Difusión de choques de productividad en redes productivas con competencia imperfecta y quiebra de empresas

Ramírez-Álvarez, José; Pérez Oviedo, Wilson Article Difusión de choques de productividad en redes productivas con competencia imperfecta y quiebra de empresas Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Provided in Cooperation with: Universidad Pablo de Olavide, Sevilla Suggested Citation: Ramírez-Álvarez, José; Pérez Oviedo, Wilson (2022) : Difusión de choques de productividad en redes productivas con competencia imperfecta y quiebra de empresas, Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa, ISSN 1886-516X, Universidad Pablo de Olavide, Sevilla, Vol. 33, pp. 191-225, https://doi.org/10.46661/revmetodoscuanteconempresa.4715 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/286268 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ 191 REVISTA DE MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA (33). Páginas 191-225. Junio de 2022. ISSN: 1886-516X. D.L: SE-2927-06. www.upo.es/revistas/index.php/RevMetCuant/article/view/4715 Difusión de choques de productividad en redes productivas con competencia imperfecta y quiebra de empresas Ramírez-Álvarez, José Escuela Politécnica Nacional (Quito, Ecuador) Correo electrónico: [email protected] Pérez-Oviedo, Wilson Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales (Quito, Ecuador) Correo electrónico: [email protected] RESUMEN La red productiva representa un mecanismo económico clave para comprender cómo los choques microeconómicos se propagan en el sistema económico. En esta línea se han desarrollo diversos trabajos teóricos bajo el supuesto de libre competencia, sin considerar el poder de mercado ni la posible quiebra de empresas. El presente documento estudia la difusión de choques de productividad en redes productivas con competencia imperfecta y quiebra de empresas. Para ello, se asume que las empresas pueden fijar el precio de su producto, tomando en cuenta que los precios inciden en la posibilidad de que sus compradores los contraten. Este hecho supone que las transacciones comerciales podrían fallar, a causa, por ejemplo, de que los productos no tienen la calidad o características esperadas, lo que generaría pérdidas para el comprador. En este contexto, el comprador no solo busca el mayor beneficio esperado, sino también el menor riesgo de pérdida, lo que lo lleva a asignar una probabilidad de contratación a cada proveedor. Por otro lado, la quiebra de empresas se representa mediante un proceso estocástico en el que aquellas empresas con peor desempeño durante el tiempo tienen mayores posibilidades de salir de la industria. Los resultados muestran distintos efectos cascada sobre los precios y las cantidades que se transan en la red productiva, ante choques de productividad negativos. En particular, se encuentra un efecto cascada “aguas arriba” en la quiebra de las empresas durante el transcurso del tiempo, el cual se trasmite exclusivamente hacia los proveedores de menor riesgo en la red. Palabras clave: redes productivas, competencia imperfecta, quiebra de empresas, equilibrio. JEL classification: D85; D43; D58. MSC2010: 90C33; 90C35; 91B50. Artículo recibido el 29 de julio de 2020 y aceptado el 10 de julio de 2021. 192 Productivity Shocks Diffusion in Firms Networks with Imperfect Competition and Bankruptcy ABSTRACT The productive network represents a key economic mechanism to understand how microeconomic shocks spread in the economic system. At this scope, several theoretical works have been developed under the assumption of free competition, without considering market power or the possible bankruptcy of firms. This document studies the diffusion of productivity shocks in productive networks with imperfect competition and firms’ bankruptcy. It is assumed that firms can to set the price of their product, taking into account that prices affect the possibility of their buyers hiring them. This fact means that transactions could fail because, for instance, the products do not have the expected quality or characteristics, which would generate losses for the buyer. In this context, the buyer seeks not only the highest expected benefit, but also the lowest risk of loss, which leads him to assign a hiring probability to each supplier. On the other hand, firms’ bankruptcy is represented by a stochastic process in which firms with worse performance over time are more likely to leave the industry. The model’s results show different cascade effects on prices and quantities exchanged in the production network to negative productivity shocks. Interestingly, we observe an upstream cascade effect on firm bankruptcy over time, which is transmitted exclusively to suppliers with the lowest risk in the production network. Keywords: productive networks, imperfect competition, firms bankruptcy, equilibrium. Clasificación JEL: D85; D43; D58. MSC2010: 90C33; 90C35; 91B50. 193 1. Introducción Supongamos que tenemos un conjunto de empresas cuyas funciones de producción son Hicks-neutrales y que constituyen una red direccionada y ponderada, donde las conexiones son de proveedor a comprador de insumos productivos. Si algunas de las empresas reciben un choque, positivo o negativo, en su productividad: ¿Cuáles son los efectos en la red productiva y en la macroeconomía en su conjunto? Para contestar esta pregunta la mayoría de los autores, tal como lo explicamos más adelante en la revisión de la literatura, asumen empresas cuyas funciones de producción admiten algún grado de sustitución entre insumos, y mercados perfectamente competitivos, donde empresas idénticas actúan como tomadores de precios en un equilibrio walrasiano. En este contexto, un choque negativo, por ejemplo en la productividad de toda una industria, originará un incremento del precio del insumo que produce, con la consecuente sustitución de este bien por otros más baratos en la función de producción de las empresas que lo usan, y la reducción de la producción total y de la demanda de insumos por parte de la industria que recibió el choque original; efectos que se transmitirán “aguas abajo” (afectando a las empresas que usan los bienes producidos por esta industria) y “aguas arriba” (afectando a las empresas que proveen insumos a esta industria). Desde esta perspectiva, las consecuencias macroeconómicas no suelen ser importantes, pues este tipo de efectos tienden a debilitarse a medida que el choque se propaga en la red productiva. Nuestra hipótesis es que existen otros factores de difusión de un choque microeconómico, como son: la competencia imperfecta en mercados importantes desde el punto de vista de su posición en la red productiva y, quizá más relevante, la posibilidad de quiebra de las empresas. En el escenario de equilibrio walrasiano y competencia perfecta, la quiebra de una empresa originaría el desplazamiento de la oferta (y consecuentemente el de la demanda de insumos y de la contratación de trabajo) hacia las otras empresas que producen el mismo insumo. Para abordar conjuntamente la competencia imperfecta y la posibilidad de quiebra de empresas, en el presente documento se construye un modelo económico basado en una red, donde los nodos representan las empresas y las aristas direccionadas y ponderadas representan la venta de insumos de una empresa a otra. Esta economía incluye también un hogar representativo, cuya relación con las empresas es doble: como proveedor de trabajo y como comprador de bienes finales. Se asume una economía cerrada. Las empresas están caracterizadas por: (1) Una función de producción CES Hicks-Neutral. (2) Una función de evaluación de las ofertas de insumos que recibe, que toma en cuenta la variación del beneficio esperado al asignar el contrato de provisión de insumos a una firma en lugar de otra, y la variación del riesgo que esta decisión implica. (3) Una percepción del riesgo respecto a la falla del contrato de provisión de insumos, para cada uno de los proveedores potenciales de la empresa. Este riesgo es menor cuando el insumo es homogéneo (carburantes, por ejemplo) y, por tanto, las características del bien no varían según el proveedor; pero es mayor cuando el bien tiene características especiales a las que se ha adaptado el proceso productivo de la empresa, o formas y tiempos específicos de entrega y financiamiento. Los proveedores potenciales se dividen en habituales, es decir, aquellos a los que la empresa ha contratado recurrentemente en el pasado, y los nuevos, cuya contratación tiene una percepción de riesgo mayor. Las características (2) y (3) hacen que la decisión del comprador sea asignar a cada proveedor una probabilidad de ser contratado, en lugar de, como es tradicional, asignar con certeza el contrato a la empresa que le ofrezca el mayor beneficio esperado. En este modelo, las empresas que producen bienes intermedios (insumos) deciden los precios de venta de tal manera que maximicen su beneficio esperado, teniendo en cuenta que estos precios inciden en la probabilidad de que sus compradores los contraten. Al tomar esta decisión, cada empresa asume que el resto de firmas en la red productiva actúan de la misma manera, tomando como dados los precios de los otros, por lo que el primer equilibrio de esta economía es un equilibrio de Nash. Por otro lado, las empresas que producen bienes de consumo final operan en mercados de libre competencia, es decir son tomadores de precios. Por último, el hogar representativo demanda bienes finales y oferta trabajo maximizando su utilidad esperada. 