Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationsmodellen

Burgard, Jan Pablo; Schmaus, Simon Article — Published Version Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationsmodellen AStA Wirtschaftsund Sozialstatistisches Archiv Provided in Cooperation with: Springer Nature Suggested Citation: Burgard, Jan Pablo; Schmaus, Simon (2025) : Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationsmodellen, AStA Wirtschaftsund Sozialstatistisches Archiv, ISSN 1863-8163, Springer, Berlin, Heidelberg, Vol. 19, Iss. 1-2, pp. 79-105, https://doi.org/10.1007/s11943-025-00356-6 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/330532 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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Diese feine Granularität führt jedoch dazu, dass die Einflüsse von Modellierungsentscheidungen und Modellunsicherheiten deutlich stärker hervortreten. Daher ist eine eingehende Auseinandersetzung mit den verschiedenen Arten von Unsicherheit im Simulationsmodell erforderlich. Wir schlagen vor, varianzbasierte Sensitivitätsanalysen zur Analyse von Unsicherheiten und Szenarien in Mikrosimulationen einzusetzen. Diese sind bereits ein etabliertes Instrument zur Untersuchung von Unsicherheiten, etwa bei der Messung zusammengesetzter Indikatoren. Im Kontext von Mikrosimulationen fehlt bisher eine klare Formulierung und anwendungsorientierte Anleitung. Anhand eines Praxisbeispiels wird exemplarisch gezeigt, wie Unsicherheiten mit Sensitivitätsanalysen bewertet werden können. Zudem wird aufgezeigt, dass Sensitivitätsanalysen auch zur Abwägung verschiedener politischer Maßnahmen genutzt werden können. Dies ist insbesondere dann unabdingbar, wenn verschiedene Maßnahmen mit intertemporalen oder interregionalen Wechselwirkungen untersucht werden. Schlüsselwörter Mikrosimulationen · Sensitivitätsanalysen · Unsicherheit · Visualisierung · Szenarioanalyse Jan Pablo Burgard · Simon Schmaus Universität Trier, Trier, Germany E-Mail: [email protected] K 80 J. P. Burgard, S. Schmaus 1 Einleitung In vielen Bereichen der Wirtschaftsund Sozialwissenschaften sowie der politischen Planung sind Mikrosimulationen bereits ein etabliertes Instrument zur evidenzbasierten Entscheidungsfindung. Dabei werden individuelle Verhaltensweisen durch virtuelle Agenten oder Repräsentanten nachgebildet. Dank der heutigen leistungsstarken Rechenleistung können dadurch hochkomplexe dynamische Systeme simuliert werden. Dadurch wird immer öfter nicht nur die Entwicklung einer Stichprobe oder weniger Agenten simuliert, sondern die Dynamik ganzer Populationen nachgebildet. Eine besondere Herausforderung in diesem Zusammenhang stellt die Messung von Unsicherheiten dar. Während es in den Wirtschaftsund Sozialwissenschaften üblich ist, Unsicherheiten empirischer Schätzungen durch Konfidenzintervalle zu quantifizieren und in statistischen Analysen auszuweisen, wird dieser Aspekt in Mikrosimulationen oft vernachlässigt – insbesondere in dynamischen Modellen. Der Grund ist, dass mit zunehmender Komplexität und Anzahl fortzuschreibender Zeitpunkte auch die Anzahl potenzieller Einflussfaktoren schnell wächst. Sowohl die Anzahl als auch die Heterogenität potentieller Unsicherheitsfaktoren machen den Einsatz klassischer Verfahren zur Unsicherheitsmessung schwierig. Varianzbasierte Sensitivitätsanalysen bieten hier eine Möglichkeit, um den Einfluss verschiedener Faktoren auf ausgewählte Zielgrößen in komplexen Systemen zu analysieren. Obwohl ihre Anwendung in der Literatur häufig empfohlen wird, finden sich keine praxisnahen Beschreibungen zur Implementierung der Methode im Kontext dynamischer Mikrosimulationen. Dieser Artikel konzentriert sich auf die Anwendung varianzbasierter Sensitivitätsanalysen zur Erfassung und Quantifizierung von Einflussfaktoren in dynamischen Mikrosimulationen. Er ist eine Erweiterung des Arbeitspapiers von Burgard und Schmaus (2019) und ist in die Dissertation von Schmaus (2023) eingeflossen. In Kapitel 2wird zunächst ein Überblick über dynamische Mikrosimulationen gegeben, gefolgt von einer Darstellung möglicher Unsicherheitsquellen und deren Erfassung in Kapitel 3. Kapitel 4behandelt die Methodik varianzbasierter Sensitivitätsanalysen und deren Eignung zur intertemporalen Unsicherheitsmessung. Anhand eines exemplarischen Mikrosimulationsmodells wird in Kapitel 5die Funktionsweise dieser Analysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in ausgewählten Regressionsmodellen und Parametern erläutert. Eine praktische Umsetzung im MikroSim-Modell wird in Kapitel 6vorgestellt, um die Anwendung zum Vergleich verschiedener Szenarien unter Berücksichtigung regionaler Strukturen zu veranschaulichen. Abschließend bietet Kapitel 7eine Zusammenfassung sowie einen Ausblick auf mögliche Forschungspotenziale und Einsatzbereiche. 