Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit: Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen

Kuhn, Thomas Book — Digitized Version Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit: Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen Finanzwissenschaftliche Schriften, No. 36 Provided in Cooperation with: Peter Lang International Academic Publishers Suggested Citation: Kuhn, Thomas (1987) : Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit: Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen, Finanzwissenschaftliche Schriften, No. 36, ISBN 978-3-631-75193-0, Peter Lang International Academic Publishers, Berlin, https://doi.org/10.3726/b13749 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/182748 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen FINANZWISSENSCHAFTLICHE SCHRIFTEN Thomas Kuhn Die Schlüsselzuweisungen haben im kommunalen Finanzausgleich im wesentlichen die Aufgabe, die fiskalische Ungleichheit der Kommunen zu reduzieren. Ob dies auch wirklich gelingt, ist mit analytischen Methoden noch nicht untersucht worden. Das liegt in erster Linie an dem numerischen Iterationsverfahren, mit dem die Schlüsselzuweisungen berechnet werden, und der Intransparenz, die daraus resultiert. Die vorliegende Arbeit erklärt nun erstmals analytisch, von welchen Einflußgrößen die Verteilung der Schlüsselzuweisungen abhängt und wie sie sich auf die fiskalische Ungleichheit der Kommunen auswirkt. Thomas Kuhn, Jahrgang 1955, studierte Wirtschaftsingenieurwesen an der Universität Karlsruhe. Diplom 1981. Danach wiss. Mitarbeiter am Lehrstuhl für VWL V der Universität Augsburg Promotion 1985. Seitdem akad. Rat a.Z. am gleichen Lehrstuhl. FINANZWISSENSCHAFTLICHE SCHRIFTEN Thomas Kuhn Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen FINANZWISSENSCHAFTLICHE SCHRIFTEN Herausgegeben von den Professoren Albers, Krause-Junk, Llttmann, Oberhauser, Pohmer, Schmidt Band36 ~ Verlag Peter Lang Frankfurt am Main · Bern · New York · Paris ThomasKuhn Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit Eine theoretische Analyse der Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen • Verlag Peter Lang Frankfurt am Main · Bern · New York · Paris Open Access: The online version of this publication is published on www.peterlang.com and www.econstor.eu under the international Creative Commons License CC-BY 4.0. Learn more on how you can use and share this work: http://creativecommons. org/licenses/by/4.0. This book is available Open Access thanks to the kind support of ZBW – Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft. ISBN 978-3-631-75193-0 (eBook) CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Kuhn, Thomas: Schlüsselzuweisungen und fiskalische Ungleichheit : e. theoret. Analyse d. Verteilung von Schlüsselzuweisungen an Kommunen / Thomas Kuhn. -Frankfurt am Main ; Bern ; New York ; Paris : Lang, 1988 (Finanzwissenschaftliche Schriften ; Bd. 36) Zugl.: Augsburg, Univ., Diss., 1985 ISBN 3-8204-0051-6 NE:GT Q) D384 ISSN 0170-8252 ISBN 3-8204-0051-6 e Verlag Peter Lang GmbH, Frankfurt am Main 1988 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Druck und Bindung: Weihart-Druck GmbH, Darmstadt Printed in Germany INHALTSVERZEICHNIS Einführung KOMMUNALER FINANZAUSGLEICH, SCHLÜSSELZUWEISUNGEN UND VERTEILUNGSZIELE Der kommunale Finanzausgleich 1.1 Begriffsbestimmungen 1 .2 Zuweisungsarten 1.3 Finanzierung der Zuweisungen 2 Das System der Schlüsselzuweisungen 2.1 Die Schlüsselzuweisungen 2.1.1 Der Ausgleich zwischen Finanzbedarf und Steuerkraft 2.1.2 Die Ausschöpfung der Schlüsselmasse und das Versorgungsniveau 2.2 Sonderschlüsselzuweisungen und Mindestgarantien 2.2.1 Sonderschlüsselzuweisungen 2.2.2 Mindestgarantien 2.3 Existenz und Eindeutigkeit der Schlüsselzuweisungen 2.4 2. 4. 1 2.4.2 2.4.3 Iterationsverfahren für die Berechnung des Grundbetrags Verfahren (1) Das Verfahren der Statistischen Landesämter (2) Ein modifiziertes Verfahren (3) 3 Verteilungsziele und Verteilungskriterien 3.1 Kommunale Ziele 3.2 Staatliche Ziele 3.3 Kriterien der fiskalischen Ungleichheit Seite 9 9 9 11 12 15 15 15 24 32 32 38 46 49 49 51 55 59 59 64 71 II II VERTEILUNGSANALYSE 4 Die fiskalische Ungleichheit der Gemeinden 4.1 Finanzierungsdefizite und Finanzierungsüberschüsse in den Gemeinden 4.2 Die Nichtregressivität der Schlüsselzuweisungen 4.3 Bedingungen für fiskalische Gleichheit 5 Verteilungen bei variabler Schlüsselmasse 5.1 Die Abhängigkeit der Schlüsselzuweisungen von der Schlüsselmasse 5.1.1 Der Grundbetrag als Funktion der Schlüsselmasse Exkurs: Verfahren (4) für die Berechnung des Grundbetrags 5.1.2 Die Schlüsselzuweisungen als Funktion der Schlüsselmasse 5.2 Optimale Schlüsselmassen für Kommunen 5.2.1 Die Maximierung der Finanzausstattung 5.2.2 Die Maximierung des Finanzanteils 5.3 Die Variation der Schlüsselmasse aus Sicht von Gemeindegruppen 5.3.1 Die Verteilung der Finanzausstattungen 5.3.2 Die Umverteilung der Finanzanteile 5.4 Progressive und regressive Verteilungen 6 Verteilungen bei variabler Ausschüttungsquote 6.1 Die Schlüsselzuweisungen als Funktion der Ausschüttungsquote 6.2 Optimale Ausschüttungsquoten für Kommunen 6.3 Die Variation der Ausschüttungsquote aus der Sicht von Gemeindegruppen 6.3.1 Die Umverteilung der Finanzausstattungen und Finanzanteile Seite 81 82 86 90 94 94 95 100 101 104 104 105 114 11 4 120 129 134 134 144 153 153 5 für eine implizite Formulierung des Gleichgewichts. l) Nun wird man auch verstehen, weshalb die Schlüsselzuweisungen mit formalen Methoden noch nicht untersucht worden sind. Angesichts des bestehenden Forschungsdefizits hat sich diese Arbeit zum Ziel gesetzt, die Verteilungsergebnisse der Schlüsselzuweisungen theoretisch zu erklären. Dazu müssen wir uns, genau wie wir es oben skizziert haben, beliebig viele alternative Verteilungen beschaffen. Wenn man staatliche und kommunale Ziele präzisiert, dann kann man diese Verteilungen auf ihre Eigenschaften hin überprüfen. Der Staat ist an Verteilungen interessiert, mit denen die fiskalische Ungleichheit der Kommunen reduziert wird. Darüberhinaus ist aus staatlicher Sicht auch zu fragen, ob es überhaupt eine Verteilung gibt, mit der sich fiskalische Gleichheit realisieren ließe .. Eine Kommune wird eine Verteilung in erster Linie danach beurteilen, ob sie mit den Schlüsselzuweisungen, die sie bei dieser Verteilung erhält, ihre eigene Position absolut und relativ verbessern kann. Zur Behandlung dieser Fragen bedienen wir uns durchweg eines formalen Instrumentariums, das sich allerdings, wie man sich leicht vorstellen kann, teilweise als recht unhandlich erweist. Das liegt einfach an der Komplexität des Systems,. die ~ich zwangsläufig in sehr "unschönen" Funktionen für das Versorgungsniveau und alle davon abgeleiteten Größen zeigt. Der formale Aufwand rechtfertigt sich jedoch wieder durch teilweise überraschende Resultate. Einen anderen Teil der Ergebnisse konnte man vielleicht intuitiv so erwarten, eine richtige Intuition kann 1) zum Beweis dieser These siehe ausführlich Abschnitt 2.1.2 und die dort angegebene Literatur 6 aber natürlich keinen strengen Beweis ersetzen. Im einzelnen gehen wir in der Untersuchung wie folgt vor. Nach einer kurzen Einordnung der Schlüsselzuweisungen in den kommunalen Finanzausgleich wird im 2. Kapitel zunä9hst das System der Schlüsselzuweisungen in den einzelnen Bundesländern dargestellt, auf eine gemeinsame Grundstruktur reduziert und formalisiert. Anschließend gehen wir ausführlich auf das Problem der analytischen Bestimmung des Versorgungsniveaus ein, für das es in der Literatur bisher noch keine Lösung gab. In diesem Zusammenhang ist auch zu zeigen, daß ein gleichgewichtiges Versorgungsniveau existiert und daß es eindeutig ist. Dieser Nachweis ist zudem eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung von Iterationsverfahren. Zu dem in den Statistischen Landesämtern praktizierten Verfahren geben wir eine genaue algorithmische Beschreibung sowie drei weitere Alternativen an, die sogar noch etwas einfacher und schneller sein dürften. Im 3. Kapitel kommt es im wesentlichen darauf an, kommunale und staatliche Ziele zu präzisieren und daraus Kriterien für die Beurteilung von Verteilungen zu entwickeln. Aus staatlicher Sicht wird von einer Verteilung insbesondere die Progressivität gefordert. Hier ist es allerdings erst mit einer geeigneten Umformulierung des Uorenzkurven-Kriteriums möglich, die Progressivität einer Verteilung auf analytischem Wege einzuschätzen. Aus der Sicht einer Kommune ist eine Verteilung optimal, mit der die Finanzausstattung bzw. der Finanzanteil der Kommune maximiert wird. Im zweiten Teil wird das System der Schlüsselzuweisungen unter den genannten Gesichtspunkten analysiert und beur- 7 teilt. Zunächst vergleichen wir im 4. Kapitel die Situation bei einer beliebigen Verteilung der Schlüsselzuweisungen mit einer Situation, in der die Kommunen nur über ihre eigenen Steuereinnahmen verfügen können. Dazu betrachten wir Finanzierungsüberschüsse und Finanzierungsdefizite, die in den Gemeinden trotz Zuweisungen noch verbleiben und geben Bedingungen an, unter denen die fiskalische Ungleichheit mit Zuweisungen völli.g zum Verschwinden gebracht werden kann. Im 5. Kapitel vergleichen wir Verteilungen miteinander, die durch eine Variation der Schlüsselmasse erzeugt werden. Die Grundlage dafür ist ein funktionaler Zusammenhang zwischen dem Versorgungsniveau und der Schlüsselmasse, mit dem man die Zuweisungen an die Kommunen und die dazugehörigen Verteilungen von der Schlüsselmasse funktional abhängig machen kann. Für die einzelnen Kommunen werden dann optimale Schlüsselmassen bestimmt. Danach untersuchen wir, wie sich eine Erhöhung oder Verringerung der Schlüsselmasse um einen bestimmten Betrag auf Gemeinden und insbesondere Gemeindegruppen auswirkt, wenn man von der Schlüsselmasse im status quo ausgeht. Mit dem Nachweis, daß Verteilungen mit höherer Schlüsselmasse progressiver sind als Verteilungen mit niedrigerer Schlüsselmasse, schließt das Kapitel ab. Das 6. Kapitel geht prinzipiell den gleichen Fragen wie das vorherige nach, nur mit dem Unterschied, daß die alternativen Verteilungen diesmal nicht aus einer Variation der Schlüsselmasse, sondern der Ausschüttungsquote resultieren. Ganz analog zum 5. Kapitel geben wir das Versorgungsniveau, die Schlüsselzuweisungen und die dazugehörige Verteilung als Funktion der Ausschütungsquote an. Man kann dann wieder optimale Ausschüttungsquoten für die Kommunen, die Umverteilung zwischen Gemeindegruppen bei einer Änderung 8 des status quo und die Regressivität bzw. Progressivität von Verteilungen bestimmen. Im 7. Kapitel beziehen wir Sonderschlüsselzuweisungen und Mindestgarantien in die Analyse ein. Ihre Funktionsweise. ist zuvor schon im 2. Kapitel ausführlich erläutert worden. Ihre Verteilungswirkungen werden nun an einer Situation gemessen, in der man die für Sonderschlüsselzuweisungen und Mindestgarantien aufgewendeten Finanzmittel alternativ nur für Schlüsselzuweisungen einsetzen würde. Im 8. Kapitel zeigen wir systemimmanente Grenzen der Redistribution auf, wobei wir uns auch auf die im II. Teil gewonnenen Erkenntnisse stützen. Aus dieser Kritik leitet sich im 9. Kapitel quasi zwangsläufig ein alternatives, viel handlicheres System von Zuweisungen ab, mit dem sich insbesondere das Ziel der fiskalischen Gleichheit sehr einfach erreichen läßt. Mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Erkenntnisse, einigen Anmerkungen zu ihrer praktischen Anwendung und einem Ausblick auf die weitere Forschung schließt die Arbeit ab. 9 I KOMMUNALER FINANZAUSGLEICH, SCHLÜSSELZUWEISUNGEN UND ~ERTEILUNGSZIELE Der kommunale Finanzausgleich In der Bundesrepublik Deutschland muß, wie in jedem föderalistisch aufgebauten Staat, über die Verteilung der öffentlichen Aufgaben auf die Gebietskörperschaften, das sind Bund, Länder und Gemeinden, entschieden werden. Gibt man die Aufgabenverteilung vor, dann ist damit natürlich auch eine bestimmte Verteilung der Ausgaben impliziert. Durch eine entsprechende Verteilung der Staatseinnahmen ist dann dafür zu sorgen, daß die einzelnen Gebietskörperschaften ihre Ausgaben auch finanzieren können. Dazu werden fast immer Zuweisungen zwischen Gebietskörperschaften notwendig, denn es kommt praktisch nie vor, daß die Einnahmen einer Körperschaft genau ihrem Ausgabenbedarf entsprechen. 