Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle

Albrecht, Peter; Maurer, Raimond; Möller, Matthias Article Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Albrecht, Peter; Maurer, Raimond; Möller, Matthias (1998) : Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle, Zeitschrift für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschaftsund Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik, ISSN 0342-1783, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 118, Iss. 2, pp. 249-274, https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/291909 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. Sofern die Verfasser die Dokumente unter Open-Content-Lizenzen (insbesondere CC-Lizenzen) zur Verfügung gestellt haben sollten, gelten abweichend von diesen Nutzungsbedingungen die in der dort genannten Lizenz gewährten Nutzungsrechte. Terms of use: Documents in EconStor may be saved and copied for your personal and scholarly purposes. You are not to copy documents for public or commercial purposes, to exhibit the documents publicly, to make them publicly available on the internet, or to distribute or otherwise use the documents in public. If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Zeitschrift für Wirtschaftsu. Sozialwissenschaften (ZWS) 118 (1998), S. 249 - 274 Duncker & Humblot, Berlin Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle Grundlagen und Beziehungen zum Bernoulli-Prinzip* Von Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller 1. Motivation Die Risikomessung und Risikosteuerung auf der Grundlage von Maßen des Shortfall-Risikos hat in den letzten Jahren verstärkt Beachtung vor allem in Investmenttheorie und -praxis, aber auch seitens der Entscheidungstheorie unter Risiko gefunden. Dabei werden vor allem Shortfall-Risikomaße des LPM (Lower Partial Moments)-Typus betrachtet. Traditionell hingegen spielt eine Variante der Shortfall-Wahrscheinlichkeit, die sog. Verlustoder Ruinwahrscheinlichkeit, eine zentrale Rolle in der versicherungsbetrieblichen Risikotheorie. Im Rahmen einer entscheidungslogischen Fundierung ist dabei zu unterscheiden zwischen zwei Konstellationen. So entstehen zum einen auf der Basis des Markowitschen Erwartungswert-Varianz-Ansatzes zum Bernoulli-Prinzip konsistente Entscheidungskalküle, wenn das Risikomaß Varianz durch ein Shortfall-Risikomaß ersetzt wird1. Zum anderen hingegen ist das Safety-First-Prinzip2, bei dem eine absolute Begrenzung des tolerierten Risikos stattfindet, nicht Bernoulli-kompatibel und erfordert die Entwicklung eines eigenständigen Entscheidungskalküls. Im Rahmen von Untersuchungen des empirischen Verhaltens von Entscheidungsträgern in Unternehmen ist die Perzeption von Risiko als die Gefahr, bestimmte Zielgrößen zu verfehlen, bzw. als Gefahr von ruinösen Verlusten (Insolvenzrisiko) bestätigt worden3. * Verantwortlicher Herausgeber/editor in charge: H. L. Revidierte Fassung: Wir sind den beiden Gutachtern der ersten Fassung für ihre sehr wertvolle konstruktive Kritik und die damit verbundenen umfangreichen Anregungen zu großem Dank verpflichtet. Die Durchführung der Untersuchung wurde dankenswerterweise durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstützt. 1 Für den Fall von Shortfall-Risikomaßen des LPM (Lower Partial-Moments)-Typus vgl. vor allem Fishburn (1977). 2 Anzumerken ist an dieser Stelle, daß wir das Safety-First-Prinzip im Sinne der von Bawa (1978) entwickelten Konzeption verstehen, nicht im Sinne der früheren Konzeption von Roy (1952), bei der das Portefeuille selektiert wird, das - bei vorgegebener Zielrendite - die kleinste Shortfall-Wahrscheinlichkeit aufweist. Zur Bernouliz-Kompatibilität der Roy-Konzeption vgl. etwa Levy / Sarnat (1972). ZWS 118 (1998)2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 250 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller Im Rahmen von Kapitalmarktgleichgewichtsmodellen hat die Konzeption von Shortfall-Risikomaßen zur Ableitung sowie zur empirischen Überprüfung von Verallgemeinerungen des Capital Asset Pricing-Modells (CAPM) geführt. Die Anleger am Kapitalmarkt sind dabei entweder Erwartungswert/Shortfall-Risiko-Investoren4, d. h. die Bewertung der Renditeverteilungen der am betrachteten Markt gehandelten Finanztitel hängt allein von dessen Erwartungswert sowie von dem jeweiligen Shortfall-Risikomaß ab oder werden alternativ als Safety-First-Investoren modelliert5. Im Rahmen von Investment-Strategien führt die Konzeption des Shortfall-Risikos zunächst zu verallgemeinerten Ansätzen der Markowitzschen Portfolio-Selection-Theorie6. Empirische Anwendungen sind dabei im größeren Umfang im Bereich der Asset-Allocation-Problematik erfolgt7, d. h. der Problematik der Aufteilung eines gegebenen