2 Dynamische Mikrosimulationen Unter Mikrosimulationen versteht man die szenariobasierte Analyse von Systemen über das Verhalten und die Interaktion der darin enthaltenen Einheiten. In den Wirtschaftsund Sozialwissenschaften handelt es sich bei den Systemen üblicherweise K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 81 um die Bevölkerung und bei den Einheiten um Personen (Spielauer 2011). Es gibt dabei eine Vielzahl unterschiedlicher Arten von Mikrosimulationsmodellen, deren Ausgestaltung wiederum primär von der Zielsetzung beziehungsweise der zugrunde liegenden Forschungsfrage abhängt (Burgard et al. 2020a). Die grundlegendste Unterscheidung lässt sich zwischen statischen und dynamischen Mikrosimulationen treffen. Während bei statischen Simulationen üblicherweise keine simulationsbedingten Veränderungen der zugrundeliegenden Population vorgenommen werden, wird in dynamischen Modellen, wie etwa DYNASIM oder MikroSim, die Entwicklung einer Bevölkerung über die Zeit simuliert (Li 2011; Münnich et al. 2021). Dabei hängt die Wahrscheinlichkeit des Eintritts bestimmter Ereignisse von individuellen Merkmalen sowie deren zeitlichen Veränderungen ab. Dynamische Modelle sind besonders geeignet, um komplexe mehrdimensionale Abhängigkeiten zwischen Einheiten zu berücksichtigen, wie zum Beispiel in Studien zur Untersuchung der zukünftigen Nachfrage nach Pflegeleistungen unter Berücksichtigung von Familienund Nachbarschaftsstrukturen. Dynamische Mikrosimulationen sind jedoch oft äußerst rechenintensiv, da sie stochastische Übergänge und zeitliche Veränderungen einzelner Merkmale simulieren (Burgard et al. 2020a). Nachfolgend wird der Fokus auf zeitdiskrete Mikrosimulationen gelegt. Dabei wird ein Datensatz zum Ausgangszeitpunkt – die sogenannte Basispopulation Q U.0/ – über einen a priori festgelegten Zeithorizont Sin die Zukunft fortgeschrieben. Dadurch wird für jede Simulationsperiode sD1;:::;Seine individuelle Population Q U.s/ generiert. Im Gegensatz zu Makromodellen, welche lediglich die Entwicklung einer einzelnen Zielgröße simulieren, können auf Basis der simulierten Daten beliebige multivariate Analysen ausgeführt werden. Für eine ausführliche Beschreibung verschiedener Formen von Mikrosimulationsmodellen sei unter anderem auf Li (2011), Hannappel und Troitzsch (2015) und Burgard et al. (2020a) verwiesen. 3 Unsicherheit in dynamischen Mikrosimulationen 3.1 Unsicherheitsquellen Wie in Kapitel 2dargelegt, erfordern dynamische Mikrosimulationen eine detaillierte methodische Differenzierung, da viele Entscheidungen während der Modellentwicklung getroffen werden müssen (Burgard et al. 2020a). Diese Entscheidungen können zu erheblichen strukturellen Unterschieden zwischen Modellen führen. In der Regel gilt: Je umfassender die Population abgebildet und das Verhalten der Individuen für die Fortschreibung berücksichtigt wird, desto komplexer wird die Gesamtstruktur und desto zahlreicher und heterogener die potenziellen Unsicherheitsquellen. In dynamischen Mikrosimulationsmodellen lassen sich verschiedene Arten von Unsicherheit identifizieren, die jedoch oft nicht klar voneinander abzugrenzen sind: Monte-Carlo-Unsicherheit, methodologische Unsicherheit, strukturelle Unsicherheit, Parameterunsicherheit und die Unsicherheit der Basispopulation (Bilcke et al. 2011;Sharifetal.2012,2017; Lappo 2015). K 82 J. P. Burgard, S. Schmaus Monte-Carlo-Unsicherheit (MC-Unsicherheit) resultiert aus den stochastischen Prozessen, die in den meisten Mikrosimulationen vorkommen. Da Zustandsänderungen auf Wahrscheinlichkeiten basieren, entstehen bei wiederholten Simulationen unterschiedliche Ergebnisse (Burgard et al. 2020b,a). Stochastische Prozesse werden auch in statischen Modellen verwendet, z.B. in Behavioural-Modellen (Siehe dazu: Li 2011; O’Donoghue 2021), um individuelles Verhalten als Reaktion auf politische Maßnahmen abzubilden. Fehlende Variablen in der Basispopulation können durch modellbasierte Schätzungen ergänzt werden, was ebenfalls stochastische Unsicherheit erzeugt. Die zufälligen Schwankungen werden als Monte-Carlo-Varianz (MCVarianz) bezeichnet (Gentle 2006; Robert und Casella 2013). Um die MC-Unsicherheit zu reduzieren, sollten Simulationen mehrfach durchgeführt und die Ergebnisse gemittelt werden (Van Imhoff und Post 1998; Dowling et al. 2002; Burgard et al. 2020a). Je mehr Wiederholungen, desto genauer kann diese Art der Unsicherheit abgeschätzt werden. Es gibt jedoch in diesem Kontext keine allgemein akzeptierte Definition für Konvergenz, sodass die Anzahl der Simulationsläufe den Forschenden obliegt. Methodologische Unsicherheit bezieht sich auf normative Entscheidungen bei der Modellumsetzung, wie die Wahl der Entscheidungseinheiten (Individuen oder Haushalte) oder die Fokussierung auf bestimmte Subpopulationen (Bilcke et al. 2011). Solche Entscheidungen wie auch die Operationalisierung von Zielgrößen beeinflussen das Modell erheblich. Obwohl immer Individualdaten vorliegen, ist es für Analysen notwendig, bestimmte Zielgrößen auszuwählen, weshalb methodologische Entscheidungen getroffen werden