Lorenzkurvendisparität: Neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen

Wolf, Frauke Book — Digitized Version Lorenzkurvendisparität: Neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen Hohenheimer volkswirtschaftliche Schriften, No. 25 Provided in Cooperation with: Peter Lang International Academic Publishers Suggested Citation: Wolf, Frauke (1997) : Lorenzkurvendisparität: Neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen, Hohenheimer volkswirtschaftliche Schriften, No. 25, ISBN 978-3-631-75474-0, Peter Lang International Academic Publishers, Berlin, https://doi.org/10.3726/b13990 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/182928 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Lorenzkurvendisparität Neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen HOHENHEIMER VOLKSWIRTSCHAFTLICHE SCHRIFTEN Frauke Wolf Die Disparitätsmessung hat in den letzten Jahrzehnten als Forschungsgegenstand und Anwendungsgebiet der Statistik eine ständig wachsende Bedeutung erlangt. Die bekanntesten Instrumente der klassischen Disparitätsmessung sind die Lorenzkurve und der Gini-Koeffizient. In der Arbeit wird aufgezeigt, in welch vielfältiger Weise diese Konzepte dargestellt, interpretiert und weiterentwickelt werden können. Dabei wird insbesondere deutlich, daß die Konzepte weit über ihre ursprünglichen Anwendungsbereiche hinaus in neuen Forschungsgebieten überaus erfolgversprechend eingesetzt werden können. Wesentliche Bestandteile der umfangreichen klassischen und neuen Fachliteratur werden strukturiert dargestellt und ausgewertet. Eine Erörterung der Lorenz-Dominanzrelation und deren Bezüge zu anderen Ordnungsrelationen schließt die Arbeit ab. Frauke Wolf wurde 1963 in Dormagen geboren. Von 1982 bis 1988 Studium der Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hohenheim, von 1988 bis 1992 wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Universität Hohenheim. HOHENHEIMER VOLKSWIRTSCHAFTLICHE SCHRIFTEN Frauke Wolf Lorenzkurvendisparität Lorenzkurvendisparität Hohenheimer volkswirtschaftliche Schriften Herausgegeben von Prof. Dr. Rolf caesar, ProF. Dr. Harald Hagemann, Prof. Dr. Klaus Herdzina, Prof. Dr. Jörn Kruse, ProF. Dr. Renate Ohr, Prof. Dr. Walter Piesch, ProF. Dr. Ingo Schmidt, Prof. Dr. Peter Spahn, Prof. Dr. Gerhard Wagenhals, Prof. Dr. Helmut Walter Band 25 ~ PETER LANG FrankfUrt am Main • Berlln • Bern• New York• Paris• Wien FraukeWolf Lorenzkurvendisparität Neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen ~ PETER LANG Frankfurt am Main • Berlin • Bern • New York. Paris• Wien Open Access: The online version of this publication is published on www.peterlang.com and www.econstor.eu under the international Creative Commons License CC-BY 4.0. Learn more on how you can use and share this work: http://creativecommons. org/licenses/by/4.0. This book is available Open Access thanks to the kind support of ZBW – Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft. ISBN 978-3-631-75385-9 (eBook) Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Wolf, Frauke: Lorenzkurvendisparität : neuere Entwicklungen, Erweiterungen und Anwendungen / Frauke Wolf. -Frankfurt am Main ; Berlin ; Bern ; New York ; Paris ; Wien : Lang, 1997 (Hohenheimer Volkswirtschaftliche Schriften ; Bd. 25) Zugl.: Hohenheim, Univ., Diss., 1996 ISBN 3-631-31325-X NE:GT =½ D 100 ISSN 0721-3085 ISBN 3-631-31325-X © Peter Lang GmbH Europäischer Verlag der Wissenschaften Frankfurt am Main 1997 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany 1 2 3 4 6 7 ,, Matti, 2 Jahre: "Mama Kran malt, Badewanne dranhängt ?" XIII 9. Die Lorenzkurve vor dem Hintergrund partieller Ordnungsrelationen 9.1 Einige allgemeine Zusammenhänge zwischen Ordnungsrelationen 9.2 überblick über bekannte Ordnungsrelationen und deren Bezüge zur Lorenzkurve 171 172 174 9.2.1 Die stochastische Dominanzordnung und deren Bezüge zur Lorenzkurve 177 9.2.2 Inverse stochastische Dominanz und deren Bezüge<zur Lorenzkurve 181 9.2.3 Verhältnis-Dominanz und deren Bezüge zur Lorenzkurve 182 9.2.4 Inverse Verhältnis-Dominanz und deren Bezüge zur Lorenzkurve 184 9.2.5 Eine zusammenfassende übersieht 188 9.3 Die Lorenz-Dominanzordnung 189 9.3.1 Äquivalente Darstellungsformen zur Lorenz-Dominanzordnung 189 9.3.2 Lorenz-Dominanz erzeugende und erhaltende Transformationen 192 9.3.3 Lorenz-Dominanz bei Aggregation und Mischung von Verteilungen 194 9.4 Die Bedeutung verschiedener Ordnungsrelationen für die Disparitätsmessung 197 9.4.1 Die Lorenz-Dominanzordnung und Ungleichheitsindizes 197 9.4.2 Die Bedeutung der Starshaped-Ordnung für die Ungleichheitsmessung 200 9.4.3 Inverse stochastische Dominanz,Dominanz der kumulierten Lorenzkurven 201 und Ungleichheitsmessung 9.5 Streuungs- und Ungleichheitsordnungen im Vergleich 204 9.6 Partielle Ordnungen im Rahmen der Analyse von Lebensdauerverteilungen 209 und deren Bezüge zur Lorenzkurve 9.6.1 Wesentliche Zusammenhänge in einer Übersicht 210 9.6.2 Bezüge wichtiger Ordnungsrelationen zur Lorenzkurve 213 9. 7 Anwendung bei der Beurteilung risikobehafteter Anlageformen 215 10. Abschließende Bemerkungen 219 Anhang 221 Literaturver?.eichnis 229 XIV Verzeichnis der wichtigsten verwendeten Symbole a b A(F) cov(x,y) cg C(p) D(F) E f(x) vx) F. 1 F(x)_ Fx(x) F(v)(x) F(x) Fix) Absolutglied bei Lineartransformation/ Intervalluntergrenze, a = Min a. i 1 Proportionalitätsfaktor bei Lineartransformation/ Intervallobergrenze, b = M~ bi 1 Funktionswert der Lückenkurve Kovarianz von X und Y Korrelationsmaß Punktkonzentrationsmaß Funktionswert der Gegenkurve zur "Adaptierten Lorenzkurve" Durchschnittswertoperator/ exponentialverteilte Variable Dichtefunktion Dichte der gewogenen Verteilung kumulierte relative Häufigkeiten Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion der relativierten Variablen X kumulierte Verteilungsfunktion 1 - F(x) gewogene Verteilung Funktionswert einer Korrelations-Lorenzkurve FiFx) G Index zur Kennzeichnung der 50% größten Merkmalsträger einer Verteilung GL(F) Funktionswert der verallgemeinerten Lorenzkurve nach SHORROCKS H Herfindahl-Index I allgemeiner Disparitätsindex nach PIESCH und MEHRAN J(F) Gewichtsfunktion K Index zur Kennzeichnung der 50% kleinsten Merkmalsträger einer Verteilung l(x) erste Momentdichte li relative Merkmalssummen bei Einzelwertdarstellung L(x) erste Momentverteilung m' r M Mu(F)) Mu(x) M 0 (F) M 0 (x) n p r(x),r(F) R s v(x),v(F) Var W(F) xi'xj x,y jB µ x( 11 )(F) X,Y X 5t XV kumulierte relative Merkmalssummen Funktionswert der Lorenzkurve Funktionswert der von unten kumulierten Lorenzkurve Funktionswert der von oben kumulierten Lorenzkurve Ursprungsmomente Mehran-Maß untere Mittelwertsfunktion in Abhängigkeit von F untere Mittelwertsfunktion in Abhängigkeit von x obere Mittelwertsfunktion in Abhängigkeit von F untere Mittelwertsfunktion in Abhängigkeit von x Anzahl der Merkmalsträger Piesch-Maß Hazardrate Gini-Koeffizient Schutz-Koeffizient mittlere restliche Lebensdauer Varianzoperator Funktionswert der "Adaptierten Lorenzkurve" Beobachtungswerte Vektoren von Beobachtungswerten Funktionswert der inversen Verteilungsfunktion Funktionswert der normierten inversen Verteilungsfunktion Funktionswert der kumulierten inversen Verteilungsfunktion Variablen/ als Index zur Kennzeichnung einer Verteilung Merkmalssumme relativierte Variable! µ x(r) inverse Verteilungsfunktion einer von unten und oben abgeschnittenen Verteilung z Z(p) r(X,11) Ordnungsstatistik Median Funktionswert der Zenga-Kurve erweiterter Gini-Koeffizient auf der Basis von "Minimum-Mittelwerten" µl:v r1 (X,11) r ~(X,11) r(Y,X,11) r1 (Y,X,11) 5µ 5z 5x E e 6. T/ µl:11 µ11:11 (k) µr:11 11! XVI erweiterter Gini-Koeffizient auf der Basis von "Maximum-Mittelwerten" µ 11 : 11 normierter erweiterter Gini-Koeffizient auf der Basis von "Maximum-Mittelwerten" µ 11 : 11 erweiterte "Gini-Kovarianz" erweiterte "Gini-Kovarianz" durchschnittliche absolute Abweichung vonµ durchschnittliche absolute Abweichung von Z durchschnittliche absolute Abweichung von beliebigem Wert x Elementzeichen Zenga-lndex / untere Abschneidegrenze mittlere Differenz (mit Wiederholung) obere Abschneidegrenze Elastizität arithmetisches Mittel einer Verteilung arithmetisches Mittel der Verteilung von Xr:II "Minimum-Mittelwert" "Maximum-Mittelwert" k'tes Ursprungsmoment von Xr:II arithmetisches Mittel der ersten Momentverteilung Menge der reellen Zahlen 11'te Fakultät XVII Übersicht über Ordnungsrelationen X< Y : L X< y : w X< y: ö X< y: Ä X < Y: L(v) X< y : (v) X< y: (i) X< Y: (2) X C 1Y : (v) X < Y : GL V+ X< y : ( v) V+(-1) X< Y: ( v) X< y : * XSY : V Lx(F) ~ Ly(F) für O S F S 1 ,Lorenz-Dominanzordnung Wx(F) S Wy(F) für OS F S 1 Dx(F) ~ Dy(F) für O S F S 1 Ax(F) S Ay(F) für O S F S 1 Lkv)(F) ~ L}v\F) für OS F S 1 , v = 1,2,3 ... F kv)(x) ~ F} v)(x) für O S x S b , stochastische Dominanz F x(x) ~ F y(x) für O S x S b , First order Dominanz X X f Fx(y)dy ~ f Fy(y)dy für OS x Sb, Second order Dominanz 0 0 x(v)(F) S y(v)(F) für OS F S 1 , inverse stochastische Dominanz F ( v)(x) ( ) nichtfallend Fyv (x) für a S X $ b, V = 0,1,2,3 .. , Verhältnis-Dominanz (v) nichtfallend für O < F < 1, Inverse Verhältnis-Dominanz x (F) ~f B nichtfallend für O < F < 1, starshaped-Ordnung V+(-1) (oder X S Y) ( 0 ) b b j(l-Fx(y))dy S j(l-Fy(Y))dy für OS x Sb, X X "variabili ty"-Ordnung XVIII Verzeichnis der Übersichten 1: Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten 2: Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten über Mittelwerte von Ordnungsstatistiken 3: Darstellungsformen von Rund v2 bzw. v2/(l+v2) im Vergleich 4: Darstellung von Armutsmaßen in Abhängigkeit von R 5: Interpretation der in Kapitel 6 vorgestellten Kurvenzüge vor verschiedenen Anwendungshintergründen 6: zusammenfassende übersieht der in Kapitel 7 bisher vorgestellten Maße 7: Lage der (Korrelations-)Lorenzkurven für verschiedene Transformationsfunktionen g(x) und g*(x) 8: Zusammenfassender überblick über Komponenten der Zerlegung von r(X,11) und f'(X,11). 9: Überblick über die in den Anwendungsbeispielen des Kap. 8.3 verwendeten Transformationsfunktionen 10: Flächenprogressionsmaße im überblick 11: Flächenprogressionsmaße bei linearem Steuertarif 12: Kriterien für Ordnungsrelationen zweier Funktionen und äquivalente Darstellungsformen 13: Wichtigste Zusammenhänge zwischen den in Kapitel 9.2 vorgestellten Ordnungsrelationen 28 48 50 59 100 120 134 144 145 164 165 172 188 XIX 13: Wichtigste Zusammenhänge zwischen den in Kapitel 9.2 vorgestellten Ordnungsrelationen 14: Äquivalente Darstellungsformen zur Lorenz-Dominanzordnung 15: Wichtige partielle Ordnungsrelationen bei der Analyse von Lebensdauerverteilungen 188 190 211 XX Verzeichnis der Schaubilder 1: Die Lorenzkurve 2: Darstellung von µl:v 3: Darstellung von µv:v 4: Darstellung von AR und KG im Lorenzkurvenschaubild 5 und 6: Äquivalente Flächen im Schaubild von xiF) und 1 - F x_(x) 7: Ableitung von W(F) aus dem Lorenzkurvenschaubild 8: Ableitung von A(F) aus dem Lorenzkurvenschaubild 9: Darstellung der von unten kumulierten Lorenzkurven 10: Darstellung von r(X,v) 11: Darstellung von r'(X,v) 16 40 40 55 81 83 91 105 110 117 1. Einleitung 1.1 Problemstellung und Zielsetzung der Arbeit Die Konzentrationsmessung stellt ein wichtiges Teilgebiet der deskriptiven statistischen Methodenlehre dar. Sie gliedert sich in den Bereich der absoluten Konzentratinn und den Bereich der Disparitäts- oder Ungleichheitsmessung. Im Rahmen der Disparitätsmessung wird untersucht, wie gleich- bzw. ungleichmäßig sich Anteile von Merkmalssummen auf Anteile von Merkmalsträgern verteilen. Bekanntes Beispiel ist die Analyse der Einkommensverteilung im Hinblick auf die Ungleichheit. Aus statistischer Sicht sind dabei zwei Verteilungen, die extreme Gleichverteilung und die extreme Ungleichverteilung von Bedeutung. Extreme Gleichverteilung liegt immer dann vor, wenn jeder einen gleichen Teil besitzt. Von extremer Ungleichverteilung spricht man, wenn ein einziger Merkmalsträger die gesamte Merkmalsmasse auf sich vereinigt. Viele Disparitätsindizes können als Maß für den Abstand zwischen der gegebenen Verteilung und der extremen Gleichverteilung interpretiert werden. Zentrale Kenngrößen dieses Fachgebietes sind die bereits Anfang dieses Jahrhunderts von M. 0. LORENZ bzw. C. GINI entwickelten Maßgrößen "Lorenzkurve" und "Gini-Koeffizient". Werte der Lorenzkurve können einfach interpretiert werden. Es läßt sich z. B. an der Funktion ablesen, wieviel Prozent der Merkmalssumme auf die 20% kleinsten oder 10% größten Merkmalsträger entfällt. Der Gini-Koeffizient R kann im Lorenzkurven-Schaubild als zweifache Konzentrationsfläche veranschaulicht werden. Darüberhinaus ist er in einer Vielzahl von Schreibweisen darstellbar und interpretierbar, was zu immer neuen Einbindungsmöglichkeiten führt und u.a. seinen hohen Stellenwert erklärt. Ausgehend von diesen beiden Kenngrößen wurden zahlreiche Erweiterungen und Abwandlungen vorgestellt, die ebenfalls für die Beurteilung der Disparität einer Verteilung herangezogen werden. Andererseits tauchen in der neueren Literatur zu den Schlagworten Lorenzkurve bzw. Gini-Koeffizient nicht nur Beiträge zur Disparitätsmessung auf. Auch für die Analyse weiterer Themenkreise wie Lebensdauerverteilungen oder Armutsmessung finden diese Maßgrößen inzwischen Verwendung. Das Anliegen dieser Arbeit ist es, einen überblick über die vielfältigen Einsatzbereiche der Lorenzkurve, des Gini-Koeffizienten und deren Abwandlungen zu geben, die über die Disparitätsmessung hinaus gehen können. 