UCH KARRALI INTEGRALLARNING MEXANIK MASALALARGA TADBIQLARI

SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 52 UCH KARRALI INTEGRALLARNING MEXANIK MASALALARGA TADBIQLARI Shodmonkulova Shaxnoza Mirvali qizi Guliston davlat universiteti o‘qituvchisi e-mail: [email protected] Annotatsiya. Mazkur tadqiqot ishida, geometrik va fizik masalalarni uch karrali integral yordamida oson usullarda yechish, geometrik isbotlashlarda qulayliklar yaratish masalasi koʻrib chiqilgan. Uch karrali integralning nazariy asoslari va ularning geometrik va fizik masalalarga tadbiqlari oʻrganilgan. Аннотация. В данной исследовательской работе рассматривалась проблема решения геометрических и физических задач простыми способами с использованием тройного интеграла, создающая удобство в геометрических доказательствах. Изучаются теоретические основы тройного интеграла и их приложения к геометрическим и физическим задачам. Annotation. In this research work, the problem of solving geometric and physical problems in simple ways using the triple integral, which creates convenience in geometric proofs, was considered. The theoretical foundations of the triple integral and their applications to geometric and physical problems are studied. KIRISH Hozirgi zamon matematikasi boshqa tabiiy fanlar bilan birga yangi muammolarni hal qilmoqda. Masalan, mexanikada karrali integrallar yordamida ogʻirlik markazi, inersiya momentlari va boshqa kattaliklarni hisoblash osonroq boʻladi. Shuningdek, vektor analiz elementlari yordamida mexanik qonunlarini matematik modeli tuzilib hisoblashlari matematik jarayonga keltiriladi. Shuning uchun ushbu mavzu muhim nazariy va amaliy ahamiyatga egadir. SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 53 Uch karrali integral va uning geometriya, mexanikada tadbiqlarini oʻrganish dolzarb mavzu hisoblanadi. Chunki bu mavzu fizika, mexanika va matematika fanlarini uzviy bogʻliqligini bildirib turadi. Integral hisobni matematik fizika va mexnika masalalarida qoʻllaganimizda koʻproq vektor formadan foydalanish qulayroq boʻladi. Shuning uchun vektor analiz tushunchalari hamda integral formulalarni vektor koʻrinishlarini oʻrganish muhim ahamiyatga ega hisoblanadi. ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR “Geometrik va fizik masalalarda uch karrali integral” mavzusini yoritishda Sh.O.Alimov, R.R.Ashurovlarning “Matematik analiz”, T.Azlarov, H.Mansurovlarning “Matematik analiz”, G.Fixtengoltsning “Курс дифференциального и интегрального исчисления” (II tоm) kabi adabiyotlar tahlil qilindi. Karrali integrallar nazariyasining metodlaridan foydalanib yechish mumkin boʻlgan amaliy mazmundagi geometrik va fizik masalalarda misol va masalalarni A.Sa’dullayev va boshqalarning “Matematik analiz kursidan misol va masalalar toʻplami” (2-tom), B.P.Demidovichning “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”, G.Fixtengoltsning “Курс дифференциального и интегрального исчисления” (II tоm) va boshqa adabiyotlardan topish mumkin. NATIJALAR VA MUHOKAMA Tabiiyki, barcha geometrik va mexanik kattaliklar fazodagi   V jismning massasiga bogʻliqdir. Bunday holni uch karrali integral orqali ifodalaymiz [2, 3].  