Una reformulación estructural del problema de Collatz mediante una disposición columnar de los números naturales

Una reformulaci´on estructural del problema de Collatz mediante una disposici´on columnar de los n´umeros naturales Miguel Cerd´a Bennassar Diciembre de 2025 Resumen Se introduce una disposici´on columnar de los n´umeros naturales basada en su descomposici´on 2-´adica, construida de forma local y progresiva. Esta representaci´on organiza los enteros en columnas determinadas por su n´ucleo impar y permite visualizar de manera expl´ıcita las cadenas de divisiones por 2 sin imponer ninguna estructura adicional. Una vez fijado este escenario, se muestra que la iteraci´on de Collatz puede leerse de forma natural sobre dicha disposici´on, separando los descensos deterministas asociados a factores de 2 de los desplazamientos horizontales inducidos por los pasos impares. El enfoque no pretende resolver la conjetura de Collatz, sino proporcionar un marco estructural claro y completo para la representaci´on de sus trayectorias. 1. Introducci´on El problema de Collatz, formulado a partir de la iteraci´on n7→ (n/2,si nes par, 3n+ 1,si nes impar, ha resistido durante d´ecadas m´ultiples enfoques anal´ıticos. Una dificultad recurrente es la mezcla, en una misma din´amica, de transformaciones de naturaleza muy distinta: divisiones sucesivas por 2, completamente deterministas, y saltos multiplicativos inducidos por la operaci´on 3n+ 1. En este trabajo se propone una reformulaci´on estructural que separa ambas escalas de forma exacta, apoy´andose en una representaci´on columnar de los n´umeros naturales basada en su descomposici´on 2-´adica. El objetivo es clarificar d´onde reside la din´amica esencial del problema, sin introducir hip´otesis adicionales ni pretender una resoluci´on de la conjetura. 2. La tabla columnar de los n´umeros naturales (estructura) Todo entero positivo puede escribirse de forma ´unica como n=m2k, donde mes impar y k≥0. Esta descomposici´on se visualiza de manera natural mediante una tabla columnar en la que cada columna corresponde a una ra´ız impar my contiene los valores m, 2m, 4m, 8m, . . . hasta un l´ımite prefijado. La construcci´on de la tabla es puramente local: al recorrer los naturales en orden, cada nuevo n´umero se coloca debajo de su mitad si esta existe, y en caso contrario se inicia una nueva 1 columna. La estructura resultante coincide con la forma columnar del ´arbol binario completo subyacente a cualquier binary heap, en el sentido puramente estructural. Esta disposici´on no introduce ninguna estructura adicional, sino que hace expl´ıcita la descomposici´on natural de los enteros seg´un su n´ucleo impar y su potencia de 2. Comentario. La disposici´on columnar utilizada en este trabajo hace expl´ıcita la descomposici´on 2-´adica n=m2ky, por tanto, est´a emparentada con representaciones est´andar en aritm´etica 2-´adica y con ´arboles binarios generados por las operaciones de duplicaci´on y bisecci´on. La contribuci´on aqu´ı no reside en la novedad de dicha partici´on de N, sino en su uso como escenario estructural para la din´amica de Collatz: las divisiones por 2se traducen en movimientos verticales dentro de una columna, mientras que los pasos impares inducen cambios de columna bien definidos. Esta separaci´on permite describir cualquier trayectoria como una concatenaci´on de descensos deterministas y desplazamientos horizontales, sin introducir hip´otesis adicionales. 