Электротехника
188
Хмельник С. И.
О вариационном принципе экстремума в
электромеханических системах
Аннотация
Формулируется и доказывается вариационный принцип
оптимума для электромеханических систем произвольной
конфигурации, в которых протекают электромагнитные,
механические, тепловые, гидравлические и др. процессы.
Показывается, что для таких систем существует пара
функционалов с глобальной седловой точкой. Для систем
без электрических цепей предложенный принцип
эквивалентен принципу минимума действия. Описывается
универсальный алгоритм расчета электромеханических
систем при любых возмущающих воздействиях. В этом
алгоритме реализуется метод поиска глобальной седловой
точки одновременно для двух функционалов. Указывается
демонстрационная программа.
Разработка расчетных программ может быть заказана
автору по адресу solik@ne ision.ne .il
Содержание
Предисловие
1. Последовательная RCL-цепь с электрическими зарядами
2. Уравнения электрической цепи общего вида с
электрическими зарядами.
3. Функционал для электрической цепи общего вида с
электрическими зарядами.
4. Функционалы от интегральных функций.
5. Интегральные уравнения RCL-цепи с электрическими токами.
6. Интегральные уравнения для электрической цепи общего вида
с электрическими токами.
7. Функционал для интегральных уавнений электрической цепи
общего вида с электрическими токами.
8. Электрическая цепь с трансформаторами Денниса.
9. Безусловная электрическая цепь.
10. Обобщенный функционал для безусловной электрической
цепи
11. Минимизация энергии
12. Cистема линейных дифференциальных уравнений
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
189
13. Электромеханические системы
Литература
Предисловие
Представляет теоретический и практический интерес поиск
вариационных принципов для электромеханических систем
произвольного состава и конфигурации. Для механических систем
такие принципы общеизвестны. Для частных случаев электрических
цепей решение такой задачи известно. Так, для цепей с
сопротивлениями решение найдено еще Максвеллом [1] и
сравнительно недавно распространено на цепи с диодами и
трансформаторами постоянного тока [2]. Для цепей с емкостями и
индуктивностями (но без сопротивлений) решение этой задачи
также известно в [3, 5]. В [6] перечислены работы с попытками ее
решения для электрических цепей общего вида и доказана их
несостоятельность. Эти поиски понятны, так как отсутствие
принципа экстремальности для электрических цепей кажется
странным. Что касается практической стороны дела, то наличие
такого принципа позволяет использовать электрические цепи
переменного тока в качестве моделей задач вариационного
исчисления: в виде этих цепей природа дает нам в руки простую в
исполнении вычислительную машину, решающую весьма сложную
математическую задачу (по неизвестному нам алгоритму). С другой
стороны, рассуждения в терминах электрических цепей могут
привести к развитию способов решения определенных задач
вариационного исчисления. Примером аналогичного влияния
теории цепей постоянного тока на теорию математического
программирования может служить работа [2]. Наконец, можно
использовать теорию вариационного исчисления для расчета
электрических цепей и электромеханических систем. Этот подход
описывается ниже.
Принцип экстремума для электрических цепей переменного
тока сформулирован автором в 1988 г. [8] и развит в статьях [9, 10,
15]. Основная идея состоит в том, что функция тока «расщепляется» на
две независимые функции. Предложенный функционал содержит такие
пары функций, а его оптимум является седловой точкой, где одна
группа функций минимизирует функционал, а другая -
максимизирует его. Сумма оптимальных значений этих функций
дает функцию тока в электрической цепи.
Электротехника
190
В [16] этот принцип обобщается на электромеханические системы,
поскольку может быть объединен с известным в механике
принципом наименьшего действия. При этом для данной
электромеханической системы формируется функционал,
содержащий тепловые, механические, электрические,
электромагнитные энергии, функции, зависящие от конфигурации
системы, функции, описывающие возмущающие воздействия -
электрические и механические. Функционал имеет размерность
“энергия * время”. Он является квадратичной функцией искомых
параметров и имеет единственную точку оптимума. Ограничения
отсутствуют (они также включены в функционал). Функции
переменных, доставляющие этому функционалу оптимальное
значение, являются решением задачи расчета данной
электромеханической системы. Таким образом, расчет данной
электромеханической системы математически формулируется как
вариационная задача поиска безусловного оптимума квадратичного
функционала. Такая задача всегда имеет решение и для ее решения
найден быстродействующий алгоритм поиска седловой точки этого
функционала.
