Crescita e distribuzione: un'interpretazione unitaria dei recenti contributi

Fiaschi, Da ide Wo king Pape C esci a e dis ibuzione: un'in e p e azione uni a ia dei ecen i con ibu i Quade ni - Wo king Pape DSE, No. 308 P o ided in Coope a ion wi h: Uni e si y o Bologna, Depa men o Economics Sugges ed Ci a ion: Fiaschi, Da ide (1998) : C esci a e dis ibuzione: un'in e p e azione uni a ia dei ecen i con ibu i, Quade ni - Wo king Pape DSE, No. 308, Alma Ma e S udio um - Uni e si à di Bologna, Dipa imen o di Scienze Economiche (DSE), Bologna, h ps://doi.o g/10.6092/unibo/amsac a/5000 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/159150 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich machen, e eiben ode ande wei ig nu zen. 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I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence. h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by-nc/3.0/ C esci aedis ibuzione:un’in e p e azione uni a iadei ecen icon ibu i Da ideFiaschi1 Dipa imen odiScienzeEconomiche Uni e si àdeglis udidiPisa ViaRidol…,10.56124Pisa E-mail d…[email protected] 29se emb e1998 1Ques oa icolosibasasulp imocapi olodellamia esidido o a o.L’au- o ein ende ing azia eVincenzoDenicolòpe gliu ilisugge imen i,Raimondello O sinipe icommen iallap imas esu adel la o oeun e e ee pe a e messo inlucealcuneimp ecisionidell’esposizione.Glie o i imangonona u almen ea ca icodellosc i en e. Somma io Ques oa icoloanalizzain unap ospe i auni a iai ecen icon ibu isul appo o ac esci aedis ibuzione.Loscopoèdimos a ecomel’a uale le e a u a accia sos anzialmene i e imen oaduemeccanismidibase:il p i- modina u apoli ico-economicoeil secondo iconducibileall’incomple ezza delme ca odeicapi ali.Leconclusionideidueapp occisono alu a ealla lucedelle ecen ianalisiempi iche. 1Una isionegene ale Ques oa icoloin ende o ni eun isioneuni a iadei ecen icon ibu isul appo o ac esci aedis ibuzione,me endoinlucecomecomel’a uale le e a u a accia i e imen o essenzialmen ea duemeccanismidibase:il p i- modina u apoli ico-economicoeil secondo iconducibileall’incomple ezza del me ca odeicapi ali. La eo ianeoclassica dellac esci a ha ascu a o pe lungo empo l’aspe - odis ibu i opoichèques ononin‡uenza al’equilib iodilungo pe iodo dell’economia.Nell’a icolopionie is icodiS igli z(1969)esop a u oin Lou y(1981) iene,in a i,mos a ocheneimodellidic esci aneoclassici, so ol’ipo esidicomple ezzadeime ca i,ladinamicadelladis ibuzioneè e godica1el’equilib iodilungo pe iodoèindipenden edalladis ibuzione inizialedelle iso se2. Recen ianalisiempi iche, u a ia,hannoe idenzia ounaco elazione nega i a ac esci aeineguaglianza; inol e,semp einques o ambi o,alcuni au o i( ediA kinson(1997)),sullabasedel compo amen odialcunipaesi appa enen iall’a eaOECD,hanno messo indiscussionela alidi àdellaben conosciu aleggediKuzne s(1955)chelegail g adodis iluppo economicoe il li ellodidiseguaglianza. Il u ohas imola ola o mulazionedinuo imodelli eo iciche,p en- dendospun odallanuo a eo iadellac esci aendogenaeabbandonando l’ipo esidiagen e app esen a i o,hannoindi idua o a icanalia a e so cuidis ibuzione e c esci apo esse oin e agi e.Somma iamen epo emo di ide eicon ibu ip opos i indueclassi:quelliche anno i e imen o a a - o ipoli ico-is i uzionaliequelliche anno i e imen oall’incomple ezzadei me ca i( ediBénabou(1996c)).Inalcunila o isono p esen ien ambii a - o i,cosìcheques adis inzionede e esse ein esacomeun’app ossimazione a a a scopoesposi i o. Al p imo g uppoappa engonoicon ibu ichecolleganodis ibuzione e c esci a ami eun canaledi ipopoli ico.L’in uizioneècheseledecisioni dipoli icaeconomicasonoil isul a odiuna o azioneamaggio anza ai componen idell’economia,allo aamaggio ineguaglianzaco isponde àuna più o epoli ica edis ibu i aeques a,asua ol a,p o oche àunadimin- uzionedellac esci a.Rigua doaques o…lonedile e a u aicon ibu i 1L’e godici àdelladinamicadis ibu i apuòesse ein ui i amen edesc i acomela p op ie àcheassicu acheogni indi iduo,indipenden emen edallasua icchezzain- iziale,possaoccupa enel empoconp obabili àposi i aunoqualunquedei alo idella dis ibuzione( ediPike y(1997)). 2Inques ocon es oèda ico da eBou guignon(1981),incuisimos achenel casodi unzionidi ispa miocon esseladis ibuzionedella icchezzadilungo pe iodo èdiseguale. 1 piùimpo an isonoquellidiAlesina andRod ik(1994),Bénabou(1996c), Be ola(1993)ePe ssonandTabellini(1994).Valelapenadi ico da e, inol e,ila o icheiden i…canonellacon‡i uali àsocialelacausadella e- lazionenega i a ac esci aeineguaglianza.In ui i amen e,aunamaggio e diseguaglianzaco ispondeunapiùal acon‡i uali àsociale;ques ’ul ima endeilp o… oa esodell’in es imen omenoce oeques osco aggiai po enziali in es i o idall’in ap ende lo.BenhabibandRus ichini(1996)e Alesina andPe o i(1993)sonoila o idi i e imen o. Alsecondo g uppoappa engonoqueicon ibu icheanalizzanoledeci- sioni indi idualidi in es imen o,siaincapi aleumanocheincapi ale…sico, inp esenzadime ca ideicapi ali incomple i. Il la o odiGalo andZei a(1993) app esen al’a icolopionie is ico pe quel che igua dal’in es imen oinis uzioneinp esenzadime ca i in- comple i.Ilpun oc ucialeèl’esis enzaconcomi an edime