2 In systematischer Form wird wesentliche Literatur zur Lorenzkurve, zum Gini- Koeffizienten und einigen Abwandlungen eingeordnet und aufbereitet. Darüberhinaus werden da, wo es sich aus der Systematik heraus anbietet, ergänzende Anmerkungen und Vorschläge gemacht bzw. Gedanken weiterentwickelt. Die systematische Darstellungform soll dazu anregen, Anwendungsmöglichkeiten der bekannten Indikatoren im Rahmen anderer Zielsetzungen zu prüfen. Umgekehrt bedeutet natürlich die Verwendung bspw. des Gini-Koeffizienten als Baustein eines Maßes in einem disparitätsfremden Bereich, daß implizit Ungleichheitsaspekte dort eine Rolle spielen oder zumindest in eine erweiterte Interpretation einbezogen werden können. Die Auswahl der Anwendungsbeispiele orientiert sich an den veröffentlichten Beiträgen. Die Anwendung könnte theoretisch auf weitere Sachverhalte ausgedehnt werden. Zudem werden Ansätze zum Schätzen und Testen der Kenngrößen ausgeklammert, da eine Erörterung im Rahmen dieser Arbeit zu weitführend wäre. Für einige interessante Ansätze, bspw. von TAGUCHI (1981,1987) oder BASU (1987) muß auf die Literatur verwiesen werden. Eine grundlegende und ausführliche Auseinandersetzung mit Eigenschaften der Lorenzkurve und des Gini-Koeffizienten findet sich bei PIESCH (1975), auf dessen Ergebnisse im Laufe dieser Arbeit immer wieder zurückgegriffen wird. Einen guten überblick über die neuere Literatur zum Gini- Koeffizienten gibt die Monographie von GIORGI (1992), in der nach einer Zusammenfassung ausführlich die einzelnen Beiträge im Rahmen eines Literaturverzeichnisses vorgestellt und kommentiert werden. 1.2 Aufbau der Arbeit Wie bereits an der Aufgabenstellung zu erkennen ist, werden in dieser Arbeit viele sehr unterschiedliche Aspekte einer eingehenderen Betrachtung unterzogen. Dies dokumentiert auch das Inhaltsverzeichnis. Grundsätzlich orientiert sich der Aufbau dieser Arbeit an der formalen Struktur der vorzustellenden Maßgrößen und nicht an deren Zielsetzung. Innerhalb der einzelnen Kapitel wird versucht ein grobes Gliederungsraster einzuhalten: Der Vorstellung des zu betrachtenden Instrumentariums schließt sich in der Regel die Prüfung an, inwiefern die in Kapitel 2 formulierten Kriterien eines Disparitätsmaßes erfüllt werden. Anschließend wird untersucht, inwieweit der Indikator in anderen 9 3. VERHALTEN BEI LINEARTRANSFORMATION: Zwei Fälle sind zu unterscheiden: "Die proportionale Änderung eines jeden Beobachtungswertes (yi = bxi, b > 0) soll als keine Änderung der Disparität gewertet werden." 9 Damit sollte ein Index seinen Wert und ein Kurvenzug seinen Verlauf in diesem Fall nicht ändern (Konzept der relativen Ungleichheit,Mittelwertsunabhängigkeit). "Die Erhöhung (Erniedrigung) jeden Merkmalswertes um einen konstanten Betrag (yi = xi + a > 0) soll als Disparitätsabnahme (-zunahme) gewertet werden." Für einen Indexwert erwartet man entsprechend eine Abnahme (Zunahme) oder zumindest keine Zunahme (keine Abnahme) seines Wertes. Der Verlauf eines geeigneten Kurvenzuges soll diese Dominanzbeziehung bestätigen.10 Beim Vergleich zweier Situationen, die sich hinsichtlich der Anzahl der betrachteten Merkmalseinheiten unterscheiden (und damit das Aggregationsproblem aufgreifen), gibt es zwei wesentliche Forderungen: 4.POPULATIONSVERVIELFACHUNG: "Bei der Aggregation von k identischen Verteilungen x zu y soll die Disparität konstant bleiben." Ein Disparitätsindex soll seinen Wert nicht ändern, der Verlauf einer entsprechenden Kurve soll konstant bleiben. 5. NULLENERGÄNZUNG: "Das Hinzufügen von Nullträgern (d.h. Vergleich von x mit y: (0,0,0, ... ,x1, ... ,xn)) soll als Zunahme der Disparität gewertet werden." Damit soll der Indexwert zunehmen, ein Kurvenzug sich entsprechend verändern. 9 Diese Forderung ist nicht unumstritten. Vgl. WAGENHALS, G. (1981), S. 105f. 10Das Verhalten bei einer Lineartransformation kann auch vor dem Hintergrund eines Vergleichs von Verteilungen mit unterschiedlichem Mittelwert interpretiert werden. Der Versuch unterschiedliche Niveaus zweier Verteilungen auszuklammern, um nicht auch Effizienzsondern nur Verteilungsaspekten Beachtung zu schenken, erfordert eine Normierung der Verteilungen auf ein "einheitliches Niveau". Diese kann bei intervallskalierbaren Merkmalen durch Multiplikation mit einem konstantem Faktor, durch Addition eines fixen Betrages oder durch Mischung dieser Aspekte ("intermediäres Konzept", vgl. BOSSERT, W. / PFINGSTEN, A. (1990)) erreicht werden. Bei verhältnisskaliertem Merkmal ist jedoch nur eine Transformation y = bx zulässig. Darüber hinaus wird gefordert: 6.SYMMETRIE: 10 "Das Ausmaß an Ungleichheit ist unabhängig davon, welcher Merkmalsträger einen bestimmten Merkmalsbetrag aufweist, d.h. es gibt kein zusätzliches Ordnungskriterium neben der Höhe der Merkmalsausprägungen." Dieses Kriterium ist bei der Größe nach geordneten Vektoren x stets erfüllt. 7. STETIGKEIT: "Kleine Änderungen der Verteilung sollen nicht zu sprunghaften Veränderungen des Indikators führen." ZENGAII formuliert Forderungen speziell bezogen auf Kurvenzüge. Er spricht hierbei von Punktkonzentrationsmaßen C(p ): Ähnlich dem Normierungsaxiom fordert er, daß geeignete Kurvenzüge Werte im Bereich zwischen O und 1 annehmen sollen, wobei im Fall einer extremen Gleichverteilung (extremen Ungleichverteilung) C(p) gegen Null (Eins) tendieren soll. Daneben darf aber der Kurvenzug kein spezielles Steigungs- und Krümmungsverhalten aufweisen. 12 Anstelle konkreter Situationenvergleiche zieht er für die Formulierung weiterer Forderungen das Verhältnis der Werte der inversen Verteilungsfunktion zweier Verteilungen heran: 1. Ist beim Vergleich von zwei Verteilungen das Verhältnis der beiden inversen Verteilungsfunktionen x(F) und y(F)13 konstant in jedem F, sollten die betrachteten Kurvenzüge C(p) als Dispari tätsindikatoren aufeinanderfallen. 2. Ist das Verhältnis ~f n zweier Verteilungen nichtfallend und für einige F streng steigend 14, dann sollte Cx(P) ~ Cy(P) gelten (mit echter Größerrelation für einige p ). Bei Verschiebung einer Verteilung nach rechts (y = a + x, a > 0) gilt bspw. ~f ~~ nichtfallend. 15 II Vgl. ZENGA, M. (1990), S. 108. 12 Vgl. ZENGA, M. (1990), S. 108; "must not have forced behaviour". 13 Vgl. Kap. 3.1. 14 Vgl. "Starshaped"- Definition, Kap. 3.1. 15 Vgl. Kap. 9.4.2. 11 Gerade in neueren Beiträgen wird das für die Disparitätsmessung entwickelte Instrumentarium direkt oder als Ausgangspunkt für die Entwicklung von verallgemeinernden bzw. alternativen Indikatoren verwendet. Diese finden wiederum Anwendung bei weiteren Fragestellungen, wie z.B. der Messung der Asymmetrie oder Wölbung einer Verteilung, der Korrelation von Merkmalen oder der Analyse von Lebensdauerverteilungen. Die Überprüfung, ob das (neue) Instrumentarium seiner (neuen) Zielsetzung gerecht wird, soll soweit hier möglich in den einzelnen Kapiteln vorgenommen werden. 13 3. Normierte inverse Verteilungsfunktion, Lorenzkurve und verallgemeinerte Lorenzkurve In diesem Kapitel soll das "Basisinstrument" Lorenzkurve kurz vorgestellt werden. Da die der Lorenzkurve vorgelagerte "Steigungskurve" -die normierte inverse Verteilungsfunktion -auch für die Disparitätsmessung eine eigenständige Bedeutung erlangt hat, erscheint ein gesondertes Kapitel auch für diesen Kurvenzug gerechtfertigt. Ebenso soll in diesem Abschnitt eine erste Abwandlung der Lorenzkurve vorgestellt werden, die in der Literatur Bedeutung erlangt hat, wenn auch nicht auf dem Gebiet der Disparitätsmessung. 3.1 Die normierte inverse Verteilungsfunktion Die normierte inverse Verteilungsfunktion x~) ergibt sich durch Invertierung der Verteilungsfunktion F(x) und Normierung mit dem Faktor i: Die inverse Verteilungsfunktion x(F) ist definiert als Umkehrfunktion von F(x): (3.1) x(F) = inf{xlF(x) ~ F} für O < F < 1.1 Für F = 1 ist x(l) = b. Für die Stelle F = 0 gibt es zwei in der Literatur verwandte Definitionen: x(O) = 0 oder x(O) = a; hier soll mit letzterer gearbeitet werden, wenn nichts anderes angegeben wird. Ist x ein diskretes Merkmal, stellt sich x(F) als eine linksseitig stetige Treppenfunktion dar. Ist x ein stetiges Merkmal mit einer streng monoton steigenden Verteilungsfunktion, dann ist x(F) ebenfalls eine streng monoton steigende Funktion. Die Fläche unter der inversen Verteilungsfunktion entspricht dem arithmetischen Mittel der Verteilungµ. Betrachtet man die normierte inverse Verteilungsfunktion x~), so kann diese folglich als Umkehrfunktion einer Verteilungsfunktion des Merkmals X = !_ mit F -(x) interµX X pretiert werden. 1 Vgl. GASTWIRTH, J. L. (1971), S. 1037 und PIESCH, W. (1975), S. 16. 14 Die inversen Verteilungsfunktionen zweier Verteilungen (Merkmal x mit F x(x) und Merkmal y mit Fy(x)) können in einer bestimmten Lage zueinander liegen: Ist x(F) > y(F) für alle F, gilt /J,x_ > /Jy· Diese Dominanz-Relation ist bekannt als First order Dominanz.2 Normierte inverse Verteilungsfunktionen weisen nie eine derartige Dominanzrelation auf, da die Fläche unter den Kurven auf Eins normiert ist, sich diese folglich mindestens einmal schneiden müssen. Eine sehr wichtige Dominanzrelation zweier Verteilungen anhand ihrer (normierten) inversen Verteilungsfunktionen, wird jedoch über die sogenannte "Starshaped" - Beziehung eingeführt3: Definition 3.1: "Eine Variable X ist starshaped in Bezug auf Y (X ~ Y), wenn if ~~ nichtfallend in O < F < 1 ist mit y'(x) ~ 0. 11 4 ZENGA definiert die Relation "if ~~ nichtfallend in O < F < 1" als Maßgröße für eine größere "relative global inequality" der Verteilung von Y gegenüber X, woraus sich seine Forderungen an ein Punktkonzentrationsmaß erklären. s Als erste äquivalente Darstellung dazu läßt sich herleiten: x'( F) -F r'J.Kl-K „ (3.2) 11x,F = x( P) ~ ~ = 11y,F fur O < F < 1. Diese äquivalente Definition legt nahe zu prüfen, ob denn die Elastizität 1/ F ein gex, eigneter Indikator für die Messung von Disparität sein könnte, beurteilt nach den in Kapitel 2 gestellten Anforderungen: Im Fall einer extremen Gleichverteilung ist x'(F) = 0 für O ~ F ~ 1 und damit entsprechend auch die Elastizität über den gesamten Bereich. Für andere Verteilungen sind die Wertenichtnegativ. Proportionale Änderungen und Populationsvervielfachung lassen 1/ F konstant, bei einer Verschiebung der Verteilung nach rechts, erniedrigt sich x, die Elastizität über den gesamten Bereich von F. Nullenergänzung führt im Bereich 2 Vgl Kap. 9.2.1. 3 Vgl. ALZAID, A. A. (1990), S. 213 und ARNOLD, B. C. (1987), S. 33. 4 Es gibt ein Vielzahl von Varianten der Starshaped-Dcfinition: Vgl. z. B. BARLOW, R. E. / PROSCHAN, F. (1981), KLEFSJCJ, B. (1984), MARSHALL, A. W. / OLKIN, 1. (1981), ARNOLD, B. C. (1987) und WILFLING, B. (1993). 5 Vgl. Kap. 2. 15 a < x < b zu einer Erhöhung von 1/ F· Das wichtige Transferaxiom ist jedoch nicht x, erfüllt, da sich die inversen Verteilungsfunktionen mehr als einmal berühren. Drückt man Y als Funktion von X aus - y = g(x) mit g(x) > 0 für alle x und g(x) nichtfallend in [0,w) -entspricht X~ Y der Aussage g(x)/x nichtfallend in (0,w).6 * Weitere Dominanzrelationen, die auf der Basis der inversen Verteilungsfunktion definiert wurden, gibt es im Zusammenhang mit Streuungsüberlegungen. 7 3.2 Die Lorenzkurve 3.2.1 Interpretationsmöglichkeiten der Lorenzkurve aus formaler Sicht Die von M. 0. LORENZ 19058 eingeführte Lorenzkurve ist eine vielfältig verwandte Darstellungsform einer Verteilung, die insbesondere für die Disparitätsmessung große Bedeutung besitzt:9 In einem Koordinatensystem werden an Abszisse und Ordinate das unvollständige nullte und erste Moment F(x) und L(x) eines nichtnegativen, extensiven Merkmals gegeneinander abgetragen. 10 In diesem Sinne ist die Lorenzkurve damit eine "Vergleichskurve", die den "Abstand" zwischen F(x) und L(x) auf diese Art und Weise darzustellen sucht. F(x) und L(x) fallen nur dann aufeinander, wenn eine extreme Gleichverteilung vorliegt. Ein Lorenzkurvenwert L(F) gibt den Anteil an, den die 100F% kleinsten Merkmalsträger zum arithmetischen Mittel µ (bzw. im diskreten Fall äquivalent zur Merkmalssumme) beitragen. Der Kurvenzug beginnt im Punkt (0,0) und endet im Punkt (1,1); er ist steigend und konvex. Werte der Lorenzkurve entsprechen Flächenstücken unter -1 6 Vgl. ARNOLD, B. C. (1987), S. 78. Es ist dann g(x) = Fy FX(x), wenn Fy und FX streng monoton steigend sind. Vgl. OJA, H. (1985). 7 Vgl. Kap. 9.5. 8 Vgl. LORENZ, M. 0. (1905). 9 Vgl. PIESCH, W. (1971, 1975). IO Vgl. PIESCH, W. (1971), S. 210 und BUTLER, R. J. / MCDONALD, J. B. (1989), S. llOf. 16 der normierten inversen Verteilungsfunktion: (3.3) F L(F)=J~q 0 bzw. L. (F.) = ~ xk(¾), 1 1 nµ xk ~ xk+ 1 · SCHAUBILD 1: Die Lorenzkurve L(F) 0 F Im diskreten Fall stellt die Lorenzkurve einen stückweise linearen Polygonzug dar. Bei einer stetigen Verteilung entspricht der Tangentenanstieg in F Werten der normierten inversen Verteilungsfunktion. Im Durchschnitt sind diese Anstiege 1, ihre Varianz 2 2 L(p M (F) entspricht V = ;. Der Sekantenanstieg aus (0,0) durch F entspricht = _u __ ' µ µ 1-L(F) Mo(F) . jener aus (1,1) durch F entsprechend 1-Y = -µ-• wobei Mu(F) [bzw. M0(F)] das arithmetische Mittel einer von oben [ bzw. unten] an der Stelle F abgeschnittenen Verteilung darstellt. Eine Herleitung der Lorenzkurve kann über das sogenannte Graduationsschema erfolgen: Eine Invertierung der Verteilungsfunktion führt zur inversen Verteilungsfunktion. 17 Die anschließende Normierung der inversen Verteilungsfunktion mit i und die Integration der Flächenstücke unter dieser Funktion führen zur Lorenzkurve. 11 Da die normierte inverse Verteilungsfunktion Eigenschaften einer Dichte aufweist, kann dementsprechend die Lorenzkurve aus formaltheoretischer Sicht als Verteilungsfunktion des Merkmals F interpretiert werden. Für einige überlegungsansätze ist diese Interpretation von Bedeutung. Daneben kann die Lorenzkurve auch als Gegenüberstellung kumulierter Anteile zweier Merkmale yi und xi verstanden werden, wie ein allgemeine diskrete Darstellung in Form von Quoten zeigt: 12 Definiert wird ein Merkmal in Form einer Beziehungszahl als Verhältnis zweier anderer M k 1 D" M k al ·· yi · l ( B DM Einkommen er ma e. 1e er m sauspragung qi = X;' 1 = ... m z .. Anzahl Personen , km2 Fläche 13 Anzahl Ärzte DM Steuer ) t •tt mit der relativen Anzahl Emwohner ' Anzahl Emwohner' DM Emkommen n Häufigkeit hi X· 1 rx:- auf. Mittelwert der Verteilung ist i m }; Y· m i=l I q = }; h.q. = -- . i=l I I }; x. i=l I Wie eine Übertragung des Graduationsschemas zeigt, stellt die Lorenzkurve dann eine k k E x. }; y. . 1 I . 1 I Gegenüberstellung der kumulierten Anteile 1 ; und~= dar, wobei im ersten }; x. }; y. i=l 1 i= 1 I Schritt nach der Größe der Merkmalsausprägungen qi kumuliert wurde. Da Zähler und Nenner theoretisch vertauscht werden können, ergibt sich folglich ein zweiter Weg zur Lorenzkurve. In herkömmlicher stetiger Schreibweise ist dann der Ausgangspunkt die erste Momentverteilung in Abhängigkeit von y = .!. : l(y) = l(x) ~; X uy II Vgl. PIESCH, W. (1975}, Ubcrsicht 27. 