Op imale Diploma ie in meh dimensionalen
Meinungs äumen und die zwöl Geschwo enen
Bachelo a bei
o geleg am 31.07.2017
Au o : Julia Kunkel
geb. am 16.11.1995
Ma ikeln .: 1367603
Be eue : P o . D . Jö g Rambau
Leh s uhl ü Wi scha sma hema ik
Zwei ko ek u : P o . D . Ku Chudej
Mein besonde e Dank geh an die Hanns-Seidel-S i ung sowie das Bundesmini-
s e ium ü Bildung und Fo schung ohne de en inanzielle und ideelle Fö de ung
mein S udium in diese Fo m nich möglich wä e.
Die G a ik des Deckbla s wu de en nommen aus [1].
Inhal s e zeichnis
1 Einlei ung 1
1.1 Geschwo enenge ich e in den USA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Abs ac „Twel Ang y Men“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Au bau und Zielse zung de A bei . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Modelle zu Meinungsbildung in G uppen 4
2.1 Agen enmodell ........................... 4
2.2 Bounded-Con idence Modell im eindimensionalen Raum . . . . . 5
2.3 Bounded-Con idence Modell im meh dimensionalen Raum . . . . 8
2.4 Op imale S eue ung on Meinungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Analyse de Meinungsdynamik in
„Twel Ang y Men“ 12
3.1 Abs immungs unden als op imales Diploma iep oblem . . . . . . 12
3.2 Meinungsdynamik in „Twel Ang y Men“ . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 G enzen de Realisie ba kei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 „Twel Ang y Men“ als Ins anz eines op imalen Diploma iep oblems 19
4.1 Op imale Diploma ie in
meh dimensionalen Meinungs äumen . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Realsie ung de Dynamik aus „Twel Ang y Men“ . . . . . . . . . 20
4.3 Ve allgemeine ung de E gebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Ausblick............................... 33
5 Simula ion 34
5.1 Funk ionen ............................. 34
5.2 P og ammie ung .......................... 34
1 Einlei ung
1.1 Geschwo enenge ich e in den USA
Bis heu e is es in den Ve einig en S aa en on Ame ika üblich, dass P ozesse zu
S a - und Zi il agen on einem sog. Geschwo enenge ich , auch Ju y genann ,
en schieden we den. Eine begangene Ta wi d zunächs lokalisie und an den zu-
s ändigen Bundesge ich sbezi k wei e gegeben. Pe Zu all wi d ein Pool aus po-
en iellen Laien ich e n gebilde . Diese se z sich aus egis ie en Wähle n und
Einwohne n mi Füh e schein zusammen. Im Anschluss da an wi d gep ü , ob
die Pe sonen ü die Au gaben eines Ju ymi glieds hin eichend quali izie sind.
Das Mindes al e ü einen Geschwo enen be äg 18 Jah e. Wei e e Vo ausse zun-
gen sind die ame ikanische S aa sbü ge scha und aus eichende Englischkenn -
nisse. Auße dem müssen die po en iellen Ju o en sei mindes ens einem Jah im
en sp echenden Ge ich sbezi k wohnen. Vom Geschwo enenge ich ausgeschlos-
sen we den Pe sonen, die in ein lau endes Ge ich s e ah en e wickel sind, ei-
ne F eihei ss a e e büßen ode de en Bü ge ech e noch nich ehabili ie sind.
Gleiches gil ü psychisch nich zu echnungs ähige Bü ge .
Eine Be u ung ins Geschwo enenge ich is e p lich end. Die ausgewähl en Pe -
sonen we den zunächs zu oi di e geladen. Dies is eine Anhö ung alle po-
en iellen Laien ich e . Anwäl e und Rich e des P ozesses können da au hin ein
Ju ymi glied ablehnen, wenn de Ve dach bes ehe , dass es den Fall un ai be-
u eilen wü de. Insbesonde e, wenn die Pe son übe Vo wissen zum Fall e üg ,
eine in ol ie e Pe son kenn ode s a ke Vo u eile gegenübe eine Pa ei des
P ozesses au weis . (Siehe [2], [3]).
Je nach A des P ozesses is die Zusammense zung und Au gabe de Ju y e -
schieden. Im Zi ilp ozess muss das Geschwo enenge ich mindes ens sechs Pe -
sonen zählen. Diese müssen eins immig en scheiden, ob die Beweise übe wiegen
ode nich . In einem S a p ozess be inden zwöl Geschwo ene, die sogenann e
ial ju y, übe die Schuld des Angeklag en. Bes eh ein beg ünde e Zwei el an
diese , so muss de Angeklag e eigesp ochen we den. Zue s inde ein gewöhn-
liches Ge ich s e ah en s a , dem die Ju ymi gliede beisi zen. Nach dem Unmi -
elba kei sp inzip bekommen sie die Fak en des Falls da geleg und de Rich e
e klä ihnen die Rech slage zu Ve handlung. Anschließend zieh sich das Ge-
schwo enenge ich in einen abgeschi m en Raum zu ück. Eine de Ju o en ha
die Rolle de o epe son inne. Diese lei e die Diskussion inne halb de Ju y, die
nun zwischen Fak en und Behaup ungen un e scheiden muss. Das U eil de Ge-
schwo enen is endgül ig und muss nich beg ünde we den. (Siehe [2]).
1
1.2 Abs ac „Twel Ang y Men“
Im ame ikanischen Klassike „Twel Ang y Men“, de 1955 e ö en lich wu de,
wi d die ums i ene ial ju y da ges ell . Das D ama besch eib die U eils in-
dung eines Geschwo enenge ich s in einem Mo d all. Ein 16-jäh ige , im Ghe o
au gewachsene Junge mi Mig a ionshin e g und wi d beschuldig in einem S ei
seinen Va e e s ochen zu haben. Die Beweislage schein zunächs eindeu ig. Eine
Nachba in behaup e den Mo d du ch das Fens e gesehen zu haben. Ein wei e e
Anwohne gib an, Sch eie gehö und die Fluch des Jungen beobach e zu haben.
Die Ta wa e wi d eindeu ig iden i izie . Nach Schließung de Beweisau nahme
deu e alles au die Schuld des Angeklag en hin. El Ju ymi gliede sind sich so-
o da übe einig, dass de Angeklag e schuldig is . „Ju o 8“ möch e sich de
Meh hei smeinung alle dings nich anschließen. E k i isie das o schnelle, sub-
jek i e U eil seine Kollegen und zwei el die in de Ve handlung o geb ach en
Beweise an. Die üb igen Geschwo enen we den du ch iele lei Ein lüsse gelenk .
Zei d uck, Vo u eile, Familienhin e g ünde und ande e Fak o en e hinde n eine
objek i e U eils indung. Im wei e en Ve lau des S ücks kann „Ju o 8“ imme
meh Geschwo ene on seinem S andpunk übe zeugen. Eine sei s we den nach
und nach Wide sp üche zwischen den Zeugenaussagen und Beweisen au gedeck .
Ande e sei s ges ehen sich imme meh Geschwo ene die eigene Be angenhei
ein. Am Ende des D amas lau e das übe aschende U eil de Ju y no guil y -
nich schuldig. (Vgl. [8]).
Das S ück is als ielschich ige Gesellscha s- und Sys emk i ik zu e s ehen. Un-
e ande em am Ju ysys em. T o z oi di e kann Vo eingenommenhei sei ens
de Ju o en nich ausgeschlossen we den. Vo allem abe is das Buch ein Appell
an die ame ikanische Be ölke ung, ih e Ve an wo ung als Ju ymi glied e ns zu
nehmen und nich leich e ig mi dem Leben eines Angeklag en umzugehen.
Neben de K i ik, die das Buch Twel Ang y Men e mi el s ell sich dem Le-
se ode Zuschaue des gleichnamigen Films eine wei e e F age: Wie scha es
„Ju o 8“ alle ande en Geschwo enen on de Unschuld des Angeklag en zu übe -
zeugen? Mi welche S a egie übe zeug e die es lichen Anwesenden? Ve i
e eine kla e Posi ion ode geh e au A gumen e ande e ein und wie s a k be-
ein lussen sich die üb igen Ju o en gegensei ig?
