AYLANA KOVAKKA EGA MURAKKAB KONFIGURATSIYALI PRIZMATIK JISMLARNING SOHA GEOMETRIYASI VA YECHIM TENGLAMALARINI QURISH

243 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 4 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 4 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 4 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ AYLANA KOVAKKA EGA MURAKKAB KONFIGURATSIYALI PRIZMATIK JISMLARNING SOHA GEOMETRIYASI VA YECHIM TENGLAMALARINI QURISH Qarshiyeva Soliha Bahodir qizi, tayanch doktorant, Toshkent axborot texnologiyalari universiteti e-mail: [email protected] Annotatsiya. R-funksiyalar usuliga tayangan holda aylana kovakka ega bo‘lgan murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasini ifodalovchi tenglamalarni qurish masalasi tahlil etilgan. R-funksiyalar nazariyasi murakkab shakldagi hududlarni qat’iy analitik ifodada tasvirlash imkonini beruvchi samarali matematik apparat sifatida qaraladi. Maqolada geometrik sohani alohida soddalashtirilgan elementlar majmui orqali emas, balki uning barcha chegaralarini to‘liq aks ettiruvchi mantiqiy-algebraik konstruksiyalar asosida aniqlash yondashuvi ilgari suriladi. Aylana kovakka ega prizmatik jismning tashqi va ichki chegaralari R-funksiyalar yordamida yagona, uzluksiz funksional tenglama ko‘rinishida ifodalangan. Ushbu yondashuv kuchlanish-deformatsiya holatlarini modellashtirishni yengillashtiradi, hisoblash jarayonlarini avtomatlashtirishga imkon beradi hamda chegaraviy shartlarni aniq va qulay qo‘llashni ta’minlaydi. Shuningdek, maqolada aylana kovakning parametrik tavsifi hamda mantiqiy amallar yordamida murakkab geometrik sohani analitik tarzda birlashtirish bosqichlari batafsil yoritilgan. Kalit so‘zlar: murakkab konfiguratsiya, prizmatik jism, kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik, elastiklik nazariyasi, R-funksiya, konyunksiya, dizyunksiya Kirish Murakkab konfiguratsiyaga ega prizmatik jismlarning soha geometriyasini aniq ifodalash masalasi zamonaviy hisoblash mexanikasi, kompyuter geometriyasi hamda konstruktiv modellashtirish sohalarida muhim ahamiyatga ega [1-3]. Xususan, aylana shaklidagi kovaklari mavjud bo‘lgan prizmatik konstruksiyalar turli texnik tizimlarda keng uchraydi. Bunday jismlarning mexanik xatti-harakatlarini ishonchli baholashda ularning geometrik tenglamalarini yuqori aniqlikda berish hal qiluvchi omil hisoblanadi. So‘nggi yillarda R-funksiyalar nazariyasi murakkab shaklli sohalarni matematik jihatdan modellashtirishda samarali algebraik apparat sifatida keng qo‘llanilmoqda. Ushbu yondashuvning ustun tomoni shundaki, mantiqiy-amaliy amallar (birlashma, kesishma, inkor va boshqalar) yordamida murakkab jismlarni sodda geometrik elementlarning analitik ta’riflari asosida shakllantirish imkonini beradi. Natijada hosil bo‘ladigan geometriya tenglamalari soddaligi bilan birga uzluksiz, differensiallanuvchi va hisoblash uchun qulay analitik ko‘rinishga ega bo‘ladi [4-7]. Adabiyotlar tahlili va metodlar Aylana kovakka ega prizmatik jism sohasini analitik tarzda aniqlash masalasi kuchlanishdeformatsiya holatini tadqiq etish, chegaraviy shartlarni aniq belgilash hamda hisoblash jarayonlarini avtomatlashtirishda ayniqsa muhimdir. Bunday soha geometriyasini R-funksiyalar asosida yagona ifodaga keltirish murakkab shakllar uchun differensial tenglamalarni yechishni sezilarli darajada yengillashtiradi va hisoblash aniqligini oshiradi [8-11]. Ushbu maqolada aylana kovakka ega prizmatik jismning soha geometriyasini R-funksiyalar asosida qurish metodikasi taklif etiladi. Mazkur yondashuv yordamida jismning ichki va tashqi chegaralari yagona funksional tenglama ko‘rinishida aniqlanadi, bu esa keyingi hisoblash bosqichlari uchun ishonchli asos bo‘lib xizmat qiladi. Shu bilan birga, R-funksiyalarga tayangan analitik soha ta’rifi murakkab mexanik tizimlarni modellashtirishda yuqori aniqlik va barqarorlikni ta’minlaydi [12-16]. 