müssen. Strukturelle Unsicherheit resultiert aus dem Aufbau des Modells und den in diesem Kontext getroffenen methodischen Entscheidungen, wie der Auswahl der Basispopulation, der Modellierungsansätze für Zustandsänderungen und der finalen Zusammensetzung des Simulationsmodells (Bilcke et al. 2011;Sharifetal.2012). Unterschiede in der Wahl der Übergangswahrscheinlichkeiten oder Modellierungsansätze können ebenfalls zur strukturellen Unsicherheit gezählt werden (Briggs et al. 2012). Parameterunsicherheit entsteht durch die Schätzung der Modellparameter, die üblicherweise auf Stichprobendaten basieren (Sharif et al. 2012). In dynamischen Modellen, die meistens Regressionsmethoden nutzen, hängt die Unsicherheit auch von der Stichprobengröße und -qualität ab. Parameter, die auf subjektiven Annahmen – beispielsweise aus Erfahrungen – anstatt auf empirischen Daten beruhen, stellen wiederum eine Form der subjektiven Unsicherheit dar (Sharif et al. 2012). Die Unsicherheit der Basispopulation wird oft zur methodologischen Unsicherheit gezählt, kann jedoch auch als eigene Kategorie betrachtet werden (Sharif et al. 2012; Bilcke et al. 2011). Sie bezieht sich auf Unsicherheiten, die durch den Auswahlprozess des Ausgangsdatensatzes und durch den Erhebungsprozess bei Stichproben entstehen. Bei synthetischen Populationen kommen zusätzliche Unsicherheiten durch den Erstellungsprozess und die zugrunde liegenden Modellierungen hinzu. In diesem Fall lassen sich alle aufgeführten Unsicherheitsquellen auch im Erstellungsprozess der Basispopulation identifizieren. K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 83 3.2 Unsicherheitsmessung in dynamischen Mikrosimulationen Für statische Mikrosimulationsmodelle existieren vereinzelt Ansätze zur Schätzung von Konfidenzintervallen für ausgewählte Zielgrößen (Lappo 2015; Goedemé et al. 2013). Diese stützen sich wiederum auf etablierte Methoden der Varianzschätzung (Woodruff 1971; Shao und Tu 1995; Wolter 2007; Münnich 2008), wobei der Fokus auf der Stichprobenunsicherheit der Basispopulation liegt. Eine generelle Übertragbarkeit auf andere Datensätze ist jedoch nicht immer gegeben. In dynamischen Mikrosimulationen setzt sich die Gesamtunsicherheit aus verschiedenen Quellen zusammen, wodurch herkömmliche Verfahren – auch aufgrund der Modellkomplexität – nicht mehr anwendbar sind (Sharif et al. 2012; Lappo 2015). Mittlerweile existieren auch praktikable Ansätze zur Schätzung von Konfidenzintervallen in dynamischen Modellen. Diese zielen nicht darauf ab, die gesamte Unsicherheit zu messen, sondern fokussieren sich auf die Unsicherheit, die aus der Parameterschätzung der zugrundeliegenden Modelle resultiert. Die Parameterunsicherheit wird dabei durch wiederholte Ziehung der Modellparameter aus einer multivariaten Verteilung erfasst, die aus der geschätzten Varianz-Kovarianz-Matrix der Modelle abgeleitet wird (Creedy et al. 2007;Sharifetal.2012; Richardson et al. 2018). Diese Verfahren können folglich als Varianten des parametrischen Bootstraps interpretiert werden (Davison und Hinkley 1997). Eine alternative Methode zur Unsicherheitsmessung bieten Sensitivitätsanalysen. Diese quantifizieren nicht direkt die Unsicherheit des Outputs über Konfidenzintervalle, sondern analysieren den Einfluss verschiedener Inputfaktoren auf die Zielgrößen. Entsprechend lassen sich Sensitivitätsanalysen als Methode zur Messung des Einflusses von verschiedenen Ursachen der Unsicherheit im Modellinput auf die Unsicherheit des Modelloutputs beschreiben (Saltelli et al. 2008, S. 1). Sensitivitätsanalysen werden daher häufig zur Bewertung der Unsicherheit zusammengesetzter Indikatoren (Composite Indicators) genutzt (Münnich und Seger 2014; Articus et al. 2021; Güdemann und Münnich 2021). Im Kontext von Mikrosimulationen wird die Anwendung von Sensitivitätsanalysen in unterschiedlichen Bereichen vorgeschlagen. So bieten sie die Möglichkeit, die Stabilität der Simulationsergebnisse zu überprüfen (Dowling et al. 2002). Auch werden sie als Validierungstechnik zur Evaluation von Simulationsergebnissen unter extremen Annahmen und Parametern der Modelle vorgeschlagen (Brown et al. 2011). Rutter et al. (2011) empfehlen die Anwendung zur Überprüfung der Plausibilität, insbesondere im Falle nicht direkt beobachtbarer Parameter. Sofern Grund zur Annahme für fehlerhafte Simulationsverläufe besteht, können Sensitivitätsanalysen helfen, die verantwortlichen Komponenten zu identifizieren (National Research Council 1991, S. 159). Die SAGE-Forschungsgruppe nennt als Anwendungsfelder die Messung des Einflusses verschiedener Parameter auf den Simulationsoutput und die Analyse makroökonomischer Indikatoren (Zaidi und Rake 2001). Auch in Kombination mit Verfahren zur Anpassung von Übergangswahrscheinlichkeiten (sogenannte Alignment-Methoden) lässt sich diese Form der Analyse anwenden, insbesondere wenn politische Maßnahmen hinsichtlich verschiedener Szenarien, beispielsweise zu Geburten und Sterbefällen, untersucht werden sollen (Harding et al. 2010; Burgard et al. 2020b). Darüber hinaus können Simulationsergebnisse unter K 84 J. P. Burgard, S. Schmaus verschiedenen Szenarien und Unsicherheiten über Sensitivitätsindizes grafisch veranschaulicht werden (Marois et al. 2017; Burgard et al. 2020b). Im Vergleich zu alternativen Methoden der Unsicherheitsmessung sind Sensitivitätsanalysen enorm flexibel: Sie ermöglichen die Definition und Quantifizierung unterschiedlichster Einflussfaktoren, einschließlich unsicherer Modellparameter, Datenerstellungsmethoden oder vollständig annahmebasierter Einflussgrößen. Voraussetzung ist lediglich, dass die Unsicherheiten als Faktoren definiert und unabhängig implementiert werden können. 