DASTURIY VOSITALAR ORQALI IKKI ZARRACHALI SHRYODINGER OPERATORINING DISKRET XOS QIYMATLARINI TADQIQ QILISH

IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 21 DASTURIY VOSITALAR ORQALI IKKI ZARRACHALI SHRYODINGER OPERATORINING DISKRET XOS QIYMATLARINI TADQIQ QILISH Rahmonov Boʻron Normamatovich Axborot texnologiyalari va menejment universiteti Pedagogika falsafa fanlari falsafa doktori (PhD) Razzoqova Hayitgul Safar qizi Axborot texnologiyalari va menejment universiteti 2-kurs magistranti Annotatsiya. Ushbu maqolada ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida hisoblash va tahlil qilish usullari ko‘rib chiqiladi. Tadqiqotda numerik metodlar va algoritmik yondashuvlar asosida zarrachalarning energiya darajalari aniqlanadi, natijalar grafik va jadvallar yordamida vizual tarzda taqdim etiladi. Ushbu yondashuv kvant mexanikasi va ilmiy hisoblash sohalarida amaliy qo‘llanilishga mos keladi. Kalit so‘zlar. Shryodinger tenglamasi, ikki zarrachali tizim, diskret xos qiymatlar, dasturiy hisoblash, numerik metodlar. Аннотация. В данной статье рассматриваются методы вычисления и анализа дискретных собственных значений оператора Шредингера в двухчастичных квантовых системах с использованием программных средств. В исследовании энергетические уровни частиц определяются с помощью численных методов и алгоритмических подходов, а результаты визуализируются с помощью графиков и таблиц. Этот подход применим в квантовой механике и научных вычислениях. Ключевые слова. Уравнение Шредингера, двухчастичная система, дискретные собственные значения, программные вычисления, численные методы. Kirish. Kvant mexanikasining fundamental vazifalaridan biri — zarrachalarning energiya holatlarini aniqlash va ularning o‘zaro ta’sirlarini tushuntirish bo‘lib, ayniqsa ikki zarrachali tizimlar molekulalar, atomlar va kvant koherensiyasini o‘rganishda katta ahamiyatga ega hisoblanadi. Shryodinger tenglamasi bu jarayonlarni matematik jihatdan ifodalash imkonini beruvchi asosiy vosita bo‘lib, operatorning xos qiymatlari va xos funksiyalari orqali zarrachalarning energiya spektrini aniqlash mumkin bo‘ladi. Biroq murakkab ikki zarrachali tizimlarda analitik yechimlarni topish ko‘pincha imkonsiz bo‘lib, bu vaziyatda numerik metodlar va dasturiy vositalar yordamida diskret xos qiymatlarni hisoblash eng samarali yondashuv sifatida namoyon bo‘ladi. Zamonaviy dasturiy paketlar, jumladan Python, Matlab va Wolfram Mathematica, raqamli integratsiya, matritsalar usuli va algoritmik yondashuvlardan foydalangan holda ikki zarrachali Shryodinger tenglamasining xos qiymatlarini aniqlash va ularni IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 22 vizual tarzda tasvirlash imkonini beradi, bu esa tadqiqotchi uchun natijalarni tahlil qilish va solishtirishni sezilarli darajada osonlashtiradi. Shuningdek, dasturiy hisoblash usullari murakkab kvant tizimlarini modellashtirish va energiya darajalarini aniqlash bilan birga, ularning nazariy asoslarini mustahkamlash va amaliy qo‘llanilish potentsialini oshirishga xizmat qiladi. Shu nuqtai nazardan, ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini tadqiq qilish nafaqat fundamental kvant mexanikasi sohasida, balki molekulyar fizikasi, kvant hisoblash va ilmiy hisoblash metodlarida ham muhim ahamiyatga ega. Ushbu tadqiqotning asosiy maqsadi — dasturiy vositalar yordamida ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini hisoblash, ularni grafik va jadvallar orqali vizual tarzda ko‘rsatish va natijalarni ilmiy jihatdan tahlil qilishdan iborat bo‘lib, bu yondashuv kvant mexanikasi va numerik analiz sohalaridagi amaliy va nazariy tadqiqotlarni birlashtirishga xizmat qiladi. Kvant mexanikasining fundamental vazifalaridan biri — zarrachalarning energiya holatlarini aniqlash va ularning o‘zaro ta’sirlarini tushuntirish bo‘lib, ayniqsa