Optimale Transaktions-, Vorsichts- und Spekulationskasse

Ma usza, Man ed A icle Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse K edi und Kapi al P o ided in Coope a ion wi h: Duncke & Humblo , Be lin Sugges ed Ci a ion: Ma usza, Man ed (1975) : Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse, K edi und Kapi al, ISSN 0023-4591, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 8, Iss. 3, pp. 379-409, h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/292745 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich machen, e eiben ode ande wei ig nu zen. So e n die Ve asse die Dokumen e un e Open-Con en -Lizenzen (insbesonde e CC-Lizenzen) zu Ve ügung ges ell haben soll en, gel en abweichend on diesen Nu zungsbedingungen die in de do genann en Lizenz gewäh en Nu zungs ech e. 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Wenn be ücksich ig wi d, daß die Kassenhal ung op- po uni y cos s in Fo m on Zins e lus en b ing , ande e sei s abe auch Vo eile ha (schnelle e und «bequeme e Zahlungsmöglichkei en usw.), so wi d die F age nach de op imalen Kassenhal ung ele an . Denkba is die Be echnung eine op imalen Gesam kasse nach neo- quan i ä s heo e ische A gumen a ion. Diese Ansa z zeig zwa einige G ößen au , on denen die Kassenhal ung abhängig sein kann, e is abe ech unkla und, wie an ande e S elle gezeig wu de3, ü die Be- echnung eine op imalen Gesam kasse nich geeigne . Sinn olle e - schein es dahe , den (neo-)keynesianischen Weg on ge enn en Kassen- hal ungsen scheidungen einzuschlagen. 1 Wolly A., Die Theo ie de Geldnach age. Analy ische Ansä ze und s a i- s ische E gebnisse ü die BRD, in: Zei sch i ü die ges. S aa swiss., Band 125 (1969), S. 56-81, hie : S. 56. Vgl. auch de selbe, Einige geldpoli ische Aspek e in de mone ä en Theo ie de Gegenwa , in: Geld heo ie und Geldpoli ik, Schmölde s Fes sch i , Be lin 1968, S. 65 - 75, hie : S. 65 und die Ube sich s- a ikel on Johnson, H. G., Mone a y Theo y and Policy, in: H. G. Johnson (ed.), Essays in Mone a y Economics, London 1967, S. 15 - 72, de sRecen De elopmen s in Mone a y Theo y, in: H. G. Johnson (ed.), S. 73-103 und de s.. Recen De elopmen s in Mone a y Theo y — A Commen a y, in: D. R. C oome and H. G. Johnson (eds.), Money in B i ain 1959 - 1969, Ox o d 1970, S. 83-114. 2 Lu Zy F. A., Die Nach age nach Geld, in: Jah büche ü Na ionalöko- nomie und S a is ik, Band 172 (1960), S. 93 - 125, hie : S. 93. 3 Ma usza, M., En scheidungs heo e ische G undp obleme op imale Kassen- hal ung, Tübinge Diss. 1974, S. 80 . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 380 Man ed Ma usza I. Die op imale T ansak ionskasse 1. Die op imale T ansak ionskasse als Lage hal ungsp oblem Die op imale T ansak ionskasse kann analog -des Lage hal ungsp o- blems gelös we den4. De Lage bes and L e gib sich aus: (1) L = L0 + A Z0_+ - A LQ is de An angsbes and in = 0 und A Z0_>* (A A0^ ) de Lage - zugang (Lage abgang) on — 0 bis . Dami e gib sich so o die Analogie zu T ansak ionskasse, es gil : (2) K = Ko + AZ0_+ -AA0^ Die Lösung des Lage hal ungsp oblems 'bes eh da in, den Lage be- s and zu bes immen, de die Kos en minimie 5. Als Kos enbes and eile gehen in die Kös en unk ion die Bescha ungskos en ('bzw. Fe igungs- kos en) und die Lage hal ungskos en ein. Beim Kassenhalcungsp öblem en sp echen den Bescha ungskos en die Umwandlungs- bzw. T ans- ak ionskos en on Geld in We papie e und umgekeh . Es wi d also da on ausgegangen, daß zum Pe iodenbeginn ein bes imm e Geldbe- ag zu Ve ügung s eh , on dem ein Teil in We papie e umgewan- del wi d. Diese Umwandlung wi d im Lau e de T ansak ionspe iode ückgängig gemach , da Zahlungen geleis e we den müssen. Den Lage - hal ungskos en en sp ich 'beim Kassenhal ungsp oblem de Zins de We papie e, i, e s anden als