Zur theoretischen Fundierung des kommunalen Finanzbedarfs in Zuweisungssystemen

Kuhn, Thomas A icle Zu heo e ischen Fundie ung des kommunalen Finanzbeda s in Zuweisungssys emen Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik P o ided in Coope a ion wi h: Duncke & Humblo , Be lin Sugges ed Ci a ion: Kuhn, Thomas (1993) : Zu heo e ischen Fundie ung des kommunalen Finanzbeda s in Zuweisungssys emen, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 113, Iss. 3, pp. 425-445, h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/291802 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich machen, e eiben ode ande wei ig nu zen. So e n die Ve asse die Dokumen e un e Open-Con en -Lizenzen (insbesonde e CC-Lizenzen) zu Ve ügung ges ell haben soll en, gel en abweichend on diesen Nu zungsbedingungen die in de do genann en Lizenz gewäh en Nu zungs ech e. Te ms o use: Documen s in EconS o may be sa ed and copied o you pe sonal and schola ly pu poses. You a e no o copy documen s o public o comme cial pu poses, o exhibi he documen s publicly, o make hem publicly a ailable on he in e ne , o o dis ibu e o o he wise use he documen s in public. I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence. h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by/4.0/ Zei sch i ü Wi scha s- u. Sozialwissenscha en (ZWS) 113 (1993), S. 425 - 445 Duncke & Humblo , Be lin Zu heo e ischen Fundie ung des kommunalen Finanzbeda s in Zuweisungssys emen* Von Thomas Kuhn** De o liegende Bei ag behandel die Messung des Finanzbeda s in Zuweisungs- sys emen un e o mal- heo e ischen Aspek en. Nach eingehende Diskussion eine möglichen mone ä en Quan i izie ung wi d Beda im hie o mulie en Modell allge- mein als Index konzipie , de beliebig iele Beda sindika o en zu einem pauschalen Maß agg egie . Seine heo e ische Fundie ung se z an de Dimensionali ä de Skala eines Index an, die nu solche T ans o ma ionen e äg , die die Ve eilung in a ian lassen, was p inzipiell ü jedes Maß gel en muß. Zusammen mi de Fo de ung wei e- e sinn olle Eigenscha en lassen sich dann geeigne e Indizes axioma isch cha ak e- isie en, wobei Theo eme aus de „dimensional analysis" Anwendung inden. Vo diesem Hin e g und kann auch de adi ionell e wende e „ e edel e Einwohne " k i isch e lek ie we den. Ein üh ung Die Messung des kommunalen Finanzbeda s gil nach wie o als eines de schwie igs en und bis heu e noch ungelös en P obleme des Finanzaus- gleichs. Doch Zuweisungen an Kommunen, die au den Ausgleich iskali- sche Dispa i ä en abzielen, sind au ein ope a ionales Beda smaß unmi - elba angewiesen. Denn da on soll e ih e Ve eilung na ü lich wesen lich gep äg sein, um die gewünsch e p og essi e Wi kung zu gene ie en. In diese Beziehung ha de sogenann e „ e edel e Einwohne " im deu schen Finanzausgleich eine g oße T adi ion1. Ihm lieg die Idee zug unde, Beda im wesen lichen au nu einen Indika o , eben die Einwohne zahl, zu ück- üh en zu können. Ih Schei e n zeig sich heu e in einem höchs komplizie - en Beda smaß, das seine inne e Logik wei gehend eingebüß ha und des- wegen auch wiede hol s a ke K i ik ausgese z wa . Dennoch gil es o allem in de Finanzp axis imme noch als die einzig p ak ikable Möglich- kei , den Beda on Kommunen zu quan i izie en (s. z.B. A bei sg uppe 1987, 30; Finanzausgleichskommission Baden-Wü embe g 1977, 22)2. * Übe a bei e e Fassung des Bei ags N . 56, Volkswi scha liche Diskussions- eihe, Uni e si ä Augsbu g, Ap il 1991. * * De Au o dank de DFG ü inanzielle Un e s ü zung. 1 Zu En s ehungsgeschich e des e edel en Einwohne s s. Hansmeye / Kops 1985. 