ULTRAPARABOLIK TENGLAMALAR UCHUN FAZOVIY TIPDAGI NOLOKAL CHEGARAVIY MASALALAR

181 ULTRAPARABOLIK TENGLAMALAR UCHUN FAZOVIY TIPDAGI NOLOKAL CHEGARAVIY MASALALAR Mamatov Javohir Abdishukur o‘g‘li Xalqaro innovatsion universiteti, “Aniq fanlar, yer kadastri va kommunal xo‘jaligi” kafedrasi o‘qituvchisi, E-mail: [email protected] DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.17665452 Annotatsiya. Ish differensial tenglamalar uchun yangi fazoviy tipdagi nolokal chegaraviy masalalarni yechish imkoniyatini o'rganishga bag'ishlangan. Tayanch so’zlar: Nolokal chegaraviy masalalar, Sobolev fazolari, yechimning yagonaligi, yechimning mavjudligi. Аннотация. Работа посвящена исследованию возможности решения нелокальных краевых задач нового пространственного типа для дифференциальных уравнений. Ключевые слова: нелокальные краевые задачи, пространства Соболева, единственность решения, существование решения. Annotation. The work is devoted to the study of the possibility of solving nonlocal boundary value problems of a new spatial type for differential equations. Key words: nonlocal boundary value problems, Sobolev spaces, uniqueness of solution, existence of solution. 1.Kirish Ishning maqsadi - ikkita vaqt va bitta fazoviy o'zgaruvchiga ega bo'lgan ultraparabolik tenglamalar uchun chegaraviy masalaning integral analoglarining "deyarli klassik" yechimlarining yechilishini, ya'ni mavjudligini va yagonaligini kafolatlaydigan yetarli shartlarni olishdir. “Deyarli klassik” yechim atamasi yechimning berilgan tenglamalar sinfi uchun tabiiy bo‘lgan anizotrop Sobolev fazosiga tegishli bo‘lishi kerakligini anglatadi. Maqolada regulyarizatsiya metodi va parametrni davom ettirish metodi qo'llaniladi; Ushbu metodlarni qo'llash uchun aprior baholashlardan foydalaniladi. Maqolada o’rganilgan masala soʻnggi paytlarda adabiyotlarda integral shartli nolokal masalalar yoki tabiiy boshlangʻich-chegaraviy masalalarning integral analoglari deb ataladi. Parabolik va giperbolik tenglamalar uchun shunga o'xshash muammolar birinchi bo'lib A.I.Kojanov va L.S.Pulkina ishlarida yaxshi o'rganilgan. Ammo ultraparabolik tenglamalar uchun integral-nolokal masalalar shu vaqtgacha o'rganilmagan. 2. Masalaning qo’yilishi Aytaylik bizda OX o'qidan olingan (0,1) interval, , Aytaylik - berilgan 182 funksiyalar, - o'zgaruvchilar, , , kabi aniqlangan - differensial operator, - berilgan funksiya, quyidagi tenglikni aniqlaydi Chegaraviy masala D: Q parallelepipeddagi tenglamaning yechimi bo‘lgan funksiyani toping. va buning uchun, quyidagi shartlar bajarilsin 3. Chegaraviy masalaning yechilishi Ushbu bo'limda biz chegaraviy masala D ning fazoda echilishini o'rnatamiz. Ba'zi yordamchi shartlarni bajaramiz. Aytaylik - berilgan funksiya. Fredgolm integral operatorini bilan belgilaymiz, integral operator quyidagicha aniqlanadi Keyingi ishlarda quyidagi shart asosiy rol o'ynaydi. Shart I. fazodan olingan ixtiyoriy funksiya uchun va ixtiyoriy , , uchun quyidagi tengsizlik bajarilsin Eslatma 1. Yuqoridagi shart aniq bajariladi, agar yetarlicha kichik qiymat mavjud bo'lsa. Bu operatori bir qiymatli ekanligini anglatadi. 183 Keyingi ishlarda shart I dan foydalanib, biz yordamchi masalaning yechilishini, keyin esa chegaraviy masala D ni yechimini ko'rsatamiz. Yuqoridagilardan quyidagi tengliklarni olamiz Kommutator uchun belgilashni kiritamiz : Bundan aniqlanadiki Soddalik uchun belgilash kiritamiz Keyin quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi Navbatdagi belgilashlarni kiritamiz Teorema 1. Aytaylik shart I va quyidagi shartlar bajarilsin U holda (1)-(5) chegaraviy masala, fazoga tegishli yechimga ega. Isbot. – berilgan funksiya shunday bo’lsinki, Yordamchi chegaraviy masalani ko‘rib chiqaylik: dagi tenglamaning yechimi bo‘lgan funksiyani toping. va buning uchun quyidagi shartlar bajarilsin 184 fazoda ushbu chegaraviy muammoning yechimi mavjudligini regulizatsiya metodi va parametr davom ettirish metodi yordamida isbotlaymiz. - belgilangan musbat son boʻlsin. parametri bilan chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz: Q parallelipipedda tenglamaning yechimi funksiyani toping va bu uchun (11) shartlar qanoatlantirilsin, va shuningdek, shart son bo'lsin, masalani ko'rib chiqaylik: dagi tenglamaning yechimi bo'lgan funksiyasini toping. va buning uchun (11), (12) shartlar bajarilsin. Bir nechta aprior baholashlardan so’ng biz so’ngi yakuniy baholashga ega bo’lamiz. Bu baholashlarni tekshirib bo’lgach biz Lemma Granula orqali quyidagi yakuniy baholashga ega bo’lamiz. Chegaraviy masalada (10), (11) ni ushbu ko’rinishda belgilaymiz . Keyinchalik, tanlangan funksiyasi bilan ushbu muammoning yechimiga asoslanib, funksiyasini aniqlaymiz: bu funksiya chegaraviy masala D uchun kerakli yechim bo'ladi. Teorema isbotlandi. Xulosa Maqolada Sobolev fazolarida integral shartli chiziqli ultraparbolik tenglamalar uchun dastlabki chegaraviy masalalarning yechilishi o‘rganildi. Regulyar yechimlarning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalar isbotlangan - S.L.Sobolev ga ko'ra barcha yechimlar umumlashtirilgan yechimlardir.Maqolada izlangan yechimni topish uchun regulyarizatsiya metodi va parametrni davom ettirish metodi qo'llanildi; Ushbu metodlarni qo'llash uchun aprior baholashlardan foydalanildi. 185 Foydalanilgan adabiyotlar: 1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений / / Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная серия. 2008. Nº 3. С. 165-174. 2. Кожанов А. И. Разрешимость граничным задач с нелокальными и интегральными условиями для параболический уравнений. Нелинейные граничные 2010 год, 54-76 3. Кожанов А. И. Исследование разрешимости некоторых интегральных и интегродифференциальных уравнений третьего рода Вольтерровского типа. Доклады Академии Наук,2018, том 478,Nº3, с.262-265. 4. Кожанов А. И. Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений., Дифференц. уравнения, 2006, том 42, номер 9, 1166-1179 5. Лукина Г. А. Пространственно-нелокальные краевые задачи для ультрапараболических уравнений с интегральным граничным условием. УДК 517.946 6. Трепогин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980