La tasa de variación del PIB en un modelo simple de determinación de la renta

Escartin, Eduardo; Velasco, Francisco; González-Abril, Luis Article La tasa de variación del PIB en un modelo simple de determinación de la renta Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Provided in Cooperation with: Universidad Pablo de Olavide, Sevilla Suggested Citation: Escartin, Eduardo; Velasco, Francisco; González-Abril, Luis (2017) : La tasa de variación del PIB en un modelo simple de determinación de la renta, Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa, ISSN 1886-516X, Universidad Pablo de Olavide, Sevilla, Vol. 23, pp. 210-220 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/195419 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. Sofern die Verfasser die Dokumente unter Open-Content-Lizenzen (insbesondere CC-Lizenzen) zur Verfügung gestellt haben sollten, gelten abweichend von diesen Nutzungsbedingungen die in der dort genannten Lizenz gewährten Nutzungsrechte. Terms of use: Documents in EconStor may be saved and copied for your personal and scholarly purposes. You are not to copy documents for public or commercial purposes, to exhibit the documents publicly, to make them publicly available on the internet, or to distribute or otherwise use the documents in public. If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ REVISTA DE M´ ETODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOM´ IA Y LA EMPRESA (23). P´aginas 210–222. Junio de 2017. ISSN: 1886-516X. D.L: SE-2927-06. www.upo.es/revistas/index.php/RevMetCuant/article/view/2693 La tasa de variaci´on del PIB en un modelo simple de determinaci´on de la renta Escartin, Eduardo Grupo SEJ442: M´etodos Cualitativos y Optimizaci´on en Sistemas Din´amicos Econ´omicos Universidad de Sevilla (Espa˜na) Correo electr´onico: [email protected] Velasco, Francisco Grupo SEJ442: M´etodos Cualitativos y Optimizaci´on en Sistemas Din´amicos Econ´omicos Universidad de Sevilla (Espa˜na) Correo electr´onico: [email protected] Gonz´ alez-Abril, Luis Grupo SEJ442: M´etodos Cualitativos y Optimizaci´on en Sistemas Din´amicos Econ´omicos Universidad de Sevilla (Espa˜na) Correo-e: [email protected] RESUMEN En este art´ıculo se demuestra que en un modelo simple de determinaci´on de la renta, cuando se tienen en cuenta funciones de consumo lineales, la tasa de variaci´on del producto interior bruto (PIB) es igual al cociente entre el incremento de la inversi´on y la suma del consumo ex´ogeno m´as la inversi´on inicial. Esto significa que la pendiente de la funci´on de consumo no influye en la tasa de variacin del PIB y que lo relevante para esa tasa de variaci´on es el consumo ex´ogeno y la inversi´on inicial. Palabras claves: macroeconom´ıa; producto interior bruto (PIB); modelo de determinaci´on de la renta; tasa de crecimiento. Clasificaci´on JEL: E10. MSC2010: 37N40; 91B02; 91B55. Art´ıculo recibido el 17 de marzo 2015 y aceptado el 19 de diciembre de 2017. 210 The Variation of GDP in a Simple Model of Income Determination ABSTRACT In this paper, we prove that in a simple model of income determination, when taking into account linear functions, the change rate for the gross domestic product (GDP) is equal to the quotient of the increase in investment and the sum of exogenous consumption plus the initial investment. This means that the slope of the consumption function does not influence the change rate for the GDP and what matters for this variation rate is the exogenous consumption and the initial investment. Keywords: Macroeconomics; gross domestic product (GDP); model of income determination; growth rate. JEL classification: E10. MSC2010: 37N40; 91B02; 91B55. 211 212 1 Introducción La tasa de variación del producto interior bruto (PIB), aunque es un concepto de por sí claro, plantea la siguiente pregunta: ¿a qué equivale la tasa de variación del PIB, o ∆Y/Y? En este artículo se expone una solución a esta cuestión, derivándola de un modelo simple de análisis de la renta; esto es una aportación original, porque, según nuestro conocimiento, no hay ningún manual donde se aborde este tema. Permítasenos resaltar que, al tratarse de una demostración personal sin referencias previas, no hay bibliografía a la que acudir para tratar sobre esta demostración, pues, evidentemente, no sería una novedad. Por tal motivo las referencias bibliográficas son necesariamente mínimas. El enunciado a demostrar es el siguiente: La tasa de variación del producto interior bruto (PIB), en un modelo simple de determinación de la renta (Y), teniendo en cuenta funciones de consumo lineales con pendiente positiva y menor que la unidad, es igual al cociente entre el incremento de la inversión y la suma del consumo exógeno (C0) más la inversión inicial (I); es decir, su fórmula es: IC I Y Y 0+ ∆ = ∆ Aunque la inspiración de la pregunta proviene de la Teoría General de Keynes (1989: 126)1, se señala que la enunciación y la demostración son totalmente ajenas a su teoría y que no se pretende entrar en ella ni establecer cuestión ni crítica sobre la misma. Se presenta una demostración y se extrae de ella determinadas conclusiones útiles para la práctica política del crecimiento económico y del empleo. Así pues, el artículo pone su foco en la demostración y se ruega al lector que se centre en la exposición y permanezca al margen de lo que dijo o pretendió decir Keynes2. 