ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ ГРАНЕЙ В ГРАНЕВО СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ISSN: 2181-3906 2025 International scientific journal «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» VOLUME 4 / ISSUE 12 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 575 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ ГРАНЕЙ В ГРАНЕВО СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С.Ж.Тлеумуратов Нукусский государственный технический университет. https://doi.org/10.5281/zenodo.17973018 Аннотация. В данной работе, введено понятие связанности через симметрию и эквивалентность симметричных граней в гранево симметричных пространств, и исследованы некоторые их свойства. Ключевые слова: гранево симметричное пространства, связанности через симметрию симметричных граней, эквивалентность симметричных граней. TOMONIY SIMMETRIK FAZOLARDA SIMMETRIK TOMONLARNING EKVIVALENTLIGI Annotatsiya. Ushbu ishda simmetriya va simmetrik yoqlarning ekvivalentligi orqali bog‘liqlik tushunchasi kiritilgan va ularning ba’zi xossalari o‘rganilgan. Kalit sozlar: Tomoniy simmetrik fazo, simmetrik tomonlari simmetrik orqali bog‘lanishlar, simmetrik tomonlarning ekvivalentligi. EQUIVALENCE OF SYMMETRIC FACES IN A FACIALLY SYMMETRIC SPACE Abstract. In this work, the concept of symmetry and equivalence of symmetric faces in facially symmetric spaces is introduced, and some of their properties are investigated. Keywords: facially symmetric space, connections through symmetry of symmetric faces, equivalence of symmetric faces. В йордановых операторных алгебрах и в алгебрах фон Неймана есть понятие эквивалентности проекторов. Для спектральных и симметричных множеств в работе [1], рассматриваются эквивалентность проективных граней. Все эти понятия эквивалентности для каждого пространства вводятся разными способами. Напомним понятия эквивалентности проективных граней для спектральных и симметричных множеств, которые изучены в работах [1-2]. Пусть K - выпуклое множество в некотором локально выпуклом хаусдорофом пространстве V . Через A обозначим пространство всех ограниченных аффинных функций на K с поточечным порядком. Если в качестве порядковой единицы e взять функцию, тождественно равную 1 на K , то   eA, является пространством с порядковой единицей. При этом, не ограничивая общности, можно предполагать, что K вложено в V ; тогда   KV, является пространством с базовой нормой, находящейся в отделимой порядковой и нормированной двойственности с пространством с порядковой единицей   eA, и  VA . Определение 1 [1]. Положительное проекционное отображение AAR : c единичной нормой назовем P - проектором, если существует единственное положительное проекционное отображение AAR  : с единичной нормой такое, что RRim   ker ,   RRim ker , RimR  ker ,   RimRker ISSN: 2181-3906 2025 International scientific journal «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» VOLUME 4 / ISSUE 12 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 576 где  R - сопряженное к R отображение, т.е. AAR  : и       RaRa для Aa , V  . Обозначим через  множество всех P - проекторов в A . Для QR, положим QR  ; если imQimR  , то тем самым введем частичный порядок в  . Очевидно, IR 0 , где 0 - нулевое, I - тождественное отображения. В пространстве A элементы вида Reu , R , называются проективными единицами, их совокупность обозначим через  . Грань G называется выставленной, если    0:   aKG для некоторого Aa . Если при этом a , т.е. Rea для некоторого P - проектора R , то грань G называется проективной. Другими словами, проективные грани – это грани вида R FKRimG  , R . Через  обозначим множество всех проективных граней K . Выпуклое множество K называется проективным, если всякая его выставленная грань проективна. Проективное выпуклое множество K называется спектральным, если любой элемент Aa представляется единственным образом в виде   aaa , где   Aaa , и  aa . Приведем примеры спектральных выпуклых множеств. Пример 1 [2]. Пусть 1 K - выпуклое множество, причем экваториальное сечение этого множества является треугольником. Непосредственно проверяется, что 1 K является спектральным выпуклым множеством. Пример 2 [2]. Пусть 2 K - единичный шар в    pLp1 ; 2 K является спектральным множеством. Определение 2 [1]. Выпуклое множество K назовем симметричным, если SSP , т.е.   02    IPPSP для любого P . Проективные грани GF, называются связанными через симметрию в K , если существует такая симметрия   02    IPPSP , что   GFSP  (обозначим GF 1 ~ ). Очевидно, что это отношение рефлексивно, симметрично, но, вообще говоря, не транзитивно. Проективное грани F и G называются эквивалентными, если существует конечное число симметрий  12 ,,..., PPP SSS n таких, что   GFSSS PPPn  12 ... (обозначим GF ~ ). Теперь аналогичное понятия эквивалентности граней введем в гранево симметричных банаховых пространствах. Пусть Z является слабо гранево симметричным пространством. Симметричные грани F и G из 1 Z называются связанными через симметрию в Z , если существует такая симметрия u S на Z , что u S F G , где u GU (обозначим GF 1 ~ ). Очевидно, что это отношение рефлексивно, симметрично, но, вообще говоря, не транзитивно. Симметричные