ca idicapi ali impe e iediun’indi isibili ànella unzionediaccumulazionedicapi ale umano;ques ocompo achele amiglieinizialmen epiùpo e e isul ino pe manen emen eincapacidi in es i einis uzione e quindidiaumen a eil p op io eddi o dilungo pe iodo.Ladinamicadelladis ibuzionedel eddi o nonècosìpiùe godicaeadognidis ibuzioneinizialedel eddi oco ispon- de àun di e soequilib iodilungo pe iodo,in e minisiadidis ibuzione del eddi o chedili ello agg ega o dip oduzione.Alcuniau o i in oducono lapossibili àdi o a epe decide el’in oduzionediscuolepubbliche(si edaBénabou(1996d),Be occhiandSpaga (1996),Fe nandezandRoge - son(1996),Glomm andRa ikuma (1992),Checchi,Ichino,andRus ichini (1996)eSain -Paul andVe die (1993)) odipoli iche edis ibu i e(si eda Pe o i(1993),Fe nandezandRoge son(1995)),me endoine idenzal’in- e azionecomplessachepuògene a si ail a o epoli icoequellolega o all’is uzione. Pe quan o igua dain ecel’in es imen oincapi ale…sico,Bane jee and Newman(1993)ePike y(1997) app esen anoipiùimpo an icon ibu i. Il p imoanalizzaun’economiaincuigli indi idui,da elep op ie iso sein- iziali,de ono sceglie esep es a ela o o,s olge eun’a i i àdiau oimpiego o in ap ende eun’a i i àimp endi o iale.Sialasecondachela e zascel a ichiedono unaquo a…ssadi iso sedain es i e.Inp esenzadi impe ezioni neime ca ideicapi aligli indi iduipiùpo e inonpossono e¤e ua el’in es- imen oincapi ale;ques o,asua ol a,de e minaunamino ec esci adel lo o eddi oeunape sis en edisuguaglianzadis ibu i a.Il secondola o o in oducenel modellodiSolow lapossibili àdiazionesleale(mo al haza d). Ques oèsu¢cien eagene a e equilib imul ipli,chedi¤e iscono alo osia in e minidip oduzionechedidis ibuzionedel eddi o,ancheseladinamica diques ’ul imaèsemp e e godica. 2 Una a ian e ispe o al …lonep eceden eanalizzapiùapp o ondi amen e il appo o amobili àsocialee dis ibuzione.InBénabou(1996b),Bénabou (1996a),Be ola andPi ani(1996)eDu lau (1996)glie¤e idi icadu a del- l’accumulazionedicapi aleumanosonoinqualchemanie alimi a i.Bénabou (1996b)p esen aun modelloincui il sis emascolas icoè…nanzia oali ello locale.Nell’equilib iodelmodello gli indi iduipiùdo a idi iso sesicon- cen anoin unapa icola ezona;lasocie àsis a i…cape manen emen ein g uppidis in iasecondadel eddi o,dacuiunadiminuzionedellamobili à sociale e dell’e¢cienzanell’allocazionedelle iso se.InGalo andTsiddon (1996b)siconside aun’economiaagene azioniso appos econdi e sise o i p odu i i; sisupponechelaconoscenzanecessa iape ope a einunse o e siaspeci…ca echegli indi iduiabbiano un’abili ànell’accumula econoscenza speci…ca,dipenden esiadaun a o ecasualesiadal se o eincuila o a a ilgeni o e.Sel’economiaèpocodinamica,ossiasesic eanopochinuo i se o i, isa àunabassamobili àeques o,asua ol a,de e mina àuna mino ec esci a. Nel segui o passe emo in assegna iduep icipali…lonidile e a u a,ossia quellopoli ico-is i uzionale e quellodeime ca i incomple i,siadal pun odi is a eo ico che empi ico.I isul a isono esp essi in e minidiP oposizioni, lecuidimos azionisono accol einAppendice. 2C esci a,dis ibuzione e a o epoli ico- is i uzionale Inques asezioneanalizze emoicon ibu icheindi iduanonel a o epoli ico- is i uzionaleilcanaledi in e azione ac esci aedis ibuzione.Alcunidei la o ipiùimpo an isull’a gomen osonoAlesina andRod ik(1994),Bén- abou(1996c),Be ola(1993)ePe ssonandTabellini(1994).Pe mos a eil meccanismoso os an eaques o…lonedile e a u a a emousodiun sem- plicemodelloagene azioniso appos eincuigli indi iduihannodo azioni e e ogenee didue a o i,unoaccumulabileel’al ono.La emune azione diques iul imièassun apa iallalo op odu i i àma ginaleamenodi un pa ame o.Ques ’ul imopuòesse ein e p e a osiacomeuna assa a …ni edis ibu i i( ediadesempio Alesina andRod ik(1994)ePe ssonand Tabellini(1994)),siacomeun indica o edei appo idi o za acolo oche sonodo a ipiùdiun a o eemenodell’al o(Be ola(1993)puòesse e in e p e a oin alemanie a).Gli indi iduisonoal uis iequindi in e essa i alascia eun’e edi àal p op iodiscenden e.Mos e emocomesialac esci- acheladis ibuzionedella icchezzadipendanodal alo edelpa ame o 3 e,de…ni ol’equilib iopoli icocomelasi uazioneincui ilpa ame oède- e mina omedian e o azioniamaggio anza,nes udie emolep op ie à. Ved emo cheil alo edel pa ame o diequilib io poli ico sa àquellop e e i- o dall’indi iduo mediano nelladis ibuzione ela i a3deidi i idip op ie à sui a o i,dacuiconclude emochepiùiniquaèladis ibuzionedella ic- chezzamino esa àlac esci a.In unap ospe i as o ica(comeinBe ola (1993)ePe ssonandTabellini(1994)),po emoin e p e a eilpa ame o comeun’indicedei appo idi o za aleclassisociali;inques ’o icala concen azionenelladis ibuzionedei a o inonaccumulabili( ipicamen e e a)eunas u u ais i uzionale a o e olealla emune azionediques ’ul- imi( o azionipe censo)de e mine ebbeun basso asso dic esci a.Ques o po ebbespiega ela elazione empi icanega i a aes ensionedel la i ondo ec esci aeil enomeno dibassac esci adilungo pe iodo ,denomina o come ” appoladellapo e à”,spe imen a oda alcunipaesi in iadis iluppo. 