1 En la nota 2 a pie de la página 126 de The General Theory, Keynes indica: «la razón entre el cambio proporcional de la demanda total respecto al cambio proporcional de la inversión =∆Y Y:ΔI I=ΔY Y·Y − C ΔY − ΔC = 1 − େ ଢ଼ 1 − ୢେ ୢଢ଼ » 2 Keynes ya tuvo tempranamente inquietudes para analizar la mejoría del empleo en Keynes y Henderson (1929: 112-116) y en Keynes (1933: 340-341). 213 2 Demostración analítica Se considera el modelo tradicional: Sea una función de demanda agregada (D) que, en equilibrio, es igual a la oferta agregada, es decir, al producto agregado (PIB); a su vez el PIB es igual a la renta (Y), o retribución de los factores de la producción, porque éstos son remunerados del valor del producto agregado. Así pues: D=Y. La función de demanda agregada es la suma de dos componentes: el consumo (C) y la inversión (I); por lo que: D=C+I. Pero como en el equilibrio la demanda agregada debe ser igual a la oferta agregada (es decir, D=Y), resulta que Y=C+I. Adicionalmente, se considera que el consumo es función de la renta, C = f(Y). Esta función tiene pendiente, dC/dY, positiva, constante y menor que la unidad. A su vez, se consideran funciones lineales, C = C0 + cY; es decir, dicha función consta de dos elementos: un consumo exógeno constante3, C0, y un consumo inducido por la renta, cY, siendo c una constante que actúa de factor de escala sobre la renta e indica una cierta propensión al consumo de esa renta. La inversión es una variable exógena, I. Sustituyendo y operando en todas estas ecuaciones, una vez logrado el equilibrio, se sigue: Y= C0+cY+I Y-cY= C0+I (1-c)Y= C0+I )IC( c 1 1 Y0+ − = Y = m (C0 + I) si se usa la notación m = ଵ ଵିୡ. Los montos de estos componentes, alcanzados al final del periodo anterior, son los que se consideran los iniciales para el siguiente periodo, que es el que se va a analizar. Así pues, manteniendo el valor de estos componentes iniciales (C0+I), se añade exógenamente una inversión nueva (ΔI), cuyos efectos son los que se pretenden analizar. 3 Exógeno significa, en este modelo, que no proviene de la renta del periodo. 214 De las igualdades anteriores y tras incrementar sólo la inversión, se deduce que4: ΔY = m ΔI La tasa de variación de la renta al final de esa adición es ∆Y/Y, cuyo valor es: IC I )IC(m Im Y Im Y Y 00 + ∆ = + ∆ = ∆ = ∆ que es lo que se quería demostrar. 3 Ilustración gráfica y demostración geométrica La fórmula (o solución) recién deducida en la sección anterior se ilustra geométricamente mediante la Figura 1. Figura 1: Incremento de la inversión y nuevo equilibrio, resultando que IC I Y Y + ∆ = ∆ 0 Se denota por «E» el punto que marca la situación inicial y representa el último nivel de renta alcanzado, cuya condición de equilibrio es Y=D. Por tanto, se encuentra en la bisectriz del primer cuadrante: OG=GE. Se traza por «E» cualquier recta de pendiente positiva y menor que la unidad (la cual representa la demanda agregada), de modo que el punto de corte con el eje de ordenadas es 4 Esta expresión coincide con la dada por Keynes (1989: 115). C0+I A B D G F E H 45º ∆I Y 0 ∆Y Y J 215 «A». La pendiente de tal recta es «c». OA representa el nivel de consumo exógeno más la inversión exógena inicial (C0+I) que permite que la renta, Y=OG, alcance en el equilibrio el volumen de la demanda agregada GE (OG=GE). Por lo tanto, la ecuación de tal recta es Y=C0+cY+I. El punto «A» es de lo más importante en esta demostración geométrica. Determinados «A» y «E» se conoce implícitamente la pendiente «c» de la recta que representa la demanda agregada (y de la de consumo). No obstante, esta «c», que se tomó arbitrariamente, es por completo irrelevante para el resultado de la demostración. Así pues, lo único decisivo es tener determinado el punto inicial de partida «A», pero para efectuar la demostración se necesita el apoyo de cualquier función lineal de demanda agregada. Supongamos que, sobre la situación inicial, se origina un incremento exógeno de la inversión cuyo monto viene representado por el segmento BF, del cual resulta al