194 Así, la economía se convierte en un espacio probabilístico donde cada realización representa un subgrafo de la red productiva, en el que las aristas son los contratos de provisión de insumos de una empresa a otra efectivamente asignados. Los precios de los insumos determinados por el equilibrio de Nash establecen la probabilidad en el espacio probabilístico de la red productiva. Para cada realización en este espacio, ya con los precios de los insumos definidos, cada empresa decide la cantidad de trabajo a contratar y de insumos a comprar, y el hogar define su demanda de productos finales maximizando su utilidad, de tal forma que se alcanza un equilibrio oferta-utilización. En su conjunto, ambos equilibrios representan lo que denominamos en este documento el Equilibrio General de Mercado (EGM), es decir, el conjunto de precios que constituye un equilibrio de Nash ex-ante y el conjunto de cantidades que garantizan el equilibrio oferta-utilización ex-post. La quiebra de empresas en este modelo es también un evento aleatorio. Aquí, la probabilidad de que una empresa quiebre es mayor mientras mayor es el número de períodos en los que la empresa obtuvo malos resultados. Este hecho se incorpora en el modelo mediante un proceso estocástico en el que cada periodo de tiempo se encuentra determinado por el EGM de las empresas que subsistieron hasta ese instante. Teniendo en cuenta este modelo, la simulación de un choque de productividad sobre una empresa en una red simple genera diversos resultados. Primero, la empresa afectada tendrá que incrementar sus precios, pues es más costoso para ella producir. Esto hará que sus competidoras también tengan margen para incrementar sus precios, a pesar de no haber sufrido un impacto negativo o, si mantienen sus precios anteriores, tendrán mayores probabilidades de ser escogidas y, por tanto, de desplazar al proveedor habitual. Segundo, los compradores que se ubican “aguas abajo” de la empresa afectada tendrán que asumir precios mayores en la demanda de sus insumos, por lo que aumentarán sus precios de venta y, consecuentemente, se reducirán sus probabilidades de ser contratados. Tercero, los proveedores habituales que se ubican “aguas arriba” de la empresa afectada pueden esperar una reducción en sus ventas, por lo que deben reducir sus precios en busca de mayores opciones de ganar contratos; ambos factores deterioran sus ganancias. Si estos efectos negativos en las empresas que recibieron el choque original o en las otras que sufrieron los efectos difundidos a través de la red productiva, son lo suficientemente grandes y permanentes, algunas empresas pueden quebrar. La quiebra de una empresa afecta negativamente a sus proveedores habituales, que ven su demanda disminuida y deben bajar precios para competir por otros compradores; y, aguas abajo, afecta a sus compradores habituales que deben recurrir a empresas que quizá no ofrezcan el insumo con las características que ellos requieren y podrían aumentar sus precios ante la disminución del número de competidores. El presente estudio contribuye a la literatura sobre difusión de choques microeconómicos en redes productivas. Carvalho (2010) muestra cómo choques idiosincráticos en los sectores productivos pueden originar fluctuaciones en los agregados macroeconómicos. Para ello, utiliza un modelo de equilibrio general con un hogar representativo y varios sectores productivos con preferencias y tecnologias Cobb- Douglas. Asume que el hogar posee una preferencia por el ocio, por lo que la oferta de trabajo es endógena. Teniendo en cuenta este modelo, el autor encuentra que los choques sobre los sectores productivos pueden propagarse en el sistema económico y afectar los agregados macroeconómicos. Este resultado se cumple para redes productivas en las cuales la demanda es poco diversificada y existe un grupo reducido de sectores que acapara la oferta. Son los choques en estos sectores los que se multiplican rápidamente en la red productiva y amplían las fluctuaciones de los agregados económicos. El trabajo de Acemoglu et al. (2012) es otra de las principales referencias sobre difusión de choques microeconómicos en redes productivas. 4Utilizando un modelo de equilibrio similiar con tecnologías y preferencias Cobb-Douglas en mercados perfectamente competitivos, estos autores demuestran que un choque de productividad sobre un sector productivo puede propagarse “aguas abajo” sobre el resto de sectores en la economía, dependiendo del grado con que los sectores productivos participan como proveedores en la red. En particular, se hallan dos importantes resultados. Primero, los choques sobre proveedores que poseen un rol más central tienen mayor influencia en la volatilidad de los agregados macroeconómicos. Segundo, cuanto más heterogéneo sea el rol que desempeñan los 195 sectores productivos como proveedores de insumos, mayor será la incidencia de estos choques. Varias investigaciones sobre difusión en redes productivas adoptan este planteamiento teórico llegando a resultados similares (Acemoglu et al., 2016, 2017; Atalay, 2017; Carvalho & Gabaix, 2013; Stella, 2015). Nuestro trabajo se diferencia de estos estudios porque considera competencia imperfecta y posibilidad de quiebra de empresas. El presente estudio se relaciona más de cerca con los trabajos de Grassi (2017) y Baqaee (2018) sobre efectos cascada en economías con fallas de mercado. Por un lado, Grassi (2017) estudia el origen de las fluctuaciones de los agregados macroeconómicos, enfocándose en la organización industrial de los sectores productivos. Para ello, elabora un modelo de equilibrio con competencia imperfecta donde las empresas deciden sus precios de venta de manera estratégica a la Bertrand, con un grado de sustitución CES entre ellas. Teniendo en cuenta este modelo, Grassi (2017) manifiesta que los choques microeconómicos pueden generar la difusión de dos efectos: un efecto cascada aguas abajo debido al cambio de los precios y un efecto aguas arriba debido al cambio en los márgenes de ganancia. El presente modelo añade la posibilidad de quiebra de empresas, no considerado por este autor. Por su parte, Baqaee (2018) aborda la difusión de choques en la productividad laboral en una red productiva considerando poder de mercado y la salida y entrada de empresas en las industrias. El mecanismo fundamental es la competencia monopolística que, mediante funciones de producción CES anidadas, puede tener diferente grado en cada industria. Adicionalmente, el decremento (incremento) del número de empresas en una industria puede originar una caída (subida) en las economías de escala externas, en forma de un incremento (caída) del mark-up en la industria y una reducción (incremento) de su variedad de productos. Por ello, un choque de productividad negativo en una industria, por ejemplo, puede originar la salida de productores que buscan mayor rentabilidad en otras industrias, afectando tanto a sus proveedores como compradores, cuyas industrias pueden experimentar, a su vez, salidas o entradas, difundiendo y quizá amplificando el choque original. El modelo permite hacer un ejercicio de estática comparativa de dos situaciones (antes y después del choque de productividad laboral) en donde el equilibrio significa que cada empresa tiene cero ganancias y, por tanto, la entrada y salida de empresas (con el consiguiente movimiento de factores) ha concluido. Nuestro trabajo se asemeja al de Baqaee (2018) en cuanto a la inclusión de diferentes grados de poder de mercado en las industrias. Como se ha dicho, incorpora la posibilidad de que empresas salgan de su industria, al igual que nosotros consideramos la posibilidad de quiebra de las empresas. Aquí aparece una diferencia fundamental: cuando Baqaee (2018) permite que las empresas y factores se muevan a otra industria, considerando un nuevo punto de equilibrio de la economía, está pensando en el medio y largo plazo, cuando ese tipo de movilidades pueden concretarse. En cambio, nuestro modelo no permite tal movilidad siendo, por tanto, una perspectiva de corto plazo en la que la quiebra de una empresa no se convierte inmediatamente en incremento del número de empresas en otra industria; por ello, la quiebra de una empresa, en nuestro modelo, es un fuerte factor de amplificación de un choque negativo. Los dos enfoques también tienen grandes diferencias en cuanto a las técnicas de modelización, ya que el presente trabajo aporta una forma de modelar el poder de mercado distinta a la competencia monopolística, que se basa en las características específicas de un mismo insumo cuando es producido por empresas diferentes, en la adaptación del proceso productivo del comprador a las características específicas de un proveedor y, por tanto, en el riesgo que supone cambiar de proveedor. Además, modelamos de forma distinta las decisiones bajo riesgo (el modelo de Baqaee (2018) es un modelo determinístico) obteniendo como decisión una elección probabilística de adjudicar la compra a cada uno de los potenciales proveedores. De hecho, una de nuestras aportaciones es incluir el riesgo en la toma de decisiones de los productores. Si bien Carvalho (2010), Carvalho y Gabaix (2013), Stella (2015), Acemoglu et al. (2016), Acemoglu et al. (2017) y Atalay (2017) (entre otros) suponen choques aleatorios, también consideran que, una vez realizado el choque, es perfectamente conocido por los agentes; es decir, estos toman decisiones en certidumbre. En nuestro modelo, el hecho de que los otros agentes decidan asignando una probabilidad a cada una de las opciones, hace que la red misma sea aleatoria y, por tanto, cada 196 empresario deba tomar decisiones bajo riesgo, que se incrementa ante la presencia de un choque negativo. El resto del documento se encuentra organizado de la siguiente forma. La segunda sección muestra el planteamiento de la red productiva, el comportamiento de cada uno de los agentes económicos, el Equilibrio General de Mercado (EGM) y el proceso de quiebra de empresas. La tercera sección hace un ejercicio de simulación a partir de una red productiva pequeña y sencilla, y analiza cómo los choques de productividad de las empresas se difunden en el aparato productivo. Finalmente, la cuarta sección presenta las conclusiones del estudio. 