Analogue of singular homology for local-product topological space and generalization to multi-foliation (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/371280558 局所直積位相空間に対する特異ホモロジーの類似物、及び、多重葉層構造への一般化 Research Proposal · June 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.29736.34561 CITATIONS 0 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 35 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 04 June 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. 局所直積位相空間に対する 特異ホモロジーの類似物、及び、 多重葉層構造への一般化 Analogue of singular homology for local-product topological space and generalization to multi-foliation Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 前原稿では、特異ホモロジー群の類似物を与えた。また、本原稿でも、 類似の観点により、「局所直積位相空間」と呼ぶべき（擬空間ではない） 空間に対して、特異ホモロジー群の類似物が定義されることを指摘する。 しかしながら、「局所直積擬空間」に対する特異ホモロジー群の類似物を 定義することも恐らく、容易であろうと思われる。 局所直積位相空間の定義などは本文で与えるが、ここでは、「局所直積 微分多様体」は小平・Spencer が（恐らく、複素構造の変形理論の一般化 を考えるという趣旨で）導入した多重葉層構造の特別な場合であること、 及び、ここで与える議論は「（可微分なカテゴリーであるところの）多重 葉層構造」に対する「位相的なカテゴリーに対応をする構造」に一般化で きると思われる、という感想を述べておく。また、小平・Spencer は「複 素解析的なカテゴリー」に対する多重葉層構造についても考察している。 ところで、Vaisman を一瞥すると、恐らく、多重葉層構造には de Rham コホモロジー、ないしは、Dolbeault コホモロジーの類似物が定義できる ように思われるが、de Rham コホモロジーの類似物と特異ホモロジーの 類似物の明確な関連は特にないのかもしれない。 Kodaira, K. and Spencer, D. C., Multifoliate structures, Ann. of Math., 74 (1961), 52–100. Vaisman, I., Cohomology and differential forms, Marcel Dekker Inc., New York, 1973. 1 定義１（直積同相）：X1, X2, Y1, Y2を位相空間とし、fをX1×X2から Y1×Y2への同相写像とする。このとき、fが直積同相であるとは、X1か らY1へのある同相写像 g1とX2から Y2へのある同相写像 g2が存在して、 f=g1×g2 であることを言うこととする。 定義２（局所直積座標近傍）：Xを位相空間とする。このとき、(U, Y1, Y2, φ) がXの局所直積座標近傍であるとは、次を満たすことを言うこととする。 (1) UはXの開集合である。Y1, Y2は位相空間である。 (2) φはUから Y1×Y2への同相写像である。 定義３（同調）：Xを位相空間、(Uα, Yα,1, Yα,2, φα),(Uβ, Yβ,1, Yβ,2, φβ)を Xの局所直積座標近傍、x∈Uα∩Uβとする。このとき、xで(Uα, Yα,1, Yα,2, φα), (Uβ, Yβ,1, Yβ,2, φβ)が同調しているとは、xのある近傍で、座標変換が直積 同相であることを言うこととする。 定義４（局所直積座標近傍系）：Xを位相空間とし、{(Uλ, Yλ,1, Yλ,2, φλ)}λ∈Λ をXの局所直積座標近傍の族であるとする。このとき、{(Uλ, Yλ,1, Yλ,2, φλ)}λ∈Λ がXの局所直積座標近傍系であるとは、次を満たすことを言うこととする。 (1) X=∪λ∈ΛUλである。 (2) α, β ∈Λ, x∈Uα∩Uβとする。このとき、xで(Uα, Yα,1, Yα,2, φα), (Uβ, Yβ,1, Yβ,2, φβ)が同調している。 定義５（局所直積位相空間）：「極大な局所直積座標近傍系」が与えら れた位相空間を局所直積位相空間と言うこととする。 補足６（多重葉層構造）：小平・Spencer は第２節で可微分なカテゴリー における多重葉層構造の定義を与え、第６節で複素解析的なカテゴリーに おける多重葉層構造の定義を与えている。第２節の可微分なカテゴリー の定義で、特に P:= {{1,2,· · · , k},{k+ 1, k + 2,· · · , n}} とし、P上の半順序として ≤:== （すなわち、異なるものに大小関係があることはない） とすると「局所直積多様体」（k次元と (n−k)次元の直積的構造が局所 的に与えられた n次元多様体）の定義となる。 2 以上により、特異ホモロジーの類似物の定義は推測が付くであろうが、 一応、話を進める。 定義７（局所直積写像）：M, N を局所直積位相空間とし、fをMから Nへの連続写像とする。このとき、fが局所直積写像であるとは、任意 のx∈M（及び、M, N がそれぞれ、許容する局所座標近傍）に対して、 xのある近傍で、fが直積写像であることを言うこととする。 定義８（特異局所直積単体）：Xを局所直積位相空間とし、n∈ {0,1,2,· · · } とする。このとき、（∆nを通常の標準 n-単体として、）∆n×∆nから X への局所直積写像を Xの特異 n-局所直積単体と言うこととする。 余単体的集合:以下は、∆n−1×∆n−1から∆n×∆nへの写像の族{Dn k}n k=0、 及び、∆n+1 ×∆n+1 から ∆n×∆nへの写像の族 {Sn k}n k=0 を「例の通常の 写像」（通常の余面写像、余退化写像？、呼称を記憶しておりません）の 直積として余単体的集合を定義して議論を進めて行くだけなので、省略 いたします。 感想:そもそも、局所直積構造より、「通常の葉層構造」で考えた方が 面白いのかもしれません。 道を基本概念とする空間、及び、それに特異単体的集合の類似物を対 応させる共変関手 https://www.researchgate.net/publication/368509944 擬正則曲線を基本概念とする空間、及び、擬概複素ホモトピー圏 https://www.researchgate.net/publication/368510141 3 View publication stats