2 Al e na i en bie en z.B. Hi o a 1985 und OECD 1981. ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 426 Thomas Kuhn In diesem Bei ag soll nun de kommunale Finanzbeda in e s e Linie un e p inzipiellen, meh o mal- heo e ischen Gesich spunk en behandel we den, was jedoch auch ü die Finanzp axis einschneidende Konsequen- zen mi sich b ingen dü e, und zwa öllig unabhängig da on, wie Beda auch imme konk e isie wi d. Anzuse zen is dabei an den Funk ionen, die de Finanzbeda inne halb on Zuweisungssys emen einnimm . Wäh end de eben schon e wähn e e edel e Einwohne in diese Hinsich ein Maß ü in e kommunale Beda sun e schiede abgeben soll, komm dem mone ä en Beda sni eau eine ganz ande e Funk ion zu. Le z e es ha nämlich zu gewäh leis en, daß eine Ve eilung exis ie , die die e ügba en Finanzmi - el genau ausschöp , und in diese Eigenscha wi d es auch endogenisie . Dami nimm es inne halb des Sys ems zwa eine zen ale S ellung ein, es is jedoch zu agen, was den mone ä en Beda dann übe haup de e minie und welche Ve eilung da aus esul ie . De e edel e Einwohne als das eigen liche Beda smaß is im G unde als ein Index au zu assen, de sich zwangsläu ig aus meh e en einzelnen Beda sindika o en zusammense z und diese zu einem globalen Maß e - schmelzen muß, was s e s ein k i ische Vo gang bleiben wi d. Inso e n sind solche Indizes imme au ih e implizi en Eigenscha en hin zu un e suchen, insbesonde e was das Skalenni eau und die Ve gleichba kei de Indika o- en sowie die zulässigen Agg ega ions unk ionen angeh . Dazu wi d eilich eine Theo ie ü Beda sindizes benö ig , die auch die G undlage ü eine K i ik am e edel en Einwohne abgeben könn e, zu Zei abe noch wei - gehend ehl . Eine solche Theo ie, wie wi sie hie im Ansa z en wickeln wollen, ha zunächs einmal die aus dem Zuweisungssys em selbs kommenden Fo de- ungen au zunehmen. Dies be i hie o allem die Skala des Index, de nu solche T ans o ma ionen e äg , die die Ve eilung de Zuweisungen in a ian lassen. Welches Meßni eau dabei benö ig wi d, häng also allein on dem zug undeliegenden Zuweisungssys em ab. Da on wi d dann die Auswahl und die Agg ega ion de einzelnen Indika o en schon s a k gep äg . Zusammen mi de Fo mulie ung wei e e sinn olle Eigenscha - en lassen sich geeigne e Beda sindizes schließlich axioma isch cha ak e i- sie en, wo ü man sich Theo eme aus de „dimensional analysis" zu eigen machen kann. In diesem Kon ex e olgen wi das Ziel, die mi dem e - edel en Einwohne e bundenen Res ik ionen abzuschwächen und al e na- i e Maße zu gene ie en. Dami is de Au bau dieses Bei ags schon wei gehend o gezeichne . Nach eine ku zen Modell o mulie ung un e suchen wi die Rolle des Beda sni eaus im Hinblick au die sich ü die Mone a isie ung des Beda s e gebenden Konsequenzen. Da an schließ sich eine Besch eibung des e - edel en Einwohne s an, de allgemein au einen Beda sindex zu ückge üh ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 427 wi d. Es we den sodann g undsä zliche Al e na i en zum e edel en Ein- wohne en wickel und axioma isch cha ak e isie . Vo diesem Hin e - g und kann auch de e edel e Einwohne noch einmal k i isch e lek ie we den. Eine Zusammen assung de wich igs en E kenn nisse schließ den Bei ag ab. 1. Das Modell Das nach olgende Modell besch eib die im kommunalen Finanzausgleich sei langem p ak izie en allgemeinen Zuweisungen in ih e G unds uk- u 3. Es basie au einem Kommunenkon inuum H = [0,1], au dem eine Ve - eilung on Zuweisungen als Funk ion S : ÏÏ R+ de inie is , wobei 5 e - ikalen und ho izon alen Ve eilungszielen zu genügen ha . Dahe muß