равновесия. Ключевая роль принадлежит научнотехническим проблемам, связанным с быстропротекающими тепловыми процессами с высокоскоростными методами получения и термообработки материалов с конструктивными методами анализа нестационарных теплофизических систем. В различных технологических процессах физикотехнических и энергетических установках такие нелинейности обусловливают широкий спектр физических явлений. Также в работе была рассмотрена задача о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде с объемным поглощением. А также разобраны частные случаи. The paper is devoted to the modeling of thermal processes in nonlinear media. In the modern theory of heat transfer, phenomena characterized by unsteadiness, nonlinearity, and lack of local equilibrium are of fundamental importance. A key role belongs to scientific and technical problems related to fast-flowing thermal processes with high-speed methods of obtaining and heat treatment of materials with constructive methods of analysis of non-stationary thermophysical systems. In various technological processes of physico-technical and energy installations, such irregularities determine a wide range of interesting physical phenomena. The paper also considered the problem of the effect of an instantaneous concentrated heat source in a nonlinear medium with volumetric absorption. Special cases are also analyzed. Ключевые слова: тепловые процессы, нелинейная среда, моделирование, задача Коши, квазилинейное уравнение. Key words: thermal processes, nonlinear medium, modeling, Cauchy problem, quasi-linear equation. Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 137 http://nauko-sfera.ru/ оделирование тепловых процессов в нелинейных средах — это процесс, при котором учитываются нелинейные эффекты, связанные с зависимостью свойств среды от температуры и нелинейной зависимостью от температуры мощности тепловых источников. При этом нелинейности изменяют не только количественные характеристики тепловых процессов, но и качественную картину их протекания [10–15]. Для описания распространения тепловых возмущений в нелинейных средах используют квазилинейные параболические уравнения второго порядка [1–4]. Актуальность темы связана с тем, что задачи о распространении тепловых возмущений в нелинейных средах требуют специальных методов, так как нелинейности усложняют математические модели тепловых процессов [5–9]. Целью данной работы является рассмотрение решения задачи нелинейной теплопроводности с объемным поглощением. Пусть в нелинейной среде происходят эндотермические процессы, удельная мощность которых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описывается квазилинейным уравнением: du dt=a2div(uδgrad u) − puv,t>0,MϵRN (1) Здесь u(М, t) — температура; р = const > 0 — параметр поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерность пространства, в котором происходит исследуемый процесс. Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если δ< 1, а показатель степени v=1−δ. Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для N = 1, осевую для N = 2 и центральную для N = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности: {du dt=1 rN−1 d dr u(r,0)=QδN(M)(rN−1uδdu dt_)−pu1−δ,t>0,r≥0 (2) где радиальная пространственная координата r≥0 для случаев N = 2 и N = 3 и r=IxI для N = 1. Параметр а2 в уравнении мы положили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбором масштабов времени или пространственного переменного. С учетом конечной скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи (2) в виде фронтового решения: u(r,t)={A(t)(l(t)−r2)1 δ,r2<l(t) 0,r2≥l(t) (3) где A(t) и l(t) — функции, подлежащие определению. Подставив предполагаемую форму решения (3) в уравнение (2), получим: (dA dt+2δ−1A1+δ)[l(t)−r2]1 δ+(δ−1Adl dt+pA1−δ−4δ−2A1+δr2)[l(t)−−r2]1 δ=0 (4) Можно заметить, что это соотношение приводится к виду: S(t)[l(t)−r2]1 б=0 (5) М Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 138 http://nauko-sfera.ru/ если предположить, что, δ−1Adl dt+pA1−δ−4δ−2A1+δr2=4δ−2A1+δ[l(t)−r2]1 δ т.