El Á bol de los Pa es
Una biyección en e pa es e impa es
Miguel Ce dá Bennassa
No iemb e 2025
Resumen
A pa i de la iden idad numé ica
3644 = 4 ·911 = 3 ·911 + 911,
su ge de o ma na u al una amilia de ans o maciones a ines que o ganiza los núme os
pa es en un á bol di igido con aíz en 0. En es e abajo o malizamos dicha es uc u a,
desc ibimos cómo cada núme o pa posi i o cong uen e con 2 (m´od 3) gene a una iple
(P, L, F) o mada po un nodo in e no P, una hoja Ly un impa F, y p obamos que es a
cons ucción de ine una biyección explíci a en e odos los pa es posi i os P≡2 (m´od 3) y
odos los impa es posi i os. Los pa es es an es se iden i ican de mane a na u al como hojas
del á bol. La cons ucción se basa únicamen e en dos ope aciones lineales muy simples y sus
in e sas, lo que da luga a un sis ema ce ado, e e sible y con una clasi icación modula
pa icula men e cla a.
Índice
1. In oducción 2
2. Las ope aciones undamen ales 2
3. El á bol de los pa es 3
4. T iples a i mé icas (P, L, F)5
5. Fó mulas explíci as y pa ame ización 6
6. Clasi icación modula de los pa es 7
7. Biyección en e pa es in e nos e impa es 7
8. Demos ación: el único caso F=P/28
9. Rep esen ación geomé ica opcional y ejemplos 10
10.Comen a ios inales 11
1
1. In oducción
La búsqueda de co espondencias explíci as y na u ales en e conjun os numé icos unda-
men ales cons i uye un p oblema clásico en eo ía de núme os combina o ia. En es e abajo
p esen amos una biyección cons uc i a en e el conjun o de núme os pa es posi i os cong uen-
es con 2 módulo 3 y el conjun o de odos los núme os impa es posi i os, median e una es uc u a
a bó ea no able de inida po ans o maciones a ines elemen ales.
La cons ucción se undamen a en dos ope aciones simples:
La ans o mación H(x) = x−2
3, que ac úa sob e cie os pa es
La ans o mación V(x) = 2x+ 1, que gene a p og esiones de impa es
Es as ans o maciones o ganizan odos los núme os pa es en un á bol de los pa es con aíz
en 0, donde cada nodo in e no P≡2 (m´od 3) de e mina de mane a única una iple a i mé ica
(P, L, F)median e las ó mulas:
P=m·3k−1, L =m−1, F =m·2k−1
pa a algún mimpa y k≥1.
El mecanismo puede isualiza se median e dos ayec o ias:
PH(k)
−−−→ LV(k)
−−−→ F
donde H(k) ep esen a kaplicaciones sucesi as de HyV(k)kaplicaciones de V.
Los p incipales esul ados de es e a ículo son:
1. La cons ucción y ca ac e ización comple a del á bol de los pa es (Sección 3)
2. La pa ame ización de odas las iples (P, L, F)no i iales (Sección 4)
3. Una biyección explíci a Φ:E+→ O+y su in e sa (Sección 7)
4. Una clasi icación modula simple basada en cong uencias módulo 6 (Sección 6)
La cons ucción es comple amen e de e minis a y e e sible: a pa i de cualquie pa in e no
Ppodemos ecupe a únicamen e los pa áme os (m, k)que lo gene an y calcula el impa
asociado F= Φ(P). Recíp ocamen e, dado cualquie impa Fpodemos econs ui el pa Pdel
que p ocede.
El ejemplo P= 3644 (con m= 5,k= 6) se i á como ilus ación conc e a del mecanismo
gene al, mos ando cómo:
3644 H6
−−→ 4V6
−−→ 319
o ma una iple (3644,4,319) den o de la es uc u a global.
Es e sis ema des aca cómo ans o maciones a ines muy elemen ales pueden induci o ga-
nizaciones globales icas sob e los núme os na u ales, y p opo ciona un ma co pa a es udia
a iaciones basadas en o as descomposiciones a i mé icas.