final el incremento de la renta GH; de modo que GH=EJ=JF. Debido a la proporcionalidad de los triángulos semejantes OAE y EBF se puede establecer la siguiente relación: BF OA =EF OE Los triángulos OGE y EJF también son semejantes, por lo que: EF OE =EJ OG =GH OG En ambas parejas de triángulos semejantes se obtiene el mismo valor de proporcionalidad: ୉୊ ୓୉. Así pues: GH OG =BF OA Puesto que GH representa a ΔY, OG es el segmento que muestra el nivel de renta Y, BF es el representativo del incremento de la inversión (es decir, ΔI) y OA es la suma del consumo exógeno y la inversión inicial (esto es, C0+I), la igualdad se convierte en la misma fórmula obtenida en la demostración analítica: IC I Y Y 0+ ∆ = ∆ A continuación, en la Figura 2 se muestra que esta solución no está supeditada a la pendiente de la función de demanda agregada, pese a haber ya quedado de manifiesto. 216 Figura 2: Independencia de la pendiente de la Función de Demanda, ya que 1 1 0Y Y IC I Y Y∆ = + ∆ = ∆ Para ello se consideran dos funciones que pasan por el punto «A» (que representa al valor C0+I): la una con poca pendiente, D=C0+I+cY, y la otra con mayor pendiente que la anterior (mas siempre menor que la unidad), D1=C0+I+c1Y, a las que se aplica el mismo incremento de la inversión (∆I), y, en ambos casos, el resultado es el mismo. En efecto: la primera de estas funciones conlleva un equilibrio inicial a un bajo nivel de PIB (OG) en comparación con la segunda, que implica un PIB más cuantioso (OG1). Al incrementarse la inversión en idéntico monto para ambos supuestos (BF=B1F1), en el primer caso crece poco el PIB (GH), habiendo sido bajo su PIB inicial; mientras que en el segundo caso aumenta mucho el PIB (G1H1), siendo alto su PIB inicial. Al dividir sus respectivos incrementos de PIB por sus respectivos PIB iniciales, resulta que sus incrementos proporcionales son exactamente iguales (recuérdese que BF=B1F1): GH OG =BF OA =GଵHଵ OGଵ =BଵFଵ OA En resumidas cuentas, la solución, no depende de la pendiente de la función de demanda agregada que, pudiendo ser cualquiera, no afecta a la solución, como ya se ha tenido 0 A C 0 +I Y ∆Y B D G F E H 45º ∆I Y ∆I ∆Y1 Y 1 G1 H 1 F 1 B 1 E1 C0+I + ∆I D = C 0 +I + cY D’ = C0 + I + ∆I +cY D 1 = C 0 +I + c 1 Y D´1 = C0+I + ∆I + c1Y 217 ocasión de apreciar en su fórmula: 1 1 0Y Y IC I Y Y∆ = + ∆ = ∆ 4 Interpretación Si esta solución (o fórmula) puede parecer extraña es debido al rechazo inicial de la mente, acomodada a ideas preconcebidas, que suele bloquear lo desconocido (para lo que se requiere adaptación). Pero la ciencia matemática es una de las más lógicas y sus derivaciones son totalmente ciertas en la medida que se acepten las hipótesis de partida y no haya errores en el proceso deductivo. Si se asume que hay gastos exógenos, en consumo y en inversión5 (lo que parece tan evidente que no precisa demostración), y se acepta que de un periodo al siguiente una aproximación lineal es suficientemente satisfactoria, lo demás es resultado de la lógica matemática y sólo requiere interpretación. La interpretación más inmediata de esta demostración es que lo relevante para la tasa de variación del PIB es el gasto exógeno agregado inicial (C0 + I en este modelo simple). Lo cual no desentona con lo dicho por Skidelsky (2009: 38): si «el PIB se espera que caiga un 5%, el Gobierno inyectará un 5% de gasto extraordinario en la economía». El fomento del gasto extraordinario debe ser tanto en consumo exógeno (∆C0) como en inversión exógena (∆I); lo cual no significa que se niegue la existencia de un consumo e inversión inducidos por la renta generada en el periodo6. Lo que resulta notable, tras la demostración matemática, es que el gasto inducido no afecta al porcentaje de variación del PIB al considerar funciones lineales. Otra interpretación concierne a los términos de la fórmula de la demostración. Es preciso recordar que C0 e I quedaron prefijados al principio del periodo a considerar. Aunque siempre con carácter de prefijados, para su estudio se pueden contemplar valores altos o bajos de C0 e I y comprobar su repercusión en la fórmula; pero, en el modelo, sólo se considera la 5Se aprovecha la introducción del término gasto para indicar que se entiende por «demanda» lo que se pide, es decir, una potencialidad o expectativa, y por «gasto» lo que se ha realizado. En la medida en que la expectativa se realice, ambos términos coinciden. Dando esto por supuesto, a veces se usan como sinónimos. 6 Hace años, hubo autores seguidores de Keynes, como Samuelson (1969: 272) y Lipsey (1968: 614-615), que tuvieron en cuenta la inversión inducida por la renta; pero en ediciones posteriores de sus manuales la suprimieron, dejando sólo la inversión exógena.