Estudio de los efectos de la radiación de punto cero en experimentos de comunicación cuántica con luz generada en el proceso de conversión paramétrica a la baja, utilizando el formalismo de la función de Wigner

———————————————– TESIS DOCTORAL ESTUDIO DE LOS EFECTOS DE LA RADIACIÓN DE PUNTO CERO EN EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON LUZ GENERADA EN EL PROCESO DE CONVERSIÓN PARAMÉTRICA A LA BAJA, UTILIZANDO EL FORMALISMO DE LA FUNCIÓN DE WIGNER Au o : San iago Ramón Gue a Guillén Julio 2011 Las Palmas de G an Cana ia ———————————————– P og ama de Doc o ado de Física, Ma emá ica, Geología y Clima Depa amen o de Física ESTUDIO DE LOS EFECTOS DE LA RADIACIÓN DE PUNTO CERO EN EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON LUZ GENERADA EN EL PROCESO DE CONVERSIÓN PARAMÉTRICA A LA BAJA, UTILIZANDO EL FORMALISMO DE LA FUNCIÓN DE WIGNER Au o Fdo: San iago Ramón Gue a Guillén Di ec o Di ec o Fdo: Albe o Casado Rod íguez Fdo: José Plácido Suá ez Ag adecimien os La elabo ación de la p esen e Tesis Doc o al no hubiese sido posible sin la ines imable ayuda y apoyo de mis di ec o es D . D. Albe o Casado Rod íguez y D . D. José Plácido Suá ez. i INDICE DE ACRÓNIMOS BS: Di iso de Haz (del inglés Beam-Spli e ) BSM: Medida de Bell (del inglés Bell-S a e Measu emen ) CP: Pola izado ci cula (del inglés Ci cula Pola ize ) EP: Pola izado Elíp ico (del inglés Ellip ical Pola ize ) EPR: Eins ein-Podolsky-Rosen GHZ: G eenbe ge -Ho ne-Zeilinge HWP: Placa de Media Onda (del inglés Hal -Wa e Pla e) LHV: Va iables Ocul as Locales (del inglés Local Hidden Va iable) LOCC: Ope aciones Locales y Comunicación Clásica (del inglés Local Ope a ions and Classical Communica ion). PBS: Di iso de Pola ización (del inglés Pola yzing Beam-Spli e ) PDC: Con e sión Pa amé ica a la Baja (del inglés Pa ame ic Down Con e sion) PR: Ro ado de Pola ización (del inglés Pola iza ion Ro a o ) QC: C ip og a ía Cuán ica (del inglés Quan um C yp og aphy) QED: Elec odinámica Cuán ica (del inglés Quan um Elec odynamics) QKD: Dis ibución Cuán ica de Cla e (del inglés Quan um Key Dis ibu ion) QSS: Sec e o Cuán ico Compa ido (del inglés Quan um Sec e Sha ing) i 21.2. Con ex o his ó ico En el año 1935, Eins ein, Podolsky y Rosen o mula on la pa adoja EPR, icono de los p oblemas gene ados po los aspec os más elemen ales de es a eo ía en base a su con aposición al concep o de ealismo local. El ío EPR a ó de a gumen a que el esul ado de una medición en un sis ema ísico se de e mina an es y con independencia de la medida ( ealismo) y que el esul ado no puede depende de las acciones en egiones del espacio sepa adas (localidad de Eins ein). Además, sugi ie on que las co elaciones cuán icas pe ec as, que se p oducen en sis emas de dos pa ículas en un es ado de máximo en elazamien o, se pueden u iliza pa a de ini los elemen os de la ealidad, sin con apa ida en la eo ía cuán ica. La conclusión del a gumen o EPR es que la mecánica cuán ica es una eo ía incomple a, po que no desc ibe adecuadamen e la exis encia de elemen os de ealidad deducidos a lo la go del a gumen o, en base a la acep ación del p incipio de localidad. Es más, in oduje on el concep o de a iables ocul as, como una o ma de comple a la eo ía cuán ica. El en elazamien o1es básico en la pa adoja, ep esen ado en la e sión pos e io de Bohm a a és del es ado single e. La o mulación de la pa adoja EPR ue sólo el p incipio de un la go pe iodo (unos 30 años), de un in enso deba e, lle ado siemp e en el e eno eó ico, sob e cómo se compo a la na u aleza, has a que en 1964 John Bell dio la cla e pa a pode disce ni si el ealismo local e a iolado po la na u aleza a a és de algún expe imen o. Bell ob u o unas desigualdades que iolaban las co elaciones p edichas po cualquie eo ía de a iables ocul as ealis a local, y demos ó que hay es ados cuán icos que iolan es as desigualdades ( eo ema de Bell). Has a el abajo de Bell, podemos deci que la cues ión mecánica cuán ica en e a ealismo local se había con e ido en algo ilosó ico o me a ísico; no obs an e, Bell consiguió que es e ema de an magna impo ancia eg esa a al campo de la ísica, ab iendo un eno me abanico de posibilidades. Tu ie on que anscu i algunos años has a que es a cues ión pudie a lle a se al labo a o io de una o ma e ec i a, y en es e pe íodo de iempo su gie on dis in os ipos de desigualdades que se podían con as a en el labo a o io. La mayo ía de los expe imen os se han ealizado con o ones, y has a la echa ac ual, el ealismo local no se ha llegado a iola expe imen almen e. Po el con a io, lo que se ha iolado ha sido la conjunción en e el ealismo local y cie as hipó esis adicionales (no-enhancemen , ai sampling,..), cuyo papel en las desigualdades iene como obje i o el sal a di icul ades écnicas de en e gadu a, la más impo an e la baja e iciencia de los de ec o es. Podemos a i ma que son las desigualdades no genuinas, basadas en un conjun o de hipó esis cons i uido po el ealismo local más cie as hipó esis adicionales, las que se han iolado expe imen almen e. La mayo pa e de los expe imen os ipo Bell se han ealizado en el campo de la óp ica cuán ica. Los p ime os expe imen os ue on ealizados, en 1978, po Clause y Shimony, u i- lizando pa es de o ones en elazados en pola ización median e cascadas a ómicas. A inales de 1980 es a écnica ue eclipsada po la con e sión pa amé ica a la baja, p oceso que se 1El é mino en elazamien o o en edo cuán ico ue in oducido po Sch odinge , en 1935. Conside aba el en elazamien o como la ca ac e ís ica esencial de la mecánica cuán ica. La e sión de Bohm del EPR, en 1951, u ilizó el es ado single e de espín 1/2de dos pa ículas, que hoy en día es un icono y un pun o de e e encia del en elazamien o. 1. ANTECEDENTES Y MOTIVACIONES 3 ha enido u ilizando desde en onces, no sólo pa a mos a los aspec os con ain ui i os de la luz, que emanan del concep o de o ón como exci ación elemen al del campo elec omagné ico cuan izado, sino pa a el con as e de desigualdades de Bell. La na u aleza cuán ica del campo elec omagné ico se e ela ac ualmen e en expe imen- os mul i o ónicos. Sin emba go, el expe imen o cla e en el que se es udió po p ime a ez la dualidad onda-pa ícula en la luz es el expe imen o de Aspec , G angie y Roge en 1986. Pa iendo de pa es de o ones emi idos en cascadas a ómicas, usando uno de ellos como dis- pa ado , el o o o ón ue in oducido en un in e e óme o Mach-Zehnde , obse ándose un pa ón de in e e encia en la medida de la asa de de ección simple en uno de los de ec o es a la salida del in e e óme o, cuando se a iaba la di e encia de camino óp ico. Sin emba go, si se obse a la asa de de ección conjun a co espondien e a las dos salidas del in e e óme o, és a es nula, lo que pa ece e ela el compo amien o co puscula de la luz. 1.2.2. La elec odinámica es ocás ica A p incipios del siglo XX, Planck in en ó explica la cuan ización de la luz, de endida po Eins ein en su explicación del e ec o o oeléc ico, en base a las luc uaciones de lo que llamó, ene gía o campo de pun o ce o2. Planck in odujo es e concep o con el obje o de sal a la na u aleza ondula o ia de la luz, bien asen ada a inales del siglo XIX en base a las ecuaciones de Maxwell, pe o que ol ía a desca a se a pa i de la in e p e ación de Eins ein sob e el e ec o o oeléc ico. La al e na i a de la adiación de pun o ce o, como base pa a explica los enómenos cuán- icos, dio luga en los años 60 del siglo pasado al desa ollo de una nue a disciplina, la elec o- dinámica es ocás ica (SED), cuyo obje o e a ep oduci los esul ados cuán icos, y ein e p e a los enómenos en base a la in e ención de la adiación de pun o ce o del campo elec omag- né ico. Aunque es a eo ía dio luga a impo an es esul ados, no consiguió explica aspec os como la cuan ización de la ene gía en el á omo de hid ógeno, po lo que u o que desca a - se como al e na i a a la eo ía cuán ica. Si bien se log a on algunos éxi os no ables, como po ejemplo la explicación del e ec o Casimi , hay aspec os que hoy po hoy la SED no ha conseguido explica . Sin emba go, una ami icación de la elec odinámica es ocás ica en el campo de la óp ica, la denominada óp ica es ocás ica, ideada po los D s. T. W. Ma shall y E. San os, su gió a p incipios de los 80 como al e na i a a la óp ica cuán ica. La óp ica es ocás ica se c eó con la idea de explica los esul ados de los expe imen os de óp ica cuán ica u ilizando el concep o de adiación de pun o ce o en luga del concep o de o ón, eg esando a la idea de la luz como algo in ínsecamen e ondula o io. La de ección de o ones se en iende, en el ámbi o de la óp ica 2En p incipio, se llamó ene gía esidual, el é mino ene gía del pun o ce o es una aducción del ge mano Nullpunk sene gie. Todos los sis emas mecanocuán icos ienen ene gía de pun o ce o, cuyo é mino eme ge como e e encia al es ado base del oscilado a mónico cuán ico y sus oscilaciones nulas. En la eo ía cuán ica de campos, la ene gía de pun o ce o es un sinónimo de la ene gía del acío o de la ene gía oscu a, una can idad de ene gía que se asocia con la acuidad del espacio acío. 41.2. Con ex o his ó ico es ocás ica a pa i de la sus acción, a la in ensidad o al, de la co espondien e al pun o ce o en la posición del de ec o , de modo que la in ensidad medible es aquella que es á po encima del umb al de inido po el campo de pun o ce o. 1.2.3. La unción de Wigne y la óp ica es ocás ica Fue a p incipios de los 90 cuando óp ica cuán ica y óp ica es ocás ica encon a on un puen e o mal a a és de la mecánica cuán ica en el espacio de ases. La ep esen ación de Wigne de la óp ica cuán ica ecupe a la idea del pun o ce o como umb al en la de ección, y mues a los e ec os del acío cuán ico en los expe imen os, en con aposición con el espacio de Hilbe , que lo sus ae di ec amen e a a és del o denamien o no mal de ope ado es. Más aún, odos los expe imen os con o ones u ilizando la con e sión pa amé ica a la baja, ealizados con el obje i o de mos a los aspec os no clásicos de la luz, y la iolación expe imen al de desigualdades de Bell, ienen una in e p e ación es ocás ica undamen ada en la posi i idad de la unción de Wigne pa a es e p oceso, lo que añadió la posibilidad de es udia el p oceso ípicamen e cuán ico de la con e sión pa amé ica a la baja, median e ecuaciones de e olución clásicas, simplemen e añadiendo a la onda clásica co espondien e al láse la adiación de pun o ce o a la en ada del c is al. El compo amien o cuán ico se asladaba en onces a la de ección, debido a la apa ición de “p obabilidades nega i as", cuando la in ensidad o al quedaba po debajo del umb al del pun o ce o. Es e abajo ue desa ollado en la década de los 90, y cons i uye la línea de in es igación que p ecede a la ac ual. Además, la g an simili ud en e la unción de Wigne pa a la con e sión pa amé ica a la baja, y las eo ías de a iables ocul as locales, lle ó a un in en o po ep oduci los esul ados expe imen ales, modi icando la eo ía cuán ica de la de ección, con obje o de ene un modelo de a iables ocul as basado en la unción de Wigne pa a el PDC. Sin emba go, los modelos de de ección p opues os pa a al in no consiguie on su obje i o. 1.2.4. La in o mación cuán ica Es bien sabido que cualquie a amien o de la in o mación se ealiza siemp e u ilizando medios ísicos, en un p incipio po medios clásicos pe o, en los úl imo 25 años, muchos cien í i- cos desa olla on una idea que Richa d Feynman había suge ido en 1982. Feynman se pe ca ó de que pod ía habe se ias di icul ades pa a simula sis emas mecánico-cuán icos en compu- ado es clásicos, y sugi ió que cons uyendo compu ado as basadas en p incipios de mecánica cuán ica se pod ían e i a ales di icul ades. Pocos años más a de, en los 90, a ios equipos de in es igado es desa olla on es a idea, demos ando que, sí es posible u iliza compu ado es cuán icos pa a simula e icien emen e sis emas que no ienen simulación e icien e conocida en un compu ado clásico. De es e modo, las en ajas que o ece la eo ía cuán ica, a a és de p opiedades que no ienen con apa ida en la ísica clásica, jun o con los expe imen os ealizados con el in de mos a los esul ados a que den luga es as p opiedades “mágicas", han cons i uido la base 1. ANTECEDENTES Y MOTIVACIONES 5 pa a el desa ollo, en la década de los 80, de la in o mación cuán ica, en sus aspec os eó ico y p ác icos. En e los emas cubie os se incluyen: la elepo ación cuán ica, sin con apa ida clásica; la codi icación densa, median e la cual, son ansmi idos dos bi s clásicos de in o mación con el en ío de sólo un bi cuán ico desde el emiso al ecep o ; la compu ación cuán ica, con el diseño de algo i mos, u ilizando e ec os cuán icos, muy di e en es a los de los compu ado es clásicos; la c ip og a ía cuán ica, pa a la que las p opiedades de la mecánica cuán ica pe mi e es ablece una cla e de o ma que la segu idad en e emiso y ecep o no pueda se ulne ada; co ección cuán ica de e o es y co ección cuán ica ole an e a allos, pa a p o ege los es ados cuán icos del uido. 1.3. Mo i aciones Es a esis se nu e de los esul ados ob enidos en la línea de in es igación an e io , desa- ollada en la década de los 90 del pasado siglo, y cuyos pad es ue on los D s. Emilio San os de la Uni e sidad de Can ab ia y T e o W. Ma shall de la Uni e sidad de Manches e , quienes habían desa ollado con an e io idad la óp ica es ocás ica, y encon a on en el o malismo de Wigne el puen e en e es a eo ía y la óp ica cuán ica a a és de la adiación de pun o ce o. Es a línea gene ó una se ie de esul ados, den o de la o odoxía cuán ica, encaminados a busca un modelo ealis a local, basado en pun o ce o y elec omagne ismo clásico, pa a odos los expe imen os con o ones gene ados en la con e sión pa amé ica a la baja. El uso de la unción de Wigne en la imagen de Heisenbe g pe mi ió es ablece la on e a en e mecánica cuán ica y ealismo local a a és de la adiación de pun o ce o. Con el desa ollo de la eo ía de la in o mación cuán ica, los expe imen os con o ones que du an e muchos años busca on la iolación expe imen al de las desigualdades de Bell, se con e ie on en los exponen es de la expe imen ación en el campo de la comunicación cuán ica. De es e modo, la con e sión a la baja se ha con e ido en un ecu so undamen al en es e campo. Más aún, el uso de desigualdades de Bell en p ocesos de dis ibución cuán ica de cla e es un ejemplo cla o del ínculo que exis e en e los undamen os de la mecánica cuán ica y la eo ía de la in o mación cuán ica. El obje i o de es a esis es mani es a la compleja na u aleza de la luz y del acío, así como mos a la belleza de la manipulación mul i o ónica y sus aplicaciones en los inc eíbles p o ocolos de comunicación y compu ación cuán ica, usando el o malismo de la unción de Wigne , donde apa ece de o ma na u al un ing edien e esencial de la eo ía, el pun o ce o, como asien o pa a la dinámica de los enómenos de la óp ica cuán ica con o ones gene ados con PDC. El ánalisis de los e ec os que la adiación de pun o ce o iene en es os expe imen os, se undamen a á, po un lado, en su in e ención en los dis in os elemen os óp icos, y po o o en su sus acción en la de ección, dado que son los dos pun os cla es del compo amien o cuán ico de la luz. Así, es e abajo apo a, no sólo una pe spec i a nue a de e iden e in e és, 61.4. O ganización de la esis en la que se en a izan los aspec os ondula o ios de la luz, sino que ambién se da una isión que con ibuye de o ma en iquecedo a, desde nues a modes a opinión, al análisis, ein e p e ación y escla ecimien o de la dinámica de los p ocesos de la comunicación cuán ica con o ones en elazados con PDC. Con nues o análisis, los expe imen os de comunicación cuán ica con o ones pueden e se bajo el ángulo de la ingenie ía del acío ( acuum enginee ing). Debemos deci no obs an e que es e es udio iene un ca ác e o odoxo, pues o que, u ili- zando un o malismo cuán ico, se encuen an ein e p e aciones basadas exclusi amen e en la in e ención del ZPF. A di e encia de la línea an e io a la que seguimos en es a esis, no bus- camos ninguna elación con el ealismo local, aunque en endemos que esa pue a sigue abie a. Sin emba go, ambién en endemos que la consecución de nues os obje i os, a pa i de es os abajos y la con inuación con pos e io es aplicaciones, pod ía lle a a que la comunidad cien- í ica omase en conside ación las in e p e aciones al e na i as a los dis in os expe imen os, en base a la acción del pun o ce o3. Es a es, ac ualmen e, nues a mo i ación. 