Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken

Wahl, Jack; Broll, Udo Article Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Wahl, Jack; Broll, Udo (2001) : Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 34, Iss. 4, pp. 579-589, https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293449 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Einleitung Die Zunahme von Preisvolatilitäten und die fortschreitende Globalisierung und Deregulierung von Banken und Finanzmärkten hat Finanzintermediäre dazu bewegt, als bedeutende Marktteilnehmer auf Risikomärkten aufzutreten (siehe Dufey (1998)). Eine Bank hat darüber zu entscheiden, in welchem Umfang sie riskante Anlagen tätigt, in welcher Höhe sie Einlagen ein wirbt und in welcher Weise sie das ökonomische Risiko gestaltet. Das Management ökonomischer Risiken ist in vielen Feldern unternehmerischer Tätigkeit von großer Bedeutung: Auf dem Feld internationaler Unternehmensaktivitäten herrscht der Einsatz von Finanzderivaten in der Risikopolitik vor (siehe z.B. Broll/Wahl/Zilcha (1999)). Auf dem Gebiet industrieökonomischer Aktivitäten spielen vertragliche Lösungen, die eine Risikoüberwälzung auf andere Vertragsparteien erlauben, eine zentrale Rolle (siehe z.B. Tirole (1988) und Richter/Furubotn (1999)). Als entscheidend für die unternehmerische Gestaltung ökonomischer Risiken stellt sich die Marktgängigkeit bzw. Nicht-Marktgängigkeit der Risiken heraus. Auf der Grundlage des Modells einer kompetitiven Bank untersucht unser Beitrag zwei grundlegende Arten, Risiken zu transferieren: Entweder geschieht der Risikentransfer durch Nutzung von Risikomärkten, oder der Risikentransfer erfolgt unter Zuhilfenahme unternehmensspezifischer Verträge. Die Risikopolitik des Bankmanagements entscheidet, in welchem Umfang Risiken zu transferieren sind. Zusätzlich ist die Art des Risikentransfers festzulegen. Wir diskutieren den Einsatz variabel verzinslicher Einlagen auf der einen Seite, und auf der anderen Seite die Nutzung von Futures.1 Um eindeutig interpretierbare Ergebnisse zu er- * Wir danken einem anonymen Gutachter für wertvolle Anregungen und Hinweise. i Siehe Kürsten (1991), Broll/Jaenicke (2000) und Broll/Wahl (2001). Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 580 Jack Wahl und Udo Broil halten, verwenden wir ein einfach gehaltenes, in der Literatur weit verbreitetes Bankmodell (siehe Klein (1971), Santomero (1984), Morgan/ Shome/Smith (1988), Richter (1990), Freixas/Röchet (1997) und Wahl/ Broll (2000)). Wir beantworten die Frage, welches risikopolitische Instrument das risikoaverse Bankmanagement für den Transfer ökonomischer Risiken letztlich bevorzugt. Unsere Untersuchung ist wie folgt gegliedert: Abschnitt II. stellt das Bankmodell vor. Abschnitt III. diskutiert die beiden grundlegenden Formen des Risikentransfers, nämlich die Risikoüberwälzung auf die Einleger (Unterabschnitt 1) und den Verkauf der Risiken auf einem Terminmarkt (Unterabschnitt 2). Abschnitt IV. zeigt die Vorteilhaftigkeit eines Futures-Hedgings gegenüber der vertraglichen Risikoüberwälzung. Unser Beitrag gibt Marktbedingungen an, unter denen der Einsatz von Futures für das Bankmanagement einen höheren Erwartungsnutzen erzeugt als die Risikoüberwälzung mittels variabel verzinslicher Einlagen. II. Ein Bankmodell Wir betrachten eine