е. δ−1Adl dt+pA1−δ=4δ−2A1+δl (6) Тогда: S(t)=dA dt+2δ−2(Nδ+2)A1+δ (7) Так как условие (5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t): dA dt+2δ−2(Nδ+2)A1+δ=0 (8) Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (3) при t→0 к дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы l(t)→0 , а A(t)→∞ при t→0. Разделяя переменные в уравнении (8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение. A(t)=[ δ 2(Nδ+2)]1 δ2t−1 δ (9) неограниченно возрастающее при t→0. Теперь, используя соотношение (6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению: dl dt−2(Nδ+2)−1t−1l=−2p(Nδ+2)t (10) Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем: l(t)=Ct 2 Nδ+2−(Nδ+2)2 Nδ+1 pt2 ,C=const (11) Таким образом, с учетом уравнений (3), (9) и (11) решение исходной задачи (2) можно записать в форме фронтового решения: u(r,t)={U(t)[1−( r r+(t))2]1 δ 0≤r<r + (t) 0 r≥r + (t) (12) Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 139 http://nauko-sfera.ru/ где, U(t)=[ δ 2(Nδ+2)t]1 δ2r2 δ+(t) (13) r2(t)=Ct 2 Nδ+2−(Nδ+2)2 Nδ+1 pt2 (14) Значение константы С в формуле (14) можно найти из соотношения: lim t→0∫ u(r,t)K(N)rN−1dr=Q r+(t) 0 где, K(N)={2 при N=1 2π при N=2 4π при N=3 (15) являющегося следствием начального условия задачи Коши (2). С учетом выражений (12)–(14) соотношение (15) преобразуется к виду: limt→0t−1 δrNδ+2 δ(t)[δ 2(Nδ+2)t]1 δ2×K(N)∫(1−ξ2)1 δξN−1dξ (16) Учитывая, что, lim t→0t−1 δrNδ+2 δ(t)=CNδ+2 2δ а значение интеграла: ∫(1−ξ2)−1 δξN−1dξ=Q выражается через бета функцию: B(a,β)=Г(a)Г(β) Г(a+β) Из выражения (16) находим значение константы: C=Q δ Nδ+2([ δ 2(Nδ+2)t]1 δ2×K(N)B(N 2,δ+1 δ))−2δ (Nδ+2) (17) Таким образом, точное решение задачи (2) имеет вид (12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (13) и (14) с константой С, которая находится по формуле (17). Найденное Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 140 http://nauko-sfera.ru/ решение допускает предельный переход р 0. Полагая в уравнении (14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Дадим физическую интерпретацию решения (12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0. Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (14) в виде: r+(t)=√Ct 1 Nδ+2[1−(t tm)δ]1 2,tϵ[0,tm] (18) где, δ=2Nδ+1 Nδ+2,tm=[ Cб 2p(Nδ+2)] На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где: t∗=[ Cδ 2p(Nδ+2)]1 δ=tm (Nδ+2)1 δ фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину. При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией. При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко. Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (14) при р < 0 увеличивается. Таким образом, работа посвящена моделированию тепловых процессов в нелинейных средах. Сложность проблемы теплопереноса заключается в ее нелинейности: зависимость от Наукосфера. №10 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 141 http://nauko-sfera.ru/ температуры теплофизических свойств среды, присутствие заранее неизвестных подвижных границ. В работе мы рассмотрели задачу о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде с объемным поглощением. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 2001. 288 с. 2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с. 3. Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Просвещение, 2001. 352 с. 4. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. 488 с. 5. Канарейкин А.И. Лабораторный практикум по теплофизике. М., 2023. 47 с. 6. Канарейкин А.И. Решение задач по уравнениям математической физики. М., 2024. 35 с. 7. Канарейкин А.И. Решение обратной задачи теплопроводности // Наукосфера. 2024. № 112. С. 171-176. 8. Канарейкин А.И. Уравнение Лапласа в теплофизике // Наукосфера. 2023. № 12-2. С. 241245. 9. Канарейкин А. И. Уравнения параболического типа. Саратов: Издательство «Саратовский источник», 2024. 31 с. 10. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987. 362 с. 11. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 12. Мартинсон Л.К., Чигирёва О.Ю. Краевые задачи для квазилинейных уравнений параболического типа // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Седьмой Всероссийской конференции. В 3 ч. М., 2013. Ч. II. С. 32–33. 13. Мартинсон Л.К., Чигирёва О.Ю. Пространственная локализация тепловых возмущений в нелинейном процессе теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 4. С. 27–33. 14. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с. 15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с. Поступила в редакцию: 07.10.2025 © Канарейкин А. И., 2025. Принята в печать: 17.11.2025