В [16] рассматривается также вычислительный аспект
применения указанного принципа. Он может быть использован для
разработки универсального комплекса программ для быстродействующих
расчетов электромеханических систем произвольного состава и
конфигурации. Универсальность обеспечивается единообразием
формулировки принципа для любой электромеханической цепи:
электромеханическая система рассчитывается по единой методике вне
зависимости от
конфигурации и состава активных и пассивных элементов
вида функций источников и потребителей мощности.
При этом достигается
1. высокое быстродействие, обеспечиваемое тем, что
функционал является квадратичным и имеет
единственный глобальный оптимум,
уравнения второго закона Кирхгофа исключены из
ограничений задачи и, тем самым, сокращена ее
размерность,
функционал имеет безусловный оптимум
2. существование сравнительно простого алгоритма даже для
сложной математической постановки, например, для расчета
системы со сложной конфигурацией и апериодических
разрывных возмущающих воздействиях,
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
191
3. надежный поиск решения (итерационный процесс всегда
сходится),
4. сходимость итерационного процесса даже при несовместимых
исходных данных (находится режим, в определенном смысле
наиболее близкий по параметрам к исходным данным),
5. возможность расчета смешанных электромеханических систем в
целом, например, электрических цепей с двигателями,
генераторами, гидравлическими преобразователями и т.п.
Итак, природа дает нам некоторый функционал в виде
указанного принципа оптимума. Из оптимизации этого
функционала при ограничениях в виде уравнений первого закона
Кирхгофа следуют уравнения второго закона Кирхгофа.
Естественно, оптимизация указанного функционала или решение
системы уравнений Кирхгофа приводит к одному и тому же
результату.
Данная статья представляет собой конспективное изложение
книги [16].
1. Последовательная RCL-цепь с
электрическими зарядами.
Далее первую и вторую производные по времени будем
обозначать одним и двумя штрихами соответственно. Рассмотрим
функционал
Td yx yxF 0),(),( , (1)
где
)()(
)()(
),(
2222
yxEyxyxR
yxLyxS
yx , (2)
x, y - неизвестные функции времени с непрерывными
вторыми производными,
E - известная функция времени ,
S, L, R - положительные числа.
Необходимые условия экстремума этого функционала имеют вид:
0222
EyRxLSx , (3)
0222
ExRyLSy . (4)
Экстремаль, определенная уравнениями (3) и (4) доставляет
функционалу (1) и (2) глобальный слабый максимум по функции x
Электротехника
192
и глобальный слабый минимум по функции y при 0
L. Это
означает, что существуют оптимальные функции 0
x и 0
y,
являющиеся решением системы дифференциальных уравнений (3)
и (4) и доставляющие функционалу (1) и (2) экстремальное значение
),( 000 yxFF
. Оптимальность функций 0
x и 0
y проявляется при
сравнении значений функционала, зависящих от оптимальных и
неоптимальных функций и от их производных. Оптимальные
функции удовлетворяют условию
00 yx
, (6)
что следует из симметрии уравнений (3) и (4). Складывая уравнения
(3) и (4), получаем
0
EqRqLSq , (7)
где
q = x + y. (8)
Таким образом, функционал (1) и (2) оптимизируется при таких
функциях x и y, которые в сумме удовлетворяют уравнению (7).
Этот функционал имеет оптимальную седловую точку, в которой
выполняются условия (6), (7) и (8). Уравнение (7) является
уравнением RCL-цепи, подключенной к источнику Э.Д.С. E, где q
- ток в этой цепи. Следовательно, в RCL-цепи объективно
соблюдается принцип экстремума величины F, определенной по (1)
и (2), а следствием этого принципа является уравнение (7).