грани F и G называются эквивалентными, если существует конечное число симметрий ISSN: 2181-3906 2025 International scientific journal «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» VOLUME 4 / ISSUE 12 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 577 1 2 k u u u S ,S ,...,S , i (u GU ) таких, что 1 2 k u u u S S ...S ( F ) G (обозначим GF ~ ). Ясно, что из GF 1 ~ следует, что GF ~ , обратное утверждение доказано в следующем предложении. Определение 3. Говорят, что WFS - пространство удовлетворяет условию (“совместного Пирсовского разложения”) (JP), если для любой пары vu, взаимно ортогональных геометрических трипотентов выполняется равенство vuvu SSS   . Предложение 1. Пусть Z является слабо гранево симметричным пространством с условием (JP). Если геометрические трипотенты соответствующих симметрий взаимно ортогональны, то GF ~ тогда и только тогда, когда GF 1 ~ в Z . Доказательство. Пусть Z - слабо гранево симметричное пространство с условием (JP). Тогда достаточно показать, что из GF ~ следует, что GF 1 ~ в Z . Если геометрические трипотенты соответствующих симметрий взаимно ортогональны, тогда из леммы 2 следует, что n1 in i1 uu        , где   n 2,3,...,k . В силу [4.леммы 1] следует, что k i i1 u u GU    и из условия (JP) имеем, 1 2 k 1 2 k u u u u u ... u u S S ...S ( F ) S ( F ) S ( F ) G       , т.е. GF 1 ~ . Предложение доказано. В сопряженном пространстве u и v называются связанными через симметрию в Z , если существует такая симметрия, что * w S u v , где u,v,w GU (обозначим vu 1 ~ ). Лемма 1. Если Z является слабо гранево симметричным пространством, то GF 1 ~ в Z тогда и только тогда, когда GF vv 1 ~ в Z . Доказательство. Необходимость. Пусть Z - слабо гранево симметричное пространство и GF 1 ~ в Z , т.е. u S F G для некоторой симметрии u S соответствующей u GU . В силу [4.леммы 2] имеем, что 1 u * u F G S ( F ) S v v v   . Следовательно, GF vv 1 ~ . Достаточность. Пусть GF vv 1 ~ , т.е. * u F G S v v . В силу [4.леммы 2] имеем, что *G uF 1 uv Sv S (F ) F F G    т.е., u S F G . Следовательно, GF 1 ~ . Лемма доказана. В сопряженном пространстве * Z элементы u и v называются эквивалентными, если существует конечное число симметрий 1 2 k S ,S ,...,S    ,   kGU таких, что 1 2 k S S ...S (u ) v     , где u,v GU (обозначим vu ~ ). Из предложения 1 и леммы 1 следует следующее следствие. Следствие 2. Пусть Z является слабо гранево симметричным пространством, с условием (JP). Если геометрические трипотенты соответствующих симметрий взаимно ортогональны, то vu ~ тогда и только тогда, когда vu 1 ~ в Z . В следующей теореме доказано, что условие (STP) и gf 1 ~ для всех 1 f ,g extZ эквивалентны. ISSN: 2181-3906 2025 International scientific journal «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» VOLUME 4 / ISSUE 12 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 578 Теорема 2. Вещественное сильно гранево симметричное пространство Z ранга 1 с условием MI , удовлетворяет условию (STP) тогда и только тогда, когда gf 1 ~ для всех   1 f ,g extZ , f g . Доказательство. Необходимость. Пусть Z - вещественное сильно гранево симметричное пространство и для всякого   1 f ,g extZ , f g , положим, fg   . Так как Z изоморфно гильбертовому пространству, то норму определим через полуторалинейную форму, т.е.     12 f f ,v f . То                 2f g, f g f , f f ,g g, f g,g f v f f v g g v f g v g            Отсюда из условия (STP) и учитывая, что         f v f g v g 1 , имеем, что       22 1 f v g   . Поскольку Z - пространство ранга 1, то 0 P(u ) 0 . Пусть f g f g hfg    и u v(h) . Тогда         u 2 2 S f 2P u I f 2P u f f 2 f u h f      . Так как   h f g /   ,       u v f v g / 2 и       2 21 f v g 1  , то                     u22 22 S f f v f f v g f g f 1 f v g f g f g          , т.е. u S f g . Это означает, что gf 1 ~ . Достаточность. Пусть Z является сильно гранево симметричным пространством и gf 1 ~ , для всех 1 f ,g extZ т.е., u S f g . Тогда по [5.леммa 2] следует * u S v( f ) v( g ) в * Z . Поскольку Z вещественно, то               * uu g v f g,v f S f ,v f f ,S v( f ) f ,v g f v g     , т.е. выполняется условие (STP). В случае, когда fg , имеем                 f v g f ,v g f ,v f 1 g,v g g,v f g v f         . Это показывает, что выполняется условие (STP). Теорема доказана. ISSN: 2181-3906 2025 International scientific journal «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» VOLUME 4 / ISSUE 12 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 579 ЛИТЕРАТУРА 1. Аюпов Ш.А., Иокум В., Ядгоров Н.Ж. Геометрия пространств состояний конечномерных йордановых алгебр // Известия АН УзССР Серия физ.-мат. наук. – 1990 . – № 3. – C. 19-23. 2. Аюпов Ш.А., Ядгоров Н.Ж. Геометрия пространства состояний модулярных йордановых алгебр // Известия РАН. – 1993. – №6 (57). – C. 199-211. 3. Friedman Y. and Russo B. Structure of the predual of a JBW - triple // J. Reine. Angew. Math. – 1985. – (356). – P. 67-89. 4. Friedman Y. and Russo B. A Geometric spectral theorem // Quart. J. Math. Oxford. – 1986. – № 2 (37). – P. 263-277. 5. Friedman Y. and Russo B. Affine structure of facially symmetric spaces // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. – 1989. – (106). – P. 107-124.