zunächs einmal jede Funk ion S die Bedingung i (1) I S(i)di = M, M> 0 o e üllen, die ein ach nu besag , daß die Zuweisungen die e ügba e Finanzmasse M olls ändig ausschöp en sollen4. Dabei wi d M aus dem obli- ga o ischen bzw. akul a i en S eue e bund gespeis und gewöhnlich als ein Maß ü die In ensi ä des e ikalen Finanzausgleichs angesehen5. Die ho izon ale Ve eilung diese Finanzmi el au die Kommunen soll de Bedingung a(B{i) - K(i)) B(i) > K(i), 0 < a < 1 (2) S(i) = l l 0 , sons genügen. Da in ep äsen ie en die au ganz II de inie en und s e igen Funk ionen B (i) und K(i) den kommunalen Finanzbeda bzw. die kommu- nale Finanzk a 6. Demnach e hal en Kommunen einen Teil de Di e enz zwischen ih em Finanzbeda und ih e S eue k a als Zuweisung, so e n de Finanzbeda die S eue k a übe s eig . Im ande en Fall bekommen sie nich s, müssen alle dings auch keine Umlagen en ich en. De Pa ame e a, als Ausschü ungsquo e ode Ausgleichssa z bezeichne , gil in de Regel als ein Maß ü die In ensi ä des ho izon alen Ausgleichs. 3 Dieses geh au Kuhn 1990 zu ück und wi d do aus üh lich besch ieben. Siehe dazu auch Kuhn / Hanusch 1991, Kuhn 1991/92; 1992a, b. 4 Dazu muß S in eg ie ba sein. 5 Zu Bemessung on M nach Gesich spunk en des e ikalen Finanzausgleichs s. G osseke le 1988. 6 Die S e igkei on B(i) und K(i) s ell die s ückweise S e igkei und dami die in (1) ge o de e In eg ie ba kei on S{i) siche . ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 428 Thomas Kuhn Be ach e man Ausschü ungsquo e und e eilungs ähige Finanzmasse, mi denen de S aa den ho izon alen und e ikalen Ausgleich zu egulie- en gedenk , als exogen gegeben, dann muß eine Ve eilung, die die Bedin- gungen (1) und (2) gleichzei ig e üll , nich exis ie en. Denn die e ei- lungs ähige Finanzmasse dü e in alle Regel nich aus eichen, um die o - handenen iskalischen Dispa i ä en zu dem gewünsch en G ad auszuglei- chen. Und da in d ücken sich o ensich lich die zwischen dem ho izon alen und e ikalen Ausgleich bes ehenden Zielkon lik e aus. Um sie au zulösen, gib es im P inzip zwei Möglichkei en. Die eine e o - de einen nach oben hin o enen Finanz onds, de sich lexibel an die o - handene iskalische Ungleichhei und den gewünsch en Ausgleichsg ad anzupassen hä e. Dies wü de alle dings bedeu en, daß de e ikale Aus- gleich de Kon olle eines Landes en zogen wä e, was sich allein schon des- wegen e bie e , weil die Finanzmasse du ch das Gemeinscha ss eue au - kommen und den An eil, de den Kommunen da an zus eh , wei gehend de e minie und limi ie wi d. Die zwei e Möglichkei , eine Ve eilung zu gene ie en, bes eh da in, den Ausgleichssa z endogen so es zulegen, daß bei gegebenen iskalischen Dispa i ä en die e ügba en Finanzmi el nich übe sch i en we den. Dies dü e alle dings den ho izon alen Ausgleich s a k einsch änken, denn mögliche weise müß e man sich dabei mi nu seh ge ingen Ausschü ungsquo en zu ieden geben, da die kumulie en Finan- zie ungsde izi e die o handenen Finanzmi el in de Regel bei wei em übe e en. Und dami wü de diese Pa ame e seinen ins umen alen Cha- ak e as öllig einbüßen, weshalb seine Spezi ika ion den poli ischen En scheidungs äge n o behal en bleiben soll e und nich du ch das Sys em o weggenommen we den da . Dies i in en sp echende Fo m na ü lich auch au die Finanzmasse zu. Doch p inzipiell kann im obigen Sys em imme nu eine diese beiden Pa ame e ei gewähl we den, de jeweils ande e wä e dann in gewisse Weise unk ional da on abhängig. Um dies zu e meiden und die dahin e s ehenden Ve eilungskon lik e e mein lich zu umgehen, ha man sich im kommunalen Finanzausgleich da ü en schieden, den Finanzbeda zu endogenisie en. Dies geschieh du ch die Endogenisie ung eines ü alle Kommunen einhei lich gel enden Beda sni eaus und e klä gleichzei ig die A und Weise, wie Beda im oben o mulie en Zuweisungssys em gemessen wi d. Die Fo mel da ü lau- e nämlich: (3) B(i) := E(i)b(i)G, wobei E(i), i e H die Einwohne zahl eine Kommune, b(i)} ¿eil einen Beda sindex und G das schon e wähn e Beda sni eau bezeichnen7. 