3. Construcci´on progresiva de la tabla La disposici´on propuesta no se define como una tabla rectangular de tama˜no prefijado. Por el contrario, se construye de forma local y progresiva recorriendo los n´umeros naturales en orden creciente. El procedimiento es el siguiente: Se comienza escribiendo el n´umero 1 en la fila superior. Para cada nuevo n´umero n≥2: •si nes par, se coloca directamente debajo de n/2; •si nes impar, se inicia una nueva columna a la derecha. Este proceso determina de manera un´ıvoca la posici´on de cada entero positivo sin necesidad de reordenamientos posteriores. Aplicando estas reglas de forma secuencial se obtiene la siguiente tabla hasta n= 41: ´ındices de columna j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 · · · 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 · · · 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 4 12 20 28 36 8 24 40 16 32 . . . Cada columna corresponde a una sucesi´on de multiplicaciones por 2 a partir de un impar, que act´ua como ra´ız de dicha columna. Los puntos suspensivos indican que la construcci´on se extiende indefinidamente en anchura, al aparecer nuevos impares. Asimismo, la extensi´on vertical refleja la aparici´on de potencias de 2 cada vez mayores. En las secciones siguientes se mostrar´a c´omo la din´amica de Collatz se descompone naturalmente sobre esta estructura. 2 4. Estructura resultante La estructura obtenida no es una tabla rectangular de tama˜no prefijado. Su anchura crece cada vez que aparece un nuevo impar, que inicia una nueva columna, y su altura crece ´unicamente cuando en la construcci´on aparece un n´umero con una potencia de 2 mayor que las ya representadas. Columnas (cadenas de mitades) Cada columna est´a formada por una cadena vertical obtenida mediante divisiones sucesivas por 2. En particular, si una columna comienza en un impar m, entonces sus entradas (hasta el l´ımite de construcci´on considerado) son m, 2m, 4m, 8m, . . . y cada elemento 2kmse coloca directamente debajo de 2k−1m. Esta disposici´on hace expl´ıcita la descomposici´on ´unica de cada entero positivo en la forma n=m2k, con mimpar y k≥0. Filas (misma altura 2-´adica) Cada fila corresponde a una altura 2-´adica fija k≥0 y contiene precisamente los n´umeros cuyo exponente 2-´adico es k, es decir, los enteros de la forma 2km, m impar. En consecuencia, la primera fila (k= 0) contiene los impares; la siguiente (k= 1) contiene los pares que no son m´ultiplos de 4; la fila k= 2 contiene los m´ultiplos de 4 que no son m´ultiplos de 8, y as´ı sucesivamente. Al construir la tabla hasta un m´aximo N, la fila ktiene longitud finita y contiene exactamente los valores 2km≤Ncon mimpar. Por ello, las filas no tienen longitud constante y la figura resultante crece de manera no uniforme tanto en anchura como en altura conforme aumenta N. 5. Cobertura completa de los n´umeros naturales Teorema 5.1 (Descomposici´on ´unica por columnas).Todo entero positivo n≥1aparece exactamente una vez en la disposici´on construida. En particular, cada nse sit´ua en la columna correspondiente a su factor impar y a una altura determinada por su potencia de 2. Demostraci´on. Todo entero positivo admite una descomposici´on ´unica n=m2k, donde mes impar y k≥0. El procedimiento de construcci´on coloca ndebajo de n/2 tantas veces como sea posible, hasta alcanzar su n´ucleo impar m, que inicia la columna correspondiente. La unicidad de la descomposici´on garantiza que nno puede aparecer en ninguna otra posici´on. 6. Din´amica de las iteraciones en la tabla columnar La tabla columnar definida en las secciones anteriores no es ´unicamente un dispositivo de clasificaci´on de los n´umeros naturales, sino un escenario natural para representar de forma expl´ıcita la din´amica de las iteraciones de Collatz. En este marco, cada transformaci´on elemental de la funci´on se traduce en un movimiento bien definido dentro de la tabla, lo que permite separar con claridad los distintos mecanismos que intervienen en la trayectoria de una secuencia. 