Random Walk oder Mean Reversion?

Albrecht, Peter; Kantar, Cemil Article Random Walk oder Mean Reversion? Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Albrecht, Peter; Kantar, Cemil (2004) : Random Walk oder Mean Reversion?, Kredit und Kapital, ISSN 1865-5734, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 37, Iss. 2, pp. 223-245, https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293503 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Eine statistische Analyse des Kurs/Gewinn-Verhältnisses für den deutschen Aktienmarkt Von Peter Albrecht und Cemil Kantar, Mannheim I. Einführung Der klassische wahrscheinlichkeitstheoretisch-statistische Ansatz zur Modellierung von Aktienkursen ist der (multiplikative) Random Walk.1 Bei Gültigkeit der Random-Walk-These sind die sukzessiven Periodenrenditen nicht korreliert, die weitere Kursbewegung ist „rein zufällig". Fama/French (1988), Lo/MacKinlay (1988) sowie Poterba/Summers (1988) waren die ersten Beiträge, in denen Hinweise dokumentiert wurden, dass zwar über kurze und mittlere Frist die Random-Walk-Hy- pothese für die Modellierung von Kursentwicklungen auf Aktienmärkten angemessen ist, über lange Zeithorizonte jedoch Mean-Reversion-Effekte in Aktienkurszeitreihen existieren. Mean Reversión charakterisiert dabei die Tendenz von Wertentwicklungen, nach einer zeitlich begrenzten Abweichung vom Mittelwert langfristig wieder zu diesem zurückzukehren. Damit werden Aktienkurse zumindest langfristig und bis zu einem gewissen Grad prognostizierbar. Die Ergebnisse dieser frühen Arbeiten wurden in jüngerer Zeit erhärtet durch die Beiträge von Baivers/Wu/Gilliland (2000), Campbell/Viceira (1999, 2002) sowie für den deutschen Aktienmarkt aktuell von Eberts (2003). Das Ziel der vorliegenden Ausarbeitung ist es nun, weitere Erkenntnisse über die Existenz von Mean-Reversion-Effekten auf dem Deutschen Aktienmarkt, repräsentiert durch den Aktienindex DAX, zu gewinnen. Im Unterschied zu der bisherigen Vorgehens weise, bei der die Analysen auf der reinen Kurs- bzw. Renditeebene durchgeführt wurden, i Vgl. hierzu etwa Albrecht ¡Maurer (2002, §§ 4.2.2, 4.3.3) sowie Campbell ¡hol MacKinlay (1997, § 2.1). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 224 Peter Albrecht und Cernii Kantar steht in der vorliegenden Ausarbeitung jedoch eine Fundamentalanalyse auf der Basis der Entwicklung des Kurs/Gewinn-Verhältnisses im Vordergrund. Eine Analyse auf der KGV-Ebene ist aus unserer Sicht zu präferieren, denn die Kursbildung auf Aktienmärkten ist notwendigerweise in einem ökonomischen Kontext zu sehen. Sie ist das Ergebnis einer ökonomischen Bewertung und wird zentral beeinflusst durch die Gewinnentwicklung der jeweils betrachteten Unternehmen. Die so gewählte Vorgehensweise knüpft an an die Ergebnisse in Albrecht (2001), der auf der Basis einer fundamentalen Analyse für den Deutschen Aktienmarkt zu dem Schluss kam, dass die Random-Walk-Hypothese über längere Zeiträume nicht aufrechterhalten werden kann. Eine entsprechende Untermauerung dieser Erkenntnis auf statistisch-ökonometrischer Basis stand bisher jedoch noch aus und soll nun im Rahmen der vorliegenden Arbeit in Angriff genommen werden. II. Modellbildung Bezeichnet man mit Vt die (diskrete) zeitliche Entwicklung der interessierenden Variablen, gemessen zu den Zeitpunkten t = 0,1,2,..., so besitzt das Grundmodell2 eines (arithmetischen) Random Walks mit Drift die Charakterisierung (i = 1,2,3,...) (la) A Vt:= Vt-Vf_i=m + Zf, wobei weiterhin gilt: (lb) E{Zt) = 0, Var(Zt) = o2, Cov(Zt,Zt_x) = 0. Die absoluten Wertveränderungen3 (Zuwächse) über eine Periode (Monat, Jahr) lassen sich somit durch eine zeitlich konstante Komponente, quantifiziert durch den so genannten Driftparameter m, beschreiben, die durch einen Zufallsprozess {Zt} überlagert wird. Die Forderung (lb) besagt, dass diese zufälligen Überlagerungen einen so genannten White-Noise-Prozess darstellen. Die Zufallsgrößen Zt(t> 1) sind unkorreliert und identisch verteilt mit einem Erwartungswert von Null und einer in der Zeit konstanten Varianz. Insbesondere sind damit auch die 2 Vgl. hierzu etwa Albrecht/Maurer (2002, S. 140 ff.). 