4 Varianzbasierte Sensitivitätsanalysen für Mikrosimulationen 4.1 Methodik varianzbasierter Sensitivitätsanalysen Modelle werden generell als Strukturen und Hypothesen betrachtet, die dazu dienen, Phänomene der realen Welt zu untersuchen (Saisana et al. 2005). Nachfolgend entspricht das Modell einem Mikrosimulationsmodell, das wiederum als Funktion f./ definiert wird. Das Ergebnis der Funktion sei ein beliebiger univariater Zielwert .s/ für die simulierte Periode s. Durch die Zerlegung der Varianz des Zielwertes können die Einflussstärken der K-dimensionalen paarweise unabhängigen Inputfaktoren ZDfZ1;:::;Zk;:::;ZKgidentifiziert werden (Sobol 1993). Die Inputfaktoren können sich wiederum aus unterschiedlichen Bestandteilen zusammensetzen. So lassen sich beispielsweise verschiedene Szenarien, Modelle, Parameter und Datenquellen als Faktoren definieren, um einen funktionalen Zusammenhang zwischen Zielwert und Inputfaktoren herzustellen (Saltelli et al. 2008, S. 159). Bei dynamischen Modellen muss zusätzlich die Simulationsperiode seingebunden werden: .s/ Df.Z;s/Df.Z1;Z2;:::;ZK;s/: (1) Die gesamte oder unkonditionierte Varianz des Zielwertes Var..s//wird zunächst zerlegt in konditionierte Varianzen V.s/ kund Wechselwirkungseffekte zweiter (V.s/ k;l ) und höherer Ordnung: Var .s/DX k2f1;:::;Kg V.s/ kCX l2f1;:::;Kg k<l V.s/ k;l C:::CV.s/ 1;2;:::;K (2) V.s/ kDVarZkEZf1;:::;Kgnfkg..s/ jZk/(3) V.s/ k;l DVarZk;l EZf1;:::;Kgnfk;lg.s/ jZk;ZlV.s/ kV.s/ l:(4) Aus diesen Effekten lassen sich die Hauptund Interaktionseffekte als Anteil der jeweiligen Effekte an der Gesamtvarianz bestimmen. Die Haupteffekte (oder Sensitivitätsindizes erster Ordnung) SM.s/ kgeben somit den relativen Einfluss des kten Faktors auf die Variation des Zielwertes zur Simulationsperiode san: K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 85 SM.s/ kDV.s/ k Var .s/:(5) Die Haupteffekte befinden sich entsprechend im Intervall [0,1]. Je höher der Wert des Haupteffekts, desto relevanter ist der Einfluss des dazugehörigen Faktors auf den Zielwert (Saltelli et al. 2008, S. 161 f.). Interaktionseffekte beschreiben wiederum den gemeinsamen Einfluss mehrerer Faktoren (sogenannte interagierende Faktoren), sofern die Summe der Haupteffekte ungleich dem Einfluss beider Faktoren ist. Der Interaktionseffekt von Zkund Faktor Zlkann ebenfalls über den relativen Anteil an der Gesamtvarianz bestimmt werden: SM.s/ k;l DV.s/ k;l Var .s/:(6) Die Summe aller Haupteffekte und der Interaktionseffekte zweiter und höherer Ordnung ergibt immer 1: X k SM.s/ kCX kX l>k SM.s/ k;l CX kX l>k X j>l SM.s/ k;l;j CCSM.s/ 1;2;:::;K D1: Die Analyse der Interaktionseffekte wird bei vielen Einflussfaktoren schnell unübersichtlich, da die Anzahl der Interaktionen exponentiell mit der Faktorenzahl (2K1bei KFaktoren) steigt (Iooss und Lemaître 2015). Daher konzentriert man sich oft auf die Haupteffekte. Totaleffekte ermöglichen jedoch eine erweiterte Betrachtung, indem sie die Haupteffekte und alle Interaktionseffekte eines Faktors zusammenfassen: ST.s/ kDEZf1;:::;KgnfkgVarZk.s/ jZf1;:::;Kgnfkg Var..s//:(7) Totaleffekte lassen sich verstehen als die Summe aller Haupteffekte und aller Interaktionseffekte, die vom jeweiligen Faktor beeinflusst werden. Für ausführlichere Informationen zur Zerlegung der Varianzkomponenten und die Anwendung von Sensitivitätsanalysen sei auf Sobol (1993), Saisana et al. (2005), Saltelli et al. (2008), Lamboni et al. (2010) und Iooss und Lemaître (2015) verwiesen. 4.2 Sensitivitätsanalysen im Kontext dynamischer Mikrosimulationen Für Sensitivitätsanalysen in Mikrosimulationen müssen Zielwerte und Inputfaktoren definiert werden. Die Zielwerte .s/ sind univariat und können von einfachen Größen bis hin zu komplexen Indikatoren reichen. Bei mehreren Zielgrößen erfolgt eine separate Analyse für jeden Wert. Sensitivitätsanalysen bieten hohe Flexibilität bei der Auswahl unabhängiger Inputfaktoren, wodurch viele Unsicherheitsquellen quantifiziert werden können (z.B. alternative Datenstrukturen, Schätzmethoden, Kalibrierungstechniken, Zukunftsszenarien). Für jeden Inputfaktor wird mindestens eine Alternative definiert, und UnK 86 J. P. Burgard, S. Schmaus sicherheiten lassen sich über Konfidenzintervalle