PI Filter

Πfilter Predrag Pejovi´c 21.12.2025. 19:06:49 Ovaj tekst sadrˇzi analizu Πfiltra prikazanog na slici 1 primenjenog za filtriranje napona koji daje jednostrani ili dvostrani ispravljaˇc. Ova specifiˇcna primena podrazumeva da je na ulaz filtra vezan ispravljaˇc, dok je izlaz optere´cen potroˇsaˇcem konstantne struje. Cilj filtra je smanjenje talasnosti izlaznog napona koja nastaje kao posledica ispravljanja naizmeniˇcnog napona. Tekst se ne moˇze razumeti bez prethodnog poznavanja i razumevanja rada i modelovanja jednostranog i dvostranog ispravljaˇca sa kapacitivnim filtrom i nadovezuje se na rezultate te analize. Stoga, ˇcitaoci koji nisu proˇcitali tekstove vezane za analizu jednostranog i dvostranog ispravljaˇca sa prostim kapacitivnim filtrom treba prvo to da proˇcitaju. Takode, od ˇcitalaca se oˇcekuje da znaju da je srednja vrednost napona na kalemu jednaka nuli, kao i da je srednja vrednost struje kondenzatora jednaka nuli. Kada se govori o srednjoj vrednosti, jasno je da se podrazumeva rad kola u ustaljenom periodiˇcnom reˇzimu, to je neophodno kako bi srednja vrednost u smislu jednosmerne komponente bila definisana. Primena filtra u ispravljaˇcu podrazumeva da su talasnosti napona na kondenzatorima i struje kalema male, da strujom kalema i naponima kondenzatora dominira jednosmerna komponenta. Kako je srednja vrednost napona na kalemu jednaka nuli, VL= 0, onda su srednje vrednosti ulaznog i izlaznog napona jednake, VOUT =VIN .(1) Kako su srednje vrednosti struja kondenzatora jednake nuli, IC1=IC2= 0, srednje vrednosti struje kalema i ulazne struje su jednake srednjoj vrednosti izlazne struje IIN =IL=IOUT (2) za koju je pretpostavljeno da je konstantna. Kako bi analiza bila jedinstvena za jednostrani i dvostrani ispravljaˇc, normalizacija vremena ´ce biti izvrˇsena prema τ=t T=f t (3) C1C2 L vIN vOUT iLIOU T iIN Slika 1: Πfilter. 1 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 f1 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 f2 −1 2−1 2√301 2√3 1 2 τ −1 36√3≈ −0.016 0 1 36√3≈0.016 f3 Slika 2: Funkcije f1(τ),f2(τ)if3(τ). 2 gde je T=T0if=f0u sluˇcaju jednostranog ispravljanja, dok je u sluˇcaju dvostranog ispravljanja T=T0 2if= 2f0, pri ˇcemu su T0if0perioda i frekvencija meˇznog napona. Iz analize prostog kapacitivnog filtra, poˇsto strujom kalema po pretpostavci dominira jednosmerna komponenta, naizmeniˇcna komponenta ulaznog napona je vin (τ) = ∆V f1(τ)(4) gde je f1(τ) = −2τ(5) na osnovnom periodu od −T 2do T 2kako je prikazano na slici 2 tokom jedne periode T, kao i na slici 3 tokom tri periode, pri ˇcemu je ∆V=IOUT 2f C1 .(6) Problem koji se na dalje analizira je propagacija te naizmeniˇcne komponente ka izlazu filtra. Jednosmerna komponenta ulaznog napona, ujedno i izlaznog napona, je ista kao u sluˇcaju ispravljaˇca sa prostim kapacitivnim filtrom, pa se detaljna analiza moˇze na´ci u tekstu koji obraduje prost kapacivni filter, gde se ta vrednost odreduje primenom aproksimacije malog ugla provodenja. Uostalom, taj model je i dao vremenski oblik ulaznog napona (4). U cilju odredivanja talasnosti izlaznog napona, prvo treba odrediti talasnost struje kalema. Napon kalema je vL(t) = vIN (t)−vOUT (t)(7) pa je naizmeniˇcna komponenta napona kalema vl(t) = vin (t)−vout (t).(8) Kako je amplituda (maksimalna vrednost) naizmeniˇcne komponente ulaznog napona mnogo ve´ca od amplitude naizmeniˇcne komponente izlaznog napona max (vin (t)) ≫max (vout (t)) (9) moˇze se smatrati vl(t)≈vin (t).(10) Karakteristika elementa za kalem je vl(t) = Ld il(t) dt (11) ˇsto se u terminima normalizovanog vremena izraˇzava kao vl(τ T) = Ld il(τ T) d(τ T)(12) i svodi na vl(τ) = f L d il(τ) d(τ)(13) odakle je prema (10) d il(τ) d(τ)=1 f L vin (τ).(14) Zamenom (4), (5) i (6) se dobija diferencijalna jednaˇcina po il d il(τ) d(τ)=IOUT 2f2C1Lf1(τ)(15) 3 koja ima reˇsenje u obliku il(τ) = IOUT 2f2C1Lf2(τ)(16) pri ˇcemu je d f2(τ) dτ =f1(τ)(17) i Z1 2 −1 2 f2(τ)dτ = 0.