1.4. O ganización de la esis El es udio se inicia en el capí ulo 2 exponiendo las p opiedades de la mecánica cuán ica que apo an en ajas en el campo de la in o mación, en elación con su a amien o clásico, como son: la supe posición cuán ica; pue as cuán icas y e olución uni a ia e e sible; la im- posibilidad de clonación; los es ados en elazados, la pa adoja EPR y desigualdad de Bell; la in luencia del en o no y la decohe encia; pa alelismo cuán ico; in e e encia cuán ica; y co- ección de e o es. P opiedades que, además de pe mi i ealiza ope aciones imposibles de lle a a cabo po medios clásicos, ienen g andes en ajas, an o en elación al aho o de iem- po como de espacio, al aplica lo a ope aciones de compu ación, c ip og a ía, codi icación densa y elepo ación; odas ellas sin con apa ida clásica. El u u o de la compu ación cuán ica es p ome edo , hay que supe a muchos impedimen os an es de comenza a e sus en ajas. En nues a exposición, es as aplicaciones han sido expues as en el o malismo de Hilbe . En el capí ulo 3 se desc ibe la con e sión pa amé ica a la baja, y se hace una e isión bibliog á ica de los expe imen os de comunicación cuán ica con o ones, cen ándonos en la medida de los es ados de Bell, la c ip og a ía cuán ica y el ele anspo e. En el capí ulo 4 se es udia la unción de dis ibución de Wigne en el campo de la óp i- ca cuán ica y sus p opiedades más impo an es. Pa a in oduci las unciones de dis ibución de óp ica cuán ica, hablamos de la conexión en e la desc ipción es ocás ica de la adiación elec omagné ica clásica y las unciones de co elación en óp ica cuán ica. Expond emos los 3La di e encia undamen al es á, den o de que las dos líneas abajan en el mismo o malismo, en que la línea p eceden e buscaba una ein e p e ación de los esul ados de los expe imen os basada en la consecución de un modelo de a iables ocul as locales basado en el pun o ce o, y la línea ac ual pone én asis en la in luencia del pun o ce o en los expe imen os de comunicación cuán ica, e incide sob e la impo ancia del uso del pun o ce o pa a comp ende mejo la comunicación cuán ica con o ones, pe o den o de la o odoxia cuán ica. 1. ANTECEDENTES Y MOTIVACIONES 7 aspec os undamen ales de la óp ica cuán ica con la unción de Wigne en el ma co de Heisen- be g (WRHP), como la desc ipción de un haz de luz, las p opiedades de la adiación de pun o ce o, y la eo ía de la de ección. En el capí ulo 5 se hace p ime amen e un esumen de los aspec os undamen ales del PDC en la unción de Wigne , pa a con inua con la desc ipción de los es ados de Bell en la WRHP, lo que da comienzo al núcleo de apo aciones o iginales de la esis, con inuadas en los capí ulos 6, 7, 8 y 9. En el capí ulo 6 in oduci emos los concep os básicos de la in o mación cuán ica en la WRHP en el campo de la óp ica, incidiendo en los e ec os que p oduce la adiación de pun o ce o. Así, comenza emos con la desc ipción del qubi espacial, donde mos a emos la in luencia del ZPF que en a po uno de los canales acíos de un BS en la gene ación de un qubi o ónico y en sus p opiedades. Pos e io men e e isa emos los elemen os óp icos u ilizados en óp ica lineal, analizando el e ec o que p oducen sob e las ampli udes del campo eléc ico en la WRHP. En conc e o, el análisis del di iso de pola ización (PBS) nos pe mi i á en ende la ele ancia del ZPF en la implemen ación de la pue a CNOT. Finalmen e ha emos una e isión bibliog á ica de o os abajos en los que se usa la unción de Wigne en el campo de la in o mación cuán ica. En el capí ulo 7, co espondien e a c ip og a ía, es udiamos expe imen os de dis ibución de cla e con o ones gene ados en una PDC ipo II, u ilizados en el p o ocolo de Eke . Se analiza ambién la in e ención del espía y la in luencia del pun o ce o en la de ección de los a aques, en el caso de medidas p oyec i as, lo que da en aja a la dis ibución cuán ica de cla e sob e la c ip og a ía clásica. Se compa a nues a in e p e ación con la usual en el espacio de Hilbe , basada en la elación de ince idumb e y el eo ema de compa ibilidad. También se analizan en es e capí ulo los es ados GHZ, base eó ica del sec e o cuán ico compa ido, y los expe imen os de c ip og a ía cuán ica con PDC ipo I. En el capí ulo 8 mos amos la impo ancia del campo de pun o ce o en la dis inguibilidad de los es ados de Bell y la elación en e la conside ación de un mayo núme o de g ados de libe ad pa a la medida de la base de Bell, lo que da luga en el espacio de Hilbe al concep o de hipe en elazamien o, y la ex acción de un mayo núme o de modos de pun o ce o independien es a la en ada del c is al. También, el análisis de la es adís ica de dos o ones en un di iso de haz e ela la in luencia del pun o ce o en el compo amien o e miónico de los o ones en el di iso , cuando su es ado de pola ización es á desc i o po el single e. En el es udio de la elepo ación, ealizada en el capí ulo 9, se comienza con el es udio del in e cambio de en elazamien o a a és de las co elaciones cuád uples, lo que e ela la es echa elación en e el colapso del ec o de es ado y las co elaciones en el o malismo de Wigne a a és del pun o ce o. Analizamos ambién los dos g andes exponen es del ele ans- po e cuán ico con o ones a ni el expe imen al, conocidos comúnmen e como los expe imen os de Innsb uck y de Roma. El desa ollo de los cálculos exige el uso de p obabilidades iples y cuád uples en la eo ía de la de ección, lo que hemos es udiado en los Anexos I y II. 81.4. O ganización de la esis Aunque cada uno de los capí ulos 6, 7, 8 y 9 iene un apa ado de conclusiones, dedica emos el capí ulo 10 a la exposición de unas conclusiones gene ales. Capí ulo 2 UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 2.1. In oducción Con el desa ollo de la mecánica cuán ica, las eo ías de la in o mación y de la compu ación han expe imen ado un g an a ance, cuando se han ex endido, pa a aba ca el has a en onces in ac o e i o io de la ansmisión y el p ocesamien o de los es ados cuán icos y la in e ac- ción de es a in o mación cuán ica con las o mas adicionales de la in o mación. Has a hace poco se pensaba en la in o mación en é minos clásicos, sin emba go, aho a se sabe que una eo ía comple amen e cuán ica nos o ece muchas en ajas. Es as en ajas son debidas a las p opiedades cuán icas como: la ince idumb e, la in e e encia y el en elazamien o. Una eo ía de la in o mación basada en p incipios cuán icos amplía y comple a la eo ía clásica de la in o mación. Además de las nociones clásicas, la nue a eo ía incluye dos ipos de ecu sos cuan i icables: la in o mación clásica y el en elazamien o cuán ico. La in o mación clásica puede copia se a olun ad, pe o sólo puede ansmi i se hacia a delan e en el iempo a una elocidad no supe io a la de la luz. Po el con a io, el en elazamien o no puede copia se, pe o puede conec a dos pun os cualesquie a en el espacio- iempo. El en elazamien o puede se des uido con las ope aciones clásicas, pe o las ope aciones cuán icas pueden c ea lo y usa lo pa a acele a cie as ope aciones clásicas, o ayuda en la ansmisión de in o mación clásica o de es ados cuán icos. Muchos de los expe imen os que se ealizan pa a con as a desigualdades de Bell de i an en el en elazamien o de dos o más pa ículas, con obje o de aplica lo en el desa ollo de nue os sis emas de comunicación y p ocesamien o de in o mación y enc ip ación segu a, ansmi ien- do o ones, en es ados en elazados, a a és de ib a óp ica y po ai e a a ios kilóme os de dis ancia. A su ez, el desa ollo de la eo ía de la in o mación cuán ica es á desa ollando elemen os, como puede se el hipe en elazamien o de o ones (en elazamien o en más de un g ado de libe ad), pa a su aplicación en con as a el ealismo local. La iolación de desigual- dades de Bell se u iliza en la ac ualidad, no sólo pa a des aca los aspec os no clásicos que p edice la mecánica cuán ica, sino como es igo de en elazamien o en las medidas ealizadas 9 10 2.1. In oducción en si ios emo os. Implíci amen e, los au o es de es os expe imen os pa ecen asumi que la mecánica cuán ica es la mejo desc ipción de la ealidad que enemos y - como se ha hecho du an e los úl imos 100 años - po eso, es po lo que la ponen a abaja . La in o mación cuán ica a a de la in o mación que u iliza p opiedades cuán icas de los sis emas ísicos. Es un campo que aba ca an o es ue zos eó icos como implemen aciones expe- imen ales, y que incluye, en e o os, los siguien es subcampos in e elacionados: compu ación cuán ica (o denado es cuán icos, algo i mos cuán icos y simulado es cuán icos), c ip og a ía cuán ica (y su gene alización, la comunicación cuán ica), co ección cuán ica de e o es, en e- lazamien o y complejidad en la comunicación cuán ica. Aunque las p opiedades de las supe posiciones y del en elazamien o cuán ico, que hemos comen ado, se conocen desde los años 30 del siglo pasado, el nacimien o de la in o mación cuán- ica es á ligado a las ideas de o denado cuán ico (Benio [26], Feynman [117] y Deu sch [108]) y dis ibución segu a de cla es po mé odos cuán icos en los años 80 del pasado siglo [38]. Su ápido c ecimien o, en los 90, es á mo i ado po el descub imien o de los p ime os algo- i mos cuán icos, pa icula men e el de Sho , los mé odos cuán icos de co ección de e o es, las p opues as de implemen ación expe imen al de o denado es cuán icos, la ealización p ác- ica de la c ip og a ía cuán ica, y oda una se ie de a ances ecnológicos elacionados con la manipulación de sis emas genuinamen e cuán icos. La eo ía de la in o mación clásica se in e esa, p incipalmen e, en el p oblema del en ío de in o mación sob e canales de comunicación, los cuales ope an de acue do con las leyes de la ísica clásica. La in o mación clásica es á con enida en el es ado de un sis ema ísico, desc i o po medio de pa áme os con inuos como los ol ajes, desconocidos pa a un ecep o que, al ealiza una medida, siemp e consigue la iden i icación de ese es ado lo cual, en ísica clásica y en p incipio, siemp e es posible. La si uación más simple consis e en un sis ema ísico, deno- minado bi , p epa ado en uno de los dos posibles es ados: 0 y 1, es au ados pe iódicamen e pa a que no se pie dan a causa de di e en es mo i os. Una memo ia de nbi s puede es a en cualquie a de los 2nes ados, desde el 00 . . . 0has a el 11 . . . 1. Los o denado es clásicos los almacenan y los manipulan median e ope aciones booleanas pa a ealiza cualquie ope ación. En es a desc ipción se ecalca el papel que juega la eo ía ísica en el concep o de in o - mación y, aho a, se conside a la si uación análoga en el con ex o de la eo ía cuán ica, donde cada bi cuán ico puede halla se en un ins an e dado en una de las in ini as supe posiciones que se pueden gene a a pa i de los es ados clásicos, educiéndose así el iempo de ejecución de algunos algo i mos de miles de años a segundos. De es e modo, la in o mación cuán ica es á con enida en un es ado cuán ico dado, desconocido. Es a apa en e gene alización na u al de la si uación cuán ica di ie e d ás icamen e de su imagen clásica. 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 11 2.2. El bi cuán ico El sis ema cuán ico más simple es un sis ema de dos ni eles, al que se le denomina qubi (un espín nuclea o un o ón), pa a e e i se a un sis ema de dos ni eles con una base o ono mal p e e en emen e elegida como {|0i,|1i}. El qubi es a ía ep esen ado po una combinación lineal de los es ados de la base an edicha (base compu acional): |ψi=α|0i+β|1i,(2.1) donde αyβson núme os complejos y en e a cualquie medida del obse able del cual el |0iy el |1ison es ados p opios, |α|2es la p obabilidad de ob ene 0, y |β|2la de encon a 1. Ob iamen e, debido a la condición de no malización, |α|2+|β|2= 1. La implemen ación de qubi s con o ones (qubi s o ónicos) se puede hace de a ias o mas [208]: 1. U ilizando la pola ización del o ón end íamos dos es ados en la conocida como base ec ilínea: el co espondien e a pola ización e ical, |Vi=|0iy el au oes ado de pola- ización ho izon al, |Hi=|1i. El qubi end ía ep esen ado po la supe posición: |ψi=α|Hi+β|Vi.