170
LOTKA–VOLTERRA MODELI ASOSIDA POPULYATSIYA
JARAYONLARNI KOMPYUTERDA MODELLASHTIRISH
Yo‘ldosho a Dilnoza Ilhomboy qizi
TATU alabasi,
E-mail: [email p o ec ed]
Na mano O abek Abdigappa o ich
TATU do sen i,
E-mail: [email p o ec ed]
DOI: h ps://doi.o g/10.5281/zenodo.17665400
Anno a siya: Ushbu maqolada Lo ka–Vol e a modeli asosida populya sion ja ayonla ni
ma ema ik modellash i ish masalasi yo i ilgan. Model yi qich a o‘lja populya siyala i o‘ asidagi
o‘za o a’si ni di e ensial englamala yo damida i odalaydi. Tadqiqo da kompyu e
exnologiyala i yo damida populya siyala sonining aq bo‘yicha o‘zga ishi modellash i ilib,
ula ning dinamikasi g a ik ko‘ inishda ahlil qilinadi. Na ijala shuni ko‘ sa adiki, Lo ka–Vol e a
modeli populya sion mu ozana ni basho a qilish a ekologik ja ayonla ni o‘ ganishda sama ali
osi a hisoblanadi.
Kali so‘zla : Lo ka–Vol e a modeli, populya siya, modellash i ish, di e ensial englama,
yi qich-o‘lja izimi, kompyu e simulya siyasi.
Anno a ion:This a icle explo es he p oblem o ma hema ical modeling o popula ion
p ocesses based on he Lo ka–Vol e a model. The model desc ibes he in e ac ion be ween
p eda o and p ey popula ions h ough a sys em o di e en ial equa ions. Using compu e
echnologies, he dynamics o popula ion changes o e ime a e simula ed and analyzed
g aphically. The esul s show ha he Lo ka–Vol e a model is an e ec i e ool o p edic ing
popula ion balance and s udying ecological p ocesses.
Keywo ds: Lo ka–Vol e a model, popula ion, modeling, di e en ial equa ion, p eda o -p ey
sys em, compu e simula ion.
Аннотация: В данной статье рассмотрена задача математического моделирования
популяционных процессов на основе модели Лотки–Вольтерры. Модель описывает
взаимодействие между популяциями хищников и жертв с помощью системы
дифференциальных уравнений. С использованием компьютерных технологий проведено
моделирование и графический анализ динамики изменения численности популяций.
Результаты показывают, что модель Лотки–Вольтерры является эффективным
инструментом для прогнозирования популяционного равновесия и изучения экологических
процессов.
Ключевые слова: модель Лотки–Вольтерры, популяция, моделирование,
дифференциальное уравнение, система хищник-жертва, компьютерное моделирование.
I. Ki ish
Hozi gi kunda biologik izimla da populya siyala o‘ asidagi o‘za o
munosaba la ni o‘ ganish, ula ning i ojlanish ja ayonla ini ma ema ik
modellash i ish o qali ahlil qilish ekologiya, biologiya a in o ma ika anla ining
171
eng dolza b yo‘nalishla idan bi i hisoblanadi. Populya sion ja ayonla ni ma ema ik
modellash i ish na aqa abiiy muhi dagi o‘zga ishla ni ushunish, balki ula ni
oldindan basho a qilish, mu ozana ni saqlash hamda ekologik ba qa o likni
a’minlashda ham muhim ahamiya kasb e adi.
Shunday modella o asida Lo ka–Vol e a modeli o‘zining soddaligi a
ushuna li dinamikasiga ega bo‘lib, “yi qich-o‘lja” (p eda o –p ey) izimla i uchun
keng qo‘llaniladi. Ushbu model ikki populya siya o‘ asidagi o‘za o a’si ni
di e ensial englamala o qali i odalab, ula o asidagi abiiy mu ozana ni ma ema ik
a zda a si laydi.
Zamona iy axbo o exnologiyala ining i ojlanishi esa bunday mu akkab
izimla ni kompyu e yo damida modellash i ish a izualiza siya qilish imkonini
ya a di. Kompyu e modellash i ish o qali populya siyala sonining aq bo‘yicha
o‘zga ishi g a ik shaklda aks e i ilib, ula ning dinamikasi aniq ahlil qilinadi. Bu
yondashu biologik ja ayonla ning mohiya ini chuqu oq anglash, abiiy izimla dagi
mu ozana buzilishla ini aniqlash a ula ga ba qa o yechimla opish imkonini
be adi.
Mazku maqolada Lo ka–Vol e a di e ensial englamala i asosida
populya sion ja ayonla ni kompyu e da modellash i ish, ula ning dinamik ahlilini
amalga oshi ish hamda ekologik mu ozana ni ma ema ik i odala o qali ushun i ish
masalala i ko‘ ib chiqiladi.
II. Asosiy qism
1. Lo ka–Vol e a modelining naza iy asosi
Lo ka–Vol e a modeli — bu ikki u dagi populya siya (oda da, yi qich a
o‘lja) o‘ asidagi o‘za o a’si ni a si lo chi oddiy di e ensial englamala izimidi .
U abiiy mu ozana ni ma ema ik shaklda i odalash imkonini be adi. Model quyidagi
englamala o qali i odalanadi:
bu ye da:
• — o‘lja populya siyasining soni,
• — yi qich populya siyasining soni,
• — o‘ljaning abiiy o‘sish ezligi,
• — yi qich omonidan o‘ljaning o lanish koe i siyen i,
• — yi qichla ning abiiy kamayish ezligi,
172
• — yi qichla ning o‘lja hisobiga ko‘payish koe i siyen i.
