Структура постоянного тока

Физика и астрономия 110 Серия: ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ Хмельник С. И. Структура постоянного тока Аннотация Рассматривается структура постоянного тока в проводе. Оглавление 1. Введение 2. Математическая модель 3. Решение уравнений 4. Структура токов 5. Мощность Приложение Литература 1. Введение В [1] было показано, что постоянный ток в проводе имеет сложную структуру и этим можно обосновать утверждения о том, что основной поток электромагнитной энергии • направлен вдоль оси провода, • распространяется вдоль оси провода, • распространяется внутри провода, • компенсирует тепловые потери осевой составляющей тока. Ниже структура постоянного тока рассматривается более строго. 2. Математическая модель Ток в проводе принято рассматривать как усредненный поток электронов. Механические взаимодействия электронов с атомами считаются эквивалентными электрическому сопротивлению. При моделировании тока будем использовать цилиндрические координаты zr ,,  . Уравнения Максвелла для магнитных напряженностей и токов в стационарном магнитном поле имеют вид ( ) 0div =H , (1) J=rot(H) , (2) или Доклады независимых авторов 2015 выпуск 33 111 0 1=   +   +   +z H H rr H r Hzrr   , (3) , 1 r zJ z H H r=   −      (4) ,  J r H z Hzr =   −   (5) , 1 oz rJJ H rr H r H+=   −   +   (6) Модель основана на том, что 1. основная электрическая напряженность o E направлена вдоль оси провода, 2. она создает основной ток o J – вертикальный поток зарядов, 3. вертикальный ток o J формирует кольцевое магнитное поле с напряженностью  H и радиальное магнитное поле r H - см. (6), 4. магнитное поле  H отклоняет силами Лоренца заряды вертикального потока в радиальном направлении, создавая– радиальный поток зарядов - радиальный ток r J , 5. магнитное поле  H отклоняет силами Лоренца заряды радиального потока перпендикулярно радиусам, создавая вертикальный ток z J (дополнительно к току o J ), 6. магнитное поле r H отклоняет силами Лоренца заряды вертикального потока перпендикулярно радиусам, создавая кольцевой ток  J , 7. магнитное поле r H отклоняет силами Лоренца заряды кольцевого потока вдоль радиусов, создавая вертикальный ток z J (дополнительно к току o J ), 8. ток r J формирует вертикальное магнитное поле z H и кольцевое магнитное поле  H - см. (4), 9. ток  J формирует вертикальное магнитное поле z H и радиальное магнитное поле r H - см. (5), 10. ток z J формирует кольцевое магнитное поле  H и радиальное магнитное поле r H - см. (6), 11. токам соответствуют одноименные электрические напряженности, т.е. Физика и астрономия 112 JE =  , (7) где  - электросопротивление. Таким образом, основной ток o J создает дополнительные токи zr JJJ ,,  и магнитные поля zr HHH ,,  . Они должны удовлетворять уравнениям Максвелла (3-6). Кроме того, токи должны удовлетворять условию непрерывности 0)(div =J . (8) Прежде всего, необходимо доказать, что решение системы (38) существует при ненулевых токах .,, zr JJJ  3. Решение уравнений Из физических соображений ясно, что поле должно быть однородным вдоль вертикальной оси, т.е. должны отсутствовать производные по аргументу z , и, следовательно, уравнения (3-6, 8) должны быть переписаны в виде: 0 1=   +   +   H rr H r Hrr , (9) , 1 r zJ H r=     (10) ,  J r Hz=   − (11) , 1 oz rJJ H rr H r H+=   −   +   (12) 0 1=   +   +   J rr J r Jrr (13) Решение системы уравнений дано в приложении 1, где показано, что при данных  hj , определены )sin( 2 .    rhHr= , (14) 2 )cos(. rJ rhH o +=   , (15) )sin( 2 12   rjHz−= , (16) )cos( 2 .    rjJr−= , (17) Доклады независимых авторов 2015 выпуск 33 113 )sin(.   