ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ ТИПА КОЛМОГОРОВА-ФИШЕРА В ЗАДАЧАХ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 581 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ ТИПА КОЛМОГОРОВА-ФИШЕРА В ЗАДАЧАХ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ Садуллаева Ш., Назирова Д. СБУМИПТК, профессор, д.ф.-м.н., НУУз, преподаватель https://doi.org/10.5281/zenodo.17810299 Многие из большинства важных моделей в науке, на практике как, правило, описываются нелинейными уравнениями и системами в частных производных. Эти уравнения и системы, как правило, нелинейные, вырождающиеся, обладают свойствами, которые отсутствуют в линейной теории и поэтому делают их довольно трудными, как для аналитического, так и численного анализа решения. Исследование нелинейных процессов было непрерывным источником новых проблем и это мотивировало введение новых методов в областях математического анализа, в уравнения в частичных производных и другие дисциплины, становясь самой активной областью математических исследований. На основе качественного исследования путем автомодельного анализа и принципа сравнения изучены качественные свойства нелинейной модели реакции диффузии, фильтрации, теплопроводности, как в однородной, так и в неоднородной среде. На основе исследования качественных свойств нелинейной математической модели системы реакции-диффузии проведено компьютерное моделирование процессов реакциидиффузии. Разработанный комплекс программ дает возможность провести компьютерное моделирование для изучения на основе качественных свойств нелинейной математической модели систем реакции-диффузии. Разработанные вычислительные схемы, алгоритмы и комплексы программ для решения системы параболических уравнений с двойной нелинейностью дают высокую производительность при изучении теории и процессов численного решения таких задач. Рассмотрим в области Q={(t,x): 0< t < , xR2} параболическую систему двух квазилинейных уравнений реакции-диффузии задачи биологической популяции типа Колмогорова-Фишера (1) , , (2) которое описывает процесс биологической популяции в нелинейной двухкомпонентной среде, коэффициент диффузии которого равен и , - положительные вещественные числа, , - ( ) ( )        −−           =   −+           =   ,1)( ,1)( 22 11 122 2 22 2 211 1 11 1   uutk x u uD xt u uutk x u uD xt u )( 1001 xuu t= = )( 2002 xuu t= = 1 11  uD 2 22  uD 2121 ,,,  0),( 11 = xtuu 0),( 22 = xtuu THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 582 искомые решения. Задача Коши и краевые задачи для системы (1) в одномерном и многомерном случаях исследованы многими авторами [ ... ]. Целью данной работы является исследование качественных свойств решения задачи (1), (2) на основе автомодельного анализа и его численные решения с применением методов современных компьютерных технологий, исследование способов линеаризации к сходимости итерационного процесса с дальнейшей визуализацией. Найдены оценки решений и возникающий при этом свободной границы, что дает возможность выбрать подходящие начальные приближения [...] для каждого значения числовых параметров. Займемся построением автомодельной системы уравнений для (1)-( 2) – более простого для исследований системы уравнений. Автомодельную систему уравнений построим методом нелинейного расщепления Замена в (1) приведёт (1) к виду: (3) , , Выбирая , получим следующую систему уравнений, (4) где Ниже мы опишем один из способов получение автомодельной системы для системы уравнений (4). Он состоит в следующем. Введем обозначение которая имеет решение вида ),(),( ),,(),( 22 11 2 1 xtvextu xtvextu tk tk = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 11 2 2 2 1 22 ( 1 1 ) 11 1 1 1 1 2 ( 1 1 ) 22 2 2 2 1 2 , ( ) , k k t k k t vv D v k e v v xx vv D v k t e v v xx       + − + + − +    =+          =+       )( 1001 xvv t= = )( 2002 xvv t= = 1 1 2 2 kk  = 1 1 1 2 2 2 11 1 1 1 1 2 22 2 2 2 1 2 , , b b vv D v a v v xx vv D v a v v xx          =−          =−       ( ) ( ) 12 1 1 1 2 2 2 , bb a k a k  == ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 [ 1 1 ] / , 1 1 /b k k k b k k k       = + − + = + − + 11 22 1 1 1 2 2 2 1 2 , , b b dv a v v d dv a v v d       =−    =−   THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 583 , А затем