2. Уравнения электрической цепи общего
вида с электрическими зарядами.
Рассмотрим электрическую цепь общего вида и выделим в ней
ветви двух типов:
1. ветвь с источником тока k
H, включенную между узлом
и «землей»,
2. последовательную RCL-цепь с элементами
R
S
L
E
k
k
k
k
,
,
,
, включенную между двумя узлами.
Будем полагать, что ветви второго типа связаны, кроме того,
индуктивностями
M
km
. Пример такой цепи приведен на фиг. 1.
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
193
1
q
2
1
3
1
H3
H
2
H
2
2
2
2
,,, ELSR
1
1
1
1
,,, ELSR 3333 ,,, ELSR
12
M23
M
13
M
3
q
2
q
Фиг. 1. Пример электрической цепи общего вида
Можно показать, что такая электрическая цепь описывается
следующей системой уравнений:
0
T
NEqRqMSq , (14)
0
HqN , (15)
где qH
, - векторы токов в ветвях первого и второго типов;
E - вектор Э.Д.С. ветвей второго типа;
- вектор потенциалов на ветвях второго типа;
N - матрица инциденций с элементами 1, 0, -1;
S, R, M - матрицы вида
...]...[diag 21 k
SSSS
(16)
Электротехника
194
...]...[diag 21 k
RRRR
(17)
...............................
.......
............
......
......
...
............
...
...
22
11
321
23221
13121
kmk
mk
mk
kkk ML
MM
MM
MMM
MLM
MML
M. (18)
В этой системе уравнение (15) описывает первый закон
Кирхгофа, уравнение (14) - второй закон Кирхгофа. В данной
системе известны
H
и E как вектор-функции времени , а искомой
является вектор-функция времени q( ).
3. Функционал для электрической цепи
общего вида с электрическими зарядами.
Рассмотрим вектор-функции времени x( ), y( ), )(),(
,
удовлетворяющие уравнениям (8) и уравнению
(19)
При этом система уравнений (14), (15) может быть переписана в
следующем виде:
02222
T
NEyRxMSx , (20)
02222
T
NExRyMSy , (21)
02
HxN , (22)
02
HyN , (23)
Рассмотрим теперь функционал (1), где
HyNHxN
yxERyxyRx
yMyxMxSyySxx
yx
TT
TTT
TTTT
22
)(),(
(24)
и задачу поиска экстремума этого функционала. Необходимые
условия экстремума в этом случае имеют вид уравнений (20)-(23).
Складывая уравнения (20) и (21), получаем (14), а складывая (22) и
(23), получаем (15).
Можно показать, что в электрической цепи матрица M является
положительно определенной. Отсюда следует, что функционал (1),
(24) имеет седловую точку, в которой достигается глобальный
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
195
слабый максимум по функции x и глобальный слабый минимум по
функции y. Оптимум этого функционала достигается при
0000000000 ,,,
yxqyx .
4. Функционалы от интегральных функций.
Выше рассматривались уравнения цепей относительно заряда q
и его производных. Ниже будут рассмотрены уравнения цепей
относительно тока g и его производных. Предварительно введем
следующие обозначения:
.
ˆ
,0
Zd Z
d
dZ
Z
Известна формула Эйлера для вариации функционала от функции
,...),,( yyy
. По аналогии запишем такую же формулу для функции
,...),,,
ˆ
(..., yyyy
:
...... a '
2
2
''
0
'
ˆ
yyy
y
d
d
d
d
d
(25)
В частности, если yx
() , то
x
a
; если yx ˆ
()
, то
x
ˆ
a
.
5. Интегральные уравнения RCL-цепи с
электрическими токами.
Уравнение последовательной RCL-цепи относительно тока g и
его производных имеет вид
0
ˆ
ERggLgS . (26)
Аналогично предыдущему это уравнение может быть заменено
двумя уравнениями вида
022
ˆ
2
ER wLwS (27)
022
ˆ
2
ERw L S (28)
где
g = + w. (29)
Рассмотрим теперь функционал
Td w yxF 0),(),( , (30)
где
Электротехника
202
0
ˆ
TNERggMgS T, (44)
iHNg
, (45)
mPgTT . (46)
Здесь, как и ранее, qg
.
