ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ

ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-11 1193 ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ Э.И. Турапов к.т.н. доцент кафедры «Технология машиностроения» Алмалыкского государственного технического института Б.Б. Хасанов Старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения» Алмалыкского государственного технического института Т.Г. Содиков Студент группы 8-22 МТ Алмалыкского государственного технического института Ж.У. Абдухошимов Студент группы 8-22 МТ Алмалыкского государственного технического института Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей. В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат: a) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и б) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей. Рис.1. Предположим, что моменты инерции Jy, Jz и Jyz данного сечения относительно старых осей y и z (рис.1.) известны. Возьмем новую систему координат y₁z₁, оси которой параллельны прежним. Обозначим a и b координаты точки O1 (т. е. нового начала координат) в старой системе координат yz. Рассмотрим элементарную площадку dF. Координаты ее в старой системе координат равны y и z. В новой системе они равны 𝑦1=𝑦−𝑎 и 𝑧1=𝑧−𝑏. Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси z₁: Jz1=∫𝑦12 𝐹𝑑𝐹=∫(y−a)2𝑑𝐹=∫y² 𝐹𝐹 𝑑𝐹− 2𝑎∫y 𝑑𝐹+ a2 𝐹∫𝑑𝐹. ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-11 1194 В полученном выражении ∫𝑦2𝑑𝐹 𝐹 — момент инерции 𝐽𝑧, ∫𝑦 𝑑𝐹 𝐹 — статический момент 𝑆𝑧 сечения относительно оси 𝑧∫𝑑𝐹 𝐹— площадь F сечения. Следовательно, 𝐽𝑧1=𝐽𝑧−2𝑎𝑆𝑧+𝑎2𝐹 (1) Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент 𝑆𝑧=0 и 𝐽𝑧1=𝐽𝑧+𝑎2𝐹 (2) Из формулы (25.5.2) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину a²F, которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. Момент инерции относительно оси y₁: 𝐽y1=𝐽𝑦−2𝑏𝑆𝑦+𝑏2𝐹 (3) В частном случае, когда ось y проходит через центр тяжести сечения: 𝐽y1=𝐽𝑦+𝑏2𝐹 (4) Формулы (2) и (4) широка используются при вычислении осевых моментов инерции сложных (составных) сечений. Подставим теперь значения 𝑦1=𝑦−𝑎 и 𝑧1=𝑧−𝑏 в выражение центробежного момента инерции относительно осей 𝑦1 и 𝑧1: J𝑦1z1=∫𝑦1z1 𝐹𝑑𝐹=∫(y−a)(𝑧−𝑏)𝑑𝐹=∫yz 𝐹𝐹 𝑑𝐹− 𝑏∫y 𝑑𝐹− 𝑎 𝐹∫𝑧𝑑𝐹+𝑎𝑏∫𝑑𝐹 𝐹 B полученном выражении ∫𝑦𝑧 𝑑𝐹=𝐽𝑦𝑧 , 𝐹 ∫y 𝑑𝐹 = 𝐹𝑆𝑧 ,∫𝑧 𝑑𝐹 =𝑆𝑦 , ∫𝑑𝐹 𝐹=𝐹. Следовательно, 𝐽𝑦1𝑧1=𝐽𝑦𝑧 −𝑎𝑆𝑦−𝑏𝑆𝑧+𝑎𝑏𝐹. (5) B частном случае, когда начало старой системы координат yz находится в центре тяжести сечения, 𝑆𝑦=𝑆𝑧=0 𝐽𝑦1𝑧1=𝐽𝑦𝑧 +𝑎𝑏𝐹. (6) Если сечение симметрично и одна из старых осей (или обе) совпадают с осью симметрии, то 𝐽𝑦𝑧 =0 и выражение (6) принимает вид 𝐽𝑦1𝑧1=𝑎𝑏𝐹. (7) ЛИТЕРАТУРА 1. Белявский С.М. (1967) Руководство к решению задач по сопротивлению материалов 2. А. В. ДАРКОВ, Г.С.ШПИРО. (1975) Сопротивление материалов 3. Вольмир А.С. (1984) Сборник задач по сопротивлению материалов 4. Хасанов Б.Б. “РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ”. ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261, SJIF 2022-2.889, 2023-5.384 ResearchBib IF: 8.848 / 2024. Multidisciplinary journal of science and technology, VOLUME-4, ISSUE-12. 4(12), 292–295. ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-11 1195 https://doi.org/10.5281/zenodo.14501838 5. B.B. Xasanov., “BURALISH DEFORMATSIYASI”. TECHNICAL SCIENCE RESEARCH IN UZBEKISTAN, 1(5), 547–551. Retrieved from. ISSN (E): 2992-9148 ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2023. VOLUME-1, ISSUE-5 https://doi.org/10.5281/zenodo.10448458 6. Khudjaev M. Shakov V. Khasanov B. “Modeling fluid outflow from a channel consisting of a cylindrical section of a constant radius, and an expanding outlet section”. WEB OF SCIENTIST: INTERNATIONAL SCIENTIFIC RESEARCH JOURNAL ISSN: 2776-0979, Volume 3, Issue 4, April., 2022. https://wos.academiascience.org 7. Khasanov B. B. (2025). “TORSION OF RODS. В INTERNATIONAL BULLETIN OF ENGINEERING AND TECHNOLOGY” (Т. 5, Выпуск 5, сс. 222–224). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15601456 8. Khudjaev M. K. Khasanov B. B. “STATICS OF A TRIANGULAR WEDGE”. International Journal of Mechatronics and Applied Mechanics 2025, Issue 20, Vol. 1. 202–207. https://ijomam.com/issue-20/ 9. Бобоев Х.Х., Хасанов Б.Б. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. Multidisciplinary journal of science and technology. ISSN: 2582-4686 SJIF 20213.261,SJIF 2022-2.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 8.848 / 2024 https://doi.org/10.5281/zenodo.14564951 10. Хасанов Б.Б. (2025). ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ. Multidisciplinary journal of science and technology, 5(6), 1093–1095. ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 2022-2.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 https://doi.org/10.5281/zenodo.15664985 11. Хасанов Б.Б., ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ. Multidisciplinary journal of science and technology, 5(6), 1087–1089. SSN: 2582-4686 SJIF 20213.261,SJIF 2022-2.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 https://doi.org/10.5281/zenodo.15664964 12. Turapov E.I. (2025). MOMENTS OF INERTIA, SECTION MODULI, AND RADII OF GYRATION OF PLANE SECTIONS. Multidisciplinary Journal of Science and Technology, 5(11), 308–310. https://doi.org/10.5281/zenodo.17582774 13. Turapov E.I., Khasanov B.B., Khurramov D.X. (2025). CENTRAL TENSION AND COMPRESSION OF RODS. Vol. 4 No. 10 (2025): Journal of Multidisciplinary Sciences and Innovations 601-606. Published: 2025-11-05. ISSN NUMBER: 2751-4390 IMPACT FACTOR: 9,08 https://ijmri.de/index.php/jmsi/article/view/2742/2679