Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und Zinsänderungschancen

Rudolph, Bernd; Wondrak, Bernhard Article Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und Zinsänderungschancen Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Rudolph, Bernd; Wondrak, Bernhard (1986) : Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und Zinsänderungschancen, Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik, ISSN 0342-1783, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 106, Iss. 4, pp. 337-361, https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/291641 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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Sozialwissenschaften (ZWS) 106(198 6),S.337-361 Duncker & Humblot, Berlin 41 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und Zinsänderungschancen Von Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak* Zunehmende Zinsfluktuationen haben in den letzten Jahren zu wachsenden Renditeund Vermögensrisiken aus Anlagen in festverzinslichen Wertpapieren geführt. Anlagestrategien, die die mittlere Kapitalbindungsdauer als Portefeuilleauswahlkriterium benutzen (sog. Duration-Strategien), können eine Immunisierung des Wertpapierportefeuilles gegen Zinsänderungsrisiken bewirken. Solche Immunisierungsstrategien implizieren aber eine extreme Risikoaversion des Investors. Der hier vorgestellte Ansatz vermeidet diese Annahme und ermöglicht die Entwicklung von Instrumenten zur flexiblen Chancen-Risiken-Steuerung von Festzinsportefeuilles. A. Problemstellung Obwohl Anlagen in festverzinslichen Wertpapieren gemeinhin als besonders risikoarm angesehen werden, unterliegen sie bestimmten Risiken. Gegenstand des vorliegenden Beitrags ist ausschließlich das Zinsänderungsrisiko als das für festverzinsliche Wertpapiere typische Risiko. Bei der Berücksichtigung dieses Risikos in der Portefeuilleplanung wird davon ausgegangen, daß der Anleger keine zuverlässigen Informationen über die zukünftige Marktzinsentwicklung hat. Dieser unvollkommene Informationsstand wird in der Annahme präzisiert, daß der Anleger bei seinen Dispositionen keine speziellen Zinsprognosen berücksichtigt, sondern das Anlageproblem als Entscheidungsproblem bei Unsicherheit im engeren Sinne betrachtet. Zur Lösung solcher Portefeuilleplanungsprobleme bei Unsicherheit sind in der Anlagepraxis und in der Literatur Anlagestrategien mit dem Ziel entwickelt worden, durch Mischung von Wertpapieren mit unterschiedlichen Restlaufzeiten das Zinsänderungsrisiko zu begrenzen.1 Die Rationalität dieser als Laufzeitstrategien bekannten Anlageempfehlungen ist allerdings nicht gesichert.2 * Die Verfasser arbeiten an einem von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Forschungsprojekt über spezielle Verfahren zur Immunisierung von Portefeuilles festverzinslicher Wertpapiere. 1 Vgl. Cheng (1962), Wolf (1969), Crane (1971), Fisher / Weil (1971), Watson (1972), Bradley / Crane (1975) und Fogler / Groves / Richardson (1977). 2 Vgl. Bühler (1983), 116 - 131. 22 Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften 1986/4 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 338 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak Entscheidungstheoretisch fundiert sind dagegen die auf der sogenannten „Duration" als Kennzahl der mittleren Restlaufzeit von Wertpapieranlagen aufbauenden ImmunisierungsStrategien, die zu Wertpapierportefeuilles führen, deren Anlageergebnisse von möglicherweise eintretenden, aber nicht abschätzbaren Änderungen des Zinsniveaus und/oder der Zinsstruktur nicht negativ beeinflußt werden. Auf dem Konzept dieser Immunisierungsstrategien, das im Teil B zusammenfassend dargestellt und als Anlageempfehlung für sehr risikoscheue Wertpapierkäufer empfohlen wird, baut die Idee einer Risiko-Chancen-Planung von Wertpapierportefeuilles auf, die eine Immunisierung der Anlageergebnisse auf einer vom Anleger vorgegebenen Mindestrendite zuläßt. Im Teil C wird mit der Entwicklung eines Modells zur Teilimmunisierung des Anlageergebnisses gegenüber unvorhergesehenen Marktzinsänderungen ein Vorschlag zur Portefeuilleplanung für Wertpapieranleger formuliert, die keine extreme Risikoscheu in der Weise zeigen, daß sie Risiken aus Marktzinsänderungen auch bei entgegenstehenden Zinsänderungschancen mit allen Mitteln zu vermeiden trachten. Das Ziel der Anleger besteht vielmehr in der Maximierung der Zinsänderungschancen bei einer festen Begrenzung der Zinsänderungsrisiken. Im Teil D werden mögliche Weiterentwicklungen, Modifikationen