2
1.3 Au bau und Zielse zung de A bei
Mögliche An wo en au diese F agen könn en du ch li e a ische Analyse e ah-
en e ö e we den. Wi nehmen hingegen eine na u wissenscha liche Sich weise
ein. Das Geschehen aus „Twel Ang y Men“ möch en wi in ein ma hema isches
Modell übe agen.
Menschliches Denken und da aus esul ie endes Ve hal en un e lieg jedoch kei-
nen physikalischen Gese zmäßigkei en. Wi sind deshalb nich in de Lage ein-
hei liche Regeln ü die Meinungsen wicklung on Menschen au zus ellen. Ein
Modell, das Meinungsdynamiken exak eali ä sge eu nachs ell we den wi nich
inden. Aus diesem G und be ach en wi ein e ein achendes Modell. Da in un-
e s ellen wi den Menschen einige plausible Ve hal ensweisen.
Mi eine solchen Nachahmung können wi keine belas ba en Aussagen übe die
Phänomene in de „ ealen“ Wel e en. Auch sind wi nich im S ande Meinungs-
en wicklungen ü zukün ige, ähnliche Si ua ionen o he zusagen. Jedoch is es
möglich, den Ein luss e schiedene Pa ame e au unse Modell zu analysie en.
Dadu ch e hal en wi Ideen ü mögliche Gese zmäßigkei en in de wi klichen
Wel . Umgekeh sind wi in de Lage, Behaup ungen aus de ealen Wel au ih-
e S andha igkei zu es en. Finden wi in unse em Modell ein Gegenbeispiel zu
eine solchen These, so muss es wei e e Ein luss ak o en geben, die wi nich be-
ücksich ig haben.
In de o liegenden A bei möch en wi ein solches e ein achendes Modell in-
den. Dieses soll das Abs immungs e hal en aus „Twel Ang y Men“ e zeugen
können. Wi gehen dazu olgende maßen o :
1. Wi be ach en ein populä es Modell zu Meinungsbildung in G uppen. Ins-
besonde e beschä igen wi uns mi dem Sonde all, dass ein G uppenmi -
glied s a egisch handel und ein bes imm es Ziel e olg .
2. Wi analysie en die Meinungsdynamik aus „Twel Ang y Men“ und übe -
p ü en, inwie e n diese mi dem kennengele n en Modell da s ellba is .
3. Wi lassen zu, dass de Meinungs aum des Modells um beliebig iele Di-
mensionen e wei e wi d.
4. Wi suchen Ins anzen dieses Modells, die die Meinungsdynamik des ame-
ikanischen Klassike s e zeugen.
3
2 Modelle zu Meinungsbildung in G uppen
Zunächs suchen wi ein Modell, das eine G uppe on Pe sonen, die in meh e en
Runden ih e Meinung bilde , ma hema isch besch eib . Dazu bedienen wi uns
dem on Hegselmann und K ause au geg i enen Agen enmodell. (Vgl. [7, S.3]).
Im Anschluss e en wi Annahmen übe die sozialen Wechselwi kungen zwi-
schen den G uppenmi gliede n. Wi übe nehmen die Idee des besch änk en Ve -
auens on K ause. (Vgl. [4, S.5]).
Zusä zlich gehen wi da on aus, dass „Ju o 8“ im ame ikanischen Klassike e -
such die üb igen Geschwo enen on seine Meinung zu übe zeugen. Dieses Ve -
hal en modellie en wi un e Zuhil enahme des sogenann en Campaign P oblem,
welches on Hegselmann e . al. o mulie wu de. (Vgl. [6, S.8]).
2.1 Agen enmodell
Wi be ach en nin e agie ende Pe sonen, die wi im Folgenden Agen en nennen.
Jede de n∈NAgen en ha eine an ängliche Meinung, die S a meinung. Abhän-
gig on de Thema ik kann diese ein- ode meh dimensional sein und wi können
die Ansich eines Agen en du ch einen en sp echend g oßen, eellen Vek o da -
s ellen.
In meh e en Runden bilden die Mi gliede de G uppe ih e Meinungen neu. Ziel
is es sich i.d.R. au eine einzelne Meinung zu einigen. In meh e en Runden e -
e en alle Agen en ö en lich ih e Ansich . Dies kann beispielsweise in Fo m on
Reden ode sch i lichen S ellungnahmen geschehen. Am Ende eine Pe iode leg
jede Agen seine Meinung neu es . Wi de inie en einen disk e en Zei ho izon
T:={0,1,2,...}, de die Anzahl de Runden ep äsen ie . Die Meinung eines
Agen en i∈ {1,2,...n}zu einem Zei punk ∈Tbezeichnen wi mi xi( ).
Ein G7-T e en beispielsweise können wi mi dem Agen enmodell besch eiben.
Jede eilnehmende Poli ike en sp ich einem Agen en. In meh e en Ve hand-
lungs unden legen diese ih e d eidimensionalen Meinungen zu den Themen
Umwel -, Siche hei s- und Ve eidigungspoli ik da . Nach jede Ve handlungs un-
de posi ionie en sich alle Be eilig en zu den besp ochenen Themen. Ziel de Kon-
e enz is es, am Ende de Ve handlungen einen Konsens zu e eichen und da aus
ein gemeinsames poli isches Handeln abzulei en.
Um ein konk e es Modell ü die Meinungsbildung eine G uppe au s ellen zu
können, müssen wi es legen, nach welche Vo sch i sich die Meinungen in je-
de Runde neu bilden. Da ü e wenden wi das gewich e e, a i hme ische Mi el.
Fü jeden Agen ibezeichnen wi mi ai j( ,x( )) ∈Rdie Gewich ung de Mei-
nung on Agen j. Wessen Ansich en ein Agen einbezieh kann om ak uellen
Zei punk ∈Tode de Gesam hei de Meinungen x( ):= (x1( ),x2( ),...xn( ))
in diese Runde abhängen. Es muss dabei ü es es ∈Tgel en,
4
dass ∑n
j=0ai j( ,x( )) = 1∀i∈ {1,2,...,n}. Auße dem müssen alle Gewich e po-
si i ode null sein. Wi de inie en eine n×nMa ix A( ,x( )) := (ai j( ,x( )))
ü i,j∈ {1,2,...n}, ∈T, die wi Gewich ema ix nennen. Nun können wi den
Meinungsbildungsp ozess de nAgen en kompak da s ellen:
•xi( +1) = ai1( ,x( ))x1( )+ai2( ,x( ))x2( )+...+ain( ,x( ))xn( )
•x( +1) = A( ,x( ))x( )
ü ∈T,i∈ {1,2,...n}. (Siehe [7]).
Wi möch en eine ma hema ische Analyse und konk e e Simula ionen zu Mei-
nungsbildung in G uppen du ch üh en. Aus diesem G und b auchen wi eine ein-
hei liche Regel zu Be echnung de Gewich ema ix. Eine da ü häu ig e wende-
e Vo sch i is die Bounded-Con idence Regel. Mi Hil e diese Vo sch i spezi-
izie en wi das au ges ell e Agen enmodell. Das esul ie ende Bounded-Con idence
Modell bilde die G undlage alle Übe legungen in diese A bei .
2.2 Bounded-Con idence Modell im eindimensionalen Raum
Das Konzep des besch änk en Ve auens un e s ell Menschen, dass sie sich,
bezüglich eine Meinung zu einem Thema, nu on Pe sonen beein lussen lassen,
die eine ähnliche Ansich wie sie selbs e e en. Ausgangsspunk des Bounded-
Con idence Modells is ein Agen enmodell mi nAgen en, diek e em Zei ho izon
Tund eindimensionalen Meinungen, d.h. d=1. Die Ansich xi( )eines Agen en
izu einem Zei punk ∈Ten sp ich demnach eine eellen Zahl. Wi nehmen
an, dass jede Agen ieinen sogenann en Kon idenz adius εi∈R es se z . Diese
gib an, wie ähnlich eine Meinung zu de des Agen en isein muss, dami e
sie in de Meinungsbildung be ücksich ig . Agen iwi d zu einem Zei punk ∈
Tdie Meinung on Agen jdemnach genau dann be ücksich igen, wenn sie in
seinem Kon idenzin e all I(i,x( )) :={1≤k≤n||xi( )−xk( )| ≤ εi}lieg . Wi
gehen da on aus, dass ein Agen allen Agen en, die in seinem Kon idenzin e all
en hal en sind, gleich s a ke Beach ung schenk . Die Gewich ema ix A, auch ε-
Ve auensma ix genann , können wi du ch olgende Regel be echnen:
A(X)i,j=(1
|I(i,x( ))|wenn j∈I(i,x( ))
0 sons
ü i,j∈ {1,2,...n}, ∈T.
