РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ПОЛУПРЯМОЙ

Наукосфера. №11 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 174 http://nauko-sfera.ru/ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 536.2 DOI 10.5281/zenodo.17548952 Научная статья РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ПОЛУПРЯМОЙ SOLVING THE NONLINEAR PROBLEM OF THERMAL CONDUCTIVITY ON A SEMI-DIRECT КАНАРЕЙКИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, доцент кафедры высшей математики и физики, Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ). KANAREYKIN ALEKSANDR IVANOVICH, Associate professor of the department of higher mathematics and physics, Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting. Работа посвящена нелинейной задачи теплопроводности. Нелинейная задача теплопроводности — это задача, в которой коэффициент теплопроводности зависит от температуры. В современной теории теплообмена фундаментальное значение имеют нестационарные, нелинейные процессы в условиях отсутствия локального равновесия. Ключевая роль принадлежит научнотехническим проблемам, связанным с быстропротекающими тепловыми процессами с высокоскоростными методами получения и термообработки материалов с конструктивными методами анализа нестационарных теплофизических систем. В различных технологических процессах физикотехнических и энергетических установках такие нелинейности обусловливают широкий спектр интересных физических явлений. В работе было рассмотрено решение нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой. The paper is devoted to the nonlinear problem of thermal conductivity. The nonlinear thermal conductivity problem is a problem in which the coefficient of thermal conductivity depends on the temperature. In the modern theory of heat transfer, unstable, nonlinear processes in the absence of local equilibrium are of fundamental importance. A key role belongs to scientific and technical problems related to fast-flowing thermal processes with high-speed methods of obtaining and heat treatment of materials with constructive methods of analysis of non-stationary thermophysical systems. In various technological processes of physico-technical and energy installations, such nonlinearities cause a wide range of interesting physical phenomena. In the work, the solution of the nonlinear problem of thermal conductivity on a semidirect was considered. Ключевые слова: тепловые процессы, уравнение Вольтерра, сингулярное ядро, преобразование годографа, граничное условие. Наукосфера. №11 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 175 http://nauko-sfera.ru/ Key words: thermal processes, Volterra equation, singular core, hodograph transformation, boundary condition. дним из актуальных направлений современной математической физики является изучение нелинейных математических моделей различных физико-химических явлений и процессов. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теории и общих методов решения задач, для которых в настоящее время не разработано [10–15]. Нелинейность задачи теплопроводности может быть обусловлена несколькими физическими факторами [2; 4; 14]:  зависимостью свойств среды от температуры (плотности, удельной теплоёмкости, коэффициента теплопроводности);  нелинейностью граничного условия на поверхности тела, где функция нелинейным образом зависит от температуры. Например, условие на поверхности излучающего тела или условие конвективного теплообмена, в котором коэффициент теплообмена зависит от температуры поверхности тела [4; 13];  учетом фазовых переходов в среде (плавление, испарение, конденсация, кристаллизация), которые происходят при определённой температуре и сопровождаются выделением или поглощением теплоты [3; 14]. Классическим математическим аппаратом для описания распространения тепловых возмущений в нелинейных средах служат квазилинейные параболические уравнения второго порядка [2; 3; 13]. Актуальность темы обусловлена потребностями современных технологий (например, лазерной обработки материалов, моделирования плазменных процессов), где адекватное описание распространения тепла требует учёта нелинейных эффектов [2; 10; 14]. Нелинейность радикально усложняет математические модели, делая неприменимыми классические методы решения и требуя разработки специальных аналитических и численных подходов [1; 5; 11]. Целью данной работы является рассмотрение решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой. Пусть задано уравнение на полупрямой 0≤ x<∞ uz=(ux u2),u≡u(x,t) (1) со следующими начальным и граничным условиями: u (x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (2) u(∞,t)=γ ux(∞,t)=0 (3) ux(0,t) u2(0,t) =f(t) ,t≥0 (4) где γ — положительная константа, а