El Arbol de los Pares. Una biyección entre pares e impares

El Árbol de los Pares Una biyección entre pares e impares Miguel Cerdá Bennassar Noviembre 2025 Resumen A partir de la identidad numérica 3644 = 4 ·911 = 3 ·911 + 911, surge de forma natural una familia de transformaciones afines que organiza los números pares en un árbol dirigido con raíz en 0. En este trabajo formalizamos dicha estructura, describimos cómo cada número par positivo congruente con 2 (m´od 3) genera una triple (P, L, F)formada por un nodo interno P, una hoja Ly un impar F, y probamos que esta construcción define una biyección explícita entre todos los pares positivos P≡2 (m´od 3) y todos los impares positivos. Los pares restantes se identifican de manera natural como hojas del árbol. La construcción se basa únicamente en dos operaciones lineales muy simples y sus inversas, lo que da lugar a un sistema cerrado, reversible y con una clasificación modular particularmente clara. Índice 1. Introducción 2 2. Las operaciones fundamentales 2 3. El árbol de los pares 3 4. Triples aritméticas (P, L, F)5 5. Fórmulas explícitas y parametrización 6 6. Clasificación modular de los pares 7 7. Biyección entre pares internos e impares 7 8. Demostración: el único caso F=P/28 9. Representación geométrica opcional y ejemplos 10 10.Comentarios finales 11 1 1. Introducción La búsqueda de correspondencias explícitas y naturales entre conjuntos numéricos fundamentales constituye un problema clásico en teoría de números combinatoria. En este trabajo presentamos una biyección constructiva entre el conjunto de números pares positivos congruentes con 2 módulo 3 y el conjunto de todos los números impares positivos, mediante una estructura arbórea notable definida por transformaciones afines elementales. La construcción se fundamenta en dos operaciones simples: La transformación H(x) = x−2 3, que actúa sobre ciertos pares La transformación V(x) = 2x+ 1, que genera progresiones de impares Estas transformaciones organizan todos los números pares en un árbol de los pares con raíz en 0, donde cada nodo interno P≡2 (m´od 3) determina de manera única una triple aritmética (P, L, F)mediante las fórmulas: P=m·3k−1, L =m−1, F =m·2k−1 para algún mimpar y k≥1. El mecanismo puede visualizarse mediante dos trayectorias: PH(k) −−−→ LV(k) −−−→ F donde H(k)representa kaplicaciones sucesivas de HyV(k)kaplicaciones de V. Los principales resultados de este artículo son: 1. La construcción y caracterización completa del árbol de los pares (Sección 3) 2. La parametrización de todas las triples (P, L, F)no triviales (Sección 4) 3. Una biyección explícita Φ:E+→ O+y su inversa (Sección 7) 4. Una clasificación modular simple basada en congruencias módulo 6 (Sección 6) La construcción es completamente determinista y reversible: a partir de cualquier par interno Ppodemos recuperar únicamente los parámetros (m, k)que lo generan y calcular el impar asociado F= Φ(P). Recíprocamente, dado cualquier impar Fpodemos reconstruir el par Pdel que procede. El ejemplo P= 3644 (con m= 5,k= 6) servirá como ilustración concreta del mecanismo general, mostrando cómo: 3644 H6 −−→ 4V6 −−→ 319 forma una triple (3644,4,319) dentro de la estructura global. Este sistema destaca cómo transformaciones afines muy elementales pueden inducir organizaciones globales ricas sobre los números naturales, y proporciona un marco para estudiar variaciones basadas en otras descomposiciones aritméticas. 2. Las operaciones fundamentales Trabajaremos sobre los números naturales, incluyendo el 0: N0={0,1,2,...}. Denotaremos por E={n∈N0:nes par},O={n∈N0:nes impar} los conjuntos de pares e impares respectivamente. 