Обратимся к системам уравнений (41)-(43) и (44)-(45).
Рассмотрим функционалы, для которых эти уравнения являются
необходимыми условиями оптимума. Эти функционалы имеют
следующий вид
для систем уравнений (41)-(43):
Td miyx miyxF 0),,,,,,,(),,,,,,,(
, (47)
где
mPyTmPxT
iHNyiHNx
mmiiyxERyxyRx
MyyMxxSyyxSx
TTTT
TT
TTTTT
TTTT
22
22
2
)(
(.)
, (48)
q=x+y,
,
; (49)
для систем уравнений (44)-(45):
Td miw miw F 0),,,,,,,(),,,,,,,(
, (50)
где
mPwTmP T
iHNwiHN
mmii
w ERwwR
Mw wM Sw wS
TT
TT
TTT
TTTT
22
22
2
)(
ˆˆ
(.)
, (51)
g = + w,
,
. (52)
9. Безусловная электрическая цепь
Электрическую цепь, у которой
01
, в дальнейшем будем
называть безусловной. Пример такой цепи показан на фиг. 3.
Системы уравнений (41)-(43) и (44)-(45) могут быт упрощены при
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
203
01
, т.к. в этом случае все потенциалы
mi , и
могут быть исключны:
0
PqTTHqNNEqRqMSq TT
,
0
ˆ
PgTTHNgNERggMgS TT
.
После приведения подобных, получаем (7) и (26), где
.,
,,
PTHNEEMM
TTNNRRSS
T
TT
(53)
Таким образом, безусловная электрическая схема с матрицей ТД
описывается уравнениями (7) и (26). Эти уравнения идентичны
уравнениям для RCL-цепей и для рассматриваемых цепей
существуют функционалы, для которых данные уравнения являются
необходимыми условиями оптимума. Эти функционалы имеют
следующий вид
для уравнения (7) - функционалы (1), (2),
для уравнения (26) - функционалы (30), (31),
причем в этих формулах скалярные величины S, R, L, E заменены
на матрицы EMRS ,,, , определенные по (53).
Таким образом функционалы для безусловной электрической
цепи имеют безусловный оптимум. При
безусловная
электрическая цепь аппроксимирует обычную электрическую цепь с
теми же параметрами, но при
. Другими словами, режим
электрической цепи стремится к режиму аппроксимирующей
безусловной электрической цепи при
. Следовательно,
расчет электрической цепи может быть заменен расчетом
безусловной электрической цепи при достаточно больших
. Этот
способ будет использован в дальнейшем.
10. Обобщенный функционал для
безусловной электрической цепи
Из вышеизложенного следует, что принцип экстремума
функционала (1, 2) от от расщепленной функции зарядов x и y
приводит к такому их распределению, при котором указанный
функционал максимизируется в функции от x и минимизируется в
функции от y. При этом сумма оптимальных значений x и y равна
наблюдаемой функции зарядов q. Аналогично, принцип экстремума
Электротехника
204
функционала (30, 31) от от расщепленной функции токов и w
приводит к такому их распределению, при котором указанный
функционал максимизируется в функции от и минимизируется в
функции от w. При этом сумма оптимальных значений и w равна
наблюдаемой функции токов q. Таким образом, в безусловной
электрической цепи объективно устанавливается безусловный
экстремум функционала зарядов (1, 2) и безусловный экстремум
функционала токов (30, 31). Следствием оптимизации являются
уравнения второго закона Кирхгофа для зарядов (7) и токов (26)
соответственно. При этом предполагается, что в этих формулах
скалярные величины S, R, L, E заменены на матрицы EMRS ,,, ,
вычисленные по (53). Для наглядности объединим эти формулы в
табл. 1.
