UMUMIY O'RTA TA'LIM MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA TUB SONLAR MAVZUSINI O'QITISH METODIKASI

Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 54 DOI: https://10.5281/zenodo.17945894 UMUMIY O‘RTA TA’LIM MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA TUB SONLAR MAVZUSINI O‘QITISH METODIKASI I.Ro‘. Jo‘rayev Termiz davlat pedagogika instituti Aniq va tabiiy fanlarni o‘qitish metodikasi (Matematika) mutaxassiligi talabasi E-mail: [email protected] https://orcid.org/0009-0008-8323-1133 ANNOTATSIYA Ushbu maqolada umumiy o‘rta ta’lim maktab kursida tub sonlar mavzusini o‘qitish metodikasi haqida va ayni vaqtda tub sonlarni o‘qitish umumta’lim maktablari va oliy ta’lim muassasalarida o‘qitish jarayonida yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan ba’zi muommolar yechimlari to‘g‘risida ma’lumotlar keltirilib o‘tilgan. Ushbu maqolani amaliy natijasini umumta’lim maktablari va oliy ta’lim muassasalarida Algebra fanidan Tub sonlar mavzusini o‘qitishda qo‘llashimiz mumkin. Ushbu maqolani asosan amaliy jihatdan umumta’lim maktablarida foydalanish o‘qituvchilarga qo‘l keladi. Kalit so‘zlar: tub sonlar, egizak tub sonlar, natural sonlar yig‘indisi, tub sonlarni o‘qitish metodikasi, ilmiy tadqiqotlar, oddiy sonlar, Erotosfen g‘alviri, murakkab sonlar. ABSTRACT This article provides information on the methodology for teaching the topic of prime numbers in a general secondary school course, and the same time, provides, information on solutions to some problems that may arise during the teaching of prime numbers in general schools and higher education institutions. We can use the practical results of this article in teaching the topic of Prime Numbers in ASlgebra in general schools and higher education institutions. This article is mainly useful for teachers in general schools in terms of practical use.. Keywords: prime numbers, twin prime numbers, sum of natural numbers, methodology for teaching prime numbers, scientific research, simple numbers, the Sieve of Erotosthenes, complex numbers. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 55 АННОТАЦИЯ В данной статье представлена информация о методике преподавания темы Простые числа в общеобразовательной школе, а также о решениях некоторых проблем, которые могут возникнуть при преподавании темы «Простые числа» в общеобразовательных школах и высших учебных заведениях. Практические результаты данной статьи могут быть использованы при преподавании темы Простые числа в алгебре в общеобразовательных школах и высших учебных заведениях. Статья полезна в первую очередь учителям общеобразовательных школ с точки зрения практического применения. Ключевые слова: простые числа, простые числа-близнецы, сумма натуральных чисел, методика преподавания простых чисел, научные исследования, простые числа, решето Эротосфена, комплексные числа. KIRISH Umumta’lim maktablari va oliy ta’lim muassasalarida Algebra kursida Tub sonlar mavzusi eng og‘riqli mavzulardan biri hisoblanadi. Tub sonlar mavzusini o‘qish jarayonida avvalo fan o‘qituvchisi tomonidan o‘quvchi yoshlarga sonlar nima ekanligi, uning ta’rifi va xossalari, jamiyatda hamda matematika (Algebra) kursida tutgan o‘rni axamiyati borasida tushuncha berilishligi lozim. So‘ngra tub sonlar haqida tarixiy ma’lumotlar hamda amaliy izlanishlar orqali hosil bo‘lgan matematik formula va qoidalar, tub sonlarning xossalari tushunchalar hamda tub sonlar orqali yechilishi mumkin bo‘lgan muammolar haqida atroflicha ma’lumot berilib o‘quvchi yoshlar ongida tub sonlarni o‘rganishning qanday muhim ahamiyatga ega ekanligi to‘g‘risida yetarlicha tushuncha hosil qilgandan so‘ng darsni boshlash kerak. Tub sonlar deb – o‘ziga va birga bo‘linadigan sonlarga aytiladi. ASOSIY QISM Tarixiy manbaalar suyangan holda shuni aytishimiz mumkinki, tub sonlar (yoki