und Anwendungsmöglichkeiten der entwickelten Teilimmunisierungsstrategie aufgezeigt. B. Das Grundmodell der Immunisierung 1. Begriff und Entwicklung des Duration-Konzepts Jede Einzahlung aus einer Kapitalanlage unterliegt einem Zinsänderungsrisiko, sofern der Anleger die Zahlungsmittel nicht unmittelbar zum Zahlungszeitpunkt entnimmt. Geht man beispielsweise davon aus, daß der Anleger am Ende seiner Planungsperiode über das Portefeuillevermögen in einem Betrag verfügen will, dann unterliegen alle Zinsund Tilgungszahlungen, die nicht genau zum Planungshorizont erfolgen, dem Zinsänderungsrisiko. Der Einfluß einer möglichen Zinsänderung auf den Wert einer Einzahlung ist dabei um so größer, je weiter der Einzahlungstermin vom Planungshorizont entfernt ist. Berechnet man für ein Wertpapier oder ein Wertpapierportefeuille mit unterschiedlichen Einzahlungszeitpunkten einen gewichteten Mittelwert der Fälligkeitszeitpunkte, so kann der Abstand D dieses Mittelwertes vom Planungshorizont bzw. einem anderen Bezugszeitpunkt als Indikator für die Zinsempfindlichkeit der Vermögensanlage herangezogen werden. Macaulay3 hat diesen Indikator D entdeckt, als Duration bezeichnet und ihn als skalares Maß zur Erfassung der Zeitstruktur der Zahlungen aus einer OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 339 Kuponanleihe in die Literatur eingeführt. Von Redington4 stammt der Begriff der Immunisierung. Redington hat in einem Beitrag zur Anlagepolitik von Versicherungsunternehmen gezeigt, daß die Nettoposition der Barwerte der Schadenund Prämienzahlungen von Versicherungen dann gegen Zinsänderungen immun ist, wenn die Duration-Werte beider Zahlungsströme gleich sind und die Streuung der Fälligkeitstermine des Prämienstroms nicht kleiner ist als die Streuung der Zeitpunkte der Schadenzahlungen. Wesentliche Impulse erhielt die Forschung zur Immunisierung von Wertpapieranlagen gegen nicht antizipierte Zinsänderungen mit der Arbeit von Fisher und Weil5, die zeigen konnten, daß das Zinsänderungsrisiko für Anlagen in festverzinslichen Wertpapieren mit der Duration-Strategie weitgehend eliminiert werden kann. Hopewell und Kauf man6 verwendeten die Duration-Kennzahl eines Festzinspapiers als Proportionalitätsfaktor zur Abschätzung der Kursänderungen des Titels bei kleinen Marktzinsänderungen.7 Heute haben sich für die Duration-Analyse zwei Hauptanwendungsbereiche herausgebildet: 1. Mit Hilfe von Duration-Analysen wird die Zinsempfindlichkeit des Marktwertes von Unternehmen abgeschätzt und gesteuert.8 2. Die Duration-Analyse wird als Steuerungskonzept in der Portefeuilleplanung zur Immunisierung gegen unverhoffte Zinsänderungsrisiken eingesetzt.9 Die Weiterentwicklung der Duration-Analyse setzt an einem Kritikpunkt an, der es zweckmäßig erscheinen läßt, zunächst die formale Herleitung einer Immunisierungsstrategie zu betrachten, damit die Prämissen einer solchen theoretischen Analyse hervorgehoben werden können. 3 Vgl. Macaulay (1938). Macaulay benutzt in seiner empirischen Arbeit den Effektivzins der untersuchten Anleihen statt des Marktzinses als Diskontsatz. Vgl. dazu die Kritik von Carr / Halpern / McCallum (1974) und Rudolph (1979). 4 Vgl. Redington (1952). s Vgl. Fisher/ Weil (1971). 6 Vgl. Hopewell / Kaufman (1973). 7 Einen guten Überblick über die früheren Arbeiten zur Duration-Analyse findet man bei Weil (1973). 8 Die Duration-Kennzahl zur Abschätzung von Marktzinsrisiken von Banken benutzen Grove (1974) und in jüngster Zeit Kaufman / Malliaris (1983). In der deutschsprachigen Literatur beschäftigen sich vor allem Rudolph (1979), (1981b) und Schmidt (1979), (1981) mit der Anwendung der Duration-Analyse auf die Planung der Finanzintermediäre. 9 Einen Überblick über die amerikanische Literatur findet man bei Weil (1973), Ingersoll / Skelton / Weil (1978) und besonders Bierwag / Kaufman / Toevs (1983 a). Aus der deutschsprachigen Literatur sind die Beiträge von Rudolph (1981), Uhlir / Steiner (1983), Bühler (1983) und Albrecht (1984) zu nennen. 22* OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 340 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak 2. Ableitung einer Immunisierungsstrategie Ein Kapitalanleger plant in t = 0 eine Anlage seines Vermögens V0 in festverzinslichen Wertpapieren. Diese Anlage soll gegen Wertverluste aus zwischenzeitlich eintretenden nicht antizipierten Marktzinsänderungen immunisiert werden. Das Anlageergebnis wird im Planungshorizont T als gesamtes Portefeuilleendvermögen festgestellt. Die Anlagestrategie wird unter Berücksichtigung folgender Annahmen entwickelt: 1. Es herrscht eine flache Marktzinskurve, d.h. die Höhe des Marktzinses i0 ist von der Restlaufzeit der Wertpapiere unabhängig. 