abbilden. Die Simulation wird anschließend für jede Modifikation durchgeführt. Bei fünf Faktoren mit zwei Modifikationen ergeben sich so 32 Simulationsläufe (25D32), um alle Kombinationen zu berücksichtigen. Für die meisten statischen Mikrosimulationen genügt es, die Simulation für jede Kombination an modifizierten Inputgrößen nur einmal auszuführen, sofern die Auswirkungen deterministischer Natur sind und keine stochastische Komponente Einfluss auf die Ergebnisse hat. Die Haupteffekte summieren sich mit den Interaktionseffekten immer zu 1 auf, da der Einfluss ausschließlich auf die eingebauten Veränderungen des Modells zurückzuführen ist: S.s/ 1CS.s/ 2CCS.s/ KCS.s/ 1;2 CS.s/ 1;3 CCS.s/ 1;K C:::CS.s/ 1;2;:::;K D1: Sobald jedoch stochastische Prozesse, wie in dynamischen Modellen üblich, Teil einer Simulation sind, ist es notwendig, die Simulation wiederholt durchzuführen. Die Anzahl erforderlicher Simulationen erhöht sich um den Faktor der Anzahl an Wiederholungen. Bei Sensitivitätsanalysen kann die zufällige Wiederholung als eigener Faktor Srdefiniert werden. Entsprechend der Definition von Sensitivitätsindizes ergibt die Summe aller Effekte wieder 1: S.s/ 1CS.s/ 2C:::CS.s/ KCS.s/ rCS.s/ 1;2 CS.s/ 1;3 CS.s/ 1;4 C:::CS.s/ 1;2;:::;K;r D1: Aus diesem Grund bleiben der Haupteffekt S.s/ rsowie alle mit der Wiederholung in Interaktion stehenden Effekte S.s/ 1;r ;S.s/ 2;r;:::;S.s/ 1;:::;K;r bei der weiteren Analyse der Effekte üblicherweise unberücksichtigt (Lamboni et al. 2010). In diesem Fall summieren sich die Hauptund Interaktionseffekte nicht länger zu 1 auf. Insbesondere bei dynamischen Mikrosimulationen kann der resultierende Wert der stochastischen Unsicherheit hilfreiche Informationen liefern. So können die Einflussstärken der zu untersuchenden Inputfaktoren in direkte Relation zur Monte-Carlo-Variation gesetzt werden. Die MC-Unsicherheit ist demnach grundsätzlich ein Inputfaktor jeder Sensitivitätsanalyse im Kontext stochastischer Systeme. In zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationen, bei denen die Basispopulation über einen definierten Zeitraum fortgeschrieben wird, können Sensitivitätsindizes S.s/ kfür jede Periode berechnet und über die Zeit verglichen werden. Da die Normalisierung periodenspezifisch erfolgt, können Hauptund Totaleffekte jedoch ein verzerrtes Bild der tatsächlichen Einflussstärken im Zeitverlauf vermitteln. Um die periodenspezifischen Einflüsse korrekt zu analysieren, sollten daher die Varianzkomponenten stets ausgewiesen werden. Die Haupteffekte S.s/ k, die den Anteil der konditionierten Varianz darstellen, werden mit der entsprechenden Gesamtvarianz Var..s//multipliziert. Folglich reicht der Wertebereich der Varianzkomponenten V.s/ kvon 0 bis Var..s//. K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 93 Tab. 5 Haupteffekte, Totaleffekte und Varianzkomponenten der Modellunsicherheit: O%.s/ Haupteffekte Totaleffekte Varianzkomponente Simulationsperiode 20 40 60 20 40 60 20 40 60 O%.s/: Pflegebedürftige / Erwerbstätige Pflege 0,7634 0,7458 0,4536 0,7656 0,7471 0,4546 1,2760 2,4283 6,2777 Geburten 0,0050 0,0359 0,4370 0,0072 0,0370 0,4380 0,0084 0,168 6,0477 Partnerschaften 0,0002 0,0012 0,0198 0,0018 0,0024 0,0203 0,0003 0,0039 0,2744 Erwerbstätigkeit 0,0157 0,0308 0,0158 0,0172 0,0320 0,0162 0,0262 0,1004 0,2181 Interaktion 0,0029 0,0017 0,0013 / / / 0,0048 0,0055 0,0180 MC 0,2128 0,1847 0,0726 / / / 0,0036 0,0060 0,0100 Die größten Werte der jeweiligen Periode sind kursiv ausgezeichnet. Abb. 3 Haupteffekte und Varianzkomponenten der Modellunsicherheit: O%.s/ K 94 J. P. Burgard, S. Schmaus deutlich, sodass der Haupteffekt nach 60 Perioden mit 0,44 nahezu dem des Pflegemodells entspricht. Der Einfluss des Erwerbstätigkeitsmodells ist hingegen sehr gering, gleiches gilt für den Einfluss des Partnerschaftsmodells. Während die Haupteffekte – mit Ausnahme des Geburtenmodells – in den späteren Perioden tendenziell abnehmen, zeigen die Varianzkomponenten der Modelle einen fortlaufenden Anstieg. 5.3 Simulationsergebnisse: Parameterunsicherheit Die nachfolgende Auswertung der Parameterunsicherheit konzentriert sich auf die Analyse der Parameter der Modelle für Pflegebedürftigkeit und Geburten mit dem Anteil Erwerbstätiger ( O .s/) als Zielwert. Da pflegebedürftige Personen, pflegende Personen und junge Eltern eine deutlich geringere Wahrscheinlichkeit haben, am Erwerbsleben teilzuhaben, kann hier argumentativ ein kausaler Zusammenhang zwischen unsicheren Modellparametern und Zielwert hergestellt werden. Dies deckt einen interessanten und wesentlichen Teil der Simulation ab. Die Analyse weiterer Unsicherheiten und möglicher Zielwerte stellt in dieser Simulation jedoch keinen zusätzlichen Nutzen im Sinne einer beispielhaften Demonstration dar. Der Achsenabschnitt der Modelle wird in den Tabellen und Abbildungen als Koef. 1 bezeichnet, die weiteren Koeffizienten entsprechend der Reihenfolge der erklärenden Variablen aus Tab. 1(Koef. 