(2.2) 2. También, u ilizando el momen o del o ón (modos espaciales o caminos), se iene lo que se conoce como qubi espacial. Se consigue, po ejemplo, a pa i de un di iso de haz. Si un o ón con momen o de inido incide po uno de los canales de en ada del di iso , siendo ayblos modos de salida, el qubi que su ge del di iso de haz se puede exp esa : |ψi=α|ai+β|bi.(2.3) 3. O a posibilidad es gene a un ime-bin qubi a pa i de un in e e óme o Mach-Zehnde . Si un pulso (con eniendo un o ón) incide sob e el p ime di iso del in e e óme o, y és e iene una di e encia de caminos mayo que el amaño del pulso, el es ado co espondien e al o ón que sale po una de las salidas del segundo di iso , suponiendo que la o a salida no con iene ningún o ón, es una supe posición de es ados (dos pulsos): |ψi=α|li+β|si,(2.4) donde lysse e ie en a los caminos la go y co o del in e e óme o espec i amen e. La ase ela i a puede ajus a se median e un phase-shi e en uno de los b azos. El es ado gene al de un qubi puede ep esen a se po dos pa áme os θyϕ: |ψi= cos θ 2|0i+eiϕsenθ 2|1i.(2.5) 18 2.5. In luencia del en o no o ma de ep esen a los da os y ope aciones clásicas den o del o malismo cuán ico. Un canal clásico es capaz de ansmi i bi s 0’s y 1’s, de mane a iable, que son equi alen es a los qubi s |0iy|1i, pe o no supe posiciones. No obs an e, és as pueden ejecu a se u ilizando la pue a XOR, pues según es a pue a, UXOR|x0i → |xxi, con un |0ien la posición del obje i o y desechándolo a con inuación. Es deci , la in o mación clásica es como un p oceso cuán ico que in e ac úa con el en o no de o ma i e e sible ansmi iéndose el qubi con ol que ha omado el alo 0 ó 1. Cualquie p ocesado de da os clásicos se puede hace de mane a simila po p ocesamien os cuán icos, complemen ándolos po la in e acción con un en o no cuán ico que luego se desca a. Es as in e acciones, que en elazan con el en o no, se conocen como decohe encia y cambian el compo amien o de un sis ema, desde el cuán ico al clásico. La decohe encia es á siemp e p esen e cuando un sis ema in e ac úa con o os sis emas, po lo an o, debe conside a se como un sis ema abie o. La decohe encia ep esen a un p oblema impo an e pa a la ealización p ác ica de la compu ación cuán ica, ya que és a depende, en g an medida, de la e olución sin al e ación alguna de la cohe encia cuán ica. El núme o máximo de pasos posibles en una compu ación es á dado, más o menos, po la elación en e, τς, iempo pa a el que un sis ema pe manece mecanocuán icamen e cohe en e y τop, iempo que a da en ealiza ans o maciones uni a- ias elemen ales (que in oluc a al menos a dos qubi s). Es os dos iempos es án ealmen e elacionados en e sí, ya que, dependen de la ue za de acoplamien o del sis ema con el mundo ex e io . No obs an e, la elación λ=τop/τς, puede a ia en un amplio ango. Buena pa e de es e pesimismo se ha disipado con el descub imien o de la compu ación cuán ica ole an e a allos (Faul - ole an quan um compu a ion, FTQC). El descub imien o de la co ección cuán ica de e o es ha mejo ado las pe spec i as a la go plazo pa a la ec- nología de la compu ación cuán ica. El codi icado de la in o mación se puede e p o egido de los e o es que su gen, debido a la in e acción no con olada con el medio ambien e, o de- bido a la implemen ación impe ec a de las ope aciones de lógica cuán ica. La ecupe ación del es ado debido a e o es puede abaja con e icacia, aunque ocasionalmen e se p oducen e o es du an e el p ocedimien o de ecupe ación. Además, la in o mación cuán ica codi icada puede p ocesa se sin la p opagación de e o es g a es. En p incipio, una compu ación cuán ica a bi a iamen e la ga se puede ealiza de o ma iable, siemp e que la p obabilidad p omedio de e o po la pue a sea in e io a un cie o alo c í ico, el umb al de p ecisión. Puede se posible inco po a ole ancia a allos in ínsecos en el diseño de ha dwa e de la compu ación cuán ica, al ez al ecu i a in e acciones opológicas de Aha ono -Bohm en p ocesos de in o mación cuán ica. 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 19 2.6. El pa alelismo cuán ico El pa alelismo cuán ico su ge de la capacidad de un egis o de memo ia cuán ica de pode es a en una supe posición de es ados de la base. Cada componen e de es a supe posición puede conside a se como un solo a gumen o de una unción. Una ez ejecu ada la unción, és a se ejecu a en cada una de las componen es de la supe posición. Dado que el núme o de es ados posibles es 2n, donde nes el núme o de qubi s en el egis o cuán ico, en un o denado cuán ico se puede ealiza una ope ación pa a la que se ía necesa io un núme o exponencial de ope aciones en un o denado clásico, es deci se ans o ma un p oblema exponencial en polinomial. Es o es an ás ico, pe o en cuan o mayo es el núme o de es ados supe pues os en el egis o, meno es la p obabilidad de que al hace una medida, esul e un alo pa icula . La compu ación de la unción co esponde a una e olución uni a ia U que ans o ma |ai|bien |ai|b⊕ (a)i. Si el egis o de en ada es una supe posición de alo es Σa∈A|ai, aplicando U con b=0, po linealidad de las e oluciones cuán icas, la salida se á |ai| (a)i. Al ac ua U una ez, odos los alo es de es a án en supe posición Σa∈A|ai| (a)ide es ados en elazados en los egis os de en ada y salida. 2.7. Teo ía de la in o mación cuán ica La in o mación cuán ica a a las nociones clásicas de uen e y canal, así como de las écni- cas de codi icación, des acando la comp esión y el cálculo de en elazamien o y las capacidades de los dis in os canales. Físicamen e, un canal cuán ico puede desc ibi se como la ans e encia de un cie o sis- ema cuán ico desde el emiso has a el ecep o . Si du an e la ans e encia, la in o mación pe manece in ac a y sin pe u bación, el canal es sin uidos, si el sis ema cuán ico in e ac úa en u a con algún o o sis ema, de o ma que la in o mación queda pe u bada el esul ado es un canal con uido cuán ico. Los canales cuán icos pueden se u ilizados pa a anspo a in o mación clásica, y, si no son demasiado uidosos, son ap os pa a ansmi i es ados cuán- icos in ac os y compa i en elazamien o en e pa es sepa adas en dis ancia. A di e encia de los canales clásicos, que es án debidamen e ca ac e izados po una capacidad única, los canales cuán icos ienen a ias capacidades di e en es. Es os incluyen una capacidad clásica C, pa a la ansmisión de in o mación clásica, una capacidad cuán ica Q, pa a la ansmisión de es ados cuán icos de mane a idedigna, una capacidad cuán ica asis ida clásicamen e, Q2, pa a ansmi i es ados cuán icos de o ma idedigna con la ayuda de una doble ía clásica en ambos sen idos y, po úl imo, CEque es la capacidad clásica asis ida po en elazamien o, que de inimos como una capacidad de canal cuán ico pa a ansmi i in o mación clásica con la ayuda ilimi ada de en elazados pu os, compa idos p e iamen e, en e emiso y ecep o [56]. En la mayo ía de los casos se conocen sólo las co as supe io e in e io de es as capacidades, no la capacidad en sí mismo [41,13]. 20 2.8. Comp esión cuán ica En el caso de pa es de pa ículas en elazadas, compa idas en e dos pa es, en e el emiso y el ecep o no se a ibuye ninguna capacidad pa a ansmi i in o mación clásica, ni puede c ece la capacidad de un canal clásico más allá de lo que hab ía sido sin el en elazamien o. Es o se de i a del hecho de que la manipulación local de uno de los dos subsis emas en elaza- dos, no puede in lui en la expec a i a de cualquie obse able local del o o subsis ema [33]. Es o, a eces, se denomina es icción de la causalidad, ya que su iolación ha ía posible el en ío de mensajes al pasado. Po o a pa e, es bien sabido que el p e io en elazado puede mejo a la capacidad clásica de los canales cuán icos. En el e ec o conocido como código denso, descubie o po Wiesne [39], la capacidad clásica de un canal cuán ico sin uido se duplica po en elazamien o p e io. En o as palab as, CE=2C, pa a cualquie canal cuán ico sin uido. Se demues a que, pa a al- gunos canales, es a mejo a pe sis e, e incluso aumen a, cuando el canal se hace más uidoso, incluso después de que el canal se ha uel o an uidoso que sus capacidades cuán icas, QyQ2, desapa ecen, y los canales pueden se simulados po acciones locales y comunicación clásica en e el emiso y el ecep o . Es o es, al ez so p enden e, ya que pod ía pa ece que cualquie canal cuán ico, que pudie a simula se clásicamen e, debe ía compo a se como un canal clásico en odos los sen idos, en pa icula , no ene una mayo capacidad po en elazamien o p e io. De hecho, no hay con adicción po que, incluso, cuando un canal cuán ico puede se simulado clásicamen e, la simulación, necesa iamen e, implica una cie a can idad de comunicación clá- sica p og esi a desde el emiso al ecep o , y es a in o mación nunca es meno que la capacidad del canal asis ido po en elazado. Así, pa a cualquie canal cuán ico, C≤CE≤FCCC, donde FCCC es el cos e de la comunicación clásica a o ecida, es deci , el a ance de la capacidad clásica necesa ia, jun o con o os ecu sos, pa a simula el canal cuán ico. 2.8. Comp esión cuán ica Exis e analogía en e la eo ía clásica y la cuán ica en las écnicas de codi icación de uen es y canales. Supongamos que se mues ean nca ac e es de un al abe o ini o Σ, dando una dis ibución de p obabilidad p. En eo ía de la in o mación clásica, la en opía de Shannon de cada ca ác e es H=−Pp(a) log p(a). La asa de comp esión es el cocien e en e la longi ud de una cadena sin comp imi y la longi ud cuando es á comp imida. Hay muchos algo i mos pa a la comp esión de da os en el dominio clásico. Un algo i mo de comp esión de da os an e icien e como ampliamen e u ilizado se debe a Zi y Lempel [99]. Es un simple algo i mo de comp esión sin pé dida lineal en el iempo, que iene una asa de comp esión asín ó ica, al ace ca se a la en opía de la uen e, es deci pe mi e que una cadena de longi ud n, se comp ima sin pé dida, en una cadena de bi s de longi ud que se ap oxima asin ó icamen e a HΣ(p)nal c ece n. En el p ime paso, u ilizan un esquema de análisis pa a codi ica la cadena de o igen en p e ijos únicos. En el segundo paso, se u iliza es a in o mación codi icada pa a ecupe a la cadena o iginal sin e o . 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 21 Desa o unadamen e, desa olla una analogía cuán ica de comp esión de da os, de Zi y Lempel, en el dominio clásico, no es i ial, pues al conse a la aza de p e ijos, se equie en múl iples mediciones de los qubi s, que hace la ope ación i e e sible. La misma di icul ad apa ece en el es o de los algo i mos de comp esión clásica conocidos [99]. Pa a disminui , en lo posible, el núme o de qubi s u ilizados pa a la comunicación y alma- cenamien o cuán icos, puede se muy en ajoso u iliza mé odos de comp esión. Hole o [145] y Fuchs y Cue as [121], ienen esul ados que implican que los mé odos cuán icos no pue- den aumen a el ancho de banda pa a ansmi i in o mación clásica. Sin emba go, los es ados cuán icos en elazados se pueden comp imi mucho más de lo que es posible ía comp esión sin pé dida clásica. Según Schumache [228], se supone que hay un conjun o de es ados cuán icos ini os (Σ0p), que es un es ado mix o que consis e en un núme o ini o de es ados P= [|a0i ........a|Σ|−1], donde |aii iene una p obabilidad pi. El comp eso ac úa sob e los bloques de n qubi s (lo que es un comp eso de bloque), componiendo el conjun o (Σ0p): la ma iz densidad de (Σ0p)es ρ=Ppi|aiihai|donde |aiihai|es el ope ado que p oyec a sob e |aii. La en opía de on Neumann [255,228], co espondien e a (Σ0p)es HV N (ρ) = −T (ρlog ρ), donde T es la aza del ope ado . En gene al, la en opía de Shannon, H(p), es mayo o igual que la en opía de on Neumann. Es as en opías son iguales sólo cuando los es ados en Σ0son o ogonales. La comp esión y descomp esión uni a ias han de conse a el núme o de bi s (algunos de los cuales se igno an). Una comp esión cuán ica de nan0es una ans o mación uni a ia que asigna a cadenas de nqubi s, cadenas de n0qubi s. Los p ime os n0, que salen del comp eso , se oman como la e sión comp imida de su en ada, y los es an es, n−n0, se desca an. Una descomp esión de n0anes una ans o mación uni a ia que asigna cadenas de nqubi s a cadenas de n0qubi s; los p ime os n0que en an al descomp eso son la e sión comp imida de los nqubi s sin comp imi , y los es an es n−n0qubi s son odos 0. La uen e pa a el esquema de comp esión se supone que es una secuencia de nqubi s mues eados de o ma independien e, a pa i de los (Σ0p). La emisión que se obse a es el esul ado de la comp esión de los p ime os qubi s de en ada, a con inuación los descomp ime y, inalmen e, mide los esul ados (sob e una base que con iene nen adas). La idelidad del esquema de comp esión es la p obabilidad de que el p oduc o obse ado sea igual al de en ada o iginal (es deci , la p obabilidad de que los qubi s sean los o iginales, co ec amen e ecupe ados, de los qubi s comp imidos). El obje i o a consegui es una comp esión cuán ica con al a idelidad y al a elación de comp esión. 2.9. Co ección de e o es Sabemos que los es ados cuán icos son muy delicados. La p incipal di e encia en e un es- ado cuán ico y un es ado clásico es que un es ado cuán ico puede es a en una supe posición de múl iples es ados clásicos di e en es. Sin emba go, cualquie medida de la supe posición de umba á el es ado cuán ico en uno de los es ados clásicos de sus componen es. De hecho, 22 2.10. Fo ones en elazados como ecu so en compu ación y comunicación cuán icas la mayo ía de las in e acciones con el medio ambien e ac úan como una medida, con el consi- guien e colapso del es ado. Es a es la azón de que el mundo a escala humana se ea clá- sico: los obje os g andes in e accionan, po poco que sea, con su en o no, po lo que es án cons an emen e colapsando en sus es ados clásicos. Es e p oceso se conoce po decohe encia. La decohe encia es un g an p oblema pa a un o denado cuán ico. Si no podemos de ene su in e acción con el medio ambien e, no se á mejo que un o denado clásico. De ene la decohe encia es el mismo p oblema que de ene el uido. La solución al p oblema es usa un código de co ección de e o es cuán icos. El código clásico de co ección de e o es, más sencillo, es el código de epe ición. Nos codi ica un 0como 000 y un 1, como 111. En onces, si cambia un sólo bi , se ob end ía el es ado de 011, pudiendo deduci se que el es ado inicial e a el 111. Pa a un código cuán ico, necesi amos un bi más. Los signos de los es ados en una supe - posición cuán ica son impo an es, po lo que necesi amos pode co egi e o es de signo, así como e o es de cambio de bi . Pa a ello, podemos u iliza nue e qubi s en luga de es: |0i → (|000i+|111i)⊗(|000i+|111i)⊗(|000i+|111i),(2.27) |1i → (|000i−|111i)⊗(|000i−|111i)⊗(|000i−|111i).