Validação Entrópica de Processadores Físicos: Uma Abordagem Categórica

Valida¸c˜ao Entr´opica de Processadores F´ısicos: Uma Abordagem Categ´orica Samuel dos Santos [email protected] december 2025 1 Observation This is a preliminary draft intended for discussion. Comments are welcome. 2 Abstract Neste trabalho, definimos formalmente a implementa¸c˜ao f´ısica de fun¸c˜oes l´ogicas abstratas utilizando a Teoria das Categorias. Propomos um crit´erio de fidelidade universal — aplic´avel a processadores quˆanticos e cl´assicos — fundamentado em um funcional de Teoria da Informa¸c˜ao (Lagrangiana Entr´opica). Demonstramos analiticamente que a minimiza¸c˜ao deste funcional garante a recupera¸c˜ao do isomorfismo estrutural entre a estat´ıstica experimental e a ´algebra alvo, assegurando a execu¸c˜ao fiel da fun¸c˜ao mesmo em hardware ruidoso. Adicionalmente, estabelecemos uma conex˜ao termodinˆamica entre o crit´erio proposto e a minimiza¸c˜ao da Energia Livre de Gibbs, e aplicamos este formalismo para desenvolver um m´etodo de treinamento variacional para Circuitos Quˆanticos Parametrizados (PQC) via gradiente descendente.” 3 Teoria de categorias e funtores 3.1 Categorias Definition 1. Uma categoria C compreende os seguintes itens: •uma cole¸c˜ao de objetos •uma cole¸c˜ao de setas (morfismos) f:A→B •Essas setas devem respeitar a associatividade: Dado f:A→B,g:B→ Ceh:C→D, temos h◦(f◦g)=(h◦f)◦g(1) 1 •Para qualquer seta a composi¸c˜ao com a identidade deve satisfazer: idB◦f=f=f◦idA(2) Podemos construir categorias das mais diferentes formas e sobre v´arios dom´ınios; uma forma muito comum ´e por meio de grafos, como consta em Rydeheard, cap´ıtulos 3 e 6. 3.2 Diagramas Frequentemente, para estudar propriedades de categorias utiliza-se os chamados ”diagramas comutadores”. Isso pode ser definido formalmente justamente pela rela¸c˜ao ´ıntima com teoria de grafos. Por ser poss´ıvel essa representa¸c˜ao demonstra¸c˜oes podem ser produzidas utilizando diagramas comutadores, o que chama muita aten¸c˜ao. Um exemplo de diagrama ´e: Figure 1: Um diagrama ´e dito comutativo se p=gf eq=hg 3.3 Morfismos Definition 2. Def isomorfismo Uma seta f:a→bentre dois objetos ´e dita isomorfa se existe uma seta g:b→at.q f◦g=idbegf =idA. Nessa situa¸c˜ao dizemos que a∼ =b 3.4 Funtor Definition 3. Sejam AeBcategorias, um funtor F´e uma fun¸c˜ao dupla que leva os objetos de Apara os objetos de Be leva as setas de Apara as setas de B Exemplo de funtor que ser´a ´util: Gera uma lista aleat´oria ordenada com distribui¸c˜ao arbitr´aria a partir de uma lista de elementos iniciais. Baseado na constru¸c˜ao de Rydeheard. F:S→list(S)(Dα,N (S)) (3) Gera uma lista finita de tamanho e distribui¸c˜ao definidos por Dα,N 2 3.5 Por que categorias s˜ao importantes Categorias nesse texto v˜ao servir para 2 coisas, a primeira ´e a facilidade maior de formalizar rela¸c˜oes entre coisas muito distintas, como por exemplo a execu¸c˜ao de uma fun¸c˜ao abstrata com diferentes medidas de um aparato f´ısico. O funtor ´e o respons´avel por fazer isso. A segunda coisa ´e que funtores invers´ıveis, isto ´e, que podem ter sua a¸c˜ao revertida nos garante uma defini¸c˜ao de implementa¸c˜ao f´ısica de uma fun¸c˜ao mais alinhada com os textos modernos e mais simples de ver. A primeira constru¸c˜ao formal de um crit´erio de computabilidade universal foi proposta por Horsman et al. 2014 onde ele brilhantemente prop˜oe em termos de diagrama de comuta¸c˜ao e fluxo de informa¸c˜ao, crit´erios para computabilidade em um sistema f´ısico. A primeira coisa que faremos ´e generalizar esse diagrama incluindo o caso cl´assico e relaxando algumas condi¸c˜oes. A primeira ´e separar o estado final da medida, uma vez que a estrutura de medir envolve em si fenˆomenos f´ısicos pr´oprios, passando por ru´ıdo e dependendo