risikoaverse und kompetitive Bank mit einem Planungshorizont von einer Periode. Die Bank investiert in risikobehaftete Anlagen; die Rendite, r, der Anlagen, A, ist zum Zeitpunkt der Investitionsentscheidung unsicher. Die Finanzierung des Investitionsprogamms erfolgt über Einlagen, D, und fest vorgegebenes Eigenkapital, K > 0. Zum Planungszeitpunkt hat das Bankmanagement über die Einlagenpolitik der Bank zu entscheiden und dabei die Bankbilanzgleichung zu beachten, A = K + D.2 Die operativen Kosten der Einlagenpolitik erfaßt die Kostenfunktion C(D) mit den Eigenschaften: positive und steigende Grenzkosten, C(D) > 0 und C"(D) > 0. Annahmegemäß gilt, daß C(0) = 0 und C'(D) -> oo für D oo. Das Bankmanagement ist risikoavers; die Nutzenfunktion, U, gibt die Präferenzen des Bankmanagements wieder. Die Eigenschaften der Nutzenfunktion sind positiver und fallender Grenznutzen, U' > 0 und U" < 0. Wir betrachten eine Bank, die sich dem vorgegebenen, marktbestimmten Einlagenzins, rD, und der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung 2 Wir unterstellen im gesamten Beitrag, daß institutionelle Regelungen der Eigenkapitalunterlegung und Bilanzierung erfüllt sind. Für eine Diskussion der Bankregulierung siehe Dewatripont und Tirole (1994), Greenbaum und Thakor (1995), Bieg (1999), Hartmann-Wendels, Pfingsten und Weber (2000) und Johanning und Rudolph (2000). Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken 581 der Anlagenrendite gegenübersieht. Der risikobehaftete Gewinn der Bank lautet: (1) Il = fA-rDD-C{D). Zu beachten ist, daß der Gewinn mit dem Endvermögenszuwachs der Bank übereinstimmt, wenn die operativen Kosten auf das Periodenende aufgezinst sind. Im Planungszeitpunkt, d.h. vor der Realisation der Anlagenrendite, hat das Bankmanagement über das Einlagenvolumen so zu entscheiden, daß sich der maximale erwartete Nutzen des stochastischen Gewinns ergibt: maxE [17(0)], D > 0 1 1 unter der Nebenbedingung der Bankbilanzgleichung. Der Gewinn ist in (1) definiert. E bezeichnet den Erwartungswertoperator. Die Bedingung erster Ordnung für eine optimale Entscheidung lautet: (2) E [tr(n*)(f -rDC'(D*))] < 0. Es bedeuten: C' die operativen Grenzkosten, U' den Grenznutzen des Gewinns und ein Stern charakterisiert optimale Volumina. Die Optimalitätsbedingung (2) bringt die Grenznutzenbewertung des unsicheren Deckungsbeitrages einer zusätzlichen Investierung in Finanzanlagen zum Ausdruck. Die Bank agiert nur dann als Finanzintermediär, d.h., sie fragt nur dann Einlagen nach, wenn der erwartete Deckungsbeitrag aus dem Aktivgeschäft positiv ist. Dies folgt aus der Tatsache, daß D* = 0, falls E [U'(TL*)(r — rD - C'(D*))\ < 0. Mit anderen Worten, ist die optimale Zinsmarge, d.h. E(f) - (rD + C'{D*)) nicht-positiv, dann beschränkt das Bankmanagement den Umfang seiner Aktiva auf das vorgegebene Eigenkapital. In diesem Fall kann die Bank ihre Funktion als Finanzintermediär nicht wahrnehmen, da eine nicht-positive Zinsmarge das Bankmanagement davon abhält, Einlagen hereinzunehmen. Die weitere Analyse unterstellt ein positives optimales Einlagenvolumen. Der vorige Abschnitt ging davon aus, daß die Bank das gesamte ökonomische Risiko zu tragen hat. In der Realität existiert eine Vielfalt risikopolitischer Instrumente, die es ermöglichen, Risiken mit anderen Marktteilnehmern zu teilen. Grundsätzlich