2: Alter, Koef. 3: Alter2,usw.). Wie in Tab. 6und Abb. 4dargestellt, wird der Zielwert O .s/ hauptsächlich vom Achsenabschnitt (Koef. 1) und Parametern für das Alter (Koef. 2 und Koef. 3) beeinflusst. Die verbleibenden Koeffizienten sind dabei so geringfügig, dass sie in der Abbildung nicht sichtbar sind. Über alle Perioden zeigt Koef. 2 die größten Haupteffekte. In den ersten Perioden hat Koef. 1 den zweitstärksten Einfluss, bis dieser ab Periode 34 von Koef. 3 übertroffen wird. Ab Periode 30 nehmen die Haupteffekte stark ab, begleitet von einem Anstieg der Interaktionseffekte. Danach steigen die Haupteffekte wieder, während die Interaktionseffekte zurückgehen. Im Gegensatz zu den stabilen Haupteffekten bis Periode 30 zeigen die Varianzkomponenten ein verändertes Muster: Bis Periode 19 steiTab. 6 Haupteffekte, Totaleffekte und Varianzkomponenten der Parameterunsicherheit für das Geburtenmodell: O .s/ Haupteffekte Totaleffekte Varianzkomp. 1:000 Simulationsperiode 20 40 60 20 40 60 20 40 60 O .s/: Anteil Erwerbstätige Koef. 1 0,1236 0,1128 0,0307 0,1696 0,3833 0,3595 2,2413 0,5821 0,3377 Koef. 2 0,6303 0,3701 0,3653 0,7209 0,7782 0,9351 11,4331 1,9092 4,0133 Koef. 3 0,1513 0,0874 0,0173 0,2125 0,3027 0,3936 2,7446 0,4507 0,1904 Koef. 4 0,0004 0,0002 0,0002 0,0005 0,0009 0,0015 0,0068 0,0009 0,0021 Koef. 5 0,0006 0,0000 0,0002 0,0008 0,0007 0,0019 0,0104 0,0002 0,0033 Interaktion 0,0938 0,4291 0,5858 / / / 1,7010 2,2139 6,4357 MC 0,0001 0,0004 0,0003 / / / 0,0014 0,0020 0,0031 Die größten Werte der jeweiligen Periode sind kursiv ausgezeichnet. K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 95 Abb. 4 Haupteffekte und Varianzkomponenten für die Parameter des Geburtenmodells: O .s/ gen sowohl die Gesamtvarianz als auch die Einzelkomponenten stark an, bevor sie wieder sinken und später erneut zunehmen. Anders als bei den Sensitivitätsanalysen zur Modellunsicherheit treten hier deutliche Interaktionseffekte auf, die bis zur Mitte des Zeitraums ansteigen und ab Periode 50 wieder abnehmen, während die Varianzkomponenten ab Periode 45 relativ stabil bleiben. Deutlich geringere Haupteffekte zeigen sich bei der Analyse des Pflegemodells, wie Tab. 7und Abb. 5verdeutlichen. Bereits bei der Modellunsicherheitsanalyse wurden nur minimale Einflüsse des Pflegemodells auf die Variation von O .s/ festgestellt. Die hohe stochastische Unsicherheit wird hier durch die weiße Fläche in den Haupteffekten und die rote Fläche in den Varianzkomponenten sichtbar. Ähnlich wie bei den Koeffizienten des Geburtenmodells beschränken sich die Effektstärken auf drei Koeffizienten (Koef. 1, 2 und 3) sowie die Interaktionseffekte. Die Haupteffekte von Koef. 4 und Koef. 5 sind äußerst gering. Zu allen Perioden hat Koef. 2 den größten relativen Einfluss auf die Varianz. Der durch die Koeffizienten erklärte Anteil der Variation liegt über alle Perioden bei maximal 30 Prozent. Nach 60 Perioden beträgt der Anteil der Monte-Carlo-Varianz an der Gesamtvarianz fast 87 Prozent. Der Vergleich der Varianzkomponenten mit den Haupteffekten zeigt durchgehend ähnliche Verläufe: Bis Periode 40 steigen die KoeffizientenefK 96 J. P. Burgard, S. Schmaus Tab. 7 Haupteffekte, Totaleffekte und Varianzkomponenten der Parameterunsicherheit für das Pflegemodell: O .s/ Haupteffekte Totaleffekte Varianzkomp. 100:000 Simulationsperiode 20 40 60 20 40 60 20 40 60 O .s/: Anteil Erwerbstätige Koef. 1 0,0228 0,0223 0,0107 0,0318 0,0334 0,0206 0,0537 0,0747 0,0544 Koef. 2 0,1606 0,1987 0,0853 0,1790 0,2225 0,0988 0,3789 0,6672 0,4322 Koef. 3 0,0363 0,0493 0,0194 0,0517 0,0684 0,0308 0,0857 0,1654 0,0982 Koef. 4 0,0010 0,0015 0,0006 0,0052 0,0071 0,0078 0,0024 0,0052 0,0030 Koef. 5 0,0004 0,0008 0,0001 0,0053 0,0054 0,0075 0,0008 0,0011 0,0007 Interaktion 0,0210 0,0270 0,0169 / / / 0,0496 0,0906 0,0856 MC 0,7579 0,7009 0,8670 / / / 0,1788 0,2353 0,4394 Die größten Werte der jeweiligen Periode sind kursiv ausgezeichnet. Abb. 5 Haupteffekte und Varianzkomponenten für die Parameter des Pflegemodells: O .s/ K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 97 Abb. 6 Interaktionseffekte erster und zweiter Ordnung; Äußere Balken entsprechen der Summe aller Interaktionseffekte, innere Balken den Interaktionseffekten zweiter Ordnung: Verbindungslinien zeigen Interaktionseffekte zwischen den Faktoren. aO .s/: Geburtenmodell, bO .s/: Pflegemodell fekte allmählich an und sinken anschließend stärker ab. Ab Periode 50 nimmt die stochastische Unsicherheit nochmals sichtbar zu. Bisher wurden die Interaktionseffekte nur aggregiert betrachtet, ohne detailliert auf ihre spezifischen Wirkungen einzugehen, sodass keine expliziten Aussagen über die Wechselwirkungen zwischen einzelnen Faktoren gemacht werden konnten. Chord-Diagramme bieten eine visuelle Möglichkeit, die gemeinsamen Effekte verschiedener Faktoren zu analysieren. In Abb. 6werden die Interaktionseffekte der Parameterunsicherheit im Geburtenund Pflegemodell nach 60 Simulationsperioden