2. Las ope aciones undamen ales
T abaja emos sob e los núme os na u ales, incluyendo el 0:
N0={0,1,2,...}.
Deno a emos po
E={n∈N0:nes pa },O={n∈N0:nes impa }
los conjun os de pa es e impa es espec i amen e.
2
De inición 2.1 (Ope aciones undamen ales).Conside a emos dos ans o maciones a ines bá-
sicas sob e N0:
Nomb e Ope ación di ec a Ope ación in e sa
H H(x) = x−2
3H−1(x)=3x+ 2
V V (x)=2x+ 1 V−1(x) = x−1
2
En odo el a ículo, las ope aciones HyVse aplican únicamen e cuando las exp esiones son
en e as; en caso con a io, la ans o mación no es á de inida.
Obse ación 2.1.Las ans o maciones an e io es e i ican:
Vlle a pa es a impa es y V−1lle a impa es a pa es;
Hlle a cie os pa es a en e os (que pueden se pa es o impa es) y H−1lle a en e os a
pa es.
En lo que sigue, emplea emos Hpa a cons ui el á bol de los pa es y Vpa a gene a las
p og esiones impa es asociadas a las hojas.
3. El á bol de los pa es
Empezamos po la es uc u a básica que o ganizan las ope aciones ho izon ales.
De inición 3.1 (Á bol de los pa es).De inimos un g a o di igido Tcuyo conjun o de é ices
es E. Dibuja emos una a is a di igida
x−→ y
si y sólo si y=H(x) = x−2
3es un núme o en e o.
Equi alen e y más isualmen e, di emos que desde un nodo ysale una a is a hacia a iba a
su pad e H−1(y) = 3y+ 2. Conside a emos al 0como aíz del á bol.
Obsé ese que:
el nodo 0no iene p eimagen po H, po lo que es aíz;
cada nodo iene a lo sumo un hijo (al aplica H) y exac amen e un pad e (al aplica H−1),
de modo que Tes un á bol (sin ciclos).
El siguien e lema ca ac e iza la es uc u a de los ni eles del á bol.
Lema 3.1. Pa a odo pa P∈ E exis e una única esc i u a
P+ 1 = 3km,
donde k≥0ymes impa (en pa icula mno es múl iplo de 3).
Demos ación. Como Pes pa , P+ 1 es impa . Ex aemos el máximo exponen e k≥0 al que
3kdi ide a P+ 1:
P+ 1 = 3km, 3∤m.
La unicidad de kymes consecuencia de la unicidad de la ac o ización en p imos. Además,
P+ 1 es impa y 3k ambién lo es, po lo que mha de se impa .
3
P oposición 3.1 (Núme o de pasos ho izon ales).Sea P∈ E un núme o pa y sea la descom-
posición
P+ 1 = 3km
del lema an e io . En onces:
a) H(P) = P−2
3es en e o si y sólo si k≥1;
b) al i e a Hexac amen e k eces sob e Pse ob iene
H(k)(P) = m−1;
c) H(k+1)(P)ya no es á de inido (no es en e o).
En pa icula , kcoincide con la alo ación 3-ádica de P+ 1, lo que conec a la p o undidad del
nodo en el á bol con la es uc u a mul iplica i a de P+ 1.
Demos ación. Como P+ 1 = 3km, se iene
P= 3km−1.
(a) Es inmedia o que
P−2
3=3km−3
3= 3k−1m−1
es en e o si y sólo si k≥1.
(b) P ocedemos po inducción en k.
Pa a k= 1, se iene
H(P) = 3m−3
3=m−1.
Supongamos cie o pa a un k≥1. Esc ibimos
P= 3km−1.
En onces
H(P)=3k−1m−1.
Aplicando la hipó esis induc i a al pa P′= 3k−1m−1con exponen e k−1, ob enemos
H(k−1)(P′) = m−1.
En o al, hemos aplicado Hexac amen e k eces a P, po lo que
H(k)(P) = m−1.
(c) Del cálculo an e io ,
H(k)(P) = m−1.