решение системы (3)-( 4) ищется в виде , , где выбирается так Тогда для получим систему уравнений , Пусть , , . В этом случае полагая , i =1, 2 , и учитывая, что уравнение для без младших членов всегда автомодельно, получим систему (6.105) где Исследование качественных свойств системы (1)-(2) позволило выполнить численный эксперимент в зависимости от значений, входящих в систему числовых параметров. Для этой цели как начальное приближение использовались построенные асимптотические решения. При численном решении задачи для линеаризации системы (1)- (2) использовались линеаризации по методам Ньютона и Пикара. Для решения задачи биологической популяции предложен метод нелинейного расщепления. 12 1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0v t c T v t c T T   = + = +  ),()(),( 1 1 1xwtvxtv  = ),()(),( 2 2 2xwtvxtv  = ()t  = ( ) ( ) 111 1 111 11 11 1 ( ) ( ) ( ) ,если 1 0 1 ln , если 1 0 t v t dt T t и t T t         + = = + +  + = + + =  2,1),,( =ixwi  11 21 11 1 1 1 1 2 1 22 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ww D w w w w xx ww D w w w w xx         = − −     = + −   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 0 1 1 0 bb bb   = + + +  = − + + +  11 0   1 1 2 2     = di0 1/2 1 ( ( ), ) ( ), | | / ii w t x y x     == w x i( , )        =−++ =−−+ −− −− 0)( 2 )( 0)( 2 )( 22 11 1222 2 2 2 2 11 2111 1 1 1 1 11                 yyy d dy d dy y d d yyy d dy d dy y d d NN NN ii i   1 = 12 12 1, при 1, ,при 2. i i i   − =  ==  THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 584 Для численного решения задачи (3)-(4) построим равномерную сетку и временную сетку . Основной проблемой в нелинейных задачах является подходящий выбор начального приближения и способ линеаризации уравнения (3). Заменим задачу (3)-(4) неявной разностной схемой и получим разностную задачу с погрешностью . . Запись означает . Результаты численных экспериментов показали эффективность предложенного подхода. Асимптоты различных решений системы типа (1) – (2) позволили моделировать процессы взаимной реакции-диффузии в форме визуализации с анимацией. В заключение подчеркнем важность совместного изучения миграционных и демографических процессов. Для анализа популяционной динамики взаимодействующих популяций важно совместного изучения процессов рождаемости, смертности, трофических взаимодействий и различных миграций. Введение нелинейности в миграционные потоки - первый шаг в направлении адекватного описания пространственно-временной популяционной динамики. Список литературы 1. Aripov M.M., Sadullaeva Sh., Fayzullaeva Z. Numerical simulation of a doubly nonlinear reaction-diffusion system for a biological population problem using multimedia, IUTAM Symposium on Optimal Guidance and Control for Autonomous Systems, March 15-17, 2023. –Honolulu, Hawai‘i: USA. Pp. 74-75. 2. Sadullaeva Sh.A., Fayzullaeva Z.I, Nazirova D., Numerical Analysis of Doubly Nonlinear Reaction-Diffusion System with Distributed Parameters, 2020 4th International Symposium on Multidisciplinary Studies and Innovative Technologies (ISMSIT), 2020, P. 1-3. 3. Sadullaeva Sh.A., Khaydarov A.T., Fayzullaeva Z.I. Investigation properties of solutions of a nonlinear system of equations with nonhomogeneous density and source, Проблемы вычислительной и прикладной математики. 2020. № 2(26). P. 118-130. 4. Sadullaeva Sh.A., Fayzullaeva Z.I. Numerical modeling of a double nonlinear parabolic reaction-diffusion process, Bulletin of TUIT: Management and Communication Technologies Journal. 2023. № 3(13) P. 01-08. 5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — Москва: Физматлит, 2001.   , 0, 0,1,..., , , hi x ih h i n hn l  = =  = =   111 , 0, 0,1,..., , hj t jh h j n m T  = =  = = ( ) 1 2hhO + , 4 )(),(),()( 1 /1 2 1 11011     +      −== atxtvtvt , 4 )(),(),()( 2 /1 2 2 22022     +      −== atxtvtvt     dyyt t xt  == 0 2/1 )()(, )(     + )(a ),0max()( aa = + THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 585 6. Олейник О.А., Калашников А.С., Чжан Ю. Нелинейные уравнения и их приложения. — Москва: Физматлит, 1998. 7. Murray J.D. Mathematical Biology I–II: An Introduction and Spatial Models. — Springer, 2003. 8. Vázquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. — Oxford University Press, 2007.