Method for finding the true size of the cross-section of a right circular cylinder with a plane

137 МЕТОДИКА ЗА НАМИРАНЕ НА ИСТИНСКАТА ГОЛЕМИНА НА СЕЧЕНИЕТО НА ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР С РАВНИНА КРАСИМИРА ЗАГОРОВА, АЛЕКСАНДРИНА БАНКОВА METHOD FOR FINDING THE TRUE SIZE OF THE CROSSSECTION OF A RIGHT CIRCULAR CYLINDER WITH A PLANE KRASIMIRA P. ZAGOROVA, ALEKSANDRINA I. BANKOVA Abstract: The purpose of the development is to present the method for performing the task familiar with the design of a right circular cylinder, respectively in the frontal and horizontal projection planes – П1 and П2, and then to present the design of the cylinder section with an arbitrary secant plane γ, including the true size of the section. The methodology is applied in the coursework of students from engineering majors in the professional field of "Mechanical Engineering", studying the discipline "Applied Geometry and Engineering Graphics - Part 1". Kaywords: Right circular cylinder, Projection planes, Secant plane, True size of section Въведение Цилиндричните детайли се използват в производствените машини и съоръжения, транспортните средства и средства от всякакъв характер, използвани в бита. Те са основни градивни елементи във всяка една конструкция. В практиката са създадени специализирани обработващи машини за производство на цилиндрични детайли в машиностроителната, дървообработващата промишленост, в обработката на изделия от камък и др. Правият кръгов цилиндър е ротационно тяло, чиято ос на симетрия минава през центровете на горната и долната основа на цилиндъра. Той e ротационно тяло, получено при въртенето на правоъгълник около една от страните му [7, 8, 10]. 138 Видът на равнинното сечение на прав кръгов цилиндър с равнина, зависи от положението на секущата равнина спрямо оста на цилиндъра [1, 4, 6]: • при секуща равнина, перпендикулярна на оста – сечението е окръжност с диаметър равен на диаметъра на основата на цилиндъра (фиг.1); Фиг.1. Равнинно сечение на цилиндър с равнина, перпендикулярна на оста му • при секуща равнина, успоредна на оста – сечението е две прави от околната цилиндрична повърхнина (фиг.2); Фиг.2.Равнинно сечение на цилиндър с равнина, равнина, успоредна на оста му • при секуща равнина, наклонена спрямо оста – сечението е елипса (или част от елипса), като малката ос на 139 елипсата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра (фиг.3). Фиг.3. Равнинно сечение на цилиндър с равнина, наклонена спрямо оста му Целта на настоящата разработка е да се представи методиката за изпълнение на задача, свързана с проектиране на прав кръгов цилиндър, съответно във фронталната и хоризонталната проекционни равнини – П1 и П2, след което да се представи проекцията на сечението на цилиндъра с произволна секуща равнина γ. Проекцията на сечението на правия кръгов цилиндър и равнината представлява права линия, разположена във фронталната проекционна равнина – П1, а проекцията на сечението в истинската му големина се изобразява под формата на елипса. Представената методика в настоящата разработка, намира приложение при изпълнение на една от задачите на студентите, изучаващи дисциплината „Приложна геометрия и инженерна графика – 1 част”. 140 Постановка на задачата 1. Да се начертае истинската големина на равнинната фигура, получена от пресичането на прав кръгов цилиндър с височина h и радиус R с равнина γ; 2. Да се начертае разгъвката на долната част на цилиндъра, оставаща под секущата равнина γ. Решение на примерен вариант на задачата На фигура 1 е изобразен прав кръгов цилиндър, основата на който е разположена в хоризонталната равнина П2 (в примера на чертежа не е посочено буквено обозначение на проекционната равнина П2). Цилиндърът е пресечен с равнина γ ┴ П1. Секущата равнина γ е наклонена спрямо оста на цилиндъра под ъгъл 45 градуса. Фронталната проекция на сечението на цилиндъра и равнината съвпада