2. Modelo En esta sección se plantea el modelo para el análisis de una red productiva con competencia imperfecta y quiebra de empresas. El sistema económico está conformado por un hogar representativo ℎ y las empresas 𝐽𝐽={1,2, … , 𝑁𝑁} que realizan transacciones en los mercados de bienes 𝐼𝐼={1,2, … , 𝑀𝑀} y en el mercado de trabajo 𝑙𝑙. Se supone 𝑁𝑁>𝑀𝑀. La red productiva se encuentra definida por un grafo dirigido 𝑅𝑅=(𝑉𝑉,𝛤𝛤), donde 𝑉𝑉=𝐽𝐽∪{ℎ} son los nodos que representan el conjunto de empresas 𝐽𝐽 y el hogar representativo ℎ, y 𝛤𝛤⊂𝑉𝑉×𝑉𝑉 son las aristas que representan las transacciones de compra-venta que pueden realizar estos agentes en los mercados de bienes 𝐼𝐼 y el mercado de trabajo 𝑙𝑙. Cabe resaltar que esta red es potencial, es decir, comprende todas las posibles transacciones entre las empresas. Cada empresa 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐽𝐽 produce un solo bien representado por el conjunto 𝑎𝑎(𝑗𝑗) y demanda un conjunto de insumos representado por el conjunto 𝑏𝑏(𝑗𝑗). Por supuesto 𝑎𝑎(𝑗𝑗)⊂𝐼𝐼,|𝑎𝑎(𝑗𝑗)| = 1, y 𝑏𝑏(𝑗𝑗)⊂𝐼𝐼∪{𝑙𝑙}. Se asume que las empresas no ofertan productos de su propio insumo y que siempre requieren trabajo �e.d. 𝑎𝑎(𝑗𝑗)∩𝑏𝑏(𝑗𝑗)=∅,𝑙𝑙∈𝑏𝑏(𝑗𝑗)�. El conjunto de producción de las empresas cumple los supuestos de libre disponibilidad, no free lunch, es un conjunto cerrado e incluye la posibilidad inacción. Por otro lado, el hogar representativo ℎ oferta el factor trabajo 𝑎𝑎(ℎ)={𝑙𝑙} y demanda el conjunto de bienes 𝑏𝑏(ℎ)⊂𝐼𝐼,𝑏𝑏(ℎ)≠∅. La preferencia del hogar se asume racional, continua, localmente no satisfecha y estrictamente convexa. Las correspondencias 𝑎𝑎(𝑗𝑗) y 𝑏𝑏(𝑗𝑗) se encuentran definidas de tal manera que todos los bienes tienen al menos un proveedor y un comprador. ∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼∪{𝑙𝑙},∃𝑗𝑗,𝑗𝑗′∈𝑉𝑉,𝑗𝑗≠𝑗𝑗′ | {𝑖𝑖}=𝑎𝑎(𝑗𝑗) ∧ 𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑗𝑗′) [1] Estas correspondencias asumen que las empresas se dedican exclusivamente a la producción de un solo tipo de bien, ya sea bien de consumo intermedio o final, no ambos. En términos formales, sea 𝐼𝐼𝔪𝔪=𝐼𝐼\𝑏𝑏(ℎ) el conjunto de bienes de consumo intermedio de cardinalidad 𝑀𝑀𝔪𝔪, y 𝐼𝐼𝔤𝔤=𝑏𝑏(ℎ) el conjunto de bienes de consumo final de cardinalidad 𝑀𝑀𝔤𝔤. Asimismo, sea 𝐽𝐽𝔪𝔪={𝑗𝑗∈𝐽𝐽 | 𝑎𝑎(𝑗𝑗)⊂𝐼𝐼𝔪𝔪 } el conjunto de empresas que producen bienes de consumo intermedio de cardinalidad 𝑁𝑁𝔪𝔪, y 𝐽𝐽𝔤𝔤= {𝑗𝑗∈𝐽𝐽 | 𝑎𝑎(𝑗𝑗)⊂𝐼𝐼𝔤𝔤 } el conjunto de empresas que producen bienes de consumo final de cardinalidad 𝑁𝑁𝔤𝔤. De esta manera se cumple que: 𝐽𝐽𝔪𝔪∩𝐽𝐽𝔤𝔤=∅,𝐽𝐽𝔪𝔪∪𝐽𝐽𝔤𝔤=𝐽𝐽 Sea 𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖) el conjunto de proveedores potenciales del insumo 𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑘𝑘)\{𝑙𝑙} para la empresa 𝑘𝑘∈ 𝐽𝐽. Este conjunto, para toda empresa y todo insumo distinto de trabajo, se asume está integrado por dos proveedores potenciales 𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖)={𝑗𝑗,𝚥𝚥}, donde 𝑗𝑗 es el proveedor habitual, es decir, aquella empresa a la cual contrata regularmente el comprador 𝑘𝑘 para la provisión del insumo 𝑖𝑖; y 𝚥𝚥 es el proveedor rival, es decir, aquella empresa que nunca antes ha transado con el comprador 𝑘𝑘 y que trata de desplazar al proveedor 𝑗𝑗. 197 En términos formales, el conjunto 𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖) cumple con la siguiente condición: ∀𝑘𝑘∈𝐽𝐽,∀𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑘𝑘),∃𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖)={𝑗𝑗,𝚥𝚥} ⊂𝐽𝐽𝔪𝔪,𝑗𝑗≠𝚥𝚥 | 𝑎𝑎(𝚥𝚥)=𝑎𝑎(𝑗𝑗)={𝑖𝑖} Las correspondencias 𝑎𝑎(𝑗𝑗), 𝑏𝑏(𝑗𝑗),𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖) permiten definir la estructura de la red productiva. Aquí, la arista (𝑗𝑗,𝑘𝑘) forma parte de la red 𝑅𝑅=(𝑉𝑉,𝛤𝛤) en cualquiera de los siguientes casos: el hogar representativo ℎ provee trabajo a las empresas 𝑘𝑘∈𝐽𝐽; la empresa 𝑗𝑗∈𝐽𝐽 produce bienes de consumo final para el hogar representativo 𝑘𝑘=ℎ; o la empresa 𝑗𝑗 es un proveedor (habitual o rival) de la empresa 𝑘𝑘. Estas condiciones se pueden expresar de la siguiente manera: ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽,𝑎𝑎(ℎ)∩𝑏𝑏(𝑗𝑗)≠∅⇒(ℎ,𝑗𝑗)∈𝛤𝛤 ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽,𝑎𝑎(𝑗𝑗)∩𝑏𝑏(ℎ)≠∅⇒(𝑗𝑗,ℎ)∈𝛤𝛤 ∀𝑗𝑗,𝑘𝑘∈𝐽𝐽,𝑗𝑗≠𝑘𝑘:∃𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑘𝑘)| 𝑗𝑗∈𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖) ⇒(𝑗𝑗,𝑘𝑘)∈𝛤𝛤 En esta red, el comportamiento de las empresas como compradoras de insumos se basa en un enfoque de elección probabilística. Cada empresa 𝑘𝑘∈𝐽𝐽 establece una probabilidad 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 de asignar efectivamente el contrato de provisión del insumo 𝑖𝑖 al proveedor 𝑗𝑗∈𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖). Este comportamiento se produce por la falta de información que posee el comprador respecto a sus proveedores y el trade-off entre beneficio esperado y riesgo que afronta. El planteamiento formal de este proceso de elección se realiza en la siguiente sección. Por tanto, las probabilidades 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 dependen de los precios de venta que establecen los proveedores en la red productiva. Sea 𝑝𝑝𝔪𝔪=�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪�∈ℝ+ 𝑁𝑁×ℝ+ 𝑁𝑁𝔪𝔪 los precios que establecen las empresas que producen bienes intermedios, donde 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 es el precio de oferta del proveedor 𝑗𝑗 a la empresa 𝑘𝑘, cuando 𝑗𝑗∈𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖),𝑎𝑎(𝑗𝑗)= {𝑖𝑖}. Entonces, la probabilidad 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 que tiene el comprador 𝑘𝑘 de contratar el proveedor habitual 𝑗𝑗 se encuentra determinada por el precio que ofrece este proveedor 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 y el precio que ofrece el proveedor rival 𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪: ∀𝑘𝑘∈𝐽𝐽,∀𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑘𝑘),𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗=𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪� 𝑗𝑗,𝚥𝚥∈𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖) Estas funciones permiten definir el espacio probabilístico (𝛺𝛺,𝛹𝛹), donde 𝛺𝛺=�𝜔𝜔=�𝑉𝑉,𝛤𝛤� � | 𝛤𝛤�⊆ 𝛤𝛤 � es el conjunto de realizaciones de la red productiva 𝑅𝑅=(𝑉𝑉,𝛤𝛤). Aquí, la arista (𝑗𝑗,𝑘𝑘)∈ 𝛤𝛤� si la empresa 𝑘𝑘 efectivamente asignó el contrato de provisión a la empresa 𝑗𝑗 (Cabe subrayar que cada realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 representa un conjunto diferente de transacciones efectivas entre las empresas, es decir representa un subgrafo de 𝑅𝑅). Por otro lado, 𝛹𝛹(𝜔𝜔 | 𝑝𝑝𝔪𝔪) es la probabilidad de la realización 𝜔𝜔∈ 𝛺𝛺, dado los precios 𝑝𝑝𝔪𝔪. El conjunto de realizaciones 𝛺𝛺 asume que toda empresa puede ofertar su producto a uno o más compradores (o a ninguno), y que puede demandar cualquier insumo desde un solo proveedor. Formalmente, sea 𝛤𝛤�(𝜔𝜔) las transacciones de compra-venta de la realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺. Sean Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔)= {𝑘𝑘𝑗𝑗𝑉𝑉 |(𝑗𝑗,𝑘𝑘)∈𝛤𝛤�(𝜔𝜔) } y Δ𝑗𝑗𝑗𝑗 −(𝜔𝜔)={𝑘𝑘𝑗𝑗𝑉𝑉 |(𝑘𝑘,𝑗𝑗)∈𝛤𝛤�(𝜔𝜔),𝑎𝑎(𝑘𝑘)={𝑖𝑖}} dos operadores que muestran los compradores y proveedores de la empresa 𝑗𝑗 en dicha realización, respectivamente. Entonces, el conjunto 𝛺𝛺 cumple: ∀𝜔𝜔∈𝛺𝛺,∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼 �Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔)�≥0, �Δ𝑗𝑗𝑗𝑗 −(𝜔𝜔)�= 1 Asimismo, se asume que todas las transacciones entre las empresas 𝐽𝐽 y el hogar representativo ℎ son efectivas en cualquier realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺, por lo que el conjunto 𝛺𝛺 cumple, además: ∀𝜔𝜔∈𝛺𝛺,∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽| (𝑎𝑎(𝑗𝑗)∩𝑏𝑏(ℎ)≠∅∨𝑎𝑎(ℎ)∩𝑏𝑏(𝑗𝑗)≠∅),{(𝑗𝑗,ℎ),(ℎ,𝑗𝑗)}⊂𝛤𝛤�(𝜔𝜔) 198 Para apreciar el planteamiento del modelo, consideremos la red productiva que se ilustra en la Figura 1. En esta red existen 6 empresas 𝐽𝐽={𝑗𝑗1,𝑗𝑗2,𝑗𝑗3,𝑗𝑗4,𝑗𝑗5,𝑗𝑗6} y un hogar representativo ℎ, que interactúan en 3 mercados de bienes 𝐼𝐼={𝑖𝑖1,𝑖𝑖2,𝑖𝑖3} y el mercado de trabajo 𝑙𝑙. Figura 1. Ejemplo de Red Productiva 𝑹𝑹. Nota. Esta figura ilustra un ejemplo de red productiva. Cada nodo representa una empresa, cada arista representa una transacción potencial de compra-venta, y cada color identifica un bien. Si las aristas se encuentran en línea continua, se trata de la oferta del proveedor habitual; y si las aristas se encuentran en línea discontinua, la oferta es del proveedor rival. Fuente: Elaboración propia. La producción de las empresas se encuentra definida por los productos 𝑎𝑎(𝑗𝑗1)={𝑖𝑖3}, 𝑎𝑎(𝑗𝑗2)= {𝑖𝑖3}, 𝑎𝑎(𝑗𝑗3)={𝑖𝑖1}, 𝑎𝑎(𝑗𝑗4)={𝑖𝑖1}, 𝑎𝑎(𝑗𝑗5)={𝑖𝑖2},𝑎𝑎(𝑗𝑗6)={𝑖𝑖2}; mientras que su demanda de insumos está definida por los conjuntos 𝑏𝑏(𝑗𝑗1)={𝑖𝑖1,𝑙𝑙}, 𝑏𝑏(𝑗𝑗2)={𝑖𝑖2,𝑙𝑙}, 𝑏𝑏(𝑗𝑗3)={𝑙𝑙}, 𝑏𝑏(𝑗𝑗4)={𝑖𝑖2,𝑙𝑙}, 𝑏𝑏(𝑗𝑗5)={𝑙𝑙}, 𝑏𝑏(𝑗𝑗6)={𝑖𝑖1,𝑙𝑙}. Por otro lado, la preferencia del hogar representativo se encuentra definida sobre los ítems 𝑎𝑎(ℎ)={𝑙𝑙} y 𝑏𝑏(ℎ)={𝑗𝑗1,𝑗𝑗2}. Las transacciones se encuentran señaladas mediante distintos colores. Las transacciones del bien 𝑖𝑖1 se dibujan en color azul, las transacciones del bien 𝑖𝑖2 en color rojo, las transacciones del bien 𝑖𝑖3 en color naranja, y las transacciones de trabajo en color negro. Como se puede observar, los mercados 𝐼𝐼𝔪𝔪={𝑖𝑖1,𝑖𝑖2} son los mercados de bienes de consumo intermedio donde participan las empresas 𝐽𝐽𝔪𝔪= {𝑗𝑗3,𝑗𝑗4,𝑗𝑗5,𝑗𝑗6}; mientras que el mercado 𝐼𝐼𝔤𝔤={𝑖𝑖3} es el mercado de consumo final donde participan las empresas 𝐽𝐽𝔤𝔤={𝑗𝑗1,𝑗𝑗2}. Los proveedores habituales y rivales de cada empresa se distinguen mediante aristas continuas y entrecortadas, respectivamente. Por ejemplo, la empresa 𝑗𝑗2 tiene como proveedor habitual del bien 𝑖𝑖2 a la empresa 𝑗𝑗6 y como proveedor rival a la empresa 𝑗𝑗5 (e.d. 