oppo uni y cos s. Das P oblem bes eh in de Miniimie ung de Kos en6 de Kassenhal ung un e de s engen Nebenbedingung, daß die no wendigen Zahlungen s e s geleis e we den. 2. Das Baumol-Tobin-Modell Es soll o ausgese z we den, daß ollkommene In o ma ion in be- zug au das Einzahlungs-Auszahlungs-Mus e , den Zinse ag und die 4 Baumol, W. J., The T ansac ions Demand o Cash: An In en o y Theo e ic App oach, in: The Qua e ly Jou nal o Economics, Band 66 (1952), S. 545 - 556, Tobin, J., The In e es -Elas ici y o T ansac ions Demand o Cash, in: The Re iew o Economics and S a is ics, Band 38 (1956), S. 241 - 247. 5 Naddo , E., In en o y Sys ems, New Yo k-London-Sydney 1966, S. 8. 6 Baumöl geh on de Kos enminimie ung de Kassenhal ung, Tobin on de E agsmaximie ung de We papie hal ung aus. Die Maximie ung des Zinse ages de We papie hal ung is abe iden isch mi de Minimie ung des Zinsen ganges du ch Kassenhal ung. Wi gehen on de Kos enminimie ung aus, weil dami de di ek e Bezug zum Lage hal ungsp oblem gewah bleib . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 381 T ansak ionskos en bes eh . Fü das ein achs e Einzahlungs-Auszah- lungs-Mus e (zum Pe iodenbeginn wi d de Geldbe ag T DM emp- angen, de mi s e s gleiche Auszahlungsgeschwindigkei bis zum Pe- iodenende ausgegeben wi d) e gib sich olgende Lösung: Das Wi scha ssubjek übe leg sich in = 0, welchen DM-Be ag es in Kasse hal en und welchen es in We papie e umwandeln wi d. Wenn angenommen wi d, es wandel in = 0 den DM-Be ag B — C in We papie e um, dann häl es den DM-Be ag [T — (B — C)] bis 1 — * l — * H in Kasse. Von i* H an olgen dann n — 1 Rück- n n ° Umwandlungen on We papie en in Kasse, * und n sollen nun so be- s imm we den, daß die Kassenhal ungskos en minimal sind. Abbildung 1 Die oppo uni y cos s opK (in Abb. 1: du chschni liche Kassenhal- ung x We papie zins i) sind: T (1 - *) * • i T (1 - *)2 T *2 • i T (1 - *2) i T *2 . i m = =—- + 2w + —^—2^— + Bes ehen die T ansak ionskos en KT Kasse We papie e -> Kasse aus einem zu Zahl de T ansak ionen p opo ionalen Kos enbes and- eil a und einem zum umgewandel en DM-Be ag p opo ionalen Ko- s enbes and eil b, so olg : T A — T*) (4) K = na + 2 b ^ T (1 - *) — - = na + 2 bT (n - 1) (1 - ») OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 382 Man ed Ma usza Bei jede umgewandel en DM müssen die T ansak ionskos en 2 b be- ücksich ig we den, wobei o ausgese z is , daß die Umwandlung Kasse We papie e (in = 0) so iel kos e wie die einzelnen Rück- umwandlungen wäh end de Pe iode. Fü die Gesam kos en K olg dann aus (3) und (4): T (1 - *) T *2 • i (5) K = opK + KT = [(1 + *) • i + 4 b (n - 1)] + —— + na A 71 2 3 K 2b (6) Fü = 0 olg : *D = — und i 3K / 2b i/Ti 7 (7) ü =0 olg : "<•*=l1 - —) 2T (6) und (7) in (5) eingese z e gib : (8) Kmin = y2Tia(l--^ )+2Tb (l-A) Das Wi scha ssubjek wi d »diesen T ansak ions o schlag alle dings nu dann be olgen, wenn e billige is als de Fall ohne T ansak ionen Kasse We papie e Kasse. Es en s ehen dann nu oppo uni y- cos s in Höhe on: (9) K0 = Ti 2 Das Wi scha ssubjek wi d die op imalen T ansak ionen also nu dann du ch üh en, wenn gil : Ä^n < K0 bzw. wenn (8) und (9) in die Ungleichung eingese z we den: Bei gegebenem T ansak ions olumen T und gegebenen T ansak ions- kos en a und b muß de Zinssa z e s eine (bes imm e k i ische Schwelle e eichen, dami die T ansak ionen o genommen we den. Die op imale du chschni liche T ansak ionskasse e gib sich aus Abb. 1 als nich -sch a ie e Fläche, es gil also: 7 Die zwei e Ablei ung is g öße als Null ü 2 b < i, es handel sich also um ein Minimum. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 383 We den (6) und (7) in (11) eingese z , olg : Je höhe de Zinssa z is , um so ge inge is Cop 9. Diese Zinselas izi- ä de T ansak ionskasse gil abe nu dann, wenn ce e is pa ibus de Zinssa z eine bes imm e k i ische Schwelle übe sch ei e ( gl. (10)). Is de Zinssa z kleine , so is die du chschni liche op imale T ansak ions- kasse: C = . Diese Ansa z is on Wbalen e wei e wo den10. Es kann ü das Wi scha ssubjek o eilha e sein, wenn zum Pe iodenbeginn ein be- s imm e Teil des T ansak ionsbe ages in lang is ige We papie e um- gewandel wi d, wäh end de T ansak ionspe iode ein K edi au ge- nommen und diese am Pe iodenende (= neue Pe iodenan ang) du ch den neuen T ansak ionsbe ag beglichen wi d. De in lang is igen We - papie en angeleg e Teil des T ansak ionsbe ages is um so g öße , je g öße de Zins de lang is igen We papie e und je nied ige de K edi zins is . Wei e e Modi ika ionen sind denkba , die insbesonde e ealis ische e Annahmen übe das Einnahmen-Ausgaben-Mus e machen. Hie kann die Lage hal ungs heo ie we olle Hil e leis en. 8 Diese Fo mel is iden isch mi de on Wbalen, gl. Wbalen, E. L., A C oss-Sec ion S udy o Business Demand o Cash, in: The Jou nal o Finance, Band 20 (1965), S. 423 ., hie : S. 443. 9 So sch eib E. Schneide : „Es is möglich, daß die Nach age nach T ans- ak ionskasse bei hohen Zinssä zen nich meh ollkommen zinsunelas isch is , sonde n mi s eigendem Zinssa z abnimm ." Schneide , E., Ein üh ung in die Wi scha s heo ie, III. Teil, Tübingen 1964, S. 85, Fn. 1. Hansen ha schon ühe au eine mögliche Zinsabhängigkei de T ansak ionskasse hingewiesen, gl. Hansen, A. H., Mone a y Theo y and Fiscal Policy, New Yo k 1949, S. 66 . Neben dem Zinssa z spielen abe auch das T ansak ions olumen und die T ansak ionskos en Kasse —We papie e —Kasse eine Rolle. 10 Vgl. Whalen, E. L., An Ex ension o he Baumol-T obin App oach o he T ansac ions Demand o Cash, in: The Jou nal o Finance, Band 23 (1968), S. 113-134. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 384 Man ed Ma usza II. Die op imale Vo sich skasse 1. K i ische Diskussion de Modelle on Pa inkin und Whalen De Zweck de Vo sich skasse lieg nach Keynes da in, „ o p o ide o con ingencies equi ing sudden expendi u e and o un o seen op- po uni ies o ad an ageous pu chases .. ."n. In beiden Fällen gib es also Geldauszahlungen, die nich mi Siche hei bekann sind. Don Pa inkin be ücksich ig auch unsiche e Geldeinzahlungen. E en wickel ein s ochas isches Liquidi ä smodell, in dem ein Zahlungsp ozeß un e - such wi d, bei dem die Ein- und Auszahlungen E und A einem be- s imm en Zu allsmechanismus »un e liegen12. Diese Zu allsimechanismus wi d in analoge Anwendung des Ruinp oblems en wickel 13. Fü die Vo sich skasse is dabei das Maximum de Summe de Auszahlungen minus de Summe de Einzahlungen maßgebend, das sich zu i gend einem Zei punk wäh end de Pe iode e gib . Es wi d die Vo sich s- kasse gehal en, bei de die Wah scheinlichkei eines Illiquidi ä s alles ein bes imm es Maß nich übe sch ei e . Diese Ziel unk ion is abe nich aus eichend. Das Wi scha ssubjek wi d einem Illiquidi ä s all nich unbeding aus dem Wege gehen. Sind die Kos en ü die Besei igung de Illiquidi ä du ch K edi au nahme g undsä zlich ge inge als die Kos en de Vo sich skasse, so wi d keine Vo sich skasse gehal en, sonde n die Vo sich skasse in We papie e ans o mie . Abe auch wenn ein Illiquidi ä s all aus i gendwelchen G ünden e hinde we den soll, bie e die Vo sich skasse nich den einzigen Schu z gegen ihn. Denkba is die Einholung zusä zliche In- o ma ionen übe das Einnahmen-Ausgaben-Mus e . Die Kos en de zu- sä zliche ^ In o ma ionen konku ie en dann mi den Kos en de Vo - sich skasse. Nich die Vo sich skasse is also op imal, bei de die Wah - scheinlichkei eines Illiquidi ä s alles ein 'bes imm es Maß nich übe - sch ei e , sonde n diejenige, die die Kos en de Vo sich skasse mini- mie . In diese Kos en unk ion müssen die Kos en eines möglichen Illi- quidi ä s alles eingeschlossen sein. 11 Keynes, J. M.: The Gene al Theo y o Employmen , In e es , and Money, London 1936, S. 196. 