ECONOMIC LOCAL STUDIES IN PROGRESSION PROBLEMS. PEDAGOGICAL EXPERIENCE

INNOVATIVE SCIENTIFIC RESEARCH ISSUE №9-1(62) September 2025 ISSN 2713-0010 SCIENTIFIC NETWORK PUBLICATION ~ 96 ~ https://doi.org/10.5281/zenodo.18070505 УДК 372.851, 512.12 ЭКОНОМИЧЕСКОЕ КРАЕВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧАХ НА ПРОГРЕССИИ. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ОПЫТ Л.Н. Зайнуллина, учитель математики высшей кв.к., к.п.н., СУНЦ «ITлицей» КФУ Аннотация: В статье рассматривается способ популяризации математики среди учащихся через демонстрацию ее тесной взаимосвязи с окружающей действительностью. Экономическое краеведение в задачах на прогрессии развивает у учащихся понимание экономики родного края, его истории, особенностей и перспектив развития. Это позволяет им лучше осознать свою причастность к происходящим процессам, развить практические навыки и применить полученные знания в повседневной жизни. В работе приведены решения авторских задач, которые могут быть предложены ученикам на уроках математики. Результаты проведенного анкетирования характеризуют интерес школьников к решению данных прикладных задач. Ключевые слова: математика, экономическое краеведение, арифметическая и геометрическая прогрессии ECONOMIC LOCAL STUDIES IN PROGRESSION PROBLEMS. PEDAGOGICAL EXPERIENCE L.N. Zainullina, Teacher of Mathematics 1st grade, Candidate of Pedagogical Sciences, SPC "IT-Lyceum" KFU Annotation: The article deals with the way of popularization of mathematics among students through demonstration of its close relationship with the surrounding reality. Economic regional studies in problems on progression develop students' understanding of the economy ИННОВАЦИОННЫЕ НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫПУСК №9-1(62) Сентябрь 2025 ISSN 2713-0010 НАУЧНОЕ СЕТЕВОЕ ИЗДАНИЕ ~ 97 ~ of their native land, its history, features and development prospects. This allows them to better understand their involvement in ongoing processes, develop practical skills and apply the acquired knowledge in everyday life. The work presents solutions to the author's problems that can be offered to students in mathematics lessons. The results of the survey conducted characterize the interest of schoolchildren in solving these applied problems. Keywords: mathematics, economic regional studies, arithmetic and geometric progressions Краеведение – изучение населением географических, исторических, культурных, природных, социально-экономических и других факторов, характеризующих в комплексе формирование и развитие какой-либо определённой территории страны (села, города, района, области и т. д.) [6-8]. Географическое краеведение изучает особенности территории: климат, рельеф, водные объекты; биологическое – изучает флору и фауну родного края; а экономическое – хозяйство региона. В этой связи возник вопрос – А можно ли элементы краеведения использовать на уроке математики? В 9-м классе изучаются такие темы, как «Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия». Анализ литературы показал, что краеведческий аспект ни в одном задачнике и учебнике по алгебре для 9 класса не представлен. Подавляющее количество задач на непосредственное применение формул и небольшая часть – практико-ориентированные текстовые задачи, решаемые с использование формул арифметической и геометрической прогрессии [1-6]. Кроме того, задача на арифметическую или геометрическую прогрессию (задание №14) содержится в первой части заданий основного государственного экзамена. Данная задача, согласно замыслу авторов, проверяет «умения выполнять вычисления и преобразования, умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, умения строить и исследовать простейшие математические модели». Все вышесказанное привело к идее о необходимости разработки задач INNOVATIVE SCIENTIFIC RESEARCH ISSUE №9-1(62) September 2025 ISSN 2713-0010 SCIENTIFIC NETWORK PUBLICATION ~ 98 ~ краеведческого содержания для более углубленного и осознанного изучения материала по данной теме. В ходе исследования мною были изучены крупные предприятия Татарстана: производимая продукция, их товарооборот, совокупный доход и т.