sind zwei Politiken denkbar, das Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 582 Jack Wahl und Udo Broil ökonomische Risiko der Bank zu allozieren: Erstens, das Risiko wird mittels Vertragsgestaltung auf die Bankkunden überwälzt (Vertragslösung) und zweitens, das Risiko wird auf Risikomärkten verkauft (Marktlösung). m. Risikentransfer Im folgenden untersuchen wir perfekte Risikotransfers. Diese Vorgehensweise erlaubt es, festzustellen, welche Transferpolitik die Bank letztlich zur Risikentransformation bevorzugt (Abschnitt IV.). 1. Variabler Einlagenzins Angenommen, dem Bankmanagement ist es möglich, mit Hilfe eines variablen Einlagenzinses, fD, das ökonomische Risiko der Bank auf ihre Kunden zu überwälzen. Mittels Vertragsgestaltung im Passivgeschäft bestimmt sich der Zusammenhang zwischen variablem Einlagenzins und risikobehafteter Rendite im Aktivgeschäft. Der perfekte Risikotransfer geschieht mit dem folgenden Design. Verteilungsregel: Der variable Einlagenzins ergibt sich aus der linearen Beziehung (3) fD = r-a, mit der vorgegebenen, marktbestimmten positiven Marge a > 0. Die Marge stellt sicher, daß die Bank einen Anreiz hat, als Finanzintermediär zu agieren. Der Risikotransfer ist vollständig, denn die Verteilungsregel (3) ist nicht von der Realisation der risikobehafteten Anlagenrendite abhängig. Des weiteren unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Anlagenrendite und variablem Einlagenzins nur durch eine Verschiebung. Eine Maßstabsänderung ist ausgeschlossen. Andernfalls ist der Risikotransfer imperfekt.3 Das Entscheidungsproblem besteht darin, das Einlagenvolumen bei Erwartungsnutzenmaximierung so zu wählen, daß Bankbilanzgleichung und Verteilungsregel erfüllt sind. Für die Gewinngleichung der Bank ergibt sich ñ = rK + aD — C(D). Demnach erwirtschaftet eine zusätzliche 3 Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Anlagenrendite und variablem Einlagenzins sind genau dann bis auf eine Verschiebung und eine proportionale Maßstabsänderung identisch, wenn fD = ßr - a, mit ß ^ 1 und a > 0. Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken 583 Einlageneinheit die Marge a und verursacht die Kosten C'. Die optimale Nachfrage der Bank nach Einlagen muß folglich die Bedingung (4) a = Cf(D*). erfüllen. Wir fassen unser Ergebnis zusammen. Satz 1 (Vertragslösung) Das optimale Einlagenvolumen der Bank ist unabhängig vom Risikoverhalten und den Renditeerwartungen des Bankmanagements. Auch hat die Eigenkapitalausstattung der Bank keinen Einfluß auf den optimalen Umfang der Depositen. Die Risikoüberwälzung führt aber nicht zu einem sicheren Bankgewinn. Beweis. Die Behauptung folgt unmittelbar aus Gleichung (4). Bei optimalem Risikomanagement bleibt ein Gewinnrisiko (bzw. Verlustrisiko) jedoch bestehen, da das Investitionsprogramm teilweise eigenfinanziert und die Rendite unsicher ist. • Satz 1 zeigt, daß sich die optimale Einlagenpolitik der Bank unter Risiko nicht von ihrer optimalen Einlagenpolitik unter Sicherheit unterscheidet. Diese Aussage gilt aufgrund der Bankbilanzgleichung auch für das optimale Investitionsvolumen. Die lineare Verteilungsregel (3) eliminiert den Einfluß von Investitionsrisiken auf die optimale Bankpolitik und führt dazu, daß Risikoaversion und Erwartungen des Bankmanagements ohne Wirkung auf den Umfang von Aktivund