𝑐𝑐(𝑗𝑗2,𝑖𝑖1)={𝑗𝑗6 , 𝚥𝚥5}) . Asimismo, la empresa 𝑗𝑗6 tiene como proveedor habitual del bien 𝑖𝑖1 a la empresa 𝑗𝑗3 y como proveedor rival a la empresa 𝑗𝑗4 (e.d. 𝑐𝑐(𝑗𝑗6,𝑖𝑖1)={𝑗𝑗3 , 𝚥𝚥4}). Dos realizaciones de esta red productiva se ilustran en la Figura 2. 205 donde 𝑈𝑈�𝑥𝑥(𝜔𝜔),𝑙𝑙ℎ(𝜔𝜔)� es la función de utilidad del consumidor, 𝑥𝑥(𝜔𝜔)= �𝑥𝑥1(𝜔𝜔), … , 𝑥𝑥𝑀𝑀𝔤𝔤(𝜔𝜔)�′∈ℝ+ 𝑀𝑀𝔤𝔤 es el vector de consumo en la realización 𝜔𝜔∈Ω, 𝑝𝑝𝔤𝔤(𝜔𝜔)= �𝑝𝑝1𝔤𝔤(𝜔𝜔),…,𝑝𝑝𝑀𝑀𝔤𝔤 𝔤𝔤(𝜔𝜔)�′∈ℝ+ 𝑀𝑀𝔤𝔤 es el vector de precios de los bienes de consumo final, 𝑙𝑙ℎ(𝜔𝜔)∈ℝ+ es la oferta de mano de obra, y 𝜋𝜋(𝜔𝜔) es el total de ganancias de las empresas. 𝜋𝜋(𝜔𝜔)=� 𝜋𝜋𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑗𝑗𝑖𝑖𝐽𝐽𝔪𝔪+� 𝜋𝜋𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑗𝑗𝑖𝑖𝐽𝐽𝔤𝔤 La solución de este problema para preferencias tipo CES se muestra en el Anexo A. 2.3. Equilibrio General de Mercado (EGM) El comportamiento e interacción de las empresas y el hogar representativo en la red productiva permite determinar lo que denominamos el Equilibrio General de Mercado (EGM). Este equilibrio representa un sistema de precios y cantidades para el que las empresas y el hogar toman su mejor decisión de acuerdo a los problemas planteados anteriormente. Cabe recalcar que estas decisiones son óptimas ex-ante, pues los agentes económicos maximizan el valor esperado de su beneficio o utilidad. Solo en el caso de los hogares y las empresas de bienes finales, estas decisiones son óptimas ex-post ya que no afectan la elección probabilística de los compradores (e.d. 𝛹𝛹(𝜔𝜔| 𝑝𝑝𝔪𝔪) es exógena); mientras que para las empresas de bienes intermedios esta situación no ocurre. En este sentido, es primordial establecer ciertas consideraciones para asegurar que las transacciones de compra-venta se efectúen en cualquier realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺, incluso en aquellas realizaciones donde las empresas de bienes intermedios podrían obtener beneficios menores a los esperados. Supuesto 1. Equilibrio local ex-post en el mercado de bienes intermedios Los proveedores de bienes intermedios tienen derecho de definir el precio de su producto; mientras que los compradores de dichos bienes tienen el derecho de definir su demanda, sin que los proveedores puedan negarse a producir la cantidad que ellos requieren una vez decididos los precios. Este supuesto elimina la posibilidad de racionamiento y agrega un rasgo de equilibrio local para el mercado especifico de cada proveedor. ∀𝜔𝜔∈𝛺𝛺,∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪,𝑦𝑦𝑗𝑗(𝜔𝜔)=∑𝑧𝑧𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔) [6] Supuesto 2. Equilibrio global ex-post en el mercado de bienes de consumo final Las empresas de bienes de consumo final y el hogar representativo tienen el mismo derecho de definir la demanda y oferta de bienes, respectivamente. ∀𝜔𝜔∈𝛺𝛺,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝔤𝔤,𝑥𝑥𝑗𝑗(𝜔𝜔)=∑𝑦𝑦𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔤𝔤| 𝑎𝑎(𝑗𝑗)={𝑖𝑖} [7] Supuesto 3. Equilibrio global ex-post en el mercado de trabajo Las empresas y el hogar representativo tienen el mismo derecho de definir la demanda y oferta de trabajo, respectivamente. ∀𝜔𝜔∈𝛺𝛺,𝑙𝑙ℎ(𝜔𝜔)=∑𝑙𝑙𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝐽𝐽 [8] donde 𝑙𝑙𝑗𝑗(𝜔𝜔) es la demanda de trabajo de la empresa 𝑗𝑗∈𝐽𝐽 en la realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺. 206 Es necesario resaltar que todas las variables que conforman estos equilibrios se encuentran en función de los precios de bienes de consumo intermedio 𝑝𝑝𝔪𝔪 , los precios de bienes de consumo final 𝑝𝑝𝔤𝔤(𝜔𝜔) y el salario 𝑤𝑤(𝜔𝜔), de acuerdo a los problemas de decisión descritos anteriormente. Definición 1. Equilibrio General de Mercado (EGM) El Equilibrio General de Mercado es aquel sistema de precios y cantidades Λ= (𝑝𝑝𝔪𝔪∗,{𝑥𝑥∗(𝜔𝜔),𝑦𝑦∗(𝜔𝜔),𝑝𝑝𝔤𝔤∗(𝜔𝜔),𝑤𝑤∗(𝜔𝜔)}𝜔𝜔∈Ω) determinado por los comportamientos [3], [4] y [5] y las condiciones de equilibrio ex-post [6], [7] y [8]. El EGM comparte algunas características del equilibrio walrasiano. Por ejemplo, los precios de los bienes de consumo final 𝑝𝑝𝔤𝔤∗(𝜔𝜔) y el salario 𝑤𝑤∗(𝜔𝜔) se determinan de tal forma que limpian los mercados de bienes finales y mano de obra en cada realización 𝜔𝜔∈Ω. De hecho, debido a la restricción presupuestaria del hogar representativo, se cumple la ley de Walras, por lo que es suficiente considerar el equilibrio local en el mercado de bienes intermedios [6] y el equilibrio global en el mercado de bienes finales [7], para alcanzar el equilibrio global en el mercado laboral [8]. Pese a esta similitud, el EGM no constituye en sí mismo un equilibrio walrasiano, ya que considera un fenómeno de fijación y discriminación de precios en la oferta de bienes intermedios. Asimismo, el EGM tiene fuerte sintonía con el concepto del equilibrio de Nash, puesto que los precios 𝑝𝑝𝔪𝔪∗ se determinan de manera interdependiente, tomando en cuenta las estrategias de cada una de las empresas dado sus posibles transacciones en la red productiva. De acuerdo al problema [3], cada empresa 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐽𝐽𝔪𝔪 fija su vector de precios 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪∗ de manera que maximice su beneficio esperado, asumiendo que el resto de proveedores actúa de la misma forma para los precios 𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪∗. Es esta interacción la que establece los precios en la red y la que condiciona el comportamiento del resto de agentes en el modelo. La existencia de este equilibrio se demuestra en el Anexo B cuando se tiene un hogar representativo con preferencias Cobb-Douglas sin preferencia al ocio, las empresas tienen una tecnología Marx-Leontief en la demanda de insumos, la producción de cada bien de consumo final se realiza a través de una firma representativa y la función de trade-off en el problema de elección probabilística de los compradores tiene una especificación lineal. 2.4. Quiebra de empresas En el presente modelo se supone que las empresas quiebran de manera aleatoria de acuerdo a un proceso estocástico en el que se tiene en cuenta su desempeño económico en periodos anteriores. En este proceso, cada periodo de tiempo se encuentra delimitado por el EGM que ha sido alcanzado por las empresas que subsistieron hasta ese instante. En términos formales, sea {𝑠𝑠𝑡𝑡}𝑡𝑡≥0 un proceso estocástico que muestra el conjunto de empresas 𝑠𝑠𝑡𝑡 que se encuentran activas en el periodo 𝑡𝑡 (e.d. que permanecen en la red hasta ese instante), tal que 𝑠𝑠𝑡𝑡+1⊆𝑠𝑠𝑡𝑡. Este proceso tiene la siguiente función de probabilidad: 𝛨𝛨(𝑣𝑣𝑡𝑡+1,𝑣𝑣𝑡𝑡, … , 𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟)= Pr(𝑠𝑠𝑡𝑡+1=𝑣𝑣𝑡𝑡+1 𝑠𝑠𝑡𝑡=𝑣𝑣𝑡𝑡, … , 𝑠𝑠𝑡𝑡−𝑟𝑟=𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟 ⁄) ∀𝑡𝑡≥0, ∀𝑣𝑣𝑡𝑡+1,𝑣𝑣𝑡𝑡, … , 𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟 𝑗𝑗 ℘(𝐽𝐽) [9] donde 𝛨𝛨(𝑣𝑣𝑡𝑡+1,𝑣𝑣𝑡𝑡, … , 𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟) es la probabilidad de que las empresas 𝑣𝑣𝑡𝑡+1 se encuentren activas en el periodo 𝑡𝑡+ 1, dado que las empresas 𝑣𝑣𝑡𝑡,…,𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟 estuvieron activas en 𝑟𝑟 periodos anteriores; y ℘(𝐽𝐽) representa el conjunto de posibles subconjuntos de 𝐽𝐽 tal que se cumple la condición [1] y que cada empresa posee al menos un proveedor por insumo que requiere (e.d. ∀𝑠𝑠∈℘(𝐽𝐽),∀𝑘𝑘∈𝑠𝑠,∀𝑖𝑖∈ 𝑏𝑏(𝑘𝑘),𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖)≠∅). En este proceso, cada conjunto de empresas 𝑠𝑠𝑡𝑡 se encuentra asociado con su correspondiente equilibrio general de mercado Λ𝑠𝑠𝑡𝑡 y espacio de realizaciones 𝛺𝛺𝑠𝑠𝑡𝑡. Para representar la dinámica del 207 conjunto de empresas 𝑠𝑠𝑡𝑡 de acuerdo al proceso estocástico [9], y propiamente del conjunto de empresas que quiebran 𝐽𝐽\𝑠𝑠𝑡𝑡, se toman en cuenta los siguientes supuestos. Supuesto 4. Independencia Intratemporal Las empresas permanecen/quiebran de manera independiente en cada instante de tiempo, tomando en cuenta solo sus ganancias obtenidas en el pasado. 𝛨𝛨(𝑣𝑣𝑡𝑡+1,𝑣𝑣𝑡𝑡, … , 𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟)=∏𝜂𝜂𝑗𝑗�𝜋𝜋�𝑗𝑗 | Λ𝑣𝑣𝑡𝑡,…,Λ𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟� 𝑗𝑗∈𝑣𝑣𝑡𝑡+1 [10] donde 𝜂𝜂𝑗𝑗�𝜋𝜋�𝑗𝑗 | Λ𝑣𝑣𝑡𝑡,…,Λ𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟� es la probabilidad de que la empresa 𝑗𝑗 se encuentre activa en el periodo 𝑡𝑡+ 1, dado los equilibrios Λ𝑣𝑣𝑡𝑡, … , Λ𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟 en 𝑟𝑟 periodos anteriores; y 𝜋𝜋�𝑗𝑗=�𝜋𝜋�𝑗𝑗,𝑡𝑡, … , 𝜋𝜋�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑟𝑟�′∈ ℝ+ 𝑟𝑟 es el vector de ganancias observadas de la empresa 𝑗𝑗 para esos periodos. Supuesto 5. Dependencia Intertemporal Cuanto menor sea el número de veces que las empresas obtuvieron ganancias positivas en el pasado, menor será su probabilidad de permanecer en la red y, por lo tanto, mayor será su probabilidad de quebrar. 