2. Im Planungszeitraum kann eine einzige Marktzinsänderung eintreten. Dieser Zinsschock kann nur unmittelbar nach der Anlage der Mittel, also kurz nach t = 0 erfolgen. 3. Das Ausmaß der ex ante unbekannten Zinsänderung in Prozentpunkten beträgt A = 0. 4. Der Anleger löst das Portefeuille im Planungshorizont T auf. Dem Portefeuille werden zwischenzeitlich keine Beträge entnommen. Zwischenzeitliche Zinsund Tilgungszahlungen werden zum neuen Marktzins bis zum Planungshorizont T wieder angelegt. 5. Terminverträge zur sicheren Wiederanlage der zwischenzeitlichen Zinsund Tilgungszahlungen zum geltenden Marktzins z0 sind nicht möglich. 6. Es fallen keine Transaktionskosten oder Steuern an. Mögliche Ganzzahligkeitsbedingungen sowie Mindestoder Höchstbeträge der Anlage sind nicht zu beachten. Das Wertpapierportefeuille des Anlegers ist gegen mögliche Marktzinsänderungen A dann immunisiert, wenn das Endvermögen nach der möglichen Zinsänderung VT (A) nicht kleiner ist als das im Planungszeitpunkt t = 0 zum Zinssatz i0 berechnete Endvermögen VT (0). Die Immunisierungsbedingung läßt sich formal also angeben als (1) VT (A) ^ VT (0) für A | 0 . Das zum Zeitpunkt t = 0 berechnete Endvermögen VT (0) entspricht dem mit dem Marktzins i0 auf gezins ten Anfangs vermögen V0 und ist gleich dem Gegenwartswert10 der Zahlungen aus der Vermögensanlage im Zeitpunkt T. Erfolgen solche Zahlungen Ct vom Zeitpunkt 1 bis zum Zeitpunkt N > T, so gilt11 10 Zum Begriff des Gegenwartswertes vgl. Hax (1979), 12. 11 Zahlungen zum Zeitpunkt 0, die als Kassenhaltung interpretiert werden können, schließen wir hier der Einfachheit halber aus. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 341 (2) VT (0) = (1 + i0)T V0 = 2 Ct (1 + i0f1 = (1 + i0)T 2 Ct (1 + i0) ~ 1 • t = i t = I Eine Zinsänderung A nach Anlage der Mittel wird den Gegenwartswert der Vermögensanlage zum Zeitpunkt T im allgemeinen verändern, der sich nun aus N (3) Vt(A)= 2 ct(l + U + A)T_i t = I berechnet. a) Tritt keine Zinsänderung ein (A = 0), so gilt natürlich VT (A) = VT (0) und die Bedingung (1) ist erfüllt. b) Die Immunisierungsbedingung (1) ist für infinitesimale Zinsänderungen aber auch erfüllt, wenn die Änderung der Funktion (3) gegenüber (2) bei einer Zinsänderung um A gleich Null ist. Leitet man (3) nach A ab und setzt die Ableitung gleich Null (Immunisierungsbedingung), so erhält man DVT (A) ^ (4) = 2 (T — t) Ct (1 + ¿O + A) = 0 . dX t = i Unter Berücksichtigung von (2) erhält man aus (4) für den Marktzins z0 (A = 0) die Immunisierungsbedingung 1 N (5) T = 2 tCt (1 + ¿O)~ i, V0(0) i=i N mit V0 (0) = 2 Ct (1 + z0)~t = V0 als Vermögensanlagebetrag. In (5) stellt die rechte Seite die Duration D der Vermögensanlage dar. Die Duration der Vermögensanlage ist ein gewichteter Durchschnitt der Abstände t = 1, 2, . . . , N der Einzahlungszeitpunkte vom Bezugszeitpunkt t = 0, wobei die Barwertanteile der verschiedenen Einzahlungsbeträge am Gesamtwert V0 (0) der Einzahlungsreihe als Gewichtungsfaktoren dienen. Die Immunisierungsbedingung ist erfüllt, so daß das Endvermögen des Anlegers im Zeitpunkt Tnach einer Zinsänderung A nicht vom Endvermögen ohne Zinsänderung abweicht, wenn die Anlage so gewählt wird, daß ihre Duration D der Zeit T bis zum Planungshorizont entspricht. c) Schließlich ist die Immunisierungsbedingung (1) dann erfüllt, wenn zwar VT (A) VT (0) ist, die Vermögensänderung aber unabhängig von der OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 342 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak Richtung der Zinsänderung stets positiv ist, weil VT (A) > VT (0) für A ^ 0 gilt. Wegen d2 VT (A) " : = Z (T — t) (T — t — 1) Ct (1 + i0 + A) r > 0 12 dXz t= 1 hat VT (A) für A = 0 ein Minimum, wenn T = D, d.h. (5) gilt. 3. Eine Beispielrechnung Ein Kapitalanleger plant den Erwerb festverzinslicher Wertpapiere und will dabei den im Planungszeitpunkt t = 0 geltenden Marktzinssatz in Höhe von z0 = 0,1 bis zu seinem Planungshorizont T = 5 absichern. Das Anfangsvermögen beträgt V0 = 100000 DM, der Anleger nimmt keine zwischenzeitlichen Entnahmen vor. Das Portefeuille kann aus zwei Kuponanleihen gebildet werden. Anleihe A hat eine Restlaufzeit von zwei Jahren, Anleihe B wird in zehn Jahren fällig. Die Rückzahlungen erfolgen jeweils zu 100%. Beide Papiere sind mit einer Nominalverzinsung von 10% ausgestattet und notieren am Planungsbeginn beim Marktzins von i0 = 0,1 zu pari. In t = 0 lassen sich für die beiden Titel A und B die Duration-Werte DA und DB berechnen: DA = 1 + 2 « 1,91 und 100 10 10 10 + 5 — + 6 •- 1,15 1,1® 1 r 10 ho 1 — 1—+2 —- « 00 L 1,1 1,1 J 1 r 10 10 10 10 DB = 1 — + 2 —- + 3 —- + 4 — 100 L 1,1 1,1 1,1 1,1 10 10 10 110 1 + 7 + 8 + 9 410 — « 6,76 . 