7 E (i) und b (i) seien wiede au ganz II de inie und s e ig, was die in (2) ge o de e S e igkei on B (i) siche . ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 429 Die Einwohne zahl eine Kommune s ell den naheliegends en und wohl geb äuchlichs en Maßs ab ü den Finanzbeda da , de insbesonde e im deu schsp achigen Raum eine lange T adi ion ha . Sie wi d dann noch meh ach e höh , man sag auch „ e edel ", indem zum einen de P o-Kop - Beda nach de G öße eine Kommune ges a el wi d, und zum ande en noch wei e e Beda s a bes ände ein ließen, die mi Hil e on Indika o en zunächs in physischen Einhei en gemessen, in Einwohne we e ans o - mie und zu a sächlichen Einwohne zahl addie we den. Dies d ück sich le z lich in dem Beda sindex b aus. Dami wi d alle dings, wie wi noch zeigen we den, lediglich ein ka dina- les Maß ü den in e kommunal di e ie enden Beda gene ie , das e s du ch das Beda sni eau G eine mone ä e Bewe ung e äh . Dieses Beda sni eau wi d im kommunalen Finanzausgleich auch als G undbe ag bezeichne und gib mi (3) de ini ionsgemäß den du chschni lichen Finanzbeda eines e edel en Einwohne s an, de ü alle Kommunen glei- che maßen gil . Wäh end E und b exogen zu spezi izie en sind, wi d G aus dem Sys em he aus bes imm , und man en ledig sich dami gleichzei ig de unbequemen und nich ganz leich en Au gabe, den Beda on Kommunen in mone ä e Fo m zu messen. Da au wollen wi im nächs en Abschni noch e was genaue eingehen und insbesonde e agen, welche G ößen das Beda sni eau de e minie en und wie die Ve eilung de Zuweisungen le z - lich aussieh . 2. Das Beda sni eau Das Beda sni eau G zu bes immen, heiß in unse em Fall ja nich s ande- es, als das Gleichungssys em (1) - (3) zu lösen, mi dem die hie o mulie - en Zuweisungen olls ändig besch ieben we den. Dazu wi d es sich als no - wendig e weisen, die Kommunen nach ih em Reich um anzuo dnen. Als K i e ium da ü dien , auch in empi ischen S udien (s. z.B. Deubel 1984, 124), das Ve häl nis aus kommunale S eue k a und kommunalem Beda , hie also die Funk ion K(i) (4) K(i) : = E(i)b(i) die sich aus den oben einge üh en kommunalspezi ischen Kennzi e n ablei e . Gemessen an K(i) gil eine Kommune als um so ä me , je höhe ih Beda und je ge inge ih e S eue k a aus äll . Desgleichen kann K(i) mone ä , nämlich als die au einen e edel en Einwohne bezogene S eue - k a in e p e ie we den. Wi nehmen K(i) als s e ige, di e enzie ba e und s eng mono on wachsende Funk ion II—>R+ {0} an, was im disk e en Fall bedeu en wü de, daß die Kommunen nach ih em Reich um in au s ei- gende Reihen olge geo dne sind. ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 430 Thomas Kuhn Dami sind wi in de Lage, die G enze zwischen zuweisungsbe ech ig en und abundan en Kommunen du ch den Pa ame e a zu ma kie en, de au - g und on (2) und (3) wie olg zu de inie en is : ( a = 0 , G<K(0) G-K(a) = 0 ,Ge(K(0),K(l)] a = 1 , G>K(1). Da a (G) in (5) eine s eng mono on wachsende Funk ion on G da s ell , d.h. die zuweisungsbe ech ig en Kommunen mi G zunehmen, is a endo- gen. Beda sni eau G * und die G enze a* sind mi Hil e on (5) simul an zu bes immen, wobei gezeig we den kann, daß eine eindeu ige Lösung exi- s ie 8. Nach einigen Um o mungen e häl man hie ü : M — + a J K(i) di (6) G* = i E(i)b(i)di o wobei a* du ch M I K(i) di (7) - K(a*) = 0 5 E(i)b(i) di lediglich implizi gegeben is 10. Mi G* und a* is auch die Ve eilung de Zuweisungen eindeu ig bes imm ; sie lau e (s. Kuhn 1990, 8): (8) S(i)* = M(i)* + a(D(z)* - K(i)), ie [O, a*) = 0 , i e [a*, 1]. 