1.1 Begriffsbestimmungen Nach diesen kurzen Vorbemerkungen können wir nun definieren, was man unter Finanzausgleich versteht, Finanzausgleich bedeutet die Zuordnung der Aufgaben, Ausgaben und Einnahmen auf Gebietskörperschaften, 1l Im kommunalen Finanzausgleich werden also Aufgaben, Ausgaben und Einnahmen auf Kommunen auf der einen, und auf Bund und Land auf der anderen Seite verteilt, bzw. auf Kommunen und Land, wenn man von den spärlichen Beziehungen zwischen Bund und Kommunen abstrahiert. Nimmt man die Ausgaben- und Einnahmenverteilung als gegeben an, dann reduziert sich der kommunale Finanzausgleich nur noch auf die Zuweisungen zwischen Land und Kommunen. Zuweisungen sind dabei.allgemein definiert als Zahlungen zwischen 1) Siehe Zimmermann, Henke [1982], s. 89. Von sonstigen öffentlichen Körperschaften, wie Sozialversicherungen, wird abstrahiert. 10 Körperschaften. Man benötigt sie einfach deshalb, weil die eigenen Einnahmen einer Körperschaft praktisch nie ihrem Ausgabenbedarf entsprechen. Zuweisungen gibt es nicht nur zwischen über- und nachgeordneten Körperschaften, sondern auch zwischen Körperschaften der gleichen Ebene. Im einen Fall spricht man vom vertikalen, im anderen Fall vom horizontalen Finanzausgleich. In der Praxis jedoch lassen sich horizontaler und vertikaler Finanzausgleich nicht ganz voneinander trennen. Dies trifft insbesondere auf den kommunalen Finanzausgleich zu, den man als vertikalen Finanzausgleich mit horizontalem Effekt charakterisieren könnte. Was ist darunter zu verstehen? Zwischen den Kommunen bestehen normalerweise erhebliche fiskalische Unterschiede. So gibt es relativ arme Kommunen, deren Einnahmen zur Deckung ihres Finanzbedarfs nicht ausreichen und relativ reiche, die sogar einen Uberschuß ihrer Einnahmen über ihren Finanzbedarf aufweisen. Diese fiskalische Ungleichheit unter den Gemeinden soll mit dem horizontalen Finanzausgleich reduziert werden. Dieses Ziel könnte man auch leicht mit Umlagen erreichen, also mit Zahlungen der reicheren Kommunen an die ärmeren. Im kormnunalen Finanzausgleich wird jedoch meist so vorgegangen, daß ein Land für Zuweisungen an Kommunen eine bestimmte Finanzmasse zur Verfügung stellt, mit der die Kommunen an den Steuereinnahmen des Landes beteiligt werden (Steuerverbund, siehe 1.3). Damit läßt sich natürlich die Finanzausstattung der Kormnunen ganz allgemein erhöhen. Dies ist jedoch nicht das primäre Ziel und auch nicht weiter problematisch. Viel schwieriger ist es, dem Verteilungsziel gerecht zu werden, denn das Land sieht sich sofort mit der Frage konfrontiert, wie die Finanzmittel auf die einzelnen Kormnunen aufgeteilt werden sollen. Wenn von Zuweisungen eine nivellierende Wirkung ausgehen soll, dann muß das Land, 11 vereinfacht ausgedrückt, armen Gemeinden mehr geben als reichen. Wie dies im einzelnen konkret auszusehen hat, kann nicht allgemein gesagt werden, sondern hängt von der Art der Zuweisung und ihrer zweckmäßigen Ausgestaltung ab. 1.2 Zuweisungsarten Die Zuweisungen eines Landes an die Kommunen kann man nach der Zweckbindung in allgemeine und zweckgebundene Zuweisungen einteilen. Allgemeine Zuweisungen stellen für die Gemeinden genau wie die Steuern allgemeine Deckungsmittel dar und werden im Verwaltungshaushalt vereinnahmt. Den Kommunen ist somit freigestellt, wie sie die Zuweisungen verwenden wollen. zweckgebundene Zuweisungen sind dagegen mit Verwendungsauflagen verbunden. Bei den allgemeinen Zuweisungen kann man im wesentlichen Schlüsselzuweisungen, mit denen wir es in dieser Arbeit hauptsächlich zu tun haben, und Bedarfszuweisungen unterscheiden. Für Schlüsselzuweisungen steht vorab eine bestimmte Finanzmasse, die sogenannte Schlüsselmasse, zur Verfügung, die nach einem Schlüssel auf die Gemeinden verteilt wird. Danach erhält eine Gemeinde einen bestimmten Prozentsatz der Differenz zwischen ihrem Finanzbedarf und ihrer Steuerkraft als Schlüsselzuweisung. Gemeinden, deren Steuerkraft mindestens so hoch wie ihr Finanzbedarf ist, bekommen nichts. Gleichzeitig muß gewährleistet sein, daß alle Schlüsselzuweisungen zusammengenommen die vorhandene Schlüsselmasse genau ausschöpfen. Die Bedarfszuweisungen, die im Vergleich zu den Schlüsselzuweisungen in allen Ländern quantitativ relativ unbedeutend sind, werden nur in Einzelfällen und auf Antrag gewährt. Dieser kann mit der außergewöhnlichen Lage einer Kommune, etwa bei unvermeidlichen Haushaltsfehlbeträgen, oder mit 12 "Härten" begründet sein, die bei der Verteilung der Schlüsselzuweisungen entstanden sind. Bei den zweckgebundenen Zuweisungen gibt es eine ganze Reihe von Zuweisungsarten. Sie sollen uns hier nicht weiter interessieren, wir führen kommentarlos nur einige Beispiele an. Es gehören dazu etwa Investitionszuweisungen, Erstattungen für Auftragsangelegenheiten, durchlaufende Gelder oder Zuweisungen für Sonderlastenausgleich. Durchlaufende Gelder sind Transferzahlungen von Bund und Land an natürliche Personen, die über die Gemeinden ausbezahlt werden. Zuweisungen für Sonderlastenausgleich sind z.B. Zahlungen für den Bau und Unterhalt von Straßen, mit denen die Gemeinden am Mineralölsteueraufkommen beteiligt werden. Nach der Art und Weise der Verteilung unterscheidet man regelgebundene und nicht regelgebundene Zuweisungen. Die Schlüsselzuweisungen sind, wie wir schon wissen, ein Beispiel für regelgebundene Zuweisungen. Daneben gibt es im kommunalen Finanzausgleich noch andere regelgebundene Zuweisungen, die aber nicht nach Finanzbedarf und Finanzkraft, sondern pauschal nach der Einwohnerzahl oder speziellen Bedarfskennziffern, etwa der Straßenlänge oder der Schülerzahl, verteilt werden. Nicht regelgebundene Zuweisungen werden dagegen meist auf Antrag einer Gemeinde nach mehr oder weniger genau spezifizierten, nicht formalisierten Kriterien gewährt und räumen dem Land einen gewissen Ermessensspielraum ein. 1.3 Finanzierung der Zuweisungen Die Finanzmasse, die dem Land zur Finanzierung der verschiedenen Zuweisungen zur Verfügung steht, setzt sich aus dem obligatorischen Steuerverbund, dem fakultativen Steuerverbund und aus Haushaltsmitteln des Landes zusammen. 1 3 Der obligatorische Steuerverbund besteht aus dem Landesanteil an den Gemeinschaftssteuern, das sind die Einkommensteuer, Körperschaftsteuer und Umsatzsteuer. Diese finanziellen Mittel werden in einigen Ländern ergänzt durch die Einbeziehung weiterer Landessteuern (fakultativer Steuerverbund). Die Gemeinden erhalten von der so zusammengesetzten Verbundmasse einen bestimmten Prozentsatz (Verbundquote), der von Land zu Land verschieden ist, als Zuweisungen. In einigen Ländern, so in Bayern, besteht abweichend davon der fakultative Steuerverbund aus dem obligatorischen Steuerverbund, von dem wieder ein bestimmter Prozentsatz den Gemeinden zusteht, und aus sogenannten Sonderverbünden einzelner Landessteuern, etwa der Mineralölsteuer, von denen den Gemeinden ein bestimmter Teil gesetzlich zusteht. zu den gesamten Finanzausgleichsleistungen eines Landes an die Kommunen sind schließlich noch die Zuweisungen zu zählen, die aus Haushaltsmitteln des Landes finanziert werden und die in den Finanzausgleichsgesetzen der Länder teilweise gar nicht vorgeschrieben sind. Die Schlüsselmasse, also die finanziellen Mittel, die für Schlüsselzuweisungen zur Verfügung stehen, wird in allen Ländern dem Gemeindeanteil an der Verbundmasse entnommen. Allerdings ist dabei zu beachten, daß von der Schlüsselmasse teilweise vorab bestimmte Mittel abgezogen werden. So verteilt sich in Rheinland-Pfalz ein Teil der Schlüsselmasse, die sogenannten Schlüsselzuweisungen B1, pauschal nach der Einwohnerzahl auf alle Gemeinden, wobei sich die Pro- Kopf-Beträge der kreisfreien Städte, der großen kreisangehörigen Städte und der Gemeinden geringfügig voneinander unterscheiden. In Baden-Württemberg erhalten alle Gemeinden vorab 20 DM je Einwohner. In Hessen gibt es für Gemeinden, die keine Schlüsselzuweisungen erhalten, sogenannte Mindestschlüsselzuweisungen (die nicht mit Sonderschlüsselzuweisungen und Mindestgarantien zu verwechseln sind), deren Pro-Kopf-Beträge ebenfalls gestaffelt sind. Schließlich 1 4 werden in einigen Ländern auch die Sonderschlüsselzuweisungen der Schlüsselmasse vorab entnommen. Darauf werden wir noch ausführlich eingehen (siehe 2.2). Die verbleibende Finanzmasse wird dann in einigen Ländern nochmals auf Gemeinden und Gemeindeverbände aufgeteilt. Insgesamt kann man sagen, daß die gesetzlichen Regelungen in den Ländern hier sehr unterschiedlich sind. Wir wollen uns damit auch nicht weiter beschäftigen, für unsere Analyse genügt es zu wissen, daß für Schlüsselzuweisungen an Kommunen in jedem Land ein bestimmter Betrag, den wir im folgenden einfach "Schlüsselmasse" nennen, zur Verfügung steht und als gegeben anzusehen ist. 21 Beim Ansatz für Bevölkerungszuwachs wird der Hauptansatz um ein Drittel des prozentualen Bevölkerungszuwachses der jeweils letzten 10 Jahre, höchstens jedoch um { des Hauptansatzes erhöht. Bezeichne vi 1 den Faktor für den Ansatz für Bevölkerungszuwachs in Gemeinde i, dann gilt l(Ei,10 _ ) 3 E 1 wi i,O 1 yli , Ei, 10 ~ 2E. O i, sonst , wobei Ei,O die Einwohnerzahl in i vor Ei,lO die derzeitige Einwohnerzahl in 10 i Jahren ist mit und Ei, 10 > Ei,O. Beim Raumordnungsansatz in Rheinland-Pfalz werden zur Einwohnerzahl des Hauptansatzes rechnerisch weitere (fiktive) Einwohner hinzuaddiert: Unter- und Kleinzentren erhalten 3,5 v.H., Mittelzentren 2,5 v.H. und Oberzentren 0,75 v.H. der Einwohnerzahl des Verflechtungsbereichs. Die Verflechtungsbereiche sind im Landesentwicklungsprogramm bzw. in den regionalen Raumordnungsplänen festgelegt und enthalten auch den zentralen Ort. Der Faktor vi 2 für den Raumordnungsansatz eines zentralen Ortes ist also definiert als E~ P. l vi2 l E.° l mit V Ei: Einwohnerzahl im Verflechtungsbereich von l 0,035 i ist Unter- oder Kleinzentrum P. 0,02 5 i ist Mittelzentrum l 0,0075 i ist Oberzentrum i 22 Wir können also festhalten: Die Berechnung des Finanzbedarfs der Gemeinden ist in den einzelnen Bundesländern sehr unterschiedlich. Abstrahiert man aber von diesen Unterschieden, so errechnet sich der Finanzbedarf einer Gemeinde in allen Ländern allgemein als (2.1. 2) und der Finanzbedarf eines Einwohners in i als Der Faktor bi läßt sich interpretieren als Wert eines Bedarfsindex b: A -+- JR i-+- b(i)=: bi der jeder Kommune aus der Menge A aller Kommunen einen bestimmten Indexwert b. zuordnet. l. Der Index hat die Interpretation b. ~ b. .. der Bedarf eines Einwohners ist in l. J höchstens so groß wie in j, i,jEA , B. B. 1 ) denn gilt l. ......J. bi b. es E.° ~ .. ~ E. J l. J i Abschließend gehen wir noch kurz auf die Steuerkraft einer Gemeinde ein. Sie errechnet sich in allen Bundesländern im wesentlichen als Summe der Steuerkraftzahlen der Grundsteuer A 1) Vgl. ausführlich: Hanusch, Kuhn (1985], s. 59. 23 und B, der Gewerbesteuer und dem Gemeindeanteil an der Einkommensteuer. Die Steuerkraftzahlen der Realsteuern erhält man durch Multiplikation der Meß- bzw. Grundbeträge mit fiktiven landeseinheitlichen Hundertsätzen, die auch als Nivellierungshebesätze bezeichnet werden. Auch der Gemeindeanteil an der Einkommensteuer wird in den meisten Bundesländern nicht mit 100 %, sondern mit einem geringeren Prozentsatz angerechnet, so daß die tatsächlichen Einkommensteuereinnahmen der Gemeinden höher sind als es die Steuerkraftmeßzahl ausweist. Seien also 1 l Tij: der Meßbetrag bzw. der Grundbetrag der Steuer j in Gemeinde i, j = 1, •.. ,4 (Grundsteuer A + B, Gewerbesteuer, Gemeindeanteil an der Einkommensteuer), Hj: Nivellierungshebesatz bei der Steuer j. Daraus resultiert die Steuerkraft 4 L H .T .. j=1 J l.) die auch als normalisierte Steuerkraft bezeichnet wird, weil sie in der Regel von den tatsächlichen Steuereinnahmen einer Gemeinde abweicht. 1) Vgl. Leibfritz, Teschner [1981], s. 316. 