3 Bei der Anwendung dieser Modellbildung auf Aktienkurse entspricht dabei Vt standardmäßig den logarithmierten Aktienkursen bzw. AVt der zeitstetigen Periodenrendite. Äquivalent hierzu ist das Modell eines multiplikativen Random Walks, vgl. etwa Albrecht ¡Maurer (2002, S. 141). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 225 Wertveränderungen (Renditen4) AVt = Vt- Vt-i des Prozesses für aufeinander folgende Perioden nicht korreliert. Vergangene und zukünftige Wertveränderungen besitzen somit keine systematischen (linearen) Abhängigkeiten. Die üblichen linearen Prognosetechniken auf der Basis von Vergangenheitswerten sind somit nicht geeignet für Random Walks. In expliziter Form besitzt der Random Walk die Darstellung (2) Vt = v0 + mt + Zi + ... + Zf. Die zufällige Abweichung von dem dem Grunde nach linearen Trend entsteht somit im Zeitablauf durch eine Akkumulation der einzelnen Fehler (Schocks). Diese mögliche „Aufschaukelung" der Fehler führt dazu, dass die Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend dem Grunde nach „beliebig groß" werden können. Insofern ist die erwartete Entwicklung E(Vt) =Vo + mt keine zuverlässige Prognose für die sich künftig realisierende Entwicklung. Das Random-Walk-Modell beinhaltet daher im Kern eine Nicht-Prognostizierbarkeit der künftigen Wertveränderungen. Shiller/Perron (1985, S. 381) charakterisieren diese Random Walk-Ei- genschaft folgendermaßen: „In the finance context, the random walk null hypothesis means that price pt can never be described as „too high" (i.e., that it can be expected to fall in the future) or „too low" (i.e., that it can be expected to rise in the future)." In alternativer Form wird dies ausgedrückt5 durch die Angabe der besten (im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers) Prognose. Es gilt beim Random Walk t (3) E(Vt+s\Vt, Vt_l5..., V0) = vo + m(t + s) + £Z{. i=1 Jeder vergangene Schock hat damit Auswirkungen auf alle zukünftigen Werte. Die Form der zufälligen Überlagerungen der Gesamtentwicklung Vt des Prozesses ist beim Random Walk nichtstationär, da die Überlagerung Zi + ... + Zt instationär (in den Parametern) ist. Durch Differenzenbildung, d.h. durch den Übergang zu den Zuwächsen gemäß (la), 4 Im vorliegenden Fall ist dies eine absolute Rendite im Sinne eines absoluten Wertzuwachses, gleiches gilt aber für die relative Variante (Vt - Vt_i)/Vt_i. Beim üblichen Übergang zu logarithmierten Kursen entspricht AVt der zeitstetigen Rendite ln(Vt/Vt-i). 5 Vgl. hierzu Franke et al. (2001, S. 171). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 226 Peter Albrecht und Cernii Kantar wird der Random Walk allerdings stationär. Man bezeichnet den Random Walk daher auch als differenzenstationären Prozess bzw. als integriert von der Ordnung 1. Kommen wir damit zu möglichen Alternativen der Random-Walk-Hy- pothese mit dem Ziel der Modellierung von Mean-Reversion-Effekten. Das Basismodell sind hier die autoregressiven Prozesse der Ordnung 1, kurz AR(l)-Prozesse. Die Wertentwicklung eines AR(l)-Prozesses besitzt dabei die folgende Charakterisierung6 (t = 1,2,3,...; \a\ < 1): (4a) Vt-m = a(Vt-i -m)+ Zu wobei der Überlagerungsprozess Zt wiederum den Anforderungen gemäß (lb) genügt. Unter der Bedingung \a\ < 1 ist der AR(l)-Prozess ein stationärer Prozess. Die Bedingungsgleichung (4a) für den AR(l)-Prozess impliziert, dass der Parameter m das langfristige Mittel des Prozesses darstellt und der Wertverlauf dieses Prozesses bei temporären Abweichungen auf dieses Langfristmittel hingezogen wird. Je größer der Parameter a, desto stärker ist die Elastizität, mit der der Prozess zum Langfristmittel hingezogen wird. Für den Erwartungswert des Prozesses gilt: (5a) E(Vt) = m + a'{v0 - m). In der Anwendung geht man dabei davon aus, dass der beobachtete Prozess schon „lange läuft" bzw. eingeschwungen ist und damit wegen lima' = 0 für |a| < 1 approximativ die Beziehung £—»oc (5b) E(Vt) = m gerechtfertigt ist.7 Der Parameter a ist zudem identisch mit dem Autokorrelationskoeffizienten 1. Ordnung des AR(l)-Prozesses, d.h. p(Vt+i,Vt)=a. Äquivalent zur Darstellung (4a) ist die folgende Charakterisierung eines AR(l)-Prozesses, die ebenfalls häufig in der Literatur zu finden ist8: 6 Vgl. etwa Buscher (2002, S. 204 f.) oder Gujarati (1995, S. 736 f.). 