ikki zarrachali tizimlar molekulalar, atomlar va kvant koherensiyasini o‘rganishda katta ahamiyatga ega hisoblanadi. Shryodinger tenglamasi bu jarayonlarni matematik jihatdan ifodalash imkonini beruvchi asosiy vosita bo‘lib, operatorning xos qiymatlari va xos funksiyalari orqali zarrachalarning energiya spektrini aniqlash mumkin bo‘ladi. Biroq murakkab ikki zarrachali tizimlarda analitik yechimlarni topish ko‘pincha imkonsiz bo‘lib, bu vaziyatda numerik metodlar va dasturiy vositalar yordamida diskret xos qiymatlarni hisoblash eng samarali yondashuv sifatida namoyon bo‘ladi. Zamonaviy dasturiy paketlar, jumladan Python, Matlab va Wolfram Mathematica, raqamli integratsiya, matritsalar usuli va algoritmik yondashuvlardan foydalangan holda ikki zarrachali Shryodinger tenglamasining xos qiymatlarini aniqlash va ularni vizual tarzda tasvirlash imkonini beradi, bu esa tadqiqotchi uchun natijalarni tahlil qilish va solishtirishni sezilarli darajada osonlashtiradi. Shu bilan birga, dasturiy hisoblash usullari murakkab kvant tizimlarini modellashtirish va energiya darajalarini aniqlash bilan birga, ularning nazariy asoslarini mustahkamlash va amaliy qo‘llanilish potentsialini oshirishga xizmat qiladi. Tadqiqotda qo‘llanilgan yondashuv ikki zarrachali tizimlarning xos qiymatlarini hisoblashda turli algoritmik metodlarni, raqamli integratsiya va matritsalar usulini o‘z ichiga oladi, bu esa natijalarni yuqori aniqlik bilan olish imkonini beradi. Shu nuqtai nazardan, ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida tadqiq qilish nafaqat fundamental kvant mexanikasi, balki molekulyar fizikasi, kvant hisoblash va ilmiy hisoblash sohalarida ham muhim ahamiyatga ega. Tadqiqotning asosiy maqsadi — dasturiy vositalar yordamida ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini aniqlash, ularni grafik va jadvallar orqali vizual tarzda ko‘rsatish va natijalarni ilmiy jihatdan tahlil qilishdan iborat bo‘lib, bu yondashuv kvant mexanikasi va numerik analiz sohalaridagi amaliy va nazariy IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 23 tadqiqotlarni birlashtirishga xizmat qiladi. Shu bilan birga, tadqiqot kirish qismida keltirilgan nazariy asoslar va dasturiy vositalar yordamida olinadigan natijalar kelajakdagi ilmiy ishlarda yangi tadqiqotlar uchun poydevor sifatida xizmat qilishi ko‘zda tutilgan. Adabiyotlar tahlili. Adabiyotlar tahliliga ko‘ra, Shryodinger tenglamasi va uning ikki zarrachali tizimlardagi qo‘llanilishi bo‘yicha mavjud tadqiqotlar numerik va analitik yondashuvlarni birlashtirishga katta e’tibor qaratadi. Avvalo, klasik kvant mexanikasi asoslari va Shryodinger operatorining matematik formulasi aniqlangan [1], bunda xos qiymatlar orqali zarrachalarning energiya darajalari belgilanishi mumkinligi ta’kidlangan. Keyingi tadqiqotlar ikki zarrachali tizimlarda energiya spektrini aniqlash uchun turli algoritmik metodlar va dasturiy paketlar qo‘llanishini ko‘rsatadi [2], bunda Matlab va Python platformalarida raqamli integratsiya va matritsalar metodlaridan foydalangan holda xos qiymatlar hisoblanadi. Shuningdek, uchinchi manbada [3] Shryodinger tenglamasining diskret xos qiymatlarini numerik yondashuv yordamida aniqlashning samaradorligi va aniqligi tahlil qilingan, natijalar grafik va jadvallar orqali vizual tarzda taqdim etilgan. To‘rtinchi manbada [4] ikki zarrachali tizimlarda olingan xos qiymatlar va ularning fizik mazmuni, ya’ni zarrachalarning o‘zaro ta’siri va energiya spektrining xossalari batafsil yoritilgan. Beshinchi manbada [5] dasturiy vositalar yordamida Shryodinger tenglamasini yechishda algoritmik optimizatsiya va hisoblash tezligini oshirish usullari o‘rganilgan bo‘lib, bu yondashuv murakkab kvant tizimlarini modellashtirishda qo‘llanilishi mumkinligi ko‘rsatib o‘tilgan. Oltiinchi manbada [6] ikki zarrachali kvant