12 Vgl. Pa inkin, Don, Money, In e es , and P ices. An In eg a ion o Mone a y and Value Theo y, E ans on 1956, S. 82 . 13 Vgl. dazu insbesonde e die ma hema ische Ablei ung on A. D o e zky in Pa inkin, Don, Money ..., S. 450 . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 385 Einen ähnlichen Weg geh WhalenM. Nach seinem Modell i ein 111 iquixdi ä s all dann ein, wenn die Wah scheinlichkei s e eilung N, de inie als Di e enz zwischen de Summe de e wa e en Auszah- lungen und Einzahlungen eine Pe iode 'kleine als die Vo sich skasse Cy is . Wi d angenommen, daß N symme isch ¡um E (N) = 0 mi de Va ianz V e eil is , dann gil au G und de Tschebysche schen Un- gleichung: Das Wi scha ssubjek wähl nun k ]/ V als Vo sich skasse, es gil dann: C y (13) k = -=- bzw. P(N> Cy) = —— j/V 2 C2V ü den ungüns igs en Fall. Die e wa e en Kos en eines Illiquidi ä s alles sind: aV (14) Kj = a - P = — 2 Cy Die oppo uni y cos s be agen: (15) 0PK = C -i Die Gesam kos en de Vo sich skasse sind dann: aV (16) K = ——+ CFi 2 C y Da aus olg : = 0 = i 'bzw. d Cy C y 3 Mi s eigendem Illiquidi ä s isiko und -kos en s eig Cyy mi s eigen- den Zinsen eine al e na i en We papie anlage sink Cy. Nun genüg es alle dings nich , einen Illiquidi ä s all dann anzuneh- men, wenn TV > Cy is . A ich ü N < Cy können bei en sp echende 14 Vgl. Whalen, E. L., A Ra ionaliza ion o he P ecau iona y Demand o Cash, in: The Qua e ly Jou nal o Economics, Band 80 (1966), S. 314 - 324. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 386 Man ed Ma usza Wahl de Einzahlungs-Auszahlungs-Mus e Illiquidi ä s älle wäh end de T ansak ionspe iode au e en15. Die Be echnung de op imalen Vo - sich skasse is also ohne Hypo hesen übe das Einzahlungs-Auszahlungs- Mus e ga nich möglich. Auch genüg es nich , lediglich Illiquidi ä sko- s en und oppo uni y cos s zu ¡be ücksich igen. Es ehlen die Kos en de Umwandlungen Kasse We papie e-^ Kasse, ü de en Be echnung abe eben alls on Hypo hesen übe Einzahlungs-Auszahlungs-Mus e aus- gegangen we den muß. Diese Mängel übe winde Sp enkle. 2. Das Modell on Sp enkle Sp enkle16 geh zunächs on zwei möglichen Auszahlungsendpunk- en <x und ß aus. Wi d <x (ß) gewähl und * (ß) i auch a sächlich ein, olg ü b = 0 und <x, ß 4= 1, gl. (7): Wi d oc gewähl , ß i abe ein, so e geben sich die Kos en ( gl. Abb. 2): Tiß Tiß ( n- 1 2 (18) K = —y- + —(— +(n + l)a 2 nl 2 n na I nac noc nß nß Abbildung 2 15 Zu einem Beispiel gl. O uba, H., Zu mik oökonomischen Geldnach- age heo ie, in: Zei sch i ü Na ionalökonomie, Band 30 (1970), S. 309-326, hie : S. 313. 16 Vgl. Sp enkle, C., Is he P ecau iona y Demand o Money Nega i e?, in: The Jou nal o Finance, Band 22 (1967), S. 77 - 82. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 393 (a) io - g > 0: Das We papie wi d gekau , die Spekula ionskasse is null. (b) io + 0<O: Das We papie wi d nich gekau , es wi d Spekula ionskasse ge- hal en. (c) iß + g = 0: Das Wi scha ssubjek is indi e en . Aus (c) kann de „k i ische" Nominalzins iok be echne we den, es gil : (38) io* = 1 - — h l+h Is i0 > iok, gil (a), und is i0 < iok, gil (b). Nach (c) bes eh dann Indi e enz, wenn die Ve zinsung gleich dem Ve lus is , d. h. i0/c = 1 — K bzw. Ki = 1 — i0k- In diesem Modell we den T ansa'k ionskos en e nachlässig . De Kau und Ve kau des We papie s is abe mi T ansak ionskos en e bunden, die alle dings ohne Schwie igkei en du ch einen höhe en Kau - und nied ige en Ve kau sp eis be ücksich ig we den können. Das En scheidu agsmodell muß abe g undsä zlich modi izie we den, wenn neben de Spekula ionskasse meh e e We papie e, de en E äge nich mi Siche hei bekann sind, als Komponen en des Po olios in