3 6.1. Separaci´on funcional de impares y pares La funci´on de Collatz act´ua de manera diferenciada seg´un la paridad del entero considerado. En particular, para un impar mla transformaci´on 3m+1 produce necesariamente un n´umero par, mientras que los pares evolucionan mediante divisiones sucesivas entre 2. En la tabla columnar resulta natural distinguir estos dos papeles funcionales. Los impares de la forma m≡3 (m´od 6), esto es, m= 6r+ 3, generan al aplicar 3m+ 1 los pares 3m+ 1 = 6r+ 4, que act´uan como receptores inmediatos de la iteraci´on impar. Esta distinci´on permite identificar visualmente qu´e pares proceden directamente de una operaci´on 3m+ 1 y cu´ales aparecen ´unicamente como resultado de divisiones por potencias de 2. Esta distinci´on funcional se ilustra visualmente en la Figura 3 del Ap´endice. De este modo, la tabla no solo organiza los n´umeros por su descomposici´on 2-´adica, sino que hace expl´ıcita la funci´on din´amica que desempe˜nan en el proceso iterativo. 6.2. Movimiento vertical: divisiones por potencias de 2 Las divisiones por 2 corresponden en la tabla a desplazamientos estrictamente verticales dentro de una misma columna. Dado un entero n=m2k, cada divisi´on por 2 reduce el exponente ken una unidad, manteniendo fijo el n´ucleo impar m. Este movimiento vertical es siempre descendente y conduce, tras un n´umero finito de pasos, al impar asociado a la columna. En particular, todas las trayectorias verticales est´an controladas por la primera columna, correspondiente a las potencias de 2, que act´ua como regulador global del crecimiento vertical de la tabla. 6.3. Movimiento horizontal: multiplicaci´on por 3en los impares La aplicaci´on del operador m7→ 3msobre un impar produce un desplazamiento de naturaleza distinta. Si un impar se encuentra situado en la columna indexada por j, el impar resultante 3maparece en la columna indexada por m+j. Por ejemplo, m= 9 est´a en la columna j= 4 y 3m= 27 aparece en la columna j′= 13, verific´andose j′=m+j(pues 4 + 9 = 13). Es decir, la multiplicaci´on por 3 induce un desplazamiento horizontal aditivo entre columnas. Este tipo de desplazamientos horizontales puede observarse de forma expl´ıcita en una trayectoria concreta representada en la Figura 1 del Ap´endice. Este comportamiento es una consecuencia directa de la descomposici´on ´unica n=m2ky no introduce ninguna estructura adicional en la tabla. La operaci´on 3mno dispersa los valores de forma arbitraria, sino que traslada la trayectoria de una columna a otra de manera perfectamente determinada. 6.4. Lectura din´amica global Desde esta perspectiva, la din´amica de Collatz puede interpretarse como una alternancia de dos tipos de movimientos elementales: desplazamientos horizontales finitos, inducidos por la multiplicaci´on por 3 en los pasos impares; descensos verticales forzados, producidos por las divisiones sucesivas entre 2. La trayectoria de cualquier secuencia queda as´ı completamente contenida en la tabla columnar, sin posibilidad de escapar de ella. La tabla act´ua como un escenario global en el que la 4 din´amica se representa de forma expl´ıcita, separando con claridad los mecanismos de expansi´on horizontal y de contracci´on vertical que caracterizan el comportamiento de las iteraciones de Collatz. Un ejemplo sencillo de esta lectura global se muestra en la Figura 2 del Ap´endice. 7. Conclusiones En este escrito se ha introducido una disposici´on columnar de los n´umeros naturales basada en su descomposici´on 2-´adica, construida de forma local y progresiva, que particiona Nde manera completa y sin solapamientos. Cada entero aparece exactamente una vez, determinado por su n´ucleo impar y su potencia de 2, sin imponer ninguna estructura adicional sobre el conjunto de los naturales. Una vez fijado este escenario, se ha mostrado que la din´amica de Collatz puede leerse de forma natural sobre la tabla resultante. Las divisiones por 2 corresponden a desplazamientos verticales dentro de una misma columna, mientras que los pasos impares inducen cambios de columna bien definidos. Esta representaci´on permite separar con claridad los mecanismos deterministas asociados a factores de 2 de los desplazamientos horizontales producidos por la operaci´on 3m+1. El enfoque presentado no pretende aportar una demostraci´on de la conjetura de Collatz, sino proporcionar un marco estructural