24 2.1.2 Die Ausschöpfung der Schlüsselmasse und das Versorgungsniveau Die Finanzausgleichsgesetze der Länder unterscheiden sich, wie wir gesehen haben, insbesondere in der Berechnung des Finanzbedarfs erheblich voneinander. Die Schlüsselzuweisungen an die Gemeinden lassen sich aber durch Einsetzen von (2.1.2) in (2.1.1) auf die Grundstruktur (2.1.3) 0 K. l. ,G>E°F. l. l. , sonst reduzieren, wobei wir noch bi, Ei, Ki > O, i =1, ... ,N und O < a ~ 1 voraussetzen. Der Grundbetrag ist die einzige endogene Variable, alle anderen Größen sind exogen bestimmt. Bezeichnet man den Bedarf eines für die Gemeinde i repräsentativen, d.h. mit ihrem Indexwert bi gewichteten Einwohners als normierten Finanzbedarf (2.1.4) B. - l. B. := E.b°:- 1 i i dann läßt sich der Grundbetrag G interpretieren als normierter Finanzbedarf (2.1.5) G = B. l. denn (2 •. 1.5) ist äquivalent mit (2.1.2). Da (2.1.2) nur eine Definitionsgleichung ist, kann ( 2. 1 . 5) zur Bestimmung von G nicht verwendet werden. Der Grundbetrag ist vielmehr so festzusetzen, daß die Gemeindeschlüsselmasse M, die bekanntlich exogen gegeben ist, mit Schlüsselzuweisungen genau ausgeschöpft wird. Sei N ~ 1 die Anzahl der Gemeinden 25 in einem Land, dann muß also gelten: N (2.1.6) t s. i=1 1 M (Gleichgewichtsbedingung). Der Grundbetrag sorgt sozusagen für ein Gleichgewicht zwischen Schlüsselmasse und der Summe der Schlüsselzuweisungen. Bevor wir (2.1.3) in (2.1.6) einsetzen und daraus den Grundbetrag berechnen können, müssen wir die Dummy- Variable (2.1.7) 0 G < K. l. G > K. l. i 1 , ••• , N definieren, die den Wert 1 annimmt, wenn die Gemeinde i eine Schlüsselzuweisung erhält und den Wert O sonst. Dabei ist analog zum normierten Finanzbedarf die normierte Steuerkraft (2.1.8) K. - l. Ki:= E.b. l. l. i 1 , ••• , N als Steuerkraft eines für die Gemeinde i repräsentativen Einwohners definiert. Ob eine Gemeinde überhaupt Schlüsselzuweisungen erhält, hängt also vom Vergleich ihrer normierten Steuerkraft mit dem Grundbetrag, also ihrem normierten Finanzbedarf ab. Da der Grundbetrag in allen Gemeinden gleich ist, erhalten alle Gemeinden, deren normierte Steuerkraft kleiner als der Grundbetrag ist, (positive) Schlüsselzuweisungen, alle anderen Gemeinden erhalten keine. Dies werden wir uns später zunutze machen und die Gemeinden nach ihrer normierten Steuerkraft in aufsteigender Reihenfolge ordnen. Es läßt sich in dieser Ordnung dann die Ge- 26 rneinde mit derjenigen normierten Steuerkraft bestimmen, bis zu der alle Gemeinden Zuweisungen erhalten, deren normierte Steuerkraft nicht größer ist. Kommen wir zurück auf die Berechnung des Grundbetrags. Mit (2.1.7) können wir für (2.1.3) auch schreiben: (2.1.9) s. = 0i(G)a(EibiG Ki) l. i 1, ••• ,N. Eingesetzt in (2.1.6) folgt N (2.1.10) I 0i(G)a(EibiG - Ki) M i=1 und daraus ergibt sich M N 1 ) - + Ie.(GlK. a i=1 1 1 (2.1.11) G = N I 0i (G)Eibi i=1 Dabei ist noch vorausgesetzt, daß es mindestens eine Gemeinde iE{ 1, •.. ,N} gibt mit 0i (G) = 1. Das ist aber, wie wir noch zeigen werden (s. 5.1.1 und 2.3), immer dann der Fall, wenn M > 0 ist. Es ist nun auch einsichtig, warum wir stets a > O vorausgesetzt haben. Für a = O ist (2.1.11) nicht definiert. Die Annahme der Existenz von G würde sofort zum Widerspruch führen: N I S. l. 0 * M für a O, M > 0. i=1 Eine positive Schlüsselmasse käme bei a nicht zur Verteilung. O also gar Betrachten wir nun (2.1.11) etwas genauer. Die Abhängig- 1) Vgl. Hanusch, Kuhn [1985), S. 60. 27 keit der 0i vom Grundbetrag bedeutet, daß (2.1 .11) nur in impliziter Form vorliegt und auch nicht explizit gemacht werden kann. Das zeigt sich darin, daß, salopp gesprochen, die Werte der Dummy-Variablen bekannt sein müßten, um den Grundbetrag berechnen zu können, andererseits aber die Dummy-Variablen nur dann bestimmte Werte annehmen, wenn der Grundbetrag bekannt ist. Dieses Problem wird in den Statistischen Landesämtern mit einem Iterationsverfahren 1) gelöst. Im Grunde werden dabei so lange Näherungslösungen berechnet, bis der Grundbetrag, also die Lösung von (2.1 .10), gefunden ist. Bevor aber irgendein Iterationsverfahren überhaupt eingesetzt werden darf, ist zu prüfen, ob (2.1 .10) eine Lösung hat und ob sie eindeutig ist. Wir wollen den Beweis dazu allerdings noch ein wenig zurückstellen 2) und zunächst einfach voraussetzen, daß ein eindeutiger Grundbetrag existiert. Dann läßt sich (2,1 .11) auch ohne Dummy-Variablen schreiben. Dazu ordnen wir, wie gesagt, die Gemeinden nach ihrer normierten Steuerkraft in aufsteigender Reihenfolge, d,h. es gelte Aufgrund der Eindeutigkeit von G existiert genau ein n(G)E{1, .. ,,N}, das für G ;; ~ durch R n (G) < G < R n(G)+1 ' n(G) E{1, ... ,N-1} und für G >~durch n(G) N 1) Eine ausführliche (algorithmische) Beschreibung dieses Verfahrens geben wir in 2.4 an. Darüberhinaus schlagen wir zur derzeitigen Praxis auch alternative Verfahren vor (s. 2.4 und 5.1.1). 2) s. Abschnitt 2.3. 28 bestimmt ist. 1) Die Zahl n(G) gibt also die Nummer der Gemeinde in der Rangordnung der Gemeinden an, bis zu der alle Gemeinden Schlüsselzuweisungen erhalten. Gleichzeitig gibt sie die Zahl der zuweisungsberechtigten Gemeinden an. Damit gilt für die Dummy- Variablen 0. (G) = 1 0 l. 1 und für den Grundbetrag (2.1.12) G M n(G) - + l K. a i=1 1 n (G) l E.b. i=1 1 1 i i n(G)+1, ... ,N 1, •.• ,n(G) Die Gleichung (2.1.12) ist nur eine andere Form der Darstellung von (2.1.11) und (2.1.10). Der Grundbetrag ist hier nach wie vor nur implizit gegeben. In der Literatur, auch der neueren, wird diese Gleichung jedoch häufig als eine explizite Darstellung des Grundbetrags interpretiert. 2) Das kommt daher, daß man in unzulässiger Weise von der Interdependenz zwischen der Zahl der zuweisungsberechtigten Gemeinden n(G) und dem Grundbetrag G(n(G)) abstrahiert und n(G) einfach als bekannt annimmt. So findet sich in der Literatur für die Gleichung (2.1.12) öfter eine Darstellung, in der n(G) durch eine konstante Zahl, meist n, ersetzt ist. Es kommt auch vor, daß die Summationsgrenzen 1) Man beachte, der Fall G ~ K1 und 0i = O, i = 1, .•. ,N kann für M > 0 nicht eintreten, so daß n(G) > ist (siehe 2.3 und 5. 1 . 1) . 2) Siehe z.B. Münstermann [1975], s. 189; Gläser [1981], s. 296 f; Leibfritz, Teschner [1981], S. 315 ff; Weber [1981), S. 124 f. 29 t) µberhaupt nicht spezifiziert sind , oder es wird nicht klar, ob über alle Gemeinden oder nur die zuweisungsberechtigten summiert werden sol1. 21 Diese Art der Darstellung ist natürlich ungenau, sie erweckt dadurch jedoch leicht die Illusion, als wäre der Grundbetrag mit ihr explizit bestimmt. Tatsächlich muß sie in der Literatur dann auch häufig als Beweis für sehr weitreichende Behauptungen, etwa über die Abhängigkeit des Grundbetrags von einzelnen Variablen, wie der Schlüsselmasse oder Ausschüttungsquote, herhalten. 31 Dafür ist sie aber überhaupt nicht geeignet,ja, man kann vom mathematischen Standpunkt aus behaupten, daß sie noch nicht einmal für eine implizite Beschreibung des Grundbetrags taugt. Eine Veränderung etwa der Schlüsselmasse bewirkt, wie wir noch genau sehen werden, eine simultane Veränderung des Grundbetrags und der Zahlzuweisungsberechtigter Gemeinden. Dieser Zusammenhang kann mit Gleichung (2.1.12) nicht erfaßt werden. Dazu würde man eine Darstellung benötigen, die den Grundbetrag von interessierenden Variablen funktional abhängig macht, und mit der der Grundbetrag auch explizit bestimmt wäre. Für dieses Problem gibt es in der Literatur bisher noch keine Lösung. Von daher wird auch verständlich, weshalb die Schlüsselzuweisungen mit formalanalytischen Methoden bisher noch nicht untersucht worden sind, denn dies hätte die analytische Bestimmung des gleichgewichtigen Grundbetrags notwendigerweise vorausgesetzt. 41 1) Siehe etwa Weber [1981). 2) So z.B. bei Münstermann [1975) und Gläser [1981). 3) Siehe z.B. Weber [1981), s. 124; Münstermann [1975), S. 189; Gläsert1981], S. 296. 4) Wir werden uns mit diesem Problem im Verlauf der Arbeit noch eingehend beschäftigen. 30 Wir interpretieren den Grundbetrag nun noch ökonomisch. Durch Einsetzen von (2.1.12) in (2.1.2) und mit n:= n(G) ergibt sich fUr den Finanzbedarf einer Gemeinde Eibi n B. ~ + I Kj) l. n a I E.b. j=1 j=1 J J und damit ergibt sich n n }: j=1 l j=1 K. J Die Summe der Finanzbedarfe aller zuweisungsberechtigten Gemeinden entspricht also einem konstanten Betrag, den man als insgesamt verfügbare Finanzmittel interpretieren könnte, wenn man einen Ausgleichssatz von a < 1 wie eine fikti- ve Erhöhung der SchlUsselmasse um den Faktor¾ ansieht und die Steuerkraft der zuweisungsberechtigten Gemeinden hinzuaddiert. Der Finanzbedarf einer G~meinde,ist dann ein Anteil an diesen Finanzmitteln, der sich nach dem Anteil der modifizierten Einwohnerzahl dieser Gemeinde an der Summe aller modifizierten Einwohnerzahlen bemißt. Daran sieht man sehr schön, daß der Grundbetrag dafUr sorgt, daß der Finanzbedarf der Gemeinden an die finanziellen Möglichkeiten angepaßt wird. Man könnte den Grundbetrag auch als durchschnittliches Versorgungsniveau interpretieren, wenn man den Finanzbedarf eines Einwohners in i nach Musgrave 1) definiert als 1) Musgrave [ 1 961 J, s. 100 . s?:= s~ + s. 1 1 1 37 die Summe aus Schlüsselzuweisung und Sonderschlüsselzuweisung der Gemeinde i und mit N Mg:= l i=1 s? 1 die für Sonderschlüsselzuweisungen und Schlüsselzuweisungen insgesamt zur Verfügung stehende Finanzmasse, dann ergibt sich die für Schlüsselzuweisungen verbleibende Schlüsselmasse Mals (2.2.1) M N Mg -l i=1 s~ 1 denn durch Einsetzen obiger Definition.ssleichungen in (2.2.1) folgt sofort N M I i=1 s. 1 Charakteristisch für dieses Verfahren ist also, daß die Mittel für Sonderschlüsselzuweisungen der Schlüsselmasse vorab entnommen werden können. Dies ist deshalb möglich, weil die Sonderschlüsselzuweisung einer Kommune nicht von ihrem Finanzbedarf und somit auch nicht vom Grundbetrag abhängt. Die zuweisungsberechtigten Gemeinden und die Sonderschlüsselzuweisungen, die sie beanspruchen können, stehen fest und ändern sich auch nicht, wenn sich etwa die Finanzmittel Mg ändern. Der Grundbetrag G wird in diesem System nun so festgesetzt, daß die nach Abzug der Sonderschlüsselzuweisungen verbleibende Schlüsselmasse M ausgeschöpft wird (wie wir es in 2.1.2 beschrieben haben). Vergleichbare Regelungen gibt es auch in anderen Bundesländern. 38 In Rheinland Pfalz erhalten Ortsgemeinden, verbandsfreie Gemeinden, große kreisangehörige Städte und kreisfreie Städte, deren Steuerkraftmeßzahl weniger als 74 v.H. des Landesdurchschnitts beträgt, vorweg, d.h. vor der Verteilung der sogenannten Schlüsselzuweisungen B, den Unterschiedsbetrag als Schlüsselzuweisung A. Im Saarland erhalten die Gemeinden entsprechend 70 % des Unterschiedsbetrages. In Baden-Württemberg gibt es für Gemeinden, deren Steuerkraftmeßzahl unter 50 v.H. der Ausgangsmeßzahl 1) liegt, Mehrzuweisungen in Höhe des Unterschieds. 2.2.2 Mindestgarantien Bei der Mindestgarantie (oder Sockelgarantie) muß die Summe aus Schlüsselzuweisung und Steuerkraft einen bestimmten Prozentsatz as (Garantiesatz) der Ausgangsmeßzahl betragen, so in Hessen (a = 75 %) , Niedersachsen (a = 80 %) und s s Nordrhein-Westfalen (a = 90 %). Obwohl in diesen Ländern s also keine gesonderten Sonderschlüsselzuweisungen gewährt werden, ist es für die formale Darstellung (und zum Vergleich mit der in 2.2.1 beschriebenen Regelung) zweckmäßig, sich die gesamte Schlüsselzuweisung S~ wieder als Summe l. einer (fiktiven) Sonderschlüsselzuweisung S~ und einer l. Schlüsselzuweisung Si vorzustellen: Dabei ist S. wie üblich durch l. 1) In Baden-Württemberg ist die Ausgangsmeßzahl vom Grundbetrag unabhängig. 39 s. 0ia(EibiG - Ki) l. 1 0 i<i ?;, G (2. 2 .2) 0. l. 1 i<. < G l. i 1, ... ,N bestimmt (siehe (2.1.9) und (2.1.7)). Die Mindestgarantie stellt sicher, daß die Bedingung (2.2,3) immer erfüllt ist. Falls also s. + K. > asEibiG l. l. gilt, dann ist s~ = 0 und s'! s„ l. l. l. Falls aber ist, dann resultieren aus (2.2,3) Sonderschlüsselzuweisungen Dafür kann man zusammenfassend schreiben: (2.2.4) - S. -K. l. l. sonst Definiert man die Dummy-Variable (2.2.5) 'I' • = i. dann erhält man (2.2.6) j 40 0 sonst , Setzt man (2.2.2) in (2.2.5) und (2.2.6) ein, so ergibt sich 0 (2.2.7) 'l'i sonst und (2.2.8) Nun können wir auch angeben, welche Werte as sinnvollerweise nur annehmen kann. Sicher muß as > a sein, denn für as ~ a folgt aus (2.2.7) 0 für 0. ]. 