7 Vgl. etwa Buscher (2002, S. 204). 8 Vgl. etwa Franke et al. (2001, S. 146 f.) oder Hamilton (1994, S. 48). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 227 (4b) Vt = c + aVt-l+Zt. Dies erkennt man, wenn man (4a) explizit nach Vt auflöst und dann c = m(l - a) setzt. Die Charakterisierung (4b) zeigt im Vergleich mit der Darstellung (4a), dass der Random Walk ein Grenzfall des AR(^-Prozes- ses für a —• 1 ist. Tests der Hypothese H0 : a = 1 gegen Hi : \a\ < 1, so genannten Einheitswurzel- oder Unit-Root-Tests, bilden entsprechend ein zentrales Instrumentarium zur Überprüfung der Kernfrage „Random Walk oder Mean Reversion?" der vorliegenden Ausarbeitung. Zugleich wird deutlich, dass die Charakterisierung (4b) als Regressionsgleichung mit der erklärten Variablen Vt sowie der erklärenden Variablen Vt_i interpretiert werden kann. Die Durchführung der entsprechenden Regression führt zu einer Bestimmung der Parameter c bzw. a und dient als Ausgangspunkt vieler Einheitswurzeltests. Die Existenz des Langfristmittels ra, zu dem der AR(l)-Prozess „hingezogen" wird, beinhaltet zugleich den zentralen Unterschied zum Random Walk, bei dem es - wie bereits ausgeführt - (systematisch) zu beliebig großen Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend kommen kann. In Termen der besten Prognose (im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers) gilt9: (6) E(Vt+s\Vt, Vt_i,..., V0) = m + as(Vt - m). Der Einfluss der momentanen Abweichung Vt-m des aktuellen Prozesswertes vom Langfristmittel nimmt somit mit geometrischer Rate ab, und insgesamt nähert sich die (beste) Prognose immer mehr dem Langfristmittel an. Prozesse mit einer allgemeineren autoregressiven Struktur sind die autoregressiven Prozesse p-ter Ordnung, kurz AR(p)-Prozesse. Diese genügen der folgenden Charakterisierung: (7) Vt = c + aiVt-i + ... + apVt-p + Zt. Im Spezialfall p = 1 ergibt sich der AR(l)-Prozess. In der praktischen Anwendung ergibt sich daher die Frage, bis zu welchem Lag p Vergangenheitswerte noch auf den gegenwärtigen Wert Vt einwirken. Diese Frage werden wir bei der Datenanalyse jeweils mit untersuchen. 9 Vgl. etwa Hamilton (1994, S. 80). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 228 Peter Albrecht und Cernii Kantar Schließlich wird in der Literatur10 als Alternative zum Random Walk von Aktienkursen noch die Überlagerung eines Random Walks mit einem ("slowly mean reverting") AR(l)-Prozess betrachtet, um zu modellieren, dass auf kurze und mittlere Sicht ein Random Walk vorliegt, auf lange Sicht jedoch ein Mean-Reversion-Effekt wirkt. Diesen Ansatz werden wir in dieser Arbeit nicht verfolgen, da es sich erweisen wird, dass für die statistische Analyse der Entwicklung des Kurs/Gewinn-Verhältnisses bereits die AR(1)-Variante valide ist. III. Die Entwicklung des DAX-KGV: Explorative Datenanalyse Ausgangspunkt unserer Analyse ist die in der (kommerziellen) Datenbank Datastream enthaltene Zeitreihe der Kurs/Gewinn-Verhältnisse des DAX auf Monatsbasis. Um sowohl zu einem aktuellen als auch repräsentativen Sample zu kommen, legen wir den weiteren Analysen, ausgehend von dem aktuellst verfügbaren KGV-Wert des Monats 06/2003, eine 30- jährige Historie11 zugrunde, d.h., die analysierte Datenreihe besteht aus den KGV-Werten von 07/1973-06/2003. Dies sind insgesamt 360 Werte. Sämtliche statistischen Auswertungen dieses und der weiteren Abschnitte wurden mit dem Ökonometrieprogramm EViews 4.1 durchgeführt. Abbildung 1 zeigt zunächst die Entwicklung dieser Zeitreihe in einer grafischen Darstellung. Wie die grafische Darstellung deutlich macht, bewegt sich das KGV auf Monatsbasis weit überwiegend in einer Range von 10-20. Werden diese Werte unter- oder überschritten, wird früher oder später eine Gegenreaktion ausgelöst, die die KGV-Werte zurück in diese Range treibt. Langfristige Unterschreitungen eines KGV-Wertes von 10 können ebenso wie längere Überschreitungen der Marke von 20 als Marktübertreibungen gewertet werden. Kurzfristige Unterschreitungen der Marke von 10 sind in den Monaten 10/81, 09/01 und 03/03 zu konstatieren, eine län- 10 Vgl. etwa Fama/French (1988), Lo/MacKinlay (1988) sowie für den deutschen Markt Löfßer (2000). 