Die Dynamik des Sys ems is gegeben du ch:
•xi( +1) = |I(i,x( ))|−1∑j∈I(i,x( )) xj( )
•x( +1) = A(X)x( )
5
ü i,j∈ {1,2,...n}, ∈T. (Siehe [4, S.5]).
Fü den Spezial all, dass im Bounded-Con idence Modell alle Agen en den glei-
chen Kon idenz adius haben, d.h. εi=εj∀i,j∈ {1,2,...n}, e geben sich einige
Besonde hei en des Modells.
De ini ion 2.1 (Riss zwischen eindimensionalen Meinungen) Fü eine Ins anz
des Bounded-Con idence Modells mi n Agen en, disk e em Zei ho izon T, eindi-
mensionalen Meinungen und uni o mem Kon idenz adius εsp echen wi on ei-
nem Riss zwischen Agen i und j zum Zei punk ∈T wenn gil : xi( )<xj( )@k∈
{1,2,...n}mi xi( )<xk( )<xj( )und es gil |xi( )−xj( )|>ε. (Vgl. [7, S.7-8]).
Lemma 2.1 Sei eine Ins anz des Bounded-Con idence Modells mi n Agen en,
eindimensionalen Meinungen, einem disk e en Zei ho izon T und uni o mem Kon-
idenz adius εgegeben, dann gil :
1. Die O dnung de Meinungen bleib e hal en:
xi( )≤xj( )⇒xi( +1)≤xj( +1), ü alle i,j∈ {1,2,...n}, ∈T.
2. Haben zwei Agen en zu einem Zei punk die gleiche Meinung, so bleib die
Meinung ab dann imme gleich:
xi( ) = xj( )⇒xi( +1) = xj( +1), ü alle i,j∈ {1,2,...n}, ∈T.
3. Ein Riss nach De ini ion 2.1 zwischen zwei Agen en is endgül ig.
(Vgl. [7, S.8]).
Wi e anschaulichen einen Beweis zu (1) und belegen (2) und (3):
1. O.E.d.A be ach en wi den Fall xi( )<xj( )( ü xi( ) = xj( )siehe (2)).
Wi wollen nun zeigen, dass dann xi( )≤xj( ). Dazu de inie en wi uns d ei
Mengen:
Se ze C:=I(i,x( ))∩I(j,x( )),L:=I(i,x( )) Cund R:=I(j,x( )) C. Da
xi( )<xj( )gil xl( )<xc( )<x ( ) ü alle l∈L,c∈C, ∈R. Da aus
olg die Behaup ung. (Siehe [6, S.12]). Die de inie en Mengen können
lee sein. Wi be ach en die ie möglichen Kombina ionen aus lee en und
nich lee en Mengen um zu sehen, in welchem Fall zwei Meinungen gleich
we den und wann die „<“- Rela ion e hal en bleib :
•R=/0 =L
xi( )xj( )R
c
ε
6
Ein Aus ausch on Meinungen lediglich du ch Abs immungen is dabei nich aus-
eichend. Die Ansich eines Agen en zu einem Thema haben wi im op imalen Di-
ploma iep oblem als Zahl aus dem eellen, abgeschlossenen Einhei sin e all de-
inie . Folglich kann ein Agen übe abzählba iele Meinungen annehmen. Diese
können wi du ch eine Abs immung nich olls ändig ab agen. Dami wi en -
scheiden können, ob die Ansich eines „Agen en A“ im Kon idenzin e all eines
„Agen en B“ lieg , müssen wi die genauen S andpunk e de beiden Agen en im
Meinungs aum kennen.
Denken wi dazu an unse Beispiel zum G7-Gip el zu ück. Eine Abs immung am
Ende eines Ve handlungs ages mach nu Sinn, wenn zu o disku ie wu de und
jede Poli ike seinen S andpunk kla gemach ha . Wissen wi lediglich, we zu-
le z ü ode gegen eine poli isch b isan e En scheidung ges imm ha , können wi
nich einschä zen, welche Mo i e dahin e s ecken. Ob das Gegenübe ähnliche
In e essen e olg bleib aglich. Eine Meinungsbildung mi Be ücksich igung
ähnliche Meinungen is nich möglich.
Zusä zlich müssen wi bedenken, dass wi ü Ins anzen eines op imalen Diplo-
ma iep oblems einen einhei lichen Kon idenz adius un e s ellen. Dies mag nich
imme ealis isch sein. Wi könn en e mu en, dass Ju o en mi adikalen Mei-
nungen einen ge inge en Ve auens adius an den Tag legen als ein gemäßig e
Geschwo ene . Auch häng die Tole anz gegenübe den ande en Ju ymi gliede n
siche lich on de Homogeni ä de G uppe ab. Da wi dies jedoch nich belegen
können und eine Analyse eines op imalen Diploma iep oblems mi inhomogenen
Kon idenz adien den Rahmen diese A bei sp engen wü de, geben wi uns mi
einem uni o men Kon idenz adius zu ieden. E üll das Geschehen im D ama
„Twel Ang y Men“ die Vo ausse zungen (1)-(7)?
„Twel Ang y Men“ als Ins anz eines op imalen Diploma iep oblems Be-
ach en wi dazu die Meinungsdynamik des ame ikanischen Klassike s. Im Film
ag eine Runde on zwöl Geschwo enen, um das U eil des Ge ich s zu einem
Mo d all zu disku ie en. Wi gehen da on aus, dass „Ju o 8“ als einzige s a e-
gisch handel . Übe agen wi dies in unse Diploma iep oblem, so sp echen wi
on zwöl Agen en un e denen sich ein S a ege be inde . Im D ama we den zu-
nächs die S a meinungen alle Geschwo enen abge ag . Es olgen sechs wei e e
Abs immungen. Im Anschluss bilde jede Geschwo ene sein endgül iges U eil.
Fü die en sp echende Ins anz des Diploma iep oblems de inie en wi einen dis-
k e en Zei ho izon T={0,1,2,3,4,5,6}. Jede Schö e bilde nach eine Ab-
s immung seine Meinung übe die Schuld des Angeklag en neu. Im S ück „Twel
Ang y Men“ inde du ch in ensi e Diskussionen zwischen den Wahlen ein Mei-
nungsaus ausch inne halb de Ju y s a . Fü Ins anzen des Diploma iep oblems
de inie en wi , dass die Meinung eines Agen en zwischen 1 ∈R:
13
„ öllig on de Schuld des Angeklag en übe zeug “ und 0 ∈R: „ öllig on de
Unschuld des Angeklag en übe zeug “ a iie en kann. Die möglichen Meinungen
zu Schuld des jungen Mannes können wi somi du ch das In e all [0,1]⊂R
olls ändig besch eiben. Die Ju o en im Film bzw. Buch „Twel Ang y Men“ kön-
nen en wede ü schuldig ode nich schuldig abs immen. Dies modellie en wi
du ch den Schwellwe 1
2∈[0,1]⊂R. S imm ein Ju o ü schuldig, so ha de
Agen , de diesen Ju o en in unse em Modell ep äsen ie in de en sp echenden
Runde eine Meinung >1
2. Eine Abs immung ü nich schuldig wi d olglich da -
ges ell du ch eine Meinung ≤1
2des en sp echenden Agen en. Dies bedeu e wi
nehmen an, dass die Geschwo enen im Zwei el ü den Angeklag en abs immen.
Wi un e s ellen „Ju o 8“, dass e möglichs iele Geschwo ene on de Unschuld
des Angeklag en übe zeugen möch e. Übe se z in unse Diploma iep oblem lau-
e das Zielin e all des s a egischen Agen en [0,1
2]⊂R.