rjJ = , (18) ( ) ( )   cos21 2 −++= hJJ oz . (19) 4. Структура токов На основе уравнений (17-19) рассмотрим распределение токов в объеме цилиндрического провода. Все примеры показаны при 50,10,1,1 ==== Rhj   . zr J   r J r J  J z J ˆ   r  Рис. 0. На рис. 0 показаны векторы токов zr JJJ ,,  . На этом рисунке при фиксированном значении  показаны также вектор  r J (равный сумме векторов r J и J ) и вектор zr J  (равный сумме векторов  r J и o J ). Вектор  r J составляет с радиусом угол  . Видно, что вектор zr J  направлен под некоторым углом  к оси цилиндра. Физика и астрономия 114 На рис. 1, 2, 3, 4 показаны величины  JJr, ,  r J ,  на плоскости сечения ( )  ,r . На рис. 5 показаны линии токов  JJr, на этой плоскости при 8=  . Важно отметить, что на линиях тока r J ток 0=  J . Видно, что непрерывность линий тока соблюдается – см. (13). r J  J Рис. 5. Точно так же изображаются линии напряженностей  HHr, на плоскости сечения ( )  ,r . Отличие заключается в том, что на линиях напряженностей r H напряженность 2. rJH o =  - см. (15). Видно, что непрерывность силовых линий также соблюдается – см. (9). Доклады независимых авторов 2015 выпуск 33 115 Важно отметить, что на окружности внешнего радиуса R напряженность  H не постоянна, определяется из (15) и имеет вид: 2)cos(. RJRhH oR +=   (20) На рис. 6 показана величина z J на плоскости сечения ( )  ,r . На рис. 7, 8 показаны величины zr J  ,  на плоскости сечения ( )  ,r при 500= o J . Видно, что линии тока zr J  всегда наклонены к оси цилиндра. Именно этот факт был основным аргументом при обосновании указанных во введении выводов статьи [1] Заметим, что существуют случаи, когда угол  является постоянным. Например, на рис. 9, 10 показаны величины zr J  ,  при 2=  . Физика и астрономия 116 5. Мощность Найдем плотность мощности тепловых потерь, обозначая через R - внешний радиус провода, L - длину провода,  - электросопротивление. Ток r J течет через сечение  dLr  на длине dr . Поэтому мощность потерь от этих токов равна следующему интегралу: ( ) ( )    == RR rr drrdrj L dJrdrLP 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2)cos( 4       или 2 42 16   j LR Pr= . (21) Ток  J течет через сечение drL на длине  dr  . Поэтому мощность потерь от этих токов равна следующему интегралу: ( ) ( )    == RR drrdrLjdJrdrLP 0 2 0 2 2 0 2 0 2)sin(      или 2 4 4   j LR P= . (22) Ток z J течет через сечение drdr   на длине L . Поэтому мощность потерь от этих токов равна следующему интегралу: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 0 2 0 2 2222 0 2 0 2 22 21 2 cos21          −++= =−++ =+=     Lh R JRL drdrLhJRL dJrdrLJRLP o R o R zoz или ( )      −++= 2 2222 21 2 1   hJRLP oz . (23) Итак, ( )             −++= = = =           = 2 222 22 222 2 21 4 16        hJP jRP jRP LR P P P P oz r z r (24) Доклады независимых авторов 2015 выпуск 33 117 и ( ) ( )         −++ ++ =++= 2 22 2222 2 21 164/1       h JRj LRPPPP o zr (25) В электрических цепях постоянного тока соблюдается принцип минимума тепловых потерь. Впервые на такое свойство электрических цепей обратил внимание Максвелл [2], который обнаружил, что в цепях с сопротивлениями токи минимизируют мощность тепловых потерь. Минимум мощности (25) соблюдается при ( ) ( ) ( ) min21164/1 2 22222 →−+++   hRj (26) Отсюда следует, что ( ) ( ) 2 22222 21164/1   −+−=+ hRj или Rhj   = , (27) где ( ) ( ) 22 421 2 1  +−+−= . (28) Подставляя (27, 28) в (25), получаем: ( ) ( ) ( ) ( )                     + + + + −++= =                 −++ ++ +=++= 1 4 164/1 4 1 21 21 164/1 2 2 2 2222 2 2 22 222         hJLR hJLRPPPP o ozr или ( ) ( ) 2 2222 21   −++ hJLRP o . (29) Энергия, расходуемая силами Лоренца для создания дополнительных токов zr JJJ ,,  , доставляется основным током o J . Следовательно, создание дополнительных токов эквивалентно увеличению сопротивления на некоторую величину   . Этот факт можно записать в следующем виде: ( ) PLJR o=+ 22  . (30) Из (29, 30) следует, что