1,17 1,1® 1,1® 1,110 J Ein Portefeuille aus den Wertpapieren A und B hat die Duration D = 5, wenn der Anteil x in das Wertpapier A fließt und der Anteil (1 - x) in das Wertpapier B und gleichzeitig XDa + (1 - x) Db = D = 5 gilt. Wir erhalten das immunisierte Portefeuille mit 5,00 - 6,76 1,91 - 6,76 •= 0,363 . 12 Zum formalen Beweis vgl. Rudolph (1979), 191. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 343 Der Anleger legt seine Mittel in t = 0 in einem Portefeuille aus 100 000 • x = 36 300 DM Kurswert der Anleihe A und 100 000 • (1 - x) = 63 700 DM Kurswert der Anleihe B an und sichert damit die Marktrendite von 10% bis zum Planungshorizont ab. Zur Demonstration betrachten wir das Endvermögen aus dem immunisierten Portefeuille bei drei unterschiedlichen Zinsentwicklungen. Im ersten Fall sinkt der Marktzins um A = — 0,02 auf ¿i = 0,08, im zweiten Fall bleibt der Marktzins konstant und im dritten Fall steigt der Marktzins um A = + 0,02 auf ii = 0,12. Für das immunisierte Portefeuille x = 0,363 ergeben sich folgende Portefeuilleendvermögen. Zinsentwicklung A = - 0,02 A = 0 A = + 0,02 VT (A) in DM 161396 161 051 161 386 Die Tabelle zeigt, daß der Anleger genau das im Planungszeitpunkt berechnete Endvermögen in Höhe von 100 000 • 1,15 = 161 051 DM erhält, wenn sich der Marktzins nicht ändert. Treten während des Planungszeitraums Zinsänderungen ein, so realisiert der Anleger unabhängig von der Richtung der Zinsänderung ein höheres Endvermögen als das zunächst in Höhe von 161 051 DM berechnete. Der Anleger ist also gegen Verluste aus Zinsänderungen vollständig geschützt, wenn er die abgeleitete DurationStrategie verfolgt, die Duration D seines Portefeuilles seinem individuellen Planungszeitraum T anzugleichen. 4. Beurteilung der Duration-Analyse Die Ableitung der Immunisierungsstrategie und das vorgestellte Beispiel beziehen sich auf den einfachsten und gleichzeitig wenig realistischen Fall einer Absicherung gegen Zinsänderungen. Die wesentlichen Kritikpunkte an der Strategie beziehen sich daher auf die engen Prämissen des Ansatzes: - Es wird nur eine einzige mögliche Zinsänderung im Planungszeitraum, kurz nach t — 0, berücksichtigt. - Die Marktzinskurve ist flach, d. h. es existiert ein Einheitszinssatz für alle Anlagezeiträume. - Mögliche Zinsänderungen treten ausschließlich als parallele Verschiebung der flachen Zinskurve auf. - Dem Portefeuille werden bis zum Planungshorizont keine Beträge entnommen. In der Literatur sind Ansätze entwickelt worden, die die genannten engen Prämissen des Ansatzes zugunsten realistischerer Annahmen aufheben: OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 344 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak - Bierwag13 und Khangu haben ein Verfahren zur Absicherung von Festzinsanlagen gegen Zinsänderungsrisiken auch bei mehrfacher Zinsänderung bis zum Planungshorizont entwickelt. - Die grundsätzliche Anwendbarkeit der Duration-Analyse bei nicht flacher Zinskurve wurde schon von Fisher / Weil15 demonstriert. Zur Berücksichtigung nicht flacher Zinskurven wurden insbesondere für additive und multiplikative Zinsänderungsprozesse Duration-Maße konstruiert.16 Darüber hinaus sind Duration-Maße für restlaufzeitabhängige Zinsänderungsprozesse abgeleitet worden, die mögliche stärkere Schwankungen der kurzfristigen gegenüber den langfristigen Zinssätzen berücksichtigen.17 - Die oben angesprochenen und üblicherweise verwendeten Zinsänderungsprozesse sind mit der in den Immunisierungsmodellen geltenden Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes unverträglich, da nach einer Zinsänderung risikolose Arbitragegewinne durch Laufzeittransformationen möglich wären.18 Einen Ausweg bietet das Modell der Diffusionsprozesse, das die Arbitragebedingung erfüllt und damit die Immunisierungsmodelle mit den Gleichgewichtsmodellen des Kapitalmarktes verträglich macht.19 - Die Immunisierung von mehrfachen Entnahmen während der Planungsperiode ist generell möglich. Nach Redington haben besonders Rudolph20 und Bierwag / Kauf man / Toevs21 diese Problemstellung aufgegriffen und entsprechende Anlagestrategien entwickelt. - Eine besonders restriktive Annahme in den Arbeiten zur Immunisierung von Festzinsanlagen gegen Zinsänderungsrisiken besteht in der unterstellten Zielsetzung des Anlegers, alle Zinsrisiken möglichst vollständig zu eliminieren. Diese Zielsetzung impliziert eine extreme Risikoaversion 13 Vgl. Bierwag (1979) und Bierwag / Kaufman / Toevs (1983 c). 