f(t) — интегрируемая функция. Граничное условие (4) представляет заданную теплопроводность в начале координат. Для линеаризации задачи применим метод преобразования годографа (или метода независимой переменной), известный в теории нелинейной диффузии [11; 13; 15]: О Наукосфера. №11 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 176 http://nauko-sfera.ru/ u(x,t)=[v(z,t)]−1 (5) dz dt =u(x,t) (6) dz dt =−( 1 u(x,t)) (7) условие совместности которого d2z dxdt =d2z dtdxгарантировано уравнением (1). Используя приведенное выше преобразование, отобразим уравнение (1) в линейное уравнение теплопроводности: uz=uzz (8) в области F(t)≤z<∞, где F(t) удовлетворяет соотношению: F(t)=∫f(t′)dt′ t 0 (9) С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные: v(z,0)≡v0(z0)=[v0(x)]−1 (10) где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид: z0≡z0(x)=∫u0(x′) x 0dx′ (11) а также граничные условия: v(∞,t)=1 γ ,vz(∞,t)=0 (12) f(t)v(F(t),t)+vz(F(t),t)=0 (13) Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (1) с начальными данными (2) и граничными условиями (3), (4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (9) и граничными условиями (11), (12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности: K(z−ξ,t−t′)=1 2√π1 √t−t′e−(z−ξ)2/(4(t−t′)) (14) и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности: (15) Наукосфера. №11 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 177 http://nauko-sfera.ru/ по области F(t′)<ξ<∞,ε<t′<t−ε, а также возьмем ε→0. Используя условие (12) и тот факт, что K(z−ξ,0)=δ(z−ξ), получаем: v(z,t)=∫K(z−ξ,t)u0(ξ) +∞ F(0)dξ+∫Kξ(z−F(t′),t−t′)v(F(t′),t′) t 0dt′ (16) Из уравнения (15) ясно, что можно определить v(z,t), если известно граничное условие v(F(t), t); поэтому удобно вычислить (15) при z=F(t). Полагая w(t)=v(F(t),t) , получим: w(t)=G(t)+λ∫R(t,t′)w(t′) t 0dt′ (17) G(t)=λ∫K(F(t)−ξ,t)u0(ξ) +∞ F(0) dξ (18) R(t,t′)=1 λKξ(F(t)−F(t′),t−t′),λ= 1 4√π (19) Уравнение (16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром R(t,t′). Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощью уравнения (8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнение Вольтерра (16) допускает единственное решение в предположении, что G(t) является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента. Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (16) можно записать как: w(t)=G(t)+λ∫H(t,t′,λ)G(t′) t 0dt′ (20) Здесь H(t,t′,λ)-ядро резольвенты, задаваемое рядом: H(t,t′,λ)=∑λnRn+1(t,t′) ∞ n=0 (21) Полученное решение демонстрирует, что при больших x поле температуры u(x, t) асимптотически стремится к постоянному значению γ, заданному граничным условием на бесконечности (3). Подобное асимптотическое поведение характерно для широкого класса задач нелинейной теплопроводности с граничными условиями подобного типа [12; 14]. Таким образом, работа посвящена нелинейной задаче теплопроводности. Сложность проблемы теплопереноса в данном случае заключается в ее нелинейности: зависимость от температуры теплофизических свойств среды, присутствие заранее неизвестных подвижных границ. В работе подробно рассмотрено решение нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 2001. 288 с. 2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с. 3. Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Просвещение, 2001. 352 с. 4. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. 488 с. 5. Канарейкин А.И. Лабораторный практикум по теплофизике. 2023. 47 с. Наукосфера. №11 (1), 2025 Физико-математические науки ISSN 2542-0402 178 http://nauko-sfera.ru/ 6. Канарейкин А.И. Решение задач по уравнениям математической физики. 2024. 35 с. 7. Канарейкин А.И. Решение обратной задачи теплопроводности // Наукосфера. 2024. № 112. С. 171–176. 8. Канарейкин А.И. Уравнение Лапласа в теплофизике // Наукосфера. 2023. № 12-2. С. 241– 245. 9. Канарейкин А. И. Уравнения параболического типа. Саратов: Издательство «Саратовский источник», 2024. 31 с. Нелинейность задачи может быть обусловлена 10. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 11. Мартинсон Л.К., Чигирёва О.Ю. Краевые задачи для квазилинейных уравнений параболического типа // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Седьмой Всероссийской конференции. В 3 ч. М., 2013. Ч. II. С. 32–33. 12. Мартинсон Л.К., Чигирёва О.Ю. Пространственная локализация тепловых возмущений в нелинейном процессе теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 4. С. 27–33. 13. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987. 362 с. 14. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с. 15. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с. Поступила в редакцию: 06.11.2025 © Канарейкин А. И., 2025. Принята в печать: 12.12.2025