1 V 0i = 0, d.h. keine Gemeinde würde Sonderschlüsselzuweisungen erhalten, weil der Garantiesatz zu niedrig ist. Andererseits muß as < 1 gefordert werden, denn es wäre für as = 1 , und alle schlüsselzuweisungsberechtigten Gemeinden erhielten auch Sonderschlüsselzuweisungen. Die gesamte Schlüssel- zuweisung einer Gemeinde wäre s'! l. i=1, ••• ,N 0 41 G > K. l. sonst und würde zusammen mit der Steuerkraft immer mindestens den Bedarf decken: Sg + K. > i l. = i = 1, ••• ,N Dieses Resultat ist aber einfacher mit einer Ausschüttungsquote von a = 1 zu erzielen, wie dies im Saarland als einzigem Bundesland auch tatsächlich der Fall war. Von daher wird auch verständlich, warum dort auf Mindestgarantien oder Sonderschlüsselzuweisungen bis zum Jahr 1983 verzichtet werden konnte (siehe auch Kapitel 7). Bei as > 1 würde gelten: filr Einige Gemeinden, die keine Schlilsselzuweisungen erhalten, weil sie schon einen Uberschuß ihrer eigenen Steuereinnahmen über den Finanzbedarf aufweisen (abundante Gemeinden) erhielten sogar Sonderschlilsselzuweisungen. 1) Alle Gemeinden würden dann einen Finanzierungsüberschuß aufweisen. Im folgenden wollen wir stets a ~ as < 1 voraussetzen. In diesem Bereich liegen auch die gesetzlichen Garantiesätze. 1) Tatsächlich gibt es in einigen Bundesländern wie wir wissen (siehe Kapitel 1) sogar Zuweisungen für abundante Gemeinden. Dazu gehören die genannten Kopf-Beträge in Baden-Württemberg und Rheinland-Pfalz und die Mindestschlüsselzuweisungen in Hessen. 42 Dann erhält eine Gemeinde nur dann Sonderschlüsselzuweisungen, wenn sie auch Schlüsselzuweisungen erhält, denn es gilt (a - 0. a) G s 1 > -K G > -K 1 0.a i • i und folglich (2. 2. 9) 1 - 0, 1 1 • Die Umkehrung gilt nicht, d.h. eine Gemeinde, die Schlüsselzuweisungen erhält, muß nicht immer Sonderschlüsselzuweisungen bekommen. Andererseits gilt und somit (2.2.10) 0. 1 0 G( as - 01 a) • Ki ~ 1 0.a 1 Abundante Gemeinden können keine Sonderschlüsselzuweisungen beanspruchen. Das besagt aber nicht, daß Gemeinden, die keine Sonderschlüsselzuweisungen erhalten, auch nicht schlüsselzuweisungsberechtigt sind. Aus der Addition von (2.2.8) und (2.2.4) und einigen Umformungen folgt bzw. (2.2.11) s? 1 'ji • 1 0 43 Die gesamte Schlüsselzuweisung einer Gemeinde ist also gleich der Differenz zwischen dem as-fachen des Finanzbedarfs und der Steuerkraft, wenn die Mindestgarantie wirksam wird, ansonsten entspricht sie Si. Der Grundbetrag ist bei diesem Verfahren so festzusetzen, daß die für Schlüsselzuweisungen Si (also einschließlich der Mindestgarantien) insgesamt verfügbare Schlüsselmasse •Mg ausgeschöpft wird: N (2.2.12) l i=1 s? l. Mg • Durch Einsetzen von (2.2.11) resultiert daraus: 1) (2.2.13) G Wir nehmen an, Gleichung (2.2.12) habe eine eindeutige Lösung und die Gemeinden seien nach ihrer normierten Steuerkraft geordnet. Dann existiert ein k: = k (G) E: { 1, ... ,N} 2 l mit i =k+1, ... ,N 'l'i (G) i 1, ... ,k 1) Man beachte, G liegt nicht in expliziter Form vor, denn sowohl 'l'i (und damit die Sonderschlüsselzuweisungen) als auch Gi hängen von Gab. 2) Es kann auch k = O sein, falls 'l'i = o, i = 1, ... ,N ist, d.h. keine Gemeinde Sonderschlüsselzuweisungen erhält. :~~e~~!~~n aber 'l'i = 1 für mindestens ein i und k ~ 1 44 1 ) und ein l:= l(G)E{1, ••• ,N} mit l : i 1+1, ... ,N i 1, .•• ,1. Dabei gilt mit (2.2.9) 1 ~ k. Gleichung (2.2.13) kann nun in der Form k 1 Mg + 1 K. + 1 aK. i=1 1 i=k+1 1 (2.2.14) G k 1 I a E.b. + 1 aE.b. i=1 s 1 1 i=k+1 1 1 geschrieben werden. Charakteristisch für Mindestgarantien ist die Abhängigkeit der (fiktiven) Sonderschlüsselzuweisungen vom Grundbetrag, der wiederum von Mg abhängt. Deren Höhe bestimmt sich nur simultan mit den Schlüsselzuweisungen, und sie können deshalb auch nicht vorab der Schlüsselmasse entnommen werden. Man kann deshalb erst ex-post sagen, welcher Teil von Mg für die Mindestgarantie (bzw. für fiktive Sonderschlüsselzuweisungen) und welcher für Schlüsselzuweisungen aufgewendet wird. In der Praxis wird ja bekanntlich so vorgegangen, daß zwischen Sonderschlüsselzuweisungen und Schlüsselzuweisungen nicht differenziert wird. Eine Gemeinde bekommt stattdessen die Zuweisung sf, bei der ein bestimmter Mindestbetrag garantiert ist. In Schleswig-Holstein bekommen die Gemeinden Sonderschlüsselzuweisungen, und zwar das ae-fache (ae = o,5) des Unterschieds zwischen einem bestimmten Prozentsatz as (bis zu 1) Für Mg> O gibt es mindestens ein i mit 01 1 . 45 80 %) des Finanzbedarfs und der Steuerkraft Definiert man 0 dann schreibt sich Damit erhält man Die Bedingung N I i=1 S~ = Mg i liefert für den Grundbetrag G sonst 1,, •• ,N, Die Sonderschlüsselzuweisungen bewirken, daß das Defizit zwischen Bedarf und Steuerkraft zu einem höheren Prozentsatz als a ausgeglichen wird, falls D1 = 1 ist. Obwohl in Schleswig-Holstein Sonderschlüsselzuweisungen separat von Schlüsselzuweisungen gewährt werden, ordnen wir sie den Mindestgarantien zu, weil sie genau wie jene vom Grundbe- 46 trag abhängen und nicht vorab der Schlüsselmasse entnommen werden können, Wir werden uns mit Sonderschlüsselzuweisungen und Mindestgarantien erst wieder in Kapitel 7 beschäftigen. Bis dahin abstrahieren wir von ihnen und betrachten nur Schlüsselzuweisungen. Wenn nachfolgend von der Schlüsselmasse M die Rede ist, so ist damit eine Schlüsselmasse gemeint, die vorab um Sonderschlüsselzuweisungen gekürzt wurde, also ausschließlich für Schlüsselzuweisungen verwendet wird. 2,3 Existenz und Eindeutigkeit der Schlüsselzuweisungen In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß der Grundbetrag existiert und eindeutig ist, was wir bisher stets vorausgesetzt haben. Dann sind auch die Schlüsselzuweisungen an die Gemeinden eindeutig, denn alle anderen Größen, die in ihre Berechnung noch eingehen, sind gegeben. Bei dem Beweis ist wieder vorausgesetzt, daß die Gemeinden nach ihrer normierten Steuerkraft geordnet sind. Beweis: Wir gehen von der Identität (2.3. 1) M aus. Benutzt man für die Schlüsselzuweisungen statt (2.1 .9) den äquivalenten Ausdruck (2. 3. 2) 0. 1 l 0 53 Algorithmus 2 (0) Ausgangsdaten: M, a, Ki, Ei, bi, i ( 1) Initialisierung: j: = O , nj: = N (2) Berechne: G(nj) !:! + a n. \ J l Ki i=1 1,, •• ,N, 1, •.. ,nj, dann gehe zu (3). Berechne ein nj+l < nj mit < K. l. Setze j:= j + 1. Gehe zu (2). i (3) Stop. Grundbetrag gefunden. • Wir wollen nun beweisen, daß mit dieser Vorgehensweise auch tatsächlich der "richtige" Grundbetrag, d.h. die Lösung von (2,1 .10) gefunden wird. Das ist keineswegs selbstverständlich, denn das Verfahren geht implizit von der (unbewiesenen) Annahme aus, daß die sukzessiv ermittelten Grundbeträge zumindest nicht größer werden. Denn würde für j ~ 1 und nj < nj_ 1 G(n.) > G(n. 1) J J- sein, dann wäre immer 54 i = 1, ... ,nj erfüllt, und das Verfahren würde abbrechen, obwohl es Gemeinden i > nj geben kann, für die gilt, d.h. die Annahme, beim Grundbetrag G(nj) erhalten genau nj Gemeinden Zuweisungen, falsch wäre. Es ist also für j ~ 1 und nj < nj-l zu zeigen: (2.4.7) Mit einigen Umformungen erhält man die Bedingung .. (2.4.7a) nj-1 'f. E. b. G (n . 1 ) < i=n .+1 1. 1. J- J nj-1 l Ki i=n.+1 J Sie ist immer erfüllt, da die Uberprüfung der Annahme in Schritt j bekanntlich i nj +1, ... ,nj-l ergeben hatte und folglich , i nj +1, ... ,nj-l gilt. Daraus folgt (2.4.7a). C 55 2.4.3 Ein modifiziertes Verfahren (3) Man kann sich leicht ein Verfahren überlegen, bei dem in einem ersten Schritt (j = 0) von der Annahme ausgegangen wird, daß genau n0 Gemeinden Zuweisungen erhalten. Dabei ist n0 €{1, ••. ,N} eine beliebige Gemeinde, zweckmäßigerweise wird man n0 =; wählen (N gerade), wenn man davon ausgeht, daß die Wahrscheinlichkeit, daß genau n Gemeinden Zuweisungen erhalten, für alle n€{1, •.. ,N} gleichverteilt ist. Man könnte auch die Zahl der Gemeinden nehmen, die im Vorjahr Zuweisungen erhielten, wenn sich die Daten aus dem Vorjahr nicht sehr verändert haben. Bei dem Verfahren kommt es darauf an, in einem ersten Schritt festzustellen, ob die angenommene Zahl n0 der Gemeinden zu klein oder zu groß ist. Beim Verfahren der Statistischen Landesämter ist dies nicht nötig, da Nimmer zu groß ist, wenn G(N) nicht die Lösung war. Falls n0 zu groß ist, dann läuft das Verfahren analog zu Algorithmus 2 weiter, es kommt u.U. allerdings mit weniger Schritten aus, weil man es a priori mit weniger Gemeinden begonnen hat. Falls n0 kleiner als die gesuchte Zahl ist, dann kann man zeigen, daß die gesuchte Zahl der Gemeinden nj* in jedem Falle in dem Bereich liegt, wobei n1 die Zahl der Gemeinden i ist, für die erfüllt ist. Da nj* < n1 ist, läuft das Verfahren dann wieder analog zu Algorithmus 2 ab. Beschreiben wir die Vorgehensweise etwas genauer: 56 Algorithmus 3 ( 1 ) (2) j 0 Annahme: n0 E{1, ..• ,N} beliebig. Falls l ~ K. i n0 +1, .•. ,N l. G(n 0) > K. (2.4.8) i 1 , ... , n0 , l. dann ist G(n 0) der gesuchte Grundbetrag, und das Verfahren bricht ab. (3) Falls für ein n1 < n0 (4) < K. l. i = n1 +1, .•. ,N (2.4.9) gilt, dann ist wegen G(n 0) ~ G(n 1) (siehe (2.4.7)) n0 zu groß, und das Verfahren wird wie in Algorithmus 2 mit Schritt j = 1 und der Annahme n1 aus (2.4.9) fortgesetzt. Falls für ein n1 > n 0 i = 1, ••. ,n 1 (2.4.10) gilt, dann ist n0 zu klein, und das Verfahren wird mit n1 aus (2.4.10) und G(n 1) fortgesetzt. Da unter der Voraussetzung (2.4.10) diesmal statt (2.4.7) (2.4.11) gilt (Beweis analog zum Beweis von (2.4.7)), kann die gesuchte Zahl der Gemeinden n .• wegen (2.4.10) J nicht größer als n1 sein, d.h. es gilt 57 (5) Folglich existiert ein n2 ~ n1 mit i = 1, ..• ,n 2. Falls n2 = n1 ist, dann ist G(n 1) der gesuchte Grundbetrag. Falls n2 < n1 ist, dann wird das Verfahren analog zu Algorithmus 2 mit der Annahme n2 und G(n 2) fortgesetzt. C Das Verfahren der Statistischen Landesämter ist also keineswegs das einzige, mit dem man die Schlüsselzuweisungen berechnen könnte. Wir wollen aber nicht näher darauf eingehen, welches dieser Verfahren etwa schneller oder einfacher ist und welches Verwendung finden sollte. Daß aber überhaupt ein Iterationsverfahren notwendig ist, macht die Unhandlichkeit und Intransparenz der Schlüsselzuweisungen deutlich. So dürfte kaum eine Gemeinde in der Lage sein, die Richtigkeit der ihr zugewiesenen Mittel zu überprüfen. Sie kann vermutlich auch nicht einschätzen, ob sie bei einer anderen Schlüsselmasse oder einem anderen Ausgleichssatz besser oder schlechter gestellt wäre. Denn die Statistischen Landesämter ermitteln nur die Schlüsselzuweisungen, wie sie sich in einem bestimmten Jahr aus der tatsächlich verfügbaren Schlüsselmasse und dem gerade gesetzlich fixierten Ausgleichssatz ergeben. Zwar könnte man sich durch den wiederholten Einsatz eines Iterationsverfahrens zu der tatsächlichen Verteilung der Schlüsselzuweisungen eines bestimmten Jahres auch alternative Verteilungen beschaffen, allerdings nicht mit der nötigen Beliebigkeit, denn sämtliche exogenen Größen müssen jeweils spezifiziert sein. Dies reicht für eine formale Analyse der Schlüsselzuweisungen aber noch nicht aus. Es ist dazu notwendig, alternative Verteilungen nicht empirisch durch die Anwendung von Iterationsverfahren zu erzeugen, sondern durch eine beliebige 58 Variation exogener Größen, die man als Parameter auffaßt. Dazu müßte es gelingen, den Grundbetrag als Funktion interessierender Parameter anzugeben, mit der man sich beliebig viele Verteilungen der Schlüsselzuweisungen auf analytischem Wege beschaffen kann. Wir werden uns mit dieser Problemstellung in Teil II noch ausführlich beschäftigen. zuvor wollen wir jedoch noch einige Kriterien entwickeln, mit denen Verteilungen aus staatlicher und kommunaler Sicht beurteilt werden können. 59 3 Verteilungsziele und Verteilungskriterien Die Schlüsselzuweisungen s1, ••• ,SN an die Gemeinden 1, •.. ,N sind, wie wir erkannt haben, eindeutig bestimmt, wenn die exogenen Größen spezifiziert werden. Den Vektor s = (S 1, .