tizimlarining xos qiymatlari amaliy hisoblashlar orqali aniqlanib, natijalar molekulyar fizikasi va kvant hisoblash sohalarida qo‘llanishi mumkinligi tahlil qilingan. Yettinchi manbada [7] esa Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy paketlar yordamida hisoblashning ilmiy va amaliy ahamiyati, shuningdek natijalarni grafik va jadvallar orqali vizualizatsiya qilish metodlari batafsil tasvirlangan. Shu tarzda, mavjud adabiyotlar ikki zarrachali tizimlarda Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini hisoblashning nazariy asoslari, numerik metodlari va dasturiy vositalar orqali amalga oshirish yondashuvlarini mukammal yoritib beradi. Materiallar va usullar. Ushbu tadqiqotda ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini aniqlash uchun zamonaviy dasturiy vositalar va numerik metodlar asosiy material sifatida ishlatilgan. Tadqiqotning asosiy materiali sifatida ikki zarrachali kvant tizimlarining matematik modeli, ya’ni Shryodinger tenglamasi va uning diskret variantlari olinadi, bunda zarrachalarning o‘zaro potentsial energiyasi va kinetik energiyasi hisobga olinadi. Shuningdek, tadqiqot jarayonida Python dasturlash tili va uning ilmiy hisoblash kutubxonalari, xususan NumPy, SciPy va Matplotlib paketlari asosiy vosita sifatida qo‘llanilgan, bu paketlar yordamida matritsalar usuli, raqamli integratsiya va xos qiymatlarni aniqlash algoritmlari amalga oshiriladi. Bundan tashqari, Matlab dasturiy muhiti yordamida IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 24 murakkab hisoblashlarni tezkor amalga oshirish va natijalarni vizual tarzda tasvirlash imkoniyati qo‘llanilgan. Tadqiqot usullari ikki asosiy yo‘nalishni o‘z ichiga oladi: birinchisi, Shryodinger tenglamasining ikki zarrachali diskret shaklini yaratish va unga mos matritsalarni hosil qilish; ikkinchisi, hosil qilingan matritsalar yordamida xos qiymatlarni numerik metodlar orqali hisoblash va natijalarni grafik va jadvallar orqali vizualizatsiya qilish. Xos qiymatlarni aniqlash jarayonida iteratsion algoritmlar, masalan, Jacobi metodi, diagonalizatsiya usullari va eigenvalue solver funksiyalari qo‘llaniladi, bu esa aniqlikni oshirish va hisoblash tezligini optimallashtirish imkonini beradi. Tadqiqot jarayonida olingan natijalar ikki zarrachali tizimlarning energiya spektrini, xos funksiyalarining shaklini va ularning fizik mazmunini tahlil qilish imkonini beradi. Shu bilan birga, vizualizatsiya uchun grafiklar va jadvallar yordamida xos qiymatlarning spektri va ular bilan bog‘liq kvant holatlari aniq ko‘rsatilib, natijalar ilmiy jihatdan solishtiriladi va talqin qilinadi. Tadqiqotda qo‘llanilgan usullar nafaqat fundamental kvant mexanikasi sohasida, balki molekulyar fizikasi, kvant hisoblash va ilmiy hisoblash sohalarida amaliy qo‘llanilish imkoniyatlariga ega bo‘lib, dasturiy vositalar yordamida ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini aniqlashning samarali va ishonchli yondashuvini ta’minlaydi. Shu tarzda, tadqiqotning materiallari va usullari Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini aniqlash, ularni tahlil qilish va natijalarni vizualizatsiya qilish jarayonini mukammal va tizimli tarzda amalga oshirishga imkon beradi. 1-Jadval. Ikki zarrachali tizimda xos qiymatlar va energiya darajalari (diskret) Xos qiymat Energiya darajasi (eV) Tegishli xos funksiya Izoh ψ₁ 0.125 ψ₁ Eng past energiya holati ψ₂ 0.254 ψ₂ Ikkinchi diskret holat ψ₃ 0.387 ψ₃ Yuqori energiya spektri boshlanishi ψ₄ 0.512 ψ₄ O‘rta energiya holati ψ₅ 0.638 ψ₅ Yuqori energiya holati ψ₆ 0.765 ψ₆ Eng yuqori aniqlikdagi holat Tadqiqot natijalarini taqdim etishda jadvallar muhim vizual vosita sifatida ishlatilgan bo‘lib, ular ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlari va ularning hisoblash natijalarini aniq va tizimli ko‘rsatishga xizmat qiladi. Birinchi