12 Vgl. PIESCH,W (1975}, S. 73f und S. lllf. Vgl. dazu auch Anwendungskapitel 8.3.6. 13 Vgl. COLE, J. E. (1981}, S. 440. 18 kumuliert wird jedoch im Gegensatz zum ersten Graduationsschema im ersten Kumulationsschritt von oben, im zweiten von unten. Im Ergebnis gelangt man dann zu einer Darstellung F x(Lx)- 3.2.2 Die Lorenzkurve als Disparitätsindikator Es soll nun geprüft werden, inwiefern die Lorenzkurve die in Kapitel 2 gestellten Forderungen an einen Disparitätsindikator erfüllt. Mit "x" wird die Ausgangssituation, mit"y" die neue Situation gekennzeichnet. Im Fall einer extremen Gleichverteilung gibt L(F) = F einen oberen Grenzverlauf der Lorenzkurve wieder; nach unten wird der Kurvenverlauf jeder Lorenzkurve durch den Kurvenzug der Lorenzkurve bei extremer Ungleichverteilung abgegrenzt. ZENGA14 definiert in diesem Zusammenhang für eine nichtnegative Variable X mit Dichte f(x,0) -0 ist Parameter -die Tendenz zu l. "Nulldisparität", wenn gilt für e ... e 1: lim 1;F) = F, die Tendenz zu (J.., e 1 2 "M . al D. . .. " ·1 r·· e o 1 · L JF) { o für o < F < 1 . axim er 1spantat , wenn gi t ur ... 2: U..O II' = 1 für F ~ 1 · 2 Ein (ordnungserhaltender) Transfer von einem großen an einen kleinen Merkmalsträger verändert L(x) und F(x) und führt zu einer Majorisation der neuen Verteilung von Y gegenüber der alten. D.h. für jedes F ist Ly(F) ~ Lx(F) und für einige F Ly(F) > Lx(F). 15 Bei proportionaler Änderung (Y = bX, b > 0) gilt : Ly(Y 0) = Lx(x 0) und F y(Y 0) = F x(x 0 ). Damit bleibt die Lorenzkurve konstant. Bei Addition von a > 0 (Y = a + X) Einheiten verschiebt sich F(x), d.h. F y(y 0) = F x(x 0). Die normierten inversen Verteilungsfunktionen schneiden sich genau einmal im Punkt (F µ,1), wobei für 14 Vgl. ZENGA, M (1990), S. 95. i i E y E X 15 Vgl. ARNOLD, B. C. (1987), S. 7; Majorisation von Y gegenüber X: k=l k > k=l k , i = 1,2, ... n nµ -nµ 25 4. Der Gini-Koeffizient und einige seiner Anwendungsbereiche Von GINI wurde 19141 die doppelte Konzentrationsfläche, d.h. die Fläche zwischen erster Winkelhalbierender und Lorenzkurve im Lorenzkurvenschaubild zur Messung der Disparität vorgeschlagen: 1 (4.1) R = 2 j[F -L(F)]dF. 0 Die Differenzfunktion ~(F) = F - L(F) ist nichtnegativ und nimmt ihr Maximum an der Stelle F = F µ an. Der Gini-Koeffizient R ist wohl das bekannteste Disparitätsmaß. Das auch deshalb, weil sich eine Vielzahl von alternativen Darstellungsformen -und damit Interpretationsmöglichkeiten -dieses Maßes ableiten lassen. So gibt bspw. BLACKBURN2 eine anschauliche Interpretation für die Veränderung des Wertes von R, wobei man sich die Veränderung einer Einkommensverteilung im Zeitablauf vorstellen könnte. Er zeigt, daß die Differenz zwischen neuem und altem Wert von R vor dem Hintergrund einer speziellen Umverteilungssituation gesehen werden kann: (4.2) Der Wert k gibt dabei die Höhe eines Transferbetrages an, den alle Individuen mit Merkmalswerten kleiner als der Median an alle Individuen mit Merkmalswerten oberhalb des Medians entrichten würden. R selbst kann damit als der Anteil an der Merkmalssumme interpretiert werden, der umverteilt werden müßte, um von einer Einpunktverteilung (R = 0) zu einer (fiktiven) symmetrischen Zweipunktverteilung mit Merkmalsausprägungen µ -k undµ+ k zu gelangen.3 Die gegebene Verteilung weist also das gleiche Disparitätsausmaß auf wie diese Zweipunktverteilung. 1 Vgl. GINI, C. (1912,1914,1939) und zur Datierung GIORGI, G. M. (1993), S. 83f. Vgl. auch die umfassenden Ausführungen bei PIESCH, W. (1975), S. 28ff. 2 Vgl. BLACKBURN, M. L. (1989). 3 Nur sinnvoll für R ~ 0,5. Dieselbe Interpretation erschließt sich, wenn man überlegt, daß im Fall einer symmetrischen Zweipunktverteilung die durchschnittliche absolute Abweichung von Z Oz mit Oµ übereinstimmt und R = S gilt; S läßt sich stets als Umverteilungaanteil interpretieren, vgl. Kap. 3.2.2. 26 Andererseits kann R auch über die Disparitätsmessung hinaus zur Messung anderer Sachverhalte herangezogen werden, wie folgendes Beispiel zeigt: Der Gini-Koeffizient kann in der Form der GUMBEL-Darstellung4 als durchschnittliches Betroffenheitsausmaß von Arbeitslosigkeit interpretiert werden, wenn man von folgendem Modellansatz ausgeht 5: 1. Betrachtet wird die zweidimensionale Verteilung f(x,t): Dauer der Arbeitslosigkeit x, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t begonnen hat. Dabei soll gelten f(xjt) = f(x), d.h. die Verteilung der Arbeitslosigkeitsdauer ist unabhängig vom Beginnzeitpunkt. Außerdem wird angenommen, daß zu jedem Zeitpunkt t die gleiche Zahl an Beschäftigten ihre Arbeit verliert. Zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 berechnet sich die Dichte der Arbeitslosen in Abhängigkeit von der Arbeitslosigkeitsdauer dann als II) (4.3) ft (x) = (l-F(x)) mitµ= f (1 -F(x))dx. 0 µ 0 2. Das Betroffenheitsausmaß eines Arbeitslosen mit Dauer x sei proportional zu dem Anteil der Arbeitslosen, die zum Zeitpunkt t arbeitslos wurden, aber bis zum Zeitpunkt t+x wieder Beschäftigung gefunden haben: F(x). Mißt man nun zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 die durchschnittliche Betroffenheit unter allen Arbeitslosen dieses Zeitpunktes, entspricht diese dem Gini-Koeffizienten: II) II) (4.4) jF(x) ft (x)dx = jF(xP-!(x))dx = R. 0 ° 0 Im folgenden werden in einem Übersichtskapitel verschiedene Darstellungsformen und Grenzen von R vorgestellt. Daran schließt sich eine eingehendere Analyse von R unter zwei Aspekten an: Wie verhält sich R zu Mittelwerten von Ordnungsstatistiken (Kap. 4.2.1)? Was ergibt sich aus dem Vergleich von R mit dem quadrierten Variationskoeffizienten 2 v2 und dem Disparitätsmaß ~ (Kap. 4.2.2) ? l+V 4 Vgl. Kap. 4.1. 5 Vgl. RIESE, M. (1993), S. 442. 27 In der Literatur findet R über die Disparitätsmessung hinaus Anwendung in zahlreichen Gebieten, so z.B. -als Baustein eines Konzentrationsmaßes (Kap. 4.3) -bei der Konstruktion eines Asymmetrie- und eines Wölbungsindexes (Kap. 4.4), -im Rahmen der Armutsmessung (Kap.4.5), -zur Messung von Preisunterschieden zwischen zwei Ländern (Kap. 4.6). Die bekannten Aggregationsformen von R (Kap. 4. 7) bei der Sektorenaggregation führen zudem zu einer Einbindung von R -in die Messung von Ungleichheit zwischen zwei Verteilungen (4.7.3) und -in die Dominanzmessung (Kap. 4.7.4). Der Gini-Koeffizient wird darüber hinaus im Rahmen dieser Arbeit noch in weiteren Anwendungszusammenhängen auftauchen, bspw. in den Kapiteln 6 und 8. In der Literatur finden sich zudem weitere Anwendungsmöglichkeiten des Gini-Koeffizienten, bspw. zum Testen der Homogenität von Varianzen6, als "scale-free goodness of fit" Test für die Exponentialverteilung7 oder als Kriterium in der Clusteranalyse8. Hinzuweisen ist an dieser Stelle auf die Monographie "11 Rapporto di Concentrazione di Gini" von G. M. GIORGI (1992), die in kurzer, übersichtlicher Form wesentliche Literatur zum Gini-Koeffizienten aufbereitet und in einem ausführlichen Literaturverzeichnis die Beiträge einzeln kommentiert.9 4.1 Verschiedene Darstellungsformen und daraus ableitbare Grenzen von R In einer einführenden übersieht werden zunächst bekannte Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten vorgestellt. Diskrete (in Einzelwerten) und analoge stetige Formen werden dabei einander gegenübergestellt.10 Dabei läßt sich der in den Formeln immer wiederkehrende Faktor 2 bzw. dessen Kehrwert½ bspw. interpretieren als 6 Vgl. GIRONE, G. (1974) und CICCHITELLI, G. (1979). 7 Vgl. GAIL, M. H. / GASTWIRTH, J. L. (1978). 8 Vgl. DE SIMON!, S. (1974). 9 Vgl. auch GIORGJ, G. M. (1990, 1993) und MOOTHATHU, T. S. K. (1991). 10 Vgl. PIESCH, W. (1975), für Darstellungsformen bei gruppierter und klassierter Verteilung. 28 1 b 1 b (4.5) ½ = jFdF = jF(x)f(x)dx = j (1-F)dF = j (I -F(x))f(x)dx 0 a O a 1 b 1 b = jLdL = jL(x)f(x)dx = j(l-L)dL = j(l -L(x))f(x)dx. 0 a O a Das arithmetische Mittel kann gedeutet werden als b b b (4.6) µ = f (1-F(x))dx = a + f (1-F(x))dx = b - jF(x)dx. 0 a a üBERSICHT 1: Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten Nr. 1 2a 2b 2c 2d 2e 2f diskrete Form (Einzelwerte) 1 n · i - E ( .!.. -E lk) n ; n k , l.< 1_ 1 n • 1- 1+1 E 1 n+l ; n 1 n n - E E 6. _ n2 i j rµ- .!. E E 2 . . n 1 J 1 nn 2n E Eil- - 1-I n i j 1 J lxi -xjl (xi + xj) 1 nj 2 EE(x. - x-),x-~ x. +1 nµji J 1 1 1 1 nj 2n EE(l. - 1-), 1-~ l. +1 nji J 1 1 1 stetige Form fb LEPV(x) -L(x) b f(x)dx a f1EPV(x)f(x)dx a b b ~ff lx - y I f(x)f(y)dxdy a a 1 1 ~ j j I x(F) - x( q) 1 dFdq 0 0 bx t ff (x -y)f(y)dyf(x)dx a a 1 F t ff (x(F) -x(q))dqdF 0 0 1 1 tf f lx(F) -x(q)I IF-qldqdF 0 0 1 1 tf j(x(F) -x(q))(F-q)dqdF 0 0 3a 3b 3c 3d 4 5a 5b 5c 5d 5e 5f 5g n2. !:1-n- n n En -2j +11 1 > 1 j n j' j - j+l n (~ i:.!.) E - 1., l.>l+l j n n J rJ 2n i i xk -E(- -E - ), xk~xk+l ni n k=l nµ n . i n2 1 22":(.!..- E lk)l.+El.-- i n k=l I i I n n 1 i n2 1 22":((l.--)- E lk)l.-El. +- i 1 n k=l 1 i 1 n 29 1 j[2F -l)x(~)dF 0 1 j[l -2(1-F)]xtF)dF 0 1 j[F - (1 -F)]xtF)dF 0 1 j [1-(1-F)-(1-F)]xtF)dF 0 1 f 11-2Ff lx(F)~x(0,5)fdF 0 1 b 2 j (F-L(F))dF=2 j (F(x)-L(x))f(x)dx 0 a 1 b 2 j (F(L)-L)dL=2 j (F(x)-L(x))l(x)dx O a b 2 f F(x)(l(x) -f(x))dx a b 2 f L(x)(l(x) -f(x))dx a cov(~,2F(x)) cov(~,-2(1-F(x))) cov(~, 2L(x)) 30 6a 2 n i µ-xk 2~ E --, xk S xk+l n 1 k=l µ 1 F 2f fo/dqdF 0 0 1 1 6b 2 n n xk-µ 2~ E_--,xk~xk+l n 1 k=1 µ 2f f~dqdF 0 F 1 2 n . x. -µ 6c E ¼{ 1 ) xi S xi+l n.n_µ_' 1 2 jF(x(F1-µ)dF 0 i 7a 2 n. E xk n f ½[1- k= ~-1 ],xkSxk+l i 2 n 1 . E xk 7b _i;n+ -1[ k=l -1] n i n (n+l-1)µ 1 M (F)-µ 1 f 2(1-F)( o µ )dF= f 2(1-Fli~V)dF 0 0 i 1 n . E xk 7c - E[¼{lk=..!.......-) n i n µ• 1 l µ-M (F) M (F)-µ j[F( ; ) + (1-F)( o µ )]dF 0 i 1 . E xk + n+ -1( k =1 -1)] n (n+l-1 )µ ~ Sa 1 n-1 . (xi+l-xi),xisxi+l 1 n µ b ji jF(x)(l-F(x))dx a n .2 Sb ni-1 ) f ~xi+Cxi ,xiSxi+l b ji j[l-F(x) 2-(1-F(x))]dx a Sc E n(n-i)-(i-1) 2( _ ) . 2 xi+l xi 1 n µ b ji j[l-F(x)-(1-F(x)) 2 ]dx a 31 l n i - lk b X 9a - E E -(xk+l -xk), f J~ldyf(x)dx nµi=2 k=ln a a xk~xk+l b b 1 n n k f f1 -F(y)dyf(x)dx 9b - E E ~(x -x) nµi=l k=i n k+l k µ a X xk~xk+l 1 nf 2 n-2i+1( ) 1/2 10 ji f (1-2F)[x(l-F)-x(F)]dF nµ. -n-- xn+l-i-xi ' 1=1 0 xi ~xi+ 1, n gerade Struktur 1 zeigt R als durchschnittlichen relativen Abstand der ersten Momentverteilung einer gegebenen Verteilung zur Einpunktverteilung (EPV). Es ist LEPV(x) = 0 für x <µund LEPV(x) = 1 für x ~µ,damit LEPV(F) = F. 11 Grundstruktur 2 weist R als relativierte mittlere Differenz, d.h. als speziellen Variationskoeffizienten aus. Die mittlere Differenz ß selbst läßt sich wiederum interpretieren als Durchschnittswert aller mittleren absoluten Abweichungen zu den einzelnen X( 1 n 1 n t.. = - E o mit o = - E [ x. -x. [. Damit kann 2R als Summe der mittleren ni=l xi xi nj=l J I absoluten Abweichungen zu den einzelnen relativen Merkmalssummen aufgefaßt n . 1 n werden:2R= E ~ nut~ =-E [1.-1.[. i=l i i nj=l J 1 Die von NYGARD/SANDSTRÖML2 entwickelte Form 2e zeigt, daß R auch als gewogene mittlere Differenz der relativen Merkmalssumme interpretiert werden kann. Form 2e führt zu Form 2f, wenn man die Beträge durch einfache Klammern ersetzt, da die Differenzen (!. - 1.) und (i -j) stets das gleiche Vorzeichen aufweisen. 1 J 11 Dieser Abstandsgedanke kommt auch in der Darstellung von R als Schrittzahlindex zur Geltung, vgl. MUNZNER, H. (1963) und PIESCH, W. (1975), S. 41f. 12 Vgl NYGARD, F. / SANDSTROM, A. (1988), S.28f. 32 Form 2f läßt sich auf eine allgemeine Darstellungsweise der Kovarianz von X und Y für Einzelwerte zurückführen: 1 n 1 n n (4.7) cov(x,y) = - E (x. - JtxHY· - 11y )= ::--2" E E (x. -x.)(y. - Y· ). n i=l 1 1 2n i=lj=l I J I J n n In Darstellung 3 wird R als R = E g.l. mit E I½ = 0 dargestellt. Die Aufspaltung von i=l 11 i=l gi in zwei Ausdrücke bei 3c bzw. 3d wird von BERREBI/SILBER13 im Rahmen der Messung von relativer Deprivation eingeführt und interpretiert. Die von GINI14 für t:.. vorgestellte Struktur 4 zeigt, daß R sich auch als gewogene mittn lere Abweichung vom Zentralwert (mit E g. = 0) darstellen läßt. i=l 1 Ausgangspunkt der Formen 5a und 5b ist die zweifache Konzentrationsfläche im Lorenzkurven-Diagramm. Drückt man dies in Abhängigkeit von x aus, ergibt sich R als mit f(x) oder mit l(x) gewogene zweifache Fläche zwischen nullter und erster Momentverteilung; d.h. zwei verschiedenen Gewichtungen führen zum Gini-Koeffizi- enten. Im diskreten Fall führt die Verwendung der Gewichte\ zu einem Ausdruck, der den Herfindahl-Index H = E 1~ als Bestandteil enthält. Umgekehrt läßt sich R aber auch in Form 5c und 5d als mit steigenden "Gewichten" 2F(x) bzw. 2L(x) gewogene Differenz l(x) -f(x) auffassen, wobei b b 2 2 [ 2F(x)dx = 2(b - µ) ~ l 2L(x)dx = 2(b -a ;µ ) ~ 0 gilt. Aus 5c und 5d lassen sich schnell die Kovarianzdarstellungen von R herleiten. Struktur 6 zeigt R als gewogenes arithmetisches Mittel der relativierten Abweichungen von µ. Im diskreten Fall ergibt sich für die Summe der Gewichte nur ungefähr . E 2i n + 1 ems:_ 2 =--n-· 1=1 n 13 Vgl. BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1985), S. 807. 14 Vgl. GINI, C. (1912) und BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1987a), S. 333f. 33 Interpretation 7 zeigt R in Verbindung mit unteren bzw. oberen Mittelwerten. In 7a ist R z. B. ein mit 2F gewogenes Mittel der relativierten Differenz von Mu(F) zu ihrem Maximumµ. Die Formen 8 geben die verschiedenen Darstellungsformen des GUMBEL-Ansatzes1 5 wieder, der im Zusammenhang mit Mittelwerten von Ordnungsstatistiken (vgl. Kap. 4.2.1) weiter zu interpretieren ist. Struktur 9 zeigt, daß sich eine Form erzeugen läßt, deren Ausgangspunkt eine Kumulation der Verteilungsfunktion selbst ist, wobei von unten oder von oben kumuliert werden kann. In 9a ist R dann z.B. ein mit µ relativiertes gewogenes arithmetisches Mittel X der so erzeugten Funktionswerte F(2 )(x} = f F(y}dy.16 a In Darstellung 10 wird R schließlich als gewogene Summe von "Spannweiten" ("quasi ranges") interpretiert. BERREBI/SILBER1 7 stellen eine Darstellungsform von R in Matrizenschreibweise vor, die insbesondere für AggregationsüberlegungenlB und die Herleitung von Schätzwerten bzw. Grenzwerten von R bei klassiertem Datenmateriall9 von Bedeutung ist: Ausgangspunkt sind die diskreten Schreibweisen von R für Einzelwerte 3c bzw. 3d. Führt man die Matrizen G, G* und die Vektoren e, li und lj ein, mit G= 0 -1 ... -1 1 0 . . o·. : ·. 0-1 1 ... 1 0 (nxn} bzw. G*= 0 1 1 -1 0 o ·. ·. 