Оба функционала (1) и (30) оптимизируются одновременно. Это
означает, что выполняется поиск таких функций qg
,
оптимальные значения которых доставляют оптимум этим
функционалам одновременно. Это, в свою очередь, означает, что
любое отклонение функций qg
от оптимального значения
(даже в сторону улучшения значения одного из функционалов
функционала) приводит к тому, что значение другого функционала
ухудшается.
Таблица 1.
Перемен
-
ные
Номер
формулы
Формула
заряды 1
Td yx yxF 0),(),(
2
)()(
)()(
),(
2222
yxEyxyxR
yxLyxS
yx
7 0
EqRqLSq
8
q = x + y
токи 30
Td w yxF 0),(),(
31
)()(
)()
ˆˆ
(
),( 22 w Ew R
w w Lw w S
w
26 0
ˆ
ERggLgS
29
g = + w
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
205
При такой оптимизации расчет электрической цепи
выполняется по следующему алгоритму градиентного поиска
седловой точки обощенного функционала, где
- оператор
дифференцирования, )(
h - изображение функции h( ) от времени
.
1. устанавливаются 0,0,0
qqq .
2. при данной функции qg
градиент p является общим для
обоих функционалов и вычисляется по формуле
EqRqMqSp
; (55)
3. определяется норма p градиента p;
4. при
p расчет заканчивается с определенным ранее
значением q;
5. вычисляются основные коэффициенты по следующим формулам:
T
TT
TT
d
pE
pRqpRq
pMqpSq
A0
12
2
, (56)
TTT d pMppSpB 0
12, (57)
d
pE
qRp
qMpqSp
qMpqSp
ATT
TT
TT
0
22
2
ˆ, (58)
TTpd RpB
0
22, (59)
6. определяется изображение
p
по оригиналу
p
;
7. определяется изображение приращения тока по формуле;
p
BB
AA
q
21
21
2
, (60)
8. определяется оригинал приращения тока q
по
изображению q
;
9. вычисляется новое значение тока qqq
;
10. пункты 2-9 повторяются.
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей
теоремы.
Электротехника
206
Теорема 1. Движение по направлению (60) в функционале
TTTT d qEqRqqMqqSqqF
0
)( , (60.1)
с положительно полуопределенными матрицами RMS ,,
эквивалентно движению к глобальным седловым точкам двух
вторичных функционалов
)(
),(
yxEyRxyRx
yMyxMxySyxSx
yx TTT
TTTT
, (60.2)
)(
ˆˆ
),(
w EwRw R
wM wM wS wS
yx TTT
TTTT
(60.3)
При этом стационарные значения функций
w
y
x
q
,
,
,
,
удовлетворяют условиям
ooooooooo w qyxqw yx
0
,,,
а уравнение стационарного значения имеет вид
0
EqRqMqS . (60.4)
Пример. Демонстрационная программа “SinLin”. В этой
программе реализован описанный выше метод, примененнный
для расчета цепей синусоидального тока. Ее можно получить у
автора, обратившись по адресу solik@ne ision.ne .il).
11. Минимизация энергии
Итак, в электрических цепях соблюдается принцип экстремума
величины при ограничениях - уравнениях первого закона
Кирхгофа. Следствием этого принципа являются уравнения второго
закона Кирхгофа. Оптимизируемый квадратичный функционал
имеет размерность «энергия*время». Подинтегральная функция в
функционале имеет размерность энергии и может
интерпретироваться как алгебраическая сумма электрической,
магнитной, тепловой энергий и потенциальной энергии источников
Э.Д.С.
Рассмотрим оптимальные значения функционалов при
оптимальных w yx ,. При этом в оптимальных значениях все
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
207
произведения одной переменной на производную другой
переменной исключаются.
В частности, функционал (2) принимает оптимальное значение
yFxFyxF
1
1
,
,
где функционал
Td ExxLSxxF 0
22
1
принимает минимальное значение, а функционал
Td EyyLSyyF 0
22
1
принимает максимальное значение. При 2/qyx
это
равносильно тому, что некоторый функционал
Td EqqLSqqF 0
22
1 (62)
принимает минимальное значение.