Investitionsbudgets auf die Haupt-Anlageklassen (Aktien, Festverzinsliche Wertpapiere, Geldmarkttitel, Immobilien, etc.) unter Berücksichtigung der Rendite / Risikoprofile und der Korrelations struktur dieser Anlageklassen. Institutionelle Kapitalanleger - insbesondere Versicherungsunternehmen und Pensionsfonds - versuchen typischerweise ihr Kapitalanlageportefeuille so zu steuern, daß in den einzelnen Anlageperioden, aber auch über längere Anlagehorizonte hinweg, mit möglichst großer Sicherheit bestimmte Planrenditen erzielt werden. Dies erfordert die Entwicklung spezifischer Konzeptionen zur Kapitalanlagesteuerung. Hierbei ist der Einsatz von einsowie mehrperiodischen Shortfall-Risikomaßen besonders geeignet8. Eine spezifische Problematik tritt auf, wenn im Rahmen der Kapitalanlage Optionspositionen eingegangen werden, z. B. zu Zwecken der Positionssicherung (Hedging). Durch ihre spezifische Konstruktion (Wahlrechte des Käufers der Option) induzieren Optionen asymmetrische Rendite / Risikoprofile. Traditionelle varianzbasierte portefeuilletheoretische Ansätze erweisen sich zur Steuerung von Anlageportefeuilles, die Optionspositionen beinhalten, als wenig geeignet9. Der Einsatz von Shortfall-Risikoansätzen erscheint hingegen - aufgrund der ebenfalls asymmetrischen Natur dieser Maße - hierfür als besonders geeignet10. Eine weitere aktuelle Entwick3 Vgl. Mao (1970) sowie Laughhunn/Payne / Crum (1980). 4 Vgl. Harlow/Rao (1989), Hogan/Warren (1974) sowie Lee/Rao (1988). 5 Vgl. Arzac/Bawa (1977). 6 Vgl. Hogan/ Warren (1972). 7 Vgl. Harlow (1991) sowie Leibowitz/Kogelman (1991). 8 Vgl. insbesondere Stephan (1995). 9 So bereits Bookstaber/ Clarke (1984, 1985). 10 Vgl. etwa Albrecht /Maurer / Stephan (1995a). ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 251 lung11 besteht darin, zur Messung der Performance von Optionsstrategien alternativ zu der als Performancemaß sehr populären Sharpe-Ratio (Reward-to-Variability-Ratio) analog konstruierte Maße zu betrachten, bei denen das Risiko einer Anlagestrategie nicht durch die Rendite-Standardabweichung gemessen wird, sondern durch entsprechende Kenngrößen für das Shortfall-Risiko. Im Bereich der modelltheoretischen Steuerung von Versicherungsunternehmen spielt traditionell die Shortfall-Wahrscheinlichkeit - hier Verlustoder Ruinwahrscheinlichkeit genannt - eine bedeutende Rolle12. Anwendungen finden sich im Bereich der Analyse von Ausgleich-im-Kollektiv-Effekten13 sowie bei den Problemkreisen der Prämienkalkulation (Perzentilprinzip14), der Solvabilität15 (Regulierung der Mindestkapitalausstattung eines Versicherungsunternehmens), der Bewertung von versicherungstechnischen Rückstellungen (Quantilprinzip16), der erfolgsorientierten Steuerung17 sowie der risikoadjustierten Performance-Steuerung18 von Versicherungsunternehmen . Eine zur Solvabilitätsregulierung von Versicherungsunternehmen - und damit zum Risikomaß Shortfall-Wahrscheinlichkeit - eng verwandte19 weitere Anwendung von Shortfall-Risikomaßen ergibt sich bei der aufsichtsrechtlichen bzw. internen Risikosteuerung20 von Kreditund Finanzinstituten auf der Grundlage des sogenannten Value-at-Risk-Konzepts. Der Valueat-Risk ergibt sich dadurch, daß für einen bestimmten Zeithorizont eine tolerierte Shortfall-Wahrscheinlichkeit LPM°Z = e (zum Beispiel e = 5%) für den Periodenverlust V aus einer Finanzposition vorgegeben und die Referenzgröße z als Lösung dieser Gleichung bestimmt wird. Der Value-at-Risk zum Konfidenzniveau e ist dabei intuitiv derjenige Wert des Periodenverlusts aus der Finanzposition, der mit Wahrscheinlichkeit 1 — e nicht überschritten wird. Aus statistischer Sicht handelt es sich um ein Quantil der zugrundeliegenden Verlustverteilung. Konzeptionell analoge Ansätze haben Anwendung gefunden für die Bewertung von Pensions-21 oder generellen Rückstellungen22 sowie zur Ana11 Vgl. vor allem Zimmermann (1994) sowie Albrecht /Maurer / Stephan (1995b). 12 Grundlegend hierzu Bühlmann (1970), Kapitel 6.2. 13 Vgl. hierzu Albrecht (1982, 1987). 14 Vgl. Albrecht (1992), S. 50 f. is Vgl. Schradin (1994), S. 196 ff. 16 Vgl. Albrecht (1992), S. 63 f. 17 Vgl. vor allem Schradin (1994). iß Vgl. aktuell Albrecht (1998). 19 Vgl. Albrecht/Bährle/König (1997). 20 Vgl. Basler Ausschuß für Bankenaufsicht (1996). 