(2.28) A con inuación, median e la compa ación de los qubi s den o de los bloques de es, podemos de ec a e o es de cambios de bi , y al compa a los signos de los es bloques, podemos de ec a e o es de signos. U ilizando es e código, es posible co egi un e o cuán ico en un qubi a bi a io. Es e es el código cuán ico más simple. Se conocen muchos más, exis iendo, además, una eo ía bien desa ollada de códigos de co ección de e o es cuán icos. Si que emos p ese a un es ado cuán ico po la go iempo, sin hace ningún cálculo, o, si que emos en ia lo a a és de un canal de comunicación con uido, podemos codi ica el es ado, u ilizando un código cuán ico y descodi ica lo cuando hayamos e minado. Si que emos hace el cálculo en un es ado, con pue as con uido, necesi amos sabe cómo ealiza ope aciones en los es ados que ya es án codi icados. Po o a pa e, hab á que hace lo de al mane a que, no se in oduzcan más e o es que no se puedan co egi . En o as palab as, necesi amos que la compu ación sea ole an e a allos [239,240,212,138,236,8,157]. 2.10. Fo ones en elazados como ecu so en compu ación y co- municación cuán icas El en elazado cuán ico se ha con e ido en un ecu so impo an e pa a muchas a eas que p ocesan in o mación cuán ica, como la compu ación cuán ica, ó la comunicación cuán ica. Desde el p ime momen o, el en elazamien o demos ó se una he amien a esencial pa a 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 23 la ísica cuán ica, an o en la eo ía como en la p ác ica: desde un p incipio, las p ác icas expe imen ales del en elazado de pa es de o ones se u iliza on pa a demos a la na u aleza cuán ica de las co elaciones de pola ización, y en e o as aplicaciones p oba el eo ema de Bell. Una ez descubie o el p ocesamien o de la in o mación po medio de la ísica cuán ica, en pa e p o ocado po la in oducción de la c ip og a ía cuán ica y, po lo an o, el p incipio de la ciencia de la in o mación cuán ica, el en elazado, se ha ganado el de echo de se un ecu so undamen al, como un canal pa a la comunicación cuán ica, po ejemplo, pa a la elepo ación cuán ica, o la codi icación densa cuán ica, o como un ecu so en la compu ación cuán ica. La codi icación densa es una o ma de ansmi i dos bi s de in o mación po medio de sólo una de dos pa ículas en elazadas, cada una de las cuales, indi idualmen e, puede lle a sólo un bi de in o mación [39]. La idea básica de elepo ación cuán ica es ans e i el es ado de un sis ema cuán ico a o o sis ema cuán ico, localizado a dis ancia, habiendo sido p opues o po : Benne , B assa d, C épeau, Jozsa, Pe es y Woo e s [33]. La óp ica cuán ica ha p obado, con mucho éxi o, la implemen ación, an o de la codi icación densa como de la elepo ación cuán ica. Los dos ing edien es c uciales pa a las implemen a- ciones óp icas son: la uen e de o ones en elazados y los analizado es de es ados de Bell. En [195] se p esen a la demos ación expe imen al de la codi icación densa cuán ica. En [63,33] se desc ibe el expe imen o de la elepo ación cuán ica ealizada en Innsb uck, en el cual, el es ado de pola ización de un o ón es elepo ado, u ilizando un pa de o ones en elazados como auxilia . En [211] se desc ibe el expe imen o p opues o po Popescu ealizado en Roma [55] en el cual, el es ado de pola ización p epa ado en uno de los o ones de un pa en elazado en momen o es ans e ido a su pa eja localizada a dis ancia. 2.11. Codi icación densa La capacidad de un solo qubi pa a una comunicación clásica no puede se mayo de un bi . Pa a es ablece la capacidad máxima, el emiso , Bob, p epa a el qubi en uno de los es ados |0i ó|1icon igual p obabilidad. El ecep o , Alicia, puede dis ingui pe ec amen e es os es ados o ogonales, median e una medida en la base con enien e y adquie e, consecuen emen e, un bi de in o mación. Según el eo ema de Hole o [144], si Bob in en a codi ica más in o mación en el qubi u ilizando señales con es ados no o ogonales, Alicia no pod á dis ingui los su icien e- men e, pa a ob ene más de un bi de in o mación sob e la iden idad de la señal. Sin emba go, si el qubi es á en elazado con o o qubi , po ejemplo, |ψ−i= (1/√2) (|01i−|10i), en onces, se puede u iliza pa a comunica dos bi s de in o mación clásica desde Alicia a Bob. Es e es el p oceso de codi icación densa ideado po C.H. Benne and S.J. Wiesne [39], doblando la capacidad de in o mación, al u iliza un qubi en elazado con o o. Alicia y Bob es án sepa ados, sin impo a la dis ancia, compa iendo un pa de qubi s 24 2.11. Codi icación densa en elazados, en el es ado: ψ−=1 √2(|01i−|10i).(2.29) Con es e es ado, Bob puede p epa a cualquie a de los es ados de Bell, manipulando local- men e su qubi , con las ope aciones: U00 =I= 1 0 0 1 !,(2.30) U01 =Z= 1 0 0−1!,(2.31) U10 =−X= 0−1 −1 0 !,(2.32) U11 =−iY = 0−1 1 0 !,(2.33) donde Ies la iden idad, y X,Y, y Zson las ma ices de Pauli. De es e modo, el es ado de los dos qubi s queda en uno de los siguien es es ados en elazados: |ψ−iAB =1 √2(|01i−|10i),(2.34) |ψ+iAB =1 √2(|01i+|10i),(2.35) |φ−iAB =1 √2(|00i−|11i),(2.36) |φ+iAB =1 √2(|00i+|11i).(2.37) Con lo que, pa a comunica dos bi s, ij, Bob aplica Uij a su bi y lo en ía a Alicia, que, al ecibi lo, ealiza una medida de Bell sob e el es ado conjun o de las dos pa ículas, dis inguiendo así los cua o es ados, y sab á los alo es de iyj. Como emos, la codi icación densa es una comunicación asis ida po en elazamien o, y mues a que, pa a un canal sin uido de un qubi , la capacidad clásica asis ida po en ela- zamien o es, CE=2, mien as que, las capacidades clásica y cuán ica, espec i amen e, son, C=Q=1. So p enden emen e, el cocien e CE/Caumen a al aumen a el uido, y de hecho, puede alcanza alo es an g andes, pa a canales con mucho uido, que su capacidad cuán ica, Q, y su capacidad cuán ica asis ida clásicamen e, Q2, se hagan desp eciables. 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 25 2.12. Tele anspo e Suponemos que Alicia iene un o ón en el es ado |ψi1=α|Hi1+β|Vi1, de iden idad desconocida pa a ella, el cual desea ans e i a Bob, pa a comunica le la in o mación que dicho es ado posee. |ψi1puede se un es ado undamen al, a medio camino de una compu ación cuán ica, y Bob a a comple a la compu ación en su compu ado a cuán ica. Si Alicia in en a iden i ica el es ado, en onces, i e ocablemen e, des ui á la mayo pa e de la in o mación cuán ica, esul ando inú il el es ue zo compu acional inicial. Si Alicia conocie a la iden idad del es ado |ψi1, ella pod ía en ia a Bob una desc ipción del mismo, po medios con encionales clásicos. Bob pod ía en onces econs ui |ψi1en su labo a o io. Sin emba go, és e es un medio poco e icien e de comunica el es ado de un qubi , cuando Alicia necesi e en ia una g an can idad de in o mación clásica, si Bob quie e consegui una azonable segu idad pa a la econs ucción de |ψi1. Alicia siemp e pod ía coloca su qubi en una caja segu a, blindándola de un posible uido ambien al, y en ia el qubi in ac o a a és del espacio a Bob. ¿Pe o hay alguna o a o ma de comunica la in o mación cuán ica comple a de |ψi1? El en elazado cuán ico puede se i como canal pa a la ansmisión de in o mación cuán ica. Es e es el p oceso de elepo ación cuán ica que aho a exponemos. Supongamos que Alicia y Bob compa en algunos en elazados cuán icos, en la o ma del es ado EPR, |ψ−i23 = (1/√2)(|Hi2|Vi3− |Hi3|Vi2), como en la codi icación densa. Alicia ambién posee un qubi ex a en el es ado desconocido |ψi1, que es el es ado a ans e i a Bob. El es ado del sis ema se á: |ψi123 =|ψi1⊗|ψ−i23 =−1 2|ψ−i12(α|Hi3+β|Vi3)−1 2|ψ+i12(α|Hi3−β|Vi3) +1 2|φ−i12(β|Hi3+α|Vi3) + 1 2|φ+i12(−β|Hi3+α|Vi3).(2.38) Si Alicia ealiza una medida de Bell en sus pa ículas, odos los esul ados ienen la misma p obabilidad. Es a medida no le da a Alicia ninguna in o mación sob e la iden idad del es ado |ψi1, quedando la pa ícula de Bob, espec i amen e, en el es ado (−1)ij+1 Uij|ψi3, pa a (i, j) = 0,1. Las exp esiones de Uij, ienen dadas po las ecuaciones (2.30) a (2.33). Lo impo an e es que, la pa ícula de Bob, una ez aplicada la ans o mación eseñada, es |ψi1. O sea que, si Alicia en ía los dos bi s, ij, de in o mación clásica, esul an e de la medida de Bell, Bob pod á aplica la co espondien e ans o mación in e sa −Uij a su pa ícula, es au ando el es ado |ψi1, en cada caso. 2.13. Des ilado El en elazamien o po des ilación o pu i icación [28,40,109,175,128] indica la ob ención de pa es de qubi s ue emen e en elazados, pa iendo de un núme o mayo de pa es débilmen- 26 2.13. Des ilado  3´ 2´ P epa ado del es ado DV1 DH3 DV3 DV2 DH1 DH2 PBS PBS PBS ZPF2 Láse Láse BS 1 2 3 Figu a 2.2: Esquema básico de ele anspo e cuán ico. e en elazados. El obje i o es compa i qubi s ue emen e co elacionados en e las pa es dis an es, con el in de pe mi i que la elepo ación [33,63,204,122,55] cuán ica o la c ip og a- ía [112,69,246] cuán ica sean iables. Todos los mé odos de pu i icación equie en que las dos pa es ealicen en sus sis emas sólo ope aciones locales y que se in e cambie en e ellos in o - mación clásica, solamen e, sin ans e encia de los qubi s adicionales. Las ope aciones locales posibles incluyen: (i) ans o maciones uni a ias, con lo que cada pa e en elaza las pa ículas de que dispone; (ii) p oyecciones no uni a ias, con lo que cada pa e mide una po ción de sus pa ículas p oyec ando, así, el es o del sis ema en un nue o es ado. Es as p oyecciones son, gene almen e, seguidas de una comunicación clásica de los esul ados medidos en e las pa es. O a ope ación no uni a ia es el il ado [39], po el que un pa , con cie a p obabilidad que depende del es ado, se desca a o se conse a después de cada p oyección. Supongamos que a Alicia y a Bob, en luga de suminis a les una copia simple de un es ado |ψi, se les suminis a un g an núme o de copias. La idea de en elazamien o po des ilación es con e i un núme o g ande de copias de un es ado pu o conocido |ψi, en an as copias del es ado de Bell (1/√2) (|00i+|11i)como sean posibles, u ilizando ope aciones locales y comunicación clásica (LOCC), no se equie e un éxi o o al, pe o sí una al a idelidad. Dilución de en elazado es el p oceso in e so de u iliza LOCC pa a con e i un g an núme o de copias del es ado de Bell (1/√2) (|00i+|11i)en copias |ψi, de nue o, con al a idelidad, donde hay disponible un g an núme o de copias del es ado de Bell. Si asumimos que el en elazado es un ecu so ísico, como al, se ía posible su cuan i icación, al como cuan i icamos o os ecu sos 2. UN ACERCAMIENTO A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA 27 como la ene gía y la en opía. Supongamos que cogemos el es ado de Bell (1/√2) (|00i+|11i) como unidad es ánda de en elazamien o. Podemos asocia una medida de en elazamien o a un es ado cuán ico |ψide igual o ma que asociamos una masa a un obje o. Pa a de ini la can idad de en elazado p esen e en un es ado pu o, imaginemos que se nos da un g an núme o n, de es ados de Bell, (1/√2) (|00i+|11i), y nos piden p oduci an as copias de |ψicomo sea posible, u ilizando LOCC. Si el núme o de copias de |ψique se puede p oduci es m, de inimos el en elazado de o mación del es ado |ψi, como el lími e de la elación n/m. Podemos conside a el p oceso in e so, pa iendo de mcopias de |ψiy ob ene ncopias de (1/√2) (|00i+|11i)median e LOCC, y de ini el lími e de la elación n/mcomo el des ilado del en elazado. Es as dos de iniciones dan el mismo núme o. El en elazado de o mación y la des ilación dan, exac amen e, lo mismo. Hemos de inido el en elazado po des ilación pa a es ados pu os, pe o no hay azón pa a que la de inición no pueda se ex endida a es ados mezcla. Supongamos un es ado ρde un sis ema de dos qubi s pe enecien es a Alicia y a Bob, espec i amen e. Ambos ienen un g an núme o, m, de copias de es os es ados y, median e LOCC, in en an con e i es os es ados en el mayo núme o posible, n, de es ados de Bell, con al a idelidad. El en elazado po des ilación, D(ρ), es el lími e de n/m pa a el mejo p o ocolo de des ilación posible. Aho a, imaginemos que Alicia in en a en ia in o mación cuán ica a Bob, po medio de un canal cuán ico con uido. Alicia p epa a un g an núme o, m, de es ados de Bell, y en ía la mi ad de cada pa a a és del canal. Supongamos que la acción del uido es c ea el es ado ρ, po lo que, Alicia y Bob acaban compa iendo mcopias de ρ. A con inuación des ilan en elazados, p oduciendo D(ρ)pa es de Bell. Po úl imo, Alicia puede elepo a a Bob un núme o igual a mD(ρ)qubi s, u ilizando los pa es de Bell que compa en. 2.14. C ip og a ía Mien as que la c ip og a ía clásica emplea di e sas écnicas ma emá icas pa a e i a que los espías conozcan el con enido de los mensajes ci ados, no pudiendo ga an iza se una segu- idad absolu a de la in o mación, en la c ip og a ía cuán ica los con enidos es án p o egidos po las leyes de la ísica, así, el p incipio de ince idumb e de Heisenbe g y el en elazamien o cuán ico pueden se explo ados en un sis ema de comunicación segu a [29]. La c ip og a ía cuán ica p opo ciona los medios a las dos pa es, emiso y ecep o , pa a in e cambia una cla e de ci ado en un canal p i ado, con la segu idad comple a de la comunicación. Exis e abundan e bibliog a ía que aba ca an o aspec os eó icos como expe imen ales de la c ip og a ía cuán ica [129,267,3,2,4,10,14,15,19,16,18,20,21,22,27,32,35,37,36,42,43,44, 46,47,48,51]. Hay, al menos, es ipos de sis emas c ip og á icos cuán icos pa a la dis ibución de cla es, es os son: 1. (A) C ip osis emas con codi icación basada en dos obse ables que no conmu an p o- 34 3.2. La Con e sión Pa amé ica a la Baja medida de los es ados de Bell, de g an impo ancia en comunicación cuán ica, al y como e emos en la sección 3.3. D. Fo ones po con e si´on pa am´e ica A lp c is al no lineal 2lp 2lp HWP C B D1 D2 a b 50-50 BS M1 M2 CC y x x y x x y Figu a D.2: Esquema de las expe iencias [OM88, SA88] basadas en o ones gene ados po PDC de ipo I. Ambos o ones eme gen es ienen pola izaci´on x. Con la HWP (placa de media onda) se o a la pola izaci´on del o ´on 2 (en el camino 1 hay un compensado C que no a ec a la pola izaci´on). Ambos o ones in e ac ´uan en el sepa ado (50-50 Beam Spli e , BS) y a la salida del BS es ´an en edados. Luego inciden los fil os pola izado es o ien ables y son de ec adas las coincidencias. Figu a 3.3: Esquema de las expe iencias basadas en o ones gene ados po PDC de ipo I. 3.2.2. PDC ipo II En la con e sión ipo II, ambos o ones eme gen con di ecciones de pola ización o ogona- les en e sí, o dina ia y ex ao dina ia [161], lo cual elimina la di icul ad de gene a es ados en elazados a pos e io i usando elemen os óp icos adicionales a la salida del c is al, y sob e odo, el p oceso de pos selección en la de ección, lo cual esul a bas an e discu ible desde un pun o de is a eó ico [1]. En es os expe imen os podemos di e encia en e los que u ilizan con e sión colineal, en la que dos conos, o dina io y ex ao dina io, se in e secan en una ec a en la di ección del haz inciden e [218, 234, 233, 232, 230], y los de con e sión no colineal en los cuales los conos se in e secan en dos ec as. La con e sión no colineal es una uen e de es ados en elazados, debido a que el es ado co espondien e a los haces en los que in e secan los conos o dina io y ex ao dina io puede hace se co esponde con uno de los es ados de Bell, en conc e o, el es ado single e, u ilizado po Bohm en su e sión de la pa adoja EPR [162]. En la igu a 3.4 (a) se mues a la geome ía del p oceso PDC ipo II. Los o ones que salen del c is al es án en dos conos con é ice común en el p opio c is al, y se dis ibuyen en conos a lados opues os de la di ección de incidencia. Los o ones, en cada cono, ienen pola izaciones o ogonales en e sí, un cono co esponde al ayo o dina io (o), y el o o al ex ao dina io (e). En la in e sección de ambos conos, los o ones es án en un es ado de supe posición de ambas al e na i as de pola ización. Las ayec o ias de los o ones en elazados es án dadas po la in e sección de los conos, igu a 3.4 (b) [161]. 3. EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON PDC 35 La exp esión gene al pa a desc ibi el es ado4gene ado en el ipo II es [162]: |Ψi=1 √2[|H1, V2i+eiα|V1, H2i].(3.4) Cada uno de los subíndices 1y2se e ie e a uno de los o ones de la pa eja, las di ecciones de pola ización o ogonales se indican como HyV, y la ase ela i a puede ajus a se expe- imen almen e. haces de o ones en elazados ke ko C is al no lineal kp (a) (b) Figu a 3.4: Los o ones eme gen es en la con e sión ipo II es án en dos conos: un cono co esponde al ayo o dina io (o) y el o o al ex ao dina io (e). Cuando se seleccionan los dos haces co espondien es a la in e sección de los dos conos, la pa eja de o ones que los ep esen a se halla en un es ado en elazado en pola ización. U ilizando una no ación ca ac e ís ica de la in o mación cuán ica, y haciendo α=π, enemos el es ado single e: Ψ−=1 √2[|1i1|0i2−|0i1|1i2],(3.5) ca ac e izado po la in a iancia o acional, an impo an e en el a gumen o de Bohm de la pa adoja EPR [111,52,53,49,50]. El es ado single e, jun o con los es ados siguien es cons i uye la base de Bell: Ψ+=1 √2[|1i1|0i2+|0i1|1i2],(3.6) Φ+=1 √2[|1i1|1i2+|0i1|0i2],(3.7) 4La pa e espacial del es ado no se esc ibe en la ecuación (3.4), dado que ac o iza, y el en elazamien o se p oduce sólo en pola ización. Pa a se más es ic os, hab ía que mul iplica enso ialmen e po un é mino de la o ma |kei⊗|koi, donde keyko ep esen an los momen os de los o ones eme gen es. La conside ación del g ado de libe ad co espondien e al momen o se á necesa ia en el capí ulo 8 cuando se a e el hipe en elazamien o pola ización-momen o. 36 3.3. Medida de los es ados de Bell (BSM) Φ−=1 √2[|1i1|1i2−|0i1|0i2].(3.8) En la igu a 3.5 se mues a cómo los o ones de un diodo láse , de longi ud de onda 405 nm se di iden en dos o ones de meno ene gía 810 nm en un c is al no lineal BBO. Cada cono en el esquema indica las di ecciones posibles de emisión de los o ones, dependiendo de si el o ón es e ical u ho izon al. En los pun os de c uce se p oduce una supe posición de un pa ho izon al- e ical con un pa e ical-ho izon al, lo que da luga a un es ado single e máximamen e en elazado. Los cua o es ados de Bell se usa án de o ma ei e ada en odos BBO diodo láse FIG. 1: Rep esen aci´on esquem´a ica del p oceso de con e si´on pa am´e ica descenden e. Fo ones de un diodo l´ase azul (405 nm) se di iden en dos o ones de meno ene g´ıa (810 nm) en un c is al no lineal (BBO). Cada cono en el esquema in- dica las di ecciones posibles de emisi´on de los o ones ojos dependiendo de si el o ´on es e ical u ho izon al. En los pun os de c uce se p oduce una supe posici´on de un pa HV con un pa VH y ob enemos un es ado single e m´aximamen e en elazado. de los o ones eme ge siemp e con pola izaci´on ho izon- DHP DHP DH l/2 FDA FDA FDA FDA FIG. 2: Elecci´on alea o ia de la base de medici´on. El di iso de haz (DH) ansmi e ´o efleja cada o ´on inciden e. En el camino eflejado hay un di iso de haz pola izan e (DHP) que analiza en la base H,V. En la camino ansmi ido, la combinaci´on de una l´amina e a dan e de media onda (λ/2) a 22.5◦y un DHP id´en ico al an e io , esul an en un analizado en la base 45,-45. Los ´unico p ocesos ´ısicos conocidos que gene an e en os ealmen e alea o ios son aquellos basados en la mec´anica cu´an ica (como en es e caso). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 (H) 90 (V) 180 (H) 270 (V) 360 (H) ángulo del pola izado coincidencias Bob Alice Figu a 3.5: De alles del p oceso de con e sión pa amé ica a la baja ipo II. En el plano de la igu a se mues an las di ecciones, ho izon al y e ical, co espondien es a la pola ización en la base ec ilínea. los capí ulos de la esis, debido a la g an impo ancia que ienen en odos los aspec os de la comunicación cuán ica. 3.3. Medida de los es ados de Bell (BSM) La medición de los es ados de Bell (BSM), es deci , la dis inguibilidad de los cua o es ados de Bell máximamen e en elazados, se necesi a en muchos sis emas de comunicación cuán ica, incluyendo la codi icación densa [39,195], el ele anspo e [33,63,55] el in e cambio de en e- lazamien o [33,207,151] y ambién la pu i icación del en elazamien o [238], jun o con p uebas de ealismo local con GHZ de dos o ones [93], c ip og a ía cuán ica [94], e c. En la igu a 3.6 se mues a una medida de la base de Bell pa a o ones en elazados en pola ización [195]. Los haces inciden sob e un di iso de haz (BS) con modos de en ada ayb, los haces componen es a la salida cyddel BS inciden sob e sendos sepa ado es de pola ización, PBS1 y PBS2, que e lejan ( ansmi en) la pola ización ho izon al ( e ical) [195,196]. Una coincidencia en e los de ec o es de DH1 y DV2 (DV1 y DH2) co esponde a una p oyección en el es ado |ψ−i, único es ado en el que cada o ón sale po cada uno de los canales de salida 3. EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON PDC 37 a b d c BS PBS1 PBS2 DV2 DH1 DH2 DV1 ALICE Figu a 3.6: Analizado BSM en la es ación de Alicia: se mues a la pues a en ma cha, median e óp ica lineal, de los mecanismos pa a la p oyección de dos qubi s en elazados en pola ización sob e los es ados de Bell. del BS. Po o o lado, una coincidencia en e DH1 y DV1 (DH2 y DV2) co esponde a |ψ+i, de al mane a que en es e caso los dos o ones salen po uno de los canales cód, pe o luego se sepa an en el co espondien e PBS. En el caso de los es ados |φ+iy|φ−i, los dos o ones salen po uno de los canales cód, pe o no se sepa an en el PBS las componen es, de al modo que alcanza uno de los 4de ec o es, po an o, sólo se pueden dis ingui dos de los cua o es ados de Bell. 1 DH1 DH2 DV2 ALICE BOB PBS1 PBS2 BS DV1 2  4  UV BBO FUENTE Figu a 3.7: Disposi i o expe imen al pa a el Código Denso Cuán ico. Los pola izado es o ado es y los e a dado es de onda que usa Bob pe mi en ansmi i a Alicia alguno de los es ados de Bell. La es ación de Alicia consis e en un BS balanceado (espejo semi anspa en e), dos PBS, y los de ec o es DH1, DV1, DH2 y DV2. Una comple a BSM (dis inguiendo en e los cua o es ados con el 100 % de e iciencia) es imposible u ilizando sólo ope aciones lineales y comunicación clásica [253, 167, 75, 127]. De hecho, Ghosh e . al. [127] han con i mado que lo más que se puede hace es disc imina dos es ados de Bell. Calsamiglia y Lu kenhaus [195,75] han demos a on que la e iciencia máxima en la medida de es ados de Bell es de 50 %. Sin emba go, como demos a on eó icamen e Kwia y Wein u e en 1998, es posible un análisis comple o de los es ados de Bell, incluso con la óp ica 38 3.3. Medida de los es ados de Bell (BSM) lineal, si las dos pa ículas se en elazan en o os g ados de libe ad [164] (sin emba go, es o no puede cumpli se si los o ones p o ienen de uen es independien es como, po ejemplo, sucede con el en elazamien o po in e cambio). Kwia y Wein u e [164] mos a on un esquema median e o ones en elazados en pola ización e impulso (modo espacial). Su mé odo, se basa en óp ica lineal y equie e del e ec o de in e e encia de dos o ones, y de ec o es que dis ingan en e uno y dos o ones de ec ados. Po o o lado, Walbo n e al. [256], p esen a on un mé odo pa a un análisis comple o de los es ados de Bell con es ados hipe en elazados. Es e esquema di ie e de o os, en que no se basa en la in e e encia de dos o ones, no equie en de ec o es sensibles al núme o de o ones y pueden se implemen ados de mane a no local, eniendo una capacidad adicional de comunica 2bi s clásicos. Es os es ados pueden se gene ados po medio de PDC de a ias mane as, po ejemplo el ipo I, median e dos c is ales que emi en o ones en elazados en pola ización de la misma longi ud de onda al ededo del bo de de un cono ( igu a 8.2). En es a uen e, el c is al 1emi e pa es de o ones pola izados ho izon almen e y el c is al 2emi e pa es de o ones pola izados e icalmen e emi iendo conos supe pues os. Jugando con la ase, se ga an iza que pa es de o ones se emi an en los lados opues os del cono. Si la egión de la in e acción de los dos c is ales se encuen a ín eg amen e den o de un olumen de cohe encia del pulso del láse , se puede selecciona un en elazamien o en pola ización y momen o en dos g upos de egiones (a1, b2)y(a2, b1). Se puede ajus a la ase del es ado de momen os pa a que el es ado sea |ψ−i. Usando unos PBS y láminas de media onda se pueden ob ene los cua o es ados de pola ización de Bell. El g ado de libe ad asociado al momen o es sensible a la di e encia de longi ud del camino del o den de a ios nanóme os, po lo an o, el hipe en elazamien o en momen o no es ade- cuado pa a la ansmisión a la ga dis ancia. Una al e na i a [113] es usa el g ado de libe ad iempo (ya sea de ipo iempo-ene gía median e in e e óme os Mach-Zhende con PDC ipo I o ipo iempo bin5, en luga del g ado de libe ad asociado al camino). El hipe en elazamien o en es g ados de libe ad se demos ó en [17]. Los es g ados de libe ad e an la pola ización, la ene gía- iempo y el momen o angula o bi al [176]. 5B endel e al. han desa ollado un nue o ipo de en elazamien o en el iempo llamado en elazamien o iempo bin [66], en el que se u ilizó como uen e un láse . En compa ación con el en elazamien o ene gía- iempo, la cohe encia del láse no iene ninguna impo ancia. La cohe encia necesa ia se p oduce median e la ansmisión del láse a a és de un in e e óme o desequilib ado simila al MZ. El pulso se ca ac e iza ambién po o ece la posibilidad de u iliza de ec o es de o ones ce ca de la banda in a oja. Es e ipo de en elazamien o iempo bin ha sido ampliamen e u ilizado po g upos de Gisin en expe imen os de c ip og a ía cuán ica [181] y expe imen os con múl iples o ones [182]. 3. EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON PDC 39 3.4. Expe imen os 3.4.1. C ip og a ía con o ones en elazados Todos los expe imen os de Bell con ienen in ínsecamen e la posibilidad de hace c ip o- g a ía cuán ica basada en en elazamien o. En el siguien e lis ado6, en o den c onológico, los expe imen os se han ideado sólo con el in de pe mi i un ápido cambio de base de medida. −1982 El p ime expe imen o que cumple con la de inición an e io es la p ueba de las desigualdades de Bell con analizado es a iables en el iempo, ealizado po Aspec e al. [11], con qubi s en elazados en pola ización, con el in de ce a el loophole sob e localidad, en un momen o en el que la c ip og a ía cuán ica aún no se conocía, ni siquie a con o ones indi iduales. −1998 Weihs e al. [259] demos a on una iolación de las desigualdades de Bell con qubi s en elazados en pola ización, con longi ud de onda de 700 nm, conec ando alea o iamen e los analizado es, sepa ados po 360 km de ib a óp ica. Es e expe imen o ue ideado pa a ce a el loophole sob e localidad. −1999 Ti el e al. [247] ealiza on un expe imen o de Bell pa a in en a sol en a los p oblemas de localidad, inco po ando una elección pasi a de bases. Dos in e e óme os de ib a óp ica es án conec ados a cada lado de una uen e de c eación de o ones en elazados en ene gía y iempo, de longi ud de onda 1,3µm. Lo mismo que en los dos expe imen os mencionados an e io men e, las bases u ilizadas pa a las medidas se eligen con el in de pe mi i una p ueba de las desigualdades de Bell y no pa a es ablece una cla e sec e a. −2000 T es publicaciones en c ip og a ía basadas en en elazamien o apa ecen en el mismo núme o de Physical Re iew Le e s: 1.)Con una con igu ación simila a la que se ha mencionado en segundo luga de es a lis a, Jennewein e al. [150] ealiza on un sis ema de c ip og a ía cuán ica, sob e una dis ancia de 360 mque incluía co ección de e o es. Se implemen a on dos p o ocolos di e en es: uno basado en la desigualdad de Wigne (una o ma especial de desigualdad de Bell) y o o siguiendo el p o ocolo BB84. Se obse ó una asa de cla e il ada de al ededo de 400 y800 bi s/s, espec i amen e, y un QBER en o no al 3 %. Lo que equi ale a una asa de cla e sec e a de 300 y600 bi s/s, espec i amen e. 2.)Naik e al. [203] demos a on el p o ocolo Eke en un expe imen o en el espacio lib e en una dis ancia co a (de labo a o io). El expe imen o se ap o echa del en elazamien o en pola ización de qubi s en una longi ud de onda de al ededo de 800 nm. Se in o mó de unas asas de cla es il adas de al ededo de 10 bi s/s con un QBER del 3 %, con una asa de cla e sec e a de 6bi s/s después de la aplicación de la co ección de e o es y la ampli icación de p i acidad. Además del in e cambio de cla es, los au o es simula on di e en es es a egias de espionaje y encon a on un aumen o de la QBER con el aumen o de la in o mación del espía, 6Los da os han sido omados, undamen almen e, de las e e encias [267,272]. 