Аналогично, функционал (31) принимает оптимальное значение
wF Fw F
2
2
,
,
где функционал
Td E R F 0
2
2
принимает минимальное значение, а функционал
Td EwRwwF 0
2
2
принимает максимальное значение. При 2/2/ qgw
это
равносильно тому, что функционал
Td qEqRqF 0
2
1 (63)
принимает минимальное значение
Итак, поведение электрической цепи равносильно тому, что два
некоторых функционала одновременно принимают минимальные
значения (62) и (63). Это (как указывалось) означает, что любое
отклонение функции
q
от оптимального значения (даже в сторону
уменьшения значения одного из функционалов) приводит к тому, что
значение другого функционала увеличивается. Следовательно, можно
утверждать, что в электрической цепи одновременно
минимизируются действие тепловой энергии (63) и действие
электромагнитной энергии (62).
Заметим, что относительно рассмотренной задачи
вариационного исчисления может быть получена двойственная ей
задача, где неизвестными являются пары функций, дающие в сумме
искомые напряжения на элементах цепи.
Электротехника
208
12. Cистема линейных дифференциальных
уравнений
Вышеприведенные результаты можно интерпретировать как
метод решения системы дифференциальных уравнений второго
порядка вида (60.4) относительно переменной q( ). Решаемая
система должна иметь вид
0
d
cx
x
b
x
a
, (64)
где
x – вектор неизвестных,
a, b, - данные положительно определенные квадратные матрицы,
c – данная положительно определенная диагональная матрица,
d - данный вектор.
Полагая dEcSbRaMxq ,,,, , из (53) находим
параметры электрической цепи, которая моделирует данную
систему дифференциальных уравнений.
В частности, электрическая цепь может моделировать систему
дифференциальных уравнений первого порядка общего вида
0
d
bx
x
a
. (65)
Полагая dESbRaMxq
,0,,, , из (53) находим
параметры электрической цепи, которая моделирует данную
систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Алгоритм расчета электрической цепи описан выше. Тем самым
решение системы дифференциальных уравнений сводится к расчету
электрической сети методом градиентного поиска седловой точки
обобщенного функционала.
13. Электромеханические системы
Вышеприведенные результаты можно (как указывалось)
интерпретировать как метод решения системы дифференциальных
уравнений второго порядка относительно переменной q( ) вида
0
EqRqMqS . (66)
Решение этого уранения является следствием оптимизации
одновременно двух функционалов вида (60.2) и (60.3), где
oooooo w qyxq
,. Исключая трансформаторы Денниса
эту же систему (66) можно представить также в следующем виде:
0
HqNNEqRqMSq T
. (67)
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
209
Дополним безусловную электрическую цепь, соответствующую
уравнению (67), ветвями третьего типа, включенными между узлом и
«землей». Эти цепи будем называть дифференцирующими,
поскольку они описываются парой дифференциальных уравнений
следующего вида:
1
1
1
1
1
1
1
hX XeXdJcJbJa , (68)
0
2
2
2
2
2
2
2
hX XeXdJcJbJa , (69)
где
- узловые потенциалы,
J - токи дифференцирующих узлов,
X
- «посторонние» переменные,
h edcba ,,,,,, - известные величины.
В безусловной электрической цепи узловые потенциалы равны
i
, а токи через узловые сопротивления в данном случае
равны
JHqNi
.
При этом система уравнений электрической цепи принимает вид:
.0
,0
,0
2222222
11
11111
hX XeXdJcJbJa
JHqNhX
XeXdJcJbJa
JHqNNESqqRqM T
(70)
Эта система может быть переписана в следующем виде:
0
EQSQRQM , (71)
где
X
J
q
Q,
2
1
h
Hh
HNE
E
T
,
22
11
0
0
00
da
da
M
M,
22
11
0
00
eb
ebN
NNR
R
T
,
22
11
0
0
0
c
c
NS
S
T
.
Как и для системы (66), решение этого уравнения является
следствием оптимизации одновременно двух функционалов. Имея в
виду обозначение для Q, получаем
Электротехника
210
X
J
q
G
.