2 Definición 2.1 (Operaciones fundamentales).Consideraremos dos transformaciones afines básicas sobre N0: Nombre Operación directa Operación inversa H H(x) = x−2 3H−1(x)=3x+ 2 V V (x)=2x+ 1 V−1(x) = x−1 2 En todo el artículo, las operaciones HyVse aplican únicamente cuando las expresiones son enteras; en caso contrario, la transformación no está definida. Observación 2.1.Las transformaciones anteriores verifican: Vlleva pares a impares y V−1lleva impares a pares; Hlleva ciertos pares a enteros (que pueden ser pares o impares) y H−1lleva enteros a pares. En lo que sigue, emplearemos Hpara construir el árbol de los pares y Vpara generar las progresiones impares asociadas a las hojas. 3. El árbol de los pares Empezamos por la estructura básica que organizan las operaciones horizontales. Definición 3.1 (Árbol de los pares).Definimos un grafo dirigido Tcuyo conjunto de vértices es E. Dibujaremos una arista dirigida x−→ y si y sólo si y=H(x) = x−2 3es un número entero. Equivalente y más visualmente, diremos que desde un nodo ysale una arista hacia arriba a su padre H−1(y) = 3y+ 2. Consideraremos al 0como raíz del árbol. Obsérvese que: el nodo 0no tiene preimagen por H, por lo que es raíz; cada nodo tiene a lo sumo un hijo (al aplicar H) y exactamente un padre (al aplicar H−1), de modo que Tes un árbol (sin ciclos). El siguiente lema caracteriza la estructura de los niveles del árbol. Lema 3.1. Para todo par P∈ E existe una única escritura P+ 1 = 3km, donde k≥0ymes impar (en particular mno es múltiplo de 3). Demostración. Como Pes par, P+ 1 es impar. Extraemos el máximo exponente k≥0tal que 3kdivide a P+ 1: P+ 1 = 3km, 3∤m. La unicidad de kymes consecuencia de la unicidad de la factorización en primos. Además, P+ 1 es impar y 3ktambién lo es, por lo que mha de ser impar. 3 Proposición 3.1 (Número de pasos horizontales).Sea P∈ E un número par y sea la descomposición P+ 1 = 3km del lema anterior. Entonces: a) H(P) = P−2 3es entero si y sólo si k≥1; b) al iterar Hexactamente kveces sobre Pse obtiene H(k)(P) = m−1; c) H(k+1)(P)ya no está definido (no es entero). En particular, kcoincide con la valoración 3-ádica de P+ 1, lo que conecta la profundidad del nodo en el árbol con la estructura multiplicativa de P+ 1. Demostración. Como P+ 1 = 3km, se tiene P= 3km−1. (a) Es inmediato que P−2 3=3km−3 3= 3k−1m−1 es entero si y sólo si k≥1. (b) Procedemos por inducción en k. Para k= 1, se tiene H(P) = 3m−3 3=m−1. Supongamos cierto para un k≥1. Escribimos P= 3km−1. Entonces H(P)=3k−1m−1. Aplicando la hipótesis inductiva al par P′= 3k−1m−1con exponente k−1, obtenemos H(k−1)(P′) = m−1. En total, hemos aplicado Hexactamente kveces a P, por lo que H(k)(P) = m−1. (c) Del cálculo anterior, H(k)(P) = m−1. Entonces H(k+1)(P) = H(m−1) = (m−1) −2 3=m−3 3, que no es entero porque mes impar y no divisible por 3. Definición 3.2 (Nodos internos y hojas).Llamamos nodo interno de Ta todo par P∈ E para el que H(P)está definido (es decir, P≡2 (m´od 3)), y llamamos hoja a todo par L∈ E para el que H(L)no está definido. Por construcción, todo camino descendente en el árbol de los pares termina en una hoja, y por el lema anterior toda hoja tiene la forma L=m−1con mimpar. 4 4. Triples aritméticas (P, L, F) La combinación de las operaciones HyVpermite organizar la información en torno a una triple aritmética formada por un par interno P, una hoja Ly un impar asociado F. Esta descripción será la base para la biyección entre pares internos e impares. Definición 4.1 (Triple (P, L, F)asociada a (m, k)).Sea m∈ O yk≥1un entero. Definimos: P=P(m, k):=m·3k−1, L=L(m):=m−1, F=F(m, k):=m·2k−1. Asociamos a (m, k)el diagrama en dos etapas PH(k) −−−→ LV(k) −−−→ F, donde se aplican kveces las transformaciones HyVrespectivamente. Denominaremos a la triple (P, L, F)la triple aritmética determinada por (m, k). Proposición 4.1 (Estructura