𝜂𝜂𝑗𝑗�𝜋𝜋�𝑗𝑗 | Λ𝑣𝑣𝑡𝑡,…,Λ𝑣𝑣𝑡𝑡−𝑟𝑟�=𝑓𝑓�� 𝟏𝟏�𝜋𝜋�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑗𝑗> 0� 𝑟𝑟𝑗𝑗=1 �,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥> 0 [11] donde 𝟏𝟏�𝜋𝜋�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑗𝑗> 0� es una función indicatriz que muestra cuándo la empresa obtuvo ganancias. Debido a que las empresas de bienes de consumo final operan en mercados perfectamente competitivos, sus ganancias siempre serán positivas en cualquier realización de la red, por lo que estas empresas siempre participarán en el mercado (e.d. 𝜂𝜂𝑗𝑗= 1 ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔤𝔤). Añadimos, así, a la quiebra de empresas y sus consecuencias en el análisis de la difusión de choques negativos en la red productiva. Nuestro modelo se diferencia del trabajo de Baqaee (2018) el cual es de corto plazo, ya que no asume la movilidad de los factores hasta alcanzar un nuevo equilibrio. 3. Simulación de choques negativos de productividad La red que se emplea para la simulación del modelo posee 15 empresas 𝐽𝐽={𝑗𝑗1,𝑗𝑗2, … , 𝑗𝑗15}, 5 bienes 𝐼𝐼={𝑖𝑖1,𝑖𝑖2,…,𝑖𝑖5} y un hogar representativo 𝐻𝐻. Las empresas se dividen uniformemente en 5 niveles de encadenamientos. Cada nivel contiene 3 empresas que producen un mismo bien y que demandan un mismo. La Figura 5 ilustra esta red excluyendo las transacciones en el mercado laboral. Todas las transacciones de la red se encuentran representadas mediante aristas direccionadas. Como se recordará en la explicación de la Figura 1, el color identifica el bien objeto de transacción, mientras que el tipo de línea distingue el tipo de proveedor: línea continua si es proveedor habitual o línea punteada si es proveedor rival. En total, esta red posee |Ω|= 212= 4,096 posibles realizaciones. Todas las empresas de la red tienen funciones de demanda condicionada y costo mínimo según una tecnología CES de retornos constantes de escala. Asimismo, el hogar representativo tiene funciones de demanda marshaliana de acuerdo a función de utilidad CES. Estas funciones se muestran en el Anexo A. La probabilidad de contratar a los proveedores habituales se representa a través de un spline de 3er orden decreciente, que es igual a 1 cuando su precio de venta es menor al precio del proveedor rival, y 0 cuando su precio es mayor al precio del proveedor rival en 2 unidades monetarias. Por 208 complementariedad, el mismo spline se utiliza para representar la probabilidad de contratación de los proveedores rivales. Por otro lado, la probabilidad de permanencia de una empresa se asume depende de manera directamente proporcional del número de veces que obtuvo ganancias hasta 5 periodos atrás. Figura 5. Red Productiva empleada para la simulación del modelo. Nota: Esta figura muestra la red productiva con la que se simula el modelo. Cada nodo representa una empresa, cada arista representa una transacción de compra-venta, y cada color identifica un bien. Si las aristas se encuentran en línea continua, las transacciones se realizan con el proveedor habitual, por el contrario, si las aristas se encuentran en línea punteada, las transacciones se realizan con el proveedor rival. Para efectos de ilustración, se omite las transacciones del mercado laboral. Fuente: Elaboración propia. Para efectos del análisis, a continuación, se estudia el efecto que tiene un choque negativo de productividad del 20% sobre la empresa 𝑗𝑗9. El choque sobre otras empresas no se analiza en el presente documento, sin embargo, produce resultados similares (Estas simulaciones están disponibles previa solicitud a los autores). La simulación de este choque en el modelo se realiza mediante 1000 ensayos aleatorios sobre un horizonte de tiempo de 30 periodos; cada periodo se encuentra determinado por el EGM correspondiente a las empresas que subsistieron hasta ese instante. La programación del modelo se realizó en MATLAB. El algoritmo que es utiliza para la determinación númerica del EGM en estas simulaciones se muestra en el Anexo C. 3.1. Efectos sobre los precios del EGM en el periodo inicial Como se observa en la Figura 6.a, un choque negativo de productividad sobre la empresa 𝑗𝑗9 produce cambios no solo en sus precios de venta sino también en los precios de venta del resto de firmas en la 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 H bien 1 bien 2 bien 3 bien 4 bien 5 209 red en el periodo inicial. Cada celda de esta tabla muestra la variación porcentual del precio que fija un proveedor (fila) a su comprador potencial (columna) de acuerdo a una coloración rojo-azul. Esta coloración indica el signo y magnitud de la variación de los precios. Si la celda tiene color rojo, entonces los precios disminuyen; por el contrario, si la celda tiene color azul, los precios aumentan. La intensidad de cada color depende de la cuantía de la variación en valor absoluto. Esta misma coloración se aplica sobre las aristas de la red en la Figura 6.b. Figura 6. Variación de los precios de bienes intermedios en el periodo inicial, cuando existe un choque de productividad del 20% sobre la empresa 9. Nota. La tabla a) muestra la variación porcentual de los precios de venta que fijan los proveedores a sus compradores potenciales. Los proveedores se encuentran ubicados por filas y los compradores por columnas. La coloración rojo-azul indica el signo y magnitud de la variación del precio. Si el color es rojo, entonces disminuyen los precios. Cuanto más alta sea la intensidad de color rojo, más alta es la disminución del precio. Por el contrario, si el color es azul, entonces aumentan los precios. Cuanta más alta sea la intensidad de color azul, más alto es el aumento de los precios. La figura b) reproduce esta coloración sobre las aristas de la red productiva. Fuente: Elaboración propia. En primer lugar, se puede observar que el choque negativo de productividad sobre la empresa 𝑗𝑗9 aumenta sus precios de venta en 18.3% y 7.1% para los compradores 𝑗𝑗11 y 𝑗𝑗12, respectivamente. Este incremento se debe al aumento del costo marginal que experimenta la empresa después del choque y se presenta de manera más marcada en aquellas transacciones donde la empresa participa como proveedor rival (ya que en estos casos la posible pérdida de un comprador por incrementar el precio es menor). Este choque se difunde en la red y genera dos efectos prevalentes en los precios de venta del resto de empresas en la red: un efecto horizontal y un efecto cascada “aguas abajo”. El efecto horizontal constituye el aumento de precios para las empresas que pertenecen al mismo nivel de encadenamiento de la empresa que recibió el choque. Este efecto se puede distinguir por el color azul que toman las celdas de la fila 7, 8 y 9 en la Tabla 6.a y que se ubican en las columnas 11 y 12. También se puede visualizar en la red 6.b mediante el color azul que toman las aristas que parten de los nodos 7, 8 y 9, y terminan en los mismos nodos 11 y 12. Por ejemplo, se observa que la competencia entre las empresas 𝑗𝑗8 y 𝑗𝑗9 en torno al comprador 𝑗𝑗11, trasmite el choque que recibe la empresa 𝑗𝑗9 hacia la empresa 𝑗𝑗8, aumentando su precio de venta en 8.6% para el comprador 𝑗𝑗11. Por otro lado, el efecto cascada “aguas abajo” representa el aumento de precios que ocurre de comprador en 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Compradores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Proveedores a) Variación Porcentual Precios -0.2% -0.1% -1.6% -2.6% -0.7% -1.2% 0.7% 0.5% -2.4% -2.0% -1.6% -1.7% 0.4% -0.6% 8.6% 2.6% 7.1% 0.5% 1.3% 1.7% 3.0% 0.4% 0.8% 18.3% -15 -10 -5 0 5 10 15 NaN b) Red Productiva 123 45 6 7 89 10 1112 13 1415 H 210 comprador en la red. Este efecto se puede visualizar mediante el color azul de las celdas de la Figura 6.a que se ubican por debajo de la fila 9. De igual forma, este efecto se puede visualizar mediante el color azul de las aristas de la red 6.b ubicadas por encima del nodo 9. Por ejemplo, se observa que el choque que recibe la empresa 𝑗𝑗9 se trasmite a su comprador 𝑗𝑗11, el cual incrementa sus precios en 1.3% y 3% para los compradores 𝑗𝑗13 y 𝑗𝑗14, respectivamente. La razón de ambos efectos es simple. Por un lado, el efecto horizontal se debe a la interacción que existe entre las firmas al momento de fijar los precios. Si una empresa incrementa sus precios de venta después de un choque, entonces sus compradores comenzarán a realizar transacciones con otros proveedores de la competencia. Estos proveedores, en vista de un aumento de la demanda, también incrementarán sus precios de venta, pero lo harán en una proporción menor que el de la empresa afectada por el choque, pues de lo contrario perderían los compradores ganados en un inicio. Por otro lado, el efecto cascada “aguas abajo” se debe a un factor de costos. Cuando una empresa recibe un choque negativo, su costo marginal aumenta, obligando a subir sus precios de venta. Este hecho, sumado al efecto horizontal, incrementa el costo de sus compradores, que aumentarán también sus precios de venta para ajustarse al alza de costos. Este efecto se trasmite de comprador en comprador en la red y disminuye a medida que los compradores se alejan de la empresa afectada. 