•• ,SN) nennen wir Verteilung der Schlüsselzuweisungen. Wir interessieren uns nun für die Frage, wie eine Verteilung aus staatlicher und kommunaler Sicht zu beurteilen ist. Dazu benötigen wir Kriterien, und bei ihrer Spezifikation orientieren wir uns an den Zielen, die Staat und Kommunen mit Schlüsselzuweisungen verfolgen. Meist kann eine Verteilung nur durch einen Vergleich mit alternativen Verteilungen beurteilt werden. Deshalb gehen wir in diesem Kapitel davon aus, daß man sich durch Variation von Parametern, etwa der Schlüsselmasse oder der Ausschüttungsquote, beliebige Verteilungen beschaffen kann. Die Menge aller alternativen Verteilungen bezeichnen wir nachfolgend mit A. 3.1 Kommunale Ziele Wir gehen im folgenden von eigennutzorientiertem Verhalten der Kommunen aus, und zwar nehmen wir an, daß sie über möglichst hohe finanzielle Mittel verfügen möchten. Nimmt man die Steuerkraft und die sonstigen Einnahmemöglichkeiten als gegeben an, so sind die Kommunen also an möglichst hohen Zuweisungen interessiert. Diese Verhaltensannahme erscheint plausibel. Aus der Sicht einer Gemeinde ist es rational, das Angebot an öffentlichen Gütern auszudehnen, wenn diese Güter mit Zuweisungen finanziert werden können. Im kommunalen Budget entsteht ein Entlastungseffekt, der_die Finanzierung weiterer Ausgaben ermöglicht. Die Grenzkosten der zusätzlichen öffentlichen Güter sind subjektiv gesehen gleich Null, man kann hier auch von 60 einer Finanzierungsillusion 1) sprechen. Zuweisungen könnten natürlich auch dazu benutzt werden, die Steuerbelastung der Bürger zu reduzieren 2 ), was die Attraktivität einer Kommune als Wohn- und Standort erhöhen würde. Zur Präzisierung des kommunalen Ziels benötigen wir zunächst zwei Definitionen: Sei s = (S 1, ••• ,SN)EA eine beliebige Verteilung der Schlüsselzuweisungen. Die Finanzausstattung Fi(s) einer Gemeinde i bei der Verteilungs ist definiert als (3.1.1) Sie gibt an, über wieviele finanzielle Mittel eine Gemeinde verfügt. Um den Einfluß verschiedener Verteilungen auf die Finanzausstattung beurteilen zu können, ist dabei angenommen, daß sich die Finanzausstattung nur aus den (fixen) normalisierten Steuereinnahmen Ki und eben der Schlüsselzuweisung zusammensetzt. Von Gebühren, sonstigen Zuweisungen und Einnahmen, die über die normalisierte Steuerkraft hinausgehen, wird abstrahiert. Der Finanzanteil Ai(s) einer Gemeinde i bei s ist definiert als (3.1.2) Ai(s):= Fi (s) N l F. (s) j =1 J und gibt den Anteil der Finanzausstattung der Gemeinde i an der Summe aller Finanzausstattungen an. 1) Zimmermann, Henke [1982], S. 36. 2) Zimmermann [1983], S. 45. 61 Für eine Gemeinde kommen unter der genannten Zielsetzung überhaupt nur Verteilungen sEA mit der Eigenschaft (3.1.3) bzw. der damit äquivalenten Eigenschaft (3.1.4) in Betracht. Die Steuereinnahmen sollen also mit Schlüsselzuweisungen aufgestockt werden. Damit verbessert eine Gemeinde zwar ihre absolute Position, aber die Eigenschaft (3.1.3) sagt nichts über ihre relative Position aus. Bezeichne N F(s) := l F1 (s) 1=1 und N K:= l Ki , i=1 dann ist bei einer positiven Schlüsselmasse stets (3.1.5) F(s) > K , und es können Gemeinden absolut besser gestellt werden, ohne daß gleichzeitig andere Gemeinden (absolut) schlechter gestellt werden müssen, d.h. ohne daß für mindestens ein j E {1, ••. ,N} ist. Eine Gemeinde, die ihre relative Position verbessern will, wird von einer Verteilung statt (3.1.3) die Eigenschaft (3.1.6) fordern. Dabei ist Ki / K der Steuerkraftanteil der Ge- 62 meinde i. Da für alle sEA N }: A. (s) i=1 1 N Ki }:- i=1 K gilt, ist der Finanzanteil von i nur dann höher als ihr Steuerkraftanteil, wenn gleichzeitig in mindestens einer anderen Gemeinde der Finanzanteil geringer als der Steuerkraftanteil ist. Dann wird die Gemeinde i auch relativ besser gestellt und dafür muß mindestens eine andere schlechter gestellt werden. Die Eigenschaften (3.1 .3) und (3.1.6) sind als Minimalforderung anzusehen, und es gibt sicher viele Verteilungen, die sie erfüllen. Eine Gemeinde kann die Alternativen aber leicht in eine Rangordnung bringen: (3.1.7) Seien s,sEA irgendzwei alternative Verteilungen. s ist für die Gemeinde i günstiger als s Die Finanzausstattung einer Gemeinde i ist bei jeder Verteilung eindeutig bestimmt, und somit können alle Alternativen miteinander verglichen werden. Es existieren deshalb auch optimale Verteilungen, die die Gemeinde allen anderen vorzieht. Das sind unter der genannten Zielsetzung die Verteilungen mit maximaler Finanzausstattung: (3.1.8) * Eine Verteilung siEA ist optimal für die Gemeinde i max Fi (s) • sEA 69 gleichverteilt ist und zusätzlich noch genau so groß ist wie der Grundbetrag bei s, denn es gilt für alle i 1, ••• ,N: ö. (sl l. o „ F. (sl l. G (s) • Dies ist eine sehr restriktive Forderung, die man noch abschwächen kann: (3.2.10) Fiskalische Gleichheit (2) Es wird hier nur noch verlangt, daß die normierten Finanzierungsdefizite in allen Gemeinden gleich groß sind, was wegen ö. (sl l. D. (s) .. F. (s) J l. F. (sl J i,jE{1, •.• ,N} bei Gleichverteilung der normierten Finanzausstattungen immer gegeben ist. Es sind also auch Finanzierungsdefizite (bzw. Finanzierungsüberschüsse) zugelassen, sie müssen allerdings, bezogen auf einen repräsentativen Einwohner, in allen Gemeinden gleich sein. Wenn man fiskalische Gleichheit ablehnt, l) wird man zumindest die Progressivität einer Verteilung fordern. Uber die Progressivität einer Verteilung kann nur im Vergleich mit einer anderen Verteilung eine Aussage gemacht werden: (3.2.11) Progressivität Seien s,sEA zwei Verteilungen der Schlüsselzuweisungen. Seien x = (F 1 (s) , ... ,FN(s)) und 1) Vgl. zuletzt: Thiem (1984), S. 178. 70 Y = (F1(s), ••• ,FN(s)) die zugehörigen Verteilungen der Finanzausstattungen bei den Alternativen s und s. Dann ist s progressiver als§• x ist"gleicher" als y. Die Alternativen sind natürlich im jeweiligen Fall zu konkretisieren. Es können etwa die Verteilungen bei verschiedenen Ausschüttungsquoten (siehe 6.4) oder bei verschiedenen Schlüsselmassen (siehe 5.4) sein. Dann besagt also (3.2.11), daß von zwei Verteilungen diejenige progressiver ist, bei der die Verteilung der normierten Finanzausstattungen gleicher ist. Es wird aber überhaupt nicht präzisiert, was unter"Gleichheit 11 bzw. 11 Ungleichheit"einer Verteilung zu verstehen ist und wie sie gemessen werden sollte. Wir werden dazu das Lorenzkriteriurn benutzen und darauf im nächsten Abschnitt ausführlich eingehen. Eine Minimalforderung an eine Verteilungs ist wohl die (3.1.12) Nichtregressivität Sei seine Verteilung der Schlüsselzuweisungen und x = (F 1 (s), •.. ,FN(s)) die zugehörige Verteilung der normierten Finanzausstattungen. Sei t = (K 1, ••. ,KN) die Verteilung der normierten Steuerkraft. s ist nicht regressiv• x ist mindestens so gleich wie t. Hier wird von einer Verteilungs also verlangt, die von ihr erzeugte Verteilung der normierten Finanzausstattungen soll zumindest nicht ungleicher sein als die Verteilung der normierten Steuerkraft.(Wann eine Verteilung mindestens so gleich wie eine andere Verteilung ist, wird in 3.3 präzisiert.) 71 In der Literatur wird das redistributive Ziel manchmal auch so verstanden, daß die Finanzausstattung pro Einwohner zu nivellieren ist. l) Will man damit die Finanzierungsdefizite pro Einwohner in den Gemeinden ausgleichen, dann setzt dies einen in allen Gemeinden gleichen Finanzbedarf pro Einwohner voraus. Die Annahme eines identischen Pro-Kopf-Finanzbe- darfs ist aber allein schon wegen der zentralörtlichen Funktionen bestimmter Kommunen nicht sinnvoll (Raumordnungsziel). Auch in Kommunen der gleichen Zentralitätsstufe ist der Bedarf pro Einwohner praktisch immer verschieden, wenn Bedarf mit einem Bedarfsindex gemessen wird, der sich aus mehreren Bedarfsindikatoren zusammensetzt. 2) Geht man also von einem unterschiedlichen Finanzbedarf pro Einwohner aus, dann ist bei Gleichverteilung der Finanzausstattung pro Einwohner das Finanzierungsdefizit pro Einwohner verschieden, was der ursprünglichen Absicht zuwiderläuft. Die Nivellierung der normierten Finanzausstattungen ist eine schwächere Forderung. Sie läßt einen unterschiedlichen Pro-Kopf-Finanzbe- darf zu. Man kann in den Bedarfsindexwerten dann auch Raumordnungsziele berücksichtigen, worauf wir in dieser Arbeit aber nicht näher eingehen. 3.3 Kriterien der fiskalischen Ungleichheit Um die Progressivität (3.2.11) bzw. Nichtregressivität (3.2.12) einer Verteilung der Schlüsselzuweisungen zu präzisieren, führen wir das Lorenzkriterium ein. Dazu sei sEA eine beliebige Verteilung der Schlüsselzuweisungen. 1) Vgl. Münstermann (1975], s. 140. 2) Vgl. Hanusch, Kuhn (1985]. 72 Den Vektor (3.3.1) - - N 1) (F l (s), ••• ,EiJs)) Eli\+ nennen wir die Verteilung der normierten Finanzausstattungen bei s. Da für zwei Verteilungen s,sEA die Summen N I i=l F. (s) und l. N I i=l 'f. Csl l. (auch bei gleicher Schlüsselmasse) praktisch immer verschieden sind, müssen wir zur Beurteilung der Progressivität bzw. Nichtregressivität einer Verteilung auf die normierten Finanzanteile rekurrieren. Der normierte Finanzanteil Ai(s) einer Gemeinde i bei sEA ist definiert als Anteil der normierten Finanzausstattung von i an der Summe aller normierten Finanzausstattungen bei s (3.3.2) A.Csl="' l. 'f. Csl l. N }: F. (s) j =1 J Man sieht, es gilt N I i=l Ti:. (sl l. für alle sEA. Den Vektor (3. 3. 3) - - N (A 1 (s), ••• ,¾ (s)) EE.++ , sEA 73 nennt man die relative Verteilung der normierten Finanzausstattungen bzw. die Verteilung der normierten Finanzanteile bei s. Eine Verteilung (A 1 (s) , •.• ,~(s)) heißt geordnet, falls gilt. Dies ist filr alle sEA genau dann der Fall, wenn (3.3.4) gilt, d.h. die Gemeinden in der Reihenfolge ihrer normierten Finanzausstattung numeriert sind. Der Einfachheit halber schreiben wir nachfolgend filr eine Verteilung (A 1 (s) , .•• ,~(s)) kurz x = (x 1, ••• ,xN) mit xi:= Ai(s) , i = 1, •.• ,N, und für eine Verteilung (A 1 (§), ... ,~(§)) kurz y = (y1, ... ,yN) mit Yi:= Ai(§) , i = 1, ••• ,N. Die Lorenzkurve einer beliebigen geordneten Verteilung x = (x1, ••• ,~) der normierten Finanzanteile besteht aus dem Polygonzug, der die Punkte verbindet. Ein Punkt k (k, l xi) U (0,0) i=1 k kE{1, ••. ,N} 1 , ••• , N besagt, daß die k Gemeinden mit den geringsten Finanzantei- 74 len zusammen einen Anteil an der Summe der normierten Finanzausstattungen von k I x. i=1 1 haben, Die Lorenzkurve einer Verteilung x geht also durch den Punkt (N,1), weil alle Gemeinden zusammen erhalten. Der Punkt (O,O) wird nur aus technischen Gründen benötigt. Man könnte ihn etwa so interpretieren, daß O Gemeinden zusammen einen normierten Anteil von O erhalten. Wenn jede Gemeinde i = 1, ... ,N den durchschnittlichen normierten Finanzanteil, also 1 N erhält, dann ist die Lorenzkurve die Gerade durch die Punkte (O,O) und (N,1). Sie nennt man auch die Linie der Gleichverteilung, weil irgend k Gemeinden zusammen genau einen Anteil von k I i=1 erhalten. X. 1 k N Falls für mindestens ein i 'F .!. N 75 gilt, dann ist die Lorenzkurve, wie man leicht zeigt, konvex und verläuft "unterhalb" der Linie der Gleichverteilung. Es ist nun naheliegend, als Maß für die Ungleichheit einer Verteilung x grob gesprochen die Abweichung ihrer Lorenzkurve von der Linie der Gleichverteilung anzusehen. Da- bei wird eine Verteilung als um.so ungleicher eingeschätzt, je weiter sie von der Linie der Gleichverteilung entfernt ist. Wir wollen diese Vorstellung von Ungleichheit nun präzisieren und folgende binäre Relation L definieren: (3.3.5) Lorenzpräferenz Seien x, yElR~+ irgend zwei geordnete Vertei lungen der normierten Finanzanteile und Leine bi- N N näre Relation auf lR++ x lR++ Genau dann gilt xLy mit der Interpretation "die Verteilung x ist mindestens so gleich wie die Verteilung y", wenn für alle k 1, ••. ,N-1 gilt, d.h. wenn die Lorenzkurve von x überall nicht unterhalb von y liegt. Die Lorenzpräferenz besagt also, der Anteil der k Ärmsten bei der Verteilung x ist mindestens so groß wie der Anteil der k Ärmsten bei der Verteilung y, k=1, .