2.1Il modello In oduciamo o ailmodellocheu ilizze emope mos a einmanie apiù igo osaquan oappenade o. L’economiaècompos adaun con inuumdi indi idui,con assegna idal- l’indiceide…ni onell’in e allo[0;N].L’indi iduo,na oal empo , ice e un’e edi abi dalp op io geni o e.Ques aè ipa i a a ispa miosi e consumoci ,ossia bi =si +ci :(1) Indichiamo con^ +1econ^w +1, ispe i amen e,le emune azioniuni a ieal empo +1,del isa mioedel a o enonaccumulabile;inol eindichiamo conli lado azionedi a o enonaccumulabiledelladinas iai econconL= RN 0lidilos ockagg ega o.Il a o enonaccumulabilepuòesse ein e p e a o siacomedo azionedi empola o a i osiacome e a.Ved emopiùa an i comel’adozionediunao dell’al ain e p e azionepossapo a eap e isioni mol odi e seci cailcompo amen odiun’economiaecomeques esiano coe en iomenoconleanalisiempi iche. Nel secondope iodol’indi iduode e ipa i eil eddi o o ale ail con- sumodel pe iodoci +1el’e edi àbi +1,ossia: ^ +1¢si +^w +1¢li =ci +1+bi +1:(2) 3Il e minedis ibuzione ela i aèdain ende sinel sensochese esis epiùdiun a o e (adesempiocapi ale e la o o),quelloche ile ape lep e e enzediun indi iduononsono lequan i àassolu edei a o idaluipossedu e,mabensìil lo o appo o. 4 Pe semplici àassumiamochel’u ili àabbia o malog-linea e echel’e ed- i àen inella unzionediu ili àin e miniassolu i,indipenden emen edal- l’u ili àchene ica anoip op idiscenden i4,ossia5 Ui=log¡ci ¢+¯¢£log¡ci +1¢+½¢log¡bi +1¢¤:(3) No iamochenel casoli ossein e p e a ocome empola o a i o,allo a la unzionedio¤e adila o osa ebbeinelas ica. Dallecondizionidelp imo o dine ela i eallamassimizzazionediUi ispe oabi +1esi o eniamoche bi +1=Á¢½¢(^ +1¢bi +^w +1¢li ) (1+Á)¢(1+½)e(4) si =Á¢ ^ +1¢bi ¡^w +1¢li ^ +1¢(1+Á); do eÁ=¯¢(1+½).Sos i uendola(4)nella unzionediu ili à(3)abbiamo che Ui=(1+Á)¢log¡^ +1¢bi +^w +1¢li ¢¡log(1¡^ +1)+D;(5) do eDèunacos an e unzionedeipa ame idel modello. La(5) app esen al’u ili àmassima aggiungibileda alas u u adi emune azionedei a o i. 2.2Lade e minazionedelle emune azionidei a o i Il la odellap oduzioneèmodella oseguendoRome (1986),ossiasupponi- amoche esis aun ele a onume odi imp esecheope anosecondouna ec- nologiaa endimen icos an inei a o iali ellodisingoloimp endi o e, mache esis a ancheun’es e nali à ispe oal li elloagg ega odel a o e accumulabile,ossia yj =A¢K¯ ¢¡lj ¢®¢¡kj ¢1¡®;(6) do eAèun pa ame odimensionale,ljlaquan i àdel a o enonaccu- mulabileimpiega odall’imp esaj,kjlaquan i àdel a o eaccumulabile impiega odall’imp esajeKlos ockagg ega odel a o eaccumulabile. Con una ale unzionedip oduzionesappiamochecondizionenecessa iape 4Inle e a u aques aipo esièchiama a”wa mglow”( ediAnd eoni(1989)). 5No iamocomela o maloga i micadella unzionediu ili àcipe me edi igno a eil possibile incolob +1 i¸0. 5 a e ec esci adilungo pe iodoèche¯¸®.Poichèil endimen odell’in es- imen oinogni imp esade e esse euguale,nell’ipo esidi emune azionedei a o ial ma ginea emochelap oduzioneali elloagg ega osa àpa ia: Y =A¢K1+¯¡® ¢L®(7) ele emune azionidei a o ia =(1¡®)¢A¢K¯¡® L®e w =®¢A¢K1+¯¡® L®¡1:(8) Pe comodi àanali ica,o e ope a e eun assodi in e essecos an e, supponiamoche®=¯.Unmodomol osemplicedimodella esiauna poli ica edis ibu i acheun con‡i odis ibu i oèquellodi in odu eun pa ame o ¿chemodi…chile emune azionidei a o i,so oil incolocheil p odo o o alesiain e amen edis ibui o.Le emune azionine esa anno quindi ^ =(1¡¿ )¢(1¡®)¢A¢L®e ^w =(®+¿ ¢(1¡®))¢A¢K ¢L®¡1.(9) Comesino amaggio eè¿,mino eèla emune azionedel a o eaccu- mulabile,dacuièe iden el’in‡uenzadi¿nellade e minazionedelladis- ibuzionedelp odo o o ale aidue a o i(con‡i odis ibu i o).In- ol e,¿puòesse e is o comeuna assa applica a al endimen odel capi ale che…nanziainpa eggiodibilancioun as e imen oaipossesso idel a o e nonaccumulabile,ques ’ul imo p opo zionaleallado azionedel a o es es- so(poli ica edis ibu i a).Adesempio,nel casoil a o enonaccumulabile osseil la o o sipo ebbeassume echeques o siaequidis ibui o aidi e si indi iduiequindi il as e imen osa ebbeugualepe u i.Inques omodo app esen iamoin un’unicas u u a,anchesesos anzialmen esempli…ca- a,imodellidicon‡i odis ibu i odiAlesina andRod ik(1994)eBe ola (1993)eimodelliconpoli iche edis ibu i ediPe ssonandTabellini(1994) eBénabou(1996c).Poichèle emune azionidei a o ide ono semp e esse e non nega i eassumiamoche¿2£¡® 1¡®;1¤. 2.3Il assodic esci adell’economia Da alas u u adi emune azionedei a o i,possiamocalcola eil li ello agg ega odi ispa mioal empo chesa àil li ellodelcapi aleal empo +1.Sos i uendola(9)nella(4)eagg egando o eniamo: S =Á¢(1¡¿ +1)¢(1¡®)¢B 1+Á¢(1¡¿ +1)¢(1¡®)=K +1;(10) 6 L’in uizionediques o isul a osihaconside andoilcasoincui inizial- men el’ele o emediano a essea u o in e esseaduna edis ibuzione.L’a - uazionediques ’ul imaglipe me edia icina siallado azione ela i a mediadell’economia; u a ia,quandoa à aggiun oques ’ul imoli ellodi iso sepe de àl’incen i o alla edis ibuzione.Ques oèl’equilib iodilungo pe iododell’economia.Gli indi iduichesonoalmomen oso olamedia non iusci annopiùa ecupe a e ispe o aglial ieques o de e mine àuna dis ibuzioneasin o icanon uni o me.No iamocome esis anoequilib i mul- ipliin elazionealladis ibuzioneinizialedelle iso se e comel’equilib io compo iunas aziona ie àdella a ianzadelladis ibuzione ela i a(ossia lacu adiLo enzassocia a alladis ibuzionediequilib iodilungo