básica de la triple).Sea mimpar y k≥1. Entonces: a) P(m, k)es par y pertenece al árbol de los pares; b) al aplicar Hexactamente kveces a P(m, k)se obtiene H(k)(P(m, k))=L(m) = m−1; c) al aplicar Vexactamente kveces a L(m)se obtiene V(k)(L(m)) = F(m, k)=m·2k−1. En particular, las trayectorias P→L(mediante H)yL→F(mediante V) constan ambas de exactamente kpasos. Demostración. (a) Como mes impar y 3ktambién lo es, el producto m·3kes impar; por tanto P(m, k)=m3k−1es par. (b) Es exactamente el apartado (b) de la proposición sobre el número de pasos horizontales: la descomposición P(m, k) + 1 = 3kmgarantiza que H(k)(P) = m−1. (c) Se prueba por inducción. Para k= 1, V(L(m)) = 2(m−1) + 1 = 2m−1=m·21−1. Supongamos cierto para k, de modo que V(k)(L(m)) = m·2k−1. Entonces V(k+1)(L(m)) = VV(k)(L(m))= 2(m·2k−1) + 1 = m·2k+1 −1, como queríamos. Observación 4.1.La triple (P, L, F)captura de forma compacta la relación entre: el par interno P=m3k−1, cuyo camino descendente en el árbol de los pares tiene longitud ky termina en la hoja L; 5 la hoja L=m−1, que actúa como punto de encuentro entre el árbol de los pares y la progresión impar generada por V; el impar F=m2k−1, que se obtiene desde Lmediante kpasos de Vy será la imagen de Pen la biyección Φ:E+→ O+. Las propiedades algebraicas que necesitaremos en las secciones siguientes se derivan únicamente de estas fórmulas, sin requerir ninguna interpretación geométrica; la posible visualización en rejilla se introduce únicamente al final, de forma opcional. 5. Fórmulas explícitas y parametrización Las fórmulas P=m3k−1, L =m−1, F =m2k−1 proporcionan una parametrización completa de las triples no triviales (P, L, F)con k≥1. En particular, todo número par positivo Pcon P≡2 (m´od 3) aparece de forma única como P=P(m, k)con mimpar y k≥1, mientras que los pares restantes son precisamente las hojas L=m−1de la Proposición 5.1. Proposición 5.1 (Parametrización de los pares positivos).Sea Pun número par positivo. Entonces se verifica exactamente una de las dos afirmaciones siguientes: a) (Nodos internos) P≡2 (m´od 3). En ese caso existe una única pareja (m, k)con mimpar positivo y k≥1tal que P=m·3k−1, P +1=m·3k. Además, kes la valoración 3-ádica de P+ 1, es decir, la mayor potencia de 3que divide a P+ 1. b) (Hojas) P≡ 2 (m´od 3). En ese caso 3no divide a P+ 1 y se tiene P+1=m, P =m−1, donde mes impar positivo y 3∤m. Equivalentemente, dado que Pes par, se tiene P≡0o4 (m´od 6). Observación 5.1.El caso P= 0 aparece de forma natural como 0=1·30−1, pero corresponde a k= 0 y da lugar a una triple degenerada en la que P=L=F= 0. En este trabajo consideramos triples no triviales aquellas con k≥1. De forma completamente análoga, también podemos parametrizar todos los impares. Proposición 5.2 (Parametrización de los impares).Todo número impar F≥1puede escribirse de manera única como F=m·2k−1, donde mes impar y k≥1. Demostración. Como Fes impar, F+ 1 es par. Extraemos la máxima potencia de 2que divide aF+ 1: F+ 1 = 2km, k ≥1, m impar. La unicidad de kymes consecuencia de la unicidad de la factorización en primos. 6 6. Clasificación modular de los pares La estructura del árbol admite una descripción especialmente simple en módulo 6. Proposición 6.1 (Clasificación modular).Todo número par Ppertenece exactamente a una de las siguientes clases: a) P≡2 (m´od 6): entonces Pes un nodo interno del árbol (admite al menos una aplicación de H); b) P≡0 (m´od 6) oP≡4 (m´od 6): entonces Pes una hoja (no admite ninguna aplicación de H). En particular, 0es hoja y raíz. Demostración. Todo par es congruente módulo 6a uno de los valores 0,2,4. Si P≡2 (m´od 6), entonces P≡2 (m´od 3) y, por tanto, P−2es divisible por 3. En consecuencia H(P) = P−2 3es entero y Pes nodo interno. Si P≡0 (m´od 6), entonces