En onces
H(k+1)(P) = H(m−1) = (m−1) −2
3=m−3
3,
que no es en e o po que mes impa y no di isible po 3.
De inición 3.2 (Nodos in e nos y hojas).Llamamos nodo in e no de Ta odo pa P∈ E pa a
el que H(P)es á de inido (es deci , P≡2 (m´od 3)), y llamamos hoja a odo pa L∈ E pa a el
que H(L)no es á de inido.
Po cons ucción, odo camino descenden e en el á bol de los pa es e mina en una hoja, y
po el lema an e io oda hoja iene la o ma L=m−1con mimpa .
4
4. T iples a i mé icas (P, L, F)
La combinación de las ope aciones HyVpe mi e o ganiza la in o mación en o no a una i-
ple a i mé ica o mada po un pa in e no P, una hoja Ly un impa asociado F. Es a desc ipción
se á la base pa a la biyección en e pa es in e nos e impa es.
De inición 4.1 (T iple (P, L, F)asociada a (m, k)).Sea m∈ O yk≥1un en e o. De inimos:
P=P(m, k):=m·3k−1,
L=L(m):=m−1,
F=F(m, k):=m·2k−1.
Asociamos a (m, k)el diag ama en dos e apas
PH(k)
−−−→ LV(k)
−−−→ F,
donde se aplican k eces las ans o maciones HyV espec i amen e. Denomina emos a la iple
(P, L, F)la iple a i mé ica de e minada po (m, k).
P oposición 4.1 (Es uc u a básica de la iple).Sea mimpa y k≥1. En onces:
a) P(m, k)es pa y pe enece al á bol de los pa es;
b) al aplica Hexac amen e k eces a P(m, k)se ob iene
H(k)(P(m, k))=L(m) = m−1;
c) al aplica Vexac amen e k eces a L(m)se ob iene
V(k)(L(m)) = F(m, k)=m·2k−1.
En pa icula , las ayec o ias P→L(median e H)yL→F(median e V) cons an ambas de
exac amen e kpasos.
Demos ación. (a) Como mes impa y 3k ambién lo es, el p oduc o m·3kes impa ; po an o
P(m, k)=m3k−1es pa .
(b) Es exac amen e el apa ado (b) de la p oposición sob e el núme o de pasos ho izon ales:
la descomposición P(m, k) + 1 = 3kmga an iza que H(k)(P) = m−1.
(c) Se p ueba po inducción. Pa a k= 1,
V(L(m)) = 2(m−1) + 1 = 2m−1=m·21−1.
Supongamos cie o pa a k, de modo que
V(k)(L(m)) = m·2k−1.
En onces
V(k+1)(L(m)) = VV(k)(L(m))= 2(m·2k−1) + 1 = m·2k+1 −1,
como que íamos.
Obse ación 4.1.La iple (P, L, F)cap u a de o ma compac a la elación en e:
el pa in e no P=m3k−1, cuyo camino descenden e en el á bol de los pa es iene longi ud
ky e mina en la hoja L;
5
la hoja L=m−1, que ac úa como pun o de encuen o en e el á bol de los pa es y la
p og esión impa gene ada po V;
el impa F=m2k−1, que se ob iene desde Lmedian e kpasos de Vy se á la imagen de
Pen la biyección Φ:E+→ O+.
Las p opiedades algeb aicas que necesi a emos en las secciones siguien es se de i an única-
men e de es as ó mulas, sin eque i ninguna in e p e ación geomé ica; la posible isualización
en ejilla se in oduce únicamen e al inal, de o ma opcional.
5. Fó mulas explíci as y pa ame ización
Las ó mulas
P=m3k−1, L =m−1, F =m2k−1
p opo cionan una pa ame ización comple a de las iples no i iales (P, L, F)con k≥1. En
pa icula , odo núme o pa posi i o Pcon P≡2 (m´od 3) apa ece de o ma única como
P=P(m, k)con mimpa y k≥1, mien as que los pa es es an es son p ecisamen e las hojas
L=m−1de la P oposición 5.1.
P oposición 5.1 (Pa ame ización de los pa es posi i os).Sea Pun núme o pa posi i o.
