LOTKA–VOLTERRA MODELI ASOSIDA POPULYATSIYA JARAYONLARNI KOMPYUTERDA MODELLASHTIRISH

170 LOTKA–VOLTERRA MODELI ASOSIDA POPULYATSIYA JARAYONLARNI KOMPYUTERDA MODELLASHTIRISH Yo‘ldoshova Dilnoza Ilhomboy qizi TATU talabasi, E-mail: [email protected] Narmanov Otabek Abdigapparovich TATU dotsenti, E-mail: [email protected] DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.17665400 Annotatsiya: Ushbu maqolada Lotka–Volterra modeli asosida populyatsion jarayonlarni matematik modellashtirish masalasi yoritilgan. Model yirtqich va o‘lja populyatsiyalari o‘rtasidagi o‘zaro ta’sirni differensial tenglamalar yordamida ifodalaydi. Tadqiqotda kompyuter texnologiyalari yordamida populyatsiyalar sonining vaqt bo‘yicha o‘zgarishi modellashtirilib, ularning dinamikasi grafik ko‘rinishda tahlil qilinadi. Natijalar shuni ko‘rsatadiki, Lotka–Volterra modeli populyatsion muvozanatni bashorat qilish va ekologik jarayonlarni o‘rganishda samarali vosita hisoblanadi. Kalit so‘zlar: Lotka–Volterra modeli, populyatsiya, modellashtirish, differensial tenglama, yirtqich-o‘lja tizimi, kompyuter simulyatsiyasi. Annotation:This article explores the problem of mathematical modeling of population processes based on the Lotka–Volterra model. The model describes the interaction between predator and prey populations through a system of differential equations. Using computer technologies, the dynamics of population changes over time are simulated and analyzed graphically. The results show that the Lotka–Volterra model is an effective tool for predicting population balance and studying ecological processes. Keywords: Lotka–Volterra model, population, modeling, differential equation, predator-prey system, computer simulation. Аннотация: В данной статье рассмотрена задача математического моделирования популяционных процессов на основе модели Лотки–Вольтерры. Модель описывает взаимодействие между популяциями хищников и жертв с помощью системы дифференциальных уравнений. С использованием компьютерных технологий проведено моделирование и графический анализ динамики изменения численности популяций. Результаты показывают, что модель Лотки–Вольтерры является эффективным инструментом для прогнозирования популяционного равновесия и изучения экологических процессов. Ключевые слова: модель Лотки–Вольтерры, популяция, моделирование, дифференциальное уравнение, система хищник-жертва, компьютерное моделирование. I. Kirish Hozirgi kunda biologik tizimlarda populyatsiyalar o‘rtasidagi o‘zaro munosabatlarni o‘rganish, ularning rivojlanish jarayonlarini matematik modellashtirish orqali tahlil qilish ekologiya, biologiya va informatika fanlarining 171 eng dolzarb yo‘nalishlaridan biri hisoblanadi. Populyatsion jarayonlarni matematik modellashtirish nafaqat tabiiy muhitdagi o‘zgarishlarni tushunish, balki ularni oldindan bashorat qilish, muvozanatni saqlash hamda ekologik barqarorlikni ta’minlashda ham muhim ahamiyat kasb etadi. Shunday modellar orasida Lotka–Volterra modeli o‘zining soddaligi va tushunarli dinamikasiga ega bo‘lib, “yirtqich-o‘lja” (predator–prey) tizimlari uchun keng qo‘llaniladi. Ushbu model ikki populyatsiya o‘rtasidagi o‘zaro ta’sirni differensial tenglamalar orqali ifodalab, ular orasidagi tabiiy muvozanatni matematik tarzda tavsiflaydi. Zamonaviy axborot texnologiyalarining rivojlanishi esa bunday murakkab tizimlarni kompyuter yordamida modellashtirish va vizualizatsiya qilish imkonini yaratdi. Kompyuter modellashtirish orqali populyatsiyalar sonining vaqt bo‘yicha o‘zgarishi grafik shaklda aks ettirilib, ularning dinamikasi aniq tahlil qilinadi. Bu yondashuv biologik jarayonlarning mohiyatini chuqurroq anglash, tabiiy tizimlardagi muvozanat buzilishlarini aniqlash va ularga barqaror yechimlar topish imkonini beradi. Mazkur maqolada Lotka–Volterra differensial tenglamalari asosida populyatsion jarayonlarni kompyuterda modellashtirish, ularning dinamik tahlilini amalga oshirish hamda ekologik muvozanatni matematik ifodalar orqali tushuntirish masalalari ko‘rib chiqiladi. II. Asosiy qism 1. Lotka–Volterra modelining nazariy asosi Lotka–Volterra modeli — bu ikki turdagi populyatsiya (odatda, yirtqich va o‘lja) o‘rtasidagi o‘zaro ta’sirni tavsiflovchi oddiy differensial tenglamalar tizimidir. U tabiiy muvozanatni matematik shaklda ifodalash imkonini