Bu englamala o qali shunday xulosa chiqa ish mumkin:
aga o‘lja soni o sa, yi qichla soni ham oshadi; yi qichla ko‘payganda esa o‘lja
kamayadi a na ijada yi qichla soni ham kamayadi. Bu ja ayon da iy eb anish
(osilla sion ja ayon) a zida da om e adi. Shu bilan model abia dagi o‘za o
mu ozana ni ma ema ik jiha dan i odalaydi.
2. Modelning ma ema ik ahlili
Lo ka–Vol e a izimi nolinchi a ibli mu ozana hola iga ega. Ya’ni, aq
o‘ ishi bilan izim quyidagi mu ozana nuq ala ida ba qa o lashadi:
Bu nuq ala yi qich a o‘lja populya siyala i o‘ asidagi ba qa o mu ozana ni
bildi adi. Aga boshlang‘ich qiyma la ushbu mu ozana dan a q qilsa,
populya siyala soni aq o‘ ishi bilan da iy o‘zga ib u adi, ya’ni eb anishli
dinamik izim hosil bo‘ladi.
Modelning bunday xususiya i ekologik izimla ning abiiy mu ozana ini
ushunishda, shuningdek, populya siya o‘sishining chega ala ini aniqlashda muhim
ahamiya kasb e adi.
3. Kompyu e da modellash i ish bosqichla i
Lo ka–Vol e a modelini kompyu e da modellash i ish uchun quyidagi
bosqichla amalga oshi iladi:
1. Boshlang‘ich pa ame la ni belgilash:
(o‘lja soni),
(yi qich soni),
, , , .
2. Vaq o alig‘ini anlash:
.
3. Sonli yechim usulini qo‘llash:
Eule yoki Runge–Ku a usuli o qali ha bi aq o alig‘ida a qiyma la i
hisoblanadi.
4. Na ijala ni izualiza siya qilish:
Kompyu e das u i (Py hon, MATLAB yoki Ja aSc ip ) yo damida
populya siyala o‘zga ishi g a ik shaklida as i lanadi.
a g a igi da iy eb anishni aks e i adi.
Faza ekisligida (yi qich – o‘lja o‘qi) yopiq aylana shaklida na ija hosil bo‘ladi.
4. Na ijala ahlili
173
Kompyu e simulya siyasi na ijala iga ko‘ a quyidagila aniqlanadi:
• O‘lja soni o ganida yi qichla soni ham ko‘payadi, lekin ula ning o‘zga ish
da i bi oz kechikish bilan sodi bo‘ladi.
• Yi qichla sonining o ishi o‘lja kamayishiga olib keladi, bu esa keyinchalik
yi qichla ning ham kamayishiga sabab bo‘ladi.
• Ja ayon siklik ( eb anishli) usda bo‘lib, aq o‘ ishi bilan mu ozana hola iga
qay adi.
Bu ja ayon eal hayo dagi biologik izimla ga juda o‘xshashdi . Misol uchun,
o‘ mondagi quyon a bo‘ i populya siyala i o‘za o shunga o‘xshash da iy
o‘zga ishla ni ko‘ sa adi. Shu sababli Lo ka–Vol e a modeli abiiy izimla ning uzoq
mudda li ba qa o ligini ahlil qilishda keng qo‘llaniladi.
5. Amaliy ahamiya i
Lo ka–Vol e a modeli na aqa ekologiya sohasida, balki boshqa an
yo‘nalishla ida ham qo‘llaniladi: Iq isodiyo da: aqoba dosh kompaniyala
o‘ asidagi bozo ulushi dinamikasini modellash i ishda. Epidemiologiyada: yuqumli
kasallikla a qalishini o‘ ganishda. Axbo o izimla ida: a moq a igi a esu sla
aqsimo ini ahlil qilishda. Shu sababli bu model ilmiy-amaliy jiha dan juda keng
qo‘llanish imkoniya iga ega bo‘lib, kompyu e modellash i ish yo damida eal
izimla dinamikasini basho a qilishda sama ali osi a hisoblanadi.
III. Xulosa
Lo ka–Vol e a modeli asosida populya sion ja ayonla ni modellash i ish
na ijala i shuni ko‘ sa adiki, biologik izimla dagi yi qich a o‘lja populya siyala i
o‘ asidagi o‘za o a’si la mu ozana hola ida ma’lum da iylikka ega bo‘ladi.
Ushbu model yo damida abiiy eko izimla ning i ojlanishini, populya siyala
sonining o‘zga ish dinamikasini a ekologik ba qa o likni oldindan ahlil qilish
imkoniya i ya a iladi.
Kompyu e exnologiyala idan oydalanish, xususan das u lash illa i a
izualiza siya osi ala i (Py hon, MATLAB, Maple a boshqala ) yo damida model
na ijala ini sonli a g a ik ko‘ inishda i odalash, ilmiy adqiqo la sama ado ligini
oshi adi.
Tadqiqo na ijala i ekologiya, bio exnologiya, qishloq xo‘jaligi, shuningdek,
a o -muhi ni muho aza qilish sohala ida qa o la qabul qilishda amaliy ahamiya ga
ega. Shu sababli Lo ka–Vol e a modeli asosida populya sion ja ayonla ni
kompyu e da modellash i ish zamona iy ilm- an a axbo o exnologiyala ining
kesishgan nuq asida joylashgan muhim yo‘nalishla dan bi i hisoblanadi.