fortemente da estrat´egia de medi¸c˜ao, assim para contabilizar ru´ıdos e resolu¸c˜ao, precisamos de uma etapa associada a medida e estrutura¸c˜ao dos dados. Outra quest˜ao ´e justamente lidar com a diferen¸ca categ´orica de uma s´erie de experimentos que levam a uma distribui¸c˜ao a implementa¸c˜ao f´ısica de uma fun¸c˜ao, para isso vamos incluir um desvio de estrat´egia, onde assumimos que um sistema f´ısico satisfaz o crit´erio de Horsman e produzimos uma simula¸c˜ao estat´ıstica. Assim, a associa¸c˜ao de repetidas medidas de um experimento f´ısico representada na anota¸c˜ao de um caderno se relaciona com a execu¸c˜ao de uma fun¸c˜ao abstrata, somente quando essa anota¸c˜ao em um caderno ´e traduzida para um conjunto finito ordenado, um objeto matem´atico formal enquanto a fun¸c˜ao executa, pode ser mapeada da mesma forma utilizando funtores, que levam seus conjuntos em listas livres de ´algebra representando simula¸c˜oes. Nessa etapa quando essas tradu¸c˜oes s˜ao feitas ´e que pode-se conectar ambas as coisas. O crit´erio novo ´e: N˜ao associado ao estado ontol´ogico do sistema f´ısico, mas sim a distribui¸c˜ao das prepara¸c˜oes e das medidas que podem ser completamente mapeadas a estrutura da fun¸c˜ao por um funtor que n˜ao comprime informa¸c˜ao. 4 Representa¸c˜ao de computa¸c˜ao-inferˆencia Logicamente um experimento f´ısico ´e um objeto dotado de ordenamento espacial e temporal, junto com a capacidade de se atribuir e renomear resultados em termos de alfabetos quaisquer. Uma fun¸c˜ao ´e um objeto bem mais abstrato e n˜ao necessariamente compartilha de qualquer dessas caracter´ısticas; portanto, ent˜ao para comparar de forma correta, introduziremos o seguinte diagrama de comuta¸c˜ao onde explicarei A figura 2 apresenta um diagrama comutativo onde cada n´o representa um objeto de uma categoria ou categorias. A primeira linha relaciona a aplica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao que tem como fonte um dominio Ae alvo um codominio B, para 3 Figure 2: Enter Caption nosso caso de fun¸c˜oes, esses dois objetos s˜ao conjuntos finitos e f´e uma fun¸c˜ao total (podendo ser parcial, sem perda de generalidade). Se essa fun¸c˜ao ´e comput´avel por um sistema f´ısico, dizemos segundo Horsman et al. 2014 que existem mapeamentos invert´ıveis entre os valores de entrada l´ogicos da fun¸c˜ao com esses estados iniciais diferenci´aveis do sistema f´ısico isto ´e, existe um funtor C1de codifica¸c˜ao que leva o conjunto dos elementos de entrada da fun¸c˜ao para um conjunto com crit´erios de prepara¸c˜oes de um sistema f´ısico. O sistema f´ısico passa por transforma¸c˜oes e, sob um processo de medida, leva a estados f´ısicos distingu´ıveis que podem ser decodificados de forma invert´ıvel para as sa´ıdas esperadas das fun¸c˜oes, processo representado pelo funtor DE1de Decodifica¸c˜ao. Isso permite dizer que o pentagrama superior ´e comutativo. Esse diagrama representa uma implementa¸c˜ao f´ısica de uma fun¸c˜ao feita de forma direta. A pr´oxima camada introduz um functor que leva os conjuntos de estados poss´ıveis para uma lista ordenada desses estados representada pela seta S1de simula¸c˜ao, assim introduzindo um guia de processamento sobre uma lista de entradas arbitrariamente determinadas sobre alguma estat´ıstica α. A transforma¸c˜ao f´ısica da cole¸c˜ao de estados iniciais leva a uma cole¸c˜ao de estados finais e, por fim, levam a uma sequˆencia de medidas que s˜ao novamente estruturadas em listas (FinSet de Rydeheard). Isto ´e, esse functor representa o uso sequencial desse processador, incluindo no modelo o tempo e estat´ıstica. A seta SR representa Separa¸c˜ao de Resultados, basicamente p´os sele¸c˜ao cl´assica. Que no nosso caso, separar a prepara¸c˜ao e resultado de cada experimento ´e trivialmente feito com listas ordenadas