3.2. Efectos sobre las ganancias del EGM en el periodo inicial El aumento de precios de la empresa que recibió el choque trae implicaciones importantes en el análisis del EGM. Un incremento significativo de los precios resta competitividad a la empresa afectada dentro del conjunto de firmas que atiende a un mismo segmento de mercado, lo que disminuye su posibilidad de vender el producto y obtener ganancias. Este efecto se puede difundir en la red productiva a través de las transacciones de compra-venta y vulnerar la rentabilidad de otras empresas. Para analizar este fenómeno, se calcula la variación porcentual de la frecuencia con que las empresas obtienen ganancias no nulas en el periodo inicial. Esta frecuencia nos da una idea de la probabilidad que tiene una empresa para generar ganancias positivas y tener relaciones comerciales con sus compradores. La variación de este indicador se muestra en la Figura 7.a mediante barras de color rojo y azul para aquellos valores que son negativos y positivos, respectivamente. La misma coloración se emplea para los nodos de la red en la Figura 7.b, y se señala mediante un camino aquellas empresas que presentan las variaciones negativas más altas. Teniendo en cuenta ambas figuras, se puede observar que el choque sobre la empresa 𝑗𝑗9 genera un efecto cascada “aguas arriba” sobre las ganancias de las empresas, que se propaga solo hacia los proveedores habituales de la red. Como se puede apreciar, el choque sobre la empresa 𝑗𝑗9 disminuye su posibilidad de obtener ganancias positivas en 8.0%. Pero no solo eso, también disminuye esta posibilidad para su proveedor habitual 𝑗𝑗5 en 6.2%, y para el proveedor habitual de este último 𝑗𝑗1 en 5.2%. Estos efectos están acompañados por efectos positivos en otras empresas que tienden a reemplazar los proveedores afectados en el mismo nivel de encadenamiento. Por ejemplo, tras el choque en la empresa 𝑗𝑗9, las empresas de la competencia 𝑗𝑗7 y 𝑗𝑗8 aumentan sus posibilidades de obtener ganancias positivas en 1.3% y 4.9%, respectivamente. El motivo por el que el efecto cascada “aguas arriba” se propaga exclusivamente sobre los proveedores habituales se debe a la alta frecuencia con que estos proveedores participan en las transacciones de la red. Los proveedores habituales obtienen ganancias en la mayor parte de las ocasiones cuando sus compradores deciden contratarlos, por lo que si los compradores no obtienen ganancias (porque sus precios de venta son menos competitivos) ellos tampoco. En otras palabras, si un proveedor vende regularmente su producto a algún comprador en la red, todo lo que le sucede a este comprador repercute en las ganancias del proveedor (y consecuentemente en las ganancias de aquellos proveedores que regularmente abastezcan a este último). Es necesario resaltar que esta difusión hace más competitivos a los proveedores rivales, los cuales en cambio aumentan sus posibilidades de realizar transacciones en la red y por ende obtener ganancias. 211 Figura 7. Variación de la frecuencia de ganancias no nulas en el periodo inicial, cuando existe un choque de productividad del 20% sobre la empresa 9. Nota. La Figura a) es un diagrama de barras que muestra la variación porcentual de la frecuencia con que las empresas obtienen ganancias no nulas. Esta frecuencia se construye teniendo en cuenta la función distribución empírica del EGM antes y después del choque de productividad. La coloración rojo-azul indica el signo de la variación. Si el color es rojo, entonces disminuye la frecuencia. Por el contrario, si el color es azul, entonces aumenta la frecuencia. La Figura b) reproduce esta coloración sobre los nodos de la red productiva y traza el camino con aquellos nodos que presentan la variación negativa más alta. Fuente: Elaboración propia. 3.3. Efectos sobre la quiebra de empresas La difusión del choque de productividad “aguas arriba” sobre las ganancias de las empresas en el periodo inicial es un elemento clave para entender cómo éstas quiebran en el transcurso del tiempo. Como se recordará en el diseño del modelo, una empresa tiene una mayor probabilidad de quiebra cuanto mayor sea el número de periodos que posea ganancias nulas. En este sentido, si se conoce cómo un choque incide en la forma de obtener ganancias, entonces se podrá explicar el efecto del mismo sobre la quiebra de las empresas. La Figura 8 muestra la variación porcentual de la tasa de quiebra promedio de las empresas sobre un conjunto de 1000 ensayos aleatorios en un horizonte de tiempo de 30 periodos. Cada fila corresponde a una empresa y cada columna corresponde a un periodo de tiempo. La coloración rojoazul indica el signo y magnitud de la variación. Si el color es rojo, entonces aumenta la tasa de quiebra. Cuanto más alta sea la intensidad de color rojo, más alto es el aumento de la tasa de quiebra. Por el contrario, si el color es azul, entonces disminuye la tasa de quiebra. Cuanto más alta sea la intensidad de color azul, más alta es la disminución de la tasa de quiebra. Para analizar este efecto, se elabora la Figura 8. Esta figura muestra la variación de la tasa de quiebra promedio de las empresas en la red productiva mediante un mapa de calor con una coloración rojo-azul invertida. El color rojo indica que la variación es positiva (es decir, aumentan las posibilidades de que la empresa quiebre) mientras que el color azul indica que la variación es negativa (es decir, aumentan las posibilidades de que la empresa permanezca en la red). Cuanto más alta sea la intensidad de cada color, mayor es la variación de la tasa de quiebra (en valor absoluto) de una empresa en un periodo determinado. a) Frecuencia de Ganancias no Nulas -5.2% 3.3% 0.9% 0.7% -6.2% 4.2% 1.3% 4.9% -8.0% 1.3% -1.4% -0.7% 0.0% 0.0% 0.0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Empresas -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% Var. Porcentual b) Red Productiva 123 45 6 7 89 10 1112 13 1415 H 212 Figura 8. Variación de la tasa de quiebra promedio por empresa para 30 periodos, cuando existe un choque de productividad del 20% sobre la empresa 9. Fuente: Elaboración propia. A grandes rasgos se observa que el choque de productividad en la empresa 𝑗𝑗9 acentúa la quiebra de los proveedores habituales que se encuentran “aguas arriba”. En primer lugar, este choque causa que la empresa 𝑗𝑗9 aumente sus posibilidades de quebrar desde el periodo 3, hasta incrementar su tasa de quiebra en 14% al finalizar los 30 periodos de tiempo. Este efecto se propaga de proveedor en proveedor, con una fuerza menor. Por ejemplo, se observa que las empresas 𝑗𝑗5 y 𝑗𝑗1 aumentan también sus posibilidades de quebrar desde el periodo 3 y 5, pero con un incremento de su tasa de quiebra del 10% y 8% al terminar los 30 periodos, respectivamente. Se puede observar también un efecto negativo sobre las empresas 𝑗𝑗11 y 𝑗𝑗12, compradores de la empresa 𝑗𝑗9, aunque más tenue. Cabe resaltar en esta figura que existen empresas que, por el contrario, aumentan sus posibilidades de permanecer en la industria debido a su condición de proveedores rivales. Este es el caso de las empresas 𝑗𝑗2,𝑗𝑗4,𝑗𝑗6,𝑗𝑗7,𝑗𝑗8, que aumentan su permanencia en la red a fin de reemplazar aquellos proveedores habituales que fueron desplazados por el choque. Como se había manifestado, el efecto cascada “aguas arriba” sobre las ganancias en el periodo inicial ayuda a entender cómo se origina el efecto cascada “aguas arriba” sobre la quiebra de los proveedores habituales. Un choque de productividad sobre una empresa aumenta sus precios de venta, lo que disminuye su posibilidad de realizar transacciones en la red y obtener ganancias positivas en el periodo inicial. Este efecto se propaga de proveedor en proveedor de tal manera que los proveedores habituales también reducen su posibilidad de obtener ganancias. En este sentido, toda la cadena de empresas, desde la empresa que recibió el choque hasta el último de los proveedores habituales afectados, será más propensa de quebrar en un próximo periodo. Si en el siguiente periodo alguna de estas empresas quiebra, la actividad de los proveedores habituales de la empresa que quebró se contraerá de manera sustancial (pues gran parte de sus ventas 5 10 15 20 25 30 Periodos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Empresas -10 -5 0 5 10 Var (%) Tasa de Quiebra Promedio 213 se pierden por no tener comprador), limitando aún más su posibilidad de obtener ganancias y de permanecer en la red. Lo mismo sucederá para el resto de proveedores habituales que se encuentran “aguas arriba”, debido al efecto cascada en las ganancias que se reproduce para dicho instante de tiempo. Este proceso ocurre sucesivamente periodo a periodo a medida que las empresas salen de la industria, condicionando cada vez más las ganancias de las empresas que permanecen en la red productiva. 