F age kommen. Das Ziel bes eh nun in de Be echnung e izien e Po olios24, wo- bei die Spekula ionskasse ein Teil des Po olios is . Ein Po olio is dann e izien , wenn ein bes imm e e wa e e Gesam e ag mi mini- malem Risiko, d. h. minimale S euung (Va ianz) de e wa e en Ein- zele äge e eich wi d. Un e s ell is dabei isikoscheues Ve hal en. Um e izien e Po olios bes immen zu können, müssen zunächs Iso- E ags- und Iso-Va ianzku en bes imm we den. 2. Iso-E ags- und Iso-Va ianzku en De e wa e e E ag eines Po olios mi N We papie en is : N (39) i=l 24 De Beg ünde de Po olio-Selec ion is Ma kowi z. Unse e Analyse s ü z sich zunächs au Ma kowi z, H. M.: Po olio-Selek ion. E icien Di e si ica ion o In es men s, New Yo k-London 1959, S. 129 . Ma kowi z be ücksich ig abe nich die Kassenhal ung. Eine um assende e Li e a u übe - sich zu Theo ie de Po olio-Selec ion gib Sohn, G., Liquidi ä , Unsiche - hei und Geldnach age, F ank u /M. 1971, S. 80, Fn 2. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 394 Man ed Ma usza Xi is dabei de An eil des im ¿- en We papie in es ie en Geldbe- ages, wobei gil : N =l is die Ma hema ische E wa ung des in y mi den möglichen Realisa io- nen yii, ..yi} ..yin in es ie en Geldbe ages. Es gil also: n n U>i = 2 Pij'Vij ü 2 = 1 • 7=1 7=1 Bei kons an en We en on ^ gil : (40) E = E(XV Xi XN) Man e häl im (N — 1) — dimensionalen Raum Iso-E agsku en. Bes imm e Kombina ionen on Xu ..Xiy ..XN ep äsen ie en dann gleichen e wa e en E ag. Fü den D ei-We papie -Fall25 olg : (41) E = GX + HX2 + I bzw. Xx = - -g-X2 + ü G = ii — ^3, H = — und I = . Die Iso-E agsku en s ellen im XiAX^-Koo dina ensys em eine Scha pa allele Ge aden da . Wenn das d i e We papie als Kasse mi einem siche en E ag on Null in e p e ie wi d, olg aus (41): l 2 E Die Va ianz des z- en We papie s is o = oH = E (y — //¿)2. Die Ko a ianz des ¿- en mi dem ;- en We papie is o{] = E ibi - w) (yi - H)]- Fü den D ei-We papie -Fall e gib sich ü V = x on + X AAS + (1 - X - X2)UM + 2X1X2( 12 + 2XX (1 - XI - X2)<J13 + 2X2(1 - XX - X2) AGA 26 25 Diese Fall kann allgemeine o mulie we den, indem s a d ei We - papie e d ei Teil-Po olios genommen we den, wobei jedes Teil-Po olio aus meh e en We papie en zusammengese z is . ¡11 (i = 1, 2, 3) s ell dann den e wa e en E ag des z- en Teil-Po olios da und Xi [i =• 1, 2, 3) den An eil des i- en Teil-Po olios am Gesam po olio. Da kons an bleib , dü en sich die Zusammense zung und die e wa e en E äge de in den Teil-Po olios zusammenge aß en We papie e nich ände n. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 395 Da aus olg : (43) AX + BX1X2 + CX + DX2 + EX + F - V = 0 ü : A = O - 2 o^ + <733 B = 2 (a12 — e 13 — 023 + <733) C = on — 2 a13 + <733 D = 2 (^23 - 033) E = 2 (c 13 — <733) F =<733 Gleichung (43) s ell die allgemeine quad a ische Fo m de Kegel- schni e da . Das gemisch e Glied BX1 (5 =# 0) zeig an, daß die Haup achsen «des Kegelschni es ged eh sind. Fü B2 — 4 ylC < 0 e - geben sich ü e schiedene We e on V konzen ische Iso-Va ianz- ellipsen. Wenn das d i e We papie als Kasse mi einem isikolosen E ag on Null in e p e ie wi d, olg : /¿3 = 033 = o23 = a13 = 0 bzw. A = o22; B = 2 a12 = 2 ^ a2; C = an und Z) = E = F = 0. q is die Ko ela ion zwischen den e wa e en E ägen de We papie e 1 und 2. 3. E izien e Po olios a) Da s ellung Be echne man die minimale Va ianz ü alle möglichen e wa e en E äge, e häl man die Menge alle möglichen e izien en Po olios. Wenn das d i e We papie Kasse is und wenn gil : uu ju2 > 0 und Abbildung 5 26 Zu Ablei ung dieses Ausd ucks siehe Ma kowi z, H. M., S. 72 . (insbesonde e S. 94) und S. 154 . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 396 Man ed Ma usza Die Ve bindungslinie de e izien en Po olios wi d on Ma kowi z als „c i ical line" bezeichne . Sie bes eh aus de S ecke OA und AC. Au OA we den X und X2 zu Las en on X3 e g öße , e hal en we - den e izien e Po olios mi s eigendem E und V. In A is X3 = 0. Da X3 < 0 ausgeschlossen is , kann ein höhe e e wa e e E ag bei hö- he e Va ianz nu du ch gleichg oße Subs i u ion on X2 du ch X^ au dem Ge adenaibschni AC e ziel we den. Die zulässigen e izien en Po olios au dem Ge adenabschni AC haben dann bei gleichem V einen nied ige en e wa e en E ag E als wenn X% < 0 zugelassen wä e. So is e wa das Po olio D nu ü X% < 0 ealisie ba . Wi d das aus- geschlossen, kann das Po olio B ealisie we den, das bei gleiche Va ianz V einen nied ige en e wa e en E ag au weis . Die e izien en Po olios s ellen nun die Al e na i en da , on de- nen das Wi scha ssubjek eine auswähl . Das Auswah k i e ium is seine Nu zen unk ion U = U (£, V). Die Bes immung des op imalen Po olios wi d e heblich e leich e , wenn die k i ische Linie im V/E- Koo dina ensys em o mulie wi d. Dazu wi d eine Iso-E agsge ade mi eine Iso-Va ianzellipse zum Schni geb ach . Es we den dann in de Regel zwei Schni punk e e hal en. Ein e izien es Po olio is dann gegeben, wenn die Iso-E agsge ade Tangen e an de Iso-Va ianz- ellipse is , wenn also die Tangen enbedingung e üll is . Wenn (41) in (43) eingese z wi d, so olg ü den Fall, daß das d i e We papie Kasse is , nach einigen Um o mungen die Pa abel: (44) V = 2 gll^2(1"g2) E* C11+ °22 Ml ~~ 2 £al °2 Ml M2 De Schei el de Pa abel lieg im Koo dina enu sp ung. Fü die Ko- o dina en des Tangen enpunk es bzw. ü die We papie an eile olg : .... „ < 2 (q2Mi ~ e°i Mi)E , (45) X± = - bzw. + °22M 1 - 2 gOl 0% /¿I >2 (46) x _ (<*i M2 - Mi) E °ll 4 +°22 4 - 2 QOl02MlM2 b) Ände ungen de e wa e en E äge Ve ein achend wi d nun gese z : on = o22 = o2 und = m ju, wobei gil : x2 =ju = kons an . Aus (44), (45) und (46) olg dann: OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 397 o4 (1 - £2) n Ö2 (1 - ¿>2) (47) = — = — E2 ; a2 jj + < i m2 [ i — 2 Qç i m /¿2 (1 + m2 - 2 £ m) mi den We papie an eilen: _ <ß(mpL.-Qp) (m - q) E ( ' 1 ~~ a2^2 (14- m2 _ 2 ç m) ~ x (1 + m2 - 2 o m) ZW> a2 ^ — gm ju)E (1 -m$)E (4y) X2 —- +m2 —2^m) /i(l + m2-2om) Es soll gel en: /¿1 > /¿2> d. h. w > 1. Da s e s X2 > 0 sein muß, olg : 1 < m < y. Du ch Au lösung on (48) nach E olg : (50) E — K1- X1 [x (1 + m2 — 2 £ m) ü Kj = - m — q Wenn die Gleichungen (48) und (49) nach E au gelös und gleich- gese z we den, olg : (51) X± = K2-X2 (m - g) ü K2 = 1 — .0 m De Nenne des Koe izien en on E2 in (47) s eig mi s eigendem m, de Koe izien sink also. Mi s eigendem ¡jl 1 des subs i uie en We - papie s 1 is ce e is pa ibus de gleiche e wa e e E ag des Po olios mi nied ige e Va ianz e eichba . Dieses E gebnis wi d du ch sinken- des Xx bzw. X2i d. h. s eigenden Kassenan eil e möglich 27. Die Koe - izien en Ki und K2 s eigen mi s eigendem m. Im I. Quad an en de Abbildung 6 is die V = V (£)-Ku e da ge- s ell , sie e schieb sich mi s eigendem m nach un en. De gleiche e wa - e e E ag is dann mi nied ige e Va ianz bzw. bei gleiche Va ianz is ein höhe e e wa e e E ag e eichba . Im IV. Quad an en lieg die Ge ade E = K Xu sie e schieb sich mi s eigendem m nach oben. Eine bes imm e 27 De Koe izien on E in (48) is : K* = ^ ^ m2_2• ^ s eig zunächs mi s eigendem m ü m < g + ]/l-^2an, und sink dann. Es wi d angenommen, daß gil : m > q + ]/l-Q2 • Aus (49) olg : X2 = — 1 . Mi s eigendem m sink also X2. M VÜT + m ~~ 2 ^J OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 398 Man ed Ma usza Va ianz wi d mi höhe em ealisie . Im III. Quad an en is X = K2 X2 da ges ell , die Ge ade e schieb sich mi s eigendem m nach ech s. Au de Abszisse e läu om Koo dina enu sp ung nach links X2 bzw. X + X2 en sp echend olgende Abbildung28: Abbildung 7 28 Aus XHh X2 + X% = 1 Jolg : = - X2 + (1 -^3). Xi des Po - olios P is OC, X2 is OB = CP = AC. Dami is X3 : AD. In diese Weise können die We papie an eile jedes Po olios so o bes imm we den. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 399 De Abs and beide V-Achsen is 1. S eigendes m ha dann bei glei- che Va ianz ge inge es X2 zu Folge. Von besonde em In e esse is die V = V (AT3)-Ku e im II. Quad an en. Sie gib an, welche Kassen- an eil mi einem bes imm en Po olio e bunden is . Eine E höhung on m üh zu eine Ve schiebung de Ku e nach oben. Dami is eine E höhung on m ¡bei gleiche Va ianz e bunden mi eine E höhung on Xi und X% bzw. Senkung on X2. E und V sind jeweils ü Xi = 1 (bzw. X2 = X3 = 0) maximal. Eine Senkung on m ha die um- gekeh e Wi kung. c) Ände ungen de Ko ela ionen Eine Senkung on q ( ü q < ha eine Senkung des Koe izien en on E2 in (47) zu Folge29, inso e n is 'die Wi kung gleich eine S eige- ung on m. Mi sinkendem g wi d X bei gleichem e wa e en E ag kleine und X2 g öße 30. Dami s eig K in (50) und K2 in (51) sink . Dieses E gebnis wi d in Abbildung 8 da ges ell . Ein Sinken de Ko ela ion üh zu eine Ve schiebung de V = V (£)-Ku e im I. Quad an en nach un en. Die Ge ade E = Ki X± e - schieb sich nach oben, de gleiche e wa e e E ag wi d mi kleine em Xi e eich . Im III. Quad an en e schieb sich die Ge ade X± = K2 X2 nach links, bei gleichem e wa e en E ag und sinkendem g s eig X2. X2 s eig bei gleichem e wa e en E ag ü ¡jl > ju2 s ä ke als X± sink , X-% muß also sinken, was au de Abszisse des II. Quad an en abgelesen we den kann. Eine E höhung on g ha die umgekeh e Wi - kung. Die Keynessche Spekula ionskasse läß sich als Spezial all in e p e- ie en. Das Wi scha ssuibjek ha nach Keynes nu die En scheidung zwischen einem Po olio, das nu aus Kasse ode nu aus einem We - papie bes eh . Fü X3 = 0 e gib sich eine Va ianz des Po olios zwi- schen A und B. V s eig on B nach A mi zunehmende Subs i u ion des 29 K=. (1 + 77l2 — 2 Q 7 l) s eig on g = + 1 bis g = ^ an, sink dann abe mi sinkendem g. 30 Aus (48) olg : X = —(l + W und aus (49) olg : / & 2 jum [ 1 + m2 — 2 gm/ y & X m2-1 E 2 2 ^ 1 + m2 - 2 £ m / Sinkendes g e g öße die Nenne , dami sink und X2 s eig . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 400 Man ed Ma usza We papie s 2 du ch das We papie 1. Mi zunehmendem V is alle - dings auch ein zunehmende e wa e e E ag e bunden, wie sich aus dem I. Quad an en e gib , da ^ > ju2 is . Fü X3 = 1 is V = 0. Neben diesen ex emen We en iü X3 olg aus dem II. Quad an en abe auch, daß jede beliebige We ü 0 < X3 < 1 möglich is , -mi zunehmendem Kassenan eil am Po olio sink V ce e is pa ibus. Eine Senkung on V kann abe auch du ch eine Ve minde ung on q e eich we den (ge- s ichel e Ku en). De Ko ela ionse ek (KE) als Summe on Va- ianz — und Di e si ika ionse ek (VE) bzw. (DE) kann dabei olgen- de maßen da ges ell we den: Abbildung 9 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sich s- und Spekula ionskasse 401 De Ko ela ionse ek (KE) = (PÄ) e gib sich als Summe on (PB) und (BÄ). (VE) 'bewi k eine S eige ung on V und E bei kons an em Q. X und X2 s eigen zu Las en on (DE) bewi k eine Senkung on V bei gleichem E du ch eine gleichmäßige e Ve eilung de An eile de We papie e 1 und 2. Diese gleichmäßige e Ve eilung wi d aus de G a- phik des II. Quad an en deu lich: De (KE) = (PÄ), de zu einem Rückgang on 1X3 au 3X3 üh , kann olgende maßen ze leg we den: De (VE) = (PB) üh zunächs zu einem Rückgang des Kassenan eils on 1X3 au 2^3. Bei gleichem Kas- senan eil üh (DE)x = (BC) zu eine eilweisen Subs i u ion on X du ch X2. Bei kons an em X wi d nun eilweise du ch X2 subs i- uie , das E gebnis d ück (DE)2 = (CA) aus. 4. Die op imale Spekula ionskasse (Das op imale Po olio) a) Ohne Be ücksich igung de T ansak ionskos en Die Gewich ung de e izien en Po olios