с дирята на равнината γ във фронталната равнина П1 и е отсечка (част от дирята px-px, пресичаща цилиндъра през околната му повърхнина под ъгъл 45◦ спрямо оста му). Хоризонталната проекция на сечението на цилиндъра и равнината съвпада с основата на цилиндъра в хоризонталната равнина П2 и е окръжност (буквеното обозначение на проекционната равнина П2 на чертежа не е посочено). Равнината γ сключва ъгъл 45◦ с оста на цилиндъра и това определя формата на профилната проекция на сечението на цилиндъра с равнината в П3 като окръжност (буквеното обозначение на профилната равнина П3 също не е обозначено на чертежа на фигура 1). Истинската големина на сечението се получава чрез дирята px-px и проекционната равнина П2. За целта основата на цилиндъра в хоризонталната равнина се разделя на 12 равни части (12 точки от сечението през 30◦ по обиколката на окръжността). Точките от 1 до 12 от основата на цилиндъра се пренасят по проекцията на сечението на цилиндъра с равнината γ във фронталната равнина П1 (част 141 от дирята px-px). Както е изобразено на чертежа, точките от основата на цилиндъра (проекцията на сечението в П2) съвпадат две по две по линията на сечение в П1 (примерно точки 2 и 12 от основата се проектират в точки 2' и 12' като съвпадат в линията на сечението px-px, точки 3 и 11 се проектират в съвпадащите точки 3' и 11', точките 4' и 10' също съвпадат и т.н.). Единствено точките 1 и 7 се проектират в точки 1' и 7' по дирята px-px на равнината γ във фронталната равнина. Истинската големина на сечението на цилиндъра с равнината γ има форма на елипса и се получава в хоризонталната равнина П2 по следния начин: 1. На принципа на метода на ротация, от всяка точка от сечението в П1 се изчертава част от окръжност с център – пресечната точка на оста x и дирята px-px и радиус – разстоянието от центъра на пресичане до съответната точка от сечението, разположена по дирята px-px (примерно част от окръжност с радиус разстоянието от центъра на пресичане на оста х и px-px до т.7’; част от окръжност с радиус разстоянието от центъра на пресичане до точка 6’, съвпадаща (≡) с точка 8’ и т.н. до точка 12’ ≡ с точка 2’, както и част от окръжност с радиус разстоянието от центъра на пресичане на оста х и px-px до т.1’). 2. След ротацията на точките от сечението, разположени по проекцията на дирята px-px до оста х – се спускат вертикални прави перпендикулярни на оста x, които следва да се пресекат с хоризонталните прави, преминаващи съответно през точки 7-8-9-10-11-12-1-2-3-4-56 от проекцията (окръжността) в хоризонталната равнина в П2. (виж фигура 1). Пресичането на вертикалните и хоризонталните прави определя положението на точките от фигурата на сечението в истинската му големина. 3. Съединяването на точките очертава контура на истинската големина на сечението на цилиндъра с равнината γ, което в разгледания пример е с форма на елипса (щрихованата фигура в представеното решение на задачата). 142 Цялостен изглед на решението на задачата е представен на Фигура 4 [3]. Фигура 4. Намиране на истинската големина на сечението на прав кръгов цилиндър с равнина Фигура 5. Разгъвка на прав кръгов цилиндър с равнина 143 Задачи за изпълнение от студентите: А. За изпълнение на поставената задача, студентите следва да извършат следните действия: а/ да начертаят проекцията на правия кръгов цилиндър във фронталната равнина П1; б/ да начертаят проекцията на цилиндъра във хоризонталната равнина П2; в/ да начертаят проекцията (дирята) на сечението на цилиндъра с равнината γ във фронталната равнина П1; г/ да начертаят истинската големина на сечението на цилиндъра с равнината γ. д/ да начертаят разгъвката на долната част на цилиндъра, оставаща под секущата равнина γ. Б. Примерни варианти за изпълнение на задачата За изпълнение на поставената задача студентите следва да използват данни, съответно за височина и радиус на цилиндъра, както и за ъгъла на позициониране на