4. Conclusiones La difusión de choques microeconómicos en redes productivas representa uno de los campos de investigación de mayor desarrollo dentro del análisis de redes económicas en la última década. Su objetivo se enmarca principalmente en el hallazgo de efectos cascada, es decir, la propagación de choques de productividad hacia la cadena de compradores o proveedores de la red mediante las relaciones intersectoriales insumo-producto. En esta línea se han desarrollo diversos trabajos teóricos que se enfocan en la teoría de equilibrio general, con un uso importante de supuestos como: mercados de competencia perfecta, firmas representativas, redes exógenas, empresas permanentes sin posibilidad de quiebra, y tecnologías/preferencias tipo Cobb-Douglas. Estos supuestos incorporan restricciones fuertes en el comportamiento de la red productiva y reducen la complejidad del sistema económico que se pretende estudiar. Como tal, pueden atenuar la propagación de los choques microeconómicos o limitarla a ciertas empresas en la red. El presente documento realiza una singular contribución en este marco teórico. Analiza la difusión de choques microeconómicos en redes productivas con competencia imperfecta y con posibilidad de quiebra de empresas. Este análisis se realiza mediante la introducción de un nuevo concepto: el Equilibrio General de Mercado, que posee las propiedades de un equilibrio de Nash para aquellas empresas tomadoras de precios que participan en el mercado de bienes intermedios, y las propiedades de un equilibrio oferta-utilización para el mercado de bienes de consumo final y el mercado laboral. Así también, este análisis considera el planteamiento de un enfoque de elección distinto: la elección probabilística, que asume que los compradores asignan una probabilidad a la contratación de cada uno de sus proveedores, a consecuencia del trade-off entre beneficio y riesgo que enfrentan por la falta de información. Bajo estas consideraciones, un choque negativo de productividad en una empresa puede generar varios resultados. Primero, existen dos efectos sobre los precios de venta en el periodo inicial: un efecto horizontal y un efecto cascada “aguas abajo”. El primer efecto incrementa los precios de venta para las empresas que pertenecen a la competencia de la empresa afectada, mientras que el segundo incrementa los precios de venta de comprador en comprador en la red. Segundo, existe un efecto cascada “aguas arriba” sobre las ganancias de las empresas en el periodo inicial. Tercero, existe un efecto cascada “aguas arriba” en la quiebra de las empresas durante el transcurso del tiempo. Si bien estos resultados se respaldan en simulaciones numéricas sobre una red simple (específicamente, una red estructurada uniformemente por niveles de encadenamiento), constituyen una muestra importante de los diferentes efectos indirectos que produce un choque microeconómico cuando se relajan ciertos supuestos fundamentales del equilibrio competitivo y el análisis de redes. En este sentido, puede ser relevante explorar otros problemas que van de la mano con la fijación de precios y la quiebra de empresas, como es la segmentación regional del mercado, la centralidad de las empresas y la inversión de capital. Finalmente, el modelo económico realizado en este estudio, es una muestra de la utilidad que tienen las herramientas matemáticas para la modelización de sistemas altamente complejos y circulares; 214 en nuestro caso, una red productiva con empresas altamente interdependientes mediante decisiones de precios bajo incertidumbre y con posibilidad de quiebra. Estas herramientas se pueden reconfigurar, con algo de trabajo, para incorporar rasgos más realistas de un aparato productivo, como propiedades markovianas en las que las decisiones de las empresas no dependen de todas las empresas inmersas en la red, sino de aquellas que se encuentran en una red egocéntrica (i.e. aquellos compradores y vendedores que se encuentran a pocas transacciones de la empresa). De hecho, esta característica podría hacer que la determinación del EGM sea más simple, dado el confinamiento del equilibrio de Nash para dicho subconjunto de empresas. Referencias Acemoglu, D., Carvalho, Vasco, M., Ozdaglar, A., & Tahbaz-Salehi., A. (2012). The Network Origins of Aggregate Fluctuations. Econometrica, 80(5), 1977-2016. https://doi.org/10.3982/ECTA9623 Acemoglu, D., Ozdaglar, A., & Tahbaz-Salehi, A. (2016). Networks, Shocks, and Systemic Risk. The Oxford Handbook of the Economics of Networks, January, 569-607. https://doi.org/10.3386/w20931 Acemoglu, D., Ozdaglar, A., & Tahbaz-Salehi, A. (2017). Microeconomic Origins of Macroeconomic Tail Risks. American Economic Review, 107(1), 54-108. https://doi.org/10.1257/aer.20151086 Atalay, E. (2017). How Important Are Sectoral Shocks? American Economic Journal: Macroeconomics, 9(4), 254-280. https://doi.org/10.1257/mac.20160353 Baqaee, D.R. (2018). Cascading Failures in Production Networks. Econometrica, 86(5), 1819-1838. https://doi.org/10.3982/ECTA15280 Carvalho, V.M. (2010). Aggregate Fluctuations and the Network Structure of Intersectoral Trade. In Economics Working Papers 1206. http://www.econ.ucdavis.edu/seminars/papers/337/3371.pdf Carvalho, V. M., & Gabaix, X. (2013). The Great Diversification and its Undoing. American Economic Review, 103(5), 1697-1727. https://doi.org/10.1257/aer.103.5.1697 Grassi, B. (2017). IO in I-O: Size, Industrial Organization, and the Input-Output Network Make a Firm Structurally Important. Working Paper. Stella, A. (2015). Firm dynamics and the origins of aggregate fluctuations. Journal of Economic Dynamics and Control, 55(1133), 71-88. https://doi.org/10.1016/j.jedc.2015.03.009 221 En este sentido, se debe determinar si existe un valor que limite superiormente los precios del modelo. Como se había manifestado en la sección anterior, la Ley de Walras exige tomar un numerario para resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio. Si se toma como numerario un índice de precios de la forma 𝐼𝐼=∑𝛾𝛾𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔤𝔤(𝜔𝜔) 𝑗𝑗, entonces: ∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝔤𝔤,𝑝𝑝𝑗𝑗𝔤𝔤(𝜔𝜔)≤𝐼𝐼 Esta restricción limita el resto de precios en el modelo a través de las condiciones de actividad de las empresas. En primer lugar, la condición de actividad en las empresas de bienes de consumo final plantea que: ∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝔤𝔤,𝑝𝑝𝑗𝑗𝔤𝔤(𝜔𝜔)> � 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗) como 0≤𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗≤1, esto implica: ∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝔤𝔤,∀𝑘𝑘∈𝑏𝑏(𝑖𝑖),𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪<𝐼𝐼 Asimismo, la condición de actividad de las empresas de bienes intermedios plantea que: ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪,∀𝑘𝑘∈Δ𝑗𝑗+(𝑅𝑅),𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪> � � 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗′𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗′∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗) lo cual implica también: ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪,∀𝑘𝑘∈Δ𝑗𝑗+(𝑅𝑅), 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪<𝐼𝐼 En consecuencia, 𝑝𝑝𝔪𝔪 pertenece a un conjunto convexo y compacto 𝐴𝐴=�𝑝𝑝∈ℝ+ 𝑁𝑁× ℝ+ 𝑁𝑁𝔪𝔪 | ∀𝑗𝑗,𝑘𝑘∈𝐽𝐽𝔪𝔪, 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗<𝐼𝐼�. B.3. El beneficio 𝑬𝑬�𝝅𝝅𝒋𝒋𝒑𝒑𝒋𝒋𝖒𝖒,𝒑𝒑−𝒋𝒋 𝖒𝖒 ⁄� para una empresa 𝒋𝒋∈𝑱𝑱𝖒𝖒 es una función continua en 𝒑𝒑𝒋𝒋𝖒𝖒 Antes de realizar este paso, primero replanteemos el problema de elección probabilística del comprador cuando el trade-off entre ganancia y riesgo posee una especificación lineal. max 𝜓𝜓 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗Π𝑗𝑗+�1−𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�Π𝚥𝚥 𝑠𝑠.𝑟𝑟 𝑓𝑓�𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�≥𝛽𝛽 0≤𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗≤1 donde 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 es la probabilidad que asigna el comprador 𝑘𝑘 a la transacción con el proveedor habitual 𝑗𝑗; Π𝑗𝑗,Π𝚥𝚥 son las ganancias de transar con el proveedor habitual 𝑗𝑗 y el proveedor rival 𝚥𝚥, respectivamente; 𝛽𝛽 es un valor mínimo de preferencia para el trade-off, y 𝑓𝑓�𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗� es una función lineal de la forma: 𝑓𝑓�𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�=�Π𝚥𝚥−Π𝑗𝑗�+𝑎𝑎�1−𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗��𝜙𝜙𝚥𝚥𝜀𝜀𝚥𝚥−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗�,𝑎𝑎> 0 Para que exista una solución interior, se asume que 𝛽𝛽<�Π𝚥𝚥−Π𝑗𝑗�<𝛽𝛽−𝑎𝑎�𝜙𝜙𝚥𝚥𝜀𝜀𝚥𝚥−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗�. De esta manera, se tiene que la elección probabilística se encuentra determinada por: 222 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗= 1 −𝛽𝛽−�Π𝚥𝚥�−Π𝑗𝑗� 𝑎𝑎�𝜙𝜙𝚥𝚥�𝜀𝜀𝚥𝚥�−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗� [7] Debido a la tecnología Marx-Leontief, se conoce que Π𝚥𝚥−Π𝑗𝑗=−𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗)�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪−𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪�, por lo que la función de probabilidad es: 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗= 1 −𝛽𝛽+𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗)�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪−𝑝𝑝𝚥𝚥�𝑗𝑗 𝔪𝔪�, 𝑎𝑎�𝜙𝜙𝚥𝚥�𝜀𝜀𝚥𝚥�−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗� [7] En base a esta elección, se puede constatar que: 𝜕𝜕𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 =1 𝑎𝑎�𝜙𝜙𝚥𝚥�𝜀𝜀𝚥𝚥�−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗�< 0, 𝜕𝜕2𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪2= 0 𝜕𝜕𝜓𝜓𝚥𝚥�𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 =1 𝑎𝑎�𝜙𝜙𝚥𝚥�𝜀𝜀𝚥𝚥�−𝜙𝜙𝑗𝑗𝜀𝜀𝑗𝑗�< 0, 𝜕𝜕2𝜓𝜓𝚥𝚥�𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪2= 0 [8] En otras palabras, las funciones de probabilidad 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 y 𝜓𝜓𝚥𝚥𝑗𝑗 son funciones continuas decrecientes y cóncavas en los precios 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 y 𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪, respectivamente. Estas conclusiones son puntos importantes para continuar con la demostración. Retomemos ahora el paso 4. Como se recordará, el beneficio esperado de las empresas que producen bienes intermedios es: 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�= �𝛹𝛹�𝜔𝜔𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� 𝜋𝜋𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝜔𝜔� 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 Por un lado, la probabilidad 𝛹𝛹�𝜔𝜔𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� es igual a la multiplicación de las probabilidades 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪�, las cuales tienen la forma continua [7]. Por otro lado, el beneficio 𝜋𝜋𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝜔𝜔� en