0 1 -1 ... -1 0 (nxn} 15 Vgl. GUMBEL, E. J. (1929), S. 284ff für/). und GAIL, M. H. / GASTWIRTH, J. L. (1978), S. 351 für die diskrete Form. 16 Vgl. Definition kumulierte Verteilungsfunktion in Kap. 9.2. Vgl. auch Kap. 6.2 und 6.3. 17 Vgl. BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1987c) und SILBER, J. (1989a, 1990). 18 Vgl. SILBER, J. (1989a). 19 Vgl. SILBER, J. (1990). und e= 1/n 1. = 1 1/n , läßt sieh R darstellen als ~1 1. .1 In (4.8) R = e•G1.20 = e'G*l .. J 1 34 ~1 (li~ 1 i+l) I. = 1 . O} lj+l) J . J bzw. In Entscheidend bei Matrix G bzw. G* ist die jeweilige Spaltensumme, die Reihenfolge der Matrixelemente -1, 0, 1 ist jedoch für diese Einzelwertdarstellung beliebig. 21 Im Fall einer Einpunktverteilung ist e = li = lj, damit ist aber wegen x'Gx = x'G*x = 0 auch R = 0. BHATTACHARJEE22 interpretiert23 R vor dem Hintergrund von zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Betrachtet werden zwei Zufallsvariablen X und Y, wobei X die Dichtefunktion f(x), Y die Dichtefunktion l(x) aufweist. Dann ist R, wie sich leicht zeigen läßt, nichts anderes als die Differenz zweier Wahrscheinlichkeiten P: (4.9) R=P(Y>X)-P(Y~X) CD CD CD X =ff !(y)dyf(x)dx - ff i(y)dyf(x)dx Ü X Ü Ü 1 1 = f (1 - Lx(F))dF -f Lx(F)dF. 0 0 20 Vgl. SILBER, J. (1989a), S. 108. 21 Es läßt sich ebenfalls eine Darstellung für gruppierte Werte entwickeln, die auf der Trapezform von R aufbaut. Für diese ist jedoch die Reihenfolge der Matrixelemente eindeutig vorgegeben. Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 43 zur Trapezform. 22 Vgl. BHATTACHARJEE, M. C. (1988), S. 200. 23 Eine weitere wichtige Interpretation von R als Erwartungswert eines Spiels stammt von PY ATT, G (1976), vgl. dazu auch Kap. 6.4. 41 µ1: 11 und µ 11 : 11 lassen sich für x ~ 0 als Flächen unter (1-F(x)t bzw. über F(xt interpretieren. Es ist b (4.21) µ1: 11 = 11 j x (1-F(x)t-l dF(x) = j (1-F(x)t dx = f (1-F(x)tdx 0 0 0 und ( 4.22) „ 1 b µ 11 : 11 = vJ xF(xtdF(x) = b - JF(xtdx 0 0 b „ = f (1-F(xt)dx = f (1-F(xt)dx 0 0 Da (1-F(x)t S (1-F(x)t-l für alle x ~ 0 bzw. F(xt S F(xt-l für alle x ~ 0 gilt, ist (4.23) µ1: 11 S µl:v-l bzw. µ 11 : 11 ~ µv-l:v-l für 11 = 2,3 .... Je größer 11, desto stärker werden bei Minimum-Mittelwerten kleine und bei Maximum-Mittelwerten große Werte gewichtet. In der Literatur findet man eine Reihe von Ober- und Untergrenzen für diese Mittelwerte. 40 Bspw. leiten sich aus der Cauchy-Schwarz'schen-Ungleichung die Beziehungen (4.24) bzw. ( 4.25) 11-l µ > µ- --""'"....,.a 42 l:11 - (2v-l)0,5 her. 40 Vgl. DAVID, H. A. (1981), S. 56ff. 41 Vgl. ARNOLD, B. C. (1988), S. 2137. 42 Vgl. DAVID, H. A. (1981), S. 59. 42 4.2.1.2. Interpretation des Gini-Koeffizienten vor dem Hintergrund von Mittelwerten von OrdnungBBtatistiken Für den Gini-Koeffizienten sind Minimum- und Maximum-Mittelwerte von Bedeutung, die auf einem paarweisen Vergleich von Merkmalswerten beruhen 43, wie das auch schon in der mittleren Differenz zum Ausdruck kommt. Es ist: 1 (4.26) 1 - µ1~2 = 1 - 2 j xiF) (1-F)dF = 1 - 2 +2[ !{!!:] = R, 0 1 (4.27) µ~: 2 - 1 = 2 f xiF) -F dF - 1 = 2 [ !{!!: ] -1 = R. 0 R läßt sich also als relativierte Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel einer Verteilung und dem Mittelwert aller Minima (bzw. aller Maxima) bei paarweisem Vergleich ausdrücken. Da wegen ( 4.17) µ1:2 + ~: 2 = 2µ ist, gilt zudem ( 4.28) ~:2 - µ1:2 2µ wobei die Differenz ~: 2 -µ1:2 der mittleren Differenz A entspricht. Man stellt fest, daß µ1:2 mit dem Mittelwert der unteren Mittelwertsfunktion 1 Mu(F) = ~ in Bezug auf F M2 = f Mu(F) ~-F-dF identisch ist. Analog ist 0 f FdF 0 ~: 2 interpretierbar als Mittelwert der oberen Mittelwertsfunktion M0(F) = µ qj) in Bezug auf (1-F). 44 43 Vgl. NYGARD, F. / SANDSTROM, A. (1988), S. 22. 44 Vgl. DE SIMON!, S. (1967), S. 21 und PIESCH, W. (1975), S. 49!. 43 Eine weitere Darstellung von R ergibt sich aus Relation ( 4.17): Es ist für v = 3, r = 1 : 2µ1: 3 + ~:3 = 3µ1: 2 und für v = 3, r = 2 : µ2:3 + 2µ 3:3 = 3~: 2· Folglich gilt ( 4.29) damit ( 4.30) R _ µ3:3 - µ1:3 45 - 3µ Die Formen ( 4.21) und ( 4.22) der Mittelwerte führen sofort zur GUMBEL-Darstellung des Gini-Koeffizienten: b lroJ lf 2 µ2-2-µ (4.31) R = µ F(x) (1-F(x) dx = µ (F(x) -F(x) )dx = · µ 0 0 b mit µ = f (1 -F(x))dx. 0 45 Vgl. LIENERT, G. A. {1981), S. 677 und HEILMANN, W.-R., (1980), S. 53f. Dieser Zuaammenhang läßt sich auch aus der diskreten Darstellung der Spannweite S S(x., x., x, ) = - 2 1 { 1 x.-x. l + 1 x.-x, 1 + 1 x, -x.1} herleiten: 1 J I< 1 J J I< I< 1 n3 µ3_ 3 - n3 µ1_ 3 = E E E (max (x., x., xk) -min (x., x., xk)) . . i j k ' J ' J =½EEE(lx.-x.l + lx.-xkl + lxk-x.l) i j k ' J J ' 1 3 =2 •3•n ß 44 Analog läßt sich R damit auch interpretieren als 1 "'J 2 µ -µ1·2 (4.32) R = µ, [(1-F(x)) -(1-F(x)) ]dx = µ · . 0 "' ( 4.33) R = -fµ f [1 -F(x)2 - (1 -F(x))2 ]dx = ~:2 2: µ1: 2 0 "' 1 f 3 3 µ3,3 - µ1:3 (4.34) R = 3µ [1 -F(x) - (1 -F(x)) ]dx = . 3µ 0 Eine weitere Form des Gini-Koeffizienten haben BERREBI/SILBER46 für den diskreten Fall entwickelt. Sie zeigen, daß sich die mittlere Differenz auch wie folgt darstellen läßt: ( 4.35) mit n (4.36) G "'2'" ln-2j+II µ2·2 = E 2 xJ. · j=l n / 4 n ( 4.37) K "'2'" l2i-n-11 µ " -~--XI. 1 ·2 = u 2 · i=l n /4 µ~:2 entspricht dabei dem Mittelwert der Maxima bei paarweisem Vergleich der 50 % größten Beobachtungswerte, µ~:2 entspricht dem Mittelwert der Minima bei paarweisem Vergleich der 50 % kleinsten Beobachtungswerte. übertragen auf den stetigen Fall ergibt sich: 46 Vgl. BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1987a), S. 334. ( 4.38) (4.39) 1 2 f F x(F)dF 0 45 1 2 f (2F-1) x(F)2dF 0,5 F-1 - - - 2' -dF 1 mit x(F) = x(F) für FE [0,5, l]und F = -r = 2F-1 , FE[0, 1],--:- = 2' 1 - - - - 2 f (1-F) x(F)dF 0 2' dF 0,5 4 f (1-2F) x(F)dF 0 : : : F : dF mit x(F) = x(F) für FE [0, 0,5] und F = T = 2F, F E[0, 1], iIF = 2, 2 und damit 1 (4.40) µ~: 2 - µt 2 = 4 [ {(2F-1) x(F)dF] = 2ß = 4µR. Ein weiterer Bezug zum Gini-Koeffizienten läßt sich auch über den G Minimum-Mittelwert der 50% großen Merkmalsträger µ1 :2 und den Maximum-Mittelwert der 50% kleinen Merkmalsträger µ~:2 herleiten. Es ist: 1 1 (4.41) µ?: 2 = 2 f (1-F) ;(F)dF 2 f (2-2F) x(F) 2dF und ( 4.42) 0 0,5 1 - - - - 2 J F x(F)dF 0 0,5 2 f 2F x(F)2dF . 0 Damit gilt für die Differenz: 1 1 ( 4.43) µ?: 2 - µ~: 2 = 4 f 2 x(F)dF - 4 f 2F x(F)dF 0,5 0 ( 4.44) 47 Herleitung im Anhang. 46 Da sich andererseits die durchschnittliche 1 6z = f I x(F) -x(0,5) 1 dF schreiben läßt als 0 (4.45) absolute Abweichung vom Zentralwert läßt sich R über diese Beziehung ausdrücken als ( 4.46) 6 Da µ,?:2 - µ,~: 2 ~ 0, folgt hieraus R ~ f- ~ !::,. < 26z, ein von BENEDETTI bereits hergeleitetes Ergebnis. 49 Wegen (4.47) G K µ, 2:2 = 0,25 µ, 2 :2 + 0,25 µ, 2 :2 + 0,5 M0(0,5) und G K µ,1: 2 = 0,25 µ, 1 :2 + 0,25 µ, 1 :2 + 0,5 Mu(0,5) ergibt sich schnell folgende am Lorenzkurven-Schaubild gut zu interpretierende Darstellung für den Gini-Koeffizienten: ( 4.48) Mo(0,5) G Mu(0,5) K 6z R = ---R + ---R + ,,.,..so µ, µ, ~µ, 6 Man sieht sofort, daß R ~~gelten muß, ein weiteres Ergebnis von BENEDETTl.51 M (0,5) Zudem gilt R ~ RG, da~= 2(1 -L(0,5)) ~ 1 ist. 48 Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 44ff zu Mittelwertsfunktionen und S. 59 Form (121). 49 Vgl. BENEDETTI, C. (1961) und PIESCH, W. (1975), S. 206. 6 50 Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 61ff: 2! ist die Lorenzkurvenaehne an der Stelle F z = 0,5. 51 Vgl. BENEDETTI, C. (1961). 47 Zwischen den Mittelwerten M0 (i), Mu(i), µY: 2, µt 2, µf 2 und µ~:2 besteht folgende Größenrelation: ( 4.49) In Maximum-Mittelwerten werden im Vergleich zum arithmetischen Mittel größere Werte überproportional gewichtet. In Minimum-Mittelwerte gehen kleinere Werte stärker gewichtet ein. Aus Beziehung ( 4.49) kann ebenso auf obige Ungleichung geschlossen werden wie z.B. auch auf folgende: (4.50) ( 4.51) Aus (4.24) folgt für 11 = 2 die bekannte Glasser'sche Ungleichung, für 11 = 3 die (schwächere) Beziehung R ~ 4 V 3.,rr Zum Abschluß dieses Kapitels werden die hier vorgestellten Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten in einer übersieht zusammengefaßt. 52 Es gilt allgemein: µ~:iF) ~ M0(F) ~ µ7,2(F) ~ µ~:iF) ~ Mu(F) ~ µ~,2(F). Der Index o (bzw u) bezeichnet dabei eine an der Stelle F von unten (bzw. oben) abgeschnittene Verteilung, vgl. dazu auch Kap. 7. 48 üBERSICHT 2: Darstellungsformen des Gini-Koeffizienten über Mittelwerte von Ordnungsstatistiken µ -µ1:2 ~:2 -µ µ2:2 -µ1:2 R= µ µ 2µ G K 8z G K R µ2:2 - µ1 :2 h:2 - µ2:2 = 4µ =-- 4µ µ R 2 4.2.2 Der Gini-Koeffizient im Vergleich mit v2 und V 2 1 + V Eine interessante Aufgabe stellt der Vergleich von R = }µ mit dem quadrierten Varia- 2 tionskoeffizienten v2 = ; und dem von BONFERRONI eingeführten Disparitätsmaß µ y2 y2 --~ 2 dar. Durch die Gegenüberstellung bestimmter Formen von R und --~ 1 + V 1 + v2 können dabei allgemeine Konstruktionsprinzipien von Disparitätsmaßen sichtbar gemacht werden. v2 erfüllt bis auf den Normierungsaspekt wie der Gini-Koeffizient die in Kapitel 2 genannten Eigenschaften.53 Im Fall einer extremen Ungleichverteilung nimmt v2 den 2 2 Wert n-1 an. Auf den Wertebereich [O,n-l ] normierte Maße stellen Y... und V 2 n n 1 + V y2 dar, wobei n als "Mischmaß"54 zwischen Konzentrations- und Disparitätsmaß nicht 53 Vgl. WAGENHALS, G. (1981), S. 115ff. 54 WAGENHALS, G. (1981), S. 118. 49 2 weiter betrachtet werden soll. Für V 2 bleiben alle in Kapitel 2 genannten Eigen- 1 + V schaften erhalten. 55 Zwischen v2 und R bestehen folgende Größenbeziehungen: 1. Die Gini-Herfindahl-Ungleichung führt zur allgemeingültigen Beziehung ( 4.10) nR ~ y2_5s 2. RIGQ57 leitet über Grenzen für Mittelwerte von Ordnungsstatistiken eine Untergrenze für R her: ( 4.52) R~ (1 - ~)-v2 b (E. - l)·V2 a+b µ a+ b µ a 2 2 , wennµ~ ~ zw. R ~ ""'h--~ 2 ~- 2, wennµ~ ~- (1 - µ) +v (µ - 1) +v 2 Ist a = 0 undµ~ ~. bzw. b = 2µ, dann reduziert sich die Ungleichung auf R ~ _V __ 2_ l+V 3. Aus 11 M nichtfallend in x > 0 11 folgt X - ( 4.53) R ~ y2_5s In einer übersieht sollen nun strukturgleiche bzw. -ähnliche Darstellungsformen von R, 2 v2 und _V __ 2 einander gegenübergestellt werden. 1 + V 55 Vgl. WAGENHALS, G. (1981), S. 119f. 56 Vgl. PIESCH, W. (1992), S. 24. 57 Vgl. RIGO, P. (1987), S. 537. 58 Vgl. PATIL, G. P. / RAO, C. R.. (1978), S. 184 sowie auch Fußnote 16 in Kap 8.1 50 2 iüBERSICHT 3: Darstellungsformen von Rund v2 bzw. _V_ 2 im Vergleich 1 + V 6. 2 y2 2 y2_u (l R=rµ- -2 l+V 2 = E(X2) µ 1 1 1 1 f (2F-1) x1F) dF f [ x(F1-µ] qfldF f [~] x(F)dF 0 0 0 E(X ) X X cov[! !] cov[! ~] 2 cov[µ,2F(x))=cov[µ,2L(x)) µ'µ µ 'E(X ) b b b 3 if (F(x)-F(x)2)dx if [F(x)- L(x)]dx ~ f [F(x)-L(x))dx a a E(X )a b b b 2 f (F(x)-L(x))f(x)dx i f (F(x)-L(x)] · ldx ~ f [F(x)-L(x))dx a a E(X )a b II) II) if [1- F(x))F(x)dx --½ j[l-F(x))[2x -µ)dx ~f [1-F(x))[2x-µ)dx a µ 0 E(X )0 4 ~:2-µ µ1 -µ µ1 -µ 59 µ µ µ1 b 59 µ1 ist arithmetiaches Mittel der ersten Momentverteilung: µ1 = f xl(x)dx. a 57 ( 4.62) G K ( µ 1 : 2 - µ 2 : 2) G K µ2:2-µ1:2 ( 4.63) Da der Ausdruck 0,5[gRG + (1-g)RK] nichts anderes ist als der interne Gini-Koeffizient Rint 79 einer Zwei-Klassen-Verteilung mit jeweils der Hälfte der Merkmalsträger in einer Klasse, läßt sich KG auch interpretieren als 2Rint (4.64) KG=-n--· Im Vergleich zu AR werden die mittleren Differenzen also addiert, d.h. KG ergibt sich im . 2 [ B+CJ Lorenzkurvenschaubild als KG= A+B+C • Im Fall einer Zweipunktverteilung mit O S t1 < Z und Z < t2 sind AG = AK = 0, damit gilt KG = 0. Die von BERREBI/SILBER angegebene Grenzverteilung mit den Merkmalsausprägungen {O, Z-t, Z+t, 2Z} und den relativen Häufigkeiten { n- 2 1 1 n- 2 } t · h r·· · . 11 Z . kt ·1 d" 2n , n , n , 2n en spnc t ur n --+ CD emer spez1e en we1pun verte1 ung, 1e zu KG= -½+n ~ 0 führt.so Wegen µ?: 2 > µ~:2 ergibt sich KG< 1. Die Verteilung { 0 , Z- f , z+ f ,2Z} mit den relativen Häufigkeiten { .!. , ~,~,.!.}ist für n „n „n n f--+ 0 und n --+ CD näherungsweise eine Einpunktverteilung mit der Merkmalsausprägung Z, die Differenz zwischen µf 2 und µ~:2 wird minimal. Für diese Verteilung ergibt sich für f--+Ü KG= 2 n ~l. 1 + ii=2 Eine extreme Ungleichverteilung führt ebenfalls zu einem Wert für KG nahe Eins. Da AG = 4µn~2, AK = 0 und A = 2µn~l, ergibt sich für KG= !=i ~ 1. 79 Vgl. Kap. 4.7. Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 212, für zwei sich überschneidende gleichgroße Sektoren. 80 Vgl. BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1989), S. 234. 58 KG ist gegenüber Lineartransformationen mit Y = a+bX, a~O, b>O invariant.81 Es gilt b·ßK + b · t.G t.K +t.G . X X X X dann ßy = b t-x, damit Ky = 2 b zs 22S = Kx . . X X 4.5 Der Gini-Koeffizient als Baustein von Armuts- und überflußmaßen Seit Mitte der siebziger Jahre hat sich eine Vielzahl von Autorens2 mit der Armutsmessung beschäftigt. Dabei wurde insbesondere der Konstruktion von komplexen Armutsmaßen viel Aufmerksamkeit gewidmet. Bei einigen Ansätzen kann eine Darstellungsform gewählt werden, die den Gini-Koeffizienten als Baustein zeigt. Ausgangspunkt der Konstruktion dieser Armutsmaße ist die Vorgabe einer Armutslinie z, die die Bevölkerung gemäß ihrer Einkommen83 in q Arme und n-q Nicht-Arme teilt. Als sinnvolle Indikatoren für das Ausmaß an Armut lassen sich Maßgrößen für die Anzahl und für die Intensität (bezogen auf den Einzelnen oder die Gesamtheit der Betroffenen) entwickeln. Einen ersten Ansatz zur Messung der Armutsintensität liefern die Einkommenslücken gi = z - xi, die bei komplexen Maßen noch eine zusätzliche Bewertung erfahren. Folgende Indizes lassen sich mit dem Gini-Koeffizienten in Zusammenhang bringen, mit * { ~füry.<z -gi = 0 für y: ~ z ,Einkommenslücken der sogenannten zensierten Verteilung xcl (x 1,x2, ... ,xq,z,z ... z), -µ = ! t y., Durchschnittseinkommen der Armen, p qi=l 1 * -µ = *µp + ~z, Durchschnittseinkommen der zensierten Verteilung und µ-µP - r (X,11) =~.erweiterter Gini-Koeffizient bezogen auf die Einkommen der Armen. 8 p µ 81 Weitere Eigenschaften in BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1987a), S. 234. 82 So z.B. SEN, A. K. {1976), ANAND, S. (1977), THON, D. (1979), KAKWANI, N. C. (1980b), SEN, P. K. {1986). Vgl. dazu auch die Monographie von SCHEURLE, U. (1991). 83 Allgemeiner formuliert: ihres "Potentials an Bedtirfniabefriedigung"oder ihres "Potentials an Mittel zur Bedürfnisbefriedigung", SCHEURLE, U. (1991), S. 39. 