8 Fü eine aus üh liche Da s ellung und den Beweis de Exis enz und Eindeu ig- kei s. Kuhn 1990, 7 . und Anhang AI. 9 Falls in (7) s a de Gleichhei s ela ion die Rela ion „ > " gil , dann is a* = 1. Die Lösung a* = 0 kann nich o kommen, da die in F age kommende Ve eilung S (¿)* = 0, i e [0,1] un e de Vo ausse zung M > 0 die Bedingung (1) e le zen wü de. 10 Dies is auch de eigen liche G und, weshalb in de Finanzp axis de G undbe- ag und dami die endgül ige Ve eilung de Zuweisungen mi einem nume ischen I e a ions e ah en be echne we den müssen. Eine algo i hmische Besch eibung dieses Ve ah ens im disk e en Fall und einige Al e na i en dazu inden sich in Kuhn 1988, 49 ., lOO . ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 431 Da in bezeichnen die Funk ionen E(i)b(i) (9) M(i)* = M(i, a*) := — M I E(i) b(i) di o und E(i)b(i) } (10) D(i)* = D(i, a*) := K(i)di * o | E(i) b(i) di o den nach dem ela i en Beda e eil en Finanzmassenan eil bzw. S eue - k a an eil de zuweisungsbe ech ig en Kommunen. Beide An eile nehmen mi s eigendem a* ab. Die Zuweisungen an Kommunen bes ehen gemäß (8) aus eine e ikalen und eine ho izon alen Komponen e, die auch als Do a ions- bzw. Redis i- bu ionskomponen e zu bezeichnen wä en11. Mi de Do a ionskomponen e pa izipie eine Kommune nach Maßgabe ih es ela i en Beda s an de Finanzmasse, mi de Redis ibu ionskomponen e wi d ein Ausgleich zwi- schen dem S eue k a an eil eine Kommune und ih e eigenen S eue k a o genommen. In e p e ie man dieses Resul a un e Beda sgesich spunk en, äll als e s es au , daß in diese Ve eilung das Beda sni eau und de on ihm abgelei e e mone ä e Finanzbeda übe haup nich meh au scheinen, was na ü lich die Folge de Endogenisie ung diese G ößen is . Sie we den ih e sei s nun in e s e Linie on de Einnahmensei e de ö en lichen Haus- hal e de e minie , nämlich de kommunalen S eue k a und de o hande- nen Finanzmasse, und passen sich somi den gegebenen inanziellen Mög- lichkei en an. Bei eine Ausschü ungsquo e on 1 wi d dies auch o enkun- dig; in diesem Falle gib das Beda sni eau ein ach nu die im Du chschni au einen e edel en Einwohne en allenden inanziellen Mi el an. Dami wi d de Finanzbeda on de Ausgabensei e de ö en lichen Haushal e öllig abgekoppel und is nich meh zu e gleichen mi solchen Konzep en wie dem „no malisie en Finanzbeda " (Seile 1980, 32 .) ode „o iginä- en Finanzbeda zu Du chschni skos en" (Zimme mann u.a. 1987, 5, 395 .; Zimme mann 1987, 152 .), die an den Kos en de ö en lichen Au - gabene üllung anknüp en. 11 Diese Beg i e wu den on G osseke le 1988, 436 gep äg . Alle dings wi d do in de o malen Da s ellung die Zahl de zuweisungsbe ech ig en Kommunen als bekann o ausgese z . ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 432 Thomas Kuhn Schließlich nimm die Ve eilung ein ganz ande es Aussehen an, als es die g undlegenden Gleichungen, insbesonde e die Fo mel (2), e mu en lassen. Mone ä in e p e ie ba e G ößen de Beda ssei e be inden sich nich un e ih en De e minan en, jene en s ammen ausschließlich de Einnahmensei e de ö en lichen Haushal e. Fiskalische Dispa i ä en we den allein übe die Funk ion K(i) gemessen, in die die Funk ionen E (i) und b (z) bekann lich als Beda skennzi e n eingehen. Dahe kann die Di e enz zwischen Finanzbe- da und S eue k a , au die noch die Fo mel (2) au bau , nich als ein a - sächlich in eine Kommune o handenes Finanzie ungsde izi be ach e we den - le z e es dü e in de Regel wesen lich höhe liegen - ebenso wie noch lange nich gesag is , daß Kommunen auch a sächlich einen Finan- zie ungsübe schuß au weisen müssen, wenn sie lau (2) keinen Ansp uch au Zuweisungen haben. Insgesam gesehen büß dieses Ve eilungs e ah en du ch die Endogeni- sie ung des Finanzbeda s iel an T anspa enz ein, ohne die g undlegenden Kon lik e zwischen e ikalem und ho izon alem Ausgleich wi klich lösen zu können. Da au können wi an diese S elle nich im einzelnen eingehen, sonde n nu ku z e wähnen, daß die iskalische Ungleichhei o z s eigen- de Ausschü ungsquo e soga wiede zunehmen kann, wenn die Finanz- masse s a k genug zu ückgeh (s. Kuhn 1990, 21; Kuhn 1992 b). Welche G ad an Ungleichhei le z lich bes ehen bleib , häng on den o ge unde- nen iskalischen Dispa i ä en und de e eilungs ähigen Finanzmasse ab (s. Kuhn, 1992 a, 124 .). Dem könn e nu du ch die Implemen a ion eines Umlagesys ems begegne we den, das es e lauben wü de, die Redis ibu ion au de ho izon alen Ebene om Um ang des e ikalen Ausgleichs zu en- nen12. 3. De e edel e Einwohne als Beda sindex De Beda on Kommunen, so e n e sich nich in mone ä en Ka ego ien ausd ücken läß , is als ein heo e isches Kons uk zu be ach en, das nich di ek beobach ba is und dem eine na ü liche Skala ehl . Was wi beob- ach en können, sind imme nu einzelne Aspek e, ode ande s ausged ück , einzelne Komponen en des Beda s, die mi Indika o en ope a ionalisie und meis in ih en na ü lichen Einhei en gemessen we den. So gesehen is Beda als ein Agg ega einzelne Beda sindika o en, also als Index au zu- assen und zu konzipie en, um eine pauschale Einschä zung und einen Ve - gleich de Beda ssi ua ion on Kommunen zu e möglichen. Allgemein sind solche Indizes als Funk ionen 6 mi (11) b(i) := b(x(i)) 12 Zu In eg a ion on Umlagen in das obige Zuweisungssys em s. Kuhn 1992 a, 188 .; Buhl / Kuhn / P ings en 1989; Kuhn 1988, 186 . ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 439 en Einwohne alle dings nich explizi o genommen - wi d dadu ch die Ve gleichba kei de Indika o en e s he ges ell . Hie bei lassen sich impli- zi e We u eile kaum e meiden, weil da ü au objek i e K i e ien nich eku ie we den kann. Demgegenübe ha de Index in (19) den g oßen Vo eil, daß eine gemeinsame Skala ü die Indika o en nich gescha en we den muß, obwohl auch e die Spezi ika ion on Pa ame e n e o de und die s enge Ka dinali ä alle Indika o en implizie , wo ü de In o - ma ionsgehal iele Indika o en siche nich aus eichen dü e. Auch wenn die Auswahl eines geeigne en Index somi on o nhe ein s a ken Res ik ionen un e lieg , spielen da ü noch wei e e, als sinn oll e ach e e Eigenscha en, e wa die Mono onie (A6) b(x) > b(x), ¿>x29 und die Linea e Homogeni ä (AI) b(Xx) = Xb(x), A > 0 eine Rolle. Sie e langen, daß de Index s eigenden Beda signalisie en soll, wenn wenigs ens ein Indika o s eig , und genau um den Fak o A zunehmen soll, wenn alle Indika o en um A s eigen. Da das gewogene P oduk als einzi- ge Index (A2) e üll und (wie iele ande e Indizes) auch den Axiomen (A6) und (A7) genüg , kann e du ch diese d ei Axiome cha ak e isie we den30. Ha man sich einmal au einen so deduzie en Funk ions yp geeinig , bleib imme noch die F age de Selek ion de Indika o en und de Spezi i- ka ion de Pa ame e o en, die mi de Axioma ik nich bean wo e we - den kann. Dazu ließe sich e wa an kommunalen Au gabenka alogen anknüp en und de An eil de in einem Au gabenbe eich ge ä ig en Ausga- ben an den Gesam ausgaben als Gewich ungsschema e wenden31. Denkba wä e auch, ökonome ische S udien übe die De e minan en de kommuna- len Ausgaben da ü he anzuziehen32, die jedoch den Beda implizi mi den Ausgaben de Kommunen iden i izie en. 29 x > x o Xj > Xj ü alle j, x x. 30 Fü den o malen Beweis s. Eichho n / Voelle 1976, 63 - 68. 