cada realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 representa: 𝜋𝜋𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝜔𝜔� = � 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑧𝑧𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗)�𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑤𝑤(𝜔𝜔)� 𝑗𝑗∈Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔) − 𝑐𝑐𝑗𝑗�𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑤𝑤(𝜔𝜔)� Aquí, la demanda condicionada 𝑧𝑧𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗) y el costo mínimo 𝑐𝑐𝑗𝑗 se determinan a partir del problema de minimización de costos con una tecnología Marx-Leontief para la demanda de insumos y mano de obra. Formalmente, este problema para la empresa 𝑗𝑗 tiene la forma: min 𝑧𝑧𝑗𝑗𝑖𝑖 � � 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗)𝑧𝑧𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑤𝑤𝑙𝑙𝑗𝑗 min �𝑧𝑧𝑗𝑗1 𝛼𝛼𝑗𝑗1, … , 𝑧𝑧𝑗𝑗𝑗𝑗 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗,𝑙𝑙𝑗𝑗 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙�=𝑦𝑦𝑗𝑗 Resolviendo este problema se obtiene: 𝑙𝑙𝑗𝑗=𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙𝑤𝑤 𝑧𝑧𝑗𝑗𝑗𝑗=𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,∀𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑗𝑗) 223 𝑐𝑐𝑗𝑗=𝑦𝑦𝑗𝑗⎝ ⎜ ⎛ � � 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗) + 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙𝑤𝑤⎠ ⎟ ⎞ ,𝑦𝑦𝑗𝑗=�𝑧𝑧𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗) 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔) con lo cual el beneficio en la realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 es: 𝜋𝜋𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝜔𝜔� = ∑𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗)𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑗𝑗∈Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔) −𝑦𝑦𝑗𝑗�∑ ∑ 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗) + 𝑤𝑤𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙� [9] Como se observa, esta función es lineal y continua en 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪 . Por lo tanto, debido a que 𝛹𝛹�𝜔𝜔𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�,𝜋𝜋𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝜔𝜔� son funciones continuas, se puede concluir que el beneficio esperado 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� también es una función continua. B.4. El beneficio 𝑬𝑬�𝝅𝝅𝒋𝒋𝒑𝒑𝒋𝒋𝖒𝖒,𝒑𝒑−𝒋𝒋 𝖒𝖒 ⁄� para una empresa 𝒋𝒋∈𝑱𝑱𝖒𝖒 es una función cóncava en 𝒑𝒑𝒋𝒋𝖒𝖒 Para realizar este paso, es necesario realizar dos observaciones sobre el valor esperado 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�. Primero, notemos que la función de probabilidad 𝛹𝛹�𝜔𝜔𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� se puede reescribir de la siguiente forma: 𝛹𝛹�𝜔𝜔𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�=𝛹𝛹−𝑗𝑗�𝜔𝜔/𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪� 𝛹𝛹𝑗𝑗�𝜔𝜔/𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪� donde 𝛹𝛹−𝑗𝑗 es la multiplicación de probabilidades de contratación de todas en las empresas en la red, excepto la empresa 𝑗𝑗; y 𝛹𝛹𝑗𝑗 es la multiplicación de probabilidades de contratación exclusivamente de la empresa 𝑗𝑗. Formalmente: 𝛹𝛹−𝑗𝑗�𝜔𝜔/𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪�=��𝜓𝜓𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠∈Δ𝑟𝑟+(𝜔𝜔) 𝑟𝑟≠𝑗𝑗 𝛹𝛹𝑗𝑗�𝜔𝜔/𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪�=� 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗∈Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔) Segundo, debido a la especificación lineal (9), el conjunto de realizaciones 𝛺𝛺 sobre las cuales se determina el valor esperado 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� puede contraerse a un conjunto de menor tamaño 𝛺𝛺� que contenga aquellas realizaciones en las cuales los proveedores transen exclusivamente con un solo comprador. Es decir: 𝛺𝛺�=�𝜔𝜔∈Ω | ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽 �Δ𝑗𝑗+(𝜔𝜔)�= 1� Bajo estas consideraciones, el beneficio esperado se transforma en: 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�=�𝛹𝛹−𝑗𝑗�𝜔𝜔/𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪��𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑎𝑎(𝑗𝑗) 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪�⎝ ⎜ ⎛ 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪− � � 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗)− 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙𝑤𝑤⎠ ⎟ ⎞ 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗+(𝑅𝑅) 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 � En esta función, los términos 𝛹𝛹−𝑗𝑗,�𝑦𝑦𝑗𝑗 | 𝑘𝑘∈Δ𝑗𝑗+(𝑅𝑅)� , �𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 | 𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑗𝑗),𝑘𝑘∈Δ𝑗𝑗𝑗𝑗 −(𝜔𝜔)� no dependen de 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪 , por lo que permanecen constantes para las decisiones que toma la empresa 𝑗𝑗 . En este sentido, 224 la concavidad de 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� respecto a 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪 se encuentra determinada exclusivamente por el comportamiento del siguiente término: ℎ�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪�= 𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑝𝑝𝚥𝚥𝑗𝑗 𝔪𝔪�⎝ ⎜ ⎛ 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 − � � 𝛼𝛼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 𝑗𝑗∈ Δ𝑗𝑗𝑖𝑖 −(𝜔𝜔) 𝑗𝑗∈𝑏𝑏(𝑗𝑗)− 𝑤𝑤𝛼𝛼𝑗𝑗𝑙𝑙⎠ ⎟ ⎞ La segunda derivada de este término respecto a 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 es: 𝜕𝜕2ℎ 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪2 =𝜕𝜕2𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 ∗ 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪2𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪+ 2 𝜕𝜕𝜓𝜓𝑗𝑗𝑗𝑗 ∗ 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪 lo cual, debido a [8] se tiene: ∀𝑘𝑘∈𝐽𝐽,∀𝑖𝑖∈𝑏𝑏(𝑘𝑘),∀𝑗𝑗∈𝑐𝑐(𝑘𝑘,𝑖𝑖),𝜕𝜕2ℎ 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪2 < 0 Por lo tanto, el termino ℎ(𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪) es una función cóncava respecto a 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗 𝔪𝔪. Puesto que cualquier combinación lineal de funciones cóncavas también es cóncava, entonces queda demostrado que 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� es una función cóncava respecto a 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪. B.5. Existe una matriz de precios 𝒑𝒑𝖒𝖒∗ que resuelve simultáneamente el problema de decisión de las empresas de bienes de consumo intermedio Este paso hace uso de los resultados obtenidos en los pasos anteriores. El paso 1 demuestra que existen 𝑥𝑥(𝜔𝜔),𝑦𝑦(𝜔𝜔),𝑝𝑝𝔤𝔤(𝜔𝜔),𝑤𝑤(𝜔𝜔),∀𝜔𝜔∈Ω tal que se cumplen las condiciones de equilibrio ex-post, por lo que el valor esperado 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄�,∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪 se encuentra bien definido. Por otro lado, el paso 2 demuestra que los precios 𝑝𝑝𝔪𝔪∈𝐴𝐴, donde 𝐴𝐴 es un conjunto compacto y convexo. Finalmente, los pasos 3 y 4 demuestran que el beneficio esperado 𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪 ⁄� es una función continua y cóncava respecto a 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪. En consecuencia, utilizando el teorema de existencia del equilibrio de Nash para estrategias continuas, se tiene que existe una matriz de precios 𝑝𝑝𝔪𝔪∗ que maximiza simultáneamente el beneficio esperado de las empresas. Esto es, cada empresa 𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪 determina su vector de precios 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪∗ que maximiza sus ganancias, asumiendo que el resto de empresas en la red productiva actúa de la misma forma para los precios 𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪∗. Formalmente: ∃𝑝𝑝𝔪𝔪∗∈𝐴𝐴 | ∀𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪,𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪∗,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪∗ ⁄�>𝐸𝐸�𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪∗ ⁄�,∀𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪∈𝐴𝐴𝑗𝑗 C. Algoritmo para hallar el Equilibrio General de Mercado El EGM Λ se caracteriza por ser un equilibrio de Nash dentro de una estructura de equilibrio ex-post. Una de las técnicas más simples para determinar este tipo equilibrio es utilizar el método de punto fijo. Este método emplea las funciones de reacción que se derivan del modelo para hallar iterativamente los valores que resuelven el equilibrio. Ésta es la opción que se escoge en el presente documento y se detalla a través del siguiente algoritmo. 225 Algoritmo. Determinación del EGM 1. Hallar todas las realizaciones de la red productiva 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 2. Dar un valor inicial a los precios 𝑝𝑝 𝔪𝔪,0 ∈ℝ+ 𝑁𝑁 ×ℝ+ 𝑁𝑁𝔪𝔪. 3. Mientras ‖𝑝𝑝𝔪𝔪,𝑡𝑡+1−𝑝𝑝𝔪𝔪,𝑡𝑡‖≥𝑗𝑗 3.1. Establecer 𝑝𝑝𝔪𝔪,𝑡𝑡=𝑝𝑝𝔪𝔪,𝑡𝑡−1 3.2. Para toda realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 3.2.1. Hallar los vectores 𝑥𝑥(𝜔𝜔),𝑦𝑦(𝜔𝜔), 𝑝𝑝𝔤𝔤(𝜔𝜔), 𝑤𝑤(𝜔𝜔) que resuelven: 𝐻𝐻(𝑥𝑥(𝜔𝜔),𝑦𝑦(𝜔𝜔),𝑝𝑝𝔤𝔤(𝜔𝜔), 𝑤𝑤(𝜔𝜔),𝑝𝑝𝔪𝔪,𝑡𝑡)= 0. 3.2.2. Ingresar la solución 𝑦𝑦(𝜔𝜔) en la matriz 𝑌𝑌 −𝑗𝑗 3.3. Para toda empresa 𝑗𝑗∈𝐽𝐽𝔪𝔪, 3.3.1. Hallar el vector de precios 𝑝𝑝𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑡𝑡+1 ∈ℝ+ 𝑁𝑁 tal que 𝑝𝑝𝑗𝑗𝔪𝔪,𝑡𝑡+1=𝐸𝐸𝑗𝑗�𝑝𝑝−𝑗𝑗 𝔪𝔪,𝑡𝑡,𝑊𝑊,𝑌𝑌−𝑗𝑗�. EGM: Λ←𝑝𝑝𝔪𝔪∗ 4. Para toda realización 𝜔𝜔∈𝛺𝛺 4.1. Hallar los vectores 𝑥𝑥∗(𝜔𝜔),𝑦𝑦∗(𝜔𝜔), 𝑝𝑝𝔤𝔤∗(𝜔𝜔), 𝑤𝑤∗(𝜔𝜔) que resuelve: 𝐻𝐻(𝑥𝑥∗(𝜔𝜔),𝑦𝑦∗(𝜔𝜔), 𝑝𝑝𝔤𝔤∗(𝜔𝜔), 𝑤𝑤∗(𝜔𝜔), 𝑝𝑝𝔪𝔪∗)= 0. EGM: Λ←(𝑝𝑝𝔪𝔪∗,{𝑥𝑥∗(𝜔𝜔),𝑦𝑦∗(𝜔𝜔),𝑝𝑝𝔤𝔤∗(𝜔𝜔),𝑤𝑤∗(𝜔𝜔)} 𝜔𝜔∈Ω )