84 Vgl. Kap. 7. 59 üBERSICHT 4: Darstellung von Armutsmaßen in Abhängigkeit von R Definition Darstellung in Abh. von R Quelle PS=2t (q+l-i~g- i=l nz(q+) 1 µ PS= 4[1-~1-ciTIR )] n z q p SEN(1976) PS*=2t (q+0, 5-i)g. * µ PS =*[1-~1-Rp)l korrigiertes i=l nzq 1 SEN-Maß TH= 2~ (n+l-i~ g~ * lj:..-( * n THON(1979) i=l n(n+I z 1 TH= 1- z 1-R n+I) A- f (q+l-i) - i=l nµ(q+l)gi µ A = ~1-f-{1- qiIRp)] ANAND(1977) K(a) = t q(q+l-itg. µ K( a)= *[1- !{1-r p(X,v)qi rl KAKWANI i=l nz !: i 11 1 (1980b) Diese Darstellungsformen zeigen, daß c.p. das Intensitätsausmaß der Armut als umso größer gewertet wird, je größer die Ungleichverteilung innerhalb der Armenbevölkerung ist. Vor einem wohlfahrtstheoretischen Hintergrund läßt sich dieser Zusammenhang über ein in die Armutsmaße und den Gini-Koeffizienten eingehendes einheitliches Gewichtungs- bzw. Bewertungsschema erklären, das als Gini•ocial-welfare-function bezeichnet wird.85 In der Regel werden dabei Einkommenseinheiten, Einkommenslücken, Nutzen in Abhängigkeit von Einkommen oder Einkommensäquivalente von Wohlfahrts- oder Nutzengrößen als Meßeinheit herangezogen. Wählt man zur Ermittlung des GleichheitsäquivalentesB6 die Gini•ocial-welfare-function n n n ( 4.65) GSW =. !: (2n + 1- 2i)xi =. !: . !: min(xi,xJ.), I=l I=lJ=l erhält man als Gleichheitsäquivalent µ1:2. In abgewandelter Form findet sich dieses Äqui- 85 Vgl. BLACKORBY, C. / DONALDSON, D. (1978), S. 69 und SCHEURLE, U. (1991), S. 135. 86 Vgl. Kap. 4.2.1.1. 60 * valent in allen vorgestellten Maßen wieder. In PS z.B. geht dieses Äquivalent bezogen auf * die q Armen (µl :2) ein. Dann ergibt sich PS als * z-µP (4.66) PS = g_[_l: 2 ]. n z * Damit läßt sich PS als eine spezielle Form eines Armutsintensitätsmaßes identifizieren, nämlich als "bezüglich aller Einheiten normierte Gesamtwohlfahrtsäquivalenzeinkommenslücke" 8 7. Ähnliche Deutungen ergeben sich für die übrigen angeführten Maße. Ausführliche Erläuterungen zu dieser grundlegenden Interpretation von Armutsmaßen, über die letztlich eine Einbindung von Disparitätsmaßen in die Armutsmessung erklärt werden kann, finden sich bei SCHEURLE. 88 Spiegelbildlich zur Armutsmessung können sogenannte Überfluß-Maße ("affluence measures") entwickelt werden, die das Ausmaß an Überfluß des reichsten Teils der Bevölkerung zu messen suchen. Die Bevölkerung wird dementsprechend in einen reichen und einen nicht-reichen Teil getrennt und die "Intensität des Reichtums" gemessen. Das führt zu Maßen, die sich als auf diesen Sachverhalt analog übertragene Armutsmaße darstellen. 89 4.6 Der Gini-Koeffizient bei der Messung von Preisvektoren-Distanzen Ein weiterer Vorschlag zur Anwendung des Gini-Koeffizienten kommt von SILBER90. Er setzt die Maßzahl zur Messung der Distanz zwischen den relativen Preisvektoren zweier Länder A und B ein. Den relativen Preisindex der Güter i und j (i,j = 1...n) in Land A definiert er als A lpf - p~ 1 (4.67) yiJ·=·n J.91, - A I: wk pk k=l mit wk als durchschnittlichem Ausgabenanteil des Gutes k in den zwei Ländern A und B und Pt als Preis des Gutes k in Land A. D.h. der relative Preisindex zwischen den Gütern i 87 SCHEURLE, U. (1991), S. 134. 88 Vgl. SCHEURLE, U. (1991), S. 138ff. 89 Vgl. SEN, P. K. (1988), S. 65ff. 90 Vgl. SILBER, J. (1989b). 91 Vgl. SILBER, J. (1989b), S. 232. 61 und j mißt den mit dem Durchschnittspreis des fiktiven Warenkorbs der Länder FA = E wkPt relativierten Abstand zwischen dem Preis von Gut i und dem Preis von k=l Gut j. Damit ist yf j eine dimensionslose Größe. Entsprechendes gilt für Land B. Zur Messung der "relativen Preisdistanz" zweier Länder A und B schlägt SILBER nun folgende abstrakte Maßzahl vor: ( 4.68) ( A B) ~ ., - - J A B J dG P ,P =,, ,, w.w. y .. -y .. , i=lj>i I J IJ IJ n d.h. eine gewichtete Distanz der relativierten Preisdistanzen mit E E w.w. -J: 1. Die i=lj>i I J n n __ n _ 2 n _ 2 Summe der Gewichte ergibt E E w.w. = 0,5 -0,5 E w. , wobei E w. als Herfindahl- i=lj>i I J i=l I i=l I Index der durchschnittlichen Ausgabenanteile interpretiert werden kann. 0 bige Maßzahl läßt sieh wegen J x - y J = x + y - 2min( x,y) zerlegen in (4.69) A B A B n --- . A B dG(P ,P ) = R + R - 2 E E w.w.mm(y .. ,y .. ).92 i=lj>i I J I J I J RA und RB als die jeweiligen Länder-Gini-Koeffizienten messen die Disparität der relativen Preise der verschiedenen Güter, gewogen mit den durchschnittlichen Ausgabenanteilen. Struktureffekte werden also herausgerechnet, da für beide Länder eine einheitliche Ausgabenstruktur unterstellt wird. Den gemischten Ausdruck interpretiert SILBER als eine Art "Kovarianz" zwischen den Preisen in den Ländern A und B, vom mathematischen Aufbau ist diese Bezeichnung jedoch nicht nachvollziehbar. Eine andere Zerlegung für dc(PA,PB) ergibt sich dementsprechend aus Jx+yJ =2max(x,y)-x-y: (4.70) A B n -- A B A B dG(P ,P )=2 E E w.w.max(y .. ,y .. )-R -R . i=lj>i I J I J I J 92 Vgl. SILBER, J. (1989b), S. 233. 62 Das symmetrisch aufgebaute Maß dG(PA,PB) ist Null, wenn yf j = y~j für alle i,j, d.h. wenn der relativierte Abstand der Preise aller Paare von Gütern in beiden Ländern gleich ist. Wären in einem Land alle Preise identisch, reduzierte sich das Preisvektoren- Distanzmaß auf den Gini-Koeffizienten der Preise des anderen Landes. 4. 7 Die Sektorenaggregations-Darstellung des Gini-Koeffizienten und spezielle Anwendungsmöglichkeiten Ausgangspunkt der Betrachtung sind n Merkmalsträger eines bestimmten Merkmals, die n. in k Teilgruppen (Sektoren) mit ni Merkmalsträgern (!; ni = n, f = hi) aufgeteilt sind. Die Verteilung eines Sektors ist im Teilintervall [ ai, bi] definiert, die zugehörige Verteilungsfunktion durch F/x) und der Mittelwert durch µi gegeben. Es gilt allgemein k ~ ( 4. 71) F(x) = !; h. F-(x) in den Grenzen [a,b] mit h- = _!., i=l 1 1 1 n a = min a., b = max b .. . 1 . 1 1 1 Wesentliche Zerlegungsformen des Gini-Koeffizienten sind in der Literatur von BHATTACHARYA/MAHALANOBIS (1967), RAO (1969), MEHRAN (1975), PIESCH (1975) entwickelt worden:93 Zerlegung A 94: b hih. 2 (4.72) R=!;l.R-+ I; _u f [F-(x)-F-(x)] dx>R- - , i 1 1 i<j µ a 1 J - 1,mm 93 Vgl. die übersichtliche Zusammenfassung bei NYGARD, F. / SANDSTROM, A. (1981), S. 326. 94 Vgl. PIESCH, W. (1967), S. 271 und (1975), S. 208. 63 Zerlegung ß9S: h.h. b (4.73) R=Eh.l.R.+ E _!._lf F.(x)[l-F.(x)]dx, . 1 1 1 "f.. µ 1 J 1 1 J a Zerlegung C96: (4.74) R=Eh.R.+ E [h.l.(R~--R.)+h.l.(R~--R-)]. i 1 1 i <j 1 J IJ 1 J 1 Jl J Im Spezialfall sich nichtüberschneidender Sektoren, bspw. bei einer klassierten Verteilung, ergibt sich für den Gini-Koeffizienten nach Zerlegung Beine Aufteilung in einen externen und einen internen Bestandteil: h.h. (4.75) R=Eh.l.R.+ E ru1µ.-µ.1 97 1 1 1 if. j µ 1 J (4.76) = Rint + Der externe Gini-Koeffizient mißt dabei die Disparität zwischen den einzelnen Klassen; jede Klasse wird durch den Wert µi repräsentiert. Zwei neuere Zerlegungsansätze sollen hier kurz vorgestellt werden: YITZHAKI/LERMAN98 führen eine Variante zu Zerlegung A ein, die R neben der gewogenen Summe der sektorenspezifischen Gini-Indizes und einem Ausdruck für die Zwischen-Sektoren-Ungleichheit in eine gewogene Summe von "Stratification"-Indizes teilt. Mit dem Stratification-Index soll das Ausmaß des Überlappens eines Sektors mit den anderen Sektoren "wi th respect to any hierarchical measure" 99 gemessen werden, und zwar durch einen Vergleich der Rangfolge innerhalb eines Sektors mit der über alle Beobachtungwerte. Die Rangordnung erfolgt dabei nach der Größe der Beobachtungswerte. Als Stratification-Index für den Sektor i definieren sie ein Kovarianzverhältnis: ( 4.77) Cov. [(F.-F .),x.] Q _ 1 1 Ill 1 !00 i - Cov. (F . x.) · 1 1 , 1 95 Vgl. BORTKIEWICZ, L. von (1931), S. 87, BHATTACHARYA, N. / MAHALANOBIS, B. (1967), S.150 für b., PIESCH, W. (1975), S. 211f sowie MEHRAN, F. (1975), S. 147. 96 Vgl. RAO,V. M. (1969), S. 419f und NYGARD, F. / SANDSTRtJM, A. (1981), S. 321f. Die Bezeichnungen finden sich in Kap. 4.7.3. 97 Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 213. 98 Vgl. YITZHAKI, S. / LERMAN, R. I. (1991). 99 YITZHAKI, S. / LERMAN, R. I. (1991), S. 316. 100 Vgl. YITZHAKI, S. / LERMAN, R. I. (1991), S. 317. 64 Rang(x .. ) Dabei ist F . = IJ mit Rang(x .. ) der relativierte Rang, den Beobachtungswert x .. Ill n-ni IJ IJ von Sektor i erhalten würde, wenn er in einer Bevölkerung ohne die übrigen Mitglieder der Gruppe i geordnet würde. Fi ist dagegen der relative Rang in Gruppe i. Qi nimmt Werte zwischen - 1 und 1 an: Der Wert 1 wird erreicht, wenn ein Sektor einen bestimmten Bereich in der übergreifenden Rangordnungsskala aller besetzt. Qi ist - 1, wenn sich Gruppe i aus zwei Untergruppen zusammensetzt, deren Mitglieder jeweils identisch sind und die in der Rangordnung der Gesamtverteilung an den beiden extremen Enden Platz nehmen. 101 Der Wert Null wird dan angenommen, wenn Fi -F ni und xi nicht korreliert sind, d.h. wenn z.B. Fi = F ni gilt. Die Zerlegung der Gini-Koeffizienten führt dann zu ( 4.78) _ n i Rang(x .. ) wobei F. = }; IJ als durchschnittlicher Rang in Gruppe i definiert ist und dabei 1 j=l n. jedes Gruppenmitglied mit seiner Rangziffer aus der Gesamtheit in den Durchschnitt eingeht. Der erste Summand ist ein Durchschnitt der Ungleichverteilung in den einzelnen Gruppen, der zweite spiegelt die Disparität zwischen den Sektoren wider. Der dritte Summand, dessen Vorzeichen abhängig ist von den Qi, reflektiert dann nach YITZHAKI/- LERMAN den Umfang des Überlappens der Sektoren. 1 03 Ein weitere interessanter Ansatz stammt von LAMBERT/ARONSON1 04, dessen Ausgangspunkt Zerlegung B ist. Der nichtnegative zweite Summand aus ( 4. 73) wird in zwei weitere nichtnegative Teile zerlegt, wovon der eine eine Maßgröße für die Disparität 101 Vgl. YITZHAKI, S. / LERMAN, R. 1. (1991), S. 318. 102 Vgl. YITZHAKI, S. / LERMAN, R. 1. (1991), S. 322. 103 Vgl. YITZHAKI, S. / LERMAN, R. 1. (1991), S. 322. 104 Vgl. LAMBERT, P. J. / ARONSON, J. R. (1993). 65 zwischen den Sektoren ist und der andere das Ausmaß des Überlappens der Sektoren widerspiegeln soll. h.h. (4.79) R = :El.h.R. + :E Tu 1 µ. - µ. 1 + Z1 i I I I ijj µ I J h.h. b mit z1 = :E .....!........1 2 1 (f 2F.(x)(l- F .(x)]dx-\ µ. -µ. \]. , J., µ I J I J I.,.J a z1 ist genau dann Null, wenn sich die Sektoren nicht überlappen1 os. In dem Fall reduziert sich ( 4. 79) auf ( 4. 75). Eine anschauliche Darstellungsform für diese Zerlegung findet sich im Lorenzkurven-Schaubild,in dem zusätzlich zur Lorenzkurve der gesamten Verteilung L(F) die Lorenzkurve einer Verteilung der Sektorenmittelwerte LB(F) abgebildet wird. Daneben wird ein dritter Kurvenzug C(F) eingeführt, der kumulierte relative Merkmalssummen abträgt nach Ordnung der Sektoren entsprechend ihrem Mittelwert und Ordnung innerhalb der Sektoren gemäß den individuellen Merkmalswerten.100 Es gilt LB(F) ~ C(F) ~ L(F). Die einzelnen Summanden in ( 4. 79) sind dann proportional zu bestimmten Flächenstücken in dem Schaubild dieser drei Kurvenzüge: 10 7 1 (4.80) ~lihA = 2 f [LB(F)- C(F)]dF, I Q h.h. 1 (4.81) -~--½; \ µi - µj 1 = 2 f (F -LB(F)]dF, lt-J Q ( 4.82) 1 Z1 = 2 f [ C(F)- L(F)]dF. 0 105 Vgl. LAMBERT, P. J. / ARONSON, J. R. (1993), S. 1221. 106 Vgl. LAMBERT, P. J. / ARONSON, J. R. (1993), S. 1222{ 107 Vgl. LAMBERT, P. J. / ARONSON, J. R. (1993), S. 1223. 66 4. 7 .1 Prüfung von Eigenschaften des Disparitätsmaßes R über Zerlegung B läßt sich darüber hinaus auch das Verhalten des Gini-Koeffizienten bei Nullenergänzung und bei der Proportionalitätsprobe prüfen: Die Nullenergänzung kann als Aggregation zweier Sektoren interpretiert werden, Sektor A mit n Merkmalsträgern und Verteilung FA (x) in Bereich [a,b] mit Mittelwert µA, Sektor 2 mit (c-1) n > 0 Merkmalsträgern, die alle den Wert x = 0 aufweisen, RB sei in diesem Fall als Null definiert. . 1 c-1 µA Es 1st dann h A = c, 1 A = 1 , hB = -c-, lB = 0 undµ= c' also 1 c-1 b 1 c-1 b ( 4.83) R = ½ · 1 RA+ 0 + cµ~/c c f F A(l-l)dx + cµ)c f (1-F A(x))dx. a a Für die Proportionalitätsprobe, verstanden als Aggregation von k identischen Verteilungen Fi(x) und damit µi = µ, gilt folglich: b F.(1-F.) (4.84) R = R I: h.h. + I: I: h.h. f -1 -- 1 dx 1-11 ".J.•lJ µ. 1 1-rJ a 1 = a.[I:h.h. + I: I:h. h.] = R. 1 j 1 1 i#j 1 J 1 4.7.2 Die R.eltursionsform von R Auf der Basis von Zerlegung B läßt sich auch eine Rekursionsform für den Gini- Koeffizienten entwickeln. Das Hinzukommen eines Merkmalsträgers kann als Aggregation von zwei Sektoren verstanden werden, wobei die Verteilung von Sektor A mit n 73 5. Ein alternativer Ansatz zur Lorenzkurve und zum Gini-Koeffizienten: Der Vorschlag von ZENGA zur Disparitätsmessung Neben der Lorenzkurve als zentralem Instrument zur Darstellung der Ungleichverteilung einer Variablen ist in den letzten Jahren ein alternativer Vorschlag diskutiert worden: die von ZENGA1 vorgeschlagene "concentration curve Z(p) 11 2, deren Funktionswerte als Punktkonzentrationsmaße (lokale Konzentration)J interpretiert werden können.4 ZENGA baut seine Überlegungen auf der inversen Verteilungsfunktion x(p) auf; daneben betrachtet er die Umkehrfunktion der ersten Momentverteilung ("inverse erste Momentverteilung"): (5.1) x*cL) = L- 1(x) = inf {x: L(x) ~ L} für 0 < L < 1. Deren erste Ableitung ist (5.2) * dx t L) d * µ * * x (L) f(x (L)) ~ 0. Die Fläche unter x (L) entspricht dem Mittelwert der ersten Momentverteilung. Sie läßt sich daher mit Varianz und Mittelwert von X in Verbindung bringen: 1 b (5.3) µ1 = f x*cL)dL = f xl(x)dx O a Es gilt wegen F(x) ~ L(x) für p * x(l) = X (1). 1 Vgl. ZENGA, M. (1984a). 2 ZENGA, M. (1990), S. 99. 3 Vgl. Kap. 2. 4 Vgl. ZENGA, M. (1990), S. 94f. F b 2 2 + µ2 f x !