244 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 4 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 4 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 4 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ 0xyz dekart koordinatalar sistemasida kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismni ko‘rib chiqamiz (1-rasm), uning bir uchi (x=0) mahkam qotirilgan, ikkinchi uchida ()x= esa buralish momentining qiymati berilgan va u quyidagi ko‘rinishda: 2 11 , H zx yx y z y z I P ydzdy P ydzdy GG = − +     (1) bunda quyidagi geometrik va mexanik kattaliklar olingan: 1 , 1 , 0,5 , 0,2 ;a m b m m m== 2/10 ;a a m= 2/10 ;b b m= 1 , 2 ,4 ,10 ;m m m m= 5 2 10 ;Eа=   3.0=  . Yon sirtlari esa yuklardan holi. 1-rasm. Kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jism Murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismning siqilgan buralish masalalari uchun quyidagi buralish burchagining tenglamasidan foydalanamiz: ),()( 4321 rxchcrxshcxcc +++=  (2) bu yerda 22 p d k I I I rI  ++ = (3) bunda ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ( , ) ( , ) ; , ; ; p d y x k xx yy x y yx y x G I x y x y d I x y d I x y d G I d dy dx                   + =   = +  = −  = − +  + +       Ixtiyoriy 1 2 3 4 , , ,c c c c doimiylar 0x= va xl= shartlaridan aniqlanadi. Bu holda (2) dagi ixtiyoriy o‘zgarmas miqdorlar (x=0) va ()x= dagi shartlardan aniqlanadi: 0: 0,x  == 0, x  =  :x= 2 20, x  =  321 3, H r xx    − = −  doimiylar esa quyidagi qiymatlarga ega bo‘ladi [7]: 2 1 1 , H I с thr rI =− 2 2 1 , H I cI = 2 3 1 , H I crI =− 2 4 1 , H I c thr rI = (4) bu yerda ( ) 12. p d k I I I I= + + 1 2 3 4 , , ,с c c c qiymatlarini (2) ga qo‘yib, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz [13-14]: ( ) 1 . кр Mrx thr shrx thr chrx rI  = − − + (5) 2-rasm. Ko‘ndalang kesimi ixtiyoriy prizmatik jismning soha geometriyasi ko‘rinishi 3-rasm. Aylana shakldagi kovakka ega kesimi ixtiyoriy prizmatik jismning soha geometriyasi 245 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 4 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 4 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 4 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ Natijalar № 1 masala. Yuqoridagi ma’lumotlarga asosan kesimi ixtiyoriy prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamalar hamda buralish funksiyasi - φ ni qurish uchun taqribiy-analitik R-funksiyalar va ketma-ket yaqinlashish usullaridan foydalaniladi. Bunda φ uchun yechimning tuzilmasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 10 ;φ Φ -ωDΦ+φ ω (6) bu yerda D1 - differensial operator: ; 1 ФωФω D = + z z y y         ω - soha geometriyasi tenglamalarining umumiy ko‘rinishi; Ф - esa yechimlar strukturasining aniqlanmagan komponеntasi bo‘lib, u odatda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: , ni ij i j i=0 j=0 Φ= C Z (z)Y (y)  (7) bu yerda ij C - aniqlash kerak bo‘lgan noma’lum koeffitsientlar; ij Z (z)Y (y) - to‘liq bazis ko‘phadlar tizimi (darajali, trigonometrik, Chebishev va boshqalar). Endi esa 2-rasmdagi soha geometriyasi