11 Angesichts des damit betrachteten Zeitintervalls stellt sich die Frage nach der Parameterstabilität. In der vorliegenden Untersuchung konzentrieren wir uns jedoch zunächst auf die Prüfung der beiden Basisalternativen Random Walk bzw. AR(l)-Prozess. In weitergehenden Untersuchungen sollten, so auch die Anregung des Gutachters, jedoch auch alternative Modelle, z.B. Switching-Regime-Modelle oder State-Space-Modelle, bei denen der AR(1)-Parameter zeitlich variabel ist, Beachtung finden. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 229 Periode Abbildung 1: Entwicklung des DAX-KGV von 07/73-06/03 auf monatlicher Basis (Quelle: Datastream) gere Unterschreitungsphase ist von 10/79 bis 05/81 zu verzeichnen. Der realisierte Tiefstwert ist 8,50 (dies geschah in den Monaten 01/81 und 02/81). Eher kurzfristige Überschreitungen der 20er-Marke sind zu konstatieren in den Monaten 04/93, 08/93-12/93, 06/97 + 07/97, 12/97, 02/ 98-07/98, 01/99, 06/01 + 07/01 sowie 11/01 + 12/01. Nur in der letzten Boomphase der Aktienmärkte ist eine länger anhaltende Überschreitung der Marke von 20 zu verzeichnen, konkret war dies die Periode 04/99- 01/01. Der realisierte Maximalwert war dabei 29,20. Schon eine erste Inspektion der empirischen Datenlage spricht damit durchaus für die Mean-Reversion-These, denn es offenbart sich ein typisches Rückkehrverhalten in die KGV-Zone 10-20. Eine beliebige KGV- Steigerung bzw. beliebige KGV-Verminderung, wie sie bei einem Random Walk möglich wäre, ist nicht zu verzeichnen. Abbildung 2 enthält die Häufigkeitsverteilung der KGV-Werte auf Monatsbasis, dargestellt in einem Balkendiagramm. Das Balkendiagramm und die damit verbundene Auswertung in EViews 4.1 offenbaren einen mittleren KGV-Wert auf Monatsbasis in Höhe von 14,86 sowie einen Median von 14,15. Das optische Erscheinungsbild und die Höhe der Schiefe deuten darauf hin, dass keine Nor- Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Peter Albrecht und Cernii Kantar Series: KGV_ _M Sample 1973:07 2003:06 Observations 360 Mean 14.86278 Median 14.15000 Maximum 29.20000 Minimum 8.500000 Std. Dev. 3.802118 Skewness 0.733531 Kurtos is 3.100852 Jarque-Bera 32.43661 Probability 0.000000 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Abbildung 2: Balkendiagramm der Häufigkeit der DAX-KGV-Werte auf Monatsbasis malverteilung vorliegt, sondern eine rechtsschiefe Verteilung. Formal wird dies bestätigt durch den Jarque-Bera-Test12 auf Vorliegen einer Normalverteilung. Der p-Wert, d.h. die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit der Nullhypothese (hier: Normalverteilung) ist Null. Das Balkendiagramm zeigt aber auch, dass eine Ausreißersituation in den Daten vorhanden ist. Der KGV-Wert von 29,20 im Monat 12/99 liegt um 4,30 Einheiten über dem zweitgrößten13 KGV-Wert von 24,90 im Monat 11/99. Diese Einschätzung wird bestätigt, wenn man die empirischen Quantile zusammen mit den entsprechenden Standardfehlern betrachtet. Dies ist in Abbildung 3 festgehalten. Aufgrund dieser Datensituation ist es angezeigt, den Ausreißer des Monats 12/99 zu bereinigen. Wir tun dies im Wege der Stutzung (truncation), indem wir den KGV-Wert des Monats 12/99 auf den zweitgrößten Wert der KGV-Reihe, d.h. 24,9, reduzieren. Die nachfolgende Tabelle enthält - nunmehr für die bereinigte KGV- Reihe - die Angaben über den Mittelwert sowie ausgewählte Quantile. 12 Vgl. etwa Albrecht ¡Maurer (2002, S. 116) oder Poddig et al. (2000, S. 318 ff.). 13 Der Wert 24,9 selbst kann nicht auch als Ausreißer angesehen werden, da auch KGV-Werte von 24, 24,6 und 24,7 in der Datenreihe enthalten sind. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 237 P-I (10) Vt - Vf_! = c+.fjt + (a- 1)Vt_i + Y.vW-i + Z' ¿=i betrachtet, d.h., es werden ein Trendterm fit sowie p verzögerte Differenzterme der rechten Seite der Regressionsgleichung hinzugefügt. Damit wird das Vorliegen eines differenzenstationären AR(p - l)-Prozes- ses gegen die Alternative eines trendstationären AR(p)-Prozesses überprüft. Im vorliegenden Fall kann das Auftreten eines Trendterms aus ökonomischen Gründen a priori ausgeschlossen werden, denn dies würde bedeuten, dass das KGV im Mittel systematisch über einen längeren Zeitraum steigen oder fallen würde. Die statistisch relevante Anzahl an verzögerten Termen ist Teil der statistischen Identifikation. Im Falle, dass dabei ein statistisch signifikantes Lag der Länge Null identifiziert wird, reduziert sich (10) auf den Basisfall (9a). Die Anwendung von Unit-Root-Tests zur Überprüfung der Random- Walk-Hypothese unterliegt der Kritik.20 Zum einen umfasst die Nullhypothese weitere Prozesse als den reinen Random Walk, zum anderen gibt es zu jedem Unit-Root-Prozess eine stationäre Variante, die auf der Basis einer endlichen Stichprobe nicht statistisch unterscheidbar ist. Schließlich weist die erste Generation von Unit-Root-Tests eine geringe Macht21 (Wahrscheinlichkeit für die Verwerfung von H0, wenn Hi korrekt ist) auf. Unser Ziel ist aber nicht die generelle Falsifikation des Random Walk. Für unsere Zwecke genügt es, wenn das Alternativmodell AR(l)-Prozess die Daten statistisch signifikant besser repräsentiert. Der Kritikpunkt der geringen Macht ist zudem nicht mehr relevant für moderne Varianten der Einheitswurzeltests, wie sie etwa von Elliott/Rothenberg/Stock (1996) und Ng/Perron (2001) entwickelt worden sind und die standardmäßig unter EViews 4.1 zur Verfügung stehen.22 Kommen wir damit zu einem ersten Test von (9), einer modifizierten Variante23 des (Augmented-)Dickey/Fuller-Tests nach Elliott/Rothen- 20 Vgl. etwa Campbell et al. (1997, S 64 f.) sowie Hamilton (1994, S. 444 ff.). 21 Vgl. etwa Eberts (2002, S. 56). 22 Allerdings weisen Carstensen (2003) und auch der Gutachter darauf hin, dass im Falle des Vorliegens von Residuen, die eine Verteilungsschiefe aufweisen, Verzerrungen auftreten können. Dieser Kritikpunkt ist angesichts von Abbildung 2 auch für den vorliegenden Fall von Relevanz. Eine vertiefte Behandlung dieses Kritikpunktes sprengt jedoch den Rahmen der vorliegenden Ausarbeitung. Grundsätzlich ist dieser Kritikpunkt jedoch bei der Beurteilung der Validität der Ergebnisse zu berücksichtigen. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 238 Peter Albrecht und Cernii Kantar Tabelle 4 Augmented-Dickey/Fuller-GLS-Test Exogene Variable: Konstante Lag-Länge: 0 (SIC, MAXLAG = 16) DF-GLS Statistik -2,859046 Kritische Werte: 1 %-Niveau -2,571419 5 %-Niveau -1,941709 10%-Niveau -1,616108 berg/Stock (ERS). Die Ergebnisse der Durchführung dieses Tests in EViews 4.1 sind in Tabelle 4 enthalten. Zunächst ist festzuhalten, dass, wie schon beim ADF-Test, die Werte der Teststatistik die kritischen Werte unterschreiten müssen, damit die Nullhypothese verworfen werden kann. Dies ist vorliegend der Fall, der Wert der Teststatistik (einer Variante der t-Statistik) liegt jeweils (deutlich) unterhalb der kritischen Werte (nach MacKinnon) zum 10%-, 5%- und 1 %-Konfidenzniveau. Zum Zweiten ist festzuhalten, dass die Wahl der adäquaten Lag-Länge nach dem Schwartz-lnformation-Criterion24 (SIC) zu einer Lag-Länge von Null führt. Das statistisch präferierte Alternativmodell ist somit - wie erhofft - der AR(l)-Prozess. Als zweiten Test betrachten wir den ebenfalls von ERS entwickelten ERS-Point-Optimal-Unit-Root-Test.25 Das Resultat ist in Tabelle 5 enthalten. Wiederum muss die Testgröße einen Wert unterhalb der kritischen Werte annehmen, damit die Nullhypothese (Random Walk) verworfen wird. Dies ist vorliegend der Fall, ebenso ist die statistisch adäquate Lag-Länge gleich Null. Die statistisch präferierte Alternative ist somit wiederum der AR(l)-Prozess. 23 Die Grundidee besteht dabei darin, den ADF-Test auf die entsprechend mittels eines Generalized-Least-Squares-(GLS-)Ansatzes trendbereinigten Daten anzuwenden, deswegen trägt der Test in EViews 4.1 die Bezeichnung GF-GLS-Test. 24 Das Schwariz-Information-Criterion ist bei EViews standardmäßig voreingestellt. Aber auch die Wahl eines alternativen Kriteriums (Akaike, Hannan-Quinn, Modified Akaike, Modified Schwartz, Modified Hannan-Quinn) führt zu demselben Resultat. 