14 Vgl. Khang (1983). 15 Vgl. Fisher/Weil (1971). 16 Vgl. Bierwag (1977) und Cooper (1977). 17 Vgl. Khang (1979). Da aber auch mit komplexen Zinsänderungskonstruktionen der tatsächliche Zinsänderungsprozeß nicht immer ausreichend genau abgebildet werden kann, bleibt ein sogenanntes Restprozeßrisiko bestehen, das mit der verwendeten Duration-Kennzahl variiert und sich als Zinsverlust trotz theoretisch perfekter Immunisierung offenbart. Bierwag / Kaufman / Toevs (1983) und auch Bierwag / Kaufman / Schweitzer / Toevs (1981) vergleichen unterschiedliche Duration-Kennzahlen bezüglich des Restprozeßrisikos. Fong / Vasicek (1983) und (1984) zeigen eine Möglichkeit zur Reduktion des Restprozeßrisikos unabhängig von den verwendeten Duration-Kennzahlen auf. 18 Auf diesen Effekt haben erstmals Ingersoll / Skelton / Weil (1978) hingewiesen. 19 Vgl. Albrecht (1984). 20 Vgl. Rudolph (1981). 21 Vgl. Bierwag / Kaufman / Toevs (1983 c). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 351 Das Endvermögen aus (6) ist ein Minimumendvermögen, wenn die durch eine Zinsänderung hervorgerufene Änderung des Endvermögens gleich Null ist. Zur Berechnung des Portefeuilles mit diesem Minimumendvermögen bilden wir die erste Ableitung der Gleichung (6) nach A und setzen diese gleich Null: dVT(X) Ä (7) = xk Z {T-VCAtil + io + Xf-*-1 dX t= i + (!-**) 2 (T — t) Cßt (1 + ¿o + A)r~ i ~ 1 = 0 . Nach einigen Umformungen erhalten wir IT-DA (A)] / ^ [T — DB (A)] (8) xfc - = (xk - 1) - Kb (A) KA (A) mit den Duration-Werten Nj 2 tCjt( 1 + ¿o + A)"£ (9) Dj (A) = — — für j = A, B Kj (A) und den Kursen Nj (10) Kj (A) = 2 Cjt (1 + t0 + A) - f für j = A, B . t = i Das Portefeuille, das ein Minimumendvermögen in Höhe von VT (A) generiert, ermitteln wir als IT ~ DB CA)] KA (A) (11) [T — Da (A)] [T-Db(?,)] KB (A) KA (A) Zur Ermittlung der optimalen Teilimmunisierungsstrategie nutzen wir also die Marktzinsabhängigkeit der Duration-Kennzahl. Der Ausdruck (9) zeigt, daß die Duration eines Kuponpapiers vom jeweiligen Marktzins abhängig ist. Die Duration fällt mit steigendem Marktzins, denn die früher eintretenden Zahlungen erhalten ein stärkeres Gewicht als die später fälligen: dDj (A) Dj = Dj (A) und <0 für j = A, B . 30 dX OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 352 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak Bei kontinuierlicher Variation des Marktzinssatzes kann die Duration jedes Kuponpapiers durch eine fallende Kurve dargestellt werden (vgl. Abbildung 4). Für bestimmte Marktzinsänderungen läßt sich dann die Höhe der Duration eines Wertpapiers direkt ablesen. Die bei einem Marktzins von ¿0 + Ai ermittelte Duration gibt den Zeitpunkt an, an dem das Periodenvermögen in t = D (Ai) eines zum Kurs auf der Basis von i0 in t = 0 erworbenen Wertpapiers (Kuponpapier) unabhängig von jeder Zinsänderung nach t = 0 nicht unter das mit dem Marktzins i0 + Ax berechnete Periodenvermögen fällt. Das mit i0 + Ai berechnete Periodenvermögen in t = D (A^ ist ein Minimumperiodenvermögen bzw. ein Minimumendvermögen, wenn D (A^ gleich dem Planungshorizont des Anlegers T ist. Aus der Gleichung (11) ermitteln wir nun das Portefeuille xk, das nach Vorgabe einer beliebigen Zinsänderung A* bei dem Marktzins i0 + A* ein Minimumendvermögen in T generiert. Da der Anleger keine Zinsprognosen kennt, ist es gleichgültig, ob eine Zinsänderung A* > 0 oder A* < 0 vorgegeben wird, das Minimumendvermögen wird niemals unterschritten. Wählt der Anleger A* >0, so resultiert daraus ein teilimmunisiertes Portefeuille mit niedrigerem Zinsanteil und höherem Kursanteil im Endvermögen als im vollimmunisierten Portefeuille (xk < x*). Der Anleger erzielt bei fallenden Marktzinsen Zinsgewinne, bei steigenden Marktzinsen erleidet er begrenzt Zinsverluste. Im Falle A* < 0 weist das teilimmunisierte Portefeuille einen höheren Zinsanteil und niedrigeren Kursanteil als das vollimmunisierte Portefeuille auf (xk>x*). Eine solche Wertpapierkombination führt bei steigenden Marktzinsen zu Zinsgewinnen und bei fallenden Marktzinsen zu 30 Die Ableitung der Duration aus (9) nach A ergibt: Nj 2 t2Cjt( 1 + ¿o + A) " i dD;(A) i=1 • = D] <0. dA ; Kj (A) Die Duration ist eine fallende Funktion des Marktzinses. Die Ableitung des DurationMaßes einer Kuponanleihe nach dem Zins bzw. der Zinsänderung entspricht dem negativen Wert der Varianz der Einzahlungszeitpunkte über die Duration des Wertpapiers M) (vgl. Fong / Vasicek (1983)): Nj 2 (Dj - t)2 Cjt (1 + ¿0 + A) - ' o t=1 M) = <0 für t ^ Dj. S cjt(l + i0 + A)-J t = i dDj (A) o dDj (A) Wegen M) > 0 und = - M) gilt < 0 . dA dA Die Bedingung für ein Minimum der Endvermögensfunktion VT (A) aus (6) an der Stelle A ist mit d2 VT (A)/dA2 > 0 erfüllt. Die Duration-Kennzahl von Diskontpapieren (Zero-Bonds) ist zinsunabhängig, da nur eine Einzahlung am Ende der Laufzeit des Titels erfolgt. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 353 A = Ai Abb. 4: Abhängigkeit der Duration-Werte vom Marktzins und der Restlaufzeit einer Kuponanleihe Zinsverlusten, die jedoch auf die Höhe des vorgegebenen Risikopotentials begrenzt sind. Wir wählen hier exemplarisch eine Zinsänderung A* > 0 (Schritt 1). Mit dieser kritischen Zinsänderung berechnen wir aus (10) die marktzinsabhängigen Kurse KA (A*) und KB (A*) und aus (9) die marktzinsabhängigen Duration-Werte DA (A*) und DB (A*) für die zwei Wertpapiere, setzen diese in (11) ein und erhalten mit xx das Portefeuille, das beim Marktzins i0 + A* > ¿o ein Minimumendvermögen am Planungshorizent T erzeugt (Schritt 2). Bei jeder anderen Zinsänderung, die nicht auf A* führt, ist das Endvermögen aus höher als das Minimumend vermögen. Ändert sich der Marktzins nicht, wird auch mit dem teilimmunisierten Portefeuille X\ das erwartete Endvermögen am Planungshorizont VT (0) erreicht. Im dritten Schritt setzen wir A* und X\ aus (11) in die Endvermögensgleichung (6) ein. VT (A*) gibt die Höhe des Minimumendvermögens an. Der Vergleich des errechneten Minimumendvermögens VT (A*) mit dem vorgegebenen Mindestendvermögen VT(f) im vierten Schritt zeigt, ob das Portefeuille xx das optimale, ein zulässiges oder ein unzulässiges Portefeuille ist: VT (A*) = VT (/) Xi ist das optimale teilimmunisierte Portefeuille, da es das vorgegebene Risikopotential vollständig ausnutzt. Der Anleger erwirbt für xx V0 Wertpapier A und für (1 — x{) VQ Wertpapier B. 23 Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozial Wissenschaften 1986/4 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak Das Portefeuille Xi ist ein zulässiges Portefeuille, da sein effektives Risikopotential das vorgegebene Risikopotential nicht unterschreitet. Allerdings nutzt das Portefeuille die Risikospanne nicht vollständig aus. Der Anleger kann eine bessere Position erreichen, wenn er mit einer größeren Zinsänderung A+ > A* > 0 ein Portefeuille Xk, k 1 bestimmt, das den akzeptierten Risikoraum besser ausnutzt. Die vorgegebene kritische Zinsänderung wird solange variiert, bis das Optimalportefeuille mit VT (A+) = VT (/) erreicht ist. Das errechnete Portefeuille Xi ist ein unzulässiges Portefeuille, da sein Minimumendvermögen die Höhe des Mindestendvermögens nicht erreicht. Die angenommene Zinsänderung weicht zu stark vom ursprünglichen Marktzins ab. Der Anleger muß mit einer neuen kritischen Zinsänderung A+, die geringer ist als die vorgegebene Größe A* im ersten Durchgang, A* > A+ > 0, die Schritte 2 bis 4 solange wiederholen, bis das optimale Portefeuille gefunden ist. Die Auswahl der optimalen Anlagestrategie erfolgt nach einer zweiparametrigen Entscheidungsregel, nach der in unserem Unsicherheitsmodell nur zwei Zielausprägungen berücksichtigt werden: das maximale und das minimale Endvermögen jeder Anlagestrategie. Strategien, deren Minimumendvermögen das vorgegebene Mindestendvermögen nicht erreichen, sind unzulässige Strategien. Alle Anlagealternativen, die das Mindestendvermögen gerade erreichen oder übertreffen, sind zulässig. Unter den zulässigen ist die Strategie optimal, die ein Minimumendvermögen genau in Höhe des Mindestendvermögens generiert, denn diese Strategie erreicht auch das maximale Endvermögen aller zulässigen Strategien. 