Passivgeschäft der Bank bleiben. Ohne Risikoeffekt muß aber auch die Höhe des Eigenkapitals für das optimale Einlagenund Investitionsvolumen irrelevant sein. Trotzdem wird der Risikentransfer mittels variablem Einlagenzins die Unsicherheit über den Bankgewinn nicht vollständig ausschalten können, da die Aktiva der Bank nicht nur einlagensondern auch eigenfinanziert sind. 2. Futures-Hedging Jetzt betrachten wir den Fall des Einsatzes von Derivaten, und zwar hat die Bank die Möglichkeit, das ökonomische Risiko auf einem Risikomarkt zu verkaufen. Annahmegemäß nutzt die Bank Futures auf einem kompetitiven Terminmarkt, wobei Tf den unverzerrten Terminkurs im Planungszeitpunkt darstellt, d.h. Tf = E(r). Die Laufzeit des Futures beträgt eine Periode und stimmt mit dem Planungszeitraum überein. Wie das Einlagenvolumen, D, ist im Planungszeitpunkt vom Bankmanagement auch das Kontraktvolumen der Terminabsicherung, H, festzulegen. Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 584 Jack Wahl und Udo Broli Die um das Futures-Hedging erweiterte Gewinngleichung der Bank lautet: (5) fl = rA - rD D - C{D) + (r, - f)H, wobei H > 0 einen Verkauf per Termin bedeutet und (77 - r)H den unsicheren Differenzgewinn/-verlust aus dem Futureskontrakt angibt. Von Einschußpflichten sehen wir ab. Im Planungszeitpunkt wählt das Bankmanagement das Einlagenund Hedgingvolumen. Zu maximieren ist der Erwartungswert des Nutzens aus dem unsicheren Bankgewinn, wie er in (5) definiert ist, unter Beachtung der Bankbilanzgleichung. Wir zeigen folgendes Ergebnis. Satz 2 (Marktlösung) Bei Futures-Hedging ist das optimale Einlagenvolumen der Bank - und damit auch ihr optimales Investitionsvolumen - unabhängig vom Risikoverhalten und den Renditeerwartungen des Bankmanagements. Das optimale Einlagenmanagement der Bank ist nicht von ihrer Eigenkapitalausstattung abhängig. Die Höhe des Eigenkapitals beeinflußt jedoch den optimalen Umfang der Aktiva. Bei unverzerrtem Terminmarkt besteht die optimale Risikopolitik der Bank in einer Vollabsicherung und führt zu einem sicheren Bankgewinn. Beweis. Die Optimalitätsbedingungen für D* und H* implizieren (6) rf = rD + C'(D*). Bei optimaler Bankpolitik sind die Grenzkosten bestehend aus Einlagenzins und operativen Grenzkosten dem Futureskurs gleichzusetzen. Die Entscheidungsregel (6) zeigt, daß weder der Grad der Risikoaversion des Bankmanagements noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anlagenrendite das optimale Einlagenvolumen beeinflussen. Das Eigenkapital K erscheint nicht in der Entscheidungsregel (6), ist aber Bestandteil der Bankbilanzgleichung. Damit wirkt K auf A*. Schließlich ist mit rf = E(r) der Bankgewinn eine Konstante. Die Gewinnschwankungen sind wegen H* = A* völlig ausgeschaltet. Es gilt (7) II* = rf(K + LT) - rDD* - C(D*). Aufgrund der Vollabsicherung wird der Bankgewinn zu einer sicheren Größe, da er im Optimum nur noch vom sicheren Terminkurs abhängt. Es folgt, daß die optimale Hedgerate gleich 100 % betragen muß. • Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 Zur Vorteilhaftigkeit des Hedgings für Banken 585 Festzustellen ist, daß beide Formen des Risikentransfers - Risikoüberwälzung mittels variabel verzinslicher Einlagen bzw. Risikoweitergabe auf einem Terminmarkt - zu optimalen Entscheidungen hinsichtlich der Einlagenund Investitionspolitik