pe i- odoècos an e).L’in e essesa ebbequindidi e i…ca e empi icamen ela con e genzadelladis ibuzione ela i apiu os ochedelladis ibuzioneas- solu a(ques oèquelloche a adesempioBénabou(1996c)quandoanalizza il secondomomen odelladis ibuzione). Ledinamichedi ansizioneall’equilib iodilungo pe iodopossonocom- p ende eo meno pe iodidic esci a nega i a a seconda della posizioneiniziale dell’ele o emediano.Sein a iques ia esseun ¹m alepe cui¿m>¿G, a emmoun pe iododic esci anega i aindo adalla o e edis ibuzione con unadisuguaglianzain e miniassolu i indiminuzione;aques o a ebbe segui oun pe iododic esci aposi i aedisemp emino edisuguaglianza quando¹m osseabbas anza aumen a oche¿m<¿G;in…nequandol’ele - o emedianomos e àun ¹m alepe cui¿m<¿C,ladisuguaglianzasi s abilizze à.Ine¤e iques adinamica empo alenonconco daconquan o sos enu odaKuzne s(1955). UnadinamicaàlaKuzne s sipo ebbein eceo ene esesisupponesse chealle o azionipo esse opa ecipa esolo gli indi iduilacui icchezzaè sop a unce asoglia ( o azionipe censo, ediPe ssonandTabellini(1994)). Ciòcompo acheinizialmen el’ele o emediano abbiaun ¹mpiùbasso del- l’ele o emedianodeipe iodisuccessi i.Aun basso¹mpuòco isponde e un ¿m<¿Cequindil’economiaspe imen e àunac esci aposi i aedun aumen o dell’ineguaglianza.Tu a ia,all’aumen a edel eddi o medio,sem- p epiùele o iacquis anoildi i odi o a e,cosìcheladis ibuzionedei ¹degli indi idui o an isispos a e soil limi esupe io e.Ques opo ebbe esse esu¢cien ea¢nché ¿m>¿C,ossiape de e mina eun pe iodo incuila disuguaglianzadiminuisce( ediBe occhiandSpaga (1996)),pe pois abi- lizza sinel lungo pe iodo.Lacu adiKuzne s sa ebbequindide e mina a dallasoglia di eddi o impos ape la pa ecipazioneal o o (pe al imodelli chegene ano cu ediKuzne s,si edaAghionandBol on(1997),Galo and Tsiddon(1996a)ePe o i(1993)).Ques ain e p e azionepoli ico-economica semb aben ip odu ele e¤e i e icendes o ichedialcunipaesi,incui il 13 o oe a(edè)limi a odalcensooda al i a o i(adesempiois uzione) ( ediBénabou(1996c)). 3Ilmodelloconme ca ideicapi ali incom- ple i Comegiàde o,eisis onounase idicon ibu icheme onoine idenza l’impo anzadeime ca i incomple inellospiega eil legame ac esci ae dis ibuzione.Pe illus a eilmeccanismoallabasediques ila o imodi- …chiamoil modellop eceden eaggiungendoun’al apossi ilea i i àdi in- es imen o,ca a e izza adaunapiùal a eddi i i àedaunasogliaminima di in es imen o,in e p e abilesia comecapi aleumano checomein es imen- oimp endi o iale.Lap esenzadime ca i incomple iediunaindi isibili à nell’in es imen ononpe me eagli indi iduipiùpo e idi in es i enel se - o eadal a emune azione,dacuiunamino c esci a.Ladis ibuzionedella icchezzade e mine àquan oques oe¤e osia o e. 3.1Es ensionedel modello La unzionediu ili àèassun aesse esemp edella o ma: Ui=log¡ci ¢+¯¢£log¡ci +1¢+½¢log¡bi +1¢¤;(18) do eci èil li ellodiconsumodelpe iodo ,bi +1èl’e edi àlascia a al discenden e8e¯e½sonoduepa ame idip e e enza. Ogniagen eèsemp edo a odiunaquan i àdi iso sebi lascia agli in e edi àdal geni o eda alloca e aconsumo edin es imen o.L’in es imen o puòesse edidue ipi:unoche o nisceun endimen ocos an e pe ogni uni àin es i a eduno che emune a secondo la unzioneh.Inol e,nel secon- do pe iodo l’indi iduoèdo a odiun’uni àdi empochede edecide ecome alloca e ala o ononquali…ca o,che iene emune a oalsaggiocos an e wel’a i i à emune a asecondola unzioneh.L’ipo esidi emune azione cos an edei a o i endeanali icamen emenocomplica al’analisi,manon modi…cadal pun odi is aquali a i oleconclusion. Assumiamochenonesis aun me ca o del c edi o incuinonsiapossibile p ende eap es i o,cosìchel’in es imen o si è incola o adesse enon nega- i o (un’ipo esiequi alen eèquellache esis ano assimme iein o ma i eche 8Nelcasodi in es imen oimp endi o iale,l’assume echeques o engae¤e ua oda indi iduia e sial ischiopuòappa i e es i i o; u a ia,il ilassa eques a assun- zionenoncompo e ebbecambiamen isigni…ca i inei isul a i,ma a ebbepe de ebbela isioneuni a iadell’app occio. 14 limi inolacapaci àdegliagen idip ende eap es i o),ossia: si ¸08i:(19) Il consumodel p imope iodosa àquindi: ci =bi ¡si ¡ei ;(20) do eei èl’in es imen o emune a osecondola unzioneh,men equello del secondo: ci +1= ¢si +w¢li +¡1¡li ¢¢h¡ei ¢¡bi +1:(21) Il li ellodie edi àlascia oal …gliosa àpa ia bi +1=½¢[ ¢si +w¢li +(1¡li )¢h(ei )] 1+½;(22) che,sos i ui onella unzionediu ili à,po a a Ui=log¡bi ¡ei ¡si ¢+Á¢log¡ ¢si +w¢li +(1¡li )¢h(ei )¢+D;(23) do eDèunacos an e unzionedeipa ame idel modelloeÁ=¯¢(1+½). Laspeci…cazionedella unzionehèil pun o cen aledel modello.Assum- iamo,in a i,chel’in es imen o inei o niscauna emune azionepiùele a a ispe oall’in es imen oinsi ,masolo ol eunace asogliadi in es imen o chechiame emoe,men epe li elli in e io inonde e minanessuna emu- ne azione.Inol eèlogicopensa echeil li ellominimodi emune azione chesio ieneimpiegando empo nell’in es imen o inei siasupe io eaquella o enu anell’a i i àla o a i anonquali…ca a.Una o mulazionesemplice pe la unzionehèlaseguen e: h¡ei ¢ =½08ei <e ±¢ei 8ei ¸e(24) Il di¤e enzialenei endimen isio ieneassumendoche ±> ;(25) men elamaggio e emune azionedel empoimpiega onell’in es imen oin ei èesp imibilecome ±¢e>w:(26) Il modello in ende app esen a elapossibili àpe un’indi iduo di ica a e eddi o: 15 1.op es andoil p op io empocomela o a o enonquali…ca o; 2.o in es endo ina i i àabassa emune azionemachenoncompo ino lanecessi àdispende e emposuesse9; 3.oin es endoina i i àdi ipoimp endi o ialeodiaccumulazionedi capi aleumano,che ichiedesiaun li ellominimodi in es imen o,sia empo. Ilmodelloinco po aquindisialascel a aoccupazionial e na i edi Bane jee andNewman(1993),sia lascel adi in es imen o incapi aleumano diGalo andZei a(1993).L’a i i àabasso assodi emune azionesipuò iden i…ca econl’in es imen o in un se o eabasso con enu o ecnologico ea bassainno azione,incuinonsono necessa ie ele a e iso sepe in ap ende e l’in es imen o,macheallos esso empononpe me ono un ele a o assodi endimen oedic esci a.Il se o eag icolo,s u a oinmanie ap imi i a, po ebbe esse eun esempiodi ale ipodia i i à. Las u u adi emune azionedell’in es imen oadal a eddi i i àce ca dicoglie egliaspe ic ucialicheca a e izzanoise o iadal a ecnologiao adaccumulazionedicapi aleumano.Sipuòin a isoss ene echeneip imi esis aunasogliaminimadi in es imen oso olaqualel’in es imen ononè p o… e ole e chel’accumulazionedicapi aleumano, alasciando lano male is uzionedibase,de e mine àun’e¤e i oinc emen osala ialesolosele iso seimpiega esonosupe io iadunace asoglia. 3.2Soluzionedel modello L’indi iduosi o aquindiada¤ on a eil seguen ep oblemadimassimo: max ei ;si ;li Ui=log¡bi ¡ei ¡si ¢+Á¢log¡ ¢si +w¢li +(1¡li )¢h(ei )¢ s:a 8 > > < > > : h(ei )=½08ei <e ±¢ei 8ei ¸e si ¸0 li ·1 Lap ocedu adisoluzioneappa epa icola men e ediosa,cosìchequine desc i e emoipassi inmodosomma ioe eleghiamoinAppendiceide agli anali ici.Sipuòdimos a echesel’indi iduoin es einenonin es eins 9Ques aèipo esisempli…ca ice;in a inullacambie ebbenelcasoanchel’a i i àa bassa emune azione ichiedesse empo. 16 enonalloca empoal la o ononquali…ca o.Inpa icola e,nelcasonon in es issimoinea emochelascel ao imasa à: ¡¡li ¢¤;¡si ¢¤;¡ei ¢¤¢ =µ1;max·0;Á¢ ¢bi ¡w ¢(1+Á) ¸;0¶;(27) men enel casodi in es imen oine: ¡¡li ¢¤;¡si ¢¤;¡ei ¢¤¢ =µ0;0;max·e;Á¢bi (1+Á) ¸¶pe bi >e:(28) La decisionedi in es i eo menoineacausa della discon inui ànella unzione hnonpuòesse ede e mina a a a e so lo s udio dellade i a a,maèneces- sa iouncon on oin e miniassolu idelleu ili àde i an idall’impiega euna egoladidecisioneol’al a(ossiao(27)o(28)).De…nendoUe(bi )¡Us(bi ) comeladi¤e enzanelleu ili ànel caso siado asse ispe i amen ela(28)o la(27)a emochesiin es i àinesebi ¸b¤,do eb¤ède…ni oimplici amen e dall’uguaglianzaUs(b¤)=Ue(b¤). InAppendicesimos acomeb¤dipendanega i amen edal li ellodie, come e ain ui i amen eda a ende sieposi i amen e ,da oil suoe¤e o posi i osuUs(b ). 3.3Dinamichediaccumulazione Ledinamichediaccumulazioneall’in e nodiunadinas iasonoda edalla (22).Abbiamo is ochepe alo idibi <b¤lascel adi in es imen oè esp essa dalla (27),men epe alo isupe io idalla (28),cosìchela unzione diaccumulazionesa à: bi +1= 8 > > < > > : max·½¢w 1+½;Á¢½ (1+½)¢(1+Á)¢(bi ¢ +w)¸bi <b¤ max·½¢±¢e (1+½);Á¢½¢± (1+½)¢(1+Á)¢bi ¸bi ¸b¤(29) Nellospi i odell’esposizioneassumiamochel’accumulazionenelse o e abassa ecnologianonpe me aunac esci adilungo pe iodo,ossia <(1+½)¢(1+Á) Á¢½;(30) men e algal’in e sope l’accumulazionenelse o eadal a ecnologia,ossia ±>(1+½)¢(1+Á) Á¢½:(31) 17 L’ideaèquelladi app esen a elapossibili àcheuna amiglia(oun paese),nonin es endonell’a i i àadal a emune azione(oinse o iad al a ecnologia),possa imane ein unacosidde a” appoladellapo e à” do u ainques ocasoallasogliaminimadi in es imen o(allos essomodo cheinGalo andZei a(1993),Bane jee andNewman(1993),Aghionand Bol on(1997)ePe o i(1993)). Inp imisanalizze emoleduecomponen idella unzionediaccumulazione, indipenden emen edal lo oambi odide…nizione;successi amen e,lalo o analisicongiun aci o ni àladinamicacomplessi a. Accumulazionepe unbassoli ellodie edi à(bi <b¤)Nel casoun indi iduoa esseuna icchezzainizialemino edib¤eglisi o aadaccumula e secondo bi +1=max·½¢w 1+½;Á¢½ (1+½)¢(1+Á)¡bi ¢ +w¢¸:(32) Poichènonconosciamo il alo edib¤,analizziamo l’andamen o dellacu - anell’in e oin e alloammissibile[0;1), es ingendosuccessi amen el’a - enzioneaisoli alo idi in e esse.Ingene ale esis e àsemp eun pun o …sso, dipenden epe òdal alo edi .In a ièpossibiledimos a eche: 8 2h0;1+½ ½¢Á ´bR;F=½¢w 1+½ 8 2³1+½ ½¢Á;(1+½)¢(1+Á) ½¢Á ´bNR;F=Á¢½¢w (1+½)¢(1+Á)¡Á¢½¢ (33) InbR;Fl’indi iduoè aziona onellesuescel edi in es imen oequindi lasce àun’e edi àindipenden edal asso di in e esse.InbNR;Fin eceil asso di in e essegiocaun uoloposi i opoichèaumen ail eddi odisponibile e quindiescludelapossibili àdi azionamen o.Inen ambi i casi u a ianon isa àc esci adilungo pe iodope chèipun i…ssisonoa a o iequindi equilib idilungo pe iodo.Osse iamo, u a ia,checiòchede e minase i siaonodi¤e enziazionenelledinamichedei eddi idelledi e sedinas ieèil appo o ail pun o…ssoeb¤. Accumulazionepe unal oli ello die edi à(bi ¸b¤)Nel caso un in- di iduo a esseuna icchezzainizialemino edib¤,eglisi o a adaccumula e secondo bi +1=max·½¢±¢e (1+½);Á¢½¢± (1+½)¢(1+Á)¢bi ¸:(34) 18 Pe l’ipo esi(31)su±,ques a unzionediaccumulazionenonp esen e à maiun pun o…ssoela icchezzac esce