En onces se e i ica exac amen e una de las dos a i maciones siguien es:
a) (Nodos in e nos) P≡2 (m´od 3). En ese caso exis e una única pa eja (m, k)con mimpa
posi i o y k≥1 al que
P=m·3k−1, P +1=m·3k.
Además, kes la alo ación 3-ádica de P+ 1, es deci , la mayo po encia de 3que di ide a
P+ 1.
b) (Hojas) P≡ 2 (m´od 3). En ese caso 3no di ide a P+ 1 y se iene
P+1=m, P =m−1,
donde mes impa posi i o y 3∤m. Equi alen emen e, dado que Pes pa , se iene
P≡0o4 (m´od 6).
Obse ación 5.1.El caso P= 0 apa ece de o ma na u al como
0=1·30−1,
pe o co esponde a k= 0 y da luga a una iple degene ada en la que
P=L=F= 0.
En es e abajo conside amos iples no i iales aquellas con k≥1.
De o ma comple amen e análoga, ambién podemos pa ame iza odos los impa es.
P oposición 5.2 (Pa ame ización de los impa es).Todo núme o impa F≥1puede esc ibi se
de mane a única como
F=m·2k−1,
donde mes impa y k≥1.
Demos ación. Como Fes impa , F+ 1 es pa . Ex aemos la máxima po encia de 2que di ide
aF+ 1:
F+ 1 = 2km, k ≥1, m impa .
La unicidad de kymes consecuencia de la unicidad de la ac o ización en p imos.
6
6. Clasi icación modula de los pa es
La es uc u a del á bol admi e una desc ipción especialmen e simple en módulo 6.
P oposición 6.1 (Clasi icación modula ).Todo núme o pa Ppe enece exac amen e a una de
las siguien es clases:
a) P≡2 (m´od 6): en onces Pes un nodo in e no del á bol (admi e al menos una aplicación
de H);
b) P≡0 (m´od 6) oP≡4 (m´od 6): en onces Pes una hoja (no admi e ninguna aplicación
de H). En pa icula , 0es hoja y aíz.
Demos ación. Todo pa es cong uen e módulo 6a uno de los alo es 0,2,4.
Si P≡2 (m´od 6), en onces P≡2 (m´od 3) y, po an o, P−2es di isible po 3. En
consecuencia H(P) = P−2
3es en e o y Pes nodo in e no.
Si P≡0 (m´od 6), en onces P≡0 (m´od 3) yP−2≡1 (m´od 3) no es di isible po 3. Po
an o, H(P)no es en e o y Pes hoja.
Si P≡4 (m´od 6), en onces P≡1 (m´od 3) yP−2≡ −1≡2 (m´od 3) ampoco es
di isible po 3. De nue o, H(P)no es en e o y Pes hoja.
Finalmen e, 0≡0 (m´od 6) y es la hoja- aíz del á bol.
Es a clasi icación es cohe en e con la pa ame ización P=m3k−1:
m3k−1≡ −1≡2 (m´od 3)
siemp e que k≥1, de modo que odos los nodos in e nos son ≡2 (m´od 3) y, en conc e o,
≡2 (m´od 6).
Las hojas, en cambio, son p ecisamen e los pa es L=m−1con mimpa no múl iplo de 3,
lo que da L≡0o4 (m´od 6).
Así, el á bol de los pa es sepa a de o ma na u al a los pa es en es clases modula es: una
clase ac i a (nodos in e nos) y dos clases e minales (hojas).
7. Biyección en e pa es in e nos e impa es
Las P oposiciones 5.1 y5.2 pe mi en cons ui una biyección na u al en e el conjun o de
odos los pa es posi i os P≥2con P≡2 (m´od 3) y el conjun o de odos los impa es posi i os.
De inición 7.1 (Conjun os de abajo).Deno amos
E+:= {P∈ E :P≥2, P ≡2 (m´od 3)},O+:= {F∈ O :F≥1}.