31 S. z.B. Hanusch / Kuhn 1985, in ähnliche Fo m, alle dings mi dem Ziel, ein mone ä es Maß zu gene ie en: Zimme mann u.a. 1987, 391 .; Zimme mann 1987, 152 . 32 Siehe ü die Ve häl nisse de Bundes epublik z.B. Mielke 1985. ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 440 Thomas Kuhn Schlußbeme kungen Ziel dieses Bei ags is es gewesen, die Messung des Beda s in Zuwei- sungssys emen un e o malen Aspek en zu analysie en. Im kommunalen Finanzausgleich bes eh de Beda aus zwei Komponen en, einem einhei - lichen mone ä en Beda sni eau und dem bekann en e edel en Einwohne als einem Maß ü in e kommunale Beda sun e schiede. Was das Beda s- ni eau angeh , so is es eine Quan i izie ung, die sich an den Kos en de ö en lichen Au gabene üllung o ien ie , nich zugänglich, sonde n es wi d endogen bes imm , um sys emimmanen e Kon lik e zwischen e ika- len und ho izon alen Ausgleichszielen ( o de g ündig) zu lösen und die Exi- s enz eine Ve eilung zu siche n. In diese Funk ion wi d es dann on de Einnahmensei e de ö en lichen Haushal e limie . De e edel e Einwohne is als Beda sindex und somi , wie jede ande e Index auch, als ein Agg ega aus meh e en Beda sindika o en zu in e p e- ie en, wobei in diesem speziellen Fall die We e de einzelnen Indika o en jeweils in Einwohne ans o mie und dann addie we den, ein Vo gang, de den Einwohne als gemeinsamen Maßs ab benu z und Beda le z lich in eine ik i en Einwohne zahl ausd ück . Die hie bei implizi o genom- mene S anda disie ung und Gewich ung de Einzelwe e, womi de en Ve - gleichba kei e s he ges ell wi d, bleib jedoch wei gehend im Dunkeln, so daß diese Ansa z iel an T anspa enz und Ra ionali ä einbüß . Den Ausgangspunk ü eine heo e ische Fundie ung de Beda smes- sung bilde in diesem Bei ag de Nachweis de Ka dinali ä on Indizes, was auch die Auswahl und Agg ega ion de einzelnen Indika o en schon s a k p äg . Hie be inde man sich in einem Dilemma: En wede man o - de eine gemeinsame Ve häl nisskala ü alle Indika o en, was die a ionale Ve gleichba kei bedeu en und eine g öße e Auswahl an Agg ega ions unk- ionen e möglichen wü de, ode man läß die a ionale Nich e gleichba - kei de Skalen zu, womi dann abe die Menge de zulässigen Agg ega ions- unk ionen eng beg enz wä e. Aus unse e Sich is le z e e Al e na i e zu p ä e ie en, da sie eine gemeinsame Skala, wie sie de Einwohne da s ell , en beh lich mach . Als Agg ega ions unk ion käme in diesem Fall nu das gewogene P oduk in F age, das zusammen mi den wünschenswe en Eigenscha en de Mono- onie und linea en Homogeni ä axioma isch cha ak e isie wi d. Zu Auswahl de Indika o en, die jedoch auch hie du chweg s eng ka dinal meßba sein müssen, und zu Spezi ika ion de Pa ame e bie e sich de Rückg i au empi ische S udien übe De e minan en und S uk u de S aa sausgaben ode au kommunale Au gabenka aloge an. Na ü lich wi d auch ein de a kons uie e Index dem K i e ium de Objek i i ä nich ge ech we den können, da sich eine objek i e Messung ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 441 des Beda s au g und de No ma i i ä des abzubildenden Phänomens gleichsam on selbs e bie e . Was jedoch geleis e we