дирята на равнината γ спрямо оста на цилиндъра. Конкретни стойности на посочените параметри са представени в Таблица 1. Таблица 1. Варианти за проектиране на сечение на прав кръгов цилиндър с равнина Височина на цилиндъра, h, mm 70 80 75 78 Радиус на цилиндъра, R, mm 25 30 33 36 Ъгъл на пресичане на дирята на равнината γ с оста на цилиндъра 45◦ 45◦ 45◦ 45◦ 144 Заключение Сечението на прав кръгов цилиндър с равнина намира приложение в много инженерни, архитектурни, дизайнерски и технически области [9,11]: • в машиностроенето – проектиране на машинни елементи, анализ на напреженията и изработка на резби и канали; • Строителство и архитектура – колони и тръбни конструкции, куполи и сводове, архитектурни отвори; • Хидравлика и динамика – цилиндрични резервоари и тръбопроводи; • Геометрия и графична техника. На базата на представената методика за намиране истинската големина на сечението на прав кръгов цилиндър с равнина могат да се направят следните изводи: • Ако секуща равнина е наклонена спрямо проекционната равнина, проекцията на сечението върху тази равнина не е в истинска големина. • За намиране на истинската големина на равнинно сечение освен метода на смяна на проекционните равнини (по – известен в дескриптивната геометрия като единична и двойна трансформация), широко приложение намира и методът на ротация, като използват проекциите на отделни елементи на сеченията. • За построяване на разгъвки на ротационни тела с равнини е необходимо предварително да се намери истинската големина на сечението. В зависимост от повърхнината се извършва построяване на разгъвката, която ще представлява фигура, съдържаща разгърнатото изображение на линията. ЛИТЕРАТУРА: 1. Банкова, А., Намиране линията на пресичане на геометрични тела. Особени случаи на пресичане на ротационни повърхнини, Сп. МТТ, 51-54, 2014. 145 2. Йорданова, Ст., Р. Стоянова, М. Додуров и др. Проекционни методи в инженерната графика. Ръководство за лабораторни упражнения за машиностроителни специалности. „Колор Принт”. Варна, 2003. 3. Неделчева, П. и др., Методическо ръководство за решаване на задачи по Приложна геометрия и Инженерна графика – част 1, Габрово, 1998. 4. Сандалски, Б., П. Горанов, Г. Динев, И. Ценколовска. Приложна геометрия и инженерна графика. СОФТРЕЙД. с/о Jusautor. Sofia, 2006.Антонов, П., Ю. Захаров. Към въпроса за анализа и избора на комплексните показатели за оценка на качеството. // Стандарти и качество, 1981, № 5. 5. Теофилова, М., Построяване линиите на пресичане на ротационни повърхнини с успоредни оси в общо положение. Сп. Инженерно проектиране, брой 7, 2011. 6. Цонева, З., А. Банкова, Приложна геометрия, инженерна графика и техническо документиране, методическо пособие за курсови работи, изд. Колор Принт-ПАК - Варна, стр. 1-70, ISBN 978-954-760-371-4, 2015. 7. Белавина, Т., Я. Золотоносов, Инженерная графика. Курс начертательной геометрии: учеб.-метод. пособие: Изд-во Казанск. гос. архитект.-строит. ун-та, 15-45, 2014. 8. Bankova, А., Methodology for construction of planes section of units in the method of planes auxiliary sekula. Conic sections, //Fourteenth international conference on electrical machines, drives and power systems “Elma 2015”- Varna /ISSN 1313-4965, p. 295297, 2015. 9. Giesecke E. Frederick, Principles of Technical Drawing, ISBN: 9780023437359, ISBN-10: 0023437359, Publisher: Peachpit Press, Publication Date: January 19th, Language: English, Pages: 744, 2020. 10. Nedelcheva, Y., Е.Velikova, I.Mierlus-Mazilu. „Мethods of instruction in straight circular cylinder”. PROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF RUSE – 2019. volume 58. pp 35-40. 11. SR SINGHAL & OP SAXENA, Textbook of Engineering Drawing (Sem 1 & 2), Indispensable Books For Polytechnic And Engineering Students, ISBN: 978-81-7317-563-3, 2021. 12. URL:https://sites.google.com/site/rbukvar1 13. URL: https://chertejistud.narod.ru/_download/sechenie_cil_pl.jpg