veranschaulicht. Die äußeren Bögen der Kreise zeigen die Gesamtheit aller Interaktionseffekte ab der zweiten Ordnung, wobei ein größerer Anteil der äußeren Balken für stärkere Interaktionseffekte eines Koeffizienten steht. Im Geburtenmodell spielen Koef. 4 und Koef. 5 keine Rolle bei den Interaktionen, während sie im Pflegemodell deutlich sichtbare Anteile haben. Die schmaleren inneren Balken repräsentieren die Interaktionseffekte zweiter Ordnung, und die Verbindungslinien zeigen die gemeinsamen Effekte zwischen jeweils zwei Faktoren. Die Interaktionseffekte sind dabei symmetrisch, somit ist keine Richtung zu erkennen. Es wird deutlich, dass die Interaktionseffekte zweiter Ordnung bei den Koeffizienten 1, 2 und 3 im Geburtenmodell den größten Teil der gemeinsamen Effekte ausmachen, während dieser Anteil im Pflegemodell für alle Faktoren deutlich geringer ausfällt. Die stärksten gemeinsamen Effekte treten in beiden Modellen zwischen Koef. 1 und Koef. 2 sowie zwischen Koef. 2 und Koef. 3 auf. Eine detaillierte Analyse der Interaktionseffekte kann Sensitivitätsanalysen sinnvoll ergänzen, insbesondere wenn politische Maßnahmen als Faktoren festgelegt werden. Somit lässt sich z.B. prüfen, ob besondere Effekte aus der kombinierten Umsetzung verschiedener Ansätze resultieren. K 98 J. P. Burgard, S. Schmaus 6 Regionalisierte Analyse von Szenarien 6.1 Aufbau der Simulation Im folgenden Abschnitt werden Sensitivitätsanalysen zur Bewertung verschiedener Szenarien in regionalisierten Mikrosimulationen für Rheinland-Pfalz durchgeführt. Die Analysen basieren auf dem MikroSim-Modell, das unter anderem Module für Mortalität, Fertilität, Migration und andere demografische und ökonomische Ereignisse integriert (Münnich et al. 2021). Die Simulation erfolgt separat für die 36 Kreise und kreisfreien Städte. Der Fokus liegt nun auf den Auswirkungen spezifischer Szenarien, nicht auf Modelloder Parameterunsicherheiten. Die Szenarien werden auf Makroebene flexibel eingebunden, um die Effekte auf Mikroebene zu erhalten (Schmaus 2023,S.26f.). Dazu erfolgt eine Anpassung des Achsenabschnitts in logistischen Regressionsmodellen oder der logarithmierten Odds-Ratios der Eintrittswahrscheinlichkeiten. So lassen sich etwa sinkende Geburtenraten oder eine höhere Lebenserwartung simulieren, indem Anpassungswerte !.s/ rfestgelegt werden, die die Modelle oder die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten für eine Person uin Kreis rverändern: O.s/ r;uD exp x0 r;uO ˇC!.s/ r 1Cexp x0 r;uO ˇC!.s/ rD exp log O.s/ r;u 1O.s/ r;uC!.s/ r 1Cexp log O.s/ r;u 1O.s/ r;uC!.s/ r:(11) In der Simulation wird der Anpassungswert !.s/ rschrittweise reduziert, um nach 10 Perioden eine Zielreduktion von 10 Prozent zu erreichen, basierend auf der Ausgangspopulation. Die Anpassung startet 2020, da bis 2019 bekannte Geburtenund Sterbewerte als Benchmarks eingebunden sind. Durch die Festlegung der Anpassungswerte im Jahr 2020 bleibt die Entwicklung weiterhin von Mikrostrukturveränderungen abhängig, sodass z.B. steigende Geburtenzahlen trotz sinkender Wahrscheinlichkeiten möglich sind, etwa bei einem Anstieg der Frauen im gebärfähigen Alter. Zusätzlich werden zwei Mobilitätsszenarien simuliert: Das erste hält die individuellen Wanderungszahlen von 2019 konstant; das zweite verwendet die Durchschnittswerte von 2011–2014 und 2017–2019 (nicht integriert wurden die Jahre besonders starker Zuwanderung von Geflüchteten). Nähere Details zur Umsetzung von regionaler Mobilität in dynamischen Mikrosimulationen finden sich in Schmaus (2023) und Ernst et al. (2023). Für die Sensitivitätsanalyse werden drei Faktoren – Geburten, Sterbefälle und Wanderungen – jeweils in zwei Szenarien betrachtet (siehe Tab. 8). Um die MonteCarlo-Variation zu berücksichtigen, erfolgen 100 Simulationen pro Szenario, was zu 800 Simulationsläufen (23100) pro Kreis in Rheinland-Pfalz führt. Die Analyse konzentriert sich auf den Zielwert O .s/ (Anteil Erwerbstätiger). K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 99 Tab. 8 Faktoren und Szenarien der regionalisierten Simulation Faktor Szenario Geburten Baseline: Unveränderte Wahrscheinlichkeiten Sinkende Geburtentendenz Sterbefälle Baseline: Unveränderte Wahrscheinlichkeiten Steigende Lebenserwartung Wanderungen Migrationsraten 2019 Mittelwert 2011 bis 2014 und 2017 bis 2019 6.2 Simulationsergebnisse Die Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse werden für ausgewählte kreisfreie Städte und Landkreise in Rheinland-Pfalz detailliert in Abb. 7und Tab. 9ausgewertet. Zusätzlich veranschaulichen die Karten in Abb. 8die Haupteffekte für alle Kreise. Im Gegensatz zur vorherigen Analyse werden Ergebnisse nur für die Perioden 20 bis 60 generiert, da die Szenarien erst nach 10 simulierten Jahren erkennbar werden. Die Analyse zeigt deutliche Unterschiede in den Haupteffekten sowohl zwischen den Perioden als auch den Regionen. Interaktionseffekte sind in allen Kreisen während der gesamten