limpio y completo para la representaci´on de sus trayectorias. Al hacer expl´ıcita la geometr´ıa subyacente de las iteraciones, la tabla columnar clarifica d´onde reside la complejidad del problema y ofrece un escenario com´un para el an´alisis y la comparaci´on de distintos enfoques din´amicos. A. Ejemplos ilustrativos en la tabla columnar Este ap´endice recoge algunos ejemplos visuales destinados a ilustrar la lectura de trayectorias de Collatz sobre la tabla columnar introducida en el cuerpo del trabajo. Las figuras no aportan resultados adicionales, sino que muestran de forma expl´ıcita los mecanismos descritos previamente: descensos verticales asociados a divisiones por 2 y desplazamientos horizontales inducidos por los pasos impares. A. Trayectoria general con desplazamientos verticales y horizontales Figura 1: Ejemplo de trayectoria de una secuencia de Collatz representada en la tabla columnar, iniciada en 68. Los desplazamientos verticales corresponden a divisiones sucesivas por 2 dentro de una misma columna, mientras que los pasos impares inducen desplazamientos horizontales entre columnas. La figura ilustra la lectura geom´etrica de la trayectoria como una concatenaci´on de ambos tipos de movimientos. Esta representaci´on permite distinguir visualmente los mecanismos deterministas asociados a factores de 2 de los cambios de columna producidos por la operaci´on 3n+ 1, tal como se describe en la Secci´on 6. 5 B. Ejemplo cl´asico: trayectoria de la secuencia iniciada en 17 Figura 2: Trayectoria de la secuencia de Collatz iniciada en 17 representada sobre la tabla columnar. El ejemplo muestra un desplazamiento horizontal pronunciado seguido de descensos verticales r´apidos, lo que permite identificar la estructura global de la trayectoria. El caso de 17 es especialmente ilustrativo por la brevedad de la secuencia y por hacer visible la alternancia entre saltos horizontales y ca´ıdas verticales hasta alcanzar columnas de ´ındice reducido. C. Pares obtenidos tras la aplicaci´on de la operaci´on 3m+ 1 Figura 3: Distribuci´on de los valores pares obtenidos al aplicar la operaci´on 3m+ 1 a n´umeros impares. Los valores resaltados corresponden a pares que act´uan como receptores inmediatos de los pasos impares antes de las divisiones sucesivas por 2. Esta figura ilustra que los pares generados por la operaci´on 3m+1 no se distribuyen de forma arbitraria en la tabla, sino que ocupan posiciones estructuradas que pueden identificarse visualmente. Este hecho refuerza la separaci´on funcional entre pares procedentes de pasos impares y aquellos que aparecen ´unicamente como resultado de divisiones por potencias de 2. 6 B. Observaciones estructurales sobre ciclos Lema B.1 (Los ciclos no triviales implican varias columnas).Consid´erese la din´amica de Collatz proyectada sobre la tabla columnar. Si existe un ciclo distinto del ciclo cl´asico 1→4→2→1, entonces dicho ciclo contiene al menos dos impares distintos y, por tanto, visita al menos dos columnas distintas de la tabla. Demostraci´on. En cualquier ciclo de la iteraci´on de Collatz aparece al menos un impar, pues si todos los t´erminos fueran pares la din´amica ser´ıa estrictamente decreciente por divisiones sucesivas entre 2 y no podr´ıa cerrarse en un ciclo. Sea mun impar perteneciente a un ciclo. Si el ciclo contuviera un ´unico impar, ese impar deber´ıa reproducirse tras un paso impar y la subsiguiente cadena de divisiones por 2, es decir, tras aplicar 3m+ 1 y dividir sucesivamente entre 2 hasta volver a un impar, se obtendr´ıa de nuevo el mismo m. Esto implica 3m+1=m2s para alg´un s≥1, y por tanto m=1 2s−3, lo que fuerza s=2ym= 1. As´ı, el ´unico ciclo con un solo impar es el ciclo cl´asico. Por tanto, cualquier ciclo distinto del cl´asico debe contener al menos dos impares distintos. Como en la tabla columnar cada impar determina una columna (su n´ucleo impar), la trayectoria c´ıclica visita necesariamente al menos dos columnas distintas. 7