e olg du ch die Nu zen- unk ion U = U (E> V). Das e izien e Po olio is op imal, das das höchs e Gewich e häl . Es wi d olgende Lag ange-Funk ion maximie : (52) U* = U (E, V) - JL (V - KE2) a2 (1 - £2) ü K = —9/i , o o » ßL <47)- i (1 + m2 — 2 £ m) Da aus e geben sich die pa iellen Ablei ungen: 317* dU (1) TE- = -3i + 2AKE = 0 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 402 Man ed Ma usza dU* dU (2) d — TT- x =0 du* (3) ~d~T=V - KE2 -0 Das Nu zenmaximum is dann e eich , wenn gil : dU / dU dV (53) -T^/-3V- = ^- = 2KE = C Es wi d hie eine linea e Nu zen unk ion und gleiches Risiko e hal- en o ausgese z . Das op imale Po olio is de Tangen enpunk zwi- schen de Ku e de e izien en Po olios und de Nu zen unk ion. Abbildung 11 Im Punk A is die op imale Kombina ion (Vi/£i) es geleg , e bun- den dami is de op imale Kassenan eil iZ3. Bei einem isikoscheue en ( isiko eudige en) Wi scha ssubjek e läu die Nu zen unk ion la- che (s eile ), ealisie wi d dann das Po olio C (B) mi kleine em (g öße em) e wa e en E ag E3 (£2)> mi kleine em (g öße em) Risiko V3 (V2) und g öße em (kleine em) Kassenan eil 3X3 (2X3). Bei absolu e Risikoscheu is = 0, das Po olio bes eh nu aus Kasse. Es soll nun die op imale Spekula ionskasse be echne we den. Aus (53) olg : (54) e = ^ <55> V = 2 K 4 K Wenn (54) in (48) eingese z wi d, olg : i56) x ( n~ Q) c _ /¿c(m-g) ' 1 (1 + m2 — 2 £ m) 2 K 2o2(l-^2) OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22 Op imale T ansak ions-, Vo sidi s- und Spekula ionskasse 409 olios by a u ili y unc ion wi h he a gumen s o expec ed e u n and isk esul s in he op imal po olio and hence in he op imal specula i e cash, which is calcula ed wi h and wi hou allowances o ansac ion cos s. A - en ion is d awn o he unsa is ac o y si ua ion o a dicho omy o cash hold- ings and basic possibili ies o inding a solu ion a e indica ed. Résumé La caisse op imale de ansac ion, de p é oyance e de spécula ion — examen de quelques debu s de solu ion L'a icle examine les possibili és de dégage les dé ini ions op imales de la caisse de ansac ion, de la caisse de p é oyance e de la caisse de spécula ion. Le calcul de la caisse op imale de ansac ion (p émisse: in o ma ion complè e su le modèle de paiemen e de embou semen , les aux du c édi e des aleu s mobiliè es, é ablissemen des coû s de ansac ion: caisse -> aleu s mobiliè es caisse) se ondai su la base héo ique du main ien du ni eau des s ocks de Baumol e Tobin. Les modèles discu és de la caisse op imale de p é oyance de Pa inkin, Whalen e Sp enkle é èlen des lacunes. Chez Pa- inkin, l'on ne décou e pas de onc ion inalisée con aincan e, chez Whalen, les coû s de ansac ion: caisse i es caisse ainsi que des hypo hèses su un modèle de paiemen e de embou semen on dé au , e chez Sp enkle, il n'es pas enu comp e des coû s d'in o ma ion. Un modèle a é é élabo é qui édui ces incon énien s à néan e se onde su les p émisses sui an es: in- o ma ion complè e su les aux des aleu s mobiliè es, mais in o ma ion incomplè e su le modèle de paiemen e de embou semen e su la p ise en considé a ion des coû s de ansac ion, d'« illiquidi é » e d'in o ma ion. La caisse op imale de spécula ion u dé inie comme une pa ie d'un po e euille op imal. L'analyse se ondai au dépa su des po e euilles e icien s, la pondé a ion des po e euilles e icien s pa une onc ion d'u ili é basée su les a gumen s de gain e de isque escomp és conduisi au po e euille op imal e pa oie de conséquence à la caisse op imale de spécula ion, qui u calculée a ec e sans les coû s de ansac ion. L'on a en in souligné l'insa is aisan e si ua ion d'une dicho omie des enues de caisses e indiqué des élémen s ondamen aux de solu ion. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/ccm.8.3.379 | Gene a ed on 2023-01-16 13:32:22