•• ,N-1. Gilt in (3.3.5) statt"~" die Relation">", dann liegt die Lorenzkurve von x überall oberhalb der Lorenzkurve von y, und man erhält di~ zur Relation L gehörige Lorenzdominanz ½, mit der Interpretation: 76 xLpY • "die Verteilung von x ist (echt) gleicher als die Verteilung von y". Gilt in (3.3.5) statt"?," die Relation"=", dann sind die Lorenzkurven von x und y identisch. Die zugehörige Lorenzindifferenz LI hat die Interpretation xLiy • "die Verteilung x ist so gleich wie die Verteilung y". Man beachte, bei der Lorenzpräferenz (und bei Lp, LI) wird nicht verlangt, daß die k ärmsten Gemeinden bei der Verteilung x identisch sind mitdenk ärmsten Gemeinden bei der Verteilung y. Es ist nur verlangt, daß die Gemeinden bei der Verteilung x nach ihrem normierten Finanzanteil und bei der Verteilung y nach ihrem normierten Finanzanteil geordnet sind. Das erkennt man sehr schön, wenn die Gemeinden so numeriert sind, daß xi der Finanzanteil der Gemeinde i in der geordneten Verteilung x = (x 1, ••• ,~) ist. Sei Yn(i) der Finanzanteil der Gemeinde i in der geordneten Verteilung y. Dann ist n(i) der Rang der Gemeinde i in y und die Permutation n: {1, ••• ,N} -,. {1, ••• ,N} i->- n(i) ist für i,jE{1, ••• ,N} durch Yn(i) <yn(j) .. n(i) <n(j) Yn(j) • n(i) < n(j) v n(i) > n(j) bestimmt. Die Lorenzpräferenz (ebenso die -dominanz und -indifferenz) 77 läßt sich auch aus Annahmen ableiten, die sehr viel leichter nachprüfbar, aber auch wesentlich restriktiver sind. Dies besagt der Satz (3.3.6) Sei x eine geordnete Verteilung der normierten Finanzanteile. Sei xi der normierte Finanzanteil von i in x. Sei Yn(i) der normierte Finanzanteil der Gemeinde i in der geordneten Verteilung y. Ist die Permutation n: {1, ••• ,N} ~ {1, ••• ,N} i ~ n (i) durch n ( i) i für alle i = 1, ••. ,N bestimmt, und existiert ein i0 E{1, ••. ,N-1} mit i0 +1, ••• ,N, dann ist xLy. Ersetzt man in (3.3.6) die Relationen "xi~ yi" und "xi~ yi" durch "xi= yi", dann folgt die Lorenzindifferenz. Für die Lorenzdominanz muß zusätzlich zu den Voraussetzungen in (3.3.6) noch (3.3.7) gelten. Das Kriterium (3.3.6) läßt sich sehr anschaulich etwa so 78 interpretieren: Ist der Rang jeder Gemeinde in der geordneten Verteilung y der gleiche wie in der geordneten Verteilung x, gilt also (3,3.8) und hat jede der i0 ärmsten Gemeinden bei x einen nicht niedrigeren normierten Finanzanteil als bei y und jede der (N-i 0) reichsten Gemeinden bei x einen nicht höheren Finanzanteil als bei y, dann ist x mindestens so gleich wie y. Die leichtere Praktikabilität von Kriterium (3.3.6) wird damit erkauft, daß man es nur auf Verteilungen anwenden kann, in denen sich der Rang der Gemeinden nicht ändert. Es wird sich aber zeigen, daß diese Voraussetzung bei den Verteilungen, mit denen wir es zu tun haben werden, immer erfüllt ist. So können wir uns die Arbeit erheblich erleichtern, wenn wir statt (3.3.5) das Kriterium (3.3.6) anwenden, ja man könnte sogar sagen, daß uns Aussagen über die Progressivität oder Regressivität von Verteilungen~ die Umformulierung von (3.3.5) erst ermöglicht werden, denn wir wollen solche Aussagen nicht empirisch, sondern deduktiv gewinnen, Natürlich werden wir (3.3.6) auch anwenden, wenn wir die Verteilung der normierten Steuerkraft mit einer beliebigen Verteilung der normierten Finanzausstattungen vergleichen. Die Vektoren x und y sind dann entsprechend zu spezifizieren (siehe 4.2). Beweis von (3.3.6) und (3.3.7) Sei xi,yi der Anteil von i bei x bzw. y. 85 1 Ri, i n+ 1 , •.• , N (4.1.11) F. l. G, i 1 , ••. , n und l < o, i n+1, ... ,N (4.1.12) o. l. o, i 1, .•• ,n. Man sieht, die normierte Finanzausstattung ist in armen Gemeinden gleichverteilt und entspricht dem normierten Finanzbedarf, folglich ist in diesen Gemeinden das normierte Finanzierungsdefizit Null. Es besteht aber keine fiskalische Gleichheit, da steuerstarke Gemeinden nach wie vor Fi- Finanzierungsüberschüsse aufweisen können. Abschließend vergleichen wir den Finanzanteil Ai einer Gemeinde mit ihrem Steuerkraftanteil. Allgemein gilt für i = 1, ... ,N: (4.1.13) K1 . S. K. A > -1:.> l. i K„M K Der Finanzanteil einer Gemeinde i ist also genau dann höher als ihr Steuerkraftanteil, wenn der Anteil ihrer Schlüsselzuweisungen an der Schlüsselmasse, d.h. ihr Zuweisungsanteil höher als der Steuerkraftanteil ist. Für i = n+1, ... ,N gilt: (4.1.14) K. 0 „Ai< Kl. Damit gibt es in der Gruppe {1, ••. ,n} mindestens ein i mit Man erhält für i = 1, ••. ,n: 86 Dabei ist was nach Voraussetzung immer erfüllt ist. Es gibt also eine Gemeinde i0 E{1, ..• ,n} mit Ki Ai> K i 1, .•• , i0 i = i0 +1, ••• ,n. Bemerkenswert hier ist, daß nicht unbedingt alle Gemeinden, die zuweisungsberechtigt sind, einen Finanzanteil aufweisen, der höher als ihr Steuerkraftanteil ist. 4.2 Die Nichtregressivität der Schlüsselzuweisungen Wir untersuchen nun, ob eine Verteilung nichtregressiv ist, also Kriterium (3.1.12) erfüllt. Dazu müssen wir die zu einer Verteilungs der Schlüsselzuweisungen gehörige Verteilung der normierten Finanzausstattungen mit der Verteilung der Steuerkraft vergleichen. Da N N l K. < l Fi i=1 l. i=1 ist, rekurrieren wir auf die normierten Finanzanteile bzw. Steuerkraftanteile. Sei also in der geordneten Verteilung x = (x 1, •.• ,~) (4.2.1) Ki i 1 , ••• , N 87 der normierte Steuerkraftanteil der Gemeinde i, und sei (4.2.2) Y ·= i" °F\ N l j =1 i 1 , ••• , N F. J der normierte Finanzanteil der Gemeinde i in der (ungeordneten) Verteilung y = (y 1, ••. ,yN). Zunächst ist zu zeigen (s. (3.3.6)): (4.2.3) Dies gilt genau dann, wenn ( 4. 2. 4) erfüllt ist. Beweis: Für i 2, ... ,n gilt: Fi-1 ::i F. 1 .. aG + (1-a)Ki-l ::i aG + (1-a)Ki .. Ki-1 ::i i<. 1 Falls bei einer Verteilung sEA n = N gilt, ist (4.2.4) gezeigt. Für Verteilungen mit n < N gilt zusätzlich: Für i = n+1, ... ,N-1: Bleibt zu zeigen: 88 F ~ Fn+1 n Aus F aG + (1-alK ~ max{G,Kn} = G für 0 < a < n n folgt f ~ n G ~ K n+1 F n+1 ~ Fn ~ F n+1 • Halten wir fest: Bei einer beliebigen Verteilung sEA ist die Rangordnung der Gemeinden nach ihrer normierten Finanzausstattung immer identisch zur Ordnung, die aus der normierten Steuerkraft resultiert. Damit ist die normierte Finanzausstattung einer Gemeinde i also nie größer als die normierte Finanzausstattung einer Gemeinde j, wenn die Gemeinde i nicht reicher als j ist, d.h. eine höhere Steuerkraft aufweist. Die Ordnung der Gemeinden nach ihrer Armut kann also mit Schlüsselzuweisungen nicht verändert werden, ganz gleich, welche Verteilung gewählt wird. Wir vergleichen nun den normierten Finanzanteil einer jeden Gemeinde mit ihrem normierten Steuerkraftanteil. Ganz allgemein gilt für i 1, ••• ,N: wobei der Anteil der normierten Schlüsselzuweisung der Gemeinde i an der Summe aller normierten Schlüsselzuweisungen, kurz der normierte Zuweisungsanteil ist. Ist er höher als der normierte Steuerkraftanteil, dann ist auch der normierte Finanzanteil der Gemeinde i höher als der Steuerkraftanteil. 89 Für i = n+1, ••• ,N~ (4.2.5) N N Wegen 11 1 xi= 11 1 yi = 1 existiert daher mindestens ein i€{1, ••• ,n} mit xi< yi. Für i = 1, •.. ,n: i<1 a(G-K.) l. Dabei ist X. < l. .. N G l j=1 nG + Si• N < N l R. l R. J N j =1 N G l j =1 nG + l K. j=n+1 J ) j =1 i<. J N l K. j =n+1 J was aber inuner erfüllt ist, da 1 , ••• , n und gilt. s. J n n }: i<. j=1 J < G , 90 Es existiert also ein i0 E{1, ••. ,n} mit yi > X. i 1 , .•. , i 0 l. (4. 2. 6) yi < X. i i0 +1 , .•. , n. l. Aus (4.2.3) und (4.2.6) folgt für Verteilungen sEA mit n(s) = N (also alle Gemeinden sind zuweisungsberechtigt) nach Kriterium (3.3.6) yLx und somit die Nichtregressivität von s. Verteilungen s mit n(s) < N (wovon man in den meisten praktischen Fällen wohl ausgehen muß) sind sogar progressiver als die Verteilung der normierten Steuerkraft, weil zusätzlich mit (4.2.5) Y½,~ folgt. zusammenfassend läßt sich sagen, mit Schlüsselzuweisungen wird die fiskalische Ungleichheit der Gemeinden zumindest nicht erhöht, meist wird sie sogar geringer. Ob sie allerdings ganz beseitigt werden kann, untersuchen wir im nächsten Abschnitt. 4.3 Bedingungen für fiskalische Gleichheit Gesucht ist eine Verteilung s*EA, die fiskalische Gleichheit erzeugt. Eine solche Verteilung wird aber kaum zu finden sein, wenn die Ausschüttungsquote kleiner als Eins sein soll. Denn es läßt sich in diesem Falle zeigen, daß die normierten Finanzausstattungen genau dann gleichverteilt sind, wenn die normierte Steuerkraft gleichverteilt ist. Es gilt also für sEA mit a < 1: (4.3.1) K1 K2 F1 (s) = F2 (s) 91 Beweis: 1) Sei K1 K2 ~- Für M > O ist G(s) > Ki für mindestens ein iE{1, •.. ,N}. Wegen der Gleichverteilung der i<i ist G(s} > K. J. .. Fi<s> .. F. Cs> = J. 2) Sei F1 (s) für i = 1, •.• , N aG(s) + (1-a)Ki, i = 1, ••• ,N Fj(s), i,jE{1, ••• ,N}. Es sind drei Fälle zu unterscheiden: a) s ist eine Verteilung mit G(s) ~ Ki, i = 1, •.• ,N. Dieser Fall kann nicht eintreten, da G(s) > Ki ist für mindestens ein iE{1, •.. ,N} und alle sEA. b) s ist eine Verteilung mit G(s) > Ki, i 1, .•. ,n(s) und n:= n(s) < N. Dieser Fall führt zum Widerspruch zur Voraussetzung, denn es gilt: G (s), Fn+1 (s) c) s ist eine Verteilung mit G(s) > Ki, i 1, ••• ,N. F. <s> .. J aG(s) + (1-a)K. = aG(s) + (1-a)K. • J. J K. , i;jE{1, .•. ,N}. J • 92 Fiskalische Gleichheit impliziert also die Gleichverteilung der normierten Steuerkraft. Dieses Resultat ist unter Verteilungsgesichtspunkten ziemlich ernüchternd, denn es besagt auch, wenn die normierte Steuerkraft der Gemeinden nicht gleichverteilt ist (was praktisch immer der Fall ist), dann gibt es auch keine fiskalische Gleichheit. Sollte die normierte Steuerkraft (rein theoretisch) dennoch einmal gleichverteilt sein, dann sind Schlilsselzuweisungen filr redistributive Zwecke nicht nötig (fiskalische Gleichheit ist ja schon gegeben), sie dienen allenfalls zur Aufstockung der gemeindlichen Steuerkraft (fiskalische Funktion). Wenigstens erhalten die Schlilsselzuweisungen dabei die fiskalische Gleichheit der Gemeinden, was wohl als Minimalforderung gelten kann. Bei einem Ausgleichssatz von a = 1 gibt es Verteilungen, mit denen fiskalische Gleichheit auch dann erzeugt werden kann, wenn die normierte Steuerkraft ungleich verteilt ist. Sei also R1 ~ R2 ~---~~und Ki < Ki+ 1 filr mindestens ein iE{1,.,.,N-1}. Filr sEA und a = 1 ergibt sich (s. (4.1.11)): _ l G(s) , i = 1, ••• ,n(s) Fi(s)= _ . Ki , i = n(s)+1, ... ,N Die normierte Finanzausstattung ist also, unabhängig von der Steuerkraft, in allen zuweisungsberechtigten Gemeinden gleich. Eine Verteilung s*EA erzeugt also fiskalische Gleichheit, falls (4.3.2) G(s*) > K. 1 93 für alle i gilt, d.h. n(s*) N. Dann ist - * * - Fi (s ) = G(s ) ~ Di (s*) 1, ••• ,N 0 für alle i =1, •.. ,N. Damit bei einem Ausgleichssatz von a = 1 alle Gemeinden zuweisungsberechtigt sind, muß die Schlüsselmasse einen bestimmten Betrag überschreiten, den wir in 6.1 noch spezifizieren werden. Dieser Betrag dürfte allerdings recht hoch sein, denn in der Praxis reicht die verfügbare Schlüsselmasse sogar bei einem Ausgleichssatz von a < 1 nicht aus, um allen Gemeinden Zuweisungen zu gewähren. 94 5 Verteilungen bei variabler Schlüsselmasse Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die exogenen Größen, so auch die Schlüsselmasse, gegeben sind. Daraus resultiert bekanntlich eine eindeutige Verteilung der Schlüsselzuweisungen. Wenn man aber die Schlüsselmasse als Parameter ansieht, so kann man bei ihrer Variation alternative Verteilungen s(M) = cs 1 (M) , ••• ,SN(M)) erzeugen, bei denen die Schlüsselzuweisungen der Gemeinden von der Schlüsselmasse abhängen. Dies setzt natürlich einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Schlüsselzuweisungen und der Schlüsselmasse voraus, letztlich also einen funktionalen Zusammenhang zwischen dem Grundbetrag und der Schlüsselmasse, denn alle anderen Größen sind exogen und von der Schlüsselmasse unabhängig. 5.1 Die Abhängigkeit der Schlüsselzuweisungen von der Schlüsselmasse Die Schlüsselzuweisung einer Gemeinde i (5.1.1) mit 0i (G(M)) K. > G(M) l. = K. < G(M) l. ist hier (über G(M)) nur indirekt von der Schlüsselmasse abhängig. Für die Darstellung der direkten Abhängigkeit sind wir zunächst an einer Funktion (5,1.2) G: M -+ G(M) 101 (3) Richtiges Intervall gefunden: Berechne G n n l K. i=1 1 l E.b. i=1 i i und ausdrucken. Ende. Der Algorithmus prüft also sukzessiv, beginnend mit dem ersten Intervall, ob die Schlüsselmasse in diesem Intervall liegt. Wenn ja, ist der zugehörige Grundbetrag gefunden und das Verfahren bricht ab. Nehmen wir an, daß Meine stetige Zufallsvariable und auf (O,~] gleichverteilt sei, dann müssen im Mjttel; Intervalle (N sei gerade) überprüft werden. Dieser Aufwand läßt sich u.U. noch reduzieren, wenn man nicht bei n = 1, sondern mit der Zahl der zuweisungsberechtigten Gemeinden aus dem Vorjahr beginnt. 5.1.2 Die Schlüsselzuweisungen als Funktion der Schlüsselmasse Wir kehren nun zurück zur Spezifikation der Funktionen Si(M) und fragen dazu zunächst nach der Schlüsselmasse M~, für die ist. Wir erhalten bekanntlich (siehe 5.1.1) (5.1.15) M'? l. M. -l. 102 i i a(Ki I E.b. -I K.) j=1 J J j=1 J also genau die Schlüsselmasse, bei der die Gemeinde i - ·1 gerade noch positive Zuweisungen erhält und die Gemeinde i noch keine erhält. Aufgrund der strengen Monotonie von G(M) auf dem ganzen Definitionsbereich gilt weiterhin: G(M) > Ki Daraus folgt (5.1.16) und (5 .1. 