25 Für die Details müssen wir an dieser Stelle auf Elliott et al. (1996) verweisen. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 239 Tabelle 5 ERS-Point-Optimal-Unit-Root-Test Exogene Variable: Konstante Lag-Länge: 0 (Spectral OLS AR based on SIC, MAXLAG = 16) Elliott-Rothenberg-Stock-Statistik 1,581191 Kritische Werte: 1 %-Niveau 5%-Niveau 10%-Niveau 1,974000 3,242000 4,450000 Ng/Perron (2001) entwickelten schließlich eine ganze Batterie von (insgesamt vier) Tests, Varianten des M-Tests von Perron/Ng (1996), zur Überprüfung der Einheitswurzelhypothese mit erhöhter Macht.26 Die Resultate unter EViews 4.1 sind in Tabelle 6 enthalten. Tabelle 6 Ng/Perron-Modified-M-Test Exogene Variable: Konstante Lag-Länge: 0 (Spectral GLS-detrended AR based on SIC, MAXLAG =16) MZa MZt MSB MPT Ng-Perron-Statistiken -15,7318 -2,79880 0,17791 1,57983 Asympt. kritische Werte: 1%-Niveau -13,8000 -2,58000 0,17400 1,78000 5%-Niveau -8,10000 -1,98000 0,23300 3,17000 10%-Niveau -5,70000 -1,62000 0,27500 4,45000 Das Resultat bestätigt eindrucksvoll die bisherigen Ergebnisse. Bis auf Test Nr. 3 (MSB), bei dem die Nullhypothese zum 1 %-Konfidenzniveau - allerdings extrem knapp - nicht verworfen werden kann, wird in allen anderen Fällen die Nullhypothese verworfen. Die statistisch adäquate Lag-Länge ist wiederum Null. Insgesamt ist festzuhalten, dass bei allen der durchgeführten Einheitswurzeltests eindeutig der AR(l)-Prozess aus statistischer Sicht die Daten besser repräsentiert als der Random Walk. 26 Für Details muss an dieser Stelle wieder auf Ng/Perron (2001) verwiesen werden. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 240 Peter Albrecht und Cernii Kantar VI. KPSS-Test auf Stationarität Im Unterschied zu den Einheitswurzeltests überprüft der Test von Kwiatkowski/Phillips/Schmidt/Shirt21 (1992) die Nullhypothese der (Trend-)Stationarität und „vertauscht" damit die Hypothesen. Die Ergebnisse der Durchführung des KPSS-Tests in EViews 4.1 sind in Tabelle 7 enthalten. Tabelle 7 KPSS-Tests auf (Trend-)Stationarität Exogene Variable: Konstante, linearer Trend Band weite: 14 (Newey-West using Bartlett kernel) KPSS-Statistik 0,080102 Asympt. kritische Werte: 1%-Niveau 5%-Niveau 10%-Niveau 0,216000 0,146000 0,119000 Variable Koeffizient Std.-Fehler t-Wert p-Wert Konstante 10,73009 Trend 0,022957 0,306319 0,001477 35,02910 15,54435 0,0000 0,0000 Das Ergebnis des KPSS-Tests führt zu einer Nicht-Verwerfung der Nullhypothese, da die KPSS-Statistik die kritischen Werte nicht übersteigt. Der Random-Walk-Fall kann somit verworfen werden. Der KPSS- Test identifiziert zwar noch einen (minimalen) Trend, dies kann aber - wie bereits ausgeführt - aus ökonomischen Gründen a priori ausgeschlossen werden. VII. Anwendung: Eine DAX-Projektion In diesem Abschnitt sollen nunmehr noch die Implikationen des Vorliegens eines AR(l)-Prozesses auf KGV-Ebene für die Prognose der weiteren DAX-Entwicklung aufgezeigt werden. Ansatzpunkt hierfür ist zunächst die in Abschnitt IV. identifizierte Regressionsgleichung (8b) und der damit verbundene langfristige Gleichge- 27 Vgl. auch etwa Franke et al. (2001, S. 175 f.) oder Kugler (2002, S. 275 f.). Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 241 wichtswert des AR(l)-Prozesses in Höhe des KGV-Wertes von 14,80. Als weiterer Ausgangspunkt dienen die empirischen Verhältnisse per Ultimo 2002. Zu diesem Zeitpunkt ist ein DAX-Stand von 2892,63 zu verzeichnen, das zugehörige DAX-KGV weist einen Wert von 10,90 auf. Gemessen am 10%-Quantil in Höhe von 10,8 der KGV-Reihe, vgl. Tabelle 1, war damit der DAX praktisch an der Grenze einer systematischen Unterbewertung. Gegeben diese Ausgangssituation beträgt die rechnerische Gewinngröße pro DAX-KGV-Punkt 265,40. Unter Anwendung des langfristigen Gleichgewichtswertes für die DAX-KGV-Reihe in Höhe von ?7i = 14,80 ergibt sich daraus ein entsprechender DAX-Stand von 3927,60. Dies beinhaltet zunächst eine DAX-Prognose bei Anwendung des Gleichgewichts-KGVs und bei unveränderter Gewinnsituation. Eine DAX-Projektion unter Berücksichtigung des künftigen Gewinnwachstums erhält man des Weiteren