ifodasini quyidagicha aniqlaymiz: 1 2 3 4 5 6 ( ) ( ),f f f f f f  =      bu yerda 22 10, 2 az fa − = 22 20, 2 by b f− = 2 2 2 3 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + − − − = 2 2 2 4 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + − − − = 2 2 2 5 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + + + − = 2 2 2 6 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + + + − =  - Rkonyunksiya. ( ) 20.005 H I= sirt yuklanishi berilgan 2/ H I jismning za= va yb= sirtlariga qo‘llanilganda masala yechiladi. Garchi yechim shakli biroz farq qilsa ham, natijalar to‘liq mos keladi [13]: ( 2 2 1 1. H Ichrx rx rx thr shrx thr chrx rI r chr r chr r   = − − + − + −   (8) (2) ko‘rinishida olingan yechim muvozanat shartini qanoatlantirmaydi: ( ) , x x bur yz zY yZ dzdy M−=  (9) chunki x= kesimida chegara shartlarida quyidagi ko‘rinishdagi qo‘shimcha had paydo bo‘ladi: ( ) 3 3 ( ) ( ). dk xx I I I xx    +−  (10) bu yerda ( ) . bur yz xz M P x P y d  =  −    Ushbu ifodaning jism bo‘ylab o‘zgarish xususiyati sifat jihatdan kuchlanish komponentasi 11 / 4 10 G   ning o‘zgarishi bilan mos keladi. x0= da ifoda qiymati 2H I ga teng bo‘ladi, (9) va (10) esa birgalikda ko‘rsatilgan jismning muvozanat shartlarini qanoatlantiradi. № 2 masala. Oldingi masalani 1 /r b 10 = o‘lchamli aylana kovak bo‘lgan holatida ko‘rib chiqamiz (3.4-rasm). Kovakning yon sirtlari yuklardan holi. Ushbu masalada kovak sohasida buralish funksiyasi uchun quyidagi chegaraviy shartlar qo‘shiladi: 246 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 4 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 4 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 4 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ 1,zm y n  = − +  (3.7) 1,m - yo‘naltiruvchi kosinuslar. Bunda yechimning tuzilmasi sifatida (2.30) qabul qilinadi hamda berilgan soha geometriyasi ifodasi quyidagicha aniqlanadi: 2 1,    = bu yerda 1 1 2 3 4 5 6 ( ) ( ),f f f f f f  =     2 2 2 1 2 1 0, 2 r z y r  −− = 22 10, 2 az fa − = 22 20, 2 by b f− = 2 2 2 3 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + − − − = 2 2 2 4 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + − − − = 2 2 2 5 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + + + − = 2 2 2 6 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + + + − =  - R-konyunksiya. Xulosa R-funksiyalarga asoslangan metodika murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlar uchun geometriya tenglamalarini tuzishda yuqori aniqlik, moslashuvchanlik hamda keng tatbiq etish imkoniyatlarini namoyish etadi. Ushbu yondashuv orqali chegaraviy shartlarni to‘liq qamrab oluvchi, uzluksiz va invariant xossalarga ega bo‘lgan analitik ifodalar hosil qilindi. Natijada konstruksiyalarning kuchlanish-deformatsiya holatlarini yanada ishonchli va aniqlik bilan modellashtirishga xizmat qiluvchi mustahkam matematik asos yaratildi. Olingan natijalar R-funksiyalar nazariyasining nafaqat nazariy ahamiyatga ega ekanini, balki amaliy muhandislik masalalarini yechishda ham yuqori samaradorlik ko‘rsatishini tasdiqlaydi. Keyingi tadqiqotlarda ushbu metodni yanada murakkab shaklli geometriyalarga, noodatiy chegaraviy shartlarga ega konstruksiyalarga qo‘llash, hisoblash algoritmlarini optimallashtirish hamda ularni avtomatlashtirilgan hisoblash tizimlari bilan integratsiyalash istiqbolli yo‘nalishlar sifatida qaraladi. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati: 1. Shapiro V. Semi-analytic geometry with Rfunctions // Acta Numerica, №16, 2007. - P. 239-303. 