orqali   V jismning ixtiyoriy nuqtadagi zichligini belgilaylik: u nuqtaning koordinatalarini funksiyasi boʻladi va bu funksiyani har doim uzluksiz deb faraz qilamiz. dm dV dxdydz   massa elementlarini yigʻib chiqamiz va barcha massa kattaliklar uchun    VV m dV dxdydz     (1) ega boʻlamiz. SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 54 Elementar statistik momentlar uchun ushbu , yz dM xdm x dV   , zx dM ydm y dV   , xy dM zdm z dV   munosabatlar oʻrinli boʻlishini topamiz. Statistik momentlarni topish formulasi     , yz VV M x dV x dxdydz         , zx VV M y dV y dxdydz     (2)     , xy VV M z dV z dxdydz     iborat boʻladi. Ogʻirlik markazining koordinatalari uchun       ,, V V V x dV y dV z dV m m m             (3) formulalar oʻrinli boʻladi. Bir jinsli jism uchun const   boʻladi va ogʻirlik markazining koordinatalari uchun       ,, V V V xdV ydV zdV m m m             (4) munosabatlar oʻrinli boʻladi. Koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlari uchun         2 2 2 2 ,, xy VV I y z dV I z x dV            22 , z V I x y dV    (5) formulalar oʻrinli boʻladi. Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 55       2 2 2 ,, zy xz xy V V V I x dV I y dV I z dV          (6) formulalar bilan hisoblanadi.   ,,A    nuqtada mahkamlangan   V jism massa bilan tuldirilgan boʻlsin. dm dV   massa elementi tomoni nisbatan tortishish kuchi koordinata oʻqlarida proeksiyaga ega boʻladi. 33 3 ,, , xy z xy dF dV dF dV rr z dF dV r        bu yerda       222 r x y z          A nuqtadan   ,,x y z nuqtagacha masofa elementi. Bundan toʻliq F ur tortishish kuchini koordinata oʻqlaridagi proeksiyasi uchun      33 3 ,, , xy VV z V xy F dV F dV rr z F dV r           (7) ega boʻlamiz [2, 4]. Xuddi shunday   V jismning nuqtadagi potensiali ham   V dV Wr   (8) formula bilan hisoblanadi [3, 4]. Agar A nuqta jismdan tashqarida boʻlsa, bu integrallarning barchasi xos integrallar boʻladi. Bu holda W integralni ixtiyoriy ,,    oʻzgaruvchilar boʻyicha integral ostida differensiallash mumkin. Natijada , , , x y z F F F F F F             (9) hosil qilamiz. SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 56 Agar A nuqta   V jismga tegishli boʻlsa, bu nuqtada 0r va (7) va (8) dagi integral ostidagi funksiyalar chegaralanmagan boʻlib qoladi. Keyinroq bu integrallarni xosmas ekanligini va mavjudligini (9) munosabatning bajarilishini koʻrsatamiz. Uch karrali integrallarning mexanikaga tadbiqlariga doir ba’zi bir misollar koʻrib chiqaylik. 1 – misol. 1   boʻlganda ikki oʻlchovli holda bir jinsli silindrik brusning statistik momenti uchun       2 ,, yz zx PP xy P M zxdxdy M zydxdy M z dxdy      formulaga egamiz. Bularga (2) formulalarni qoʻllab:       , 0 ; z x y xy VP M zdV dxdy zdz    bu yerda     ,, 2 0 0 1. 2 z x y z z x y z zdz z     2 – misol. 22 2x y az paraboloid va 2 2 2 2 3x y z a   sferik sirtlar bilan chegaralangan jismning ogʻirlik markazini toping. xy tekislikka nisbatan statistik momenti   b a M xp x dx formulada x ni z bilan almashtirib hisoblash mumkin. Koʻndalang kesim   Rz ning yuzi 2az  ga teng. 2 z funksiya 0 dan a va   22 3az   funksiya uchun, yoki z oʻzgaruvchi a dan 3a gacha oʻzgaradi. Shunday qilib,   3 2 2 2 4 0 5 2 3 . 3 aa xy a M a z dz a z dz a         SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 57 Shuningdek jismning hajmi ma’lum:   36 3 5 , 3 a V   [6] boʻlsa,     56 3 5 . 83 V zdV a V      0   simmetrik jism boʻlgani uchun. 3 – misol. 2 2 2 2x y z az   sferaning massasini toping va ogʻirlik markazining oʻrnini aniqlang. Agar sferaning nuqtalari zichligi bu nuqtalar bilan koordinata boshigacha boʻlgan masofaga teskari proporsianal boʻlsa, 2 2 2 . k x y z   (1) formulaga koʻra massa 2 2 2 2 2 2 2x y z az dxdydz mk x y z      teng. Bu uch karrali integralda almashtirish bajarib, uni ushbu   2 2 2 2 0z a R dxdy m k dz x y z    sodda integral va ikki karrali integrallar orqali ifodalash mumkin. Bu yerda   z R radiusi 2 2az z ga teng boʻlgan aylana. Ichki integralni qutb koordinatalarga oʻtib   2 22 22 00 22 a az z rdrd az z rz      tengligini topamiz. Bundan esa 2 4 3 m Ra   boʻlishini topamiz. Statistik momenti esa (2) munosabatlardan foydalanib SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 58 2 2 2 2 2 2 2 2 16 15 xy x y z az zdxdydz M R Ra x y z        tengligini topamiz. Ogʻirlik markazi esa, 4 3a   ga teng, qolgan ikki koordinatasi 0 ga teng. 4 – misol. Ushbu silindrning asosidagi tortishish markazini toping. Rasmda ifodalanishiga koʻra     2 2 2 3 32 2 2 2 0 h z Vx y R zdV zdz F dxdy Vx y z          2 2 2 2 2 2 2 2 11 x y R dxdy x y x y h             22 2.R h R h      Qolgan ikkita tortishish kuchi nolga teng. Shuning uchun tortishish vertikal yuqoriga yoʻnalgan. 5 – misol. Silindrning asosini markazidagi potensialini toping. (8) formuladan foydalanib topamiz. Buning uchun 2 2 2 2 2 2 0 : h x y R dxdy W dz x y z      Ikki karrali integralni qutb koordinatalarga oʻtib hisoblaymiz. Natijada  22 2 2 2 2 2 0 2 ln hh R h W R z z dz R h R h h R             ega boʻlamiz. SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 59 Agar jismning inersiya momenti koordinata boshidan chiqib turli oʻqlarga tarqalgan boʻlsa, har bir oʻqda 1 n ON I  kesmalar ajratadi. cos cos cos cos , , nnn X ON Y Z III         lar bu kesmaning oxiri N nuqtaning koordinatalari boʻlsin. U holda n I ning qiymati ma’lumligiga koʻra N nuqtaning geometrik oʻrnini aniqlaydigan 2 2 2 2 2 2 1 x y z yz zx xy I X I Y I Z K YZ K ZX K XY      tenglamani hosil qilamiz [7, 8]. Shuningdek ON kesmaning uzunligi cheksizlikka aylanmasa, bu ikkinchi tartibli sirt ellipsoid boʻladi. U ellipsoid inersiya deyiladi. Qattiq jismlarning harakatini tekshirayotganimizda ellipsoid inersiyaning oʻqlari asosiy rol uynaydi. Shuning uchun bu oʻqlar inersiyaning bosh oʻqlari deyiladi. Agar O nuqta ogʻirlik markazi boʻlsa, mos inersiya oʻqlari inersiyaning bosh markaziy oʻqi deyiladi. Koordinata oʻqlarining inersiyani bosh oʻqlari boʻlishiga markazdan qochuvchi momentga bogʻliq. Masalan, x oʻqi inersiya bosh oʻqi boʻlishi uchun 0, 0 xy zx KK shartning bajarilishi zarur va yetarli. Xususan, bu shartlar bajarilishi uchun massa yz tekisligiga simmetrik tarqalgan boʻlishi kerak. Qattiq jismni oʻq atrofida aylanishida markazdan qochuvchi kuch haqida toʻxtalib oʻtamiz. Agar   V jism z oʻqi atrofida  burchak tezlik bilan aylangan boʻlsa, dm dV   elementli jismning markazdan qochuvchi kuchi 22 DF rdm r dV     SCIENCE AND SCIENTIFIC RESEARCH IN THE MODERN WORLD Vol. 3 No. 4 (2025) 60 kattalik bilan hisoblanadi. Bu erda r aylanish oʻqidan elementgacha boʻlgan masofa. Masofadan qochuvchi kuchning koordinata oʻqlaridagi proeksiyasi 22 , , 0 x y z dF x dV dF y dV dF        ga teng. F ur markazdan qochuvchi kuch ushbu integrallar orqali   2 2 2 , , 0 x yz y zx z V F x dV M F M F          hisoblanadi. Bu erda , yz zx MM jismning statistik momenti. Agar ,,    lar orqali jismning ogʻirlik markazining koordinatalarini ifodalasak, bu formulalar 22 , , 0 x y z F m F m F        ko’rinishda yoziladi. Markazdan qochuvchi elementar kuch orqali koordinata oʻqlariga nisbatan momentlarini 2 2 , ,0 xy y x z dM zdF yz dV dM zdF zx dV dM       koʻrinishda ifodalash mumkin [6, 7]. Natijada bu oʻqlarga nisbatan momentlar   2, , 0 x yz y zx z V M yz dV K M K M         integrallar orqali topiladi. Markazdan qochuvchi kuch uzaro teng kuchli boʻlishi uchun yoki valga tashqi ta’sir koʻrsatmasligi uchun 0, 0, 0, 0 yz zx yz zx M M K K    shartlar urinli boʻlishi zarur va etarli. Birinchi ikkitasi jismning ogʻirlik markazini z oʻqida yotishini ifodalaydi, keyingi ikkitasi esa z oʻqini inersiyasining bosh oʻqi ekanligini koʻrsatadi. Uch karrali integralning mexanikada tadbiqlarini ba’zi bir aniq misollar yordamida koʻrib chiqamiz [6, 7]. 6 – misol. Bir jinsli   1   ellipsoidning