д. На основе полученных фактов формулировки составленных краеведческих задач, значения и функции подобраны таким образом, чтобы ответ был максимально правдоподобным. Всего было составлено 20 задач на прогрессии. Для начала введем основные понятия и формулы. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность {an}, у которой каждый последующий член отличается от предыдущего на постоянную величину, называемую разностью арифметической прогрессией. Для любой арифметической прогрессии {an} её n-й член an выражается через её первый член a1 и разность этой прогрессии d при помощи формулы 𝑎= 𝑎+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 называемой формулой n-го члена арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов. 𝑎=𝑎 + 𝑎 2 Сумма первых n членов арифметической прогрессии {an} равна произведению полусуммы первого и n-го её членов на число слагаемых (n), т.е. справедлива формула: 𝑆=(𝑎+ 𝑎) · 𝑛 2 Если в формуле заменить an на a1 + (n – 1)·d, то получим другую запись формулы для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии: 𝑆=(2𝑎+ (𝑛 − 1) · 𝑑) · 𝑛 2 Используя формулы арифметической прогрессии, приведем решения некоторых задач, характеризующих социальноэкономический сектора Казани. Задача 1. В 1974 году совхоз “Майский” собрал свой первый урожай – 1150 тонн овощей. В 2019 году объем урожая составил ИННОВАЦИОННЫЕ НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫПУСК №9-1(62) Сентябрь 2025 ISSN 2713-0010 НАУЧНОЕ СЕТЕВОЕ ИЗДАНИЕ ~ 99 ~ 42180 тонн. Найти общий объем производства овощей за эти годы и средний прирост объема производства. Решение: Находим количество лет работы совхоза 2019 – 1974 = 45 лет По формуле суммы первых членов n прогрессии 𝑆=()·  S45 = ((1150 + 42180)/2)·45 = 22240·45 = 1000800 Средний прирост объема овощей – это разность арифметической прогрессии. Учитывая, что a1 = 1150 a45 = 42180, получим: 42180 = 1150 + 44d d = 932,5 тонн в год производства Ответ: общий объем производства совхоза “Майский” – 1000800 тонн при среднем приросте 932,5 тонн овощей в год. Задача 2. Казанская железная дорога за простой вагонов под разгрузкой берет с ПАО ”Казаньоргсинтез” в первый день 20000 рублей, а в каждый последующий день на 2000 рублей больше. Бригада грузчиков может разгрузить вагоны за 8 дней. Если бригада разгрузит раньше срока, то за каждый сэкономленный день она получит премию 26500. При каком сроке разгрузки затраты ПАО “Казаньоргсинтез” на оплату простоя вагонов и премию грузчикам будут минимальны? Решение: Расходы ОАО “Казаньоргсинтез” будут складываться из двух составляющих. Оплата простоя – есть арифметическая прогрессия, где d = 2000, a1 = 20000 и числом дней, равным 8. 𝑆 =(()·)· =( ()·)·  = (20000 + (n – 1)1000)·n Оплата премии составит Sn2 = (8-n)·26500 Тогда S = Sn1 + Sn2 = 20000n + 1000n2 – 1000n + 26500·8 – 26500·n = 1000n2 – 7500n + 212000 Итак, функция расходов имеет вид S = 1000n2 – 7500n + 212000. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Минимальное значение функция S достигает в вершине параболы. nв = 7500/2·1000 = 3,75 Так как n является натуральным числом, то оно равно 4. INNOVATIVE SCIENTIFIC RESEARCH ISSUE №9-1(62) September 2025 ISSN 2713-0010 SCIENTIFIC NETWORK PUBLICATION ~ 100 ~ S4 = 1000·16 + 212000+ 7500·4 = 198000 То есть если грузчики разгрузят вагоны за 4 дня, то расходы ПАО ”Казаньоргсинтез” будут минимальными и составят 198 тысяч рублей. Ответ: минимальные расходы составляют 198 тысяч рублей при 4-хдневной разгрузке. Определение. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности, отличное от нуля, число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии q. Любой член геометрической прогрессии можно найти по формуле: 𝑏= 𝑏∙ 𝑞 Любой член геометрической прогрессии, кроме первого, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов. 𝑏=𝑏 ∙ 𝑏 Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется как: 𝑆=𝑏(1 − 𝑞) 1 − 𝑞 Задача 3. В результате трехкратного повышения цены на оксолиновую мазь фирмы “Татхимфармпрепараты” на одно и то же число процентов, цена на мазь стала превышать первоначальную цену на 33,1%. На сколько процентов повышалась цена за каждый раз? Решение: Пусть первоначальная стоимость мази есть А, после 3кратного повышения стала А(1 + Р/100)3 = 1,331А (1 + Р/100)3 = 1,331 1 + Р/100 = 1,1 Р/100 = 0,1 Р = 10% Ответ: цена повышалась каждый раз на 10%. Задача 4. Детали, изготовленные тремя рабочими Казанского вертолетного завода, составляют геометрическую прогрессию. Месячный доход каждого рабочего складывается из зарплаты, ИННОВАЦИОННЫЕ НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫПУСК №9-1(62) Сентябрь 2025 ISSN 2713-0010 НАУЧНОЕ СЕТЕВОЕ ИЗДАНИЕ ~ 101 ~ пропорциональной количеству изготовленных деталей плюс премия. Первый получил 38 тыс. рублей, второй 46 тыс. рублей, третий же получил 59 тыс. рублей. Определить размеры премий, если у первого и второго они одинаковы, а у третьего в 1.5 раза больше. Решение: По условию задачи, детали составляют геометрическую прогрессию b1, b1·q,b1·q2. Заработок рабочего складывается из премии и зарплаты, пропорциональной количеству изготовленных деталей, тогда пусть x – размер премии. Получим следующую систему: 1) b1 + x = 38; 2) b1q + x = 46 3) b1q2 + 1.5x = 59 Вычтем из (2) – (1) и из (3) – (2)·1.5 Получим: b1q – b1 = 8, соответственно b1 =   b1q2 – 1.5b1q = -10, соответственно 𝑏= , Приравняв эти выражения, мы получаем: 8 1 − 𝑞 =−10 𝑞− 1,5𝑞 8q2 – 12q = -10q +10 4q2 – q – 5 = 0 D = 81, q = (1 + 9)/8 = 1.2, q<0 не удовлетворяет, так как кол-во деталей увеличивается. Отсюда получаем, что зарплата и премия первого составляет 32 т.р. и 6 т.р. соответственно, заработок второго есть 32·1.2 = 40 т.р. и 6 т.р, а у третьего 32·  = 50 т.р. и 9 т.р. Ответ: зарплата и премии трех рабочих КВЗ составили соответственно: 32 и 6 т.р.; 40 и 6 т.р.; 50 и 9 т.р. Разработанные мною задачи были предложены на дополнительных занятиях (2 урока) в четырех 9-х классах It-лицея К(П)ФУ. Нужно отметить, что ученики с большим интересом решали данные задачи. Некоторые из них, например, задачи про рабочих КВЗ и грузчиков ПАО ”Казаньоргсинтез” вызывали затруднения. После занятий было проведено анкетирование из трех вопросов. На вопрос «Какие математические задачи Вам более интересны для решения – абстрактные или текстовые, связанные с INNOVATIVE SCIENTIFIC RESEARCH ISSUE №9-1(62) September 2025 ISSN 2713-0010 SCIENTIFIC NETWORK PUBLICATION ~ 102 ~ повседневной реальностью?» ответы респондентов распределились следующим образом: 48 человек (87%) проголосовало за реальные задачи и 5 человек (10%) за абстрактные, 2 человека (3%) затруднились ответить. На второй вопрос: «Были бы Вам интересны математические задачи о Казани и Татарстан» ответ «Да» дали 46 человека (84% опрошенных), «нет» – 7 человек (13%), «затрудняюсь ответить» – 2 человека (3%). Третий вопрос анкеты звучал «Чем, на Ваш взгляд, полезны предложенные краеведческие задачи»? Полученные ответы можно обобщить следующим образом: 1. Расширили кругозор, узнали о предприятиях республики Татарстан, о существовании которых не знали. 2. Закрепили темы про прогрессии и умение использовать известные нам формулы при решении задач в нестандартной формулировке. 3. Закрепили умение по формулировке задачи определять величины, что есть сумма, что есть разность или знаменатель прогрессии. 4. Убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессии встречаются в реальной жизни. Таким образом, по ответам анкетируемых можно сделать заключение, что решение задач, включающих данные краеведческого характера, расширяет кругозор, способствует развитию творческого и логического мышления; умению классифицировать и обобщать. Список литературы [1] Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре. 8-9 классы: учеб. Пособие для общеобразоват организаций / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. // 23-е изд. – М.: Просвящение, 2019. 185-195 с. [2] Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учеб. Пособие для общеобразоват. организаций: углубл уровень / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. – М.: Просвещение, 2018. 170-188 с. ИННОВАЦИОННЫЕ НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫПУСК №9-1(62) Сентябрь 2025 ISSN 2713-0010 НАУЧНОЕ СЕТЕВОЕ ИЗДАНИЕ ~ 103 ~ [3] Мерзляк А.Г. Алгебра. 9 класс углублённый уровень: учебник / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков; под ред. В.Е. Подольского. // 7-е изд., стер. – Москва: Просвещение, 2022. 243-273 с. [4] Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся ОБУ (профильный уровень). В 2 ч. Ч.2. / А.Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2019. 147-167 с. [5] Петерсон Л.Г. Алебра: 9 класс: В 2 ч. Ч.2 / Л.Г. Петерсон, Н.Х. Агаханов, А.Ю. Петрович и др. – М.: Из-во «Ювента», 2017. 132-162 с. [6] Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. / Под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2006. 245-259 с. [7] Экономическое краеведение. 9 класс:Социальная и экономическая география Донецкого края / Общ.ред. А.И. Чернышев. – Донецк, 2015. 7-10 с. [8] Краеведение [Электронный ресурс] – URL: https://rybcdut.ru/deyatelnosti/kraeved/%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0 %B5%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B 5/ (дата обращения: 10.08.2025). Bibliography (Transliterated) [1] Galitsky M.L. Collection of problems in algebra. Grades 8-9: textbook. Manual for general education organizations / M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. // 23rd ed. – M.: Education, 2019. 185-195 p. [2] Makarychev Yu.N. Algebra. Grade 9: textbook. Manual for general education organizations: advanced level / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al. – M.: Education, 2018. 170-188 p. [3] Merzlyak A.G. Algebra. Grade 9 advanced level: textbook / A.G. Merzlyak, V.M. Polyakov; edited by V.E. Podolsky. // 7th ed., reprinted. – Moscow: Prosveshchenie, 2022. 243-273 p. [4] Mordkovich A.G. Algebra. Grade 9. Textbook for students of OBU (advanced level). In 2 parts. Part 2. / A.G. Mordkovich – Moscow: Mnemozina, 2019. 147-167 p. [5] Peterson L.G. Alebra: Grade 9: In 2 parts. Part 2 / L.G. Peterson, N.Kh. Agakhanov, A.Yu. Petrovich et al. – Moscow: Juventa Publishing House, 2017. 132-162 p. INNOVATIVE SCIENTIFIC RESEARCH ISSUE №9-1(62) September 2025 ISSN 2713-0010 SCIENTIFIC NETWORK PUBLICATION ~ 104 ~ [6] Textbook for students of grade 9 with in-depth study of mathematics. / Edited by N.Ya. Vilenkin. – M.: Education, 2006. 245-259 p. [7] Economic local history. 9th grade: Social and economic geography of the Donetsk region / General editor A.I. Chernyshev. – Donetsk, 2015. 7-10 p. [8] Local history [Electronic resource] – URL: https://rybcdut.ru/deyatelnosti/kraeved/%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0 %B5%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B 5/ (date of access: 10.08.2025). © Л.Н. Зайнуллина, 2025 Поступила в редакцию 9.08.2025 Принята к публикации 04.09.2025 Для цитирования: Зайнуллина Л.Н. Экономическое краеведение в задачах на прогрессии. педагогический опыт // Инновационные научные исследования. 2025. № 9-1(62). C. 96-104. URL: https://ip-journal.ru/