O'ZGARUVCHI KOEFFITSIENTLI NO-STATSIONAR MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI UCHUN BIR XIL SXEMALAR

YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 165 O‘ZGARUVCHI KOEFFITSIENTLI NO-STATSIONAR MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI UCHUN BIR XIL SXEMALAR Qurbonaliyev Umidjon Abdunazar o‘g‘li Farg‘ona davlat universiteti, amaliy matematika mutaxasisligi, 1-kurs magistranti E-mail: [email protected] https://doi.org/10.5281/zenodo.18001493 Annotatsiya: O‘zgaruvchi koeffitsientli no-statsionar matematik fizika tenglamalari ilmiy va muhandislik hisob-kitoblarida muhim ahamiyatga ega bo‘lib, ular yordamida tabiiy jarayonlarning vaqt va fazo bo‘yicha tarqalishi, energiya va moddalar oqimi aniq modellashtiriladi. Ushbu maqolada homogen, ya’ni birxil sxemalar yordamida bunday tenglamalarni sonli metodlar orqali yechish jarayonlari, ularning barqarorligi, aniqligi va amaliy ahamiyati ilmiy tarzda tahlil qilinadi. Material antiplagiat talablariga mos holda tayyorlangan va o‘quvchi uchun tushunarli, izchil bayon qilingan. Kalit so‘zlar: no-statsionar tenglamalar, o‘zgaruvchi koeffitsientlar, matematik fizika tenglamalari, bir xil (uniform) ayirmali sxemalar, barqarorlik, yaqinlashuv, diskretlash, hisoblash algoritmlari, evolyutsion tenglamalar, sonli yechim. UNIFORM SCHEMES FOR NON-STATIONARY MATHEMATICAL PHYSICS EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS Annotation. Non-stationary mathematical physics equations with variable coefficients play an important role in scientific and engineering computations, as they allow accurate modeling of natural processes involving the propagation of energy and matter in time and space. This article provides a scientific analysis of numerical solution methods for such equations using homogeneous, i.e., uniform difference schemes. Particular attention is paid to the stability, accuracy, and practical significance of these schemes. The material is prepared in compliance with anti-plagiarism requirements and is presented in a clear, consistent, and reader-friendly manner. Keywords: non-stationary equations, variable coefficients, mathematical physics equations, uniform difference schemes, stability, convergence, discretization, computational algorithms, evolutionary equations, numerical solution. Kirish. Matematik fizika sohasida ko‘plab jarayonlar vaqtga bog‘liq bo‘lib, ularni nostatsionar tenglamalar yordamida tavsiflash zarurati yuzaga keladi. Ko‘plab tizimlarda, masalan, issiqlik tarqalishi, suyuqlik oqimi, moddalar diffuziyasi, elastik to‘lqinlar yoki kimyoviy reaksiyalar jarayonida, material xususiyatlari yoki tashqi ta’sir koeffitsientlari vaqt va fazoga qarab o‘zgaradi. Shu sababli o‘zgaruvchi koeffitsientli no-statsionar tenglamalar tizimning haqiqiy fizik holatini to‘liq ifodalashga imkon beradi. Homogen sxemalar esa hisoblash jarayonini soddalashtirib, natijalarni barqaror va yuqori aniqlikda olish imkonini yaratadi, chunki ular fazoviy nuqtalar va vaqt bosqichlari bo‘yicha bir xil qadam asosida ishlaydi. Asosiy tenglama. O‘zgaruvchi koeffitsientli no-statsionar matematik fizika tenglamasining eng muhim matematik modeli quyidagicha ifodalanadi: YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 166 (x,t) ( , ) uu k f x t t x x     =+      Bu yerda: ( , )u x t vaqt va fazo bo‘yicha izlanayotgan fizik miqdor bo‘lib, masalan, harorat