àadun assocos an epa ia g=Á¢½¢± (1+½)¢(1+Á):(35) Quindi,ledinas iecheseguonoques osen ie odiaccumulazionep esen- e announac esci a asin o icaposi i a a assocos an epa iag. 3.3.1Ladinamicacomplessi a La(33)sugge iscedidi ide el’analisidelladinamicadel eddi oinduecasi dis in iasecondadel alo edi . Pun o…ssocon azionamen oConside iamope p imoilcasodi 2 h0;1+½ ½¢Á ´incui il pun o …sso èda o dabR;F=½¢w 1+½( edi(33)).Il appo o a bR;Feb¤s abilisceladinamicaquali a i adell’accumulazione. Se,in a i,bR;F<b¤a emocheledinamichedelle icchezzedelle a ie dinas iea announandamen odi¤e enzia oasecondadello o alo einiziale. In e minig a…cipossiamo app esen a elasi uazionenel seguen emodo: − b +1 b R,F bb*w φ _ Equilib iocon azionamen oesegmen azione do elalineapiùma ca a app esen alacu a(spezza a)diaccumu- lazione.Siosse icheledinas iecon una icchezzainizialemino edib¤ mos e announa icchezzacon e gen eabR;F; ice e sa,quellecon una ic- chezzasupe io espe imen e announac esci a asin o icapa iag.Side e - mina,quindi,unasegmen azionenell’insiemedelledinas ie,do ealcune,a 19 di¤e enzadelleal e,nonspe imen anoalcun un assodic esci adellap o- p ia icchezza.Inques ocasoladinamicadelladis ibuzionedella icchezza sa ànone godica,ossianonesis ealcuna p obabili àcheunindi iduo po e o possadi en a e iccoe ice e sa( ediPike y(1997))10. Nelcasoin ecedibR;F¸b¤ognidinas iaspe imen e àun assodic esci a asin o icodellap op ia icchezzapa iag. Laseguen eP oposizione o niscedellecondizionisu¢cien i11 a¢nchèsi abbiamasegmen azionenelladinamicadelle icchezzedelle a iedinas ie. P oposizione7Siassumache 2h0;1+½ ½¢Á ´.e>w Á¢ ècondizionesu¢- cien e a¢nchèognidinas iaiche p esen iunbi <b¤spe imen e àun asso dic esci adellap op ia icchezza pa ia0,men equellepe cuibi ¸b¤ a announsaggio diaccumulazionecos an epa iag.Inol ese ale12 w Á¢ <e·w¢Á (1+Á)¢ ¢ "(± )Á 1+Á¡1 #a emoche b¤=w ¢ "(± )Á 1+Á¡1 #. In ui i amen esicomp endechepoichèeèmaggio ediw Á¢ ,il pun o…s- sodell’equazione isul e àsemp emino edel alo edell’e edi àb pe cuiè con enien ein es i enell’a i i àadal a emune azioneequindi in ap en- de el’accumulazionedilungo pe iodo.In eal à,sipuòdimos a echeil alo edie alepe cuisigene aques o isul a oèpiùbasso diquellodanoi speci…ca o,mape inos iscopiesposi i iques oèdipocoin e esse. Siosse icheinequilib iogli indi iduisidi ide annoindueg uppidis in- i:uno incuiognuno p es ail p op io empo comela o a o enonquali…ca o eunoincuiognunoin es enel se o eadal a emune azione. No iamo cheal c esce ediwlacondizionesu¢cien epo ebbenonesse e piùsodis a aed,in a i,sipuòdimos a echeol eun ce o alo ediw lasegmen azionespa isce.In ui i amen eques oèdo u oall’aumen odel eddi o a disposizionedelledinas iepiùpo e echepe me elo o un’accumu- lazionesu¢cien easupe a elasogliaminimadinecessa ia all’in es imen o ine. LaP oposizione7indi idua anche,limi a amen eadun’in e allo di al- o idie,unasoluzione esplici ape b¤.Il pun oin e essan e(cheinqualche 10Ques o imanebe e oanchenel casoincuila unzionedi emune azionedel capi ale umanoabbiaunacomponen eaddi i as ocas ica,il cuisuppo osia abbas anzapiccolo. 11L’in e esseinques ocasoèsoloquellodimos a eche esis eunacon…gu azionedei pa ame ipe cuiesis eunadinamicanone godica.Lagene alizzazionedel isul a o compo e ebbeun’inu ileappesan imen odella a azionesenzanulla aggiunge ealla comp ensionedel meccanismoallabasedei isul a i. 12InAppendicesimos acheques o ichiedeche±< ³1+Á+Á2 1+Á ´1+Á Á. 20 modocon oin ui i o)èchepe un ce oin e allodi alo i,un aumen odi wcompo aun aumen odel nume odidinas iechenonaccumule annonel lungo pe iodo:ques o sispiega conside ando cheunaumen o diwdiminuisce lacon enienza a passa eall’in es i eall’in es imen o adal a emune azione, chedapiù endimen oin u u omapenalizzamaggio men eil eddi oa - uale( ico diamochewpuòesse eanche is ocomeilcos o oppo uni à dell’impiega eil emponell’a i i àadal a emune azione). Pun o …sso senza azionamen oConside iamoilcasoincui 2³1+½ ½¢Á;(1+½)¢(1+Á) ½¢Á ´, acuico ispondeilpun o…ssobNR;F=Á¢½¢w (1+½)¢(1+Á)¡Á¢½¢ .Analogamen ealcaso p eceden esebNR;F<b¤a emocheledinamichedelle icchezzedelle a ie dinas iep esen e announ andamen odi¤e enzia oasecondadeilo o alo i iniziali.In e minig a…cipossiamo app esen a elasi uazionenel seguen e modo: b +1 b bb* NR,F Equilib iosenza azionamen omasegmen azione do elalineapiùma ca a app esen anolacu a(spezza a)diaccumu- lazione.Ledinas ielacui icchezzainizialeèmino edib¤mos e announa icchezzacon e gen eabNR;F,men equellalacui icchezzaèsupe io euna c esci a asin o icapa iag.Sic eaquindi,comenelcasop eceden e,una segmen azionenell’insiemedelledinas ie,do ealcune,adi¤e enzadial e, nonmos e announa icchezzainc esci a. Nelcaso,in ece,dibR;F¸b¤ognidinas iaspe imen e àun assodi c esci a asin o icodellap op ia icchezzapa iag. Laseguen eP oposizioneindi iduadellecondizionisu¢cien i13a¢nchè lasegmen azioneabbialuogo. 