de sequencia de experimentos e sequencias de sa´ıdas. Mas de forma geral ´e poss´ıvel conseguir uma assinatura 4 de distribui¸c˜ao, assim pode-se associar a uma distribui¸c˜ao de entradas, uma distribui¸c˜ao de sa´ıdas, agora o elemento de entrada n˜ao ´e necess´ariamente apenas um, mas uma cole¸c˜ao de elementos onde efetivamente a fun¸c˜ao ´e executada sobre distribui¸c˜oes e seu resultado s˜ao distribui¸c˜oes. A parte debaixo do diagrama, representa um sistema f´ısico real e a estrutura¸c˜ao de resultados reais. O lado direito ´e conectado a distribui¸c˜ao de entradas do operador f´ısico ideal ao real por meio de um processo de codifica¸c˜ao arbitr´ario, de fato a nomea¸c˜ao ´e livre, assim ´e poss´ıvel ser invert´ıvel. A cole¸c˜ao de estados iniciais leva a estados finais que s˜ao posteriormente medidos; nesse caso, a estat´ıstica de estados ´e diretamente recuperada na medida sequencial e por fim, se estrutura os dados em ME3. Representando uma lista de resultados concatenados temporalmente que levam a uma distribui¸c˜ao. (Medida estruturada 3). A ultima camada do diagrama representa o sistema f´ısico que interagimos realmente, onde BE representa uma Bateria de Experimentos, SF R ´e o sistema f´ısico Real e h´e a transforma¸c˜ao que ´e operada sobre ele, levando ele ao estado h(SF R) que ´e posteriormente medido por um processo de medida M′. 4.0.1 Funtores faltantes Existem 2 funtores faltantes, um que conecta uma ´unica medida de um experimento com a estat´ıstica de uma bateria de experimentos, que sabemos no caso de sistemas probabil´ısticos essa liga¸c˜ao ´e imposs´ıvel. Por exemplo uma medida ´unica de uma um experimento aleat´oria nunca revela tendˆencias estat´ısticas. Essa conex˜ao pode ser feita pelo seguinte caminho: compreendemos perfeitamente o processo de inicializa¸c˜ao do sistema em diferentes processos f´ısicos, o que leva a uma distribui¸c˜ao de informa¸c˜ao estruturada no final por meio de ME3=M′◦BE(h)◦BE(SFRi). Isto ´e, produzimos uma bateria de exames que consiste em criar um conjunto de experimentos, posteriormente cada estado desse conjunto passa por uma evolu¸c˜ao e ´e medido e organizado em uma lista de medida estruturada. Mas podemos inferir o estado efetivo de h(SFR) por meio de um processo de tomografia feito partindo do resultado da bateria de experimentos. Assim, podemos relacionar o estado efetivo com a prepara¸c˜ao e, portanto, produzir um caminho onde a prepara¸c˜ao gera um estado que conhecemos a estat´ıstica que ir´a produzir e utilizando uma descri¸c˜ao de estados mistos, podemos introduzir para um esquema de prepara¸c˜ao uma previs˜ao completa da estat´ıstica que uma bateria de experimentos geraria. Repare que isso vale para o caso cl´assico probabil´ıstico e o caso quˆantico. 4.1 A seta entre M E3eM E2 Garantindo que exista uma fun¸c˜ao invert´ıvel que associe ambos as listas de resultados estruturados ou, pelo menos, sua distribui¸c˜ao, ´e poss´ıvel estabelecer que o diagrama todo comuta, garantindo que existe como extrair de experimentos do sistema f´ısico real, resultados que podem ser renomeados para sa´ıda da fun¸c˜ao 5 e, portanto, apenas sobre uma diferen¸ca de representa¸c˜ao, o sistema f´ısico real que, sobre um processo sequencial, executa a fun¸c˜ao. Como essa seta liga duas distribui¸c˜oes de eventos descritas por um conjunto de elementos, ent˜ao a necessidade ´e estudar que condi¸c˜oes minimas devem ser satisfeitas sobre essas distribui¸c˜oes para que a fun¸c˜ao possa ser dita executada pelo sistema f´ısico real. A forma que isso pode ser feito ´e pela teoria da informa¸c˜ao, utilizando teoria da comunica¸c˜ao onde, para destituir dos substratos um crit´erio de computa¸c˜ao, passamos a entender fun¸c˜oes como canais de comunica¸c˜ao. 5 Introdu¸c˜ao a teoria da comunica¸c˜ao