40 3.4. Expe imen os de acue do con la eo ía. El expe imen o ha sido ecien emen e ampliado [114] pa a ealiza el llamado p o ocolo de los seis es ados [67,18]. 3.)Ti el e al. [248] die on cuen a sob e la ealización de c ip og a ía cuán ica median e ib a óp ica en un expe imen o de labo a o io u ilizando el p o ocolo BB84. Es e expe imen o se basa en qubi s en elazados en el iempo-bin con longi ud de onda de 1,3µm, y eniendo las en ajas de la codi icación en ase- iempo y una elección pasi a de la base. Se ob u o una asa de cla e il ada de 33 Hz y una QBER del 4 %, con una asa de cla e sec e a de 21 bi s/s. −2001 Ribo dy e al. [215] ealiza on un sis ema de QC basado en el en elazamien o ene gía- iempo. A di e encia de los expe imen os mencionados an e io men e, es a ealización iene la en aja de u iliza una con igu ación asimé ica, op imizada pa a QC, en luga de una con igu ación diseñada pa a las p uebas de las desigualdades de Bell, donde la uen e es á, gene almen e, si uada ap oximadamen e a medio camino en e Alicia y Bob. En es e caso, un o ón (longi ud de onda de 810 nm) se en ía a un in e e óme o óp ico, que se encuen a jun o a la uen e, el o o (longi ud de onda de 1550 nm) se ansmi e a a és de 8,5km de ib a en un ca e e de un in e e óme o de ib a óp ica. Con aplicación del p o ocolo BB84 y una elección pasi a de las bases, se obse ó una asa de cla e il ada de 134 bi s/s y un QBER medio de 8,6 %. A pa i de es os alo es, se puede calcula un índice de cla e sec e a de 45 bi s/s. Pa a más in o mación sob e la abla 4.1, se puede consul a la bibliog a ía siguien e, en o den c onológico [201,251,180,202,60, 150, 203, 248, 146, 242, 160, 136, 199, 143, 217,210,271, 243,168]. 14 Z.-S. Yuan e al. / Physics Repo s ( ) – Table 1 Summa y o ep esen a i e op ical ibe QKD expe imen s. Vis.— isibili y; PnP—plug and play; En . Dis.— en anglemen dis ibu ion; COW—cohe en one- way. Yea G oup loca ion P o ocol Dis ance Re . 1993 UG, Swi ze land BB84 1 km [182] 1993 BTL, UK Vis. Tes 10 km [183] 1995 BTL, UK BB84 30 km [184] 1995 UG, Swi ze land BB84 23 km [185] 1999 KTH, Sweden BB84 +PnP 40 km [186] 2000 UW, Aus ia Eke 91 360 m [43] 2000 LANL, USA Eke 91 Op ical able [44] 2000 UG, Swi ze land Eke 91 Op ical able [45] 2000 LANL, USA BB84, B92 48 km [187] 2002 UG, Swi ze land BB84 +PnP 67 km [188] 2003 NEC, Japan Vis. Tes +PnP 100 km [189] 2004 CRL, UK BB84 122 km [190] 2005 USTC, China BB84 125 km [191] 2006 LANL, USA BB84 184.6 km [192] 2007 LANL, USA Decoy-s a e 107 km [37] 2007 USTC, China Decoy-s a e 102.8 km [38] 2008 SU, USA En . Dis. 100 km [193] 2009 UG, Swi ze land COW 250 km [194] 2010 USTC, China Decoy-s a e 200 km [195] Though we a e no going o discuss he expe imen s wi h weak cohe en ligh as a pho on sou ce, we would like o pos he e a summa y o he ypical QKD expe imen s ha we e ca ied ou wi h weak cohe en ligh and en angled pho ons in labo a o y o wi h ibe -based communica ion channels o he con enience o eade s in Table 1. 3.3.3. Technical challenges o long-dis ance QKD As he ul ima e goal o QKD is o cons uc a global secu e ne wo k, i is be e o in oduce he p esen challenges on he way o achie e his ambi ious goal. The challenges a e mainly a ibu ed in o wo classes: one is o a oid decohe ence and losses du ing he ansmission o pho ons and he o he is o de ec pho ons wi h a high e iciency. In QKD expe imen s, physicis s adop ed pho ons a wa eleng h o isible ligh , e.g., 700–800 nm, and in a ed ligh , e.g., 1310 and 1550 nm. In op ical ibe s, he a enua ion coe icien is abou 2 dB/km o 700–800 nm ligh . The a enua ion is lowe o elecommunica ion wa eleng hs o 1310 and 1550 nm, which a e 0.35 dB/km and 0.2 dB/km espec i ely. Besides o he p oblem o a enua ion o pho ons, he ch oma ic and pola iza ion mode dispe sions o pho ons in ibe will cause decohe ence o he en angled s a e. On he con a y, he pe o mance o single-pho on de ec o s is qui e sa is ac o y in he ange o isible wa eleng hs. Howe e , in he ange o elecommunica ion wa eleng hs, he de ec ion e iciency o comme cially a ailable single- pho on de ec o s based on InGaAs/InP APDs is ypically abou 10%, he e o e he compa a i ely high noise o de ec o s including da k coun s and a e pulsing se e ely limi s he maximum QKD dis ances. Al hough supe conduc ing single- pho on de ec o s [196] p o ide be e pe o mance han InGaAs/InP APDs in e m o noise, and hus signi ican ly inc ease he maximum QKD dis ances, his kind o de ec o is no an app op ia e choice o p ac ical QKD applica ions, conside ing hei d awbacks such as he equi emen o c yogenic cooling and non-cos -e ec i eness. P esen ly, high pe o mance single-pho on de ec o s a e undoub edly equi ed o long-dis ance QKD. Fo una ely, a ecen ly eme ging echnique, so-called ‘‘ apid ga ing’’ [197–200], inc eases he sa u a ed coun a es ex emely while d as ically supp essing he a e pulsing e ec , o InGaAs/InP APDs. The e o e, his new kind o de ec o is well-sui ed o long-dis ance and high bi a e QKD applica ions, and e en compa able o supe conduc ing single-pho on de ec o s in e ms o maximum QKD dis ances. Fo example, by applying he ‘‘ apid ga ing’’ echnique o InGaAs/InP APDs one can implemen maximum QKD dis ances o abou 200 km [200]. To ex end he limi ing dis ances, supp essing da k coun a es o InGaAs/InP APDs is c i ical, which subs an ially depends on he echnical imp o emen s, o ins ance, imp o ed s uc u es and ma e ials o semiconduc o de ices. This is s ill an impo an open issue ha dese es in es iga ion in he u u e. On he o he hand, high-speed de e minis ic single-pho on and en angled sou ces will simul aneously boos he dis ance and inal bi a e o QKD sys ems. The de e minis ic single-pho on sou ce, o en angled sou ce, while no a weak-cohe en ligh sou ce no a p obabilis ic en angled sou ce, will g ea ly imp o e he key gene a ion e iciency o QKD p o ocols. Mo e- o e , hese sou ces a e no only use ul o long-dis ance quan um communica ion, bu also o op ical quan um compu a ion. Ne e heless, hey a e s ill unde cons uc ion [161,175,176]. 4. Quan um communica ion In he abo e sec ions we ha e b ie ly in oduced he di ec applica ion o pho onic en angled s a es in quan um c yp- og aphy. Mo e complica ed p o ocols ha e also been p oposed such as quan um dense coding, quan um elepo a ion, en anglemen swapping and en anglemen dis illa ion and pu i ica ion. In his sec ion we will co e ecen expe imen al Tabla 4.1: Expe imen os ealizados, de QC, omados de [267,272]. 3. EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON PDC 41 3.4.2. Expe imen os en el ai e lib e con o ones en elazados Toda ía exis en p oblemas en la ca e a de la comunicación cuán ica a la ga dis ancia. Los obs áculos más no ables son las pé didas de o ones en el canal de ansmisión, la decohe encia causada po el uido ambien e y la aplicación impe ec a de las ope aciones lógicas cuán icas causando que, la idelidad del es ado asmi ido disminuya de o ma exponencial a lo la go de la longi ud del canal. Analizando el espec o de abso ción de la a mós e a, se obse a que hay una en ana de ansmisión de al ededo de 700 nm, donde la asa de ansmisión es supe io al 80 % pa a la luz que iaja a a és del ai e a mos e ico. Po an o, una o ma espe anzado a de ealiza comunicación cuán ica a la ga dis ancia, es explo a el espacio lib e ap o echando los sa éli es, an o pa a o ones simples como pa a pa es de o ones en elazados. El mé odo se ía el siguien e: los es ados cuán icos o ónicos se en ían p ime o a a és del ai e a mos e ico, a con inuación se e lejan de un sa éli e a o o, y inalmen e se de uel en a la ie a. Dado que el espeso de la a mós e a es de 10,5km, en el espacio ex e io la pé dida de o ones po decohe encia es insigni ican e. Con la ayuda de los sa éli es se puede log a una comunicación cuán ica global en el espacio lib e, siemp e y cuando los es ados cuán icos aún sob e i an después de pene a en la ae oes e a. A pesa de odo, algunos expe imen os QKD en el espacio lib e se han demos ado con la luz cohe en e débil, amos a p esen a los como sigue7: -2003 El g upo de Zeilinge de Aus ia ealizó una dis ibución de en elazamien o en una longi ud de 600 men el espacio lib e sob e el ío Danubio en Viena [12]. En el expe imen o, la uen e del PDC gene a pa es de o ones en elazados en pola ización a una ecuencia de 20,000 Hz con una po encia de 18 mW. Los pa es de o ones se dis ibuye on a Alicia y Bob, desde dos si ios sepa ados en los lados opues os del ío Danubio. Pa a p oba que los o ones ecibidos es án en elazados, Alicia y Bob deben medi las co elaciones en pola ización, po ejemplo, mien as que el ángulo del pola izado del lado de Alicia se ija en 0g ados, Bob cambia el ángulo de su pola izado de 0a180 g ados y miden las cuen as co espondien es a coincidencias. Los esul ados de las mediciones mos a on que la idelidad p omedio de las co elaciones en pola ización ue on al ededo de 87 ±3 %, lo que es mayo que el lími e de 78 % necesa io pa a iola la desigualdad de Bell. Po o a pa e, se p obó la iolación de una desigualdad CHSH y se ob u o S= 2,41 ±0,10, que iolan la desigualdad CHSH con 4,1 des iaciones es ánda . Es o indica cla amen e que las dos pa es sepa adas po enlaces emo os en el espacio lib e pod ían compa i en elazamien o cuán ico. -2005 En 2005, dos g upos de o ma independien e lle an a cabo una dis ibución de en elazamien o en el espacio lib e y a la ga dis ancia. El p ime expe imen o consis e en una dis ibución de o ones en elazados a más de 7,8km en la ciudad de Viena, y se lle ó a cabo po el g upo de Zeilinge [214]. Pa a p oba la exis encia de en elazamien o cuán ico, en el expe imen o, el pa áme o CHSH de S= 2,27 ±0,019 ue ob enido de mane a que, la desigualdad CHSH ue iolada con al ededo de 14 des iaciones es ánda es. 7Los da os han sido omados, undamen almen e, de las e e encias [267,272]. 42 3.4. Expe imen os Casi al mismo iempo, el g upo de Pan, en la Uni e sidad de Ciencia y Tecnología de China, mos ó la dis ibución de pa es de o ones en elazados sob e 13 km, donde la uen e de en elazado se encuen a en la cima de una mon aña en He ei, Anhui, mien as que dos ecep o es es án si uados, espec i amen e, a 7,7y5,3km de la uen e. La dis ancia di ec a en e Alicia y Bob es al ededo de 10,5km. La dis ancia del canal, sob e 13 km, iene un g an signi icado en a ios aspec os. P ime o, en es e expe imen o, ya que la dis ancia en e los dos obse ado es es bas an e g ande, se obse ó una iolación de la desigualdad de Bell con S= 2,45 ±0,09; en segundo luga , a in de ealiza una comunicación cuán ica global a g an escala, una solución p ome edo a es la de hace la dis ibución de en elazamien o en espacio lib e con sa éli es inculados. Como se mencionó an e io men e, el espeso e ec i o de la a mós e a es de 10,5km, y en el espacio ex e io la pé dida de o ones y decohe encia son insigni ican es. Los esul ados en es e expe imen o demos a on, po p ime a ez, que el en elazamien o cuán ico puede se bien conse ado en una dis ancia más allá del espeso e ec i o de la a mós e a, y po lo an o, p esen a un impo an e paso hacia la comunicación cuán ica po sa éli e. Además, se demos ó una dis ibución de cla e basada en el p o ocolo Eke 91 y la asa inal que asegu a la gene ación de cla es es de 10 bi s/s. -2006 Un g upo de colabo ación di igido po Zeilinge y Wein u e , asociada con la Agen- cia Espacial Eu opea, cons uyó un canal de comunicación en el espacio lib e más de 144 km. en e las Islas Cana ias de La Palma y Tene i e. En el expe imen o, Alicia y la uen e se en e- laza on en el mismo luga , La Palma, mien as que Bob es aba en la Es ación Óp ica Te es e (OGS) de Tene i e [252]. Con el in de p oduci una uen e lumínica de al o en elazamien o, median e un pulso de un picosegundo de un láse de Nd, con longi ud de onda de 355 nm, la asa de epe ición de 249 MHz y una po encia media de 150 mW u ilizándose pa a bombea un c is al BBO. La asa de gene ación de pa es de o ones en elazados ue de 145 kHz, con una isibilidad de 98 % en unción del al o ol aje y una isibilidad de 96 %. Un o ón del pa en elazado ue de ec ado po Alicia inmedia amen e, mien as que el o o se en ió a Bob a a és de una len e de 15 cm sob e el enlace en el espacio lib e y ue ecibido po un elescopio de espejo de 1 m de la OGS. Po o a pa e, el enlace en el espacio lib e se es abilizó ac i- amen e pa a man ene la e iciencia máxima con un sis ema de enlace median e seguimien o au omá ico en ci cui o ce ado. Al con a io que en el expe imen o an e io , donde el mé odo de sinc onización óp ica u ilizaba una e e encia láse , du an e es e expe imen o con el Sis ema de Posicionamien o Global (GPS), las señales sínc onas se egis a on en el iempo median e el e ique ado de cada e en o de de ección. Bob en ía sus da os de iempo de de ección a Alicia a a és de in e ne , mien as que Alicia analiza las cuen as coinciden es con el so wa e. Con una en ana de coincidencia de un 1 ns, los ecuen os coinciden es p omedios se ace can a 20 −40 Hz. Pa a e i ica el en elazamien o cuán ico, la iolación de la desigualdad CHSH ue p obada y se comp obó que S= 2,508 ±0,037. Po o a pa e, demos a on el p o ocolo QKD basado en en elazamien o. La cla e en b u o de 417 bi s se c eó en 75 scon un QBER de ce ca de 4 % y ue on des ilados 178 bi s de cla e segu a. Aunque el en elazamien o no se 3. EXPERIMENTOS DE COMUNICACIÓN CUÁNTICA CON PDC 43 dis ibuyó a lo la go de odo el canal de 144 km, ya que, un o ón del pa en elazado se de ec ó a ni el local po Alicia, es e expe imen o mues a la posibilidad de comunicación cuán ica con un canal en el espacio lib e a una dis ancia muy g ande, cons i uyendo un impulso hacia las edes de comunicación cuán ica globales en el u u o. Muy ecien emen e, el g upo de Zeilinge con un equipo de colabo ación de la Agencia Espacial I aliana, demos ó, po p ime a ez, el in e cambio de un o ón indi idual en e una es ación de la Tie a y un sa éli e de ó bi a geodésica, a una al u a de pe igeo de 1485 km [254]. Con és e expe imen o dio comienzo la comunicación cuán ica del espacio. Como ya sabemos, pa a que la c ip og a ía cuán ica sea segu a, la selección de base iene que se ealmen e alea o ia. Las bases alea o ias así gene adas se ían imp edecibles, i ep oducibles y no end ían sesgo