(x)dx = _er_µ--= µ(l+V2) a * * L x(p) ~ x (p) mit x(0) x (0) und 74 Eine Lorenzkurve der ersten Momentverteilung läßt sich analog L(F) ableiten: (5.4) p f x*(u)du. 0 Sie gibt den Anteil an der Gesamtvariabilität µ(1+ v2) an in Abhängigkeit vom Anteil p an der Merkmalssumme der kleinsten Merkmalsträger. Die gewöhnliche Lorenzkurve mißt die Ungleichverteilung der Ausgangsverteilung fx(x), diese die Ungleichverteilung von lx(x). Drückt man 12 in Abhängigkeit von der nullten Momentverteilung F aus, ergibt sich das Mitglied L2(F) der Klasse von Lorenzkurven höherer Momente5 Lk(F). Für p = F(x) = L(x) werden nun die Werte der inversen Verteilungsfunktion und der inversen ersten Momentverteilung zueinander ins Verhältnis gesetzt. Im Vergleich zur Lorenzkurve werden also nicht bei gleichem x die Werte der nullten und der ersten Momentverteilung einandergegenüber gestellt, sondern für gleiches p die entsprechenden Quantile abgelesen, diese aber nicht selbst, sondern das Verhältnis dieser Quantile gegenüber p abgetragen. Das von ZENGA vorgeschlagene Diagramm hat also die Koordinaten p und Z(p) = 1 - ~ _6 X (p) Z(p) weist folgende Eigenschaften auf: 1. Die Funktion Z(p) hat im Gegensatz zur Lorenzkurve kein eindeutiges Steigungs- und Krümmungsverhalten, was von ZENGA als Vorteil herausgestellt wird: 7 (5.5) * 2 * dZ(p) = µ x(~) f(x(p))*- x (p) f(x (p)) ~ 0_ 8 ap (x (p))3 f(x (p)) f(x(p)) 5 Vgl. Kap. 8.3.1. 6 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 303 und auch NYGARD, F. / SANDSTROM, A. (1981), S. 141ff. 7 Vgl. ZENGA, M. (1990), S. 108. 8 Vgl. DANCELLI, L. (1990), S. 112. 75 Z(p) ist steigend, wenn (5.6) * 2 * µ x(p) f( x(p)) > x (p) f( x (p)) * ~ ~f(x(p)) < ~ ~' X (p) * d.h. wenn die Punktelastizität der Funktion x(p) kleiner ist als die der Funktion x (p). * * 2. Z(p) ist normiert auf das Intervall [O,l], da x (p) ~ x(p), x (p) ~ 0 und x(p) ~ 0 ist. 3. Strebt die Verteilung von X gegen die Einpunktverteilung, dann geht das Verhältnis ~ gegen eins, damit Z(p) gegen null. X (p) Bei einer Ungleichverteilung ist ~ gleich null für p < 1 und~ gleich eins für x(p) x(p) p = 1.9 4. Bei konstantem Verhältnis der Funktionswerte der inversen Verteilungsfunktionen zweier Variabler, d. h. bei ;'.f~~ = b ~ y(F) = bx(F) für alle F, gilt Zx(P) = Zy(P) für alle p.10 5. Bei nichtfallendem Verhältnis ;'.f ~~ für O < F < 1 folgt für stetige Variable Zx(P) ~ Zy(P) für O < p < 1.11 Diese Eigenschaften entsprechen den von ZENGA aufgestellten Forderungen 1 bis 5 an ein Punktkonzentrationsmaß. 12 9 Vgl. ZENGA, M. (1990), S. 99. 10 Vgl. ZENGA, M. (1984b), S. 637f. 11 Vgl. Herleitung in ZENGA, M. (1990), S. 106. 12 Vgl. Kapitel 2 und 9.4.2 sowie ZENGA, M. (1990), S. 108. 76 Als summarisches Maß, welches die Disparität der gesamten Verteilung in einer Kennziffer abzubilden sucht, schlägt ZENGA (5.7) vor, d.h. die Fläche unter Z(p). 1 f (x*(p) - x(p ))dp Im Vergleich zu V2 = ,,__ ______ wird also bei e über den gesamten Ausj x*(p)dp 0 druck x*(p' -x(p) integriert. X (p) e läßt sich für p = F(x) umschreiben in w w (5.8) e = 1 - f -I x f(x)dx 1 3= f [ 1- -IX ] f(x)dx, O L (F(x)) O L (F(x)) d.h. e kann als gewogenes arithmetisches Mittel E(g(x)) mit (5.9) g(x) = [ 1 - _ 1 x ] interpretiert werden. L F(x) Drückt man ein Abhängigkeit von p = L(x) aus, ergibt sich (5.10) w 1 e = 1 - j F- ~(x) l(x)dx wf X - y-1 L(x) x - - l(x)dx 14 0 0 (5.11) w 1 Ex [F-l L(x) ] t = 1 - j F- ~(x) f( )d 1 ~ X X= -µ 0 13 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 305. 14 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 306. 77 (5.12) e = j [ µ - F:l L(x) ] f(x)dx = Ex(h(x)] 0 mit h(x) = µ - F:l L(x) , -1 ( d.h. jedes x geht mit der relativierten Merkmalbetragslücke µ -F µ L x) in den Mittelwert ein, wobei für x > x + mit L(x +) = F(µ) diese Lücke negativ wird. Der Index e weist folgende Eigenschaften auf: 1. Das Maß ist auf das Intervall (0,1] normiert. * Im Fall einer Einpunktverteilung ist e = o, da x(p) = X (p); bei extremer 1 Ungleichverteilung geht der Ausdruck f $1-dp--, 0, damit e gegen 1. Q X (p) 2. e erfüllt die Transferprobe, wenn Schurkonvexität 1s vorliegt, d.h. wenn (x. -x.) [ i-i] > 0 für alle x.,x. erfüllt ist.16 1 J i j IJ * x. &x (x.) Schreibt man ein diskreter Form als e = 1 -¼ E ---..-2--- mit --r. ~ 0, i X ( Xi) i ergibt sich folglich die Forderung (5.13) 1 - (x. -x.) n 1 J * * &x. (xi) [ X (xi) - ~ X (xi) 15 Vgl. WAGENHALS, G. (ln81), S. 99. 16 Vgl. WAGENHALS, G. (1981), S. 103. 78 Diese eindeutige Größenordnung ist nicht gegeben. Damit sinkt die Disparität nicht zwingend, wenn ein großer Merkmalsträger einen Merkmalsbetrag zu einem kleinen * 0X (x ) X transferiert. Nimmt jedoch der Wert der Elastizität -ax--·--r- mit steigendem x X (x) zu, liegt Schurkonvexität vor. 3. e ist skalenniveau-unabhängig, da schon ~ und damit Z(p) bei Transformati- * X (p) onen der Form y = bx (b > 0) konstant bleiben. 17 Bei einer Verschiebung der Ausgangsverteilung um a > 0 Einheiten ändern sich F(x) und L(x). Mit y O = a + x0 gilt F x(x 0) = F y(Y 0) und Lx(x 0) < Ly(Y 0) 18 . Daraus folgt * x(p) < ;.{ID.. Damit ist Zx(P) ~ Zy (p) und ex~ ey- y(pJ y (p) 4. Proportionalitätsprobe: Aggregiert man k identische Verteilungen, bleiben sowohl F(x) als auch L(x) konstant. Damit ändern sich weder Z(p) noch e. 5. Bei einer Nullenergänzung liegt die neue inverse Verteilungsfunktion unter der alten, * x (p) bleibt aber konstant. Folglich verläuft die neue Kurve Z(p) oberhalb der alten und demnach gilt eneu > ealt . Empirische Anwendungen und Vergleiche von L(p) und Z(p) finden sich bei SAL V ATERRA 19, der für einzelne Regionen Italiens Lorenz-Kurve und Zenga-K urve als Ausdrücke für Ungleichheit gegenübergestellt. 17 Vgl. ZENGA, M. (1984b), S. 637f. 18 F(x) verschiebt sich; Ly(Y 0) ~ LX(x0) ~ Mu (x0) ~ µX ist stets erfüllt. X 19 Vgl. SALVATERRA, T. (1990), S. 194ff. 79 ZENGA20 selbst beurteilt das unterschiedliche Verhalten von Gini-Index und Zenga- Index l anhand verschiedener theoretischer Verteilungen: A. Für die Rechteckverteilung gilt: (5.14) l = 3R 2 21 für O S R S ½, d.h. ~ = 6R ~ 0 . B. Für die Paretoverteilung ergibt sich: (5.15) -3 t: = l 22 r·· 0 < R < 1 d h d ! = 8 R „ 3 1 ur - - , . . alt 4+:rn2" [¾+ C. Für die Relation zwischen e und R bei der Lognormalverteilung gilt: -1 l+R 2 ~ = - e-2 ['P (-rll .[- 4'P-1(~) · ½1 ~ o mit 'P(.) als Wert der Standardnormalverteilung. Somit verändern sich bei diesen drei Verteilungstypen Rund l gleichgerichtet. 20 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 306ff. 21 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 321. 22 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 321. 23 Vgl. ZENGA, M. (1984a), S. 321. 81 6. Aus der normierten inversen Verteilungsfunktion abgeleitete Kurvenzüge Nicht nur im Lorenzkurven-Diagramm, sondern auch im Schaubild der normierten inversen Verteilungsfunktion lassen sich Flächenstücke inhaltlich interpretieren. Ein Beispiel hierfür sind die Lorenzkurvenwerte selbst. Andere Flächenstücke können deshalb gegebenenfalls mit Lorenzkurvenwerten in Zusammenhang gebracht und mit deren Hilfe interpretiert werden. Dieses Kapitel befaßt sich mit drei aus der normierten inversen Verteilungsfunktion herleitbaren Kurven. An die Beschreibung der formalen Eigenschaften dieser Kurvenzüge und deren Beziehung zur Lorenzkurve bzw. zu R in den Kapiteln 6.1 bis 6.3 schließt sich in Kapitel 6.4 die Vorstellung einiger Anwendungsbereiche an. Dabei wird überwiegend auf die stetige Darstellungsform zurückgegriffen. Die im Schaubild der normierten inversen Verteilungsfunktion abgebildeten Flächenstücke finden sich ebenso in einem Diagramm mit der von oben kumulierten Verteilungsfunktion 1-F(~) = 1 - F:x(;) wieder, so daß auch zu dieser Funktion Bezüge hergestellt werden können. Werte der Lorenzkurve entsprechen den Flächenstücken A für verschiedene Stellen F: SCHAUBILDER 5 und 6: Äquivalente Flächen im Schaubild von x(!) und 1 - F :x(;) 1 - Fx(x) ~---------~-----~--• x 0 - Xo X = --- 0 µ X(F) µ 0 6.1 Die "Adaptierte Lorenzkurve" 82 F Die sogenannte "Adaptierte Lorenzkurve" 1 findet vor allem vor dem Hintergrund der Zuverlässigkeitstheorie ihre Anwendung, deren Schwerpunkt in der Analyse von Lebensdauerverteilungen2 liegt. Sie ergibt sich aus den Schaubildern 5 und 6, indem an jeder Stelle F das Flächenstück A+B als Wert von W(F) abgetragen wird: (6.1) W(F) = L(F) + xiF)(l-F) ~ L(F). Jeder Funktionswert W(F) gibt dabei den Anteil an der Merkmalssumme an, den die 100 F % kleinsten Merkmalsträger auf sich vereinigen zuzüglich des Anteils an der Merkmalssumme, den die 100 (1-F) % größten Merkmalsträger zur Merkmalssumme 1 Vgl. RIESE, M. (1987), S. 247! und MOOTHATHU, T. S. (1991), S. 317. 2 Vgl. dazu Kap. 9.6. 89 D(xi) kann als "Überschußmerkmalssumme" an der Stelle xi interpretiert werden, ausgedrückt als Anteil an der Gesamtmerkmalssumme. Würde jeder Merkmalsträger zunächst höchstens einen Merkmalsbetrag von maximal xi zugewiesen bekommen, stünde ein Anteil von D(x) zur Disposition. Rist demnach der durchschnittliche "Überschußb merkmalssummenanteil": R == f D(x)f(x)dx. a Eine einfache Dominanz für D(F) läßt sich wie folgt definieren: Definition 6.2: Die Variable X mit F x(x) dominiert die Variable Y mit F y(x) gemäß D(F) (X ~ Y), wenn Dx(F) ~ Dy(F) für alle O ~ F ~ 1. D Diese Relation ist äquivalent W x(F) ~ W y(F) für O ~ F S 1, damit folgt wieder Lx(F) ~ Ly(F) und Rx S Ry- 6.3 Die "Lückenkurve" Ein dritter Kurvenzug läßt sich erzeugen, wenn man Flächenstück D in Abbildung 5 bzw. 6 in Abhängigkeit von F in einem Koordinatensystem abträgt: (6.21) A(F) == x(F)F -L(F) . µ Jeder Funktionswert gibt den Teil an der Merkmalssumme wieder, der den 100F% kleinsten Merkmalsträgern zur Verfügung gestellt werden müßte, damit diese auf das Niveau des größten Merkmalsträgers dieser Gruppe kämen: F F (6.22) A(F) == f (xtF) -xiq))dq == F f ( x(F1 F x(q))dq. 0 0 90 Dies entspricht z.B. im Rahmen der Armutsmessung dem Ausmaß des "Normalized Deficit" in Abhängigkeit von einer wandernden Armutslinie z = x(F).15 Zu den vorhergenannten Kurvenzügen besteht folgende Beziehung: (6.23) A(F) = x( F) - W(F) = x(F)- µ + D(F) . µ µ Jede Lorenzkurvensehne kann verstanden werden als gewogenes Mittel der Funktionswerte von A(F) und D(F): (6.24) F - L(F) = F D(F) + (1 - F) A(F). 16 A(F) selbst ist eine nichtfallende Funktion mit Maximalwert x(l) -µ an der Stelle µ F = 1. (6.25) A(O) = o. A(l) = !1.!L 1. d*v) = dxv)F > o ' µ ' d, µ - . Im Fall einer Einpunktverteilung ist A(F) = 0 für O ~ F ~ 1. Bei extremer Ungleichverteilung gilt für O ~ F < 1 A(F) = 0 und A(l) = x(l) - 1. Bei einer proportionalen Änderung aller Merkmalswerte oder bei Durchführung der Proportionalitätsprobe bleibt x~) und damit A(F) konstant. Bei Durchführung eines Transfers, der Addition eines absoluten Betrages zu jedem Merkmalswert oder bei Nullenergänzung ändert sich die normierte inverse Verteilungsfunktion. Deshalb läßt sich keine eindeutige Größenbeziehung zwischen der alten und der neuen Lückenkurve aufstellen. A(F) kann wiederum aus dem Lorenzkurvenschaubild abgeleitet werden, wie SCHAUBILD 8 zeigt. Analog D(F) läßt sich der Sekantenanstieg aus (0,0) als relativierte Differenz zwischen x(F) und Mu(F) interpretieren: A(P -- x(F) µ- Mu(F) (6.26) 15 Vgl. ATKINSON, A. B. (1987) zur Definition. Vgl Kap. 4.5 zur Armutsmessung. 16 Vgl. PIESCH, W. / WIRTH, S. (1995). 91 SCHAUBILD 8: Ableitung von A(F) aus dem Lorenzkurvenschaubild L(F) A(F 0 ) ,__ _____ __._ Wegen (6.23) und 6x(F) = µ· [A(F) + D(F)]1 7 läßt sich A(F) auch schreiben als 6 (6.27) A(F) = 2LF) + x(FL- µ' d.h. die relativierte durchschnittliche Abweichung wird um den halben relativierten Abstand von x(F) zu µ korrigiert. Man sieht sofort, daß an der Stelle x = µ A(F) = S gilt. 17 Vgl. Form (6 .6). 92 Die Fläche unter A(F) entspricht wieder dem Gini-Koeffizienten: 1 1 1 (6.28) f A(F)dF = f xiF)FdF -f L(F)dF = ~-Y = R. 0 0 0 In Analogie zu it(F) kann der durchschnittliche Lückenwert der 100F% kleinsten Merkmalsträger ermittelt werden: F 1J (6.29) ¼ f A(F)dF = L(F )R(F ) . 110 1J 1J Er reduziert sich auf den mit L(F 11 ) gewogenen Gini-Koeffizienten der lOOF 11 % - kleinsten Mer kmalsträger. Drückt man die Lückenkurve in Abhängigkeit von x aus, ergibt sich: (6.30) A(x) = ! • F(x) -L(x) µ X X = f ~y = f [ 9] f(y)dy . 0 0 A(x) ist eine monoton steigende konvexe Kurve (6.31) 2 d A(x) = F(x) > 0 d A ~x) = ~ > o . ~ µ - ' dx µ - Vor diesem Hintergrund läßt sich Rauch schreiben als: b (6.32) R = f A(x) f(x)dx . a R läßt sich also im obigen Sinne als durchschnittliches "Normalized deficit" interpretieren, wenn A(x) als "Normalized Deficit" in Abhängigkeit von der wandernden Armutslinie z = x interpretiert wird. 93 Auch für A(F) läßt sich eine Dominanzordnung definieren: Definition 6.3: Eine Variable X mit F x(x) dominiert eine Variable Y mit F y(x) gemäß A(F) (X ~ Y) , wenn Ax(F) ~ Ay(F) für alle O ~ F ~ 1 . A Daraus folgt (analog der Beweisführung für W(F)) Lx(F) ~ Ly(F) für alle O ~ F ~ 1 und Rx ~ Ry- 6.4 Interpretationsmöglichkeiten dieser Kurven vor verschiedenen Anwendungshintergründen Diese drei Kurvenzüge finden ihre Anwendung in sehr unterschiedlichen Bereichen. Als Einstiegsbeispiel soll rl.abei der Zusammenhang zwischen der Interpretation des Gini- Koeffizienten als Erwartungswert eines Spiels nach PYATT 18 und den oben eingeführten Kurvenzügen aufgearbeitet werden: PY ATT betrachtet in seinem diskreten Ansatz einen Spieler i mit Einkommen xi, der aus einer Urne mit den Einkommen aller Individuen das Einkommen eines anderen Individuums xj zufällig zieht. 1st dieses größer als seines, erhält er die Differenz xj -xi ausgezahlt, andernfalls bekommt er nichts. Die Auszahlungsvorschrift läßt sich also abbilden durch Max(O,xj - x/ Bestimmt man nun den Erwartungswert dieses Spiels bezogen auf den Spieler i, gelangt man letztlich zu µD(x/ (6.33) 1 n 1 n - E Max(O,x.-x.)=- E (x.-x.)=µD(x.),x-~x-+i· n j= 1 J I n .i=i J 1 1 J J Der Durchschnitt dieser Erwartungswerte entspricht dann µR. Variiert man den Auszahlungsmodus entsprechend, so erhält man die anderen Kurvenzüge in Abhängigkeit von x und zwar in nicht relativierter Form. Bestimmt man anschließend den durchschnittlichen Erwartungswert aller Spieler, so führt. das auf Ausdrücke, die mit R zusammenhängen. 18 Vgl. PY ATT, G. (1976). 