A comunica¸c˜ao ´e, enquanto elemento da teoria fundada e expandida pelos trabalhos de Shannon, o estudo do envio de s´ımbolos de um alfabeto por meio de um sistema f´ısico. Ent˜ao, dado um alfabeto de s´ımbolos e dois agentes de comunica¸c˜ao: o emissor A e o receptor B. A se comunicar com B significa que A condiciona mudan¸cas f´ısicas no estado de B, de forma diferenci´avel por B. Assim, B det´em a capacidade de inferir a a¸c˜ao produzida por A e, dado um protocolo de associa¸c˜ao dos estados aos elementos do alfabeto, B pode recuperar o s´ımbolo emitido por A. Quando compreendemos o esquema computacional no sentido de Turing, com m´aquinas capazes de manipular estados internos, observamos uma convergˆencia da concep¸c˜ao de computa¸c˜ao e do esquema de comunica¸c˜ao. Assim, a computa¸c˜ao ´e um esquema em que o estado induzido em B por A n˜ao ´e necessariamente um elemento de um mesmo alfabeto simb´olico, mas pode ser entendido como contradom´ınio de uma fun¸c˜ao que A aplica, tendo acesso `a entrada, enquanto B det´em a sa´ıda. Dessa forma, B det´em a informa¸c˜ao da aplica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao executada pelo esquema de comunica¸c˜ao. Claro que diferem em objetivo, mas as semelhan¸cas permitem que possamos compreender a computa¸c˜ao em termos de comunica¸c˜ao, utilizando as ferramentas dispon´ıveis nessa ´area. Se por um lado existem fun¸c˜oes que compreendem a a¸c˜ao de um determinado esquema de comunica¸c˜ao f´ısico, por outro surge a importante pergunta sobre que esquema de comunica¸c˜ao f´ısico seria necess´ario para implementar uma fun¸c˜ao arbitr´aria. O esquema f´ısico de comunica¸c˜ao ´e chamado de Canal de comunica¸c˜ao, assim a informa¸c˜ao ´e transferida associadamente a mudan¸cas f´ısicas no sistema que caracteriza o canal de comunica¸c˜ao. Como a comunica¸c˜ao ´e um fenˆomeno f´ısico, portanto, sofrendo interferˆencias com outros sistemas f´ısicos, existe sempre um ru´ıdo latente `a comunica¸c˜ao que ´e lidado pela teoria em termos de probabilidade. 5.1 Introdu¸c˜ao ao canal de comunica¸c˜ao Definition 4. Definimos um canal discreto como um sistema consistindo de um alfabeto de entrada Xe um alfabeto de sa´ıda Ye a matriz de probabilidade 6 de transi¸c˜ao sendo H(Y|X )cujo os elementos s˜ao P(y|x). Assim o canal pode ser denotado pelo terno (X, H, Y) . Dentro da teoria da informa¸c˜ao existe uma medida de quanta informa¸c˜ao um canal de comunica¸c˜ao pode compartilhar sobre duas vari´aveis, est´a medida ´e conhecida como capacidade informacional de canal: Theorem 1. Capacidade de um canal discreto Seja um canal de comunica¸c˜ao discreto com entrada representada por uma vari´avel aleat´oria Xe sa´ıda representada por uma vari´avel aleat´oria Y, e seja p(y|x)a probabilidade de transi¸c˜ao do canal. A capacidade do canal C´e dada por C= max p(x)I(X;Y), onde a maximiza¸c˜ao ´e feita sobre todas as distribui¸c˜oes de probabilidade p(x) sobre o alfabeto de entrada, e I(X;Y)´e a informa¸c˜ao m´utua entre XeY, definida por I(X;Y) = X x∈X X y∈Y p(x)p(y|x) log p(y|x) p(y). De uma forma mais geral, denota-se os elementos de um canal de comunica¸c˜ao da seguinte maneira: O alfabeto de s´ımbolos para ser transmitido ´e compreendido como um conjunto de ´ındices W={1,2, ..., M}. Para a transmiss˜ao pode-se utilizar um outro alfabeto Xque ser´a enviado por meio de um sinal de forma repetida, assim o c´odigo transmitido ´e descrito como Xn:{xn(1), xn(2), ..., xn(M)}onde n´e o comprimento da mensagem. Como a comunica¸c˜ao ´e um processo f´ısico e sempre existem erros de sinaliza¸c˜ao, o que chega ao receptor pode ser descrito com um alfabeto Y, que por meio de uma fun¸c˜ao de decodifica¸c˜ao g, retorna o ´ındice enviado pelo emissor, isto ´e g:Yn→W. 6 Fun¸c˜oes determin´ısticas e capacidade A estrat´egia