den soll e, is , die Beda smessung au eine a ionale e G undlage zu s ellen und implizi e We u eile o enzulegen. Vo diesem Hin e g und muß de e edel e Ein- wohne in seine je zigen Ges al als ela i willkü lich bezeichne we den, was dann na ü lich auch au die on ihm mi gep äg e Ve eilung de Zuwei- sungen zu i . Anhang: Beweis des Theo ems (17) Im nach olgenden Beweis wi d als bekann o ausgese z , daß sich die Lösung des Gleichungssys ems (1) - (3) als (21) S{i)* = S(i, 5(2), G*, a*) e gib , wobei G* (b(i)), a* (b(i)) eindeu ig aus dem Gleichungssys em: (22) | a(E(i)b(i)G-K(i)) di-M = 0, K(a (23) G = 0 E(a) b(a) bes imm wi d. Dabei gehen wi on eine inne en Lösung aus, um Ve ände- ungen on a* zuzulassen, (s. Kuhn 1990 ü eine aus üh liche e Da s el- lung). Die om ans o mie en Index e zeug e Lösung sei aus Ve ein achungs- g ünden mi (24) S(i)** =S(i, h(b(i)), G**, a**), G** = G*(h(b(i))), a** = a* (h{b(i))) bezeichne . 1. „ => " Sei h(b(i)) = Ab(i), A> 0 zu zeigen: S(i)* = S(i)**. Fü (G**, a* *) gil : a* * (25) | a(E(i)Xb(i)G**-K(i)) di-M = 0 o K (a **) (26) G**-E(a**) Xb(a**) = 0 <=> G * * = — G*, a** = a*. A ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 442 Thomas Kuhn Da aus olg : S(i)** = S(i)*. " Sei S(i)** = S(i)*, zu zeigen: /i(b(i)) = A6(z), A>0. Sei 0 (z)* (und analog 0 (i)* *) de inie als (27) Dann gil (28) S(i)** = S(i)* o 0(i)*a(E(i)b(i)G*-K(i)) = 0(i)** (E(i) h(b(i)) G** - K(i)) o 0(i)* = 0(i)** A E(i)b(i)G*-K(i) = E(i)h(b(i))G**-K(i) G * <S> a* = a** A h(b(i)) b (i) £** G* mi A := > 0 is A ein kons an e Pa ame e . q.e.d. Q * * Zusammen assung Die heo e ische Fundie ung de Beda smessung in Zuweisungssys emen wi d in diesem Bei ag aus dem Nachweis de s engen Ka dinali ä eines Index en wickel , die ü alle e wendba en Maße Gül igkei ha . Im Falle des bekann en „ e edel en Einwohne s" implizie dies die a ionale Ve gleichba kei de zu agg egie enden Beda sindika o en, de en T ans o ma ion au die gemeinsame Skala des Einwohne s jedoch eine heo e ischen G undlage en beh und als ela i willkü lich zu be ach- en is . Eine Ve allgemeine ung des zug undegeleg en Dimensionali ä saxioms zu a ionalen Nich e gleichba kei de Indika o en e möglich dann die Cha ak e isie- ung des gewogenen P oduk s als Agg ega ions unk ion, das gegenübe dem e edel- en Einwohne p ä e ie wi d. Du ch die Endogenisie ung des Beda sni eaus mi dem Ziel, sys emimmanen e Kon lik e zwischen e ikalem und ho izon alem Aus- gleich zu lösen, is de Beda im kommunalen Finanzausgleich eine mone ä en Quan i izie ung alle dings nich zugänglich. Abs ac This pape deals wi h he ounda ion o expendi u e needs measu emen in equali- za ion g an sys ems. Ou heo y is based on p o ing s ong ca dinali y, any possible index o needs mus hold. Conce ning a modi ied popula ion size measu e used in Ge many, a ional compa abili y o agg ega ed needs indica o s is implied. Bu ans- o ma ion o di e en indica o scales in o he popula ion uni scale is no jus i ied by measu emen heo y. A gene aliza ion o he unde lying dimensionali y-axiom by 1, ¿€[0, 0(i)* = 0(i, a*) = j I 0, i e [a 1, ie [0, a*) 1]. ZWS 113 (1993) 3 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.113.3.425 | Gene a ed on 2023-04-04 12:18:11 De kommunale Finanzbeda in Zuweisungssys emen 443 a ional non-compa abili y acili a es an axioma ic cha ac e iza ion o he weigh ed p oduc as an agg ega ion unc ion, which is o be p e e ed. Li e a u e zeichnis Aczel, J. / Robe s, F. S. / Rosenbaum, Z. (1986), On Scien i ic Laws wi hou Dimen- sional Cons an s. 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