13Imo i ipe cuiancheinques ocasolimi iamol’analisisonoallecondizionidi su¢cienzacoincidonoconquelliespos inellano ap eceden e. 21 P oposizione8Siassumache 2³1+½ ½¢Á;(1+½)¢(1+Á) ½¢Á ´.Sew Á¢ <e·w¢Á (1+Á)¢ ¢ "(± )Á 1+Á¡1 # e±< ¡1 Áh(1+½)(1+Á) ½Á i1+Á Áognidinas ialacui icchezza èin e io e a b¤= w ¢ "(± )Á 1+Á¡1 #spe imen e àun asso dic esci adilungope iodo pa ia0, men equellelacui icchezza èmaggio edib¤spe imen e announ asso dic esci apa iag. In ui i amen e,lacondizionesueciassicu acheil passaggiodaun ipo di in es imen oall’al oa engainmancanzadi incolisullaquan i àda in es i epe en ambii ipidi in es imen o,men elacondizionesu±as- sicu acheilpun o…ssobNR;Fsiamino eb¤.LaP oposizioneè acilmen e es endibilealcasoe>w¢Á (1+Á)¢ ¢ "(± )Á 1+Á¡1 #,chenonè ipo a ope chènon aggiungenulladi ile an eenonamme eunasoluzione esplici ape b¤. Unpun oin e essan edaso olinea eècheinques ocasopuòesis e e unadinamicadi ansizioneincuiancheil eddi odelledinas iechenon accumulanonel lungo pe iodoc esce.Ved emocomeques opuògene a e in e essan idinamichedis ibu i e. 3.4In e p e azionedei isul a i in e minideila o i giàp esen i inle e a u a Ilmodelloappena analizza ope me edicoglie ein ui i amen emol idei isul a ip esen i inle e a u a. In e p e andol’in es imen oadal a emune azionecomeaccumulazione dicapi aleumano,si ip oducono i isul a idiGalo andZei a(1993); in e - p e andoin ecel’indi isibili àdell’in es imen ocomecos i…ssidimoni o - aggiope l’a i i àimp endi o ialesi ip oducono i isul a idiBane jee and Newman(1993). L’esis enzadiequilib imul iplico ela iadunadi e sadis ibuzionedelle iso seèunaca a e is icacomuneaques o ipodimodelli,cosìcomel’in- e azione aladis ibuzionedel eddi oeil assodic esci adell’economia. In e minidelnos omodelloques osihanelcasodisegmen azione( edi sialaP oposizione7chela8).In alesi uazioneladis ibuzionedi en e à semp epiùiniquaeil assodic esci a agg ega o, ispe oadunasi uazione conmaggio e equi à,sa àpiùbasso.Pe con ince sidiques osupponiamo chesianosoddis a elecondizionidellaP oposizione7ediesse enell’equi- lib iodilungo pe iodo.L’insiemedegli indi iduisa àpa iziona oindue 22 Ri e imen ibibliog a…ci Aghion,P.,andP.Bol on (1997):“ATheo yo T ickle-DownG ow h andDe elopmen ,”Re iew o EconomicS udies,64(2),151–172. Alesina,A.,andR.Pe o i(1993):“Incomedis ibu ion,poli ical ins abili yandin es men ,”NBERWo king Pape ,4486. Alesina,A.,andD.Rod ik(1994):“Dis ibu i ePoli icsandEconomic G ow h,”Qua e lyJou nal o Economics,109(2),493–490. And eoni, J.(1989):“Gi ingwi hImpu eAl uism:Applica ions o Cha i yandRica dianEqui alence,”Jou nalo PolicalEconomy,97, 1447–1458. A kinson,A.(1997):“B ingingInequali y om heCold,”Economic Jou nal. 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S igli z, J.(1969):“Dis ibu iono IncomeandWeal hAmong Indi iduals,”Econome ica,37(3),382–97. 31 Dimos azioneP oposizioni Dimos azioneP oposizione1 Dall’equazione(13)abbiamoche: B +1 B >1,(1¡¿ +1)¢[½¢A¢L®¡(1+½)]>1+½ Á¢(1¡®) Nel casoincui½¢A¢L®¡(1+½)>0a emoche ¿<1¡1+½ Á¢(1¡®)¢[½¢A¢L®¡(1+½)] men enel casoche½¢A¢L®¡(1+½)<0a emoche ¿>1¡1+½ Á¢[½¢A¢L®¡(1+½)]>1 Inques ’ul imocasoèe iden echel’economianonspe imen e àmaiun assodic esci aposi i opoichè¿2£¡® 1¡®;1¤.SeA¢ L®>(1+½)¢(1+Á) Á¢½ a emosemp eche½¢ A¢ L®¡(1+½)>0equindi…ssando¿G +1=1¡ (1+½) Á¢(1¡®)¢[½¢A¢L®¡(1+½)]abbiamoquan oa¤e ma onel es o.Lasogliape A¢L® nonè(1+½) ½poich迸 ¡ ® 1¡®. Dimos azioneP oposizione2 Ladinamicadis ibu i aèda adall’equazione(14).Sipuòosse a epe g(¿ +1)¢·1+Á¢(1¡®)¢(1¡¿ +1) 1+Á ¸<1 ogni icchezzaindi iduale endeacon e ge e e solamediadelladis ibuzione equindisiassis eadunadiminuzionedelladisuguaglianza.Conside ando che: g(¿ +1)¢·1+Á¢(1¡®)¢(1¡¿ +1) 1+Á ¸<1,¿ +1>1¡(1+½)¢(1+Á) ½¢Á¢(1¡®)¢A¢L® …ssando¿C=1¡(1+½)¢(1+Á) ½¢Á¢(1¡®)¢A¢L®sihalap o adellaP oposizione. Dimos azioneP oposizione3 Lap o adellaP oposizioneseguedalla elazione(15)edalconside a e congiun amen eleP oposizioni1e2. Dimos azioneP oposizione4 32 Dallacondizionedip imo o dinedellamassimizzazionedi(16) ispe o a ¿abbiamoche: ¿i=1+Á¢(1¡®) Á¢(1¡®)+(1+Á)¢³1§p1+4¢Á¢¹i ´ 2¢Á2¢(1¡®)¢¹i (50) do e¹i =¹ B ¡¹ bi ¹ B . Unasoluzione,quellaconil+p:,puòesse esca a ape chède e mi- nasemp e alo i uo idall’in e allodide…nizionedi¿.Inol e,poichè d¿i d¹i ¢ d¹i d¹ bi <0epe ¹i =0¿i=¡® 1¡®,possiamoconclude eche8¹i < 0abbiamounasoluzioned’angoloe,inpa icola e,lasoluzionecoincide cheil limi ein e io edell’in e alloammissibiledi¿.Nelcasodi¹i !1 ¿i=1¡p(1+4¢Á)¢(1+Á)2¡1¡3¢Á 2¢Á2¢(1¡®)<1.Ques oconclude eladimos azionedella P eposizione. Dimos azioneP oposizione5 Dalla(16)sipuò e i…ca echelep e e enzedegli indi idui isul ano con- ca e ispe oa¿nell’in e allodi in e esseequindichelecondizionidel eo emadell’ele o emediano isul ano soddis a e.L’applicazionediques o p o alaP oposizioneconside andochela unzionediu ili àè iesp imibile in e minidi¹i =¹ B ¡¹ bi ¹ B . Dimos azioneP oposizione6 Ladimos azionedellaP oposizionesibasasulconside a el’equazione alledi¤e enze(17)eleP oposizioni4e5.Ladinamicapuòesse edidue ipi,en ambi u a iacon e gen iallos essoequilib iodilungo pe iodoin e minidellala assa¿.De…nendocon¹m ledo azioni ela i edell’ele o e medianoabbiamoche 1.se¹m ·0allo asi…sse à¿ =¡® 1¡®.Dalla(17)abbiamoche¹i =¹i 8 equindiques osa àun’equilib iodilungo pe iododo e isa àuna c esci acon inua almassimo assopossibile.Ladis ibuzionedella icchezza,senonuni o me, ende àin alo eassolu oadispe de si( ale lacondizione¿<¿G),men ein alo e ela i oa imane ecos an e(i ¹ noncambiano). 