Unse e Modellie ung de Abs immungs unden aus „Twel Ang y Men“ e üll die
Vo ausse zungen (1)-(6).
Wi s ehen nun o de F age, ob die Meinungsdynamik des D amas du ch die
Bounded-Con idence Regel e klä we den kann. Dazu übe p ü en wi , ob die im
Klassike besch iebenen Meinungs e läu e den Regelsä zen (1) und (2) aus Lem-
ma 2.1 genügen. Ein Dynamik muss Regelsa z (3) aus Lemma 2.1 nich e üllen,
um als Ins anz ü das Diploma iep oblem in F age zu kommen. Da de S a ege
unabhängig on den üb igen Agen en agie is e in de Lage seine Meinung so
zu wählen, dass ein o handene Riss behoben wi d.
3.2 Meinungsdynamik in „Twel Ang y Men“
Um zu übe p ü en, ob die Dynamik des ame ikanischen Klassike s du ch die
Bounded-Con idence Dynamik e klä we den kann, analysie en wi den genauen
Abs immungs e lau aus „Twel Ang y Men“. Abbildung 1 e anschaulich die-
sen. Die o e Fa be en sp ich dabei einem Vo um ü schuldig ein g ünes Käs chen
ü nich schuldig.
Abbildung 1: Ve hal en de Geschwo enen in den Abs immungs unden.
14
Zwa können wi de Tabelle en nehmen, wann welche Geschwo ene ü schul-
dig bzw. nich schuldig abs imm , jedoch is de genaue Meinungs e lau und die
O dnung de Ansich en dadu ch nich eindeu ig es geleg . Unse Ziel is es, die
Dynamik du ch die Bounded-Con idence Regel bei eindimensionalen Meinungen
zu e klä en. Eine no wendige Bedingung, dass dies möglich is , is die Einhal ung
de Regelsä ze (1) und (2) aus Lemma 2.1. Diese besagen, dass keine Meinun-
gen ih e O dnung im Meinungs aum wechseln dü en. Auße dem müssen gleiche
Meinungen in allen wei e en Abs immungs unden gleich bleiben.
Abbildung 2: Ve hal en de Geschwo enen in den Abs immungs unden, abs eigend so ie nach
dem e s en Wechsel zu nich schuldig.
Um den Meinungs e lau besse zu e kennen, so ie en wi die Tabelle in Ab-
bildung 1 nach dem Zei punk , zu dem die Ju o en zum (e s en) Mal ü nich
schuldig abs immen.
Be ach en wi Abbildung 2. Bis au „Ju o 12“ wechsel jede Geschwo ene ge-
nau einmal seine Meinung on schuldig nach nich schuldig. Da in de Abs im-
mungs unde ie nach ün kein ande e Geschwo ene als „Ju o 12“ sein Ab-
s immungs e hal en ände , können wi eine Reihen olge ü die Meinungen de
jeweiligen Agen en inden, die kompa ibel mi (1) und (2) aus Lemma 2.1 is . Eine
solche O dnung nennen wi zulässig.
Welche Bedingungen müssen e üll sein, dass die Meinungs e läu e des S ücks
„Twel Ang y Men“ da ges ell we den und die Reihen olge de Ansich en o z-
dem zulässig is ? Zum einen dü en nu Meinungen solche Agen en gleich sein,
die den gesam en Zei ho izon übe ausschließlich gleichzei ig den Schwellwe
1
2übe sch ei en. Beispielsweise dü en die Agen en, die „Ju o 5“ und „Ju o
11“ ep äsen ie en, mi de gleichen S a meinung modellie we den. Beide Ju y-
mi gliede o ie en in säm lichen Abs immungen iden isch. Auße dem muss die
S a meinung eines Agen en genau dann ech kleine als die eines ande en sein,
wenn e in eine ühe en Runde on eine Meinung >1
2zu eine Ansich ≤1
2
wechsel , da sich sons die O dnung de Meinungen e ände n wü de.
Anschaulich gesp ochen muss ein Geschwo ene , de in eine ühe en
15
Abs immungs unde on unschuldig zu schuldig wechsel , on An ang an wenige
s a k on de Schuld des Angeklag en übe zeug gewesen sein.
Au g und diese Vo gaben e geben sich 16 zulässige Möglichkei en, die S a an-
sich en de Agen en zu o dnen. Einige Beispiele zulässige An angsmeinungen
eines Modells ü die Meinungsdynamik aus „Twel Ang y Men“ sind:
1. x9(0)<x5(0)≤x11(0)<x2(0)≤x6(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x4(0)≤
x10(0)<x3(0)
2. x9(0)<x11(0)≤x5(0)<x2(0)≤x6(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x10(0)≤
x4(0)<x3(0)
3. x9(0)<x11(0)≤x5(0)<x6(0)≤x2(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x4(0)≤
x10(0)<x3(0).
Da „Ju o 8“ diploma isch handel und dami nich an die Bounded-Con idence
Regel gebunden is , muss diese in de Reihen olge de S a meinungen nich be-
ücksich ig we den.
In Abbildung 2 äll besonde s das Abs immungs e hal en on „Ju o 12“ au .
Dieses Ve hal en s ell wie zwa keinen Kon lik mi Lemma 2.1 da . Es mach
uns jedoch s u zig, dass sich die Meinung on „Ju o 12“ als einzige nich mo-
no on en wickel . Wi s ellen uns dahe die F age: Sind Meinungs e läu e, die
nach de Bounded-Con idence Regel ak ualisie we den, imme mono on? Bei-
spiel 3.1 zeig , dass dies nich de Fall is und de Meinungswechsel on „Ju o
12“ modellie we den kann.
Beispiel 3.1 Gegeben sei eine Ins anz des Bounded-Con idence Modells mi zwöl
Agen en, eindimensionalem Meinungs aum und uni o mem Kon idenz adius ε=
1
5. Wi be ach en nu eine Runde, d.h. T ={1}. Die S a meinungen sind wie
olg :
x(0) = 0,51 0,55 0,72 0,72 0,72 0,72 0,31 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11T
Nach eine Runde e gib sich die in Abbildung 3 e anschaulich e Dynamik. Zu
sehen is , dass x0(1)<0,5<x0(0)<x0(2). Die üb igen Agen en übe sch ei en
den Schwellwe 1
2nich .
16
Abbildung 3: Die Meinung on „Agen 0“ en wickel sich nich mono on.
Im Rahmen unse e Analyse konn en wi keinen Anhal spunk da ü inden, dass
sich die Abs immungs unden aus dem D ama „Twel Ang y Men“ nich als In-
s anz eines op imalen Diploma iep oblems nach Abschni 2.4 da s ellen lassen.
Ve suchen wi da au hin konk e e An angspa ame e zu inden, die die Dynamik
des S ücks e zeugen, gelangen wi alle dings schnell an unse e G enzen.
3.3 G enzen de Realisie ba kei
Wi e suchen nun die Pa ame e des Diploma iep oblems so es zulegen, dass
exak die Meinungsdynamik aus „Twel Ang y Men“ e zeug wi d. Dazu wäh-
len wi ein P o il ü die S a meinungen aus den on uns als zulässig e klä -
en. Zusä zlich müssen wi beach en, dass die Abs ände zwischen den Agen en
„passend“ sind. Agen en, die Ju o en p äsen ie en, welche in i gendeine Abs im-
mung un e schiedlich o ie en, dü en bis zu diesem Zei punk nich die gleiche
Meinung annehmen. Ansons en bleiben diese Meinungen gleich (siehe Lemma
2.1 (1)) und ein un e schiedliches Abs immungs e hal en is nich meh möglich.