auf die folgende Weise. Bezeichnet man mit Kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t und Gt den (akkumulierten) DAX-Gewinn zum Zeitpunkt £, so ergibt sich das Kurs/ Gewinn-Verhältnis KGVt zum Zeitpunkt t zu KGVt = Kt/Gt. Für die relative Kursveränderung zweier aufeinander folgender Perioden gilt dann \ Kt+i KGVt+1 (IIa) Kt KGVt Gt und damit niM K KGVt+1 Gt+1 K (llb) Kt+1~ KGVt ' Gt Kt' Der projizierte DAX-Stand hängt somit ab vom KGV-Wachstum, vom Gewinnwachstum und vom angenommenen Startwert des DAX. Ausgangskurs Kt und Ausgangs-KGV KGVt sind bekannt. Als KGV zum Zeitpunkt £+1 wäre das Gleichgewichts-KGV in Höhe von 14,80 zu wählen. Offen ist damit nur noch die Substantiierung der Gewinn wachstumsrate. Diese kann man auf Basis der Beziehung Gt = Kt/KGVt aus den entsprechenden Werten der Datastream-Datenbank für die Entwicklung des DAX sowie des DAX-KGVs berechnen. Für die Jahre 1974-2002 ergibt sich dabei im Mittelwert (geometrisches Mittel) ein Wert von 6,46%. Unter Ansatz dieses mittleren Wertes sowie der sonstigen bereits spezifizierten Annahmen ergibt sich auf der Basis der Beziehung (IIb) ein Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 242 Peter Albrecht und Cernii Kantar prognostizierter DAX-Stand von 4181,30. Diese Vorgehensweise nimmt eine einjährige Sichtweise ein, d.h. unterstellt, dass das mittlere DAX- Wachstum für eine Projektionsperiode von einem Jahr wirksam ist. Entsprechend kann man vorgehen, wenn man einen mehrjährigen Projektionszeitraum ansetzt und unterstellt, dass das angenommene mittlere DAX-Gewinnwachstum in Höhe von 6,46% über den gesamten Projektionszeitraum gültig ist. Die Wahl eines mehrperiodigen Projektionszeitraums ist auch deswegen plausibler, weil dann das KGV entsprechende Zeit bekommt, sich auf sein Langfristmittel hinzubewegen. Unterstellt man einen Projektionszeitraum von 3 Jahren, so führt dies zu einem DAX-Stand von 4739,00, bei einem Projektionszeitraum von 5 Jahren führt dies zu einem Wert von 5371,10. Unterstellt wird dabei jeweils eine Bewertung der Gewinnsituation zum Gleichgewichts-KGV von 14,80. Die Tabelle 8 fasst die vorstehend gewonnenen Ergebnisse zusammen. Tabelle 8 Gleichgewichts-DAX-Stände bei Annahme eines Gleichgewichts-KGVs von 14,80 Gleichgewichts-DAX-Stand bei (a) unveränderter Gewinnsituation 3927,60 (b) mittlerem Gewinnwachstum von 6,46% für 1 Jahr 4181,30 3 Jahre 4739,00 5 Jahre 5371,10 Kommen wir damit zu einer Zusammenfassung der Ergebnisse. VIII. Zusammenfassung Im Zentrum der vorliegenden Ausarbeitung steht die Frage, ob das Modell eines Random Walk oder eines AR(l)-Prozesses („Mean Reversion") besser geeignet ist, die Entwicklung des Kurs/Gewinn-Verhältnis- ses des Deutschen Aktienindex (DAX) zu beschreiben. Die Datengrundlage ist dabei die in der Datastream-Datenbank enthaltene Reihe der monatlichen KGV-Werte von Juli 1973 bis Juni 2003, mithin ein Zeitraum von 30 Jahren (360 Datenpunkte). Das Vorliegen einer der beiden alternativen Modellhypothesen hat entscheidende Auswirkungen auf die Frage der Prognostizierbarkeit der Modellgröße, hier des KGV. Die Random-Walk-Hypothese impliziert, Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 243 dass ein „fairer" langfristiger Modellwert nicht existieren kann, da beim Random Walk durch die mögliche „Aufschaukelung" von Zufallseinflüssen die Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend (in systematischer Hinsicht) dem Grunde nach „beliebig groß" werden können. Die künftigen Wertveränderungen sind im Kern nicht prognostizierbar. Im Unterschied hierzu weist ein AR(l)-Prozess ein langfristiges Mittel auf, zu dem der Prozess mit einer gegebenen Elastizität hingezogen wird. Sowohl im Rahmen einer mehr explorativen Datenanalyse (visuelle Inspektion, Korrelogramm der Zeitreihe und ihrer ersten Differenzen, Regressionsanalyse) als auch auf der Basis einer Reihe von formalen statistischen Tests (Ljung/Box-Test, Residualtests, Einheitswurzeltests, KPSS- Stationaritätstest) zeigt sich in uniformer Weise, dass die Hypothese des AR(l)-Prozesses die analysierte KGV-Zeitreihe statistisch besser repräsentiert als der Random Walk. Neben den entsprechenden Konsequenzen dieses Ergebnisses für die Prognose des Kurs/Gewinn-Verhältnisses des DAX wird auch die Frage behandelt, wie auf dieser Basis Prognosen für die DAX-Entwicklung selbst gewonnen werden können. Literatur Albrecht, P. (2001): Welche Aktienperformance ist über die nächsten Dekaden realistischerweise zu erwarten? Eine Fundamentalanalyse, Zeitschrift für Versicherungswesen 23/2001, 803-812. - Albrecht, P., R. Maurer (2002): Investment- und Risikomanagement, Stuttgart. - Baivers, R., Y. Wu, E. 