21 Vgl. etwa Ramsay (1994) sowie Thurmayr (1992). ZWS 118 (1998)2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 252 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller lyse des Ausfallrisikos von (nicht börsengehandelten) Finanzderivaten23. Vor dem Hintergrund dieser vielfältigen und fruchtbaren Entwicklungen sowohl auf der theoretischen Ebene als auch im Bereich ökonomischer Anwendungen verfolgt die vorliegende Arbeit eine mehrfache Zielsetzung. Zum ersten soll ein neuartiger einheitlicher konzeptioneller Zugang zur Quantifizierung des Verlustpotentials (Risikos) eines zufallsabhängigen finanziellen Ergebnisses und damit zur konsistenten Ableitung von Shortfall-Risikomaßen dargestellt werden24. Die in der Literatur bislang ausschließlich behandelten Maße des Lower Partial Moment-Typus erweisen sich dabei als Spezialfälle. Eine solche Vorgehens weise eröffnet zugleich eine neue Interpretationsmöglichkeit von Shortfall-Risikomaßen. Zum zweiten wird die solchermaßen verallgemeinerte Klasse der Shortfall-Risiko-Erwartungswert (SR / E)-Kalküle vorgestellt und ihre Beziehungen zum Bernoulli-Prinzip beleuchtet. Zum dritten wird symmetrisch zur Quantifizierung des Risikopotentials durch Shortfall-Risikomaße die Quantifizierung des Gewinnpotentials (Chance) durch Excess-Chancemaße vorgeschlagen25. Schließlich wird die Klasse der Shortfall-Risiko/Excess-Chance (SR / EC)-Kalküle eingeführt und auch deren Beziehungen zum BernoulZi-Prinzip untersucht26. 2. Ein Ansatz zur einheitlichen Fundierung von Shortfall-Risikomaßen 2.1 Grundsätzliche Überlegungen zur Quantifizierung des Verlustpotentials einer finanziellen Zufallsgröße Ökonomische Entscheidungen unter Risiko sind Wahlakte von Wirtschaftssubjekten, bei denen die Konsequenzen der gegebenen Handlungsalternativen indeterminiert sind. Dabei wird zumindest auf der modelltheoretischen Ebene angenommen, das Wirt schaftssubjekt besitze Informationen sowohl über die möglichen Handlungsergebnisse als auch über deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Im Kontext ökonomischer Fragestellungen sind die Handlungsergebnisse üblicherweise jeweils monetäre Größen, die durch eine Zufallsvariable X mit bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert werden können. 22 Vgl. Zimmermann (1991). 23 Vgl. König/Maurer/Schradin (1997). 24 Dieser Zugang geht zurück auf Albrecht (1994 a). 25 Dieser Vorschlag geht ebenfalls zurück auf Albrecht (1994 a). 26 Gleichzeitig vermittelt die vorliegende Arbeit einen Einblick in das im Rahmen des Mannheimer Sonderforschungsbereichs „Rationalitätskonzepte, Entscheidungsverhalten und Ökonomische Modellierung" durchgeführte Projekt „Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle". ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 253 Ein intuitiver Risikobegriff ist derjenige als möglicher Verlust. Dieser muß sich dabei nicht auf das Erleiden finanzieller Verluste beschränken. Helten (1991, S. 129 ff.) kennzeichnet Risiko sehr treffend als Informationsdefizit über die finale Bestimmtheit, d. h. über das Erreichen gesteckter Ziele bzw. angestrebter finanzieller Zustände. Aus diesen Gründen soll im weiteren unter dem Verlustpotential finanzieller Ergebnisse für den jeweils betrachteten Entscheidungsträger das Ausmaß der Gefahr der Unterschreitung einer angestrebten finanziellen Zielgröße (target) z verstanden werden. Als Synonym für diese Charakterisierung wird im folgenden der Begriff Shortfall-Risiko benutzt. In den eingangs genannten Anwendungsfällen können dies etwa angestrebte Mindestrenditen aus Finanzinvestments oder angestrebte Mindesterfolge aus geschäftspolitischen Aktivitäten sein. Gegeben die Zufallsgröße X und der Referenzpunkt z, zerlegen wir in einem ersten Schritt im Hinblick auf die Quantifizierung des Verlustpotentials (bzw. des Gewinnpotentials) relativ zu z die Zufallsgröße X additiv in drei Teile: (1) X = X+(z) + z - X-{z) . Abbildung 1: Verlustund Gewinnbereich einer finanziellen Steuerungsgröße relativ zur Zielgröße z Dabei erfaßt die Zufallsgröße X_(z) = max(z - X, 0) die Höhe der potentiellen Fehlbeträge (shortfall) der die finanzielle Zielgröße z unterschreitenden Realisationen von X. Die Zufallsgröße (z) nimmt nur dann einen positiven Wert an und zwar in Höhe des Fehlbetrages z — X, wenn die Zielgröße unterschritten wird. Die Zufallsgesetzmäßigkeit von (z) quantifiziert das Verlustpotential von X relativ zu z. Analog beschreibt die Zufallsgröße ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 254 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller X+(z) = max(X - z, 0) das Gewinnpotential von X relativ zum gewählten Referenzpunkt. Sie nimmt nur dann einen positiven Wert in Höhe des Überschreitungsbetrages X - z an, wenn die Zielgröße überschritten wird. Abbildung 1 illustriert die vorgenommene Zerlegung. Unter der Annahme, daß die Zufallsgröße X eine Dichtefunktion f(x) besitzt, ergeben sich die entsprechenden gemischten „Dichtefunktionen"27 /_(;r) bzw. f+(x) mit F als Verteilungsfunktion von X zu: { 0 x < 0 l-F(z) x = 0 f(z-x) x > 0 und { 0 x < 0 F(z) x = 0 fix - z) x > 0 . Offenbar besitzen die Dichten eine Unstetigkeitsstelle im Punkt x = 0. X-(z) besitzt eine in Null links konzentrierte Verteilung, die Wahrscheinlichkeitsmasse P(X_ = 0) = P(X > z) = 1 - F(z) ist im Punkt x = 0 konzentriert. X+(z) ist ebenfalls in Null links konzentriert, die entsprechende Wahrscheinlichkeitsmasse ist P(X+ = 0) = P(X < z) = F(z). 