es adís ico alguno, de modo que se ga an iza ía la con idencialidad de los da os así enc ip ados. Pe o la c eación ápida y sos enida de núme os alea o ios de buena calidad es un p oblema in ínsecamen e di ícil. Ac ualmen e, en un a ículo publicado en la e is a b i ánica Na u e Pho onics, a pa i de la óp ica luc uan e de dos láse es de dinámica caó ica, los in es igado es consiguie on un gene ado que c ea secuencias alea o ias de bi s a una elocidad de 1,7gigabi es po segundo. El equipo de la Uni e sidad de Sai ama (Japón) lide ado po A sushi Uchida, que ealiza es as in es igaciones, sugie e que la cla e de es e hallazgo consis e en ap o echa la imp e isibilidad ob enida a pa i del uido gene ado po los láse es, así como la ampli icación no lineal y la mezcla del uido del láse p oducido po su dinámica caó ica. En un a ículo más ecien e [123], se p esen a una sencilla con igu ación expe imen al basada en mediciones homodinas que u iliza la pu eza de un es ado cuán ico de acío, con a iable con inua única pa a gene a núme os alea o ios. Se usa la alea o iedad in ínseca en la medición de las cuad a u as de un modo en el es ado de meno ene gía de acío, que no se puede co elaciona con cualquie o o es ado. La simplicidad de la uen e, combinada con su alea o iedad e i icable única, son a ibu os impo an es pa a el log o de al a iabilidad, al a elocidad y bajo cos o en los gene ado es cuán icos de núme os alea o ios. 3.4.3. Tele anspo e Con los expe imen os sob e ele anspo e que enume amos a con inuación, p e endemos e leja en es a esis una pe spec i a his ó ica8, del desa ollo expe imen al de es e aspec o apasionan e de la comunicación cuán ica: −1997 Un expe imen o undamen al, ealizado en Innsb uck, po Bouwmees e e al. [63] ué el p ime o en demos a el ele anspo e cuán ico basado en una medición de Bell con óp ica lineal. Aunque es o pe mi e, en p incipio, el ele anspo e en un 50 % de los casos, sólo se u ilizó la p oyección sob e el es ado |ψ−i. −1998 O o expe imen o c ucial, ealizado en Roma po Boschi e al. [55], demos ó el ele anspo e con la pues a a pun o de un disposi i o con el que pueden se iden i icados 8Los da os han sido omados, undamen almen e, de las e e encias [267,272]. 50 4.3. Óp ica cuán ica en el espacio de las ases p obabilidad. Es deci : ˆa+nˆam=ZP(α, α∗)(α∗)nαmd2α. (4.20) La g an simili ud en e Py la dis ibución de p obabilidad P({Ck})( e (3.13)) le dio a Pun papel ele an e en el análisis del ca ác e clásico de los es ados del campo elec omagné ico, dada la equi alencia o mal en e las desc ipciones clásicas y cuán ica de la cohe encia óp ica median e el uso de es a dis ibución. Es o ha dado luga al con enio de de ini un es ado clásico como aquel que iene una unción Pposi i a [179]. No obs an e, es a dis ibución iene el p oblema de, añadido al de su no posi i idad, de que posee singula idades mucho más ue es que una unción del a de Di ac pa a cie os es ados. Es o úl imo es consecuencia de que la can idades Reαy Imα, las cuales son p opo cionales a los p omedios de los ope ado es (ˆa+ ˆa+)/2y(ˆa−ˆa+)/(2i)en un es ado cohe en e |αi, no ienen una dis ibución de p obabilidad conjun a dado que dichos ope ado es no conmu an, y po an o no se puede medi di ec amen e P(α, α∗)[149]. Po o o lado, como los es ados cohe- en es no son o ogonales, P(α, α∗)no ep esen a una p obabilidad pa a es ados mu uamen e excluyen es aunque sea posi i a [179]. 4.3.4. La ep esen ación Q Se ob iene a pa i de los elemen os de ma iz del ope ado densidad en los es ados cohe- en es [257]: Q(α, α∗) = 1 πhα|ˆρ|αi.(4.21) Es a dis ibución es á no malizada a la unidad, es posi i a, y es á aco ada po 1/π. Po an o, iene más p opiedades en común con una dis ibución de p obabilidad que la dis ibución P. La unción Qse usa pa a calcula p omedios de ope ado es en o den an ino mal, pues e i ica la p opiedad siguien e: ˆanˆa+m=ZQ(α, α∗)αn(α∗)md2α. (4.22) 4.3.5. Funciones ca ac e ís icas Las unciones de dis ibución se pueden in oduci po medio de las denominadas unciones ca ac e ís icas, las cuales es án asociadas a un de e minado o denamien o de los ope ado es de c eación y des ucción [179,257,229]. En es e apa ado a a emos las unciones ca ac e ís icas asociadas al o den no mal ( unción P), al o den an ino mal ( unción Q), y en el apa ado siguien e in oduci emos la dis ibución de Wigne en óp ica cuán ica a pa i de la unción ca ac e ís ica asociada al o den simé ico. Po o o lado, exis e una ep esen ación gene alizada del ope ado densidad, esul ado de un a amien o uni icado del p oblema de ob ene unciones de dis ibución en el espacio de las ases a pa i de o os ipos de o denamien o de ope ado es [6,7,5,73,72]. 4. LA FUNCIÓN DE WIGNER 51 Po ejemplo, la unción ca ac e ís ica asociada a la dis ibución Pes X(N)(λ, λ∗) = T (eλˆa+eλ∗ˆaˆρ),(4.23) de o ma que P(α, α∗) = Z1 π2e−λα∗+λ∗αX(N)(λ, λ∗)d2λ. (4.24) En el caso de la dis ibución Q, enemos X(A)(λ, λ∗) = T (eλ∗ˆaeλˆa+ˆρ),(4.25) siendo Q(α, α∗) = Z1 π2e−λα∗+λ∗αX(A)(λ, λ∗)d2λ. (4.26) 4.4. La unción de Wigne en óp ica cuán ica El uso de la unción de Wigne en la óp ica cuán ica ue supe ada en un p incipio po la ep esen ación Pde Glaube -Suda shan. La elación gene almen e acep ada en e el compo - amien o y posi i idad de Py el ca ác e clásico del es ado de la adiación hizo que P u iese un papel ele an e como nexo en e la óp ica clásica y la óp ica cuán ica. No obs an e, en los úl imos años ha aumen ado la impo ancia de la unción de Wigne conside ablemen e, lo cual ha es ado mo i ado en pa e po el compo amien o al amen e singula de Ppa a cie os es ados ele an es del campo elec omagné ico. A con inuación amos a p esen a un esumen sob e la unción de Wigne en óp ica cuán- ica. T abaja emos, po simplicidad, pa a un modo del campo elec omagné ico, aunque los esul ados se pueden gene aliza ácilmen e al caso mul imodo. La unción de Wigne en óp ica cuán ica puede de ini se a pa i de la unción ca ac e ís ica asociada al o den simé ico. Dado el ope ado densidad ˆρ, enemos [229,257]: W(α, α∗) = Z1 π2e−λα∗+λ∗αX(S)(λ, λ∗)d2λ, (4.27) donde X(S)(λ, λ∗)se denomina unción ca ac e ís ica en o den simé ico: X(S)(λ, λ∗) = T (eλˆa++λ∗ˆaˆρ).(4.28) Wes eal y e i ica la condición de no malización ZW(α, α∗)d2α= 1,(4.29) aunque ya imos que puede oma alo es nega i os, y po an o no es en gene al una dis i- 52 4.4. La unción de Wigne en óp ica cuán ica bución de p obabilidad. Po o o lado, su alo pa a cualquie a que sea el ope ado densidad es á aco ado de acue do con la desigualdad [72]: −2<ZW(α, α∗)<2.(4.30) Además, W iene la p opiedad de que las dis ibuciones de p obabilidad ma ginales pa a α yα∗se ob ienen como si W(α, α∗) uese una dis ibución de p obabilidad conjun a ( e (4.2)). A pa i de (4.27) y (4.28) se puede ob ene la siguien e exp esión explíci a pa a W, usando los es ados cohe en es [229]: W(α, α∗) = 2 π2e2|α|2Zh−β|ˆρ|βie−2(βα∗−β∗α)d2β. (4.31) Po o o lado, X(S) e i ica las p opiedades [73,72]: Z1 πX(S)(λ, λ∗) 2d2λ=T ˆρ2≤1,(4.32) X(S)(λ, λ∗) 2≤1 ; X(S)(0) = 1,(4.33) las cuales son consecuencia de que el ope ado exp(λˆa+−λ∗ˆa)es uni a io pa a cualquie alo de λ, y es igual a la unidad pa a λ= 0 . U ilizando el eo ema de Campbell-Bake -Hausdo 3 [179] se pueden elaciona las unciones ca ac e ís icas asociadas a los es o denamien os de ope ado es: e1 2|λ|2X(A)(λ, λ∗) = X(S)(λ, λ∗) = e−1 2|λ|2X(N)(λ, λ∗).(4.34) A pa i de (4.33) y (4.34) emos que X(A)(λ, λ∗)≤e−1 2|λ|2;X(N)(λ, λ∗)≤e1 2|λ|2.(4.35) Nó ese que el lími e supe io al alo de X(N)puede hace se muy g ande, lo que hace que la in eg al (4.24) no exis a como unción o dina ia en algunos casos. Po o o lado, las elaciones en e Q,PyWson [257]: W(α, α∗) = 2 πZP(β, β∗)e−2|β−α|2d2β, (4.36) Q(α, α∗) = 1 πZP(β, β∗)e−|β−α|2d2β, (4.37) de donde emos que an o Wcomo Qson con oluciones gaussianas de P, aunque Qes á con olucionada con una gaussiana cuya anchu a es √2 eces mayo que la co espondien e a 3Según dicho eo ema, dados dos ope ado es ˆ Ayˆ B, al que hˆ A, hˆ A, ˆ Bii= 0 = hˆ B, hˆ A, ˆ Bii, se e i ica la elación siguien e: eˆ A+ˆ B=eˆ Aeˆ Be −1 2[ˆ A, ˆ B]. 4. LA FUNCIÓN DE WIGNER 53 la unción de Wigne , lo que explica su mayo posi i idad. Una de las p opiedades más impo an es de la dis ibución de Wigne es que el p omedio de cualquie exp esión simé ica en los ope ado es de c eación y des ucción es igual al p omedio con la unción de Wigne , siguiendo los p ocedimien os de la mecánica es adís ica clásica, de la exp esión que esul a al sus i ui los ope ado es de c eación po un núme o complejo α, y los de des ucción po el complejo conjugado α∗, es deci [72,179]: DF(s)(ˆa, ˆa+)E=ZW(α, α∗)F(s)(α, α∗)d2α. (4.38) Es a p opiedad se usó pa a pasa del o den no mal al o den simé ico, con el obje o de exp esa las p obabilidades de de ección simple y conjun a a pa i de p omedios omados con la unción de Wigne . El mé odo a segui se basó en que el conmu ado en e ope ado es de c eación y des ucción es un núme o complejo, lo que lle ó a exp esiones en las que apa ecían las con ibuciones de la adiación de pun o ce o en las p obabilidades [76]. Po o o lado, dado un ope ado en o den no mal O(ˆa, ˆa+) = X n, m cn, mˆa+nˆam,(4.39) exis e o o p ocedimien o al e na i o pa a ob ene una unción OS(α, α∗), al que O(ˆa, ˆa+)=ZW(α, α∗)OS(α, α∗)d2α, (4.40) y del que mos a emos sólo el esul ado inal [229]: OS(α, α∗) = X n, m cn, m ∂ ∂λ +λ∗ 2n−∂ ∂λ∗−λ 2m e−λ∗α+λα∗λ=λ∗=0 .(4.41) 4.4.1. Ejemplos de unción de Wigne Vamos a p esen a a con inuación a ios ejemplos de unción de Wigne pa a algunos es ados de la adiación: 1. Es ados cohe en es Dado el es ado cohe en e4|βi=1 2(β +iβi), la unción de Wigne iene dada po [257]: W(α) = 2 πexp −1 2h(2Reα −β )2+ (2Imα −βi)2i.(4.42) Nó ese que el es ado de acío, co espondien e al es ado cohe en e |β= 0i, iene como 4Los es ados cohe en es se ob ienen aplicando el ope ado desplazamien o D(α) = exp(αˆa†−α∗ˆa)al es ado de acío, y son au oes ados del ope ado de des ucción, es deci , ˆa|βi=β|βi, siendo βun núme o complejo. 54 4.4. La unción de Wigne en óp ica cuán ica unción de Wigne la gaussiana, W(α) = 2 πe−2|α|2,(4.43) lo que le da el aspec o de un campo es ocás ico con una dis ibución de p obabilidad dada po (4.43). Es o con as a con la dis ibución Pco espondien e a es e es ado, la cual es P(α) = δ(2) (α).(4.44) 2. Es ado núme o de o ones La unción de Wigne pa a el es ado |ni iene dada po [257]: Wn(α, α∗) = 2 π(−1)nLn(4 |α|2)e−2|α|2,(4.45) donde Ln(x)son los polinomios de Lague e. Pa a n > 0es a dis ibución oma alo es nega i os. Po ejemplo, pa a n=1 (es ado de un o ón), se iene [155]: W1(α, α∗) = 2 π(|α|2−1 2)e−|α|2.(4.46) Pa a el es ado de acío (n=0) la unción de Wigne coincide con (4.43). El buen compo amien o de la unción de Wigne pa a los es ados núme o con as a con la unción Pasociada a dichos es ados, la cual es [229]: P(α, α∗) = e|α|2 n! ∂2n ∂αn∂α∗nδ(2)(α).(4.47) 3. Es ado de luz caó ica Si hnies el núme o medio de o ones en un es ado de luz é mica, la unción de Wigne pa a es e es ado es [190]: W(α, α∗) = π(hni+1 2)−1 e−|α|2(hni+1 2)−1.(4.48) Nó ese que, pa a hni= 0, (4.48) coincide con la unción de Wigne del acío. 4. Es ados comp imidos5. Pa a un es ado comp imido6de la adiación, de ampli ud ay comp esión s, la unción 5En inglés se u iliza el é mino squeezed. 6Los es ados comp imidos son es ados de mínima ince idumb e, en los que la ince idumb e en una cua- d a u a es in e io a la co espondien e a los es ados cohe en es, siendo supe io la ince idumb e asociada a la segunda cuad a u a. Así, los es ados cohe en es cons i uyen un subconjun o de los es ados comp imidos, con la pa icula idad de que ienen una misma ince idumb e en las dos cuad a u as [257]. 4. LA FUNCIÓN DE WIGNER 55 de Wigne es [189]: Ws,a(α, α∗) = 2 πe−2e2sα+α∗ 2−a2−2e−2sα−α∗ 2i2 .(4.49) En [194] se mues a cómo se gene an es os es ados en óp ica no lineal u ilizando pa a ello una desc ipción clásica. 4.5. La unción de Wigne en el ma co de Heisenbe g (WRHP) Una ez que hemos e isado los aspec os básicos de la unción de Wigne en mecánica cuán ica, y en el e eno de la óp ica cuán ica, nos cen a emos en el o malismo den o del ma co de Heisenbe g, donde oda la dinámica se halla en las ampli udes del campo elec omag- né ico, siendo la unción de Wigne independien e del iempo (WRHP). Comenza emos po la desc ipción de un haz de luz, y segui emos con el análisis de las p opiedades de la adiación de pun o ce o. 4.5.1. Desc ipción de un haz de luz De aho a en adelan e, nos e e i emos en nues os desa ollos el campo elec omagné ico que co esponde a haces luminosos es echos, de modo que el haz de luz con iene ecuencias en un ango en e ωmin yωmax, y ec o es de onda cuyas componen es ans e sales es án limi adas po una co a supe io [79]: ωmin < ωk< ωmax,|k |  ωmin c.(4.50) De es e modo, y al y como hemos is o en la sección 4.3, el ope ado campo eléc ico co espondien e a un haz de luz se exp esa median e la suma de dos ope ado es mu uamen e conjugados7 ˆ E( , ) = ˆ E(+)( , ) + ˆ E(−)( , ),(4.52) ˆ E(+)( , ) = iX [k],λ ~ωk 2L31 2k,λˆak,λ( )eik· ,(4.53) donde L3es el olumen de no malización y ˆak,λ( )es el ope ado de des ucción co espondien e a un o ón cuyo ec o de onda es ky cuyo ec o de pola ización es k,λ, siendo ωk=c|k|. 7En expe imen os donde no in e iene la pola ización se usa la ap oximación escala , bien conocida en óp ica clásica. Se mul iplica la ampli ud (4.53) po √2, de modo que la pa e ele an e del ec o campo eléc ico es: ˆ E(+)( , ) = iX [k]~ωk L31 2 ˆak( )eik· .(4.51) 56 4.5. La unción de Wigne en el ma co de Heisenbe g (WRHP) La suma es á es ingida al conjun o de modos [k]que e i ican (4.50). Las ecuaciones (4.52) y (4.53) co esponden a la imagen de Heisenbe g, donde oda la dependencia empo al es á en los ope ado es de c eación y des ucción ˆa† k,λ( )yˆak,λ( ). Las ecuaciones de e olución de los ope ado es ˆak,λ( )es á desc i a po las ecuaciones: ˙ ˆak,λ =1 i~[ˆak,λ,ˆ H],(4.54) donde ˆ Hes el hamil oniano del sis ema. Pa a el campo elec omagné ico lib e, es a dependencia iene la o ma ˆak,λ( ) = ˆak,λ(0)e−iωk ,(4.55) pe o pa a si uaciones donde se p oduce in e acción en e campos elec omagné icos es a depen- dencia es más compleja y con iene oda la dinámica del p oceso. En la imagen de Heisenbe g el es ado del campo es á ep esen ado po un ope ado densidad ρ. Cuando se pasa a la unción de Wigne los ope ado es ˆ E(+)( , )yˆ E(−)( , )se sus i uyen po ampli udes complejas, de al modo que los ope ado es de des ucción ˆak( )se eemplazan po a iables alea o ias αk( ), y los ope ado es ˆa† k( )po los complejos conjugados α∗ k( ). La ampli ud co espondien e al campo eléc ico se ep esen a po : E(+)( , ) = iX [k],λ ~ωk 2L31 2k,λαk,λ( )eik· .