führen, die einfachen Regeln folgen. In die Entscheidungsregeln (4) und (6) gehen weder Elemente der Nutzenfunktion noch Renditeprognosen des Bankmanagements ein. Ausschließlich Marktund Kostengrößen sind relevant. IV. Bevorzugte Risikopolitik Unsere bisherige Analyse betraf zwei grundsätzliche Arten des Transfers von ökonomischen Risiken des Bankgeschäfts. Die entscheidende Frage ist, unter welchen Voraussetzungen welche Art des Risikentransfers - Vertragslösung oder Marktlösung - vom Bankmanagement bevorzugt wird. Das Bankmanagement zieht dasjenige risikopolitische Instrument vor, das zum höchsten Erwartungsnutzen führt. Welches das risikopolitisch vorteilhaftere Instrument ist, beantwortet der folgende Satz. Satz 3 (Vorteilhaftigkeit von Futures-Hedging) Ist der Futureskurs unverzerrt, d.h. rf = E(f), und weicht im Erwartungswert die variable Einlagenverzinsung nicht von der fixen Einlagenverzinsung ab, d.h. E(rD) = rD, dann bevorzugt das Bankmanagement ein Hedging mittels Termingeschäft gegenüber der Risikoüberwälzung mittels variabler Einlagenverzinsung. Beweis. Wir definieren DR und D*H als das optimale Einlagenvolumen der Bank bei Risikoüberwälzung bzw. Futures-Hedging. Variable Einlagenverzinsung führt zu a = C'(D*R) (siehe Gleichung (4)). Bei Einsatz von Futures ergibt sich rf -rD = C'(D*H) (siehe Gleichung (6)). Ist der Terminmarkt unverzerrt und ist fixer Einlagenzins gleich erwarteter variabler Einlagenzins, dann gilt DR = D*H, denn a = rf — rD. Im Fall der Risikoüberwälzung ergibt sich der maximale Erwartungsnutzen, V*R, wie folgt (k* = aD* - C{D*); D* =D*R = D*H): (8) Vx = E [U(r~K + k*)]. Der maximale Erwartungsnutzen bei Futures-Hedging, V^, lautet: (9) VH = U(E(rfK + V). Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04 586 Jack Wahl und Udo Broil V* Aufgrund der Risikoaversion ist die Nutzenfunktion konkav. Wir erhalten mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung den eindeutigen Nutzenvergleich < V*H und damit die Behauptung. • Satz 3 läßt sich folgendermaßen erklären: Die Überwälzung des Gewinnrisikos der Bank auf ihre Kunden bewirkt nur eine teilweise Ausschaltung des Risikos; Teile des ökonomischen Risikos verbleiben bei der Bank. Hingegen erlaubt die Terminabsicherung ein vollständiges Hedging des Gewinnrisikos; die Bank hat kein ökonomisches Risiko mehr zu tragen. Um die Risikentransformation zu gestalten, präferiert das risikoaverse Bankmanagement die Marktlösung gegenüber der Vertragslösung. Dieses Resultat ist Ergebnis der gesetzten Rahmenbedingungen: Einerseits ist der Preis des Derivats (Futures) unverzerrt, so daß das Bankmanagement keinen Anreiz hat, von der lOOprozentigen Hedgerate abzuweichen; andererseits weicht der fixe Einlagenzins - der bei Futures-Hedging gilt - nicht vom erwarteten variablen Einlagenzins ab. Das bedeutet, daß beim Übergang von der Risikoüberwälzung zum Futures-Hedging zwar der erwartete Bankgewinn aufgrund der Preissituation und der Verteilungsregel (3) gleichbleibt, jedoch das Gewinnrisiko verschwindet. Daher muß der Erwartungsnutzen zunehmen. Wir definieren den maximalen Erwartungsnutzen für den Fall ohne Risikentransfer, d.h., die Bank trägt das gesamte ökonomische Risiko, mit Kredit und Kapital 4/2001 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.34.4.579 | Generated on 2023-01-16 13:18:04