utilizada ´e estudar a informa¸c˜ao mutua produzida por uma fun¸c˜ao que pode ser fisicamente implementada e uma fun¸c˜ao ideia que se deseja implementar. Um problema consider´avel surge quando gostariamos de estudar fun¸c˜oes determin´ısticas, existem algumas formas de fazer isso. A ideia que segui foi um pouco apelativa, associar a capacidade de canal preserva¸c˜ao de qualquer medida de conjuntos de duas fun¸c˜oes, uma ideal que se queira alcan¸car e outra de uma fun¸c˜ao poss´ıvel que considera desvios determin´ısticos. Produzo uma avalia¸c˜ao sobre as medidas e uma matriz de transi¸c˜ao para concluir que condi¸c˜oes deveriam ser obtidas para a permanˆencia das medidas. Essa linha poderia ser produzida introduzindo uma probabilidade a posterior, mas como gostaria de evitar a confus˜ao com a interpreta¸c˜ao frequentista de probabilidade, 7 mesmo que poss´ıvel, optei por uma medida mais geral que cont´em essa interpreta¸c˜ao como uma possibilidade. Considere que duas fun¸c˜oes f, g atuam sob um mesmo espa¸co mensur´avel de sinais de entrada (Ω,A) e retornam elementos em N. onde Ω ´e o dom´ınio de ambas as fun¸c˜oes e Aaσ-´algebra associada a mensurabilidade dos elementos no dom´ınio. A fun¸c˜ao fpode ser chamada defun¸c˜ao ideal, representando a fun¸c˜ao que se quer computar a partir dos sinais de entrada representado por elementos de Ω e a fun¸c˜ao gsendo a fun¸c˜ao real capaz de ser implementada por um sistema cuja quantidade de configura¸c˜oes poss´ıveis ´e finita. J´a a sa´ıda dada pelos naturais pode ser substitu´ıda por qualquer conjunto enumer´avel sem perda de generalidade dos resultados. Considere agora a fun¸c˜ao fcomo um canal de comunica¸c˜ao onde temos a associa¸c˜ao dos termos de entrada ao alfabeto de´ındices de sa´ıda, a representa¸c˜ao gr´afica dessa fun¸c˜ao pode ser feita por um grafo direcional que sa´ı do conjunto dos elementos de mesma classifica¸c˜ao para a sa´ıda da fun¸c˜ao: Figure 3: Caption Como g´e uma fun¸c˜ao implementada de forma limitada, esta pode incorrer em erros, que podem ser representados pelas transi¸c˜oes indesejadas no grafo: Podemos considerar o peso da transi¸c˜ao como sendo uma densidade de probabilidade sob o subespa¸co considerado, isso permite a constru¸c˜ao de um canal de comunica¸c˜ao onde a probabilidade de erro ´e dada pela soma de peso de todos os elementos que s˜ao associados ao valor errado. Basicamente, conta o erro de classifica¸c˜ao. Seguindo as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao e somando as probabilidades de transi¸c˜ao, podemos estabelecer o erro condicional da aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao como sendo: εj→i=µ(Aj∩g−1(Bi))/µ(Aj) (4) Assim o peso associado aos conjuntos associados de maneira incorreta ´e dado por: 8 Figure 4: Caption ¯ E=X i,j εj→iµ(Aj) com (j=i) (5) Podemos escrever uma matriz de transi¸c˜ao como sendo descrita pelos elementos [H]ij =εj→i(6) Se quisermos que a fun¸c˜ao corresponda a ideal ´e necess´ario considerar ent˜ao que a matriz de transi¸c˜ao ´e sem erros, isto ´e, a medida do conjunto associado de forma incorreta ´e nulo. ¯ E=X j,i εj→iµ(Aj) =j=i|B| − TrH (7) Sendo |B|a cardinalidade dos elementos distintos na imagem de f. Assim a condi¸c˜ao de erro m´edio ser nula implica em TrH =|B|. Considerando o erro nulo devemos ter: TrH = |B| X j=1 µ(Aj∩g−1(Bj)) µ(Aj)=|B|⇐⇒µ(f−1(Bj)∩g−1(Bj))=µ(g−1(Bj)),∀j (8) ´ E f´acil demonstrar que os conjuntos monocrom´aticos de ambas as fun¸c˜oes devem ser de igual medida e mesmo r´otulo para que elas sejam estruturalmente iguais, isto ´e µ(f−1(Bj))=µ(g−1(Bj)) ∀j, µ. Se tomarmos pesos para coincidirem com probabilidades de ocorrˆencia, devemos ter como resultado TrH =|B|⇐⇒C=I(f(Ω); g(Ω)) = H(f(Ω)) e ainda TrH =|B|∴Perr = 0 ∀ {P(Aj)}Note que esse resultado ´e verdadeiro 9