oddiy sonlar) ustida ko‘plab mashhur matematiklar qadimdan to hozirgacha ilmiy tadqiqotlar olib borgan. Ulardan: Qadimgi davr matematiklaridan Evklid ((Euclid) – miloddan avvalgi 3asr). “Elementlar” nomli asarida tub sonlarning cheksizligini isbot qilgan. Tub sonlar nazariyasining dastlabki poydevorini qo‘ygan. Eratosfen – miloddan avvalgi 3-asr. “Eratosfen elagi” (tub sonlarni topish algoritmi) bilan mashhur. O‘rta asr va islom olami matematiklaridan Al-Xorazmiy (9-asr). Bevosita tub sonlar ustida emas, lekin algebra rivojiga hissa qo‘shib, keyinchalik tub sonlar nazariyasiga asos bo‘lgan tushunchalarni ishlab chiqqan. Umar Xayyom - Sonlar nazariyasi bilan shug‘ullangan, ammo uning asosiy e’tibori algebraik yechimlarga qaratilgan. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 56 Yangi davr matematiklaridan Per de Fermat (17-asr.) Fermat tub sonlari (22𝑛+ 1 ko‘rinishidagi sonlar) bilan bog‘liq izlanishlar olib borgan. Fermat faraziga ko‘ra har bir natural son 4 ta kvadrat son yig‘indisi sifatida ifodalanadi. Leonhard Eyler (18-asr) - Tub sonlar ustida ko‘plab ishlari bor, jumladan: Riemann zeta funksiyasining boshlang‘ich tadqiqotlari. Tub sonlar va zeta funksiyasi o‘rtasidagi bog‘liqlikni ko‘rsatgan. Adrien-Marie Legendre: Tub sonlarning taqsimoti ustida ishlagan, hozirgi zamonaviy asosiy tub sonlar teoremasiga yaqin natijalarni olgan. Zamonaviy matematiklar Bernhard Riemann – 19-asr. Riemann gipotezasiga ko‘ra: Tub sonlarning taqsimoti bilan bog‘liq eng mashhur ochilmagan muammo. G. H. Hardy va John Littlewood – 20-asr boshlarida: Tub sonlar ustida chuqur tadqiqotlar olib borgan, ayniqsa analitik sonlar nazariyasi sohasida. Srinivasa Ramanujan fikriga ko‘ra: Tub sonlarga oid ko‘plab qiziqarli formulalar yaratgan. Andrew Wiles Fermatning so‘nggi teoremasini isbotlagan. Bu ishda tub sonlar va elliptik egrilar o‘rtasidagi bog‘liqlik muhim bo‘lgan. Hozirgi kunda ushbu mavzu yuzasidan zamondoshlarimizdan f-m.f.d. Professor I.Allakov, B.Erdonov va bir qancha ilmiy tadqiqotchilar ish olib bormoqdalar. ADABIYOTLAR TAHLILI Tub sonlarni o‘qitish jarayonida Egizak tub son tushunchasiga ham alohida to‘xtalib o‘tishimiz maqsadga muvofiq bo‘ladi. Sanoq qatorining boshida tub sonlar ko‘p bo‘lsa-da, ularning taqsimlanishi bir tekisda emas. Raqamlar o‘sib borishi bilan ular birbiridan uzoqlashadi. Aslida, tub sonlar cheksiz ko‘p va ketma-ket tub sonlar ham birbiridan cheksiz uzoqda bo‘lishi mumkin. Matematiklarning tub sonlarga berilib ketganini payqagandirsiz. Matematikada hal qilinmagan ba’zi muammolar tub sonlar bilan bog‘liq. Ulardan biri tub sonlarning sonlar qatorida taqsimlanishi va egizak tub sonlar bilan bog‘liq. Ta’rif: Ikkisining ham qiymati tub va qiymatlar farqi 2 ga teng bo‘lgan sonlar egizak tub sonlar deb ataladi. 2000 gacha bo‘lgan egizak tub sonlar haqida biroz mulohaza etsak. Tub sonlar ketma ketligiga e’tibor bersangiz faqatgina toq sonlardan iborat. Lekin 2 juft tub son hisoblanadi. Tub sonlarni Eratosfen (milloddan avvalgi 275-194, Gretsiya) kashf qilgan. Tub sonlarni topishning Erotosfen g‘alvirini kashf qilgan. [1, 54-bet] Ajoyib xossalari: - 1 dan katta barcha sonlarning kamida bitta tub bo‘luvchisi bor. - 2 dan katta juft sonlarni ikkita tub sonning yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin. 2 dan katta barcha tub sonlar toq hisoblanadi. Aniqrog‘i 2 yagona juft tub son. Ketma ket kelgan faqatgina 2 va 3 sonlariorasidagi farqi 1 ga teng. 2022-yil holatiga Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 57 ko‘ra eng katta ma’lum tub son 82589933 2 ya’ni 124862048 ta raqamdan iborat. Shuningdek, ular orasida faqat 2 ta farq bo‘lgan cheksiz sonli juft tub sonlar bo‘lishi mumkin. Bu bizni egizak tub sonlarga olib keladi. Egizak tub sonlar soni cheksizmi? Bu savol matematiklarni uzoq vaqtdan beri o‘ylantirib kelmoqda. Ikki tub sonlar bir-biridan ikkiga farq qiluvchi ikkita tub sondan tashkil topgan tub sonlarning maxsus turidir. Bu turdagi bosh juftliklar juda kam uchraydi, minginchi diapazonda faqat yigirma beshga yaqin juftlik ma’lum. Farqi 2 ga teng ketma-ket tub sonlar egizak tub sonlar deyiladi. Quyida 1 dan 2000 gacha egizak tub sonlar ro‘yhati keltirilgan. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), ( 101, 103), (107, 109), (137, 139),(137,139),(191,193),( 197, 199) (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521,523), ( 569, 571),( 599, 601) (617, 619), (641,643),( 659, 661),( 809, 811), (821,823), ( 827, 829),( 857, 859), (881, 883), (1019, 1021), (1031, 1033), (1319, 1321), (1061, 1063) (1091, 1093), (1151, 1153),( 1229, 1231),( 1319, 1321), (1277, 1279), (1289, 1291), (1301, 1303),( 1319, 1321) (1427, 1429), (1451, 1453), (1481, 1483), (1487, 1489), (1607, 1609), (1619, 1621), ( 1667, 1669), (1697, 1699), ( 1721, 1723), (1787, 1789), ( 1871, 1873), (1877, 1879), (1931, 1933),( 1949, 1951)( 1997, 1999) juftlari 2 000 gacha bo‘lgan egizak tub sonlardir. Ikkilamchi tub sonlar matematika sohasining muhim qismidir, chunki ular raqamlar nazariyasi va kriptografiya kabi boshqa sohalarni tushunish uchun ishlatilishi mumkin. Ikki tub sonlar ba’zi matematik teoremalarni isbotlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Masalan, ular dunyodagi cheksiz sonli tub sonlarni isbotlash uchun ishlatilishi mumkin. Ikkilamchi astarlar o‘rganish va izlanishning qiziqarli sohasi bo‘lib, ularning noyobligi ularni o‘rganishni yanada qiziqarli qiladi [1, 55-56-bet]. Yuqoridagi ma’lumotlar asosida, umumiy o‘rta ta’lim maktablarida tub sonlarni o‘qitishdaquyidagi ikkita qoidani kiritish orqali, tub sonlarning ba’zi ochilmagan qirralarini ochishga zamin yaratgan bo‘lamiz. 1-Qoida: Ketma-ket kelgan natural sonlarning kvadratlari yig‘indisi tub son bo‘ladi. ( 10* 1 3, 10* 2 4, , , )a b va d c va a b c va d natural son +  + − Isboti: 1-qoida isbotini ba’zi sonlar orqali hisoblab ko‘ramiz. Masalan, agar 4a= 𝑣𝑎 5b= bo‘lsa, u holda 16 25 41.+= Javob: 41 tub son. Agar 10a= 𝑣𝑎 11b= bo‘lsa, u holda 100 121 221.+= Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 58 Javob: 221 tub son. Agar, 15a= 𝑣𝑎 16b= bo‘lsa, u holda 225 296 521.+= Javob: 521 tub son Agar, 102a= 𝑣𝑎 103b= bo‘lsa, u holda 10609 10404 21013.+= Javob: 21013 tub son Agar, 205a= 𝑣𝑎 206b= bo‘lsa, u holda 42025 42436 84461.+= Javob: 84461 tub son Agar, 367a= 𝑣𝑎 368b= bo‘lsa, u holda 134689 135424 270113.+= Javob: 270113 tub son. Agar, 1219a= 𝑣𝑎 1220b= bo‘lsa, u holda 1485961 1488400 2974361+= Javob: 2974361 tub son Agar, 3004a= 𝑣𝑎 3005b= bo‘lsa, u holda 9024016 9030025 18054041+= Javob: 18054041 tub son 2-Qoida: Agar a va b ( 2 3)a va b ketma-ket kelgan tub son bo‘lsa, u holda 𝑎2+ 4𝑏2 yig‘indi tub son bo‘ladi. Isboti: 2-qoida isbotini ba’zi sonlar orqali hisoblab ko‘ramiz. Masalan, agar 35a va b== bo‘lsa, u holda 9 4*25 109+= Javob: 109 tub son. Agar 7 11a va b== bo‘lsa, u holda 49 4*121 533+= Javob: 533 tub son. Agar 11 13a va b== bo‘lsa, u holda 121 4*169 797+= Javob: 797 tub son. Agar, 17 19a va b== bo‘lsa, u holda 289 4*361 1733+= Javob: 1733 tub son. Agar, 23 29a va b== bo‘lsa, u holda Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | ISSUE 16 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal December, 2025 59 529 4*841 3893+= Javob: 3893 tub son. TAHLIL VA NATIJA Xulosa qilib shuni aytish mumkinki umumta’lim maktablarida tub sonlarni o‘qitishda yuqoridagi ikkita qoidaning ahamiyati kattadir. Ushbu mavzuni o‘qitishda qo‘shimcha ravishda boshqa metod va uslublardan foydalanish ham mumkin. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI: (REFERENCES) 1. O‘taganova Umida Egamberdi qizi, Лучшие интелектуальные исследования. Часть-18, Том4, Апрель 2024. http://web-journal.ru/