2.2 Shortfall-Risikomaße zur Messung des Verlustpotentials einer Zufallsgröße Im Sinne der gewählten Risikokonzeptualisierung beinhaltet X_(z) alle relevanten Informationen über das Verlustpotential von X. Eine (eindimensionale) Maßgröße erhält man jedoch erst durch eine Bewertung von X_(z). In Analogie zur Vorgehensweise der statistischen Entscheidungstheorie28 (Risiko = erwarteter Verlust) führen wir dazu eine Verlustbzw. Kostenfunktion (loss function, cost function) L : [0, oo) —> R ein, die eine Bewertung der mit verschiedenen Unters ehr eitungshöhen verbundenen Konsequenzen für den Entscheidungsträger beinhaltet. L werde dabei im folgenden als nicht-negativ, stetig sowie monoton wachsend angenommen. Damit sind wir in der Lage, das mit X relativ zur Zielgröße z für den Entscheidungsträ27 Aufgrund der im Punkt Null konzentrierten Wahrscheinlichkeitsmasse ist an sich mit der Diracschen Deltafunktion zu arbeiten, um eine Dichtefunktion im korrekten Sinne zu erhalten. Zugunsten der größeren Intuitivität der Darstellung wurde jedoch darauf verzichtet. 28 Vgl. etwa Berger (1985), S. 8 ff. ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 255 ger verbundene Risiko SRZ(X) im Sinne eines Shortfall-Risikos zu definieren durch: (3) SRz(X):=E[L(X.(z))] . Unter Berücksichtigung von (2a) folgt in rechentechnischer Hinsicht29 / +oo L(x)f-(x)dx [V roc pz = / L(y)f(z-y)dy = / L(z-y)f(y)dy . J 0 J-oo Damit steht ein allgemeiner struktureller Rahmen zur Messung des Verlustpotentials zufallsabhängiger finanzieller Ergebnisse zur Verfügung. Spezifische Maße für das Verlustpotential ergeben sich in Abhängigkeit von der durch den Entscheidungsträger zu treffenden Wahl der Verlustfunktion L. Im folgenden werden dazu eine Reihe von Möglichkeiten betrachtet. Eine erste allgemeine Klasse von Verlustfunktionen bilden die Potenzfunktionen L(pc) = xn,n e NoIn diesem Fall gilt30 (5) SRZ(X) =E[X_(z)n] = E[max(z — X, 0)n] = f (z~y)nf(y)dy = LPMn z(X). J-oo Die solchermaßen konstruierten Shortfall-Risikomaße entsprechen mithin den unteren partiellen Momenten (Lower Partial Moments) von X bezüglich der Zielgröße z. Grundsätzlich kann jedes beliebige n> 0 verwendet werden, allerdings ergeben sich für die Spezialfälle n = 0,1,2 Risikomaße mit besonders intuitiven Interpretationsmöglichkeiten. Bei einer Wahl von n = 0 mit31 L(x) = 1 bedeutet dies, daß sämtliche möglichen Unterschreitungen der finanziellen Zielgröße z gleich bewertet werden, etwa ein Unterschreiten von z um eintausend DM ebenso wie eine Verfehlung um eine Million DM. Bei entsprechender Auswertung von (5) ergibt sich demgemäß (6) SWZ{X) := E{X°_) = P(X < z) 29 Unter der zusätzlichen Voraussetzung L(0) = 0. 30 Im Fall n = 0 definiert man max(z X, 0)° := 7(_00)2)(X). 31 In x = 0 wird dabei L in stetiger Weise ergänzt. ZWS 118 (1998)2 17 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 256 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Realisierung von X die Zielgröße z nicht überschreitet (Shortfall-Wahrscheinlichkeit SWZ). Die mögliche Höhe der Unterschreitung hat dabei keine Bedeutung. Für n = 1 und damit L(x) = x, werden die möglichen Unterschreitungen von z proportional zu ihrer Höhe gewichtet und man erhält dann aus: (7) SEZ(X) := E(X_) = f (z - y)f(y)dy . J-00 Der Ausdruck (7) entspricht dem Shortfall-Erwartungswert SEZ, einem Maß für den mittleren Betrag der Unterschreitung der finanziellen Zielgröße z. Wählt man schließlich eine quadratische Verlustfunktion L(x) =x2, so werden größere Unters chreitungen von z entsprechend höher (im Verhältnis der quadrierten Abweichungen) bewertet als geringere. In diesem Falle resultiert: (8) SVZ(X) := E(X2_) = f (z - y)2f(y)dy . J-oo Der Ausdruck (8) entspricht der Shortfall-Varianz SVZ, einem Maß für die mittlere quadratische Streuung der betragsmäßigen Unterschreitungen der Zielgröße z. Alternativ zu Potenzfunktionen können auch andere Funktionen wie Exponentialoder logarithmische Funktionen angesetzt werden. Die Wahl L(x) = ex etwa impliziert, daß hohe Unters chreitungen der Zielgröße besonders stark gewichtet werden32. Besitzt die Verlustfunktion L(x) eine Taylorentwicklung (Potenzreihendarstellung) der Form L(x) = ^ so n=o n' läßt sich33 die Berechnung des Shortfall-Risikos zurückführen auf den Fall der Shortfall-Risikomaße des LPM-Typus durch 00 T(n)(0\ (9) SRZ(X) = ^_pLPMn(X) . 71=0 Durch einen Abbruch der Taylorreihe nach einem endlichen Glied ergibt sich hieraus die Möglichkeit der Approximation des betreffenden Shortfall32 Dies kann etwa dahingehend gedeutet werden, daß der Entscheidungsträger eine Furcht vor Katastrophenrisiken aufweist. 