Un puzle aritmético con cierre en pares

Un puzle aritmético con cierre en pares Miguel Cerdá Bennassar Diciembre de 2025 Resumen Se presenta un experimento aritmético basado en la reorganización local de los números naturales en una tabla de tres filas. A partir de una regla elemental de unificación entre columnas, el sistema induce la eliminación sistemática de ciertos índices, la transferencia conservativa de valores y un cierre finito de todas las columnas supervivientes. El interés del puzle reside en que estas propiedades emergen sin iterar ninguna función ni aplicar reglas dinámicas, sino únicamente a partir de un encaje combinatorio entre expresiones afines. 1. Introducción En este trabajo se presenta un experimento aritmético basado en la reorganización local de los números naturales. No se estudia la iteración de ninguna función ni se generan trayectorias numéricas. El procedimiento consiste únicamente en disponer los números en una tabla finita y aplicar una regla elemental de encaje entre columnas. La construcción parte de expresiones afines simples relacionadas con los factores 2y3. A partir de ellas se introduce una regla de unificación que permite eliminar ciertas columnas y transferir sus valores a otras, sin pérdida de información. El interés del experimento radica en que, pese a la simplicidad de la regla, el sistema resultante presenta propiedades globales bien definidas: eliminación sistemática de índices, crecimiento controlado de las columnas y cierre finito inevitable. Este enfoque se sitúa deliberadamente fuera del marco habitual de los sistemas dinámicos discretos. No se recurre a iteraciones, probabilidades ni estimaciones asintóticas, sino a una reorganización puramente combinatoria del conjunto de los naturales. La estructura que emerge es completamente determinada por la regla local de encaje. Solo en una etapa posterior, y a título comparativo, algunas de las propiedades observadas recuerdan rasgos conocidos de dinámicas aritméticas relacionadas con los factores 2y3. No obstante, el objeto central del trabajo es el propio puzle y su mecánica interna, independientemente de cualquier interpretación externa. 2. Construcción de la tabla Se fija un entero positivo máximo K. La tabla se construye con tres filas y Kcolumnas, indexadas por k= 1,2, . . . , K. Fila 1: el índice de la columna, k. Fila 2: el impar asociado, 2k−1. 1 Fila 3: la suma de las dos filas anteriores, 3k−1 = k+ (2k−1). Cada columna queda así determinada por el triple k, 2k−1,3k−1. En esta fase inicial no se elimina ni se modifica ninguna columna. La tabla es puramente descriptiva. 3. Regla de unificación de columnas Se introduce ahora una regla local que permite unificar columnas entre sí. La regla solo involucra los valores de las filas 2 y 3. Regla de unificación. Si el valor de la fila 2 de una columna jcoincide con el valor de la fila 3 (o con un valor previamente añadido a su cola) de otra columna i, es decir, 2j−1 = 3i−1, entonces la columna jse elimina y su valor 3j−1se añade a la columna iinmediatamente después del valor coincidente. La ecuación de encaje es equivalente a 2j= 3i, por lo que solo puede darse cuando jes múltiplo de 3eies múltiplo de 2. La unificación no destruye información: los valores de las columnas eliminadas no desaparecen, sino que se transfieren íntegramente a otras columnas. El procedimiento puede repetirse de forma iterativa mientras existan nuevos encajes posibles. 4. Ejemplo explícito para k= 20 Un ejemplo completo del puzle descrito, tomando k= 1,...,20. Se incluyen tanto la cuadrícula base inicial como la tabla unificada resultante tras aplicar la regla de unificación. Cuadro 1: Cuadrícula base y tabla unificada del puzle con cierre en pares para k= 1,...,20. Cuadrícula base (sin unificar) k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2k−11 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 3k−12 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 Tabla unificada (solo columnas vivas) k1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 2k−11 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 3k−12 5 11 14 20 23 29 32 38 41 47 50 56 59 Cola+1 8 17 35 44 Cola+2 26 53 2 5. Tipos de columnas La regla de unificación induce una clasificación natural de las columnas según su índice k: Columnas eliminadas: aquellas con 3|k. Estas columnas siempre encuentran un encaje y desaparecen del conjunto de columnas activas. Columnas vivas: aquellas con 3∤k. Nunca se eliminan y actúan como receptoras finales de la carga. Columnas con doble rol: los múltiplos de 6. Pueden recibir valores de otras columnas antes de ser eliminadas ellas mismas. Columnas estáticas: las columnas con kimpar. No pueden recibir carga, ya que la ecuación 2j= 3kno tiene solución entera cuando kes impar. Esta clasificación es puramente aritmética y no depende del valor máximo K. 6. Crecimiento y cierre de las columnas Las columnas vivas pueden crecer hacia abajo mediante la recepción de valores procedentes de columnas eliminadas. Cada valor añadido es de la forma 3j−1para algún j. Un hecho clave es que el crecimiento de cualquier columna viva es necesariamente finito. En efecto, la recepción de nuevos valores está controlada por la cadena de índices k7−→ 3k 27−→ 32k 227−→ · · · , que solo puede mantenerse mientras los índices intermedios sean pares. Tras un número finito de pasos, el índice se vuelve impar y la cadena se interrumpe. El último valor añadido a una columna viva es siempre un número par. Como el disparador de la unificación es un valor impar de la forma 2k−1, una columna cuyo extremo inferior es par queda definitivamente cerrada. 7. Universo de números presentes Para un valor máximo K, el mayor valor que puede aparecer en la tabla es 3K−1. El conjunto de números impares presentes en la tabla unificada coincide exactamente con {n≤3K−1|nimpar y 3∤n}. Los impares múltiplos de 3nunca aparecen, mientras que todos los demás impares aparecen exactamente una vez, ya sea como valor inicial de una columna viva o como valor transferido desde una columna eliminada. 8. Comentario final El interés de este puzle no reside en la iteración de una función, sino en la estructura que emerge de una simple regla de reorganización local. Sin cálculos dinámicos ni hipótesis probabilísticas, el sistema impone una eliminación exacta, un flujo sin ciclos y un cierre finito inevitable de todas las columnas supervivientes. 3 9. Lectura estructural del puzle El presente trabajo no constituye una demostración de ningún resultado conocido, ni pretende establecer propiedades dinámicas de procesos iterativos. En particular, el puzle descrito no es una demostración de la conjetura de Collatz, ni un modelo de su dinámica. Su interés reside en otro aspecto: la mecánica de reorganización local impone una serie de restricciones estructurales inevitables sobre el conjunto de los números considerados. Estas restricciones no se deducen de estimaciones, probabilidades o iteraciones, sino que emergen directamente de la regla de encaje combinatorio. En concreto, la mecánica del puzle fuerza: una eliminación exacta de todas las columnas con índice múltiplo de 3; un flujo conservativo de valores, sin pérdida de información; la ausencia de ciclos en el proceso de transferencia; un cierre finito inevitable de todas las columnas supervivientes, que se produce cuando el extremo inferior de la columna es par; el papel estructural central del cociente 3 2como regulador del crecimiento posible de las columnas. Desde este punto de vista, el interés del puzle no está en lo que calcula, sino en lo que impide. La regla local no permite trayectorias infinitas, ni acumulaciones indefinidas, ni reapariciones cíclicas. Todo crecimiento está forzosamente acotado y conduce a un cierre definitivo. Esta lectura sitúa el puzle como un objeto aritmético autónomo, cuyo valor reside en mostrar cómo ciertas propiedades globales pueden imponerse sin recurrir a procesos dinámicos explícitos. 4