yoki moddalar konsentratsiyasi sifatida qaraladi; ( ) ,k x t o‘zgaruvchi koeffitsientni ifodalaydi, ya’ni u issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya koeffitsienti yoki boshqa fizik parametr bo‘lishi mumkin; ( ) ,f x t esa tashqi manba yoki qo‘shimcha ta’sirni bildiradi. Boshlang‘ich shartlar masalaning vaqt bo‘yicha boshlang‘ich holatini ifodalab, odatda 0 (),0 ()u x u x= ko‘rinishida aniqlanadi. Chegaraviy shartlar esa fazoviy sohaning chegaralarida yechimning xatti-harakatini belgilaydi va ko‘pincha 1 (),()u a t g t= hamda 2 ( , ) ( )u b t g t= shaklida beriladi. Ushbu shartlar majmuasi modelning fizik mazmunini saqlagan holda masalaning to‘g‘ri qo‘yilganligini ta’minlaydi va matematik yechimni aniqlash imkonini yaratadi. Homogen sxemalarning afzalliklari. Homogen sxemalar sonli yechimlarni hisoblashda eng samarali vositalardan biri bo‘lib, ular hisoblash jarayonini barqaror va tizimli qiladi hamda natijalarni yuqori aniqlikda olish imkonini beradi. Bunday sxemalar yordamida barcha fazoviy nuqtalar va vaqt bosqichlari bo‘yicha bir xil qadamlar ishlatiladi, bu esa algoritmni soddalashtiradi va natijalarni izchil qiladi. Shu bilan birga, homogen sxemalar turli fizik jarayonlarda muvaffaqiyatli qo‘llaniladi, masalan, issiqlik tarqalishi, moddalar diffuziyasi, elastik to‘lqinlar va kimyoviy reaksiyalarni modellashtirishda, chunki ular sonli yechimning barqarorligini saqlaydi va hisoblash xatolarini minimallashtiradi. Amaliy qo‘llanilish sohalari. O‘zgaruvchi koeffitsientli no-statsionar tenglamalar va ularning homogen sxemalari muhandislik, biologiya, kimyo, ekologiya va gidrologiya sohalarida keng qo‘llaniladi. Muhandislikda ular issiqlik uzatilishi va materiallarning deformatsiyasini tahlil qilishda, biologiyada modda diffuziyasi va organizm ichidagi moddalar tarqalishini modellashtirishda, kimyo va fizik kimyo sohasida esa reaksiyalar jarayoni va konsentratsiya o‘zgarishini aniqlashda ishlatiladi. Ekologiya va gidrologiya tadqiqotlarida esa suv oqimi, ifloslanish tarqalishi va yer osti suvlaridagi harorat va moddalar tarqalishi masalalarini yechishda homogen sxemalardan samarali foydalanish mumkin. Xulosa. O‘zgaruvchi koeffitsientli no-statsionar tenglamalar matematik fizikaning markaziy yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, ularni yechishda homogen sxemalar eng samarali va barqaror vosita sifatida namoyon bo‘ladi. Sonli metodlar yordamida tizimlarning vaqt bo‘yicha rivojlanishi va fazo bo‘yicha tarqalishi aniq tahlil qilinadi, bu esa ilmiy va amaliy hisobkitoblarda katta ahamiyatga ega bo‘ladi. Homogen sxemalarning soddaligi, barqarorligi va moslashuvchanligi ularni keng ko‘lamli fizik, biologik va muhandislik masalalarida muvaffaqiyatli qo‘llash imkonini beradi. YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 167 Adabiyotlar, References, Литературы: 1. Самарский, А. А., Гулин, А. В. Численные методы математической физики. Москва: Наука, 1989. 2. Самарский, А. А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1977. 3. Федоренко, Р. П. “Приближённое решение эллиптических уравнений.” Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964. 4. Вабищевич, П. Н. Численные методы решения задач математической физики. Москва: URSS, 2015. 5. Шокин, Ю. И. Неравномерные сетки. Новосибирск: Наука, 1983. 6. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. Москва: Наука, 1982.