94 Auszahlungsvorschrift Erwartungswert durchschnitt!. von Spieler i Erwartungswert Max(O, xi -xj) µA(x) µR µ -Max(O,xj -xi) µW(xi) µ(1-R) = Min(µ,µ -xj + xi) { xj für xi ~ xj µ(~) 0 für x. < x. µL(xi) 1 J Weitere Anwendungsmöglichkeiten im Rahmen -der Zuverlässigkeitstheorie (Analyse von Lebensdauerverteilungen) und eng verwandt -von Lebenstafelbetrachtungen, wo die Variable X "Lebensalter" betrachtet wird, -dem soziologischen Ansatz der Messung der relativen Deprivation, die über in Einkommenseinheiten gemessenen entgangenen Nutzen operationalisiert wird, sowie -eines Ansatzes aus der Wohlfahrtstheorie werden im folgenden kurz vorgestellt. Dabei werden einführend die Zielsetzungen dieser Methoden erläutert, um anschließend in einer Übersicht das bereits bekannte Instrumentarium vor dem Hintergrund der speziellen Anwendung neu zu benennen. Im Rahmen der Zuverlässigkeitstheorie werden Lebensdauerverteilungen 19 analysiert. Ausgangspunkt ist eine nicht-negative Variable X "Verweilzeit/Lebensdauer" mit Verteilungsfunktion F(x), die in diesem Zusammenhang "Ausfall- oder Lebensdauerverteilung" genannt wird. 1-F(x) heißt Zuverlässigkeits- oder Überlebensfunktion von X. Wichtige Kenngrößen einer Verteilung sind die sogenannte Hazardrate r(x) = 1 ~tN) und die mittlere restliche Lebensdauer v(x) = E(X-x IX > x) = M 0 (x) - x. Eine wesentliche Charakterisierung von Verteilungen erfolgt über die Einführung von 19 Vgl. BARLOW, R. E. / PROSCHAN, F (1975). 95 (Schiefe)ordnungen. Dabei werden zwei grundsätzliche Ansätze unterschieden: Der Vergleich einer gegebenen Verteilung x mit einer beliebigen anderen Verteilung bzw. mit der Exponentialverteilung, die in diesem Zusammenhang die Funktion einer Referenzverteilung einnimmt. Eine besondere Rolle für diese Analyse spielt die "normierte Total-time-on-test"- Funktion20, die mit W(F) übereinstimmt. Über Eigenschaften dieser Funktion lassen sich eine Reihe von Ordnungsrelationen bzw. Klassifizierungen von Verteilungen erläutern. Beispielsweise entspricht die Dominanzrelation W x(F) ~ W y(F) für O ~ F ~ 1 der Aussage Variable X ist mehr "New better than used in expectation" als Y . Ausführliche Überlegungen zu den für Lebensdaueranalysen gebräuchlichen Dominanzrelationen und deren Bezügen zur Lorenzkurve werden in Kapitel 9.6 angestellt. X Da W(x) = f (l-~(y)) dy als der bis zum Zeitpunkt x verbrauchte Anteil an der 0 Gesamtverweilzeit interpretiert werden kann, kann 1-R als gewogener Durchschnitt dieser Anteile gedeutet werden: (6.34) b X 1-R = f j (l-~(y)) dy f(x)dx. 0 0 Die im Rahmen von bevölkerungsstatistischen Untersuchungen betrachteten Sterbetafeln werden z.B. zur Ermittlung der Lebenserwartung (bei der Geburt oder für ein bestimmtes Alter) oder auch zur Analyse von Todesursachen herangezogen. Sie sind in der Regel nach Geschlecht und Altersjahrgang gegliedert, die daraus abgeleiteten Aussagen beziehen sich also auf die Zeiteinheit "Jahre". Einige Autoren haben versucht, das für das Gebiet der Ungleichheitsmessung entwickelte Instrumentarium auf Sterblichkeitsüberlegungen zu übertragen: 1-R wird von HANADA (1983) als Maß für die "Equality of length of life" vorgeschlagen. 20 Vgl. z.B. KLEFSJtJ, B. (1983), S. 907. 96 SILBER (1983) schlägt in Analogie zu den Einkommensgleichheitsäquivalenzen21 vor "äquivalente Lebenslängen" als Indikatoren zur Messung des Entwicklungsstandes eines Landes zu entwickeln. X X Da f Fix) dx = f (x;y) f(y)dy als relativierter Verlust an Lebenszeit bis zum Alter 0 0 x interpretiert werden kann, ist R nichts anderes als ein gewogenes Mittel dieses relativierten Verlustes. Mit der Messung der relativen Deprivation wird versucht, den Schaden (entgangenen Nutzen) von Individuen zu quantifizieren, den sie erleiden, weil ihr Einkommen (oder eine andere ökonomische Variable) niedriger ist als das anderer Individuen. Dieser Kerngedanke geht auf RUNCIMAN22 zurück, der davon ausgeht, daß das Ausmaß an Deprivation eines Individuums, ein Einkommen in Höhe von x nicht zu erreichen, umso größer ist, je höher der Anteil der Leute ist, die dieses Einkommensniveau erreichen bzw. überschreiten. Dieser Gedanke wird von YITZHAKI in folgende Definition des Ausmaßes an Deprivation eines Individuums i mit Einkomen x umgesetzt: b (6.35) Di(x) = f (l-F(y))dy.23. X Eine alternative Interpretation dieses Erklärungsansatzes greifen HEY /LAMBERT24 auf, da gilt: b b (6.36) D/x) = f (y-x) f(y)dy = f d(x,y) f(y)dy.2s X Ü 21 Vgl. Kap. 4.2.1.1. 22 Vgl. RUNCIMAN, G. W. (1966). 23 Vgl. YITZHAKI, S. (1979), S. 322 und (1980,1982a). 24 Vgl. HEY, J. D. / LAMBERT, P. J. (1980), S. 567f. 25 Vgl. KAKWANI, N. (1984), S. 385. 97 Hier kann Di(x) als durchschnittliche Deprivation eines Individuums i mit Einkommen x verstanden werden, wobei d(x,y) das Ausmaß an Deprivation angibt, welches i erleidet, wenn es sich mit einem Individuum mit Einkommen y vergleicht. Je nach Spezifizierung von d(x,y) gelangt man zu verschiedenen in der Literatur vorgeschlagenen Ansätzen. { y-x für y > x Als einfache mögliche Quantifizierung ergibt sich oben dann d(x,y) = 0 füry~x Dieser Ansatz führt zu D/x) = µD(x), wobei µ als maximale durchschnittliche Deprivation eines Individuums mit einem Einkommen von Null zu interpretieren ist.26 Da D(x) fallend und konvex ist, nimmt die individuelle Deprivation mit zunehmenden Einkommen überproportional ab. Neben dem Ausmaß an Deprivation eines Individuums kann auch das Satisfaktionsniveau eines Individuums Si(x) quantifiziert werden. YITZHAKI27 schlägt dafür folgende Funktion vor: (6.37) X Si(x) = j (1-F(y))dy = µ. W(x). 0 µ stellt das durchschnittliche Ausmaß an Satisfaktion eines Individuums mit dem maximalen Einkommen x = b dar. D/x) und S/x) ergänzen sich bei diesem Ansatz zuµ. Eine alternative Definition von HEY /LAMBERT28 stimmt mitµ A(x) überein: X b (6.38) S/(x) = j F(y)dy = j s(x,y) f(y)dy = µ A(x) 0 0 mit s(x,y) = . {o fürx<y x-y für x ~ y 26 Vgl. KAKWANI, N. (1984), S. 387. 27 Vgl. YITZHAKI, S. (1979), S. 322. 28 Vgl. HEY, J. D. / LAMBERT, P. J. (1980), S. 572. 98 Somit gelangt man je nach Wahl der Bewertungsfunktion zu einer der drei Kurven in Abhängigkeit von x, wenn noch durch die Bezugsgröße µ geteilt wird. µR bzw. µ(1-R) ergibt sich demnach als gewogenes Mittel der individuellen Deprivation- bzw. Satisfaktionswerte und kann damit als Ausdruck des Ausmaßes der gesellschaftlichen Deprivation bzw. Satisfaktion interpretiert werden. b b b (6.39) µR = f Di(x) f(x)dx = f S/(x) f(x)dx bzw. µ(1-R) = f Si(x) f(x)dx. 0 0 0 Verallgemeinerte Formen für eine individuelle Deprivationsfunktion werden von BERREBI/SILBER29 und CHAKRA V ARTY30 vorgeschlagen. DAGUM31 führen drei grundlegende Prinzipien aus der Wohlfahrtstheorie32 zu der Herleitung von Gini-"loss- 11 , "disutility- 11 und "utility"-Funktionen, die mit A(x) und W(x) in Verbindung gebracht werden können. Grundgedanke seines Ansatzes ist, das Einkommen x eines Individuums in einen Nutzenteil U ("utility" als individueller Beitrag zur sozialen Wohlfahrt) und Verlustteil S ("loss" als individueller Beitrag zum gesellschaftlichen Verlust) aufzusplitten. Diese sind jeweils Funktionen in Abhängigkeit von x und F(x): (6.40) x = S(x,F(x)) + U(x,F(x)).33 Teilt man die Verlustfunktion durch das Durchschnittseinkommen µ, gelangt man zu der Schadensfunktion V(x,F(x)) ("disutility-function").34 29 Vgl. BERREBI, Z. M. / SILBER, J. (1985). 30 Vgl. CHAKRAVARTY, S. R. (1990). 31 Vgl. DAGUM, C. (1990 und 1993). 32 Präferenz für mehr Einkommen, Aversion gegenüber Ungleichhet und interpersonelle Vergleiche vo Nutzen und "disutility"; Vgl DAGUM, C. (1993), S. 6. 33 Vgl. DAGUM, C. (1993), S. 8. 34 Vgl. DAGUM, C. (1993), S. 9. 105 Es ist DF(0) = 1(v-l)(o)o - 1M(o) = o und DF(l) = L(v-l)(l)l -L(v)(l) = vtµ[ 11µl : v-l - µ1) ~ 0. 4 Die Ableitung nach F ergibt d~~(F) = 1( 11 -2 )(F)-F -L(v-l)(F) ~ 0. Damit verläuft DF(F) für 0 ~ F ~ 1 im nichtnegativen Bereich, folglich auch L(v-l)(F) - 1( 11 )(F). Für den Fall 11 = 1 gelten die gleichen Überlegungen; die Ableitung dL(11-l)(F) daV). . . dF = µ 1st ruchtnegat1v. So ergibt sich als Schaubild: SCHAUBILD 9: Darstellung der von unten kumulierten Lorenzkurven x(F) 4 Vgl. Form (7.7). 106 Die Fläche zwischen x1F) und L(F) ergänzt sich zu ~' da die schraffierten Flächen oberhalb von x1F) bis F µ bzw. unterhalb von x1F) ab F µ jeweils dem Wert des Schutzkoeffizienten entsprechen, sich also ausgleichen. Allgemein gilt für die Fläche zwischen zwei angrenzenden kumulierten Lorenzkurven: 1 1 1 (7.5) f 1( 11 -2)(F)dF -f 1( 11 -l)(F)dF = f F 1( 11 -2)dF für 11 ~ 2 0 0 0 1 und wegen L(v)(l) = f 1( 11 -l)(F)dF 0 1 1 (7.6) f 1( 11 -2)(F)dF -f 1( 11 -l)(F)dF = 1( 11 -l)(l) -1( 11 )(1). 0 0 D. h. diese flächenmäßige Darstellung findet (aufgrund der einfachen mathematischen Beziehungen) ihre Entsprechung in einer Streckendarstellung auf der nächsthöheren Kumulationsstufe. Für einen Vergleich zweier Verteilungen läßt sich in Analogie zur Lorenz-Dorninanz- ordnung eine Ordnungsrelation über die kumulierten Lorenzkurven definieren, die zum Disparitätsvergleich herangezogen werden kann: Definition 7.1: Die Variable X mit der Verteilungsfunktion F x(x) dominiert die Variable Y mit der Verteilungsfunktion Fy(Y) gemäß der kumulierten Lorenzkurve 11-ten Grades (X ~ Y),wenn 11 11 )(F) $ L{, 11 )(F) für O $ F $ 1 und 11 ~ 1. 1(11) Gilt L* 11 )(F) $ L{, 11 )(F) für O $ F $ 1, dann folgt 11 11 +l)(F) $ L{, 11 +l)(F) für 0$F$1. Für 11 = 1 gelangt man zur Lorenz-Dorninanzordnung, 11 = 2 entspricht einer Ordnungsrelation, die ALZAID als "more lower Lorenz area"-Dorninanz bezeichnet. 5 Auf diese Ordnungsrelationen wird in Kapitel 9.4.3 weiter eingegangen. 5 Vgl. ALZAID, A. A. (1990), S. 214. 107 Für die Herleituny von Disparitätsindikatoren in Form einer Kennziffer ist insbesondere der Wert 1( 11 (1), d.h. die Fläche unter L(v-l)(F) von Interesse: Darstellungsformen (7.2), (7.3) und (7.4) für F = 1 führen wegen der aus Kap. 4.2.1.1 bekannten Schreibweisen der Minimum-Mittelwerte µ1: 11 direkt zu folgender grundlegenden Beziehung: (7.7) 1(11)(1) = 1 µl:11 ~ = v! µ.1(11)(1). v!' µ µl:11 In Analogie zu 1 (7.8) 1( 2)(1) = f L(F)dF = ~ = µ~~ 2 0 läßt sich dann allgemein das Disparitätsmaß r(X, 11) herleiten: 1 (7.9) 1(11)(1) = f 1(11-l)(F)dF = 1-r(X,11) = µl:11 11! 11!µ ' 0 was zu (7.10) r (X 11) = 1 - µ1:v , µ , 11 = 2,3 ... führt. Diese Klasse von Disparitätsmaßen ist in der Literatur unter der Bezeichnung "extended Gini-Index" bekannt6, wobei 11 = 3 dem sogenannten MEHRAN-Maß7 µ - µ1·3 M = µ · entspricht. über (7.2), (7.3) und (7.4) für die Stelle F = 1 lassen sich danach alternative Darstellungsformen von r(X,11) erzeugen: 6 Vgl. z.B. KAKWANI, N. (1980b), S. 444, YITZHAKI, S. (1983), S. 620 und YITZHAKI, S.(1991), s. 236. 7 Vgl. MEHRAN, F. (1976), S. 808 und NYGARD, F. / SANDSTROM. A. (1988), S. 30. 108 Aus (7.2) ergibt sich: 1 (7.11) r (X, v) = 1 - v(v-1) f (l-Ft- 2 L(F)dF,8 0 und damit wegen 1 1 (7.12) f F-v(v-l) (1-Ft- 2dF = f v(l-Ft- 1dF = 1 0 0 die Darstellung von r(X,v) als gewogene Konzentrationsfläche: 1 (7.13) f(X, v) = f v(v-l) (l-Ft- 2 [F-L(F))dF. 0 (7.3) führt zu einer Darstellung von r(X,v) mittels gewogener Werte der normierten inversen Verteilungsfunktion: 1 (7.14) f(X,v) = f [l - v(l-F)v-l) xrF)dF. 0 oder wegen (7.12) zu (7.15) 1 r(X,v) = of [ 1 - 1 (1-Ft-l ] x(F) dF. f (1-Ft- 1dF µ 0 Die Funktion J(F) = 1 - v(l-Ft-l ist streng steigend und konkav für O ~ F < 1: (7.16) d~v) = v(v-1) (l-F)v- 2 > 0 für O ~ F < 1, v ~ 2, 2 ~ = -v(v-l)(v-2)(1-Ft- 3 ~ 0 für O ~ F < 1, v ~ 2. dF 1 Zudem gilt f [ 1 - v(l-Ft-l ]dF = 0. 0 8 Vgl. YITZHAKI, S. (1983), S. 620. 109 f(X,v) läßt sich, wie (7.15) zeigt, auch als Kovarianz interpretieren: 1 (7.17) f(X,v) = cov [ ~, - v(l-F)v-l] = [[x~) - ll[l - v(l-F)v-l]dF. Schließlich führt (7.4) zu einer Interpretation, die als erweiterte GUMBEL-Darstellung aufgefaßt werden kann. 9 b b (7.18) r(X,v) = f [ 1-F(x)-il-F(x)t]dx 10 = j[l- F(x)- (1- F(x))vldx O o b j[l - F(x)]dx 0 b - - - - X j [ 1 - F:x(x) - (1 - F:x(x)t]dx mit X=µ· 0 d.h. f(X,v) kann demnach als Fläche zwischen 1 - F:x(;) und (1 - F:x(;)t gedeutet werden.II Da für v ~ k [1-F(x)t ~ [1-F(x)]k für alle x ~ O gilt, folgt f(X,v) ~ r(X,k) _12 Aus ( 4.25) läßt sich zudem folgende Ungleichung herleiten: (7.19) f(X,v) ~V· v-l ~ (2v-1) 9 Vgl. Kap. 4.1 und 4.2.1. 10 Vgl. auch HANADA, K. (1983), S. 96: Vorschlag eines Gleichheitsindizes. 11 Die mittlere Differenz zwischen kumulierten Lorenzkurvenwerten führt nicht, wie eventuell zu erwarten, zu einem Vielfachen von f(X,v), sondern lediglich auf eine Differenz zweier höherer f -Indizes. Es ist: 1 1 1 1 ff IL(v-l)(F) - L(v-l\q)ldqdF = 2/ L(v-l)(F)FdF - 2/ L(v\F)dF 0 0 0 0 (v) (v+l) 2 r f ] 4 [ f ] = 21 (1) -4 L (1) = vfll -(X,v) -(v+l)! 1- (X,v+l). Da f(X,1) = 0 gilt, reduziert sich der Ausdruck für V= 1 auf%= 2R. 12 Vgl. dazu Kap. 4.2.1. 110 SCHAUBILD 10: Darstellung von r(X,v) 0 Betrachtet man abgeschnittene Verteilungen F im Bereich O ~ F t ~ F 11 ~ 1, so lassen sich Minimum-Mittelwerte höheren Grades µ1 )F t'F 11 ) ausdrücken als 1 - F-F (7.20) µ1 )F t'F 11 ) = v f (1-Ff-l x(F) dF mit F = ~, v = 2,3 .... 0 1/ ~ Da gilt x(F) = x(F), können daraus folgende Schreibweisen für v = 2,3 ... abgeleitet werden: (7.21) F 1/ -v )(' [ FT/ - F] v-l x(F)dF - [ F -F ] v 11 e Fe (7.22) FT/ v( vl )µ f [ F 1/ - F] v- 2 [L(F) -L(F e)]dF. 13 [ FT/-Ft r Ft 13 Vgl. Herleitung im Anhang. 111 Für die von oben und unten abgeschnittene Verteilung läßt sich r(X,11) dann wegen (7.21) in Abhängigkeit von Werten der Lorenzkurve ausdrücken: (7.23) r(X,11) (Frl e) = µ1:1 (F e,F 1]) - µl:11 (F e,F 1]) µl:l(F(, FT/) F T/ =1- 11(11-l) J/'[F-FJ11-2[L(F)-L(F~)]dF [ ] v-1 T/ L(F T/)-1( e) ' FTJ-F( F( L(F ) - L(F ) wobei µ1:1 (F ('F T/) = µ FTJ Fe das arithmetische Mittel der abgeschnittenen T/ e Verteilung ist. Für 11 = 2 entspricht dies der Gini-Darstellung für abgeschnittene Verteilungen'\ für 11 = 3 erhält man eine Darstellung für das MEHRAN-Maß: FT/ (7.24) 6 J [F -Fl[L(F) -L(F e)]dF. [ L(F T/)-L(F e) ] Fe T/ Eine Erweiterung des Schutz-Koeffizienten "als längste Lorenzkurvensehne" kann auf unterschiedliche Art und Weise vorgenommen werden, je nachdem welches die jeweils betrachtete Grenzverteilung ist. Folgende Varianten bieten sich an: 1. Man betrachtet 1< 11 )(F) gegenüber der kumulierten Lorenzkurve einer Einpunkt- F . ( 11)( ) (11)( ) J(' 1 11-l 1 II verte1lung LEPV F = F F = {v-T)r q dq = iiT F , 11 = 1,2 ... 0 14 Vgl. PIESCH, W. (1975), S. 81ff, andere Bezeichnungen. 112 Als längste Lorenzkurvensehne wird dann definiert Als jeweils längste Lorenzkurvensehne ergibt sich dann für v=l: g(l)=S, II= 2: s(2) = 1 F(2 \F) - L( 2)(F) 1 ---; max = F(2)(1) -1(2)(1) = ½-Y = ~' II= 3: 5(3) = 1 F(3)(F) -1(3)(F) 1 ---; max = F(3)(1) -1(3)(1) = ~-Y = W-, II~ 4 : D. h. dieser Ansatz liefert eine streckenmäßige Darstellung von~ bzw. W- und zwar in einer Interpretation als längste Lorenzkurvensehne. 