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Das Vorliegen einer der beiden alternativen Modellhypothesen hat entscheidende Auswirkungen auf die Frage der Prognostizierbarkeit der Modellgröße, hier des KGV. Die Random-Walk-Hypothese impliziert, dass ein „fairer" langfristiger Modellwert nicht existieren kann. Im Unterschied hierzu weist ein AR(l)-Prozess ein langfristiges Mittel auf, zu dem der Prozess mit einer gegebenen Elastizität hingezogen wird. Sowohl im Rahmen einer mehr explorativen Datenanalyse als auch auf der Basis einer Reihe von formalen statistischen Tests zeigt sich in uniformer Weise, dass die Hypothese des AR(l)-Prozesses die analysierte KGV-Zeitreihe statistisch besser repräsentiert als der Random Walk. Neben den entsprechenden Konsequenzen dieses Ergebnisses für die Prognose des Kurs/Gewinn-Verhältnisses des DAX wird auch die Frage behandelt, wie auf dieser Basis Prognosen für die DAX-Entwicklung selbst gewonnen werden können. (JEL C52, G10) Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02 Random Walk oder Mean Reversion? 245 Summary Random Walk or Mean Reversion? A Statistical Analysis of the Price/Earnings Ratio for the German Stock Market The present contribution considers the question whether the random walk model or an AR(l)-process ("mean reversion") is a better representation for the development of the price/earnings ratio of the German blue-chip index DAX. Empirical evidence for one of these alternative model hypotheses is crucial to the predictability of the underlying variable, i.e. the P/E ratio. While the random walk hypothesis implies the non-existence of a long-run "fair" value for the variable of interest, an AR(l)-process, in contrast, possesses a long-run mean and exhibits mean reverting behaviour in that it fluctuates around this constant long-run value. Both an exploratory data analysis and a set of formal statistical tests equally lead to the conclusion that the hypothesis of an AR(l)-process, in a statistical sense, better represents the investigated time series data than the random walk model. The consequences of this key result are not only discussed with respect to the predictability of the P/E ratio of the German stock market index, but also with regard to forecasts for the development of the DAX itself. Résumé Random Walk ou Mean Reversion? Une analyse statistique du rapport cours/gain pour le marché allemand des actions La question principale de cet article est de savoir quel modèle est le plus adéquat pour décrire l'évolution du rapport cours/gain de l'index allemand DAX: le modèle du Random Walk ou celui de du processus AR(1) («Mean Reversion»). L'évidence empirique d'une de ces hypothèses de modèles est cruciale pour prédire les variables sous-jacentes, entre autres le rapport cours/gain. L'hypothèse du Random Walk implique qu'une valeur à long terme équitable («fair») ne peut pas exister. Par contre, un processus AR(1) possède une moyenne à long terme qui donne une certaine élasticité au modèle. Autant une analyse plus exploratoire des données que différents tests statistiques formels mènent à la conclusion uniforme que l'hypothèse du processus AR(1) représente mieux statistiquement la série analysée du rapport cours/gain que le Random Walk. En plus de l'analyse des conséquences de ce résultat sur les prévisions du rapport cours/gain du DAX, les auteurs traitent aussi la question de savoir comment les prévisions de l'évolution du DAX peuvent être faites sur cette base. Kredit und Kapital 2/2004 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.37.2.223 | Generated on 2023-01-16 13:21:02