2. Anarova Sh.A., Qarshiyeva S.B., Ismoilova M.I. Strength and stability analysis of load-bearing structures of a high-rise building // “Muhammad alXorazmiy avlodlari” ilmiy-amaliy va axborot-tahliliy jurnali. №S1(20), 2024. – 4p. DOI:10.34920/icdgpdt.alkhwS30. 3. Kvaternik S., Turkalj G., Banić D. Finite Element Analysis of Torsional-Flexural Behaviour of Thin-Walled Frame Considering Joint Warping Conditions // International Scientific Journal “Trans Motauto World”, Issue 5, 2017. – P. 181-183. 4. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники // Москва: Техносфера, 2018, - 696 с. 5. Azzara R., Carrera E., Chiaia P., Filippi M., Pagani A., Petrolo M., Zappino E. Geometrically Nonlinear Static Analysis of Multi-Component Structures Through Variable-Kinematics Finite Elements // Acta Mechanica 235, 2024. – P. 70037026. 6. Кабулов В.К., Анарова Ш.А. Кесими тўғри тўртбурчак, коваклари ихтиёрий бўлган эластик призматик жисмларнинг кучланганликдеформацияланганлик ҳолатини сиқилган буралиш масалаларида ўрганиш // Ўзбекистон Республикаси Фанлар Академиясининг маърузалари журнали. – 2002. – 6-сон. -25-27 б. 7. Mas R.I., Torres P., Carlos J., Reales A., Ramon J. Prismatic Structural Members: CrossSection Normal to Axis // Engineering Structures, Vol. 16, №3, 2017. P. 507-517. 247 “Al-Farg‘oniy avlodlari” elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252. Tom: 1 | Son: 4 | 2025-yil "Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal. ISSN 2181-4252. Vol: 1 | Iss: 4 | 2025 year Электронный научный журнал "Потомки АльФаргани" ISSN 2181-4252. Том: 1 | Выпуск: 4 | 2025 год https://al-fargoniy.uz/ 8. Чопоров С.В., Гоменюк С.И., Лисняк А.А., Панасенко Е.В. Математическое моделирование некоторых крепежных соединений на базе теории R-функций // Радіоелектроніка, інформатика, управління, №2 (27), 2012. – С. 117122. 9. Anarova Sh.A., Qarshiyeva S.B., Samidov M.N. Murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamasi va yechim tuzilmasini qurish // Ta’lim, fan va innovatsiya, Vol. 7, 2025. - 124-136-b. 10. Shima H., Furukawa N., Kameyama Y., Inoue A., Sato M. Cross-Sectional Performance of Hollow Square Prisms with Rounded Edges // Symmetry, 2020. 11. Кравченко В.Ф., Рвачёв В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты // Москва: Физматлит, 2006, - 416 с. 12. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В., Чуриков Д.В. Применение R-функций, атомарных и WA-систем функций в информационных технологиях. Обзор // Актуальные проблемы современного образования, 2018. С. -13-23. 13. Nazirov Sh.A., Nuraliyev F.M., Anarova Sh.A. Study of Numeric Convergence of the Method of R-functions in Problems of Constraint Torsion // American Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2012, 2 (4): Pр.189-196. 14. Анарова Ш.А. Численная сходимость метода R-функций в углах поперечного сечения на напряженное состояние призматических тел в задачах стесненного кручения // ТАТУ хабарлари. – 2015. – С. 113-120. 15. Анарова Ш.А. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния упругих призматических тел произвольного сечения // – Ташкент: Навруз, 2017. - 112 с. 16. Anarova Sh.A., Qarshiyeva S.B., Samidov M.N., Uralova I.A., Amonova O.A. Numerical analysis of the calculation of rods in linear and geometrically nonlinear formulations // Mathematical Modeling and Numerical Analysis, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Volume 510, 2025. – P. 113.