17) für alle für alle M > M. -J. M > M. -l. M > M. -J. Da G(M) auf dem ganzen Definitionsbereich, insbesondere also auch für alle M > ~i definiert ist, ist auch Si (M) für alle M > O definiert. Weiterhin wissen wir aufgrund der Stetigkeit von G(M), daß auch Si(M) für alle M > ~i stetig ist. Für die Stetigkeit von Si auf dem ganzen Definitionsbereich bleibt zu zeigen: Si ist auch an der Stelle ~i stetig. Es gilt mit h > 0 und mit lirn G(M) M-+M.+h -l. K.: l. 103 Nun setzen wir noch (5.1.8) in (5.1.17) ein und erhalten die abschnittsweise definierten Funktionen (5.1.18) i= 1 , ••• , N 0 0 < M < !'.!i Eibi n l E.b. j=1 J J n l K' M + a(j~ 1 J I E.b. j=1 J J n = i, ... ,N. Fassen wir zusammen: Eine Gemeinde i erhält also keine positive Schlüsselzuweisung, wenn die Schlüsselmasse eine bestimmte (gemeindeabhängige) Grenze nicht überschreitet. Diese Grenze ist umso höher, je größer die Steuerkraft pro modifiziertem Einwohner einer Gemeinde ist (weil bekanntlich M. < M.+1 • R. < i.+.1 gilt). Jenseits dieser Grenze -i -i i i wächst S. innerhalb (M, M), n = i, ..• ,N linear mit M mit i -n n der Steigung (5.1.19) dSi (M) dM E.b. i i n I E.b. j=l J J Die Zuwächse von Si werden aber immer geringer, wenn M Intervallgrenzen überschreitet, weil für n = i, ... ,N-1 n l E.b' j=1 J J immer erfüllt ist. E.b. > i i n+1 l E .b. j=1 J J .. 0 104 5.2 Optimale Schlüsselmassen für Kommunen 5.2.1 Die Maximierung der Finanzausstattung Wir interessieren uns nun für eine Verteilung bei der die Gemeinde i ihre Finanzausstattung (5.2.1) * maximiert. Eine Schlüsselmasse Mi E (O,~] ist also optimal für i, wenn (5.2.2) max Fi (M) M gilt. Mit der Äquivalenz (5.2.3) max F i (M) M .. max S. (M) M l. maximieren die Gemeinden ihre Finanzausstattung durch Maximierung ihrer Schlüsselzuweisung. Da Si(M) für alle M > ~i eine streng monoton wachsende Funktion von Mist, wählen die Gemeinden die Obergrenze des Definitionsbereichs von Si(M) (5.2.4) M: l. i 1 , ••• , N Wird für M exogen eine RestriktionM <~festgesetzt (was ·schon allein aufgrund der Beschränkung der öffentlichen Haushalte von der Einnahmenseite b.er plausibel ist), dann ist die Lösung des beschränkten Optimierungsproblems 105 l max Si (M) (5.2.5) M M ~ M durch l 1 ) {M} M > M. M* -J. (5.2.6) = i (O,M M < M. = -J. gegeben. Die maximale Finanzausstattung ist l si (M) + Ki M > M. -J. • Fi (Mi) = K. M < M. l. = -J. 5.2.2 Maximierung des Finanzanteils Im Gegensatz zum vorigen Abschnitt, in dem eine Gemeinde nur an ihrer absoluten Position interessiert war, nehmen wir nun an, sie habe das Ziel, ihren Finanzanteil (5.2.7) Ai(M):= Fi(M) N l F . (M) j=1 J • zu maximieren. Eine Schlüsselmasse Mi ist demnach optimal für i, wenn (5.2.8) max Ai (M) M 106 ist. Damit ist die Gemeinde auch relativ in der günstigsten Position, denn mit (5.2.9) N l A. (M) i=1 1. für alle M ist der Finanzanteil von i nur dann maximal, wenn der gesamte Finanzanteil aller anderen Gemeinden minimal ist. Untersuchen wir Ai(M). Aufgrund der Stetigkeit von Si(M) auf dem Definitionsbereich (O,~] ist Ai (M) für alle M € (O,~] definiert und stetig. Wir werden sehen, daß es für die Maximierung des Finanzanteils einer Gemeinde auch sinnvoll sein kann, Schlüsselmassen von Null zu wählen, d.h. es kann aus der Sicht einer einzelnen Gemeinde optimal sein, wenn überhaupt keine Zuweisungen an Gemeinden verteilt werden. Da aber Si(M) nur für positive Schlüsselmassen definiert ist, vereinbaren wir eine stetige Erweiterung 1) des Definitionsbereichs (5 .2. 10) Si(0):= 0 für alle i = 1, ••• ,N. Dies ist mit dem System der Schlüsselzuweisungen durchaus verträglich, denn damit gilt N l s. (M) i=1 1. M für M o. 1) Eine Schlüsselmasse von Null haben wir ursprünglich nur deshalb nicht zugelassen, weil der Grundbetrag dafür nicht definiert war. So mußten wir davon ausgehen, daß mindestens eine Gemeinde positive Schlüsselzuweisungen erhält, was bei einer positiven Schlüsselmasse bekanntlich immer der Fall ist. 107 Setzt man (5.1.8) und (5.2.10) in (5.2.7) ein, erhält man (5.2.11) ~ (M) K. l. MtK n aEibi l K. j=1 J ) 1 M+ n + (1-a)Ki MtK, l E.b. j=1 J J n = i, ... ,N • Wie man leicht sieht, ist Ai(M) im Bereich [0,~i] streng monoton fallend und (5.2.12) 0 ist das lokale Maximum in diesem Bereich. Um den Verlauf der Funktion für M > ~i beurteilen zu können, berechnen wir in den (offenen) Intervallen (M ,Mn) , -n n = i, ... ,N die Steigungen (5.2.13) dAi (M) dM Eibi n l E.b. . =1 ) J n (K -a l K.) - (1-a)K. j=1 J l. M + K) 2 Innerhalb eines Intervalls ist die Steigung entweder positiv, negativ oder gleich Null. Da der Nenner immer positiv ist, hängt das Vorzeichen der Ableitung vom Zähler ab. Der Nenner wächst streng monoton mit M. Der Zähler wird mit wachsendem M kleiner, wenn M Intervallgrenzen überschrei- • tet. Zur Bestimmung von Mi können wir also so vorgehen: 108 (5.2.14) dAi (M) dM ~ 0 gilt, dann ist auch < 0 n = i+1, ••• ,N. Daraus folgt zusammen mit der Stetigkeit, daß Ai(M) auf ganz [O,~] monoton fällt. Mit der strengen Monotonie auf [O,~i] folgt • • (5.2.15) Mi= LMi = 0. Die Bedingung (5.2.14) ist äquivalent mit i (5.2.16) K - a }: K. j=1 J - i ~ Ki (1-a) }:E.b. j=1 J J Sie wird zumindest von der Gemeinde N erfüllt, denn für i = N verlangt (5.2.16) N l K. j=1 J N l E .b. j=1 J J was für alle N ~ gilt. 109 dAi (M) dM > 0 , dann gibt es ein lokales Maximum (5.2.17) • RMi M =M -n• n•-1 im Bereich (M. ,i.l_J, wenn ein n• € {i+1, ••• ,N} existiert -1. -~ mit dAi(M) dM und dAi (M) dM > 0 < 0 M€ (M .,M .> -n n Dies ist genau dann der Fall, wenn filr n• (5.2.18) n•-1 K-a l K. j=1 J n*-1 (1-a) l E.b. j=1 J J erfüllt ist. Das lokale Maximum (5.2.19) • RMi n• K-a l K. j=1 J n* (1-a) l E.b. j=1 J J liegt am rechten Rand des Definitionsbereichs (Randmaximum), wenn die Steigung im letzten Intervall noch positiv ist, d.h. falls dAi (M) dM > 0 und damit (5.2.20) erfüllt ist. N l K. j=1 J < N l E .b. j=1 J J 110 c) Falls ein n* E {i+1, ••• ,N}existiert mit d.h. falls (5.2.21) dAi(M) dM 0 n* K - a }: K. - J'=1 J Ki = ___ ,.._,,_;..-- n* (1-a) }: E.b. j=1 J J gilt 1 ), dann ist die Menge der optimalen lokalen Schlüssel- • . massen R:Mi = {RMi} das Intervall (5.2.22) • R:Mi = [M .,M .1. -n n Um in den Fällen b) und c) das globale Optimum zu finden, müssen wir die lokalen Optima vergleichen, wobei noch vereinfachend angenommen wird. 1) Die Bedingung (5.2.21) wird sicher nur zufällig erfüllt sein, da die rechte Seite nur (N-i) diskrete Werte annehmen kann. 11 7 Funktionswert ersetzen. Da dies aber sehr aufwendig ist und für die weitere Analyse auch nicht benötigt wird, wollen wir darauf nicht näher eingehen. Wir fragen nun, wie sich eine Erhöhung oder Verringerung der Schlüsselmasse bei verschiedenen Gruppen von Gemeinden auswirkt. Dabei werden diejenigen Gemeinden der gleichen Gruppe zugeordnet, die sich vorher und nachher in der gleichen Situation befinden. Es lassen sich so drei Gruppen unterscheiden: Gruppe A besteht aus Gemeinden, die vorher und nachher zuweisungsberechtigt sind. In Gruppe B befinden sich Gemeinden, die aus dem Kreiszuweisungsberechtigter Gemeinden ausscheiden (bei Verringerung von M) oder neu hinzukommen (bei Erhöhung von M). In Gruppe C sind alle Gemeinden, die weder vorher noch nachher zuweisungsberechtigt sind. Wir betrachten zuerst eine Erhöhung der Schlüsselmasse Zusätzlich zur fixen Schlüsselmasse M gehen wir im folgenden von einer bestimmten Erhöhung von M um den Betrag AM E (~k (t.M) -M, Mn+k (.AM) -M], k (t.M) E {O, ••• ,N-n} beliebig aus. Dann gibt k:= k(6M) in Abhängigkeit von 6M die Zahl der Gemeinden an, die zum Kreiszuweisungsberechtigter Gemeinden neu hinzukommen, denn aufgrund der strengen Monotonie von G(M) gilt (5 .3 .9) t.M > 0 .. k ~ 0 • 118 A Gemeinden {1, ••• ,n} Für sie gilt ~i < M < M +AM.Aus (5.3.7) entnimmt man (5.3.10) B Gemeinden {n+1, ••• ,n+k} Für sie gilt M ~ ~i <AM+ M. Aus (5.3.6) ist zu entnehmen (5.3.11) Mit der Definitionsgleichung (5.3.8) folgt daraus da mit i n+1, ••• ,n+k gilt. C Gemeinden {n+k+1, •.. ,N} Für sie gilt ~i ~ M +AM> M. Aus (5.3.6) resultiert (5.3,12) ASi (AM) = 0 • ASi (AM) zusammenfassend kann man mit AS (AM)·-,.,-,-,-- sr.~reiben; i . l::ibi Q a(G(M)-K 1) + aAG(AM) at.G (AM) i i i n+k+1, •.. ,N n+1, ••• ,n+k 1, •.• ,n. 119 Der Anstieg der Schlüsselzuweisung eines repräsentativen Einwohners ist für alle Gemeinden aus der ärmsten Gruppe gleich groß, obwohl die Steuerkraftunterschiede in dieser Grupppe recht hoch sein können. Allerdings haben die Gemeinden aus der ärmsten Gruppe den größten Zuwachs, der noch größer ist als der Zuwachs der Gemeinden, die zum Kreis zuweisungsberechtigter Gemeinden neu hinzukommen. Die reichsten Gemeinden profitieren vom Anstieg der Schlüsselmasse überhaupt nicht. Verringerung der Schlüsselmasse Für den Fall, daß die Schlüsselmasse um den fixen Betrag tiM E (~+k (tiM) -M, Mn+k (Ml) -M] , k (tiM) E { 1-n, ••• ,o} beliebig verringert wird, gibt k:= k(AM) die Zahl der Gemeinden an, die aus dem Kreiszuweisungsberechtigter Gemeinden ausscheiden, denn wegen der strengen Monotonie von G(M) gilt AM< 0 -k ~ 0 • Ein zu AM> O analoges Vorgehen liefert (5.3.14) AS. (AM) l. i i i n+1, .•. ,N n+k+1, ..• ,n 1, ... ,n+k. Die Gruppe der reichsten Gemeinden verzeichnet bei sinkender Schlüsselmasse überhaupt keinen Rückgang ihrer normierten Finanzausstattung. Dagegen sinkt sie bei den ärmsten Gemeinden am stärksten, sogar noch stärker als bei den Gemeinden der mittleren Gruppe, weil mit Ki > G(M + AM) , i = n+k+1, ... ,n 120 -a(G(M) - Ki) = -a(G(M + AM) - Ki) + aAG(AM) < aAG(AM) ist. Das ist recht überraschend, rein intuitiv würde man vielleicht vermuten, daß diejenigen Gemeinden die größten Einbußen hätten, die bei sinkender Schlüsselmasse aus dem Kreis der zuweisungsberechtigten Gemeinden ausscheiden. Ebenso könnte man sich leicht vorstellen, daß bei einer Erhöhung von M diejenigen Gemeinden die größten Zuwächse aufweisen, die zum Kreis der zuweisungsberechtigten Gemeinden neu hinzukommen. Beides ist aber nicht der Fall. 5.3.2 Die Umverteilung der Finanzanteile Bei einer Erhöhung oder Verringerung der Schlüsselmasse sagt die Veränderung der Finanzausstattung einer Gemeinde noch nichts über ihre relative Position im Vergleich zu anderen Gemeinden aus. Wir fragen deshalb nach der Veränderung des Finanzanteils einer Gemeinde, wenn sich die fixe Schlüsselmasse M um AM ändert. Mit der Identität (5.2.7) und der Definitionsgleichung (5.3.3) ergibt sich allgemein für i = 1, ••• ,N AM> 0 (5.3.15) Ai (M+AM) > Ai (M) • AM < 0 Das Verhältnis ASi/AM kann als Anteil der Gemeinde i am Zuwachs (Rückgang) der Schlüsselmasse interpretiert werden. Eine Gemeinde hat demnach nach Erhöhung (Verringerung) von M genau dann einen höheren Anteil als vorher, wenn ihr Anteil am Zuwachs (Rückgang) der Schlüsselmasse höher (niedriger) als ihr alter Finanzanteil ist. Entsprechend gilt 1 21 6M > 0 (5.3.16) .. 6M < 0 • Die Interpretation erfolgt analog zu (5.3.15). Aus (5.3.15) und (5.3.16) folgt weiterhin für 6M > O: (5.3.17) .. und für 6M < O (5.3.18) A. (M + 6M) {<}A. (M) l. > l. .. Wir betrachten zunächst eine Erhöhung der Schlüsselmasse M um den fixen Betrag 6M, wobei Mund 6M wie in 5.3.1 spezifiziert seien. Dann lassen sich wieder drei Gruppen von Gemeinden unterscheiden: C Gemeinden i = n+k+1, •.. ,N Für sie gilt (5.3.19) 6S. l. 6M 0 < Ai (M) .. Ai (M + 6M) < Ai (M). Reiche Gemeinden haben am Zuwachs der Finanzmasse keinen Anteil, ihr Finanzanteil nimmt daher ab. Gleichzeitig bedeutet dies, daß der Finanzanteil mindestens einer ärmeren Gemeinde zunimmt. 