Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen

Gintschel, Andreas Article Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Gintschel, Andreas (1999) : Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 32, Iss. 1, pp. 60-84, https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/293391 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Einleitung In der Literatur zur Finanzwirtschaft des Unternehmens wird gewöhnlich das Nettokapitalwertkriterium als alleingültige Bewertungsmethode für Investitionsprojekte empfohlen.1 Dieses Kriterium ist aus kapitaltheoretischen Überlegungen von Fisher abgeleitet, der für die individuelle Wahl von Investitionsprojekten formuliert: „ The Principle of Maximum Present Value. Out of all options, that one is selected which has the maximum present value reckoned at the market rate of interest."2 Der Gegenwartswert ist definiert als die Summe der diskontierten zukünftigen Einzahlungsüberschüsse.3 Der Nettokapitalwert ist der Zuwachs des Reinvermögens des Entscheidungsträgers, der mit der Durchführung des Investitionsprojekts erzielt werden kann. Als Handlungsempfehlung ergibt sich, jedes Projekt mit einem positiven Nettokapitalwert durchzuführen. * Die vorliegende Arbeit entstand, während ich wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universität Trier war. Ich danke Marco Menichetti und Hellmuth Milde für wertvolle Anmerkungen. 1 Vgl. Bierman und Smidt (1980), Copeland und Weston (1988), S. 28 f. Brealey und Myers (1988) und Ross, Westerfield und Jaffee (1993) hingegen weisen auf die Existenz von Realoptionen hin. Franke und Hax (1994), S. 272ff., und Schmidt und Terberger (1996), S. 303ff., behandeln Realoptionen im Rahmen der flexiblen Planung in der Tradition von Laux (1971) und Hax und Laux (1972). Für eine mögliche Akzeptanz des Realoptionsansatzes in der Unternehmenspraxis spricht das Erscheinen eines Beitrags von Dixit und Pindyck (1995) im Harvard Business Review. 2 Siehe Fisher (1930), S. 175. Den von Fisher verwendeten Ausdruck „options" sollte man durch „investment opportunities" ersetzen, um Verwirrung zu vermeiden. 3 Vgl. Fisher (1930), S. 12f. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 61 Obwohl Fisher das Nettokapitalwertkriterium für eine Welt mit Sicherheit diskutiert, wird das Konzept für Entscheidungen unter Unsicherheit modifiziert, indem dem Risiko angemessene Diskontierungsraten oder Sicherheitsäquivalente der riskanten Zahlungsströme verwendet werden.4 Am Nettokapitalwertkonzept wurde aus mehreren Gründen Kritik geübt. Einmal läßt sich in der Realität feststellen, daß die Marktwerte von Unternehmungen drei- bis viermal so hoch wie die Summe der prognostizierten und diskontierten Einzahlungsüberschüsse sind.5 Diese Beobachtung ist nicht konsistent mit Fishers Kapitaltheorie. Andererseits sind die tatsächlich verwendeten Diskontierungsraten bei Investitionsentscheidungen meist wesentlich höher als die theoretisch ermittelten, d. h., Projekte mit positivem Kapital wert werden nicht durchgeführt.6 Eine andere, eher normativ ausgerichtete Kritik wird von Vertretern der Managementtheorie vorgetragen, die unter anderem die weitverbreitete Anwendung des Kapitalwertkriteriums für ein „kurzsichtiges" Investitionsverhalten verantwortlich machen.7 Als Antwort hat sich in jüngerer Zeit eine Literatur entwickelt, die mit Hilfe des Optionscharakters, der vielen Investitionsprojekten innewohnt, empirische Phänomene besser erklären kann und normative Handlungsempfehlungen liefert, die das Kapitalwertkriterium ergänzen. Die grundlegende Einsicht, daß Investitionsprojekte als Optionen anzusehen sind, geht auf eine agency-theoretische Arbeit über Kapitalstruktur von Myers (1977) zurück. Die Idee wurde formalisiert in Arbeiten von Mason und Merton (1985), McDonald und Siegel (1985) und von Brennan und Schwartz (1985). Die vorliegende Arbeit führt in die Thematik ein und gibt einen Überblick über die verschiedenen Arten von Realoptionen und die Methode zu ihrer Bewertung. Dazu wird im nächsten Abschnitt ein Beispiel untersucht, das die Bedeutung von Realoptionen klarmacht. Im dritten Teil wird ein allgemeines Bewertungsmodell für Realoptionen hergeleitet, wenn der Preis des zugrundeliegenden Aktivums einem binomialen 4 Vgl. Fama und Miller (1972), S. 181ff., oder Hirshleifer (1974), S. 245 ff. 5 Kester (1984), exhibit 1, S. 154, gibt eine Übersicht für verschiedene Unternehmen bei unterschiedlichen Diskontierungsraten. 6 Vgl. Dixit und Pindyck (1994), S. 7, und Poterba und Summers (1995), die in ihrer Untersuchung recht hohe Diskontierungsraten und nur einen sehr geringen Einfluß der /^-Koeffizienten auf die Höhe der Diskontierungsraten feststellen. 7 Für diese Richtung der Argumentation siehe Kogut und Kulatilaka (1994), S. 56 f. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 62 Andreas Gintschel Zufallsprozeß folgt. Der vierte Abschnitt charakterisiert verschiedene Arten von Realoptionen und zeigt, wie das Bewertungsmodell angewandt werden kann. Im fünften Abschnitt werden Investitionsprojekte untersucht, die mehrere Realoptionen beinhalten. Die Grenzen des Ansatzes bzw. die Bedingungen, unter denen er valide ist, werden im sechsten Abschnitt diskutiert. Der letzte Abschnitt gibt eine Zusammenfassung und eine Einordnung der vorliegenden Arbeit. II. Ein einfaches Beispiel Zur Einführung wird das Beispiel eines Investitionsprojektes betrachtet, bei dem die naive Anwendung des gewöhnlichen Nettokapitalwertkriteriums zu einer suboptimalen, also nicht vermögensmaximierenden, Entscheidung führt.8 Zu diesem Zweck wird das Problem mit Hilfe der Kapitalwertrechnung bearbeitet und einige grundlegende Einsichten in die Problemstruktur geboten. Gegeben ist ein Investitionsprojekt, mit dem pro Periode ein Produkt P zu einem Absatzpreis p hergestellt werden kann. Das Projekt generiert sofort nach Zahlung der Anfangsausgabe I = 150 Überschüsse in Höhe von p, da keinerlei weitere Auszahlungen mit dem Projekt verbunden sind. Über die Höhe von p besteht Unsicherheit, die sich zwischen t0 und t\ vollständig auflöst. In t0 beträgt der Absatzpreis p0 = 15; in t\ gilt mit einer Wahrscheinlichkeit q = 0.5 ein Preis pn = 18 und mit Wahrscheinlichkeit (1 — q) = 0.5 ein Preis pu = 12. In weiteren Perioden bleibt der Preis auf dem jeweils erreichten Niveau von t\. Es ergibt sich folgende Einzahlungsstruktur: ¿0 11 ¿2 ¿n 0.5 18 18 18 12 12 12 Der erwartete Preis beträgt E[p] = 15. Die Änderung von p ist unabhängig von der übrigen wirtschaftlichen Entwicklung. Wird unterstellt, daß das Projekt einem wohldiversifizierten Investor bzw. einer Unterneh- 8 Die Darstellung ist eng angelehnt an die Beispiele in Dixit und Pindyck (1994), S. 27ff., und Pindyck (1991), S. 1113 ff. Weitere Beispiele verschiedener Realoptionen für den binomialen Fall bieten Copeland, Koller und Murrin (1990), S. 351 ff., Eble und Völker (1993), S. 410ff., Laux (1993), S. 941ff., Ritchken und Rabinowitz (1988), S. 126ff., und Trigeorgis und Mason (1987), S. 17ff. Kredit und Kapital 1/1999 15 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 63 mung, deren Eigenkapital durch solche Investoren gehalten wird, zur Verfügung steht und die Kapitalmärkte hinreichend vollständig sind, ergibt sich als geeignete Diskontierungsrate der Zinssatz für risikolose Anlagen, z.B. ry = 10%.9 Außerdem wird angenommen, daß das Projekt unendliche Laufzeit hat. Unter diesen Angaben errechnet sich der Nettokapital wert NPV zu v^ Elp] itiil + r,)' Die Annahme des Projekts, d.h. die Durchführung der Investition in erbringt einen positiven Beitrag zum Rein vermögen des Investors. Als Entscheidung empfiehlt sich scheinbar die Annahme des Projekts. Es wird sich jedoch zeigen, daß dies eine suboptimale Entscheidung ist, wenn die Möglichkeit oder Option besteht, den Investitionszeitpunkt zu verschieben. Betrachtet wird zunächst die Entscheidung in ¿i, unter den beiden Umweltzuständen zu investieren oder nicht. Wird unterstellt, daß die Höhe der Anfangsauszahlung, I, im Zeitablauf konstant ist, führt die Berechnung der Nettokapital werte in t\ im jeweiligen Zustand zu oo APV„=-I + X; p" =+48, t= 1 (1 +rf) NPVl2 = -I + f2 Pia' =-18. t= 1 (1 + rf) Bei dem höheren Absatzpreis pu = 18 wird die Investition in t\ vorgenommen, bei einem Preisrückgang auf p21 = 12 hingegen nicht. Man beachte, daß es sich nicht um Erwartungswerte, sondern deterministische Werte handelt. Somit führt die Anwendung des Nettokapitalwertkriteriums in t\ zu keinerlei Problemen in der hier diskutierten Art. Berechnet wird nun in t0> den Kapitalwert der Entscheidung, den Investitionszeitpunkt auf £i zu verschieben, ANPV, indem man den diskontierten Wert des günstigen Falls, bei dem die Investition durchgeführt wird, mit der Wahrscheinlichkeit für diesen Fall multipliziert, -I ( Ä pn \ NPVi / — i pu \ L\rv Ii ANPV = q x + V Nt =qx- + 21,8. 9 Im allgemeinen wird sich die Verwendung von Sicherheitsäquivalenten statt der Diskontierung mit dem risikoangepaßten Zins bei der Anwendung auf Realoptionen als geeigneter erweisen. Vgl. Sick (1989), S. 12 f. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 64 Andreas Gintschel Der ungünstige Fall bleibt unberücksichtigt, da in diesem nicht investiert wird und der Kapital wert null ist. Ein Vergleich der Kapitalwerte NPV und ANPV zeigt, daß die Verschiebung der Investitionsentscheidung auf einen späteren Zeitpunkt, zu dem bessere Information über zukünftige Preise verfügbar ist, einer sofortigen Initiierung des Projekts vorzuziehen ist. Dieses Ergebnis ergibt sich aus der gegenseitigen Ausschließlichkeit der beiden Handlungsalternativen. Der zusätzliche Wert F0, den die Flexibilität des Projektes schafft, läßt sich berechnen als Differenz zwischen den erwarteten Kapitalwerten bei sofortiger Investition und bei Verschiebung F0 = ANPV - NPV = + 6,8. Man kann diesen Zusammenhang verwenden, um ein neues „berichtigtes" Nettokapitalwertkriterium zu definieren: Der berichtigte Nettokapitalwert ANPV ergibt sich aus dem traditionellen Kapital wert NPV zuzüglich des Wertes, der aus der Flexibilität entsteht, die dem Projekt eventuell innewohnt:10 ANPV = NPV + F0. Diese Formulierung zeigt, daß es optimal sein kann, Investitionsprojekte mit einem negativen konventionellen Nettokapitalwert zu akzeptieren, solange der Optionswert, F0, des Projekts groß genug ist. Was sind die wesentlichen Bedingungen, unter denen das traditionelle Nettokapitalwertkriterium möglicherweise falsche Handlungsempfehlungen liefert? Unsicherheit ist wesentlich für das Bestehen