P≡0 (m´od 3) yP−2≡1 (m´od 3) no es divisible por 3. Por tanto, H(P)no es entero y Pes hoja. Si P≡4 (m´od 6), entonces P≡1 (m´od 3) yP−2≡ −1≡2 (m´od 3) tampoco es divisible por 3. De nuevo, H(P)no es entero y Pes hoja. Finalmente, 0≡0 (m´od 6) y es la hoja-raíz del árbol. Esta clasificación es coherente con la parametrización P=m3k−1: m3k−1≡ −1≡2 (m´od 3) siempre que k≥1, de modo que todos los nodos internos son ≡2 (m´od 3) y, en concreto, ≡2 (m´od 6). Las hojas, en cambio, son precisamente los pares L=m−1con mimpar no múltiplo de 3, lo que da L≡0o4 (m´od 6). Así, el árbol de los pares separa de forma natural a los pares en tres clases modulares: una clase activa (nodos internos) y dos clases terminales (hojas). 7. Biyección entre pares internos e impares Las Proposiciones 5.1 y5.2 permiten construir una biyección natural entre el conjunto de todos los pares positivos P≥2con P≡2 (m´od 3) y el conjunto de todos los impares positivos. Definición 7.1 (Conjuntos de trabajo).Denotamos E+:= {P∈ E :P≥2, P ≡2 (m´od 3)},O+:= {F∈ O :F≥1}. Definición 7.2 (Aplicación asociada a (m, k)).Definimos la aplicación Φ:E+−→ O+ de la siguiente manera: dado P∈ E+, escribimos P=m·3k−1 con mimpar y k≥1(Proposición 5.1) y definimos Φ(P) := m·2k−1. Geométricamente, Φ(P)coincide con el vértice impar Fde la triple (P, L, F )asociada a (m, k). 7 Definición 7.3 (Aplicación inversa candidata).Definimos Ψ : O+−→ E+ de la forma siguiente: dado F∈ O+, escribimos F=m·2k−1 con mimpar y k≥1(Proposición 5.2) y ponemos Ψ(F) := m·3k−1. Teorema 7.1 (Biyección entre pares internos e impares).Las aplicaciones ΦyΨson inversas entre sí. En particular, Φes una biyección entre E+yO+. Demostración. Tomemos P∈ E+y escribamos P=m·3k−1 con mimpar y k≥1. Por definición, Φ(P) = m·2k−1=F. Aplicamos ahora ΨaF: F+1=m·2k, por lo que la descomposición de la Proposición 5.2 recupera el mismo par (m, k), y entonces Ψ(F) = m·3k−1=P. Por tanto, Ψ◦Φes la identidad sobre E+. Recíprocamente, sea F∈ O+y escribamos F=m·2k−1 con mimpar y k≥1. Entonces Ψ(F) = m·3k−1=P, y P+1=m·3k, de modo que la descomposición de la Proposición 5.1 recupera el mismo (m, k). Por tanto, Φ(P) = m·2k−1=F yΦ◦Ψes la identidad sobre O+. Concluimos que Φes una biyección y Ψsu inversa. 8. Demostración: el único caso F=P/2 Una particularidad interesante del sistema es el caso en que el vértice impar Fde la triple (P, L, F)sea exactamente la mitad del vértice par P: F=P 2. Las fórmulas de la Sección 5imponen una ecuación diofántica muy rígida. 8 Proposición 8.1 (Única triple con F=P/2).La única triple (P, L, F)con P=m3k−1, L=m−1yF=m2k−1que satisface F=P/2es la correspondiente a m= 1 yk= 1, es decir: P= 2, L = 0, F = 1. Demostración. Si P=m3k−1yF=m2k−1, la condición F=P/2equivale a m2k−1 = m3k−1 2. Multiplicando por 2y reordenando, 2m2k−2=m3k−1 =⇒m(2k+1 −3k)=1. Como m≥1es impar, la única posibilidad es m= 1 y2k+1 −3k= 1. Estudiamos entonces la ecuación 2k+1 −3k= 1. Para k= 1, 22−31= 4 −3=1, que es solución. Veamos que no hay soluciones para k≥2. Caso kpar, k≥2.En este caso 3k≡1 (m´od 4), mientras que 2k+1 ≡0 (m´od 4). Entonces 2k+1 −3k≡0−1≡3 (m´od 4), lo que nunca puede ser igual a 1. Contradicción. Caso kimpar, k≥3.Consideramos ahora módulo 8. Para k≥3se tiene 2k+1 ≡0 (m´od 8). Por otro lado, como 3≡3 (m´od 8), se comprueba fácilmente que 3k≡3o5 (m´od 8) según k≡1o 3 (m´od 4), y en cualquier caso 3k≡3,5,7 (m´od 8), nunca 1. En particular, 2k+1 −3k≡0−3k≡1,3,5 (m´od 8), pero nunca 1de forma consistente con la ecuación original para k≥3. Más directamente, se puede verificar que 3k+ 1 ≡4 (m´od 8) para kimpar, mientras que 2k+1 ≡0 (m´od 8), de modo que 2k+1 = 3k+ 1 es imposible. En consecuencia, la única solución es m= 1 yk= 1, lo que da P= 1 ·31−1=2, L = 1 −1 = 0, F = 1 ·21−1=1. 9