3. Ein Beispiel Ein Anleger will einen Betrag von 100 000 DM für fünf Jahre in festverzinslichen Wertpapieren festlegen. Der Marktzins im Zeitpunkt der Anlage beträgt 10% p.a. (z0 = 0,1, flache Zinskurve). Das Portefeuille soll so gestaltet sein, daß eine Rendite von 9,5% p.a. über die Planungsperiode nicht unterschritten wird. Daraus errechnet sich ein vorgegebenes Mindestendvermögen VT{f) in Höhe von 100 000 • 1,0955 = 157 423 DM. Als Anlagemöglichkeiten stehen zwei Anleihen erstklassiger Bonität mit jährlichem Kupon in Höhe von 10% zur Verfügung. Anleihe A hat eine Restlaufzeit von 2 Jahren, Anleihe B wird in 10 Jahren getilgt. Beide Titel werden zu 100% zurückgezahlt. Da der Nominalzins dem Marktzins entspricht, notieren beide Titel in t = 0 zu pari. 354 Vt(A*)> VT(/) Vt (A*) < VT (/) OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 355 In der folgenden Tabelle geben wir alternative kritische Zinsänderungen (A J) vor, ermitteln für diese Zinsänderungswerte die Kurse und marktzinsabhängigen Duration-Werte am Planungsbeginn und errechnen nach Kenntnis dieser Werte das Portefeuille aus (11), das bei der kritischen Zinsänderung AJ ein Minimumendvermögen aufweist. Schließlich geben wir in der letzten Spalte das Minimumendvermögen beim Marktzins i0 + A* aus (6) an. A! Ka Da Kb Db xs (1 - xs) VT( AÌ) 0,00 + 0,01 + 0,05 + 0,068 + 0,08 100,00 1,9091 98,29 1,9083 91,87 1,9053 89,19 1,9040 87,47 1,9031 100,00 6,7590 94,11 6,6549 74,91 6,2367 68,09 6,0496 64,05 5,9258 0,3627 0,6372 0,3389 0,6611 0,2458 0,7542 0,2056 0,7944 0,1796 0,8204 161 051 160 968 159 056 157 442! 156 154 Das optimale teilimmunisierte Portefeuille lautet: DM 20 560 nominal Anleihe A und DM 79 440 nominal Anleihe B. Mit diesem Portefeuille sichert der Anleger unabhängig von der tatsächlich eintretenden Zinsentwicklung eine Rendite von 9,502% p.a.31 über die Planungsperiode ab. Werden Wertpapiere im Portefeuille kombiniert, die eine größere Differenz zwischen den einzelnen Duration-Werten aufweisen, liegt der kritische Zinssatz, bei dem das Minimumend vermögen in Höhe des Mindestendvermögens erreicht wird, näher beim ursprünglichen Marktzins. Das optimale teilimmunisierte Portefeuille führt bei fallenden Marktzinsen zu Endvermögenssteigerungen. Wir betrachten die Höhe des Endvermögens aus dem Optimalportefeuille bei drei unterschiedlichen Zinsscenarien: Ai steht für eine Marktzinssenkung um A = - 0,05 auf ii = 0,05, im Fall A2 treten keine Marktzinsänderungen ein und A3 repräsentiert einen Marktzinsanstieg um A = + 0,05 auf ii = 0,15. Zinsscenarien AI A2 AS AS - 0,05 0,00 40,05 Endvermögen VT (AS) in DM 169 214 161051 157 684 31 Eine präzise Übereinstimmung von Mindestund Minimumendvermögen läßt sich nur durch eine weitere Differenzierung der kritischen Zinsänderung erreichen. 23* OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 356 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak Durch eine Marktzinsänderung auf = 0,05 „verdient" der Anleger DM 8163. Um diesen Betrag übersteigt das Endvermögen bei = 0,05 das Endvermögen bei unverändertem Zins. Eine Marktzinssteigerung um ebenfalls A = 0,05 auf ¿i = 0,15 bewirkt nur einen Zinsverlust in Höhe von DM 3367 gegenüber unveränderten Marktzinsen. Insgesamt ist der Zinsverlust durch die Teilimmunisierung auf DM 3609 begrenzt.32 D. Zur Bedeutung von Teilimmunisierungsstrategien Mit dem hier vorgestellten Konzept der Teilimmunisierung von Portefeuilles festverzinslicher Wertpapiere gegen Zinsänderungsrisiken gelingt es erstmals, das Zinsrisiko aus einer Festzinsanlage auf einen festgelegten Betrag zu begrenzen. Der Anleger gibt entsprechend seiner Risikoeinstellung einen Mindestwert für das Endvermögen am Planungshorizont vor und erwirbt nach der Teilimmunisierungsstrategie das Portefeuille, das ihm diesen Mindestwert garantiert. Das in diesem Beitrag vorgestellte Verfahren der Teilimmunisierung ist als Grundmodell zu interpretieren, das wie das im Teil B beschriebene Grundmodell der Vollimmunisierung noch auf restriktiven Annahmen beruht: 1. Das Optimalportefeuille wird nur aus zwei Wertpapieren zusammengestellt. 2. Der Marktzinssatz ändert sich höchstens einmal unmittelbar nach Anlage der Mittel. 3. Das gesamte Portefeuillevermögen wird am Planungshorizont entnommen. 4. Die Marktzinskurve hat einen flachen Verlauf. 5. Es werden nur einfache Zinsänderungsprozesse in Form der Verschiebung einer flachen Zinskurve berücksichtigt. 6. Transaktionskosten und Steuern werden vernachlässigt. Können mehr als zwei Wertpapiere zur Portefeuillebildung herangezogen werden, dann erhält man bei günstiger Zinsentwicklung höhere Endvermögen als aus Portefeuilles mit wenigen Wertpapieren und einer im allgemeinen damit verbundenen geringeren Streuung der Zahlungstermine. Da bei Auswahl der Wertpapiere nach der zweiparametrigen Entscheidungsregel stets nur das Maximumund das Minimumendvermögen einer Strategie verglichen werden, ist aus allen zulässigen Portefeuilles die Wertpapierkombination optimal, die die höchste Streuung der Duration-Werte auf32 Dieser maximal mögliche Zinsverlust wird allerdings nur erreicht, wenn der Marktzins auf genau ¿i = 0,168 ansteigt. Liegt der neue Marktzins unter 16,8% oder schon darüber, so ist der Zinsverlust des Anlegers geringer. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 Modelle zur Planung von Zinsänderungsrisiken und -chancen 357 weist.33 Dies gilt unabhängig von den im Portefeuille kombinierten Wertpapieren, so daß es durchaus sinnvoll sein kann, Kuponanleihen mit lang laufenden Diskonttiteln (Zero-Bonds), Floating Rate Notes oder Zinsterminkontrakten zu kombinieren.34 Eine Teilimmunisierungsstrategie läßt sich ebenso wie die vollständige Immunisierung auch bei mehrfacher Zinsänderung im Planungszeitraum ableiten. Geht man davon aus, daß zwischen zwei Transaktionen aus dem Portefeuille (Halteperiode) nur eine Zinsänderung erfolgt, so kann der Anleger auch in dynamischen Modellen ein Mindestendvermögen absichern, wenn vor jeder Halteperiode (und damit vor der nächsten Zinsänderung) das jeweils optimale teilimmunisierte Portefeuille für die Restplanungsperiode erworben wird. Bei fortlaufend günstiger Zinsentwicklung für den Anleger können mit der Teilimmunisierungsstrategie beträchtliche Zinsgewinne erzielt werden, wobei das Risiko immer auf das Mindestendvermögen begrenzt bleibt. Eine fortwährend ungünstige Zinsentwicklung kann aber dazu führen, daß das Risikopotential Stück für Stück aufgebraucht wird und das Portefeuille nach einer gewissen Zeit nur noch im vollimmunisierten Status bis zum Ende der Planungsperiode gehalten werden kann.35 Zusammenfassung Durch die wachsenden Zinsfluktuationen auf den internationalen Kapitalmärkten haben sich die Zinsänderungsrisiken aus Portefeuilles festverzinslicher Wertpapiere beträchtlich erhöht. Aus Duration-Strategien lassen sich Anlageempfehlungen ableiten, die eine vollständige Immunisierung der Portefeuilles gegen zinsänderungsbedingte Verluste ermöglichen, dann aber gleichzeitig die Zinsänderungschancen drastisch reduzieren. In den neu formulierten Teilimmunisierungsstrategien wird die Annahme einer extremen Risikoaversion des Anlegers fallen gelassen. Der Investor kann eine von der anfänglichen Marktrendite abweichende Mindestrendite oder ein entsprechendes Mindestendvermögen vorgeben und auf diese Weise sein maximal mögliches Zinsänderungsrisiko fixieren. Die Teilimmunisierungsstrategie läßt die Chance offen, ein höheres als das anfänglich erwartete Endvermögen zu erzielen. Die Höhe der potentiellen Zinsgewinne wird wesentlich vom Umfang der übernommenen Zinsänderungsrisiken determiniert. Summary Increasing interest rate fluctuations on international capital markets have considerable raised interest rate risks of bond portfolios. With Duration-Strategies Investment recommendations have been developed which enable the investor to immunize 33 Dies gilt nur bei dem hier angenommenen nicht arbitragefreien Zinsänderungsprozeß. 34 Vgl. dazu Kolb / Chiang (1981), Kolb / Gay (1982), Chance (1983), Trainer (1983) und Hilliard (1984). 35 Vgl. im einzelnen Wondrak (1986). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.106.4.337 | Generated on 2023-04-04 12:07:55 358 Bernd Rudolph und Bernhard Wondrak bond portfolios and eliminate interest rate risks completely. However interest rate opportunities are dramatically reduced, too. Therefore application of Duration-Strategies implies an extreme risk-averse investor. The new constructed Part-Immunization-Strategies drop this incisive premise. The investor fixes a minimum rate of return or the appropriate minimum target value, which is lower than the promised target value. In this way the investor limits his interest rate risk to a maximum amount. The appropriate Part-Immunization-Strategy offers opportunities to increase the actual target value over the promised amount. The magnitude of interest rate opportunities is essentially determined by the range of accepted interest rate risks. Literatur Albrecht, P. (1984), Immunisierung von Schadenzahlungen eines Versicherungsunternehmens gegen Zinsänderungen bei Arbitragemodellen für die Zinsstruktur. Diskussionspapier des Instituts für Versicherungswissenschaft der Universität Mannheim, Mannheim. Bamberg, G. / Coenenberg, A. G. (1985), Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 4. A., München. Bierwag, G. O. (1977), Immunization, Duration and the Term Structure of Interest Rates, in: Journal of Financial and Quantitative Analysis 12, 725 - 742. — (1978), Measures of Duration, in: Economic Inquiry 16, 497 - 507. — (1979), Dynamic Portfolio Immunization Policies, in: Journal of Banking and Finance 3, 23 - 41. 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