We en wi einen Blick au den Beweis on Lemma 2.1 (2) so können wi diese
Vo ausse zung spezi izie en. Mindes ens eine de zwei Agen en, de en Meinung
nich gleich we den soll, muss on Agen en auße halb de Schni menge ih e
beiden Kon idenz adien beein luss we den. Da übe hinaus müssen wi das Ab-
s immungs e hal en on „Ju o 12“ beach en. Die Abs ände zwischen den Mei-
nungen alle Agen en müssen olgende maßen kons uie sein: Von Runde d ei
au ie muss de Agen , de „Ju o 12“ ep äsen ie , seine Meinung un e den
Schwellwe 1
2ände n. Dazu muss e genügend Meinungen aus dem Zielin e all
in seine En scheidung einbeziehen. Gleichzei ig sollen sich möglichs iele diese
Meinungen aus dem Kon idenz adius weg en wickeln. S a dessen müssen meh
Agen en mi Meinungen >1
2in das Kon idenzine all ücken, sodass de Agen
ü „Ju o 12“ in Runde ün e neu eine Meinung >1
2annimm .
17
Zusä zlich zu all diesen An o de ungen an die nich s a egischen Agen en wissen
wi , dass de Diploma in unse em Modell imme eine Meinung <1
2 e i . Dahe
müssen wi da au ach en, dass kein Riss zwischen zwei Agen en mi Meinun-
gen obe halb des Schwellwe s 1
2en s eh . Diese kann inne halb de Bounded-
Con idence Dynamik nich ückgängig gemach we den (siehe Lemma 2.1 (3)).
Es is dann nich meh möglich den Agen en mi de g öße en Meinung in das
Zielin e all zu lenken.
Du ch eines Kombinie en und Aus es en on S a we en und S a egien des Di-
ploma en inden wi keine Ins anz, die all diesen Fo de ungen ge ech wi d. Zwa
können wi in unse e Analyse keine Belege da ü inden, dass eine solche Ins anz
nich exis ie . Es e schein uns o zdem kaum möglich die Meinungsdynamik aus
„Twel Ang y Men“ du ch ein op imales Diploma iep oblem mi eindimensiona-
lem Meinungs aum da zus ellen.
18
4 „Twel Ang y Men“ als Ins anz eines op imalen
Diploma iep oblems
Unse Ziel is es, Ins anzen ü ein op imales Diploma iep oblem zu inden, die die
Meinungsdynamik aus „Twel Ang y Men“ e zeugen. Im Diploma iep oblem mi
eindimensionalem Meinungs aum können wi keine solche Ins anz inden. Meh -
dimensionale Meinungs äume könn en das P oblem beheben, da wi do keine
Besch änkungen bezüglich de O dnung de Meinungen haben (siehe Beispiel
2.1) und die indi ek e Beein lussung zwischen den Agen en besse S eue n kön-
nen. In Abschni 2.3 is eine Regel ü die En wicklung on meh dimensionalen
Meinungen besch ieben. Wi üh en nun die e schiedenen Modelle zusammen
und de inie en ein op imales Diploma iep oblem ü meh dimensionale Meinun-
gen.
4.1 Op imale Diploma ie in
meh dimensionalen Meinungs äumen
Wi gehen da on aus, dass es eine unbes imm e Anzahl an Aspek en gib , die die
Meinung de Geschwo enen dem P ozess gegenübe beein lussen. Beispielsweise
könn en Zei d uck, Vo u eile gegenübe de Gewal ä igkei on Mig an en ode
de amiliä e Hin e g und eine Rolle spielen. Ausgangspunk bleib das Diploma-
iep oblem aus Kapi el 2.4 mi nAgen en, einem S a egen und einem disk e en
Zei ho izon T. Wi e wei e n den Meinungs aum unse es Modells au den m-
dimensionalen Raum wobei m∈Nbeliebig abe es is . Wie im u sp ünglichen
Diploma iep oblem besch änken wi die möglichen We e, die eine Meinung an-
nehmen kann. Fü die Ansich on Agen isoll gel en: xi( )∈[0,1]m⊂Rm∀i∈
{1,2,...,n}, ∈T. Ziel des Diploma en is es, die Meinungen de nich s a egi-
schen Agen en in eine gewünsch e Rich ung zu beein lussen. Dabei kann e In e -
esse an de Beein lussung on mindes ens eine und maximal mMeinungskom-
ponen en haben.
Ein Poli ike in unse em Beispiel zum G7-Gip el könn e das Ziel haben, ein F ei-
handelsabkommen zwischen seinem und einem ande en S aa du chzuse zen. Wel-
che Res ik ionen ü die Klimae wä mung beschlossen we den und ob einhei li-
che Ve p lich ungen zu Au nahme on Flüch lingen es gese z we den sind ü
ihn nebensächlich. Ebenso gu kann jene Poli ike jedoch auch in allen d ei Dis-
kussionspunk en ein Ziel ans eben.
Wi sch eiben ü ein Zielin e all des S a egen in Dimension k:[l, ]k⊂[0,1]⊂
Rmi l< ,k∈ {1,2,...,m}. De S a ege leg q∈ {1,2,...,m}Zielin e alle es .
E möch e die Anzahl an Meinungskomponen en, die am Ende des Zei ho izon s
inne halb de jeweiligen Dimensionen de qZielin e alle liegen, maximie en. Es
19
spiel dabei keine Rolle, ob ein Agen in eine ode allen qDimension in das Ziel-
in e all gelenk wi d. Wi „zählen“ am Ende des Zei ho izon s ü jede Dimensi-
on unabhängig wie iele Meinungen sich inne halb des jeweiligen Zielin e alls
be inden.
Um dieses Ziel zu e eichen, wähl de Diploma in jede Runde unabhängig on
den üb igen Agen en seine Ansich aus [0,1]⊂R. Die Meinungs e ände ungen
de nich s a egischen Agen en be echnen wi nach de Bounded-Con idence Re-
gel im meh dimensionalen Raum, wie in Abschni 2.3 besch ieben. Eine Folge
on Abs immungs unden in eine G uppe on nPe sonen kann unse e De ini ion
zu Folge als Ins anz des op imalen Diploma iep oblems mi meh dimensionalem
Meinungs aum besch ieben we den, wenn die Punk e (1)-(4) aus Abschni 3.1
e üll sind und zusä zlich gil :
1. Die Meinung eines Pe son is als Vek o aus [0,1]m⊂Rmda s ellba .
2. De s a egische Teilnehme kann maximal mZielin e alle au s ellen. Je-
des diese Zielin e alle is Teilmenge on [0,1]⊂R.
3. Die Dynamik de nich s a egischen Pe sonen e s öß nich gegen Lemma
2.2 (1).
4.2 Realsie ung de Dynamik aus „Twel Ang y Men“
In Kapi el 3 zeigen wi be ei s, dass das Geschehen in „Twel Ang y Men“ den
Punk en (1)-(4) aus Abschni 3.1 genüg . Wi müssen die Dynamik so modellie-
en, dass sie zusä zlich die Punk e (1)-(3) aus Abschni 4.1 e üll . Im Gegensa z
zum Diploma iep oblem mi eindimensionalen Meinungen, haben wi hie bei kei-
ne Vo gaben zu O dnung de Meinungen. In Beispiel 2.1 is gezeig , dass sich die
Reihen olge on Meinungen inne halb de Bounded-Con idence Dynamik e än-
de n kann, so e n wi meh e e Meinungsaspek e be ach en.
„Ju o 8“ möch e die Geschwo enen on de Unschuld des Angeklag en übe zeu-
gen. Wi gehen da on aus, dass e keine wei e en Ziele e olg , sodass in unse e
Modellins anz ein Zielin e all exis ie . Wie im Modell mi eindimensionalem
Meinungs aum de inie en wi dieses als [0,1
2]⊂R. Wei e müssen wi Fo de ung
(3) e üllen. Im D ama gib es keine Si ua ion, in de sich o ensich lich gleiche
Meinungen oneinande en e nen. Da aus olg : Wi können die Abs immungen
des D amas als Ins anz eines op imalen Diploma iep oblems bei meh dimensio-
nalem Meinungs aum au G undlage de Bounded-Con idence Dynamik model-
lie en.
Zunächs legen wi es , welche Agen im Wei e en das Ve hal en welches Ju o-
en ep äsen ie en soll.