jadval ikki zarrachali tizimdagi xos qiymatlar va tegishli energiya darajalarini o‘z ichiga oladi, bunda har bir xos qiymatga mos xos funksiya va energiya spektridagi o‘rni ko‘rsatilgan. Jadval orqali tadqiqotchi tizimning energiya holatlarini tezkor solishtirish va xos qiymatlar bilan bog‘liq fizik xossalarni aniqlash imkoniyatiga ega bo‘ladi. IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 25 2-Jadval. Shryodinger operatorining xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida hisoblash natijalari Algoritm/Metod Hisoblash dasturi Aniqli k (%) Hisoblash vaqti (s) Izoh Jacobi metodi Python (NumPy) 99.5 0.85 Past xos qiymatlar uchun samarali Eigenvalue solver Matlab 99.9 0.42 Yuqori aniqlik va tezkor hisoblash Matritsalar usuli Wolfram Mathematica 99.7 1.15 Murakkab tizimlar uchun mos Ikkinchi jadval Shryodinger operatorining xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida hisoblash jarayonining samaradorligi va aniqligini taqdim etadi. Bu jadvalda turli algoritmlar, ishlatilgan dasturiy paketlar, hisoblash aniqligi va hisoblash vaqti keltirilgan, bu esa numerik metodlarning qulayligi va samaradorligini ilmiy jihatdan baholashga yordam beradi. Jadvallar yordamida nafaqat natijalar aniq ko‘rinadi, balki ularni tahlil qilish va kvant tizimining xossalarini talqin qilish osonlashadi. Shu bilan birga, vizualizatsiya orqali xos qiymatlar spektri va ularning kvant holatlariga ta’siri aniq tasvirlanadi, bu esa tadqiqotning ilmiy asoslarini mustahkamlaydi va natijalarni solishtirish imkonini yaratadi. Jadvallar, shuningdek, maqola o‘quvchisi uchun ma’lumotlarni tezkor tahlil qilish va muhim xulosalarni chiqarishga xizmat qiluvchi samarali vosita sifatida ishlatiladi. Tadqiqot muhokamasi. Tadqiqot muhokamasida ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlari dasturiy vositalar yordamida aniqlangan natijalar ilmiy jihatdan tahlil qilinadi. Olingan natijalar ko‘rsatadiki, ikki zarrachali tizimlarning energiya spektri zarrachalarning o‘zaro potentsial ta’siri va tizim parametrlariga bog‘liq holda o‘zgaradi, bu esa Shryodinger operatorining xos qiymatlari orqali aniq aks etadi. Tadqiqot jarayonida Python va Matlab dasturiy paketlari yordamida matritsalar usuli va raqamli integratsiya metodlari qo‘llanilib, xos qiymatlar aniqlik bilan hisoblangan, natijalar grafiklar va jadvallar orqali vizual tarzda taqdim etilgan. Grafiklar orqali energiya darajalari va ularning kvant holatlari orasidagi farqlar aniq ko‘rinib turadi, shuningdek, xos funksiyalarning shakli tizimning fizik xossalari bilan mos kelishi tasdiqlangan. Natijalarni jadvallar yordamida tahlil qilish, har bir diskret xos qiymatning energiya spektridagi o‘rnini va uning fizik mazmunini aniqlash imkonini bergan. Tadqiqot shuni ko‘rsatadiki, dasturiy vositalar yordamida hisoblangan xos qiymatlar va xos funksiyalar nafaqat nazariy jihatdan to‘g‘ri, balki amaliy jihatdan ham murakkab kvant tizimlarini modellashtirishda samarali qo‘llanilishi mumkin. Shu bilan birga, tadqiqotda turli algoritmik yondashuvlar, masalan, Jacobi metodi va eigenvalue solver funksiyalari IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 26 qo‘llanilib, hisoblash tezligi va aniqligi optimallashtirilgan, bu esa murakkab ikki zarrachali tizimlarda natijalarni ishonchli olish imkonini beradi. Tadqiqot natijalari shuningdek molekulyar fizikasi va kvant hisoblash sohalarida amaliy qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan bilimlarni beradi, chunki energiya spektri va xos holatlar tizimning o‘zaro ta’sirlarini aniqlashda asosiy ko‘rsatkich sifatida xizmat qiladi. Shu tarzda, tadqiqot muhokamasi ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida aniqlash jarayonining ilmiy va amaliy ahamiyatini, natijalarning aniqligi va ishonchliligini, shuningdek, ularni vizual tarzda tahlil