De inición 7.2 (Aplicación asociada a (m, k)).De inimos la aplicación
Φ:E+−→ O+
de la siguien e mane a: dado P∈ E+, esc ibimos
P=m·3k−1
con mimpa y k≥1(P oposición 5.1) y de inimos
Φ(P) := m·2k−1.
Geomé icamen e, Φ(P)coincide con el é ice impa Fde la iple (P, L, F )asociada a (m, k).
7
De inición 7.3 (Aplicación in e sa candida a).De inimos
Ψ : O+−→ E+
de la o ma siguien e: dado F∈ O+, esc ibimos
F=m·2k−1
con mimpa y k≥1(P oposición 5.2) y ponemos
Ψ(F) := m·3k−1.
Teo ema 7.1 (Biyección en e pa es in e nos e impa es).Las aplicaciones ΦyΨson in e sas
en e sí. En pa icula , Φes una biyección en e E+yO+.
Demos ación. Tomemos P∈ E+y esc ibamos
P=m·3k−1
con mimpa y k≥1. Po de inición,
Φ(P) = m·2k−1=F.
Aplicamos aho a ΨaF:
F+1=m·2k,
po lo que la descomposición de la P oposición 5.2 ecupe a el mismo pa (m, k), y en onces
Ψ(F) = m·3k−1=P.
Po an o, Ψ◦Φes la iden idad sob e E+.
Recíp ocamen e, sea F∈ O+y esc ibamos
F=m·2k−1
con mimpa y k≥1. En onces
Ψ(F) = m·3k−1=P,
y
P+1=m·3k,
de modo que la descomposición de la P oposición 5.1 ecupe a el mismo (m, k). Po an o,
Φ(P) = m·2k−1=F
yΦ◦Ψes la iden idad sob e O+. Concluimos que Φes una biyección y Ψsu in e sa.
8. Demos ación: el único caso F=P/2
Una pa icula idad in e esan e del sis ema es el caso en que el é ice impa Fde la iple
(P, L, F)sea exac amen e la mi ad del é ice pa P:
F=P
2.
Las ó mulas de la Sección 5imponen una ecuación dio án ica muy ígida.
8
P oposición 8.1 (Única iple con F=P/2).La única iple (P, L, F)con P=m3k−1,
L=m−1yF=m2k−1que sa is ace F=P/2es la co espondien e a m= 1 yk= 1, es
deci :
P= 2, L = 0, F = 1.
Demos ación. Si P=m3k−1yF=m2k−1, la condición F=P/2equi ale a
m2k−1 = m3k−1
2.
Mul iplicando po 2y eo denando,
2m2k−2=m3k−1 =⇒m(2k+1 −3k)=1.
Como m≥1es impa , la única posibilidad es
m= 1 y2k+1 −3k= 1.
Es udiamos en onces la ecuación
2k+1 −3k= 1.
Pa a k= 1,
22−31= 4 −3=1,
que es solución.
Veamos que no hay soluciones pa a k≥2.
Caso kpa , k≥2.En es e caso 3k≡1 (m´od 4), mien as que 2k+1 ≡0 (m´od 4). En onces
2k+1 −3k≡0−1≡3 (m´od 4),
lo que nunca puede se igual a 1. Con adicción.
Caso kimpa , k≥3.Conside amos aho a módulo 8. Pa a k≥3se iene 2k+1 ≡0 (m´od 8). Po
o o lado, como 3≡3 (m´od 8), se comp ueba ácilmen e que 3k≡3o5 (m´od 8) según k≡1o
3 (m´od 4), y en cualquie caso 3k≡3,5,7 (m´od 8), nunca 1.
En pa icula ,
2k+1 −3k≡0−3k≡1,3,5 (m´od 8),
pe o nunca 1de o ma consis en e con la ecuación o iginal pa a k≥3. Más di ec amen e, se
puede e i ica que
3k+ 1 ≡4 (m´od 8)
pa a kimpa , mien as que 2k+1 ≡0 (m´od 8), de modo que 2k+1 = 3k+ 1 es imposible.
En consecuencia, la única solución es m= 1 yk= 1, lo que da
P= 1 ·31−1=2, L = 1 −1 = 0, F = 1 ·21−1=1.
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