20
Agen 1←→ Ju o 1
Agen 2←→ Ju o 2
Agen 3←→ Ju o 3
Agen 4←→ Ju o 4
Agen 5←→ Ju o 5
Agen 6←→ Ju o 6
Agen 7←→ Ju o 7
Agen 8←→ Ju o 9
Agen 9←→ Ju o 10
Agen 10 ←→ Ju o 11
Agen 11 ←→ Ju o 12
Agen 12 ←→ Ju o 8
Da übe hinaus möch en wi den Abs immungs e lau aus „Twel Ang y Men“
kompak da s ellen. Dazu de inie en wi ü jede Abs immungs unde eine Menge
U +1, ∈T. Diese en häl den Index alle Agen en, die beim „upda en“ ih e Mei-
nung zum P ozess on Runde nach +1 den Schwellwe 1
2übe sch ei en.
U1:={8},U2:={5,10},U3:={2,6},U4:={1,7,11},U5:={11},
U6:={4,9,11},U7:={3}.
Wi möch en nun die Meinungsdynamik des Films als Ins anz eines op imalen Di-
ploma iep oblems mi meh dimensionalen Meinungen da s ellen. Ein Meinungs-
aspek is nach wie o die Ansich de Ju o en zum Mo dp ozess. Diesen mo-
dellie en wi in Dimension null. „Agen 12“ handel s a egisch. Sein Zielin e all
lau e [0,1
2]0⊂R. Die Modellie ung de null en Dimension inklusi e des Schwell-
we s 1
2übe nehmen wi aus dem Diploma iep oblem mi eindimensionalen Mei-
nungen. Wie iele wei e e Dimensionen unse Beispiel haben soll können wi ei
wählen.
Wi s ellen jedoch es : Je wenige Dimensionen wi anse zen, des o komplizie e
wi d es, die Beein lussung zwischen den nich s a egischen Agen en zu kon ol-
lie en. Möch en wi beispielsweise, dass kein Agen einem ande en e au . Es
wi d schwie ig zwöl Meinungen im In e all [0,1]⊂Rau solche A zu e ei-
len, dass ü alle Agen en iund jgil : |xi( )−xj( )|>ε ü ∈T, wenn wi nich
ε=0 wählen möch en. Haben wi meh Dimensionen zu Ve ügung, so genüg
es, in jede da on die Meinung einige Paa e on Agen en wei genug oneinan-
de zu di e enzie en. Dahe be ach en wi zunächs den Ex em all, dass es zu
Beginn übe haup keine indi ek e Beein lussung zwischen den Agen en gib . Im
Anschluss e suchen wi die Anzahl de Dimensionen imme wei e zu eduzie-
en.
Ins anzen mi zwöl dimensionalem Meinungs aum. Eine naheliegende Idee
indi ek e Beein lussung zwischen den Agen en zu e meiden is eine Ins anz mi
zwöl dimensionalen Meinungen au zus ellen.
Die null e Dimension des Meinungs aums s eh ü die Ansich de Agen en zum
P ozess. Jede wei e e Dimension de inie en wi jeweils als Gesam hei de An-
sich en eines nich diploma ischen Agen en. Ve i „Agen 1“ beispielsweise die
21
Meinung 0 in eine Dimension zum We e , was als neu ale Hal ung de inie
sei. Seine Vo u eile gegenübe Mig an en liegen bei 1
3∈[0,1]⊂Rund es is ein
amiliä e Hin e g und gegeben, de die Meinung des Agen en zum P ozess beein-
luss . Dann de inie en wi eine Dimension, in de ein Agen die Meinung 1 ∈R
e i , wenn e in allen diesen Aspek en genau die gleiche Meinung wie „Agen
1“ eil .
Wie in unse em Modell aus Abschni 3.1, nehmen zu Beginn alle nich s a egi-
schen Agen en in Dimension null eine Meinung aus (1
2,1]⊂Ran. Im Ex em all
gib es so iele wei e e Aspek e und die Agen en haben solch indi iduelle Mei-
nungen, dass alle Agen en in eine Dimension die Meinung „1“ e e en. In allen
ande en Dimensionen - auße de zum P ozess - eilen sie die Ansich „0“.
Wi e suchen nun konk e e Eingabepa ame e und eine S a egie ü den Diplo-
ma en zu inden, sodass sich de Meinungs e lau aus „Twel Ang y Men“ e gib .
Wi es en zunächs , ob es eich , dass die komple e „Übe zeugungsa bei “ du ch
den Diploma en geleis e wi d.
Ins anz 1 Wi wählen n =12,d=12,T={0,1,2,3,4,5,6},ε=1
2uni o m.
„Agen 12“ is de S a ege. X(0)∈R12×12 ass die S a meinungen de Agen-
en zusammen. Dabei en sp ich jede Zeile de Ma ix de Meinung eines Agen en
xi(0)∈R12,i∈ {1,2,...,12}
X(0) =
3/410000000000
3/401000000000
3/400100000000
3/400010000000
3/400001000000
3/400000100000
3/400000010000
3/400000001000
3/400000000100
3/400000000010
3/400000000001
1/400000001000
.
Fü den S a egen wählen wi :
xk
12( ) =
1
4 ü k =0
1
2wenn k ∈U
0sons
ü ∈T {4}und
x12(4) = 3/500000000001T.
22
Da wi den Kon idenz adius deu lich kleine wählen, als in den üb igen Ins anzen,
müssen wi die S a meinungen zum P ozess nähe an den Schwellwe 1
2se zen,
um die Meinung de Agen en un e den Schwellwe zu lenken. Anhand de G a-
ik können wi nich meh kla e kennen, welche Meinungen den Schwellwe 1
2
un e sch i en haben. Anhand de Simula ionse gebnisse wissen wi jedoch, dass
Ins anz 4 das Meinungs e hal en aus „Twel Ang y Men“ ko ek da s ell .
Im Rahmen diese A bei kann keine Ins anz ü das op imale Diploma iep oblem
mi wenige als ie Meinungsdimensionen ge unden we den, die das Abs im-
mungs e halen aus „Twel Ang y Men“ e zeug . Wi können da aus nich schlie-
ßen, dass keine solche Ins anz exis ie . Jedoch wissen wi nun, dass wi maximal
ie Meinungsaspek e benö igen, um die Dynamik des Films bzw. Buchs mi un-
se em Modell zu e klä en. Au G undlage de Simula ionse gebnisse können wi
auße dem einige gene elle Übe legungen zum op imalen Diploma iep oblem mi
meh dimensionalem Meinungs aum ans ellen.
4.3 Ve allgemeine ung de E gebnisse
In den o igen Abschni en übe se zen wi eine gegebene eindimensionale Mei-
nungsdynamik in eine Ins anz des op imalen Diploma iep oblems. Dies äll uns
umso leich e , je g öße die Anzahl an zusä zlichen Dimensionen des Meinungs-
aums is . Füh eine E höhung de Dimensionen des Meinungs aums imme dazu,
dass meh Dynamiken da ges ell we den können? Eine e s e An wo lie e uns
Lemma 4.1.
Lemma 4.1 Gegeben sind die S a meinungen ü eine Ins anz des op imalen Di-
ploma iep oblems mi n Agen en, m−dimensionalem Meinungs aum und einem
uni o men Kon idenz adius ε. Alle Meinungsdynamiken, die du ch diese Ins anz
e zeug we den können, sind auch du ch eine Ins anz des op imalen Diploma ie-
p oblems mi l−dimensionalem Meinungs aum ∀l∈Nmi l >m e eichba .
Wi beweisen das Lemma pe Induk ion nach l:
Induk ionsan ang: l=m+1.
Wi se zen die S a meinungen säm liche Agen en in den e s en mDimensio-
nen wie in de Ins anz mi m−dimensionalen Meinungen. Fü die S a meinungen
in de m+1. Dimension wählen wi ein Duplika eine beliebigen Komponen-
e de Ins anz mi mMeinungsdimensionen. Das Ve hal en des S a egen wählen
wi in diese neuen Dimension iden isch zum Meinungs e hal en in de Dupli-
zie en. ∀i,j∈ {1,2,...,n}, ∈Thaben wi das Kon idenzin e all de inie als:
I(i,X( )) = {k∈ {1,...,n}|kxi( )−xj( )k≤εi}wobei k·kdie in 2.2 de inie e Ma-
ximumsno m sei. E wei e n wi die Di e enz xi( )−xj( )um eine be ei s o han-
29
dene Komponen e, so ände dies nich s am E gebnis de Maximumsno m übe
die gesam e Di e enz. Dies bedeu e : Die Gewich ema ix de Ins anz mi m+1
Dimensionen is iden isch zu de in de Ins anz mi mDimensionen. Demen sp e-
chend e gib sich in den e s en mDimensionen de Ins anz mi m+1 Dimensionen
die gleiche Dynamik wie in de Ins anz mi mDimensionen. Da aus olg die Be-
haup ung.
