Un puzle aritmético con cierre en impares

Un puzle aritmético con cierre en impares Miguel Cerdá Bennassar Diciembre de 2025 Resumen Se presenta un experimento aritmético basado en la reorganización local de los números naturales en una tabla de tres filas. Mediante una regla elemental de unificación entre columnas, el sistema induce la eliminación sistemática de ciertos índices, la transferencia conservativa de valores y un cierre finito de todas las columnas supervivientes. A diferencia de otros enfoques, las propiedades globales observadas emergen sin iterar ninguna función ni aplicar reglas dinámicas, sino únicamente a partir de un encaje combinatorio entre expresiones afines. 1. Introducción En este trabajo se presenta un experimento aritmético basado en la reorganización local de los números naturales. No se estudia la iteración de ninguna función ni se generan trayectorias numéricas. El procedimiento consiste únicamente en disponer los números en una tabla finita y aplicar una regla elemental de encaje entre columnas. La construcción parte de expresiones afines simples relacionadas con los factores 2y3. A partir de ellas se introduce una regla de unificación que permite eliminar ciertas columnas y transferir sus valores a otras, sin pérdida de información. El interés del experimento radica en que, pese a la simplicidad de la regla, el sistema resultante presenta propiedades globales bien definidas: eliminación sistemática de índices, crecimiento controlado de las columnas y cierre finito inevitable. Este enfoque se sitúa deliberadamente fuera del marco habitual de los sistemas dinámicos discretos. No se recurre a iteraciones, probabilidades ni estimaciones asintóticas, sino a una reorganización puramente combinatoria del conjunto de los naturales. La estructura que emerge es completamente determinada por la regla local de encaje. 2. Construcción de la tabla Se fija un entero positivo máximo K. La tabla se construye con tres filas y Kcolumnas, indexadas por k= 1,2, . . . , K. Fila 1: el índice de la columna, k. Fila 2: el par asociado, 2k. Fila 3: la suma de las dos filas anteriores, 3k=k+ 2k. 1 Cada columna queda así determinada por el triple k, 2k, 3k. En esta fase inicial no se elimina ni se modifica ninguna columna. La tabla es puramente descriptiva. 3. Regla de unificación de columnas Se introduce ahora una regla local que permite unificar columnas entre sí. La regla solo involucra los valores de las filas 2 y 3. Regla de unificación. Si el valor de la fila 2 de una columna jcoincide con el valor de la fila 3 (o con un valor previamente añadido a su cola) de otra columna i, es decir, 2j= 3i, entonces la columna jse elimina y su valor 3jse añade a la columna iinmediatamente después del valor coincidente. La ecuación de encaje es idéntica a la del puzle anterior: 2j= 3i, por lo que solo puede darse cuando jes múltiplo de 3eies múltiplo de 2. La unificación no destruye información: los valores de las columnas eliminadas no desaparecen, sino que se transfieren íntegramente a otras columnas. El procedimiento puede repetirse de forma iterativa mientras existan nuevos encajes posibles. Cuadro 1: Cuadrícula base y tabla unificada del puzle con cierre en impares para k= 1,...,20. Cuadrícula base (sin unificar) k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2k2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 3k3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 Tabla unificada (solo columnas vivas) k1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 2k2 4 8 10 14 16 20 22 26 28 32 34 38 40 3k3 6 12 15 21 24 30 33 39 42 48 51 57 60 Cola+1 9 18 36 45 Cola+2 27 54 4. Tipos de columnas La regla de unificación induce la misma clasificación aritmética de columnas que en el puzle anterior: Columnas eliminadas: aquellas con 3|k. Columnas vivas: aquellas con 3∤k. 2 Columnas con doble rol: los múltiplos de 6, que pueden recibir carga antes de ser eliminados. Columnas estáticas: las columnas con kimpar, que no pueden recibir carga. La diferencia fundamental entre ambos puzles no reside en esta clasificación, sino en el tipo de valores que inducen el cierre de las columnas. 5. Dinámica interna y cierre de las columnas Las columnas vivas pueden crecer hacia abajo mediante la recepción de valores procedentes de columnas eliminadas. Cada valor añadido es de la forma 3jpara algún j. En este puzle, los valores de una misma columna forman una cadena multiplicativa exacta: cada nuevo término se obtiene multiplicando el anterior por el factor 3 2. En términos de factorización prima, si un término es de la forma 2α3β, el siguiente término de la columna es 2α−13β+1. Como consecuencia, el exponente de 2disminuye estrictamente en cada paso, mientras que el de 3aumenta en la misma proporción. Tras un número finito de pasos, el exponente de 2se anula y el término se vuelve impar. Dado que el disparador de la unificación es un valor par de la forma 2k, una columna cuyo extremo inferior es impar queda definitivamente cerrada. Así, toda columna viva se cierra inevitablemente en un número impar. 6. Universo de números presentes Para un valor máximo K, los valores que aparecen en la tabla unificada pertenecen al conjunto de los números de la forma 2α3β, con α, β ≥0y acotados por el rango inicial. Todos los números pares hasta 2Kaparecen en la tabla, ya sea como valores iniciales de la fila 2 o como valores trasladados a las colas. Los números impares que aparecen corresponden exclusivamente a potencias de 3, que actúan como cierres finales de las columnas. 7. Comentario final Este segundo puzle revela una mecánica distinta pero complementaria al caso de cierre en pares. Aquí, la regla de unificación aísla una dinámica multiplicativa exacta gobernada por el cociente 3 2, en la que los factores de 2y3se intercambian de forma sistemática hasta producir un cierre inevitable en impares. El interés del experimento reside en que esta estructura emerge sin recurrir a iteraciones funcionales, sino únicamente mediante una reorganización local y conservativa de los números naturales. 3 8. Lectura estructural del puzle El presente trabajo no constituye una demostración de ningún resultado conocido, ni pretende modelizar la dinámica de ningún proceso iterativo clásico. El puzle descrito debe entenderse como un objeto aritmético autónomo, definido exclusivamente por una regla de reorganización local. La mecánica del sistema impone restricciones estructurales inevitables, que emergen sin recurrir a iteraciones funcionales ni a argumentos probabilísticos. En este caso, la regla de unificación induce una dinámica interna exacta, gobernada por el cociente 3 2. De manera precisa, el puzle fuerza: una eliminación exacta de todas las columnas con índice múltiplo de 3; un flujo conservativo de valores entre columnas; la ausencia de ciclos en el proceso de transferencia; un cierre finito inevitable de todas las columnas supervivientes, que se produce cuando el último término de la columna es impar; una estructura multiplicativa rígida, en la que cada nuevo término se obtiene multiplicando el anterior por 3 2, intercambiando sistemáticamente factores de 2por factores de 3. Desde esta perspectiva, el interés del puzle no está en la generación de secuencias, sino en las restricciones que la regla impone. El sistema no permite crecimiento indefinido ni recombinaciones arbitrarias: toda columna evoluciona de manera finita y se cierra necesariamente. Esta lectura revela una organización aritmética simple pero rígida, en la que la tensión entre los factores 2y3aparece aislada, sin interferencias dinámicas externas. 4