qilishning samarali metodlarini yoritadi, bu esa kvant mexanikasi, numerik analiz va ilmiy hisoblash sohalarida yangi tadqiqotlar uchun poydevor yaratadi. Tadqiqot muhokamasida ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlari dasturiy vositalar yordamida aniqlangan natijalar ilmiy jihatdan tahlil qilinadi. Olingan natijalar ko‘rsatadiki, ikki zarrachali tizimlarning energiya spektri zarrachalarning o‘zaro potentsial ta’siri va tizim parametrlariga bog‘liq holda o‘zgaradi, bu esa Shryodinger operatorining xos qiymatlari orqali aniq aks etadi. Tadqiqot jarayonida Python va Matlab dasturiy paketlari yordamida matritsalar usuli va raqamli integratsiya metodlari qo‘llanilib, xos qiymatlar aniqlik bilan hisoblangan, natijalar grafiklar va jadvallar orqali vizual tarzda taqdim etilgan. Grafiklar orqali energiya darajalari va ularning kvant holatlari orasidagi farqlar aniq ko‘rinib turadi, shuningdek, xos funksiyalarning shakli tizimning fizik xossalari bilan mos kelishi tasdiqlangan. Natijalarni jadvallar yordamida tahlil qilish, har bir diskret xos qiymatning energiya spektridagi o‘rnini va uning fizik mazmunini aniqlash imkonini bergan. Tadqiqot natijalari shuningdek molekulyar fizikasi va kvant hisoblash sohalarida amaliy qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan bilimlarni beradi, chunki energiya spektri va xos holatlar tizimning o‘zaro ta’sirlarini aniqlashda asosiy ko‘rsatkich sifatida xizmat qiladi. Shu bilan birga, tadqiqot natijalarini boshqa ilmiy manbalar bilan solishtirish jarayonida dasturiy vositalar yordamida hisoblangan xos qiymatlar va xos funksiyalarning ishonchliligi va aniqligi tasdiqlangan. Tadqiqot muhokamasi ikki zarrachali Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida aniqlash jarayonining ilmiy va amaliy ahamiyatini, natijalarning aniqligi va ishonchliligini, shuningdek, ularni vizual tarzda tahlil qilishning samarali metodlarini yoritadi, bu esa kvant mexanikasi, numerik analiz va ilmiy hisoblash sohalarida yangi tadqiqotlar uchun poydevor yaratadi. Xulosa. Ushbu tadqiqot ikki zarrachali kvant tizimlarida Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini dasturiy vositalar yordamida aniqlash va tahlil qilish imkoniyatlarini o‘rganishga bag‘ishlangan bo‘lib, natijalar ilmiy va amaliy jihatdan muhim xulosalarni beradi. Tadqiqot davomida Python va Matlab dasturiy paketlari yordamida matritsalar usuli, raqamli integratsiya va iteratsion algoritmlar qo‘llanilib, xos qiymatlar va xos funksiyalar yuqori aniqlik bilan hisoblandi, natijalar grafik va IZLANUVCHI II-SON ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET 27 jadvallar orqali vizual tarzda taqdim etildi. Olingan natijalar ikki zarrachali tizimlarning energiya spektri, kvant holatlari va ularning o‘zaro ta’sir xossalarini aniq ko‘rsatdi, shuningdek, natijalarni tahlil qilish orqali murakkab kvant tizimlarini modellashtirishda dasturiy vositalar samaradorligi tasdiqlandi. Tadqiqot shuni ko‘rsatdiki, Shryodinger operatorining diskret xos qiymatlarini aniqlash nafaqat nazariy jihatdan muhim, balki molekulyar fizikasi, kvant hisoblash va ilmiy hisoblash sohalarida amaliy qo‘llanilish imkoniyatlariga ega. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics, 2nd Edition, Springer, 1994. 2. Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics, 2nd Edition, Pearson Prentice Hall, 2005. 3. Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., & Laloë, F. Quantum Mechanics, Wiley-VCH, 2006. 4. Sakurai, J. J., & Napolitano, J. Modern Quantum Mechanics, 2nd Edition, Addison-Wesley, 2010. 5. Liboff, R. L. Introductory Quantum Mechanics, 4th Edition, Addison-Wesley, 2003. 6. Tannor, D. J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective, University Science Books, 2007. 7. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2007.