Induk ionsannahme: ∀lmi l>m:
Es exis ie eine Ins anz des op imalen Diploma iep oblems mi l−dimensionalem
Meinungs aum die alle Dynamiken e zeugen kann, die im op imalen Diploma ie-
p oblem mi mDimensionen e eich we den.
Induk ionssch i : l→l+1.
Lau Induk ionsannahme wissen wi , dass ü lDimensionen alle Dynamiken aus
eine Ins anz mi mDimensionen e zeug we den können. Duplizie en wi eine
wei e e Dimension nach dem Schema aus de Induk ionsannahme, so olg nach
de A gumen a ion in de Induk ionsannahme die Behaup ung.
Wi wissen nun: E höhen wi die Zahl an Dimensionen des Meinungs aums im
Diploma iep oblem, so können wi imme mindes ens genauso iele Dynami-
ken e zeugen, wie mi ge inge dimensionie en Ins anzen. Zusä zlich können wi
Ve läu e besch eiben, die in eindimensionalen Meinungs äumen nich da s ellba
sind. Da un e allen beispielsweise solche, in denen sich die O dnung de Mei-
nungen ände (siehe dazu Beispiel 2.1).
Im o igen Kapi el haben wi eine Dynamik bezüglich eines Aspek s gegeben.
Wi e wei e n da au hin die Eindimensionali ä des Meinungs aum um die An-
zahl an nich s a egischen Agen en. Im be ach e en Beispiel is es nich möglich,
die o gegebene Dynamik zu e zeugen. Dies beg ünden wi dadu ch, dass Re-
s ik ionen ü das Ve hal en des Diploma en gegeben sind. Dies ha zu Folge,
dass die Meinungsdynamik aus „Twel Ang y Men“ nu du ch zusä zliche, indi-
ek e Beein lussung inne halb de nich s a egischen Agen en en s ehen kann.
Wi nehmen im Wei e en an, dass keine Res ik ionen ü die Meinung des Di-
ploma en exis ie en. Wi wollen spezi izie en, in welchen Fällen eine Diploma ie
ohne zusä zliche, indi ek e Beein lussung schei e . Dies i au Meinungs e -
läu e zu, ...:
•...in denen ein Agen seine Meinung in eine Meinungsak ualisie ung um
meh als ε
2∈[0,1
2]⊂R e ände .
•...in denen zwei Agen en gleichzei ig ih e Meinung in en gegengese z e
Rich ungen e ände n.
30
•...in denen die Meinungs e ände ung zweie Agen en, zwischen denen ein
Riss bes eh , das gleiche Vo zeichen ha .
Wi assen zusammen:
•Je meh Dimensionen de Meinungs aum eines Diploma iep oblems e -
ein , des o meh e schiedene Dynamiken können wi da in e zeugen.
•Es gib gewisse Meinungs e läu e, die nich ohne indi ek e Beein lussung
inne halb de nich s a egischen Agen en auskommen.
Wi be ach en im Folgenden nu noch Meinungs e läu e, die sich ein du ch das
Agie en des Diploma en e klä en lassen. Wi wollen, dass eine solche Dynamik
a sächlich ausschließlich du ch die Beein lussung des S a egen en s eh . Um wie
iele Dimensionen, wi den Meinungs aum e wei e n müssen, dami wi alle e -
denklichen Dynamiken au diese A ealisie en können, zeigen die nachs ehenden
Lemma a.
Lemma 4.2 Wi be ach en ein Diploma iep oblem mi n-Agen en, n−dimensionalem
Meinungs aum, disk e em Zei ho izon T und uni o mem Kon idenz adius ε. Dann
kann ü jede Dynamik mi Folgenden Eigenscha en eine Ins anz ge unden we -
den, die die Dynamik nu du ch Beein lussung des Agen en e zeug :
1. Die Dynamik kann du ch eine Diploma ie e klä we den.
2. In jede Runde e ände maximal ein Agen seine Meinung.
Beweis:
Wi bilden in de null en Dimension das Geschehen de ge o de en Dynamik ab.
In allen ande en Dimensionen se zen wi die Meinungen wie olg es :
xk
i(0) = (1 ü k=i
0 sons
ü alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {0,1,2,...,n−1}.
Ände Agen i on Runde nach +1 seine Meinung, wobei ∈T, so e zeugen
wi dies du ch olgende S a egie des Agen en:
xk
Diploma ( ) = (1 ü k=i
0 sons
ü alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {1,2,...,n−1}und eine de Dynamik en sp e-
chenden Wahl ü x0
Diploma ( ).
31
Lemma 4.3 Wi be ach en ein Diploma iep oblem mi n-Agen en, 2n−1+1di-
mensionalem Meinungs aum und uni o mem Kon idenz adius ε. Dann kann ü
jede Dynamik, die du ch eine Diploma ie e klä ba is , eine Ins anz ge unden
we den, die die Dynamik nu du ch Beein lussung des Agen en e zeug .
Beweis:
Wi bilden in de null en Dimension das Geschehen de ge o de en Dynamik ab.
Fü alle ande en Dimensionen de inie en wi eine MengeUk,k∈ {0,1,2,...,2n−1}.
Die Ve einigung diese Mengen en sp ich de Po enzmenge de Agen enindizes
(nu de nich s a egischen Agen en). Wi se zen die Meinungen wie olg es :
xk
i(0) = (1 ü k∈Uk
0 sons
ü alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {0,1,2,...,2n−1}.
Ände in eine Menge on Agen en jede aus diese on Runde nach +1 seine
Meinung, wobei ∈T, so en sp ich diese Menge eine Menge Uk ü i gendein
k∈ {0,1,2,...,2n−1. De S a ege wähl dann die S a egie:
•xk
Diploma ( ) = 1
•x0
Diploma ( )en sp echend de gegebenen Dynamik
•xl
Diploma ( ) = 0∀l∈ {0,1,2,...2n−1} k
Unse e Ve mu ung aus Kapi el 4.3 bes ä ig sich. Je meh Dimensionen de Mei-
nungs aum inneha , des o g öße is de Handlungsspiel aum des Diploma en.
32
4.4 Ausblick
Im Ve lau e diese A bei konn en wi Ins anzen inden, die die Meinungsdyna-
mik in „Twel Ang y Men“ als op imales Diploma iep oblem da s ellen. Dabei
nehmen wi an, dass sich die Meinungen de Agen en aus mindes ens ie Kompo-
nen en zusammense zen. Beim Ve such die Dynamik mi eindimensionalen Mei-
nungen da zus ellen schei e n wi . Da aus können wi eine Ve mu ungen übe das
a sächliche Geschehen ablei en: Die Geschwo enen ällen ih U eil zum Mo d-
p ozess nich nu au G undlage de Meinungen de ande en Ju o en zum P ozess.
Wei e e Fak o en we den bei de Meinungsbildung be ücksich ig . Diese Aspek-
e können jedoch au mindes ens ie en scheidende eduzie we den. Auße dem
muss zusä zlich zu Diploma ie on „Ju o 8“ eine gegensei ige Beein lussung de
Ju o en s a inden.
Möch e man das Geschehen in „Twel Ang y Men“ mi eindimensionalen Mei-
nungen e klä en, so eichen die Gegebenhei en in unse em Modell mögliche wei-
se nich aus. Eine A gumen a ion muss sich dann au Annahmen s ü zen, die wi
in de o liegenden A bei nich be ach en. Eine Idee is die Ve wendung nich
uni o me Kon idenz adien. Wi gehen da on aus, dass alle Geschwo enen gleich
ole an sind. Dies kann, insbesonde e au g und des Ve hal ens on „Ju o 3“ und
„Ju o 10“, in F age ges ell we den. Auße dem is es denkba , dass die Ju o en
nich allen Kollegen, die inne halb ih es Kon idenzin e alls liegen gleich s a ke
Beach ung schenken. „Ju o 2“ beispielsweise wi d im D ama als seh schüch e n
da ges ell . Es schein plausibel, dass die Geschwo enen seine Meinung wenige
s a k beach en als die on cha isma ischen Figu en.