Метод решения уравнения (71) полностью совпадает с методом
решения уравнения (66)
Уравнение (68) может описывать некоторый
электромеханический элемент, где «посторонние» переменные – это
координаты, скорости, ускорения, силы, моменты, температура,
давление и другие переменные, описывающие неэлектрические
процессы - механические, тепловые, гидравлические. При этом
система уравнений (70) описывает систему электромеханических
элементов, связанных электрической цепью. Можно выделить
следующие варианты таких систем:
1. Электрическая цепь; при этом
qQh edcba
,0,0,0,0,0,0,0 .
2. Неэлектрическая (механическая, тепловая, гидравлическая) система;
при этом электрическая цепь отсутствует,
XQcba
,0,0,0 ,
и остается только часть уравнения (4) в виде
0
2
2
2
2
hX XeXd .
3. Электрическая цепь, в которой дифференциальные ветви содержат
только электрические элементы; при этом
J
q
Qh ed ,0,0,0,0 ,
а величины cba ,, имеют соответственно следующий смысл:
индуктивность или взаимоиндуктивность нескольких
дифференциальных ветвей, сопротивление, емкость. Надо заметить,
что схема такой же конфигурации может быть построена и без
привлечения понятия дифференциальных ветвей.
4. Электромеханическая система – общий случай. При этом
некоторые дифференциальные ветви могут
отсутствовать,
содержать только электрические элементы,
содержать только механические, тепловые, гидравлические
элементы,
содержать электромеханические элементы, в которых
происходит преобразование электромагнитной энергии в
Доклады независимых авторов 2005 выпуск №1
211
механическую и тепловую или обратное преобразование;
именно эти элементы формируют электромеханическую
систему, как таковую.
Заметим, например, что для механических систем принцип
минимума действия эквивалентен предложенному принципу. Однако
принцип минимума действия не применим к общему случаю
электромеханической системы.
Литература
1. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Том 1.
Москва, изд. «Наука», 1989, стр. 328.
2. Dennis Jack B. Ma hema ical P og amming and Elec ical Ne wo ks,
New Yo k, 1959, Pages V1, 186 p. Деннис Дж. Б. Математическое
программирование и электрические цепи. М.: ИЛ, 1961, 430 с
3. Pen ield P., Spence R., Duinke S. Tellegen’s heo em and elec ical
Ne wo ks, Camb idge, Mass., 1970, Pages XV, 143 p.
4. Образцов И.Ф., Гвишиани А.Д., Гурвич В.А. Расчет схем и
двойственные задачи выпуклого программирования. Доклады
Академии Наук СССР, 287, №5, Математика, 1986, 48-52 с.
5. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование
энергии. Л.: Энергия, 1964, 281 c.
6. Лазебник А.И., Левитин Е.С., Хранович И.Л. О вариационных
принципах электрических цепей. Теоретическая электротехника.
Республиканский межведомственный сборник, вып.18, Львов:
изд. Львовского Университета, 1975, 85-91 с.
7. Цлаф У. Вариационное исчисление и интегральные уравнения.
М.: Наука, 1966, 254 p.
8. Хмельник С.И. Принцип экстремума для электрических цепей
переменного тока. М.: ВНИИ Электроэнергетики, депонировано
в Информэнерго, № 2960-ЭИ-88, 1988, 26 с.
9. Хмельник С.И. Вариационные принципы в электрических
моделях сплошных сред. Задачи технической гидродинамики.
Сборник статей. М.: Наука, 1991, 148-158 с.
10. Хмельник С. Комплекс программ расчета электромеханических
систем. IV Международная конференция «Творческие поиски
ученых Израиля сегодня», Израиль, Ашкелон, 1999, 148-155 с.
11. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход.
М.: Советское Радио, 1973, 312 c.
12. He man E. Koenig, William A. Blackwell. Elec omechanical sys em
heo y, McG aw-Hill Book Company, N.Y., 1961. Кёниг Герман Е.,