(18) Gornje uslove zadovoljava funkcija f2(τ) = 1 12 −τ2(19) pa je il(τ) = IOUT 2f2C1L1 12 −τ2(20) kako je prikazano na slikama 2 i 3. Veza naizmeniˇcne komponente struje kalema i naizmeniˇcne komponente izlaznog napona je C2 d vout (t) dt =il(t)(21) poˇsto je naizmeniˇcna komponenta izlazne struje po pretpostavci jednaka nuli, pa je f C2 d vout (τ) dτ =IOUT 2f2C1Lf2(τ)(22) odakle je d vout (τ) dτ =IOUT 2f3C1C2Lf2(τ).(23) Na isti naˇcin kao i u sluˇcaju naizmeniˇcne komponente struje kalema, naizmeniˇcna komponenta izlaznog napona se dobija u obliku vout (τ) = IOUT 2f3C1C2Lf3(τ)(24) pri ˇcemu je d f3(τ) dτ =f2(τ)(25) i Z1 2 −1 2 f3(τ)dτ = 0.(26) Funkcija f3(τ)koja zadovolja ove uslove je f3(τ) = τ 12 1−4τ2(27) pa je vout (τ) = IOUT 24 f3C1C2Lτ1−4τ2.(28) 4 Talasnost izlaznog napona, ˇsto je njegova naizmeniˇcna komponenta, dostiˇze svoje ekstremne vrednosti za d f3(τ) dτ =f2(τ)=0, ˇsto se postiˇze za τ=±1 2√3(29) kada je f3 max =−f3 min =1 36 √3.(30) Odavde je amplituda talasnosti izlaznog napona ∆Vout =IOUT 72 √3f3C1C2L(31) ˇsto daje faktor potiskivanja amplitude talasnosti ulaznog napona od ∆V ∆Vout = 36 √3f2C2L. (32) Kako je Z1 2 −1 2 f2 3(τ)dτ =1 7560 (33) efektivna vrednost talasnosti izlaznog napona je Vout ac rms =IOUT 12 √210 f3C1C2L(34) ˇsto je vrednost koja se koristi za izraˇcunavanje faktora talasnosti izlaznog napona. Faktor potiskivanja efektivne vrednosti naizmeniˇcne komponente ulaznog napona je Vin ac rms Vout ac rms = 6 √70 f2C2L(35) odakle se vidi da se za f2C2L= 1 postiˇze veoma znaˇcajna redukcija efektivne vrednosti talasnosti izlaznog napona od preko 50 puta. Vaˇzno pitanje prilikom projektovanja Πfiltra je izbor kondenzatora C1iC2. Izbor se moˇze optimizovati i svesti na izbor kapacitivnosti C=C1+C2poˇsto je koliˇcina materijala potrebna za proizvodnju dva kondenzatora dominirana zbirom njihovih kapacitivnosti, a ne naˇcinom na koji se ukupna kapacitivnost deli izmedu ta dva kondenzatora. Dakle, usvojeno ograniˇcenje je C=C1+C2(36) a cilj je da se nadu optimalne vrednosti kapacitivnosti kondenzatora C1=a C (37) i C2= (1 −a)C(38) tako da se minimizuje talasnost izlaznog napona. U cilju minimizacije talasnosti izlaznog napona, prema (28) i izvedenim veliˇcinama (31) i (34), potrebno je maksimizovati proizvod kapacitivnosti C1C2=C2a(1 −a)(39) 5 koji zavisi samo od parametra podele kapacitivnosti, a. Ovo je jednodimenzioni problem optimizacije, najjednostavniji mogu´ci, gde se optimalna vrednost parametra adobija za d da a−a2= 1 −2a= 0 (40) kada je a=1 2(41) ˇsto daje maksimalni proizvod kapacitivnosti kondenzatora od C1C2=C2 4(42) i odgovaraju´cu amplitudu talasnosti izlaznog napona ∆Vout =IOUT 18 √3f3C2L(43) kao i odgovaraju´cu efektivnu vrednost naizmaniˇcne komponente izlaznog napona Vout ac rms =IOUT 3√210 f3C2L(44) Korektno poredenje sa prostim kapacitivnim filtrom se dobija u sluˇcaju da je kapacitivnost filterskog kondenzatora jednaka C, zbiru kapacitivnosti kondenzatora u Πfiltru, kada je ∆Vout C ∆Vout = 9 √3f2C L (45) iVout ac rms C Vout ac rms =3√70 2f2C L. (46) Na ovom mestu valja ponoviti da sprovedena optimizacija minimizuje talasnost izlaznog napona pri ograniˇcenom zbiru kapacitivnosti C=C1+C2. Saglasno rezultatu optimizacije, “dual section” elektrolitski kondenzatori se skoro iskljuˇcivo prave u dve sekcije koje imaju jednaku kapacitivnost. Sa druge strane, na jednosmernu komponentu ulaznog napona, a time i izlaznog napona, na naˇcin kako jednosmerna komponenta tih napona zavisi od izlazne struje, utiˇce samo kapacitivnost kondenzatora C1. Ukoliko je ovaj parametar od znaˇcaja, onda optimizaciju treba ponoviti uzimaju´ci u obzir i negov znaˇcaj, u skladu sa izabranim teˇzinskim faktorima. Opisana analiza se moˇze nastaviti u istom duhu uz nadovezivanje joˇs sekcija koje ˇcine jedan kalem i jedan kondenzator. U svakoj slede´coj sekciji ´ce funkcije koje opisuju talasnost sve viˇse liˇciti na sinusoidu na osnovnoj frekvenciji f. 6 −1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 f1 −1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 f2 −1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 τ −1 36√3≈ −0.016 0 1 36√3≈0.016 f3 Slika 3: Funkcije f1(τ),f2(τ)if3(τ), tri periode. 7