2. Analog dem Schutz-Koeffizienten S läßt sich aber auch an den kumulierten Lorenzkurven der maximale Abstand zwischen (stets variierender) Diagonaler ~y:~-F und 1( 11 )(F) bestimmen und interpretieren: 15 (7.26) *(11) µl · II (11) S = i 11 ! : µ · F - L (F) i ---; max. Dieser Ansatz führt zu einer Stelle F, an der gilt ~L~ = L(v-l)(F); diese wird im folgenden mit F bezeichnet. µl:11 11!-µ 15 Es gilt 1(11)(1) = µ1 1 ' 11 . II .. µ 113 Wie der Schutz-Koeffizient selber, so kann diese Erweiterung interpretiert werden als relativierte durchschnittliche Abweichung. Es ist: (7.27) s*(11) = ö~II-F - 1(11)(F )] . µ µl:11 µl:11 11!-µ 11!-µ 1 b = ½ f JL(ll-l)(F) - ~L~JdF = ½ f JL(ll-l)(x) - ~f ~Jf(x)dx.16 0 a Der letzte Ausdruck gibt die halbe durchschnittliche absolute Abweichung der 1( 11 -l)(x)-Werte von ihrem arithmetischen Mittel wieder. Im Fall 11 = 1 gelangt man zu der bekannten Darstellungsform des Schutz-Koeffizi- enten. Für 11 = 2 ergibt sich als maximale Lorenzkurvensehne 1 b (7.28) s*( 2) = ½ f JL(F) -½!!JdF = ½ f JL(x) -½!! Jf(x)dx. 0 a D. h. 1; 2 R wird in diesem Zusammenhang als arithmetisches Mittel der transformierten Werte L(x) interpretiert. 7.2 Von oben kumulierte Lorenzkurven Analog der "kumulierten Lorenzkurve 11-ten Grades" läßt sich eine andere Klasse von "höheren" Lorenzkurven erzeugen, die im Gegensatz zur "Kumulation von unten" an der Lorenzkurve mit einer "Kumulation von oben" ansetzt. Statt F wird 1-F = F , statt L wird 1-L = L betrachtet; die Lorenzkurve wird also um 180° gedreht. (7.29) F F f r:((ll-l))(q) dq für alle OS F = 1-F S 1, 11 = 2,3, ... 0 und 1((1))(.F) f xyl) dq = 1 - L(F) = L(F) 0 Für 11 ~ 2 ist 1(( 11 ))(.F) eine steigende, konvexe Funktion. 16 1( 11 \x) = 1( 11 \F(x)) ist die kumulierte Lorenzkurve in Abhängigkeit von x. 114 Folgende zu (7.2), (7.3) bzw. (7.4) analoge Schreibweisen ergeben sich: (7.30) bzw. (7.31) bzw. (7.32) bzw. F 1((11))(:F) = (11-h f (F-<j)ll-2 L(q)dq 0 1 -((11)) 1 /' 11-2 - L (F) = ~ J (q-F) (1 -L(q))dq mit L(q) = 1 - L(q), F F 1 ((11))(:F) = 1 Jr (F- _)11-l x(g)d- (v-IJI q µ q 0 1 L((ll))(F) = {ll~l}! f (q-F) 11 -l ~q mit x(q) = x(q), F Auch hier läßt sich wieder eine Dominanzrelation definieren: Definition 7.2: "Die Variable X mit Verteilungsfunktion F X dominiert die Variable Y mit der Verteilungsfunktion F y gemäß der von oben kumulierten Lorenzkurve 11-ten Grades (X ~ Y), wenn L:k( 11 ))(F) ~ 1tC 11 ))(F) r< ( 11)) II für0~F~l. Der Fall 11=1 entspricht der Lorenz-Dominanzordnung, für 11 = 2 gelangt man zu einer von ALZAID als "more upper Lorenz area" 17-Dominanz bezeichneten Ordnung. 17 ALZAID, A. A. (1990), S. 214. 121 I läßt sich auch als Kovarianz und als gewogene Konzentrationsfläche darstellen: (7.49) I= (7.50) I= 1 Jv(F)(~ - l)dF = cov(~,V(F)) = cov(~,J(F)) 0 /J,x_ /J,x_ /J,x_ 1 f ~ [F -L(F)]dF 0 Über (6.23) läßt sich zudem ein Zusammenhang zu den in den Kapiteln 6.2 und 6.3 vorgestellten Kurvenzügen herstellen: 1 1 (7.51) I = Jv(F)A(F)dF - Jv(F)D(F)dF 0 0 Diese Maße erfüllen das Transferprinzip, wenn J(F) strikt steigend ist. Sie sind im Fall einer Einpunktverteilung null, sonst positiv. Proportionale Änderungen mit b > 0 lassen I konstant, da sich weder J(F) noch x~) ändern. Eine Verschiebung der Verteilung um a > 0 Einheiten (Y = a + X) führt zu einer Abnahme des Indexwertes. Dies läßt sich bspw. unter Anwendung des Satzes von HERZEL2B nachweisen, wenn die normierten inversen Verteilungsfunktionen als Gewichtsfunktionen interpretiert werden, da Lx(F) $ Ly(F) für O $ F $ 1 gilt. Allgemein führt eine Lineartransformation Y = a + bX mit a ~ 0 , b > 0 zu dem Zusammenhang 1 a+bx(Fx) ly = f J(F x)a+bµx dF X 0 Die Durchführung der Proportionalitätsprobe läßt den Indexwert unverändert, da nur eine Abhängigkeit von der normierten inversen Verteilungsfunktion besteht. Bei Nullenergänzung ergibt sich ein Ansteigen des Indexwertes, was sich wiederum über den Satz von HERZEL nachweisen läßt. Es stellt sich die Frage, ob auch für I eine flächenmäßige Darstellungsform gefunden werden kann. Dazu soll eine allgemeine Darstellungsart der Kovarianz cov(Y,g(Y)) 28 Vgl. HERZEL, A. (1971), S. 3lff. 122 vorgestellt werden 29 , wobei Y ~ 0 und g(Y) ~ 0 oder g(Y) $ 0 über den gesamten Bereich [a,b] angenommen wird :30 (7.52) b b cov(g(Y),Y) = f yg(y)fy(y)dy -/lyµg mit µg = [ g(u)fy(u)du a by g(x)fy(x) = bµg -j f µg µ dxdy -/lyµg aa g b = µg j[Fy(Y) - Fiy)]dy a Y[g(x)fy(x) mit F (y) = ---dx. g µg Fix) mit g(x) ~ 0 ist in der Literatur als "weighted distribution" bekannt und spielt in g(y) fy(Y) Kapitel 8 noch eine zentrale Rolle. Die Funktionen fy(Y) und f (y) = ---- g µg weisen für g'(y) ~ 0 bzw. g'(y) $ 0 für alle y genau einen Schnittbereich für µg = g(y) auf. Damit schneiden sich F (y) und Fy(Y) im Bereich (a,b) nicht. Ist bspw. µ > 0 g g und g'(y) ~ 0 für alle y, folgt fy(Y) > Vy) ~ µg > g(y). Da die Fläche unter beiden Funktionen auf Eins normiert ist, kann gefolgert werden F y(Y) > F iY) für a < y < b. Entsprechend gilt für µg > 0 und g'(y) $ 0: fy(Y) > Vy) ~ µg > g(y) ===> Fy(Y) < Fiy) für a < y < b, µg < 0 und g'(y) ~ 0: fy(Y) > Vy) ~ µg < g(y) ===> Fy(Y) < Fg(y) für a < y < b, µg < 0 und g'(y) $ 0: fy(Y) > Vy) ~ µg < g(y) ===> Fy(Y) > Fiy) für a < y < b. Eine Übertragung auf I mit V'(F) > 0 für alle F führt zu zwei Ansätzen: 1. Man setzt Y = V und g(Y) = x(V): Fist interpretierbar als Verteilungsfunktion F(F) einer in [0,1] rechteckverteilten Variablen F. Folglich ist die Dichte f(F) = l. Die Transformierte V(F) ist damit rechteck- 29 Vgl. YITZHAKI, S. (1990), S. 167. 30 Vgl. auch YITZHAKI, S. (1990). 123 V verteilt in [V(0),V(l)] und hat die Verteilungsfunktion F(V) = / f(V)dV, wobei der V( 0) allgemeine Zusammenhang der Dichten f(F) = f(V) 1 ~I gilt. Dies führt zu µg = /Jx· Damit ist (7.53) V(l) V(F)x(V )f(V ) cov(x(V),V) = f [F(V) -Fg(V)]dV mit Fg(V) = / µ 0 0 dV0. JJx V(0) (0) X Wegen µg > 0 und g'(V) = x'(V) ~ 0 kann schließlich F(V) ~ F iV) für alle V gefolgert werden kann. Wählt man bspw. V(F) = 2F ergibt sich folgende Ausdrucksform für R in einem Schaubild mit V an der Abszisse: (7.54) 2 V x(V ) R = f [0,5V - 0,5 / rv 0]dV. 0 0 X 2. Man setzt Y = X und g(Y) = g(X). Umgekehrt ergeben sich dann Flächendarstellungen proportional zu I in einem Schaubild mit der Variablen X an der Abszisse, d.h. letztlich analoge Darstellungsformen zur GUMBEL-Form von R. Folgende Spezialfälle sind bereits bekannt: x F ( )v-1 v-1 f X u v 2. g(x) = F x(x) ~ F g(x) = l / v fx(u)du = F x(x) a ~ cov(X,gQg_) = 11xr'(X,v), µg 124 x -[1-F (u)t-l 3. g(x) = - [1-Fx(x)t-l ~Fix)= f -1/r/ fx(u)du = [l-Fx(x)t-1 a ~ cov(x,fil.!L) = '½(r(X,v), µg x ufx(u) fil.!1 a:i 4. g(x) = x~ F (x) = f ~u = Lx(x) ~ cov(X, ) = -. g '½( µg µX a Wählt man X = ~ statt X, erhält man direkt Darstellungformen der Indizes. Für eine Auseinandersetzung mit alternativen Erweiterungsvorschlägen von R, bspw. von BERREBI/SILBER (1981), CHAKRAVARTY (1988,1990) oder BUTLER/ MCDONALD (1989) wird an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen. 125 8. Die Korrelations-Lorenzknrven und einige Anwendungsmöglichkeiten Als eine Abwandlung der Lorenzkurven kann man die Korrelations-Lorenzkurven ("concentration curves" 1) verstehen. KAKWANI (1977 /1980a) bespricht sehr ausführlich diese Kurvenzüge, deren Grundprinzip schon lange vorher, u.a. von BLITZ/ - BRlTAIN (1964) vorgestellt wurde. Dieses Instrumentarium bietet eine Darstellungsmöglichkeit des Zusammenhangs zweier korrelierender Merkmale X und Y, wobei von einer funktionalen Beziehung zwischen X E [a,b] und Y = g(X) ~ 0 ausgegangen wird. Dabei werden kumulierte Größen betrachtet. Der Verteilung von X, dargestellt über x g(u)fx(u) Fx(x) wird die Verteilung von Y über F (x) = f------.du gegenübergestellt. Fg(x) g µg a entspricht dabei quasi der ersten Momentverteilung des Merkmals Y, welche jedoch nach der Größe von X kumuliert wurde. Da sich dieses Konstruktionsprinzip allgemein auf die Beschreibung des Zusammenhangs zweier Merkmale bezieht, ist es naheliegend, daß es in der Regel nicht die Disparität eines Merkmals darstellen kann. Spezialfälle lassen sich jedoch ausnehmen. In Abschnitt 8.1 werden zunächst Grundbegriffe, wesentliche Eigenschaften und Theoreme dieser Kurven sowie ableitbare Indizes eingeführt. Kapitel 8.2 befaßt sich dann explizit mit dem auch in der Literatur sehr ausführlich behandelten Thema der Variablenaggregation. Anschließend werden in 8.3 einige sehr unterschiedliche Anwendungsbereiche dieses Instrumentariums vorgestellt. Auf diesem Gebiet hat insbesondere YITZHAKI gearbeitet, der eine große Bandbreite von Anwendungsmöglichkeiten dieser Instrumente aufzeigt. 8.1 Grundbegriffe und zwei wesentliche Theoreme Ausgangspunkt ist ein nichtnegatives Merkmal X im Intervall [a,b] mit der Verteilungsfunktion F(x) sowie ein Merkmal Y, welches aus X über eine Transfomationsfunktion Y = g(X) hervorgeht. g(x) ist eine stetige Funktion mit g(x) ~ 0 für x ~ 0, 1 KAKWANI, N. C. (1980a), S. 157. 126 b deren erste Ableitung existiert.2 Mit µg = f g(x) f(x)dx wird der Mittelwert von Y a bezeichnet. Man definiert X (8.1) F (x) = !_ f g(u) f(u)du mit Fg(a) = 0 und Fg(b) = 1. g µg a Für die Ableitung gilt: (8.2) dF ~(x) = g(x) -f(x) = f (x) > 0. X µg g - In der Literatur3 ist die Verteilung vx) bzw. Fix) auch als "weighted distribution" bekannt und ist Basis einer Vielzahl von Anwendungen. Mit g(x) = x ist Fix) = L(x). Die Beziehung zwischen F 1 [g(x)] und F x(x) wird als Korrelations-Lorenzkurve ( "concentration curve") der Funktion g(x) bezeichnet. 4 (8.3) Zur Herleitung wird das normale Graduationsschema um einen Schritt erweitert: Nach der Inversion wird x(F x) in g(x(F x)) transfomiert, einen Kurvenzug, der nicht zwingend steigend ist. Das Merkmal Y = g(X) wird nach der Höhe der Merkmalsausprägungen von X und nicht von g(X) kumuliert. Der Funktionswert F iF x) gibt den Anteil an der Merkmalssumme von Merkmal Y = g(X) an, den die F X• 100% kleinsten Merkmalsträger des Merkmals X auf sich vereinigen. 2 Vgl. KAKWANI, N. C. (1980a), S. 157. 3 Vgl. PATIL, G. P. / RAO, C. R. (1977 und 1978) sowie PATIL, G. P. / RAO, C. R. / ZELEN, M. (1988). 4 Vgl. KAKWANI, N. C. (1980a), S. 157. 127 Wegen (8.3) ist dann (8.4) dF [ F x(x)] dF (x) dx ~ 5 ~Fx ( x) = ~. CJFi = µg ~ o. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung hängt davon ab, ob g(x) steigend oder fallend ist: (8.5) Da g'(x) =~auch das Vorzeichen der Elastizität 1/g,x = g'(x) g(x) bestimmt, läßt sich die Aussage treffen, daß F iF x) genau dann konvex [konkav] ist, wenn 1/g,x ~ 0 [ 1/g,x $ O] für alle x ~ 0 ist. Im Gegensatz zur Lorenzkurve ist F g[F xl also nicht zwingend konvex, da die Kumulation des Merkmals Y = g(X) nach der Größenordnung des Merkmals X vorgenommen wird. Dieses Prinzip -eine Variable wird gemäß der Größenordnung einer anderen kumuliert bzw. weiterverarbeitet -, ist sehr allgemein und eröffnet daher eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten. 6 Als geeignetes Flächenmaß für die Korrelationsmessung definiert KAKW ANI (8.6) CD Cg = 1-2 f Fix) f(x)dx ,1 0 1 1 (8.7) = 1-2 f 0 FiFx)dFx = 2 flFx - FiFx)]dFx. 0 5 Vgl. KAKWANI, N. C. (1980a), S. 158. 6 In Analogie zu GL(F) von SHORROCKS (Vgl. Kap. 3.3) kann auch hier wiederum eine absolute bzw. nicht normierte Version von F g(F X) betrachtet werden. Vgl. YITZHAKI, S. / OLKIN, I. (1991), s. 386f. 7 Vgl. KAKWANI, N. C. (1977), S. 721 und (1980a), S. 175. 128 C läßt sich als Kovarianz zwischen g_QQ und 2F x(x) interpretieren.s Die Partielle g µg Integration führt zu: CD (8.8) C =1-2 [(F (x)Fx(x)if ~Fx(x)fx(x)dx] g g O O µg CD = [ [ ~) - 1] [ 2Fx(x) - l] fx(x)dx = Cov [ gt;), 2Fx(x) ]· Cg ist ein Korrelationsmaß, welches den Wert Null annimmt, wenn g(x) und F x(x) nicht korreliert sind, d.h. sich die Flächenstücke unterhalb und oberhalb der Diagonale F g = F X ausgleichen. Bei einer proportionalen Änderung von g(x), g*(x) = bg(x), b > 0 bleibt C konstant. g Der Gini-Koeffizient Ry mit Y = g(X) ist formulierbar als: (8.9) Ry = Cov [ g1;), 2Fy(g(X))] , so daß gilt: (8.10) Cov(g(x) , Fx(x)) Cg = Cov(g(x) , F'y(g(x)))RY 8 Vgl. KAKWANI, N. C. (1980a), S. 173. 129 rn 2 Wegen Var F x(x) = Var Fy(g(x)) = f F(x)2 f(x)dx -½ = ri läßt sich schreiben 0 (8.11) Cov (g(x) , Fx(x)) / [Var g(x). Var Fx(x)]o, 5 Cg = Cov (g(x) ' Fy(g(x)))/ [Var g(x) . Var Fy(g(x))]0,5. Ry, p(g(x), Fx(x)) <=) Cg = p(g(x),Fy(g(x)) Ry' wobei p der Korrelationskoeffizient nach Pearson-Bravais ist. Im Extremfall g'(x) > 0 für x ~ 0 gilt p(g(x), Fx(x)) = p(g(x), Fy(g(x)), was bedeutet, bei X und g(X) ordnen sich die Merkmalsträger in gleicher Reihenfolge , so daß Cg = Ry ist. Für g'(x) < 0 für x ~ 0 ist p (g(x) ,Fx(x)) = - p(g(x), Fy(g(x)), d.h. x und g(x) ordnen sich die Merkmalsträger in umgekehrter Reihenfolge. C nimmt in dem Fall den g Wert -Ry an. Folglich variiert Cg im Bereich - Ry ~ Cg ~ Ry .9 Ein Ansatz für die Aggregation von k Sektoren mit g(x) = g/x) a ~ ai ~ bi ~ b läßt sich aus der Kovarianzstruktur schnell herleiten (8.12) h.h. b C = I: h. J. C + I: _!.....1 f g(x) [2F.(x)-1] f.(x)dx. 10 g . 1 1 g. 'f.. µ 1 J 1 1 IJ ga Beide Summanden können ein positives oder negatives Vorzeichen haben. Mit g(X) = X gelangt man zu Zerlegung B des Gini-Koeffizienten. 11 9 Vgl. KAKWANI, N. C. (1980a), S. 175 und PIESCH, W. (1975), S. 76. 10 Vgl. Herleitung im Anhang. 11 Vgl. Kap. 4.7. 130 Eine Verallgemeinerung von Cg schlägt YITZHAKI1 2 in Analogie zu r(X,v) vor: (8.13) g_(& v-1 µf!, -E[g(Xl:v)] r(Y,X,v) = cov( , - v(l - F x(x) ) = ~~---- µg µg 1 mit E[g(X1 )] = v J g(x(Fx)) (1-Fxt- 1dFx.13 0 Entsprechend läßt sich analog r•(X,v) auch eine andere Verallgemeinerung von Cg entwickeln: (8.14) g_(& v-1 E(g(Xv.)) - µg r•(Y,X,v) = cov( , vFx(x) ) = ---·--- µg µg 1 mit E(g(Xv:)) = V f g(x(Fx)) Fxv-ldFx_14 0 Die relative Korrelations-Lorenzkurve ( oder "relative concentration curve") 15 von * Y = g(X) mit Bezug zu Z = g (X) ist definiert als Gegenüberstellung von F (x) und g F g *(x) für gegeben*es x oder äquivalent F iF x) versus F g *(F x) für gleiches F X F g[F g *], wobei an g (x) die gleichen Ansprüche gestellt werden wie an g(x). Die Steigung von F g[F g *] ist positiv. (8.15) 12 Vgl. YITZHAKI, S. (1991), S. 236. 13 Vgl. Kapitel 4.2.1.1. 14 Vgl. Kapitel 4.2.1.1. 15 Vgl. HAINSWORTH, G. B. (1964) und PFÄHLER, W. (1985). 233 Blackorby, C. / Donaldson, D. 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