2.se¹m >0allo aesis e àun pe iododi ansizioneincui¿ >¡® 1¡®, madalla(17)abbiamo che¹m ende àa 0.Quando aggiunge àques o pun oallo a aleil agionamen odelpun op eceden e.Ancheinques o casoa emoun’equilib iodilungo pe iododo e isa àunac esci a con inua almassimo assopossibile.Ladis ibuzionedella icchezza, 33 chenonpo e aesse euni o meal momen oiniziale(¹m >0), ende à in alo eassolu oadispe de si( alelacondizione¿<¿G),men ein alo e ela i oa imane ecos an e(i¹ noncambiano). De i azione delle egoleo ime discel anelcasodime ca i incomple i De…niamoil Lag angianodel p oblema: L =log¡bi ¡ei ¡si ¢+Á¢log¡ ¢si +w¢li +(1¡li )¢h(ei )¢+¸¢si +° ¢(1¡li ) Lecondizionidip imo o dinesa annoleseguen i: @L @li = Á¢(w¡±¢ei ) ¢si +(1¡li )¢±¢ei +li ¢w¡°8ei ¸e Á¢w ¢si +li ¢w¡°8ei <e @L @si = ¡1 bi ¡si ¡ei +Á¢ ¢si +(1¡li )¢±¢ei +li ¢w+¸8ei ¸e ¡1 bi ¡si ¡ei +Á¢ ¢si +li ¢w+¸8ei <e @L @ei = ¡1 bi ¡si ¡ei +Á¢(1¡li )¢± ¢si +(1¡li )¢±¢ei +li ¢w8ei >e inde…ni aei =e ¡1 bi ¡si ¡ei 8ei <e si ¢¸=0,¸¸0 (1¡li )¢° =0,° ¸0 (51) La ice cadellasoluzioneècomplica adalladiscon inui àdella unzione h(¢),chenonpe me eil calcolodellade i a ainognipun o.P ocede emo quindi in epassi. P imopasso¡(ei )¤<e¢ Selasoluzione ichiedesseun (ei )¤<ea emochelasoluzioneo ima compo e ebbeun(li )¤=1( edilap ima condizionedella(51)),un (ei )¤=0 ( edila e zacondizionedella(51)) elascel ao imadisi sa ebbeda ada: @L @si =¡1 bi ¡si +Á¢ ¢si +w+¸(52) si ¢¸=0;¸¸0 34 Pos o@L @si =0o eniamo ¡si ¢¤=max·0;Á¢ ¢bi ¡w ¢(1+Á) ¸, ossiape un alo edibi <w Á¢ abbiamochel’indi iduo isul a aziona o nellescel edi in es imen o.Riassumendoa emoche: ¡¡li ¢¤;¡si ¢¤;¡ei ¢¤¢ =µ1;max·0;Á¢ ¢bi ¡w ¢(1+Á) ¸;0¶ cheèquelloa¤e ma onel es o. Secondo passo¡(ei )¤¸e¢ Condizionenecessa ia pe chèsiabbia una soluzioneo ima posi i a pe ei èchebi >e.Selasoluzione ichiedesseun (ei )¤¸ea emochelasoluzione o imacompo e ebbeun (li )¤=0( edilap imacondizionedella(51)),un si =0( isol ipe lasecondaela e zacondizionedella(51)eda o che±> pe ipo esiabbiamo¸=0,dacuisi =0)elascel ao imadiei sa ebbe da ada: @L @ei =¡1 bi ¡ei +Á ei Pos o@L @si =0o eniamo ¡ei ¢¤=max·e;Á¢bi (1+Á) ¸pe bi >e No iamochepe un alo edie<bi <e¢(1+Á) Áabbiamoun in es imen o minimo obbliga opa iae.Riassumendoa emoche: ¡¡li ¢¤;¡si ¢¤;¡ei ¢¤¢ =µ0;0;max·e;Á¢bi (1+Á) ¸¶pe bi >e Te zopasso L’analisis ol a…noado ahape messodie idenzia echelescel edel- l’indi iduosonodi ipodico omico,ossiaquandoun’indi iduoin es einsi nonin es einei e ice e sa.Dade e mina e imanepe quale alo edi bi l’indi iduosceglieun ipologiadi in es imen oanzichèl’al a.E’chia o cheques o alo edo àesse emaggio edie,maladiscon inui àdella un- zionenonpe me edip ocede econlo s udio usualedel segno della de i a a. 35 E’necessa iop ocede ealcon on oassolu odel alo edell’u ili àneidue casie,poichè,comesidimos e à,ledi¤e enzesonomono one,ilpun odi uguaglianzade e mine àil alo edibi ,chechiame emob¤, alepe cuisi passadaun in es imen o adun al o.Il li ello dib¤sa àchia amen euguale pe ogni indi iduo. L’u ili àdell’in es imen onelcasosi in es issesecondola egola(27)è pa ia: Us(b )=logµb ¡max·0;Á¢ ¢b ¡w ¢(1+Á) ¸¶+Á¢logµ ¢max·0;Á¢ ¢b ¡w ¢(1+Á) ¸+w¶; (53) men esesi in es issesecondola egola(28) Ue(b )=logµb ¡max·e;Á¢b (1+Á) ¸¶+Á¢logµ±¢max·e;Á¢b (1+Á) ¸¶: (54) b¤èimplici amen ede…ni odallaseguen euguaglianza: Us(b¤)=Ue(b¤) Da ale o mediUeeUsnonesis euna soluzione esplici a dib¤(o almeno una soluzionedi acilecomp ensione).Possiamo pe òno a echela di¤e enza Ue¡Usèc escen einbi (sino i in a iche@Ue @b >@Us @b 8b >e)eques oci assicu al’unici àdib¤.Inol eè acile e i…ca echeb¤dipendenega i amen e dal li ellodiecome e ada a ende si.In…neb¤dipende àposi i amen esia da chedaw,poichè isul ano ambeduea e eun e¤e oposi i osuUs(b ). Dimos azioneP oposizione7 Inp imisosse iamochepoichèabbiamoassun ochee>w Á¢ allo ab¤ sa àsemp emaggio edelpun o…ssobR;F·w Á¢ equindia emosemp e segmen azione.Cosi’ u eledinas ielacuie edi àèmino edellasogliab¤ ende annoalpun o…ssobR;F,men eleal eaccumule annoadun asso g(si edal’equazionediaccumulazione(29)).Ques op o alap imapa e dellaP oposizione. Il alo esogliadi icchezzab¤dipende àdal alo eassun odae.In a i pe b¤¸³1+Á Á ´ea emocheques oède…ni odallaseguen euguaglianza: (1+Á)log[ ¢b+w]+log "ÁÁ ¢(1+Á)1+Á # =(1+Á)log[b]+log "ÁÁ¢±Á (1+Á)1+Á # 36 ossiail alo edell’e edi àcheuguaglialeu ili ànel casosi in es isse ispe - i amen esoloinsosoloine,dacui b¤=w ³¡± ¢Á 1+Á¡1´ Dallacondizioneb¤¸³1+Á Á ´ea emoquindiche: w Á¢ <e·w¢Á (1+Á)¢ ¢h¡± ¢Á 1+Á¡1i chep o alaP oposizione.No iamocomecondizionenecessa ia a¢nchèla p eceden e elazionesia e i…caèche ±< µ1+Á+Á2 1+Á ¶1+Á Á ossiasiponeun limi esupe io ealladi¤e enza ai endimen idelledue a i i à. Nel casoincui in eceb¤<³1+Á Á ´ea emocheb¤èindi idua oimplici- amen edallaseguen euguaglianza: b¤=e+ÁÁ¢( ¢b¤+w)1+Á eÁ¢±±¢ ¢(1+Á)1+Á Ques ocomple aladimos azione. Dimos azioneP oposizione8 Poichèw Á¢ <e·w¢Á (1+Á)¢ ¢ "(± )Á 1+Á¡1 #sappiamodallap eceden edimos azione cheb¤=w Ã(± )Á 1+Á¡1 !.Quello che es ada analizza eèso o qualicondizioni b¤>bNR;F,ossia: w ³¡± ¢Á 1+Á¡1´>Á¢½¢w (1+½)¢(1+Á)¡Á¢½¢ Median esemplicealgeb aèpossibilea i a eallaseguen econdizione ±< ¡1 Á ·(1+½)(1+Á) ½Á ¸1+Á Á Ques ocomple aladimos azione. 37