33 Unter der weiteren Voraussetzung der Existenz aller unteren partiellen Momente. ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 263 cemaße die oberen partiellen Momente (Upper Partial Moments) der Verteilung von X\ Für die Spezialfälle n = 0,1,2 erhält man die Excess-Wahrscheinlichkeit, den Excess-Erwartungswert sowie die Excess-Varianz. In Albrecht / Maurer / Stephan (1995) wurde gezeigt44, daß zwischen den Shortfall-Risikound Excess-Chancemaßen sowie weiteren Lagebzw. Streuungsmaßen einer Zufallsgröße folgende Zusammenhänge bestehen: Offensichtlich gilt für die Shortfallbzw. die Excess-Wahrscheinlichkeit {P(X = z) = 0 vorausgesetzt): (23) UPM°Z = 1 - LPM° . Im Fall P(X = z) ^ 0 gilt allgemein UPM°Z = 1LPM°Z - P{X = z), was dann relevant werden kann, wenn X eine nichtstetige Verteilung besitzt45. Für den Excess-Erwartungswert gilt des weiteren (24) UPM\ = hPM\ + E(X) - z . Schließlich gilt für die Excess-Varianz (25) UPM2 Z = Var(X) + {E(X) - zf - LPM2 Z . 5. Sß/EC-Kalküle und ihre Beziehung zum Bemouiii-Prinzip Wie im Falle des Abschnitts 3 können folgende Grundtypen von SR/ECEntscheidungs-Kalkülen unterschieden werden. Zunächst zählen hierzu Kalküle auf der Basis von Präferenzfunktionalen des lypus (26) $(X)=H[SRZ(X),ECZ(X)} , 44 Die angeführten Zusammenhänge werden in Abschnitt 6 bestätigt. 45 Nichtstetige Verteilungen können beispielsweise im Kontext von InvestmentEntscheidungen auftreten, wenn Aktienportefeuilles mit Optionspositionen kombiniert werden, vgl. beispielsweise Möller (1996), Kapitel Drei. ZWS 118 (1998) 2 ECZ{X) = E[max(X - z, 0)n] (22) OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 264 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller wobei die Funktion H(x,y),x >0,y>0 wiederum den vom Entscheidungsträger durchzuführenden Trade-off zwischen „Risiko" - hier gemessen durch ein Shortfall-Risikomaß - und „Wert" - hier gemessen durch ein Excess-Chancemaß - quantifiziert. Die durch (26) spezifizierte Klasse von Entscheidungsmodellen ist somit wiederum eine Sub-Klasse der Risk-ValueModelle des Sarin/ Weber-Typus. Alternativ können verallgemeinerte Safety-First-Kalküle des Typus ECZ(X) -> max! (27) unter der Bedingung SRZ(X) < C betrachtet werden. Diese gewährleisten eine direkte Kontrolle des Verlustpotentials. Eine Kompatibilität zum Bernoulli-Prinzip ist in diesem Falle nicht gegeben. Im weiteren konzentrieren wir uns deshalb auf Präferenzfunktionale des Typus (26) und deren Konsistenz zum Bernoulli-Prinzip. Gesucht sind mithin allgemein Anforderungen an H und u, die gewährleisten, daß für beliebige Zufallsvariablen X und Y gilt: (28) H[SRZ(X),ECZ(X)} > H[SRZ(Y):ECZ(Y)] ^ E[u(X)} > E[u(Y)} . H(x,y) werde hierbei wiederum als monoton fallend im ersten Argument und monoton steigend im zweiten Argument angenommen. Betrachten wir die (normierte) Nutzenfunktion (mit einem Parameter k > 0) /on\ / \ f G(x - z) für x > z (29) u(x) = \ TT/ \ ~ v ' l ~kL(z -x) für x < z , noo pz so gilt E [«(X)] = / G(y — z)f{y)dy -k L(zy)f(y)d(y) . J z J -oo Offenbar ist also das Bernoulli-Prinzip unter der Annahme einer Nutzenfunktion u(x) vom Typus (29) konsistent mit dem Präferenzfunktional der Form (30) $(X) = ECZ{X) - kSRz(X) . Daß diese notwendige Bedingung auch hinreichend ist, zeigt der folgende Satz. Satz 3: Sei H(x, y) eine Trade-Off-Funktion, die monoton fallend im ersten und monoton wachsend im zweiten Argument ist. Genau dann sind das ZWS 118 (1998)2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 265 Entscheidungsprinzip auf der Grundlage des Präferenzfunktionais (26) und das Bernoulli-Prinzip mit Nutzenfunktion u konsistent im Sinne von (28), wenn u die Gestalt (29) mit einem Parameter k > 0 hat (und damit H(:r, y) = y — kx ist). Zum Beweis des Satzes betrachten wir linear unabhängige Funktionen hi(x) = G(max(x - z, 0)) und h,2(x) = L(max(z - x, 0)). Die hieraus resultierenden Parameter sind a\ = ECZ(X) und a<i = SRZ(X) und die Aussage des Satzes ergibt sich wiederum aus Theorem 1 in Schneeweiß (1967, S. 89 f.). Im folgenden konzentrieren wir uns46 auf SR / EC-Kalküle, die auf einem Präferenzfunktional des Typus (m e No, n e No) basieren. Als Maße für das Shortfall-Risiko werden somit Lower Partial Moments und als Excess-Chancemaße die Upper Partial Moments der Verteilung von X verwendet. Dabei diskutieren wir mögliche Verläufe der Nutzenfunktion u, wenn die Ordnung m des Excess-Moments und die Ordnung n des Shortfall-Moments variieren. Von besonderem Interesse ist dabei die Frage, inwiefern die jeweilige Risikonutzenfunktion risikoaverses, risikoneutrales oder risikofreudiges Entscheidungsverhalten