Zusammenge ass konn e, mi den in diese A bei ge o enen Annahmen, nich
abschließend geklä we den, ob die Meinungsdynamik aus Twel Ang y Men
du ch das op imale Diploma iep oblem mi eindimensionalen Meinungen da ge-
s ell we den kann. In eine wei e üh enden A bei könn e die F ages ellung au
die genann en abgewandel en Modelle übe agen we den.
33
5 Simula ion
Um die Dynamik on Beispiel-Ins anzen eines op imalen Diploma iep oblems ex-
ak be echnen zu können, wu de im Rahmen diese A bei eine Simula ion en -
wickel .
5.1 Funk ionen
Die Simula ion bie e zum einen die Möglichkei die Dynamik eine Ins anz des
Bounded-Con idence Modells be echnen zu lassen. Folgende Pa ame e müssen
dazu gese z we den:
1. Anzahl de Agen en
2. Anzahl de Dimensionen
3. Anzahl an Runden
4. Kon idenz adius
5. S a meinungen alle Agen en in allen Dimensionen.
Nach Eingabe de S a we e be echne das P og amm ü jede Runde die En -
wicklung de Meinungen. Auße dem ö ne sich ü jede Dimension des Mei-
nungs aums eine G a ik. In diese wi d au einem XY-Diag amm die Meinung
säm liche Agen en je Runde eingezeichne .
Zum ande en können wi Beispiele ü das op imale Diploma iep oblem es en.
Auch hie müssen die zu o au gezähl en Pa ame e es leg we den. De Diplo-
ma is dabei in de Anzahl an Agen en en hal en und wi d imme du ch den
Agen en mi dem höchs en Index ep äsen ie . Zusä zlich muss eine S a mei-
nung ü den Diploma en gewähl we den. Nach jede Runde wi d de Nu ze
nach de Meinung des Diploma en in diese ge ag . Den Ve lau de Meinungen
in allen Dimensionen des Meinungs aums können wi wäh enddessen in en sp e-
chend ielen G a ik ens e n e olgen.
In beiden Simula ionsmöglichkei en we den alle Zwischene gebnisse sowie die
Endmeinung be echne und sowohl in B uch, als auch Dezimal o m ausgegeben.
Alle Ein- und Ausgaben e olgen dabei au de Konsole.
34
5.2 P og ammie ung
Die Simula ion wu de in Ja a un e Zuhil enahme de Obe läche Eclipse p o-
g ammie . Die Meinungs e läu e we den in de Simula ion isuell un e s ü z .
Hie zu wu de das Zusa zpake JF eeCha e wende .
Alle Be echnungen inne halb de Simula ion wu den ausschließlich mi a iona-
len Zahlen du chge üh . De G und hie ü is die nume isch bösa ige Dynamik
des Bounded-Con idence Modells. In jedem Sch i de Meinungsbildung üh en
wi eine Rechnung de Fo m |a−b| ≤ εdu ch wobei a,b,ε∈[0,1]. Da das e-
elle, abgeschlossene Einhei sin e all übe abzählba iele Zahlen besch eib , is
es nich möglich dieses am Compu e olls ändig da zus ellen. Bei Rechnungen
und Ve gleichen on seh ähnlichen Zahlen komm es dahe bei de Ve wendung
on gängigen Da en ypen, wie beispielsweise double, imme wiede zu Fehle n.
Die Ve ände ungen on Meinungen hängen im Bounded-Con idence Modell le-
diglich da on ab, welche Meinungen im Kon idenzin e all de Agen en liegen.
Fehlen scheidungen bei obige Ve gleichsope a ion können zu öllig ande en E -
gebnissen üh en. (Vgl. [6, S.10]).
Aus diesem G und wu de ü diese A bei eine eigene Klasse Ra ionalnumbe
implemen ie . Ein Objek da aus se z sich aus einem Zähle und einem Nenne
zusammen. Die Klasse beinhal e Me hoden ü die G und echena en (Addi i-
on, Sub ak ion, Mul iplika ion und Di ision). Auße dem sind alle A en des Ve -
gleichs möglich. Wei e häl die Klasse Me hoden be ei , die Be ag, Nenne und
Zähle eines B uchs zu ückgeben. Ebenso kann de B uch in einen S ing umge-
wandel und ausgegeben we den. Auch eine Me hode zum Kü zen de a ionalen
Zahl wu de implemen ie . Als Hil sme hoden sind das Be echnen eines g öß en
gemeinsamen Teile s, sowie des kleins en gemeinsamen Viel achen möglich.
Abhängig on den S a we en und de Anzahl de Runden, s eigen die We e on
Zähle und Nenne de B üche in den Be echnungen seh s a k an. Dahe wu de
diesen de Da en yp BigIn ege zugewiesen. Diese leg Zahlen dynamisch g oß
an, sodass es - im Gegensa z zu no malen In ege Klasse - keine G ößenbesch än-
kung de Zahlen gib und dadu ch keine Übe läu e en s ehen [9].
Zu Visualisie ung de Da en we den Dezimalzahlen benö ig . Dazu we den Zäh-
le und Nenne de be echne en B üche in den Da en yp BigDecimal als Pendan
zu BigIn ege Klasse umgewandel ( ü De ails gl. [9]). Die a ionale Zahl kann
nun di idie und ge unde we den. Im P og amm is dabei eine Genauigkei on
neun Nachkommas ellen es gese z .
Au de beiliegenden CD be inde sich de Quellcode alle gesch iebenen Klassen.
35
Li e a u
[1] Vale ia Mal oni. h p://www.con e sa ionagen .com/2017/05/seek- i s - o-
unde s and.h ml. Au ge u en am 30.07.2017.
[2] Uni ed S a es Cou s. h p://www.uscou s.go /se ices- o ms/ju y-se ice.
Au ge u en am 04.07.2017.
[3] Legal In o ma ion Ins i u e. h ps://www.law.co nell.edu/uscode/ ex /28/1865.
Au ge u en am 04.07.2017.
[4] Ul ich K ause. A disc e e nonlinea and non-au onomous model o consensus
o ma ion. Communica ions in Di e ence Equa ions, pages 227–236, 2000.
[5] Jan Lo enz. Meh dimensionale Meinungsdynamik bei wechselndem Ve au-
en. Mas e ’s hesis, Uni e si ä B emen, 2003.
[6] Raine Hegselmann e al.. Op imal opinion con ol: he campaign p oblem.
Jou nal o A i icial Socie ies and Social Simula ion, 18(3), 2015.
[7] Ul ich K ause, Raine Hegselmann. Opinion dynamics and bounded con i-
dence: models, analysis and simula ion. Jou nal o A i ical Socie ies and
Social Simula ion, 5(3), 2002.
[8] Reginald Rose. 12 ang y man. Penguin Books, 2006.
[9] Ch is ian Ullenboom. Ja a is auch eine Insel, Volume 10. Rheinwe k Comp-
uing, 2011.
36
Selbs s ändigkei se klä ung
Ich, Julia Kunkel, e klä e hie mi , dass ich die o liegende A bei mi dem Ti el
„Op imale Diploma ie in meh dimensionalen Meinungs äumen und die zwöl
Geschwo enen“ selbs s ändig und nu un e Ve wendung de angegebenen
Quellen und Hil smi el e ass habe.
Zi a e wu den als solche kenn lich gemach .
Ebenso e siche e ich hie mi , dass wede ich, noch eine d i e Pe son diese
A bei be ei s zu E langung eines akademischen G ades an eine Hochschule
einge eich ha .
Mi is bekann , dass die Nich einhal ung diese E klä ung zu eine Beno ung
mi de Bewe ung „nich aus eichend“ üh .
________________
Bay eu h, den 31.07.17