beradi. Model quyidagi tenglamalar orqali ifodalanadi: bu yerda: • — o‘lja populyatsiyasining soni, • — yirtqich populyatsiyasining soni, • — o‘ljaning tabiiy o‘sish tezligi, • — yirtqich tomonidan o‘ljaning ovlanish koeffitsiyenti, • — yirtqichlarning tabiiy kamayish tezligi, 172 • — yirtqichlarning o‘lja hisobiga ko‘payish koeffitsiyenti. Bu tenglamalar orqali shunday xulosa chiqarish mumkin: agar o‘lja soni ortsa, yirtqichlar soni ham oshadi; yirtqichlar ko‘payganda esa o‘lja kamayadi va natijada yirtqichlar soni ham kamayadi. Bu jarayon davriy tebranish (osillatsion jarayon) tarzida davom etadi. Shu bilan model tabiatdagi o‘zaro muvozanatni matematik jihatdan ifodalaydi. 2. Modelning matematik tahlili Lotka–Volterra tizimi nolinchi tartibli muvozanat holatiga ega. Ya’ni, vaqt o‘tishi bilan tizim quyidagi muvozanat nuqtalarida barqarorlashadi: Bu nuqtalar yirtqich va o‘lja populyatsiyalari o‘rtasidagi barqaror muvozanatni bildiradi. Agar boshlang‘ich qiymatlar ushbu muvozanatdan farq qilsa, populyatsiyalar soni vaqt o‘tishi bilan davriy o‘zgarib turadi, ya’ni tebranishli dinamik tizim hosil bo‘ladi. Modelning bunday xususiyati ekologik tizimlarning tabiiy muvozanatini tushunishda, shuningdek, populyatsiya o‘sishining chegaralarini aniqlashda muhim ahamiyat kasb etadi. 3. Kompyuterda modellashtirish bosqichlari Lotka–Volterra modelini kompyuterda modellashtirish uchun quyidagi bosqichlar amalga oshiriladi: 1. Boshlang‘ich parametrlarni belgilash: (o‘lja soni), (yirtqich soni), , , , . 2. Vaqt oralig‘ini tanlash: . 3. Sonli yechim usulini qo‘llash: Euler yoki Runge–Kutta usuli orqali har bir vaqt oralig‘ida va qiymatlari hisoblanadi. 4. Natijalarni vizualizatsiya qilish: Kompyuter dasturi (Python, MATLAB yoki JavaScript) yordamida populyatsiyalar o‘zgarishi grafik shaklida tasvirlanadi. va grafigi davriy tebranishni aks ettiradi. Faza tekisligida (yirtqich – o‘lja o‘qi) yopiq aylana shaklida natija hosil bo‘ladi. 4. Natijalar tahlili 173 Kompyuter simulyatsiyasi natijalariga ko‘ra quyidagilar aniqlanadi: • O‘lja soni ortganida yirtqichlar soni ham ko‘payadi, lekin ularning o‘zgarish davri biroz kechikish bilan sodir bo‘ladi. • Yirtqichlar sonining ortishi o‘lja kamayishiga olib keladi, bu esa keyinchalik yirtqichlarning ham kamayishiga sabab bo‘ladi. • Jarayon tsiklik (tebranishli) tusda bo‘lib, vaqt o‘tishi bilan muvozanat holatiga qaytadi. Bu jarayon real hayotdagi biologik tizimlarga juda o‘xshashdir. Misol uchun, o‘rmondagi quyon va bo‘ri populyatsiyalari o‘zaro shunga o‘xshash davriy o‘zgarishlarni ko‘rsatadi. Shu sababli Lotka–Volterra modeli tabiiy tizimlarning uzoq muddatli barqarorligini tahlil qilishda keng qo‘llaniladi. 5. Amaliy ahamiyati Lotka–Volterra modeli nafaqat ekologiya sohasida, balki boshqa fan yo‘nalishlarida ham qo‘llaniladi: Iqtisodiyotda: raqobatdosh kompaniyalar o‘rtasidagi bozor ulushi dinamikasini modellashtirishda. Epidemiologiyada: yuqumli kasalliklar tarqalishini o‘rganishda. Axborot tizimlarida: tarmoq trafigi va resurslar taqsimotini tahlil qilishda. Shu sababli bu model ilmiy-amaliy jihatdan juda keng qo‘llanish imkoniyatiga ega bo‘lib, kompyuter modellashtirish yordamida real tizimlar dinamikasini bashorat qilishda samarali vosita hisoblanadi. III. Xulosa Lotka–Volterra modeli asosida populyatsion jarayonlarni modellashtirish natijalari shuni ko‘rsatadiki, biologik tizimlardagi yirtqich va o‘lja populyatsiyalari o‘rtasidagi o‘zaro ta’sirlar muvozanat holatida ma’lum davriylikka ega bo‘ladi. Ushbu model yordamida tabiiy ekotizimlarning rivojlanishini, populyatsiyalar sonining o‘zgarish dinamikasini va ekologik barqarorlikni oldindan tahlil qilish imkoniyati yaratiladi. Kompyuter texnologiyalaridan foydalanish, xususan dasturlash tillari va vizualizatsiya vositalari (Python, MATLAB, Maple va boshqalar) yordamida model natijalarini sonli va grafik ko‘rinishda ifodalash, ilmiy tadqiqotlar samaradorligini oshiradi. Tadqiqot natijalari ekologiya, biotexnologiya, qishloq xo‘jaligi, shuningdek, atrof-muhitni muhofaza qilish sohalarida qarorlar qabul qilishda amaliy ahamiyatga ega. Shu sababli Lotka–Volterra modeli asosida populyatsion jarayonlarni kompyuterda modellashtirish zamonaviy ilm-fan va axborot texnologiyalarining kesishgan nuqtasida joylashgan muhim yo‘nalishlardan biri hisoblanadi.