Simulation sehr gering und in Abb. 7kaum erkennbar, weshalb eine Interpretation dieser Effekte hier nicht erfolgt. Für Koblenz zeigen sich bis Periode 27 die stärksten Effekte durch Wanderungen, gefolgt von Geburten zwischen den Perioden 28 und 41. Ab Periode 42 dominieren erneut die Wanderungen, während die Mortalität einen weniger wellenförmigen Verlauf aufweist: Sie steigt bis Periode 39, sinkt bis Periode 50 und steigt dann wieder an. Zu Beginn trägt die stochastische Variation maßgeblich zur Gesamtvariation bei, doch dieser Anteil nimmt im Verlauf ab, bevor er ab Periode 48 erneut ansteigt. Im Landkreis Vulkaneifel hingegen bleibt der Einfluss der Wanderungen über alle Perioden hinweg dominant. Die Effekte der Geburten steigen bis Periode 29 an, sinken aber danach kontinuierlich und fallen ab Periode 47 unter die Mortalitätseffekte. Der Anteil der Monte-Carlo-Variation zeigt anfangs einen Rückgang, stabilisiert sich jedoch später. Im Landkreis Trier-Saarburg gehen die stärksten Effekte konstant von den Geburten aus. Anfangs sind die Wanderungen deutlich, nehmen jedoch bis Periode 35 so stark ab, dass sie in Abb. 7nicht mehr sichtbar sind. In den letzten 25 Perioden ist erneut ein Anstieg der Wanderungen zu beobachten, während der Einfluss der Mortalität minimal bleibt. Auch hier nimmt der anfängliche Einfluss der MonteCarlo-Variation ab, bevor er ab Periode 31 wieder zunimmt. Für die kreisfreie Stadt Landau sind in den ersten vier Perioden die Wanderungen dominant, während später die Mortalität überwiegt. Der anfangs geringe Einfluss der Geburten steigt bis Periode 30 an, wodurch sie zeitweise den zweitstärksten Faktor darstellen. Nach einem Rückgang der Geburten steigt parallel der Einfluss der Wanderungen wieder. Der Einfluss der stochastischen Variation zeigt, wie in den anderen Kreisen, zu Beginn einen hohen Wert, bevor er danach deutlich abnimmt und ab Periode 50 wieder leicht ansteigt. Ebenfalls unterschiedlich zwischen den Regionen, aber auch zu den Haupteffekten, sind die Varianzkomponenten in Abb. 7. So zeigt sich, dass im Landkreis K 100 J. P. Burgard, S. Schmaus Tab. 9 Haupteffekte, Totaleffekte und Varianzkomponenten – Vergleich verschiedener Szenarien für ausgewählte Kreise Haupteffekte Totaleffekte Varianzkomp. 100:000 Simulationsperiode 20 40 60 20 40 60 20 40 60 Kreisfreie Stadt Koblenz Wanderungen 0,5665 0,3057 0,1526 0,5674 0,3083 0,1587 1,2158 2,9116 1,1202 Mortalität 0,1372 0,3787 0,3802 0,1374 0,3795 0,3855 0,2945 3,6066 2,7913 Geburten 0,1473 0,2433 0,3402 0,1482 0,2455 0,3435 0,3161 2,3168 2,4975 Interaktion 0,0009 0,0028 0,0073 / / / 0,0020 0,0267 0,0535 MC 0,1480 0,0695 0,1197 / / / 0,3177 0,6623 0,8784 Kreisfreie Stadt Landau i. d. Pfalz Wanderungen 0,1050 0,1374 0,1129 0,1057 0,1381 0,1141 0,2091 1,7820 1,2974 Mortalität 0,0588 0,0527 0,0038 0,0592 0,0527 0,0044 0,117 0,6835 0,0431 Geburten 0,5131 0,7256 0,7409 0,5138 0,7262 0,7425 1,0219 9,4106 8,5168 Interaktion 0,0007 0,0007 0,0017 / / / 0,0014 0,0086 0,0196 MC 0,3225 0,0837 0,1408 / / / 0,6423 1,0855 1,6188 Landkreis Vulkaneifel Wanderungen 0,5507 0,7234 0,8993 0,5511 0,7247 0,9047 1,2217 12,4291 36,6154 Mortalität 0,1047 0,0903 0,0021 0,1049 0,0912 0,0074 0,2322 1,5516 0,0848 Geburten 0,0447 0,0643 0,0250 0,0450 0,0649 0,0251 0,0992 1,1046 1,0179 Interaktion 0,0004 0,0014 0,0054 / / / 0,0010 0,0238 0,2202 MC 0,2994 0,1206 0,0682 / / / 0,6642 2,0727 2,7784 Landkreis Trier-Saarburg Wanderungen 0,2089 0,0001 0,0657 0,2099 0,0023 0,0691 0,1595 0,0005 0,4761 Mortalität 0,4664 0,5408 0,2207 0,4671 0,5431 0,2239 0,3561 2,7687 1,5986 Geburten 0,0072 0,0130 0,0076 0,0082 0,0131 0,0080 0,0055 0,0667 0,0554 Interaktion 0,0010 0,0023 0,0034 / / / 0,0008 0,0117 0,0243 MC 0,3164 0,4438 0,7026 / / / 0,2416 2,2719 5,0904 Die größten Werte der jeweiligen Periode sind kursiv ausgezeichnet. Vulkaneifel eine kontinuierliche Zunahme der Variation zu beobachten ist, während die Variationen in den kreisfreien Städten Koblenz und Landau sowie im Landkreis Trier-Saarburg nach einem anfänglichen Anstieg gegen Ende des Simulationshorizonts wieder abnehmen. Die regionalen Unterschiede in den Haupteffekten werden in Abb. 8anschaulich. Je dunkler der Blauton, desto stärker sind die Haupteffekte nach 60 simulierten Perioden. Der stärkste relative Einfluss entfällt auf die Geburten, mit einem arithmetischen Mittel von 0,385, gefolgt von den Wanderungen (0,262) und der Mortalität (0,124). Zudem zeigen sich zwischen den Kreisen deutliche Unterschiede in der Monte-Carlo-Variabilität, die in sechs Kreisen sogar den größten Teil der Variation verursacht. K Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen... 101 Abb. 7 Haupteffekte und Varianzkomponenten für ausgewählte Kreise K 102 J. P. Burgard, S. Schmaus Faktor: Wanderungen 0.25 0.50 0.75 Faktor: Mortalität 0.25 0.50 0.75 Faktor: Fertilität 0.025 0.050 0.075 Faktor: MC 0.25 0.50 0.75 Abb. 8 Haupteffekte für die Kreise in Rheinland Pfalz nach 60 simulierten Jahren K