Review of Dirichlet form from perspective of square root of density (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/361508063 「密度の平方根」の良く知られた（無自覚な？）使用の例 Technical Report · June 2022 DOI: 10.13140/RG.2.2.18936.32004 CITATIONS 0 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 22 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 24 June 2022. The user has requested enhancement of the downloaded file. R上の「密度の平方根」の良く知られた （無自覚な？）使用の例 Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) R上のオルシュタイン・ウーレンベック作用素 f7→ (−∂2 ∂x2+ 2x∂ ∂x)f はL2(e−x2dx)の自己共役作用素である。ところで、この作用素は変換 U:f7→ g:= fe−x2 2 によって、調和振動子のハミルトニアン g7→ (−∂2 ∂x2+x2−1)g に移されるが、これは L2(dx)の自己共役作用素である。何故であろうか？答 えは簡単であり、UがL2(e−x2dx)から L2(dx)へのヒルベルト空間としての 同型であるからである。 では、このような「同一の可測空間」上の「異なる２つの２乗可積分空 間」の同型はどこから来たのか？これも実は答えは簡単であって、例えば、 今の場合、線形写像 Uを、実測度（または、複素測度）としての等式 f|f|e−x2dx =U(f)|U(f)|dx を与えるように選択したからである。このことは、「互いに絶対連続」な２ つの (σ有限な)測度に容易に一般化できる。 では、互いに絶対連続でない場合は、どうすれば良いであろうか？これ も、答えはすぐに見付かる。「同一の可測空間」上に２つの (σ有限な)測度 µ1, µ2が与えられたとしよう。このとき、ある (σ有限な)測度 µが存在して、 与えられた２つの (σ有限な)測度 µ1, µ2が絶対連続となる。これにより、２ つのヒルベルト空間 L2(dµ1), L2(dµ2)は自然に同一のヒルベルト空間 L2(dµ) に埋め込まれる。このことに注意すれば、一つの可測空間上の実測度（また は、複素測度）の全体の集合に内積空間の構造を自然に入れる方法を思い付 くことはもはや、容易であろう。実は、この内積空間はヒルベルト空間にな るが、その証明も容易である。 1 最後に、「密度の平方根」の空間における偏微分作用素を考えるに当たっ ての一つの注意をする。例えば、L2(e−x2dx)での ∂2 ∂x2は、ラプラシアンと呼 ぶべきものではないであろう。偏微分作用素の「表示式」は、（局所座標系だ けではなく）測度によっても変わってくるのである。ところで、R∞上の（σ 有限な）測度 dx1dx2· · · dxn· · · のようなものは定義されないのではあるが、 我々は前原稿で、偏測度のようなもの dxnに関するものとして、偏微分作用 素∂ ∂xnを定義した。例えば、f, µ が適当な条件を満たせば、 ∂ ∂x1 (f|f|dx1dµ(x2,· · · , xn,· · · )) = ∂f ∂x1 ∂f ∂x1 dx1dµ(x2,· · · , xn,· · · ) である（前原稿の命題２５によるが、この命題は H1(R∞)の非可分性を示す ために用意したものであり、そこでの条件は緩められると思われる）。一方、 hu, viH1(Rn)−hu, viH0(Rn)=Pn k=1h∂u ∂xk,∂v ∂xkiL2(Rn)=h(−4Rn)1 2u, (−4Rn)1 2viL2(Rn) であるが、これは Rn上のブラウン運動のディリクレ形式であった。そこで、 問題の追加として、（定義により）同様に hu, viH1(R∞)− hu, viH0(R∞)=X k∈N∂u ∂xk ,∂v ∂xkL2(R∞) であるが、（hu, viH1(R∞)− hu, viH0(R∞)=h(−4R∞)1 2u, (−4R∞)1 2viL2(R∞)も 容易に示されるのではないかと思われるのだが、）さらに、これは R∞上の ブラウン運動のディリクレ形式（の一般化）であるか？ 【追記】関連して、より基礎的（簡単？）な話として、まずは、Rn上の ものに話を限定して、次のようなことが考えられるように思われる。密度の 平方根により、測度の指定は不要である。そこで、適当な条件を満たす自己 共役作用素（あるいは、ディクレ形式）を一つの空間に納め、そこに適当な 位相を導入することはできないか？例えば、Rn上の試験密度に対する作用を 見る？そのとき、２次形式は [0,+∞]に値を取る、と見るのが妥当？ 長田博文「無限粒子系の確率解析学」71 (2) 重川一郎、谷口説男「無限次元空間上のディリクレ形式とその周辺」45 (2) 無限次元空間 R∞上の Laplace 作用素の変分法的定式化と自己共役性 https://www.researchgate.net/publication/361136526 無限自由度の正準交換関係（CCR）の Schrodinger 表現 https://www.researchgate.net/publication/361358209 何故、「密度の平方根」が必要なのか？ https://www.researchgate.net/publication/361388858 2 View publication statsView publication stats