abbildet. Global (strikt) risikoaverses Entscheidungsverhalten korrespondiert dabei mit einer (strikt) konkaven, global risikoneutrales mit einer linearen und global (strikt) risikofreudiges mit einer (streng) konvexen Risikonutzenfunktion47. Der Einfachheit wegen sei bei den folgenden Betrachtungen die Zielgröße z stets gleich 0 gesetzt. Gemäß Satz 3 haben die betrachteten Nutzenfunktionen daher generell die Form Fall 1: Risikomaß LPM0(X) Betrachtet man zunächst die Konstellation m = n = 0, also die Wahl der Excess-Wahrscheinlichkeit als Chancemaß und der Shortfall-Wahrschein46 Die nachfolgende Diskussion erfolgt aus analytischer Sicht. Sie ist zu ergänzen um entsprechende Analysen eines empirischen EntscheidungsVerhaltens. Dies ist eine Fragestellung, der im bereits angesprochenen SFB-Projekt nachgegangen werden soll. 47 Vgl. hierzu etwa Huang / Litzenberg er (1988), S. 17 f. ZWS 118 (1998) 2 6. Diskussion ausgewählter SR/EC-Kalküle (31) $(X) = H[LPMn(X), UPMm(X)] (32) OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 266 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller lichkeit als Risikomaß, nimmt die Nutzenfunktion u nur drei Werte an: für x < 0 ist sie konstant gleich -k, für x = 0 ist sie 0 und für x > 0 ist sie konstant gleich 1. Der zugemessene Nutzen richtet sich somit allein danach, ob die Realisation positiv oder negativ ist. Für das korrespondierende Präferenzfunktional H gilt im Falle, daß X einer stetigen Verteilung folgt, wegen P(X > 0) = 1 - P(X < 0): H beinhaltet daher lediglich eine Messung des Risikos oder der Chance, nicht aber einen Trade-Off zwischen diesen beiden Größen. Eine solche Wahl der Meßgrößen für Chance und Risiko erscheint ökonomisch somit wenig zweckmäßig. Für m = 1, also bei Wahl des Excess-Erwartungswertes als Chancemaß, verläuft die Nutzenfunktion im Bereich der positiven Abszisse linear, aufgrund der vorgenommenen Normierung mit Steigung 1. Für m = 2, der Wahl der Excess-Varianz als Chancemaß, verläuft die Nutzenfunktion im Bereich der positiven Abszisse quadratisch. Abbildung 2 illustriert den jeweiligen Verlauf dieser Risikonutzenfunktionen, wenn der Parameter k = 1 gesetzt wird. (33) H[R{X), V{X)} = P{X > 0) - k • P{X < 0) = 1 - (fc + 1) • P{X < 0) = (fc + 1) • P{X > 0) - k . m = 2 U« 1 w = 0 0 X n = 0 -k Abbildung 2: Verlauf der Risikonutzenfunktion für n = 0 und m = 0,1,2 ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 267 Fall 2: Risikomaß LPMi(X) Zunächst sei als Chancemaß wieder die Excess-Wahrscheinlichkeit m = 0 betrachtet. In diesem Fall verläuft die Risikonutzenfunktion u links des Nullpunktes linear mit Steigung k, während sie rechts davon konstant den Wert 1 annimmt. Nun wird die Chance pauschal bewertet, während das Risiko mit seinem Ausmaß gewichtet wird. Wählt man den Excess-Erwartungswert als Chancemaß (m= 1), so verläuft die Risikonutzenfunktion in beiden Bereichen linear, für x > 0 aufgrund der Normierung mit Steigung 1, für x < 0 mit Steigung k. Die Konvexität oder Konkavität von u hängt daher von der getroffenen Wahl für den Risikoaversionsparameter k ab. Für k < 1 besitzt die Nutzenfunktion eine konvexe Gestalt, eine solche Wahl repräsentiert demnach einen global risikofreudigen Entscheidungsträger. Wird k = 1 gewählt, so verläuft u linear mit konstanter Steigung 1. Tatsächlich gilt aufgrund Beziehung (24) in diesem Fall (34) H [Ä(X), V(X)] = UPMl (X) - LPMl (.X) = E(X) - z , so daß hier keinerlei Trade-Off zwischen Risiko und Chance stattfindet, sondern allein der Erwartungswert zur Beurteilung herangezogen wird. Eine Wahl von k = 1 impliziert daher global risikoneutrales Entscheidungsverhalten. Abbildung 3: Verlauf der Risikonutzenfunktion für verschiedene Parameter k im Fall n = m = 1. ZWS 118 (1998)2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 268 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller Schließlich resultiert für k > 1 eine insgesamt konkave Gestalt der Risikonutzenfunktion, lediglich für diese Wahl also wird eine globale Risikoaversion abgebildet. Abbildung 3 illustriert nochmals die Abhängigkeit der Nutzenfunktion von k bei Verwendung der jeweils ersten unteren und oberen Momente. Wird als Chancemaß die Excess-Varianz gewählt, so verläuft die Nutzenfunktion im positiven Bereich wie die Normalparabel, also konvex und repräsentiert dort risikofreudiges Entscheidungsverhalten, während für x < 0 Risikoneutralität vorliegt. Abbildung 4 zeigt die entsprechenden Funktionsverläufe von u für unterschiedliche Excess-Momente, wobei der Risikoaversionsparameter k = 1 gesetzt wurde. m = 2 Abbildung 4: Verlauf der Risikonutzenfunktion für n = 1 und m = 0,1,2. Fall 3: Risikomaß LPM2(X) Wird als Risikomaß die Shortfall-Varianz herangezogen, so verläuft