In Markov process, if initial distribution is absolutely continuous, then joint distribution is absolutely continuous. (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/372882831  Technical Report · August 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.10654.72001 CITATIONS 0 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 38 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 03 August 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. マルコフ過程において初期分布が絶対連続で あれば結合分布は絶対連続である。 In Markov process, if initial distribution is absolutely continuous, then joint distribution is absolutely continuous. Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 以下のことは非常に簡単に確認できることなのだが、入門書などで、あ まり注意されていないようである。m、ρdm をそれぞれ初期分布とする時間 発展 {ηt}tの分布を Pm、Pρdm とする。{tk}n k=0 を単調非減少列とし、t0= 0 とする。このとき、時刻 {tk}n k=1 に対する Pρdm の結合分布は、時刻 {tk}n k=1 に対する Pmの結合分布に関して絶対連続である。 証明： Aの時刻 {tk}n k=1 に対する Pmの結合分布の測度は０であるとす る。すなわち、 ∫x0 dm(x0)∫x1 pt0,t1(x0, dx1)∫x2 pt1,t2(x1, dx2)· · · ∫xn ptn−1,tn(xn−1, dxn) 1A(x1, x2,· · · , xn) = 0 であるとする。このとき、 ∫x1 pt0,t1(x0, dx1)∫x2 pt1,t2(x1, dx2)· · · ∫xn ptn−1,tn(xn−1, dxn)1A(x1, x2,· · · , xn) はmに関して、ほとんど至るところ、０である。 ρ(x0)∫x1 pt0,t1(x0, dx1)∫x2 pt1,t2(x1, dx2)· · · ∫xn ptn−1,tn(xn−1, dxn)1A(x1, x2,· · · , xn) はmに関して、ほとんど至るところ、０である。 ∫x0 (ρdm)(x0)∫x1 pt0,t1(x0, dx1)∫x2 pt1,t2(x1, dx2)· · · ∫xn ptn−1,tn(xn−1, dxn) 1A(x1, x2,· · · , xn) = 0 である。 ■ 1 View publication stats