1 22 B Gemeinden i = n+1, ••• ,n+k N Mit (5.3.13) und F(M) := L F. (M) ergibt sich i=1 1 a(Eibi G(M) -Ki) + aEibiAG Ki -llM >F™l (5.3.20) -aF (M) • Ki < llM + aF(M) (G(M) + AG) • Da für alle AM> 0 aF(M) AM+ aF(M) (G(M) + AG) < G(M) + AG gilt, erhalten nicht in jedem Falle alle Gemeinden aus der Gruppe {n+1, ••• ,n+k} einen höheren Finanzanteil als vorher. Notwendige Voraussetzung dafür, daß es überhaupt Gemeinden gibt, die (5.3.20) erfüllen, ist (5.3.21) aF lMJ ) • (M) aF(M) + AM(G(M) + AG > G Um (5.3.21) zu interpretieren, definieren wir (5.3.22) AF(AM):=F(M + AM) -F(M) als Veränderung der gesamten Finanzmittel. Mit F(M) = M + K folgt sofort (5.3.23) AF: = AF (AM) AM. 123 Damit läßt sich (5,3.24) als Elastizität des Grundbetrags nach den gesamten Finanzmitteln interpretieren. Wir können diese auch in der Form (5.3.25) F(M) GOO' schreiben. Man sieht, sie hängt von der Schlüsselmasse M ab und von der Steigung 6G / 6M. Da wir von einem fixen Niveau M ausgehen, wird &G,F immer geringer, je größer 6M ist, weil bekanntlich 6G / 6M mit steigendem 6M kleiner wird (s. 5.1.1). Mit (5.3.23) folgt für (5.3.21) der äquivalente Ausdruck (5.3.26) Falls also (5.3.27) gilt, gibt es in der Gruppe {n+1, ••• ,n+k} keine Gemeinde, die nach Erhöhung der Schlüsselmasse einen höheren Finanzanteil als vorher hätte. 124 A Gemeinden {1, ••• ,n} Mit (5.3.13) gilt (5.3.28) .. aEibitiG > aEibiG(M) + (1-a)Ki llM M + K .. Ki < ~(F(M)A§ - G(M)) • 1-a AM Dabei ist (5.3.29) ~(F(M)AG - G(M)) __ < G(M) 1-a AM .. (5.3.27) und (5.3.29) sind identisch, und deshalb werden, falls sie erfüllt sind, insgesamt gesehen nur Gemeinden aus der Gruppe {1, ••• ,n} begünstigt, daraus aber bekanntlich mindestens eine Gemeinde. Deshalb existiert ein fi E {1, ••• ,n}, das durch (5.3.30) Kft < - 1 -(F(M)AG - G(M)) < K 1-a AM = fi+1 bestimmt ist und diejenige Gemeinde angibt, deren Finanzanteil sich gerade noch erhöht hat, d.h. es gilt (5.3.31) Ai (M + AM) > Ai (M) , i = 1, ••• ,fi. Falls (5.3.27) bzw. (5.3.29) nicht gelten, sondern (5.3.26) erfüllt ist, dann gilt in (5.3.29) statt"~" die Relation ">", und deshalb weisen alle Gemeinden i = 1, ••• ,n nachher einen höheren Finanzanteil auf. Es können auch noch Gemeinden aus der Gruppe {n+1, ••• ,n+k} profitieren. Falls also für ein n € {n+1, ..• ,n+k} 125 (5.3.32) -aF(M) - Kn <AM+ aF(M) {G{M) + AG) ~ Kn+1 gilt, dann ist (5.3.33) i ,, ... ,n. Ansonsten ist Ai (M + AM)> Ai (M) i = 1, ••• ,n. Ob für ein bestimmtes AM die Bedingung (5.3.29) bzw. (5.3.27) oder die Bedingung (5.3.26) erfüllt ist, hängt natürlich von der Elastizität ab. Grob gesprochen kann man sagen, bei kleiner Elastizität werden weniger Gemeinden relativ begünstigt als bei großer Elastizität. Die Elastizität &G,F ist eher klein, wenn die Erhöhung der Schlüsselmasse relativ hoch ausfällt. Dies ist etwas überraschend, denn intuitiv würde man vennuten, daß sich mit einer merklichen Aufstockung der Schlüsselmasse auch relativ viele Gemeinden besserstellen lassen. Wir betrachten nun eine Verringerung der Schlüsselmasse M um einen bestimmten Betrag AM, der wie in 5.3.1 spezifiziert sei. C Gemeinden i n+1, ••• ,N Aus (5.3.14) ist zu entnehmen: (5.3.34) 0 < Ai(M) .. Der Finanzanteil der reichsten Gemeinden nimmt zu. Das bedeutet gleichzeitig, daß der Finanzanteil mindestens einer änneren Gemeinde abnehmen muß. B Gemeinden i = n+k+1, ••• ,n Für sie folgt mit (5.3.14): .. (5.3.35) 126 -a(EibiG(M)-Ki) AM -aF(M + AM) • Ki > G(M) aF(M + AM) - AM aEibiG(M)+(1-a)Ki > F (M) Damit es überhaupt Gemeinden aus {n+k+1, ••• ,n} gibt, die (5.3.35) erfüllen, muß wegen K. < G(Ml für i = n+k+1, ••• ,n 1 . notwendigerweise (5.3.36) aF(M + AM) G(M) aF(M + AM) -AM< G(M) sein, was für AM< O immer erfüllt ist. Falls (5. 3. 37) aF(M + AM) G(M) aF(M + AM) -AM< G(M) + AG l1G F(M + l1M) • ä ~ M-1 G(M + AM) = 'G,F(M + AM) erfüllt ist, dann profitieren sogar alle Gemeinden aus dieser Gruppe von einer Senkung der Schlüsselmasse und (S.3.38) Ai(M + AM) > Ai(M) für alle i = n+k+1, ••• ,n Dabei ist tG,F(M + AM) die Elastizität von G nach F bei der neuen Schlüsselmasse M + l1M. 133 für ein n E {1, •.• ,N-1} mit N iL < - l K. ~ K~ . n N i= 1 i - n+1 Daraus folgt xLpY• • Durch eine Erhöhung der Schlüsselmasse kann fiskalische Ungleichheit also verringert werden. Entsprechend erhöht sich die fiskalische Ungleichheit, wenn die Schlüsselmasse sinkt. Daher lassen sich im System der Schlüsselzuweisungen Verteilungsziele nicht unabhängig von der Schlüsselmasse verfolgen. Dies ist ein ziemlich ernüchterndes Resultat, denn die Schlüsselmasse ist als Instrumentvariable zur Regulierung fiskalischer Ungleichheit überhaupt nicht geeignet. Sie kann, wie wir noch sehen werden, aufgrund ihrer Beschränkung von der Einnahmenseite her nicht in dem Maße erhöht werden, wie es für fiskalische Gleichheit erforderlich wäre (s. 6.1). Man kann noch nicht einmal verhindern, daß die fiskalische Ungleichheit (ungewollt) zunimmt, wenn etwa in einer Rezession die Steuereinnahmen und damit auch die Schlüsselmasse sinken sollte. 134 6 Verteilungen bei variabler Ausschüttungsquote In diesem Kapitel gehen wir davon aus, daß die Ausschüttungsquote beliebig variiert werden kann. Damit lassen sich (alternative) Verteilungen s(a) = (S 1 (a), ••• ,SN(a)) erzeugen, bei denen die Schlüsselzuweisungen der Gemeinden von der Ausschüttungsquote abhängen. Wir benötigen also zunächst einen funktionalen Zusammenhang zwischen der Schlüsselzuweisung irgendeiner Gemeinde und der Ausschüttungsquote. 6.1 Die Schlüsselzuweisungen als Funktion der Ausschüttungsquote Die Schlüsselzuweisungen hängen nicht nur direkt von der Ausschüttungsquote ab, sondern auch indirekt, weil in den Gleichungen (6.1.1) mit 0,r G (a)) J O, l , , G(a) G(a) < i<. l. 1 , ••• , N der Grundbetrag von der Ausschüttungsquote abhängt. Falls a einen bestimmten Wert a hat (und auch die Größen M, Ki, Ei, bi, i = 1, ••• ,N gegeben sind), dann existiert ein eindeutiger Grundbetrag nc l E.b. i=1 i i 135 Dabei ist vorausgesetzt, daß die Gemeinden nach ihrer normierten Steuerkraft in aufsteigender Reihenfolge geordnet sindund n0 :=n(G(a 0 )) diejenige Gemeinde in dieser Ordnung ist, die gerade noch Zuweisungen erhält, d.h. es gilt: (6. 1 • 3) und ( 6. 1 • 4) Variiert man nun die Ausschüttungsquote, dann kann man sich leicht vorstellen, daß sich auch G mit a ändert. Wir sind also an einer Funktion G: (0,1] • 1R+ a • G(a) interessiert, die jedem a einen eindeutig bestimmten Grundbetrag G(a) zuordnet. Wir werden sehen, daß sich mit a auch der Kreis der zuweisungsberechtigten Gemeinden verändert. Er wird kleiner, wenn a steigt,und größer, wenn a sinkt. - Es ist allerdings zu beachten, daß es eine Zahl n von Gemeinden gibt (wir werden sie gleich spezifizieren), die bei allen zulässigen Ausgleichssätzen zuweisungsberechtigt sind. Das kommt daher, weil man von a sinnvollerweise O < a ~ 1 fordern wird. Bei a = O würde eine positive Schlüsselmasse bekanntlich nicht zur Verteilung kornrnen, weil für a = 0 und i = 1 , ••• ,N ist und die Annahme der Existenz eines endlichen Grundbetrags sofort einen Widerspruch N 1 s. <a > i=1 1 0 < M 136 - erzeugt. Bei a = 1 reicht die Schlüsselmasse für n Gemeinden aus. Der Kreis der zuweisungsberechtigten Gemeinden könnte durch Erhöhung von a zwar weiter verringert werden, dann wäre die Finanzausstattung in allen zuweisungsberechtigten Gemeinden sogar höher als der Finanzbedarf. Gemeinden benötigen aber nicht mehr Finanzmittel als ihr Bedarf Bi angibt. Zur Spezifikation von G(a) auf dem Bereich (0,1] nehmen wir zunächst an, daß beim Ausgleichssatz a0 genau n0 ~ n Gemeinden Zuweisungen erhalten. Der zugehörige Grundbetrag ist durch (6.1 .2) bestimmt. Durch Einsetzen in (6.1.3) und (6.1.4) erhalten wir das zugehörige Intervall für a0, in dem sich die Zahl der zuweisungsberechtigten Gemeinden nicht ändert: (6.1.5) M < < M no n ao no n 0 0 i< n +1 1 E.b. 1 K. i l E.bi 1 i=1 l. l. i=1 l. no i=1 1 i=1 0 Mit (6.1.5) und (6.1.2) ist G(a) auf einem Teilbereich von (0,1] definiert. Betrachtet man Grundbeträge, bei denen K. l. n = n, •.. ,N Gemeinden Zuweisungen erhalten und berechnet die zugehörigen Intervalle für a, dann läßt sich G(a) abschnittsweise definieren: (6.1.6) G(a) M a n l E.b. i=1 1 1 mit (O,aN) I [~n'an) n [¾, 1 l n l K. i=1 1 + n l E.b. i=1 1 1 n = N für n = N-1 , ••. , n+ 1 n = n , n n, ... ,N 137 Dabei ist die Obergrenze an des Intervalls In, n durch (6.1.7) M n n Kn I E.b. -I K. i=1 1 1 i=1 1 und die Untergrenze ~n' n n, ... ,N-1 durch (6. 1. 8) bestimmt. a -n M n n Kn+ 1 I E.b. -l K. i=1 1 1 i=1 1 n+ 1 , ••• , N Wir zeigen nun, G(a) ist auf ganz (0,1) definiert, stetig und streng monoton fallend. Definitionsbereich: Zu zeigen ist N N u I ( 0, 1 ] /\ n I c;a . n n n=n n=n Man sieht leicht, es gilt (6. 1.9) n = n+1, ••• ,N wenn man die Identität (6.1.9a) M M n n n-1 Kn I E.b. -I K. i=1 1 1 i=1 1 K L E.b. n i= 1 1 1 n-1 I K. i=1 1 138 benutzt. Die Intervalle liegen also nebeneinander und decken den ganzen Bereich (0,1] ab. Aus (6.1.6) und (6.1.9) folgt weiterhin, daß in einem Intervall mit größerem Ausgleichssatz die Zahl der zuweisungsberechtigten Gemeinden kleiner ist als in einem Intervall mit geringerem Ausgleichssatz. Wenn a steigt und Intervallgrenzen überschreitet, wird der Kreis der zuweisungsberechtigten Gemeinden kleiner. - - Er umfaßt aber mindestens n Gemeinden, wobei n durch - (6.1.10) n max {nla < 1} nE{1, ••. ,N-1} n+1 bestimmt ist. Aus (6.1.2) folgt (6.1.11) n+1 * M ~ K-n+1 l Eib. i=1 1 n+1 l K. i=1 1 Dann erhalten im Intervall [~n,1] genau n Gemeinden Zuweisungen, wobei wir die Obergrenze an:= 1 gesetzt haben. Hätten wir a- = n M vereinbart, so wäre mit dem durch (6.1.10) spezifizierten n die Intervallgrenze a- > 1 gewesen, was bekanntlich nicht n sein darf. Wie groß n aber ist, das hängt auch von M ab. Denn man entnimmt (6.1.11), daß n um so größer sein muß, je größer Mist. Das ist auch ganz einsichtig. Bei hohen Schlüsselmassen können selbst bei einem Ausgleichssatz von a = 1 relativ vielen Gemeinden Schlüsselzuweisungen gewährt werden. Nun können wir auch angeben, wie hoch die Schlüsselmasse M 1 39 mindestens sein muß, damit bei a = 1 alle Gemeinden Zuweisungen erhalten und somit fiskalische Gleichheit zustande konunt (siehe 4,3). Wir wissen aus (6.1 .11), daß für - genau n N-1 Gemeinden Zuweisungen erhalten und ¾-l ist. Also bekommen für alle N N (6.1.12) M > ¾ l E.b. -l K. i=1 1. 1. i=1 1. - genau n N Gemeinden Zuweisungen,und es ist~= 1. Andererseits kann bei sehr kleinen Schlüsselmassen n sein, denn es gilt für allen~ (6.1.13) n+1 l K. > 0 • i=1 1. Am linken Rand des Definitionsbereichs ist stets - Dies folgt zusammen mit (6.1.9a) für n = N-1 sofort aus (6.1.13). Für a E (O,aN) erhalten also alle Gemeinden Zuweisungen, wobei~:= O gesetzt ist. Wir zeigen nun, G(a) ist stetig auf ganz (0,1). Klar ist, innerhalb der Intervalle (~n'an) , n = n, .•• ,N ist G(a) stetig. Bleibt zu zeigen, daß G(a) auch an allen (inneren) Intervallgrenzen 140 .!!.n-1 stetig ist. - Der Funktionswert an den Stellen .!!.n-l' n < n ~ N ist Dann muß mit h > 0 und für n < n ~ N auch lim G(a -h) = K h-+O n n sein: Es gilt n n n M(i(Kn l E.b.- l K. )-h)+ l K. i=1 1. 1. i=1 1. i=1 1. lim --------------- h-+O .I Eibi 1.=1 Da G(a) auf ganz (0,1] stetig ist und G(a) in allen Intervallen (.!!_n,an) , n = n, ••. ,N wegen dG(a) --ra- M 2 n a }: E.b. i=1 1. 1. < 0 für streng monoton fällt, ist G(a) auch auf dem ganzen Bereich (0,1) streng monoton fallend. C Wir kommen nun auf unsere ursprüngliche Fragestellung zurück und stellen unter Verwendung der Funktion G(a) die Schlüsselzuweisungen als Funktion von a dar. Dazu setzen wir (6.1.6) in (6.1.1) ein und eliminieren die Dummy-Va- riable 0i (G(a)). Wir wissen, daß für i = n+1, ••• ,N 1 41 G(a) a = ~i-1 = ai gilt, d.h. ~i- 1 ist ein Ausgleichssatz, bei dem die Gemeinde i-1 gerade noch Zuweisungen erhält und die Gemeinde i keine. Aufgrund der strengen Monotonie von G(a) ist G (a) > i<. l. für a < ai und G(a) ~ i<i für a ~ ai Daraus folgt für i n+1, ••• ,N l 0 Wir wissen, für a Weisungen, d .h. erhält die Gemeinden gerade noch Zu- G ( 1) > i<- n Mit der Monotonie von G(a) und mit i = n:-1, ... ,1 folgt 0i (a) = 1 i 1 , ... , n: Damit schreibt sich Si (a) ohne Dwmty-Variable: Für i = 1, ••• ,n: (6.1.14) Für i = n+1, ••• ,N: (6.1.15) -r 142 a < a. i Aufgrund der Stetigkeit von G(a) ist Si (a) bei den Gemeinden i = 1, ••. ,n auf ganz (0,1] stetig. Da mit h > 0 lim S.(ai - h) = 0 = S.(a.) h-+O i i i ist, ist Si(a) auch bei den Gemeinden i auf ganz (0, 1]. n+1, ••• ,N stetig Setzt man G(a) in (6.1.1 ) und (6.1.10) ei.n, so erhält man die abschnittsweise definierten Funktionen: Fiir i = 1, ••. ,n: (6.1.16) Für i = n+1, ••• ,N: (6.1.17) M Eibi n l E .b. j=1 J J M Eibi n l E .b. j=1 J J + a y K.-K.) j=1 J i , an n n=n, ... ,N. + a( nEibi l E .b. j=1 J J y K .-Ki), j=1 J aEI n n=i,,,,,N, i > ri.