die Nutzenfunktion u im Bereich der negativen Abszisse wie der linke Ast einer nach unten geöffneten Parabel, also konkav. Bei Kombination mit der Excess-Wahrscheinlichkeit können wieder ähnliche Aussagen wie bereits im Fall 2 (n = 1 und m — 0) getroffen werden, lediglich liegt für x < 0 nun risikoaverses Verhalten vor. Bei Wahl des Excess-Erwartungswertes als Chancemaß spiegelt die Risikonutzenfunktion im negativen Bereich risikoaverses, im positiven Bereich risikoneutrales Entscheidungs verhalten wider. ZWS 118 (1998)2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortfall-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 269 Wählt man schließlich die Excess-Varianz als Chancemaß, so ist die Risikonutzenfunktion im positiven Abszissenbereich konvex und repräsentiert dort risikofreudiges Verhalten, während für negative Werte von x Risikoaversion vorliegt. Abbildung 5 illustriert dieses Verhalten der Risikonutzenfunktion wiederum für k = 1. m = 2 7. Schlußbetrachtungen In der vorliegenden Arbeit wurden SR/Esowie SR/EC-Entscheidungskalküle zur Fundierung von Entscheidungen unter Risiko untersucht. Als Risikomaße wurden hierbei (generelle) Shortfall-Risikomaße relativ zu einer Zielgröße z betrachtet, als Wertmaß alternativ der Erwartungswert der zu bewertenden Verteilung sowie (generelle) Excess-Chancemaße. Zur Gewinnung der generellen Shortfall-Risikomaße wurden dabei die potentiellen Unterschreitungsbeträge durch eine Verlustfunktion L bewertet und anschließend eine Erwartungswertbildung durchgeführt. Analog wurden zur Gewinnung der generellen Excess-Chancemaße die potentiellen Überschreitungsbeträge durch eine Gewinnfunktion G bewertet und ebenfalls einer anschließenden Erwartungswertbildung unterzogen. SR/Ebzw. SR/ EC-Entscheidungskalküle vom Typus des (verallgemeinerten) Safety FirstPrinzips gewährleisten eine direkte Kontrolle des Verlustpotentials, sind ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 270 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller aber nicht kompatibel zum Bernoulli-Prinziip. Hingegen kann eine Konsistenz von SR/Ebzw. SR/EC-Kalkülen in Form von Risk / Value-Modellen des Sarin / Weber-Typus in Spezialfällen nachgewiesen werden. Der Tradeoff zwischen Risiko R(X) und Wert V(X) muß dabei zwingend von der Form (35) H[R(X), V{X)} = V(X) - kR(X) mit einem Risikoaversionsparameter k > 0 sein. In Verallgemeinerung von Fishburn (1977), der LPM"/E-Kalküle betrachtet, wurden weiterhin LPM^/UPM™-Kalküle analysiert. Verlustsowie Gewinnfunktionen entsprechen hier einfachen Potenzfunktionen. Verlangt man, daß die sich ergebenden Präferenzfunktionale im gesamten Bereich ein risikoaverses Entscheidungsverhalten abbilden, so reduziert sich die mögliche Auswahl auf Funktionale der Form (36) H[R(X), V(X)] = UPMl(X) - k • LPMl z(X) mit k > 1. Diese lassen sich jedoch aufgrund der Beziehung auch in der Form (37) H[R{}0, V{X)] = E(X) - {k - 1) • LPM](X) - z schreiben und stellen damit einen Spezialfall der bereits in Fishburn (1977) betrachteten Funktionale dar, die den Erwartungswert als Wertmaß verwendeten. Unter der zusätzlichen Bedingung der globalen Risikoaversion lassen sich somit LPM^/UPM™-Modelle auf LPM*/E-Modelle zurückführen. Jedoch ist das Beharren auf der Eigenschaft der globalen Risikoaversion gerade im Kontext der Evaluation von Risikound Chancepotentialen zu hinterfragen. Hier ist unseres Erachtens eher ein Entscheidungsverhalten naheliegend48, das einerseits versucht, das Risikopotential möglichst gering zu halten, das Chancepotential jedoch möglichst groß zu gestalten. Aus dieser Charakterisierung resultiert ein Verlauf der Nutzenfunktion, der für x < z konkav (in diesem Bereich lokale Risikoaversion impliziert), für x > z jedoch konvex ist (in diesem Bereich lokale Risikofreude impliziert). Es wäre somit etwa an die folgenden Präferenzfunktionale zu denken: (38) H[R(X), V(X)} = UPM\(X) - k • LPM2 Z{X) 48 Diese intuitiv plausible These ist noch durch empirische Evidenz zu stützen. Auch dies ist eine der Teilfragestellungen, die im Rahmen des bereits angesprochenen SFB-Projekts untersucht werden sollen. ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 Shortf all-Risiko / Excess-Chance-Entscheidungskalküle 271 bzw. (39) H[R{X), V{X)] = UPM2 Z{X) - k • LPM2 Z{X) . Gemäß (25) läßt sich dabei (39) alternativ auch formulieren als (40) H[R{X), V(X)] = Var(X) + (E{X) - zf - (k + 1) • LPM2 Z{X) . Sowohl bei (40) als auch bei (41) ergeben sich damit Entscheidungsprinzipien, die sich nicht unter die von Fishburn (1977) untersuchten LPM"/EKalküle subsumieren lassen. Mit diesem Ausblick auf Fragestellungen, die im Rahmen weiterer Untersuchungen eingehender behandelt werden sollen, beschließen wir unsere Ausführungen. Literatur Albrecht, P. (1982): Gesetze der großen Zahlen und Ausgleich im Kollektiv - Bemerkungen zu Grundlagen der Versicherungsproduktion, Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft 71,S.501-538. - (1987): Ausgleich im Kollektiv und Verlustwahrscheinlichkeit, Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft 76, S. 95 - 117. - (1992): Zur Risikotransformationstheorie der Versicherung: Grundlagen und ökonomische Konsequenzen, Karlsruhe. - (1994a): Zur Konzeptualisierung von Risiko und Chance mit Anwendungen in den Finanzund Versicherungsmärkten, in: Hübner, U.; E. Helten, R Albrecht (Hrsg.), Recht und Ökonomie der Versicherung, Karlsruhe, S. 1-22. - (1994b): Dimensionen des versicherungstechnischen Risikos, in: Hesberg, D., M. Neil, W. Schott (Hrsg.): Risiko, Versicherung, Markt, Karlsruhe, S. 325 - 339. - (1994c): Gewinn und Sicherheit als Ziele der Versicherungsunternehmung: Bernoulli-Prinzip vs. Safety first-Prinzip, in: Schwebler, R. (Hrsg.): Dieter Farny und die Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, S. 1 - 18. - (1998): Risikoadjustierte Performancesteuerung in der Schadenversicherung, erscheint in: Oehler, A. (Hrsg.): Credit Risk und VaR-Alternativen, Stuttgart. Albrecht, P /Bährle, H. W. F. / König, A. (1997): Value-at-Risk: Eine risikotheoretische Analyse der konzeptionellen Grundlagen mit Folgerungen für die Risikokontrolle der Kapitalanlage von Versicherungsunternehmen, Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft 86,S.81-101. Albrecht, P. /Maurer, R. /Stephan, T. G. (1995a): Ertrag und Risiko rollierender Wertsicherungsstrategien mit Optionen, Die Bank, Heft 4, S. 238 - 241. - (1995b): Shortfall-Performance rollierender Wertsicherungsstrategien, Finanzmarkt und Portfolio Management 9, S. 197 - 209. ZWS 118 (1998) 2 18 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41 272 Peter Albrecht, Raimond Maurer und Matthias Möller Arzac. E. R JBawa, V. S. (1977): Portfolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety-First Investors, Journal of Financial Economics 4, S. 277 - 288. Bamberg, G. / Coenenberg, A. G. (1996): Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 9. Aufl., München. Basler Ausschuß für Bankenaufsicht (1996): Änderung der Eigenkapital Vereinbarung zur Einbeziehung der Marktrisiken, Basel, Januar. Bawa, V. S. (1978): Safety first, stochastic dominance, and optimal portfolio choice, Journal of Financial and Quantitative Analysis 13,S.255-271 Bawa, V. S. / Lindenberg, E. B. (1977): Capital Market Equilibrium in a Mean-Lower Partial Moment Framework, Journal of Financial Economics 5,S. 189-200. Berger, J. O. (1985): Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, 2. Aufl., New York u. a. Bookstaber, R./Clarke, R. (1984): Option Portfolio Strategies: Measurement and Evaluation, Journal of Business 57, S. 469 - 492. - (1985): Problems in Evaluating the Performance of Portfolios with Options, Financial Analysts Journal, January /February, S. 48 - 62. Fishburn, P. C. (1977): Mean Risk Analysis with Risk Associated with Below Target Returns, American Economic Review 67, S. 116 - 126. Harlow, W. V. (1991): Asset Allocation in a Downside-Risk Framework, Financial Analysts Journal, September / October, S. 28 - 40. Harlow, W. V./Rao, R. K. S (1989): Asset Pricing in a Generalized Mean Lower Partial Moment Framework: Theory and Evidence, Journal of Financial and Quantitative Analysis 24, S. 285 - 311. Helten, E. (1991): Die Erfassung und Messung des Risikos, in: Grosse, W./MüllerLutz, H. L./Schmidt, R. (Hrsg.): Versicherungsenzyklopädie, Band 2, 4. Aufl., Wiesbaden, S. 125 - 197. Hogan, W. W. / Warren, J. M. (1972): Computation of the Efficient Boundary in the E-S Portfolio Selection Model, Journal of Financial and Quantitative Analysis 7, S. 1881 - 1897. - (1974): Towards the Development of an Equilibrium Capital-Market Model Based on Semivariance, Journal of Financial and Quantitative Analysis 9, S. 1 - 11. Huang, C.-F. / Litzenberg er, R. H. (1988): Foundations for Financial Economics, New York u. a. Jorion P. (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, Chicago. König, A. /Maurer, R. /Sehradin, H. R (1997): Analyse und Bewertung des Ausfallrisikos bei nicht börsengehandelten bedingten Finanzderivaten, Zeitschrift für Betriebswirtschaft, Sonderheft Finanzierung, S. 65 - 79. Laughhunn, D. J. /Payne J. W. / Crum, R. (1980): Managerial Risk Preferences for Below-Target-Returns, Management Science 26, S. 1238 - 1249. Lee, W. Y. /Rao, R. K. S. (1988): Mean Lower Partial Moment Valuation and Lognormally Distributed Returns, Management Science 34, S. 446 - 453. ZWS 118 (1998) 2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.118.2.249 | Generated on 2023-04-04 12:24:41