Laplace operator for Bose particle on infinite dimensional space and its self-adjointness (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/364276924 Bose粒子に関する無限次元空間上のLaplace作用素とその自己共役性 Technical Report · October 2022 DOI: 10.13140/RG.2.2.20374.63047 CITATIONS 0 READ 1 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 28 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 09 October 2022. The user has requested enhancement of the downloaded file. Bose粒子に関する無限次元空間R∞上の Laplace作用素とその自己共役性 Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 前原稿で、無限直積空間 R∞:= ∏n∈NR上で Laplacian の類似 物を定義して、自己共役作用素であることを示した。ところが、 その自己共役作用素が定義されている Hilbert 空間 H0(R∞)は、 Bose-Einstein 統計に従うような量子状態は含まれてはいない。 そこで、本原稿では、Boson に関する Laplace作用素（加算無限 自由 Bose 粒子系に関する Schrodinger 作用素）を自己共役作用 素として定義できることを注意する。前原稿の他は、（前原稿と 同様に）解析学の基礎知識だけが必要である。証明については 前原稿とほぼ同様に進むであろう、と思われるので、未確認の 状態である。そのため、本質的なギャップや致命的なミスがある かもしれない。 Laplace operator for Bose particle on infinite dimensional space R∞and its self-adjointness In the previous manuscript, we defined Laplacian on infinite Cartesian product space R∞:= ∏n∈NRand showed that it is a self-adjoint operator. However, Hilbert space H0(R∞) in which the self-adjoint operator is defined does not contain quantum state that follows Bose-Einstein statistics. So, in this manuscript, we note that Laplace operator on Boson (Schrodinger operator for countably infinite free Bose particle system) can be defined as a selfadjoint operator. Other than the previous manuscript, only basic knowledge of analysis is required (as in the previous manuscript). As for proof, it seems that it will proceed almost same as the previous manuscript, so it is in unconfirmed state. So, there may be essential gap and fatal mistake. 無限次元空間上の Laplace 作用素の変分法的定式化と自己共役性 https://www.researchgate.net/publication/361136526 宮寺功『非線形半群』（紀伊国屋書店） 高村幸男、小西芳雄『非線型発展方程式』（岩波書店） 1 さて、前原稿と同様に、本原稿でも、もっとも重要なのは Sobolev 空間 H1に相当するような Hilbert 空間を定義することである。もちろん、それは 前原稿の Sobolev 空間 H1(R∞)と異なるので、以下で、それを Sobolev 空間 H1 B(R∞)と記すであろう。 定義：i, j ∈Nに対して、R∞から R∞への全単射 Pi,j を(i=jのときは、 その)互換に関する変数変換として、定義する。（もちろん、i=jのときは、 恒等写像である。） ■ さて、L2(R∞)は、可測空間 R∞の上の実測度（符号付き測度）の全体の なす実 Hilbert 空間 RM(R∞)の閉線形部分空間であった。 定義：RM(R∞)の要素で、任意の i, j ∈Nに対して、Pi,j に関して不変で あるものの全体のなす RM(R∞)の閉線形部分空間を RMB(R∞)で表す。 さらに、L2 B(R∞) := L2(R∞)∩RMB(R∞)と定義する。 ■ さて、有限次元空間 Rnの場合は、対称な関数f, g に対しては n∫Rn ∂f ∂xk ∂g ∂xk =∑ k∈{1,2,··· ,n}∫Rn ∂f ∂xk ∂g ∂xk である。そこで、（Rnでは有限自由度 nである）無限大の繰り込みを行う形で、 次のように定義する。 定義：L2 B(R∞)の要素で、（前原稿の定義１４の意味で）１階偏微分可能で あるものの全体のなす L2 B(R∞)の線形部分空間を H1 B(R∞)で表す。H1 B(R∞) 上の内積を ⟨f, g⟩H1 B(R∞):= ⟨f, g⟩L2(R∞)+⟨∂f ∂xk ,∂g ∂xk⟩L2(R∞) で定める。H1 B(R∞)のL2 B(R∞)における閉包を H0 B(R∞)で表す。 ■ 定義：前原稿と同様にして、H0 B(R∞)の閉対称形式 ⟨f, g⟩H1 B(R∞)が定める 自己共役作用素（同じことだが、⟨f, f⟩H1 B(R∞)の劣微分作用素）△を例えば、 加算無限自由 Bose 粒子系に関する Schrodinger 作用素と言う。 ■ 感想：「互いに絶対連続でない」としても、それは、もちろん、「互いに 特異であるということを含意しない」ということに注意をするべきかもしれ ない。（熱方程式の解は、初期値に対して特異ではあるが、時刻０の極限で、 その特異性は０に収束すると思われる。） ■ 問題：L2 B(R∞) = H0 B(R∞)であるか？ ■ 問題：適当な非線形問題を考察せよ。 ■ 2 View publication statsView publication stats