zustandsabhängiger zukünftiger Handlungsalternativen. Ohne Unsicherheit ist eine optimale Handlungsfolge a priori zu bestimmen, von der es kein Abweichen geben wird. Das zweite wesentliche Element ist die, zumindest teilweise, Irreversibilität der Investitionen, so daß die Anfangsauszahlung „sunk costs" darstellt.11 Die Bedeutung dieser Bedingung läßt sich ermessen, wenn man sich vergegenwärtigt, wie sich völlige Reversibilität auswirkt. Angenommen, in obigem Beispiel erfolgt die Investition in t0> und der Preis fällt auf pi2. Bei völliger Reversibilität könnte man einfach 10 Die Terminologie ist hier uneinheitlich. Trigeorgis (1993), S. 214, spricht von „expanded" und „passive net present value" bzw. „static npv" in Trigeorgis (1988), S. 147. Dixit und Pindyck (1994), S. 7, unterscheiden in „traditional" und „corrected npv". Andere Autoren vernachlässigen diesen Aspekt völlig. 11 Für die Bedeutung von Irreversibilität siehe Pindyck (1988), S. 969f., und Pindyck (1991), S. Hilf. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 65 desinvestieren und würde I zurückerhalten. Dies bedeutet, daß unter allen Umständen in t0 investiert wird, um die erste Einzahlung zu erhalten, und in t\ bei ungünstiger Preisentwicklung die Investition rückgängig gemacht wird.12 Investitionsprojekte dieser Art sind äquivalent zu Produktionstechnologien mit völliger Flexibilität. Dies ist eine eher realitätsferne Annahme, so daß man besser von völliger Irreversibilität, wie sie die Kapitalwertmethode annimmt, ausgeht und eventuell vorhandene Flexibilität explizit als Realoptionen modelliert. III. Ein allgemeines Binomialmodell für Realoptionen In diesem Abschnitt wird eine geschlossene Preisformel für Realoptionen mit binomialer Preisentwicklung des Basisaktivums hergeleitet, die sich auf alle möglichen Realoptionen anwenden läßt.13 Zunächst wird eine abstrakte Realoption modelliert. In folgenden Abschnitten werden Anwendungen und gewisse Erweiterungen aufgezeigt, mit denen das Modell auf mehrperiodige Fälle und komplexere Optionen angewendet werden kann. Zur Bestimmung des Optionspreises, F0, wird auf die gängigen Konzepte der optimalen individuellen Portfolio wähl, Arbitrage und des partiellen Gleichgewichts zurückgegriffen. Für den Fall der Realoptionen ist bisweilen die Gültigkeit eines Kapitalmarktmodells und damit eines allgemeinen (Kapitalmarkt-)Gleichgewichts nötig. Für die Modellierung des stochastischen Prozesses des zugrundeliegenden Aktivums V wird ein einperiodiger binomialer Prozeß für V angenommen, um die mathematischen Operationen so einfach wie möglich zu halten. Zum Startzeitpunkt t0 hat V den Wert V0. Für den folgenden Endzeitpunkt t\ ist der Wert Vi wobei die Tilde eine Zufallsvariable kennzeichnet. Mit einer Wahrscheinlichkeit q gilt Vu = (1 + u) V0, und mit Wahrscheinlichkeit (1 - q) gilt Vd = (l + d)V0, wobei u und d aus den reellen Zahlen sind und ohne Beschränkung der Allgemeinheit u > d.14'15 Damit kann man die Struktur der Wertentwicklung wie folgt darstellen: 12 Man muß hier etwas vorsichtig sein: Bei Reversibilität kann eine Annahme eines Projektes mit einem positiven Kapitalwert nie falsch sein. Es kann jedoch sein, daß die Ablehnung eines Projekts mit negativem Kapitalwert falsch ist. !3 Im Grunde handelt es sich um eine Erweiterung des binomialen Modells für dividendenzahlende Basisaktiva von Cox, Ross und Rubinstein (1979), S. 255ff., auf den allgemeineren Fall von Realoptionen. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 66 Andreas Gintschel io ti Vu = (l + u)V0 Vu = (1 + d)V0 Damit ist der Prozeß der Preisbildung von V vollständig beschrieben. Als nächstes wird ein Arbitrageportfolio gebildet.16 Sei QF die Anzahl und F0 der Wert einer Realoption, F, im Zusammenhang mit einem Investitionsprojekt V, QV die Anzahl an Investitionsprojekten V, und QB die Menge einer risikolosen Anlage^ B , mit dem Preis B0 und einer Ertragsrate ry. Für den Wert des Portfolios gilt Ohne Beschränkung der Allgemeinheit läßt sich QF = 1 und B0 = 1 normieren Da ein Arbitrageportfolio selbstfinanzierend ist, ist die Gleichung $0 = 0 durch Konstruktion erfüllt. Der Wert des Portfolios in t\ entwickelt sich als i>! = Fl + (1 + ß) Vo Qv + (1 + Tf)QB, wobei Fi der, aus Sicht von t0, stochastische Wert der Realoption und ß die stochastische Ertragsrate des Basisaktivums ist. Dieser Ertrag setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: der stochastischen Rate, ä, für die Preisänderung des Basisaktivums und einer deterministischen Ertragsrate, 6, die mit dem Halten des Basisaktivums verbunden ist. Damit gilt 14 Der Beweis ist einfach: Für Gleichheit gibt es keine Unsicherheit, und das Modell reduziert sich auf eine einfache Investitionsrechnung, wie man leicht nachrechnen kann. Gilt die Ungleichung umgekehrt, können die Variablen problemlos umdefiniert werden. 15 Man beachte hier auch den Unterschied zum Standardbinomialmodell ohne Dividendenzahlungen: Dort muß u > rf > d gelten, um Arbitragefreiheit für das Basisaktivum zu gewährleisten. Wenn man negative „Dividendenzahlungen" zuläßt, kann man diese Bedingung aufgeben. 16 Die Konstruktion des Arbitrageportfolios und die anschließende Bestimmung des Optionswertes ist eine diskrete Version von Merton (1973b), S. 162 ff. = F0QF + V0 Qv + B0QB = 0. (1) =F0 +VQQv + QB = 0. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 67 ß = öc — 8, wobei die Preisänderungsrate ä = (Vi - Vo)/^o und die deterministische Ertragsrate 6 = Di/V0 mit einer direkten Zahlung Di definiert sind. Im Standardoptionsmodell für Aktien hat man als Äquivalente für a die Kursgewinnrendite und für S die Dividendenrendite. Dort sind Dividenden Di stets reale und nicht-negative Zahlungen, die beobachtet werden können. Bei Realoptionen muß dies nicht gelten. „Dividendenzahlungen" müssen weder real noch positiv sein. Für eine Interpretation von 6 kann man auf eine grundlegende Idee der Preisbestimmung von Realoptionen zurückgreifen. In der bisherigen Herleitung wurde davon ausgegangen, daß das Projekt V am Markt gehandelt werden kann. Dies ist jedoch im allgemeinen weder möglich noch notwendig. Es genügt, wenn das Risiko von V durch am Markt existierende Aktiva, oder einem Portfolio aus solchen, repliziert werden kann; d.h., V korreliert perfekt mit diesem Aktivum.17 Bedingung für die Replikation ist, daß die Märkte hinreichend vollständig sind, so daß das Projekt den Möglichkeitsbereich der Investoren nicht verändert.18 Dies ist eine notwendige Bedingung, daß der Realoptionspreis durch Arbitragepreisbildung bestimmt werden kann. Man könnte also V als ein Aktivum oder Portfolio verstehen, das die Auszahlungen aus dem eigentlichen Projekt repliziert. In einem binomialen Modell ist die erwartete Kursgewinnrendite von V ä = qu + (1 — q)d. In einem allgemeinen Kapitalmarktgleichgewicht ist die erwartete Gesamtrendite gemäß CAPM ß = rf + (ßM - rf)ß, wobei fiM die Marktrendite und ß der Betakoeffizient des Projekts bzw. des replizierenden Aktivums ist. Da das Halten des Aktivums einen dem Risiko angemessenen Ertrag erbringt und 6 = ß - ä, gilt (3) 6 = rf + (fiM- rs)ß - (qu + (1 - q)d). Man findet für 8 auch den Begriff „short fall of return" in der Literatur. Dieser Begriff geht davon aus, daß eine Real-Kaufoption bewertet werden soll. Es zeigt sich in diesem Fall, daß das replizierende Aktivum leerverkauft wird. Damit erhält der Halter des Aktivums eine Rendite von /¿, der Halter der Option hingegen nur die Kursgewinnrendite von a. 6 muß keineswegs mit realen Zahlungen verbunden sein. Betrachtet man als Beispiel das Aktivum Rohöl, mit dessen Halten keine realen Zahlungen (zumindest keine positiven) verbunden sind und für das meist Das Produkt P aus dem einführenden Beispiel genügt dieser Bedingung. 18 Für die Replikation siehe Dixit und Pindyck (1994), S. 147 f. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 74 Andreas Gintschel dukte.30 Je nach Entwicklung der relativen Preise der Vorprodukte kann die Produktion mit Technologie I oder Technologie II günstiger sein. Kann zwischen den Technologien während der Laufzeit des Projekts gewechselt werden - die eingesetzte Technologie ist also flexibel besteht eine „Option des Austausches" zwischen dem Projekt mit Technologie I und dem Projekt mit Technologie II. Formal handelt es sich um eine Kombination einer Verkaufsoption, nämlich das existierende Projekt A abzubrechen, und einer Kaufoption, das Projekt B zu beginnen. Die möglichen Entscheidungen sind also „Projekt A fortsetzen" oder „Projekt A abbrechen und Projekt B beginnen". Wird die Option nicht ausgeübt, sind die Alternativen im nächsten Entscheidungszeitpunkt die gleichen. Wenn die Option ausgeübt wird, verändert sich die Menge der Entscheidungsalternativen, die dann lauten „Projekt B fortsetzen" und „Projekt B abbrechen und Projekt A beginnen". Die Kosten der Umrüstung sind mit UA bzeichnet, wenn im Entscheidungszeitpunkt Projekt A aktiv ist, und UB, wenn Projekt B aktiv ist. Der Kapitalwert von Projekt A ist mit PVA bezeichnet, der von B mit PVB• Dann gilt für i = u, d für den Fall, daß A aktiv ist: FAi = max[PVAi; (PVBi - UA)]t und für den Fall, daß B aktiv ist: Fßi = max[PVBi; (PVAi - UB)]. Die notwendige Fallunterscheidung bereitet im allgemeinen Probleme bei der rekursiven Lösung, da, um den Wert des „richtigen" Falles in (5) einzusetzen, die Kenntnis notwendig ist, für welche Technologie man sich in £o entschieden hat. Im einperiodigen Fall bereitet dies noch keine Probleme, geht man aber zu einem mehrperiodigen Entscheidungsbaum über, wächst die Zahl der notwendigen Fallunterscheidungen sehr schnell an. Als Vorgehensweise empfiehlt sich, zunächst alle möglichen, konsistenten Entscheidungsfolgen zu konstruieren.31 Für diese Strategien lassen sich dann die Werte ausrechnen; der höchste zeigt die optimale Alternative an. Das Problem an dieser Methode ist der Rechenaufwand, da bei großer Periodenzahl schon die Anzahl konsistenter Strategien sehr groß sein dürfte. so Ein Beispiel findet man in Kulatilaka (1993), S. 276, der einen Dampfgenerator bewertet, der entweder mit Erdgas oder Heizöl betrieben werden kann. 31 Eine inkonsistente Strategie wäre beispielsweise der Fall, daß auf einen Zeitpunkt, in dem A aktiv ist, eine Aktivierung von A folgt. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 75 Eine wesentliche Vereinfachung läßt sich erreichen, indem UA = UB = 0 gesetzt wird. Dann sind beide Fälle identisch und eine Fallunterscheidung erübrigt sich, weil Entscheidungen aus den Vorperioden keine Auswirkungen haben. In diesem Fall ist die Anwendung von (5) auf den mehrperiodigen Fall ohne Probleme möglich. Die „Option des Aussetzens" bezeichnet die Möglichkeit, ein aktives Investitionsprojekt zu unterbrechen; d.h., es kann bei ungünstiger Entwicklung für unbestimmte Zeit ausgesetzt und unter günstigeren Umständen erneut gestartet werden.32 Wenn man den aktiven Zustand als „Projekt A" und den inaktiven Zustand als „Projekt B" bezeichnet, erkennt man leicht, daß es sich formal um eine „Option des Austausches" handelt.33 Entstehen durch die Stillegung oder die Wiederinbetriebnahme Zahlungen, die verschieden von Null sind, ergeben sich die gleichen Probleme bei der Bewertung wie oben. Treten solche Zahlungen nicht auf, ist die Anwendung von (5) in einem rekursiven Verfahren unproblematisch. 4. Die „ Option auf eine Option " Das besondere Charakteristikum einer „Option auf eine Option" ist, daß sie, im Gegensatz zu den bisher behandelten, keinen direkten Zugriff auf das Projekt erlauben, sondern durch Ausübung wiederum eine Option erlangt wird. Typische Beispiele im Rahmen der Realoptionen sind Forschungs- und Entwicklungsprojekte: Es besteht beispielsweise die Möglichkeit, in die Basisforschung in einem bestimmten Gebiet der Chemie zu investieren. Durch diese Tätigkeit lassen sich Kenntnisse gewinnen, die ein neues Produkt oder eine neue Verfahrenstechnologie hervorbringen könnten, wenn sich weitere Forschung darauf konzentriert. In diesem einfachen Beispiel kann man zwei „Optionen auf Optionen" identifizieren: Die Option auf die Basisforschung eröffnet eine Option auf weitere Forschung, und diese wiederum eröffnet eine Option, in das fertige Produkt oder das Verfahren zu investieren. Durch eine differenziertere Betrachtung des Entwicklungsprozesses lassen sich wesentlich mehr solcher Optionen konstruieren. Bei den „Optionen auf Optionen" sind zwei Typen zu unterscheiden. Einmal existieren solche, wie eben im Beispiel beschrieben: Ihr wesentliches Merkmal ist, daß sie zu völlig neuen, bisher nicht möglichen Pro- 32 Dieser Typ wird erstmals beschrieben in McDonald und Siegel (1985). 33 Man kann entweder trivialerweise PVB = 0 wählen, oder wenn das Projekt während der Inaktivität gewisser Instandhaltungsarbeiten bedarf, PVB > 0. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 76 Andreas Gintschel jekten führen. Solche Projekte verändern den Alternativenraum der Investoren und sind nicht durch existierende Aktiva oder Portfolios aus solchen zu replizieren. Damit ist die Anwendung der Optionspreistheorie auf solche „Wachstumsoptionen" nicht möglich.34 Eine Preisbestimmung der Option kann aber durch dynamische Optimierung erfolgen, wenn ein geeigneter Diskontierungsfaktor festgelegt ist. Der andere Optionstyp gilt für Projekte, deren Risiko am Markt gehandelt wird. Das typische Beispiel ist ein Projekt, dessen Installierung in mehreren Zeitabschnitten vorgenommen wird. Die Implementierung eines Teiles ist dann eine Option auf den nächsten Bauabschnitt. Bei einer günstigen Entwicklung kann das Projekt durch sofort aufeinanderfolgende Bauabschnitte schnell fertiggestellt werden. Bei ungünstiger Entwicklung können Pausen im Investitionsprozeß eingelegt werden, bis eine Besserung der Situation eintritt, oder die Investition kann ganz abgebrochen werden. Optionen dieser Art werden „Optionen der Bauzeit" genannt.35 Formal läßt sich jede dieser Optionen als eine „Option der Investition" auffassen. Die Bewertung in einem rekursiven Verfahren mit (5) führt wieder zu dem Problem, daß Entscheidungen vor dem betrachteten Zeitpunkt die möglichen Entscheidungen im betreffenden Zeitpunkt verändert haben. Das Vorgehen in diesem Fall entspricht der in Abschnitt IV.3. diskutierten Fallunterscheidung. V. Interaktionen zwischen Realoptionen Die meisten Beiträge zu Realoptionen betrachten isoliert einzelne Typen und bieten Bewertungsansätze für solche Optionen. Bei realen Projekten werden jedoch meist mehrere Optionen, die in verschiedenen oder den gleichen Zeitpunkten anfallen, beobachtet.36 Das Problem bei der Bewertung multipler Optionen ist ihre Nichtadditivität: Es ist im allgemeinen nicht möglich, den Wert multipler Optionen als Summe der Werte der isolierten Optionen zu bestimmen.37 Die Begründung liegt in 34 Die „growth options" waren die ersten Realoptionen, die man identifiziert hat. Vgl. Myers (1977), S. 148f., und Kester (1984), S. 154f. 35 Diesen Typ einer „time to build option" findet man erstmals bei Majd und Pindyck (1987), S. 9 f. 36 Arbeiten, die mehr als Fallstudien organisiert sind, beinhalten dann auch oft mehrere Optionen. Siehe z.B. Brennan und Schwartz (1985), S. 147ff., oder Trigeorgis (1990), S. 154ff. 37 Literatur zu diesem Problemkomplex ist sehr spärlich vorhanden. Die einzige dem Autor bekannte Quelle ist Trigeorgis (1993), S. 7ff., an dem sich die folgenden Ausführungen im wesentlichen orientieren. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 77 den auftretenden Interaktionen zwischen den Optionen. Der Wert einer isolierten Option wird sich in den meisten Fällen bei Hinzutreten einer weiteren Option verändern. Wie sich der Wert verändert, läßt sich a priori nicht bestimmen. Es sind sowohl positive als auch negative Interaktionen möglich, so daß der Wert der multiplen Option kleiner oder größer als die Summe der isolierten Optionswerte sein kann. Zur Illustration einer positiven Interaktion wird der Fall eines Projekts betrachtet, das eine Erweiterungs- und eine Kontraktionsoption beinhaltet. In diesem Fall ist es wahrscheinlich, daß die multiple Option einen höheren Wert hat als die Summe ihrer Teile. Eine intuitive Erklärung läßt sich finden, wenn man die Freiheitsgrade betrachtet, die in den verschiedenen Fällen gegeben sind. Die beiden Optionen für sich gewähren jeweils einen zusätzlichen Freiheitsgrad. Kombiniert man beide Optionen, erhält man diese zwei zusätzlichen Freiheitsgrade und außerdem noch Freiheitsgrade aus der Möglichkeit, die Ausübung einer Option durch Ausüben der jeweils anderen wieder rückgängig zu machen. Eine negative Interaktion läßt sich beispielsweise für die Desinvestitions- und Kontraktionsoptionen bzw. die Investitions- und Erweiterungsoption zeigen. Das Ausmaß der Interaktion ist aber nicht nur abhängig vom Typ der beteiligten Optionen, sondern auch von der Korrelation der Ausübung der Optionen. Dies ist einsichtig, wenn man den ersten Fall betrachtet und annimmt, daß, wenn eine Option ausgeübt wird, die Wahrscheinlichkeit für die Ausübung der Option unverändert ist. Die beiden Optionen sind unkorreliert und Additivität gilt. Ein anderes Ergebnis läßt sich für den zweiten Fall erwarten. Ist die Wahrscheinlichkeit der Ausübung für beide Optionen gering - es sind also beide hinreichend „out of money" - sind Interaktionen betragsmäßig gering. Sind beide Optionen „in the money" sind die Interaktionen dagegen betragsmäßig hoch. Weitere Einflüsse auf die Interaktion sind durch die Unterschiede in der Laufzeit der Optionen und verschiedene Überlappungen der Laufzeiten zu erwarten. Eine modellmäßige Erfassung von Interaktionen läßt sich in Binomialmodellen realisieren. Die prinzipielle Vorgehensweise ist die gleiche, wie sie in Abschnitt IV. für die Kombinationen aus Optionen diskutiert wurde. Fallen die Optionen isoliert in jeweils einem bestimmten Zeitraum an, ist die Berechnung in einem rekursiven Verfahren relativ übersichtlich. Sind alle Optionen in jedem Zeitpunkt verfügbar, solange sie nicht durch frühere Entscheidungen ausgeschlossen wurden, ergibt sich eine große Anzahl an Fallunterscheidungen. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 78 Andreas Gintschel VI. Grenzen des Realoptionsansatzes Entscheidend für die Verwendung von Optionspreismethoden ist die Replikationsbedingung. Diese besagt, daß das Risiko des Projekts durch Kombinationen am Markt gehandelter Aktiva imitiert werden kann bzw. daß das Projekt den Alternativenraum der Investoren nicht verändert. Ist die Replikationsbedingung erfüllt, kann das vorgestellte Instrumentarium der Preisbildung durch Arbitrage angewandt werden. Ob diese Bedingung erfüllt ist, ist eine empirische Frage.38 Gilt sie nicht, haben Dixit und Pindyck (1994) vorgeschlagen, Methoden der dynamischen Programmierung in Verbindung mit subjektiven Diskontierungsfaktoren zu verwenden. Diese Vorgehensweise wird jedoch von Schwartz (1994) verworfen, der eine geeignete Anpassung der Parameter des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses für den Projektwert und Verwendung des risikolosen Zinssatzes als Diskontierungsrate empfiehlt. Die Korrektur soll entsprechend den Risikoprämien erfolgen, die sich aus einem allgemeinen Gleichgewicht ergeben.39 Schwerwiegender als diese eher technischen Einwände ist der Zweifel an der Robustheit des Modells gegenüber anderen Annahmen. So wird davon ausgegangen, daß das Investitionsprojekt ein proprietäres Gut40 ist, also nicht von Konkurrenten durchgeführt werden kann. Die Gründe, warum dies tatsächlich der Fall sein kann, sind vielfältig. Man denke an patentrechtliche Bestimmungen, die Bedeutung von Markennamen, Humankapital, Organisationsdesign usw. Entscheidend ist, daß das Modell zusammenbricht, hebt man die Annahme auf. Intuitiv ist dies leicht einsichtig, wenn man unterstellt, daß sich die Unternehmung auf einem polypolistischen Absatzmarkt befindet und alle Anbieter die Investition mit positivem Kapitalwert durchführen können. Dann ist ein Anreiz gegeben, möglichst früh zu investieren, da die erzielbaren Renten mit der Investitionsentscheidung der übrigen Anbieter verschwinden. Das Investitionsprojekt hat in diesem Fall den Charakter eines öffentlichen Gutes. Unterstellt man eine eher oligopolistische Marktstruktur bzw. ein Gut, das im kollektiven Besitz einer Teilgruppe aller Anbieter ist, bewegen sich die Ergebnisse zwischen der monopolistischen und der polypolistischen Lösung.41 Ob der Realoptionsansatz anwendbar ist, 38 Die Kritik von Nippel (1994), S. 150, der Realoptionsansatz sei aus „theoretischer Sicht unzulässig" trifft nicht. 39 Für solche Modelle siehe Breeden (1979), Cox, Ingersoll und Ross (1985) oder Merton (1973a). 40 Optionen auf Finanzaktiva erfüllen diese Bedingung definitionsgemäß. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 79 hängt erheblich davon ab, inwieweit andere Wirtschaftssubjekte von der Durchführung des Investitionsprojektes ausgeschlossen werden können. Der nächste Einwand gegen das Modell nimmt sich auf den ersten Blick absurd aus, bei näherer Analyse wird jedoch seine Bedeutung erkennbar. Es wurde angenommen, daß Optionen niemals einen negativen Wert annehmen, was recht natürlich scheint. Folglich sollte man selten beobachten, daß Individuen Optionen „verschenken" oder gar bewußt vernichten. Genau dafür gibt es jedoch zahlreiche Beispiele. Das bekannteste ist wohl Hernando Cortez' Verbrennung seiner Schiffe nach seiner Landung bei Vera Cruz im Jahr 1519.42 Cortez war bei seinem Raubzug erfolgreich und gilt als genial. Die Vernichtung seiner Option, nämlich im Notfall wieder flüchten zu können, sollte deshalb nicht voreilig als die Handlung eines irrationalen Individuums eingestuft werden. Die Lösung für das Paradox liefert ein Konzept der Spieltheorie, das teilspiel-perfekte Gleichgewicht. Dort wird die Bedeutung von „commitment", d.h. die Möglichkeit, sich a priori auf eine Handlung festzulegen und dann auch daran zu halten, für strategische Entscheidungssituationen herausgestellt. In diesem Licht ist das Verbrennen der Schiffe die bindende Festlegung, unter allen Umständen zu bleiben und zu kämpfen. In ökonomischem Zusammenhang wird der Wert von commitment, also der Unwert von Optionen, deutlich, wenn man die vertikalen Auswirkungen flexibler und starrer Technologien analysiert.43 Ein einprägsames Beispiel ist die Selbstbindung, die sich Regierungen durch den Goldstandard oder, in geringerem Grad, durch unabhängige Zentralbanken auferlegen.44 Ähnliches läßt sich bei den engen Beziehungen zwischen Zulieferbetrieben und Abnehmern in der japanischen Industrie beobachten, die opportunistisches Verhalten der Vertragsparteien durch gegenseitige Abhängigkeit begrenzen.45 Man beachte, daß commitment den Realoptionsansatz nicht generell invalide macht, sondern lediglich in das Kalkül einbezogen werden muß.46 Letztlich sind Kosten und Nutzen von Flexibilität zu berücksichtigen. 41 Eine spieltheoretische Analyse eines Oligopolmodells mit Realoptionen findet man in Smit und Ankum (1993). 42 Vgl. den Augenzeugenbericht von Diaz (1568), S. 144ff. 43 Das Argument ist technisch nicht einfach. Eine Analyse für Inputmärkte findet man bei Kulatilaka und Marks (1988). 44 Vgl. zu diesem Problem Kydland und Prescott (1977). 45 Vgl. Milgrom und Roberts (1988), S. 565ff. 46 Dies entspricht der Argumentation in transaktionskostentheoretischen Überlegungen, wonach die Summe aus Produktions- und Transaktionskosten minimiert werden soll. Siehe Williamson (1990), S. 25. Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 80 Andreas Gintschel In einem letzten Einwand ist auf den Einfluß von asymmetrisch verteilten Informationen auf die Investitionsentscheidungen hinzuweisen. Der Einfluß ist nicht direkt, sondern indirekt über die Finanzierung des Unternehmens. Wie Myers (1977) zeigt, können Informationsdefizite der Fremdkapitalgeber über die Alternativenmenge des Unternehmens dazu führen, daß Realoptionen nicht ausgeübt werden. Andererseits demonstrieren Heinkel und Zechner (1990), daß die Finanzierung von Realoptionen durch Kredite oder Vorzugsaktien Überinvestitionsanreize im Sinne von Narayanan (1988) lösen kann.47 Die Intuition für dieses Ergebnis ist wie folgt: Zum Investitionszeitpunkt kennen die Kapitalgeber lediglich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Projektergebnisse, der Unternehmer kennt bereits den wahren Wert. Da der Unternehmer nicht über ausreichend eigene Mittel verfügt, tritt er auf den Kapitalmarkt. Das Erscheinen zeigt den potentiellen Kapitalgebern, daß das Projekt nicht „zu schlecht" sein kann, und folglich revidieren diese ihren Erwartungswert nach oben. Es bleiben aber dennoch „schlechte" Projekte, im Sinne von einem tatsächlich NPV < 0, am Markt. Dies ergibt ein Überinvestitionsproblem, das aber von den Kapitalgebern antizipiert wird und dessen Kosten deshalb der Unternehmer zu tragen hat. Dieses Problem kann gelöst werden, indem der Unternehmer prioritäre Finanztitel, wie Fremdkapital oder Vorzugsaktien, emittiert, bevor er den wahren Wert des Projekts kennt. Heinkel und Zechner (1990) zeigen, daß die Unterinvestitionsanreize, die daraus entstehen, genau die Überinvestitionsanreize kompensieren. Die Bewertung der Realoption kann in dem hier vorgestellten Rahmen erfolgen. Insgesamt ist festzustellen, daß die Anwendung von Optionspreismodellen unter den genannten Bedingungen modifiziert bzw. ergänzt werden muß. Dennoch liefert die Analyse mehr oder weniger brauchbare Näherungen. Das größte Verdienst dürfte jedoch in der Sensibilisierung der Entscheidungsträger für den Optionscharakter, der vielen Investitionsprojekten innewohnt, sein. VII. Zusammenfassung In dem vorliegenden Artikel wurde ein allgemeines Binomialmodell mit zwei Zeitpunkten und zwei Umweltzuständen zur Bewertung von Realoptionen vorgestellt. Es wurde gezeigt, wie durch leichte Modifikationen der Definition des Ausübungsgewinnes unterschiedliche Typen 47 Ein vereinfachtes Modell ist Nippel (1996). Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen 81 von Realoptionen, die in der Literatur genannt werden, in einem allgemeinen Modell bewertet werden können. Für die Bestimmung von Projektwerten, die mehrere Realoptionen beinhalten und damit einen höheren Flexibilitätsgrad besitzen, wurde skizziert, wie das Modell in numerischen Verfahren angewandt werden kann. Schließlich wurden die Voraussetzungen diskutiert, unter denen das Modell valide Ergebnisse erzeugt. Zum Schluß eine Anmerkung zur Relevanz des vorgestellten Ansatzes in der Unternehmenspraxis. Die Tatsache, daß das von den McKinsey- Beratern Copeland, Koller und Murrin (1990) verfaßte Buch „Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies" ein Kapitel ausschließlich diesem Thema widmet, scheint dafür zu sprechen, daß die Methode in der Unternehmensberatung ihre Anwendung findet. Auf eine weitergehende Akzeptanz deutet das Erscheinen eines Beitrages von Dixit und Pindyck (1995) im „Harvard Business Review". Literatur Bierman, H. und S. Smidt (1980): The Capital Budgeting Decision: Economic Analysis of Investment Projects. New York. - Brealey, R. S. und S. C. Myers (1991): Principles of Corporate Finance. New York. - Breeden, D. T. (1979): „An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and »Investment Opportunities." Journal of Financial Economics 7. 265 -96. - Brennan, M. J. (1958): „The Supply of Storage." American Economic Review 48. 50 - 72. - Brennan, M. J. 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(1965): Wahrhafte Geschichte der Entdeckung und Eroberung von Mexiko. Stuttgart. - Dixit, A. K. (1992): „Investment and Hysteresis." Journal of Economic Perspectives 6. 107 - 32. - Dixit, A. K. und R. S. Pindyck (1994): Investment under Uncertainty. Princeton NJ. - Dixit, A. K. und R. S. Pindyck (1995): „The Options Approach to Capital Investment." Harvard Business Review. 105-15. - Eble, S. und R. Völker (1993): „Die Behandlung von Optionen in der betrieblichen Investitionsrechnung." Die Unternehmung 47. 407 - 18. - Fama, E. F. und M. H. Miller (1972): The Theory of Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39 82 Andreas Gintschel Finance. New York. - Fisher; I. (1930): The Theory of Interest - As Determined by Impatience to Spend Income and Opportunity to Invest It. New York. - Franke, G. und H. Hax (1994): Finanz Wirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt. Berlin. - Hax, H. und H. Laux (1972): „Flexible Planung-Verfahrensregeln und Entscheidungsmodelle für die Planung bei Ungewißheit." Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 24. 318 -40. - Heinkel, R. und J. Zechner (1990): The Role of Debt and Preferred Stock as a Solution to Adverse Investment Incentives. Journal of Financial and Quantitative Analysis 25. 1 -24. - Hirshleifer, J. (1974): Kapitaltheorie. Köln. - Hull, J. (1989): Options, Futures and Other Derivative Securities. Englewood Cliffs NJ. - Kaldor, N. (1939): „Speculation and Economic Stability." Review of Economic Studies 7. 1-27. - Kester, W. C. (1984): „Today's Options for Tomorrow's Growth." Harvard Business Review 62 (March - April). 153 - 60. - Kogut, B. und N. Kulatilaka (1994): „Options Thinking and Platform Investments: Investing in Opportunity." California Management Review 36.52 - 71. - Kulatilaka, N. 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Advances in Futures and Options Research 3. 145 - 67. - Trigeorgis, L. (1990): „A Real-Options Application in Natural-Resource Investments." Advances in Futures and Options Research 4. 153 - 64. - Trigeorgis, L. (1993a): „Real Options and Interactions With Financial Flexibility." Financial Management 22. 202 -24. - Trigeorgis, L. (1993b): „The Nature of Option Interactions and the Valuation of Investments with Multiple Real Options." Journal of Financial and Quantitative Analysis 28. 1 - 20. - Trigeorgis, L. und S. P. Mason (1987): „Valuing Managerial Flexibility" Midland Corporate Journal 5. 14-21. - Williamson, O. E. (1990): Die ökonomischen Institutionen des Kapitalismus. Tübingen. - Working, H. (1949): „The Theory of Price of Storage." American Economic Review 39. 1254- 62. Zusammenfassung Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von Realoptionen Der Realoptionsansatz zur Bewertung von Sachinvestitionen wurde in jüngerer Zeit als Ergänzung zum Nettokapitalwertkriterium entwickelt. In der betrieblichen Praxis findet der Realoptionsansatz zunehmend Anwendung. Der vorliegende Beitrag stellt ein einheitliches Bewertungsmodell für die gängigen Typen von Realoptionen vor. Die Grundlage ist ein einperiodiges Binomialmodell, das die Modellierung und Implementierung wesentlich vereinfacht. Die Bewertungsformel kann auf alle Typen von Realoptionen angewandt werden, indem der Ausübungsgewinn in geeigneter Weise definiert wird. Das Modell läßt sich leicht auf Projekte mit multiplen Realoptionen erweitern. Notwendige Bedingungen für die Anwendbarkeit des Realoptionsansatzes werden diskutiert. (JEL G31) Summary A General Binomial Model for Valuing Real Options In the last decade, a substantial body of literature devoted to the real-options approach to valuation of real assets, complementary to the traditional net present value analysis, has emerged. The real-options approach is employed by an increasing number of corporations for capital budgeting. This paper presents a unified valuation model, which builds on the simple structure of a binomial process, for common types of real options. The valuation formula is adapted to the different Kredit und Kapital 1/1999 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.32.1.60 | Generated on 2023-01-16 13:13:39