(4.56) Las ecuaciones de e olución de las ampli udes αk,λ( )coinciden con las co espondien es a los ope ado es de des ucción, dadas po (4.54), en el caso de que el hamil oniano sea cuad á i- co, que es el caso co espondien e a la con e sión pa amé ica a la baja y las ans o maciones de las ampli udes en el caso de apa a os óp icos lineales. De ca a a la sección 6.3.1 expond emos aquí la ans o mación de las ampli udes en un di iso de haz BS. Si a,b ep esen an los canales de en ada, y c,dlos de salida, y T(R) es el coe icien e de ansmisión ( e lexión), enemos: E(+) c( , ) = TE(+) a( , ) + iRE(+) b( , ), E(+) d( , ) = TE(+) b( , ) + iRE(+) a( , ).(4.57) Hemos asumido que RyTson núme os eales y es el pun o donde se encuen a el cen o del BS. Es as elaciones son las mismas que las co espondien es a la ans o mación del ope ado campo eléc ico en el espacio de Hilbe , y ambién en óp ica clásica. Es a coincidencia es una consecuencia de la linealidad de las ecuaciones (4.57). 4. LA FUNCIÓN DE WIGNER 57 4.5.2. La adiación de pun o ce o Una ez que hemos desc i o el haz de luz en la ep esen ación de Wigne , amos a esumi en es e apa ado los aspec os undamen ales de la desc ipción del acío elec omagné ico. El es ado de ce o o ones se ep esen a median e un campo es ocás ico [76]: EZP F =E(+) ZP F +E(−) ZP F ,(4.58) donde, eniendo en cuen a la e olución lib e (4.55), y pasando a la unción de Wigne , se iene: E(+) ZP F ( , ) = iPk,λ ~ωk 20L31 2αk,λk,λei(k· −ωk ),(4.59) Las ampli udes α∗ k,λ yαk,λ se dis ibuyen de acue do con la unción de Wigne pa a el es ado de acío, la cual co esponde a la gaussiana ( e ecuación (4.43)): W(α) = Qk,λ 2 πe−2|αk,λ|2,(4.60) donde α≡nα∗ k,λ, αk,λo ep esen a el conjun o de modos del pun o ce o. A pa i de (4.12) se pueden deduci las siguien es elaciones de co elación en e las am- pli udes de los modos del acío: αk,λαk0,λ0≡ZdαW (α)αk,λαk0,λ0= 0,(4.61) α∗ k,λα∗ k0,λ0≡ZdαW (α)α∗ k,λα∗ k0,λ0= 0,(4.62) αk,λα∗ k0,λ0≡ZdαW (α)αk,λα∗ k0,λ0=1 2δk,k0δλ,λ0.(4.63) La conside ación de las exp esiones (4.60) a (4.63) en el es udio de las p opiedades es o- cás icas de la adiación de pun o ce o, ae consigo que el ZPF es un campo de media nula, con una ene gía media po modo igual (1/2)~ω, e idén icas luc uaciones [76]. Es os esul ados o man pa e, an o de la desc ipción del acío elec omagné ico en elec odinámica cuán ica (QED), como de la desc ipción de la adiación de pun o ce o en el ámbi o de la Elec odiná- mica Es ocás ica8. Aunque noso os a a emos en es a esis el ZPF desde un pun o de is a pu amen e cuán ico a a és del o malismo WRHP, hemos de esal a que exis en di e encias en e las desc ipciones clásicas (SED) y cuán ica (QED) del ZPF, que ienden a con e ge en la e e encia [148]. 8Véase la sección 5.4 sob e el p oblema de la de ección y las e e encias sob e SED. 58 4.6. La eo ía de la de ección 4.6. La eo ía de la de ección La eo ía de la o ode ección en el espacio de Hilbe se basa en el o denamien o no mal de ope ado es, lo que da luga a una sus acción di ec a de los e ec os del acío en los cálculos de las co elaciones. Desde un pun o de is a ope acional es e o malismo es, digamos, más e icien e, pe o desde nues o pun o de is a da luga a una pé dida impo an e de in o mación, en lo que se e ie e a la in e ención de la adiación de pun o ce o en los enómenos. Cuando se analiza la de ección de o ones en el o malismo de Wigne , el acío se explici a y ac úa como un “umb al”de de ección, en a izando los aspec os ondula o ios de la luz, en e a la desc ipción del espacio de Hilbe , donde se en a izan los aspec os co puscula es. La eo ía de la de ección en la unción de Wigne se desa olló en las e e encias [87] y [79], pa a expe imen os de de ección simple y conjun a, que son los expe imen os analizados a lo la go de [76]9. Vamos a di idi es a sección en dos pa es. En p ime luga e isa emos los esul ados conce nien es a la de ección simple y conjun a; a con inuación ex ende emos el análisis a expe imen os de de ección iple y cuád uple, mos ando los esul ados de los desa ollos hechos en los Anexos AyB. 4.6.1. P obabilidad simple y conjun a Las p obabilidades de de ección simple y conjun a ienen dadas po [79,86]: Ps=ZW(α)Q(α, φ)dα ≡ hQ(φ)i,(4.64) PAB =ZW(α)QA(α, φA)QB(α, φB)dα ≡ hQA(φA)QB(φB)i,(4.65) donde Q=η hν h˜ I(α, φ)−˜ I0i=η hν Zd Zd2 [I(α, φ; , )−I0],(4.66) siendo I=c0E(+)E(−),(4.67) la in ensidad co espondien e al campo eléc ico e I0la in ensidad co espondien e a la a- diación de pun o ce o en la posición del de ec o , es deci , la in ensidad en el caso de que odas las uen es de adiación es u iesen apagadas. La in eg ación se ealiza sob e la en ana de de ección y la ape u a supe icial del de ec o , y se di ide po la ene gía ípica de un o ón, de modo que, Qes adimensional, siendo ηla e iciencia cuán ica del de ec o . φ,φAy φB ep esen an pa áme os que ca ac e izan la disposición expe imen al en las zonas donde se 9Aunque nos cen a emos a lo la go de es a esis en los expe imen os de con e sión pa amé ica a la baja analizados en la WRHP, los esul ados de la eo ía cuán ica de la de ección desa ollados en [76] son de aplicación gene al, e independien es del ma co (Heisenbe g, Sch ödinge o in e acción) en que se abaje. 4. LA FUNCIÓN DE WIGNER 59 si úan los de ec o es, y pueden modi ica se en los expe imen os. Pa a simpli ica la no ación, hemos ealizado el cambio {αk, α∗ k} ≡ αydNαkdNα∗ k≡dα. En expe imen os donde in e iene la pola ización, se usa una exp esión cuya aplicación esul a mucho más sencilla que la de la ecuación (4.65), y que su ge de la conside ación de que el p oceso de con e sión a la baja es gaussiano y de desecha los é minos de cua o o den en la cons an e de acoplamien o10 [78]: PAB =c0 ηA hνA ηB hνBZd Zd2 Zd 0Zd2 0CAB( , , φA; 0, 0, φB), CAB( , , φA; 0, 0, φB) = X λX λ0|hF(+) λ(φA; , )F(+) λ0(φB; 0, 0)i|2,(4.68) donde λyλ0son los índices de pola ización11. En g an pa e de los desa ollos que ha emos a lo la go de es a esis usa emos una exp esión simpli icada pa a la p obabilidad de de ección conjun a en la que no apa ecen las in eg ales en la en ana ni en la supe icie del de ec o . Es as exp esiones su gen de la conside ación de que la luz man iene sus p opiedades de cohe encia en la zona de de ección, y de conside a la si uación ideal = 0en los cálculos de las co elaciones, lo que no a ec a a los esul ados undamen ales: PAB(φA, φB) = KAKBX λX λ0|hF(+) A,λ F(+) B,λ0i|2,(4.69) donde KAyKBson cons an es elacionadas con las e iciencias de los de ec o es, y con las dimensiones adecuadas pa a que el esul ado de (4.69) sea adimensional. En el caso de expe- imen os con PDC ipo I, se iene una exp esión simila eliminando la pola ización de (4.69). 4.6.2. De ección iple y cuád uple En los Anexos AyBes á desa ollado el cálculo de las p obabilidades de de ección iple y cuád uple. Es e análisis es undamen al pa a el es udio de los expe imen os de ele anspo e en el capí ulo 8. Mos a emos aquí los esul ados undamen ales: P obabilidad de de ección iple PABC =ZW(α)QA(α, φA)QB(α, φB)QC(α, φC)dα =PAPBC +PBPAC +PCPAB.(4.70) 10Ve Capí ulo 5. 11En expe imen os donde odos los haces lle an la misma pola ización, se llega a una exp e- sión simila , eliminando los índices de pola ización. Así, en es e caso CAB = ( , , φA; 0, 0, φB) = |hF(+)(φA; , )F(+)(φB; 0, 0)i|2. 66 5.2. Con e sión a la baja en la WRHP cen o del c is al, encon ándose F(+) j( B, ) = F(+) j A, − AB cexp iωj AB c,(5.15) donde AB = B− Ay AB =| AB|. De aho a en adelan e u iliza emos es as ampli udes en la desc ipción de los expe imen os. Po o o lado, odas las exp esiones de la eo ía de la de ección mos adas en la sección 4.6 siguen siendo álidas sus i uyendo E(+) ( , ) (E(−)( , )po F(+) ( , ) (F(−)( , )). En los dis in os expe imen os, las p obabilidades de de ección apa ecen exp esadas a pa i de las p opiedades de co elación de los campos. En los p ocesos es ocás icos gaussianos las co elaciones de o den impa son nulas, mien as que las de o den pa se ob ienen a pa i de las de segundo o den [179]. Po an o, el cálculo de las co elaciones de segundo o den es su icien e pa a ca ac e iza el p oceso es ocás ico que es udiamos, y se di iden en au oco elaciones y co elaciones c uzadas. Si A( , ;α)yB( 0, 0;α)son ampli udes complejas, la co elación en e AyBse de ine como: hABi=ZWZP F (α)A( , ;α)B 0, 0;αdα. (5.16) P esen amos a con inuación un b e e esumen de los esul ados más impo an es: 1. Au oco elación Conside emos el haz ex ao dina io en una posición , en ins an es dis in os y 0. Tenemos: DF(+) e( , )F(−) e( , 0)E−DF(+) e,ZP F ( , )F(−) e,ZP F ( , 0)E=g2|V|2µe( 0− ),(5.17) DF(+) e( , )F(+) e( , 0)E= 0.(5.18) µe( − 0)es una unción de co elación que iende a ce o cuando | − 0|es mayo que el iempo de co elación del ayo ex ao dina io, τe. Se ob ienen exp esiones simila es pa a el haz o dina io, haciendo el cambio e→o. 2. Co elaciones c uzadas Conside emos a con inuación los haces o dina io y ex ao dina io, en el cen o del c is al ( =0), en ins an es y 0: DF(+) e(0, )F(+) o(0, 0)E=g|V|ν( 0− ),(5.19) DF(+) e(0, )F(−) o(0, 0)E=DF(−) e(0, )F(+) o(0, 0)E= 0,(5.20) siendo ν( − 0)una unción que iende a ce o cuando | − 0|es mayo que el iempo de co e- lación de ambos haces, el cual es del mismo o den de magni ud que el iempo ca ac e ís ico de 5. LA CONVERSIÓN PARAMÉTRICA A LA BAJA EN LA WRHP 67 au oco elación. Las co elaciones c uzadas en di e en es pun os pueden calcula se ácilmen e a pa i de las exp esiones an e io es, usando la ecuación (5.15). 5.3. En elazamien o de o ones en la WRHP El en elazamien o es una de las p opiedades undamen ales que ca ac e iza el compo - amien o de los sis emas cuán icos, y elemen o esencial del ca ác e no local de la mecánica cuán ica. En los expe imen os de comunicación cuán ica con o ones, el en elazamien o es un- damen al a la ho a de en ende la codi icación densa, la elepo ación, y una buena pa e de los expe imen os de c ip og a ía. En la e e encia [88] se hizo una desc ipción del en elazamien o en pola ización co espondien e al es ado |ψ+i, y ecien emen e hemos ex endido el es udio al es o de los es ados de la base de Bell [85]. A di e encia del en elazamien o que e emos en la sección 6.3.2, en el que se ienen dos g ados de libe ad asociados a un mismo o ón, a amos aquí el en elazamien o de o ones en un sólo g ado de libe ad, co espondien e a la pola ización. En el o malismo de Wigne , el en elazamien o es á ligado a las p opiedades de co elación que ca ac e izan a las ampli udes de pun o ce o, las cuales se dis ibuyen de una o ma pa i- cula en las di e en es componen es de los haces que salen del c is al. Po ejemplo, el es ado |Ψ+ise desc ibe9a pa i de los siguien es haces co elacionados [88]: F(+) 1( , ) = F(+) e , ;nαk1,H;α∗ k2,V oi+F(+) o0 , ;nαk1,V ;α∗ k2,Hoj, F(+) 2( , ) = F(+) e0 , ;nαk2,H;α∗ k1,V oi0+F(+) o , ;nαk2,V ;α∗ k1,Hoj0,(5.21) donde iyj(i0yj0)) son ec o es uni a ios que ep esen an la pola ización ho izon al ( e ical) de los haces 1 y 2, αki,H ;αki,V (i = 1,2) ep esen an las ampli udes de cua o conjun os independien es de modos de pun o ce o que en an en el c is al ({ki,λ},i=1,2; λ≡H,V), que se ac i an a a és de su acoplamien o con el láse en el in e io del medio no lineal. Las ampli udes {αk,λ}se dis ibuyen de acue do con la unción de Wigne del acío (4.12). El elemen o esencial del en elazamien o en la unción de Wigne es que F(+) eyF(+) oes án co elacionados, y lo mismo sucede con F(+) e0yF(+) o0. Sin emba go, F(+) e0yF(+) ees án desco- elacionados, al igual que F(+) oyF(+) o0. Finalmen e, no hay co elación en e F(+) e0yF(+) o0, (F(+) eyF(+) o), es deci , DF(+) e0F(+) eE=DF(+) o0F(+) oE=DF(+) eF(+) o0E=DF(+) e0F(+) oE= 0,(5.22) 9Cuando hablamos de la desc ipción del es ado en elazado ( ec o de un espacio de Hilbe ) en la ep e- sen ación de Wigne , nos e e imos a que las p edicciones que da la mecánica cuán ica pa a es e es ado son las mismas que cuando se conside an dos haces (en el o malismo de Wigne ) cuyas ampli udes ep esen a i as e i ican cie as p opiedades de co elación, dando luga a las mismas p edicciones. Así, las ecuaciones (5.21), jun o con la eo ía de la de ección, y la unción de Wigne en el acío, dan luga a los mismos esul ados que se ob ienen usando el o malismo del espacio de Hilbe . 68 5.3. En elazamien o de o ones en la WRHP F1(+) α2,Vj’ α2,Hi’ K2 α1,Hi K1 α1,Vj Láse F2(+) Figu a 5.1: El en elazamien o en pola ización su ge como consecuencia del acoplamien o del láse y los cua o conjun os de modos de pun o ce o, dos po cada di ección de en ada, ep esen ados en la igu a. mien as que, DF(+) e0F(+) o0E=DF(+) eF(+) oE6= 0,(5.23) siendo odo ello consecuencia di ec a de la o ma en que se dis ibuyen las ampli udes del pun o ce o en las ecuaciones (5.21), jun o con las p opiedades (4.61), (4.62) y (4.63). 5.3.1. Desc ipción de la base de Bell En el espacio de Hilbe , las ans o maciones necesa ias pa a pasa de un es ado de Bell a o o co esponden a ope aciones uni a ias que se ep esen an a pa i de las ma ices de Pauli. En el o malismo de la unción de Wigne , la ans o mación de las p opiedades de co elación que ca ac e izan a los dos haces se e ec úa median e ma ices que ep esen an elemen os óp icos lineales como, po ejemplo, e a dado es o o ado es de pola ización, y que ac úan de un modo comple amen e clásico sob e las ampli udes. Es deci , en el lenguaje de la unción de Wigne las p opiedades que ca ac e izan los es ados en elazados su gen como consecuencia de las modi icaciones que su en los haces al pasa po elemen os óp icos que ac úan del mismo modo que en óp ica clásica. Como las ampli udes de los haces a la salida del c is al son esul ado de la ans o mación del pun o ce o ínciden e, es á cla o que cualquie apa a o óp ico que modi ique las p opiedades del haz, ac úa di ec amen e sob e las ampli udes del ZPF que de inen es e haz, modi icando las co elaciones. En lo sucesi o ha emos un cambio de no ación, que se man end á a lo la go de la esis: las co elaciones no nulas se án en e los pa es de índices sy po un lado, y pyqpo o o, de modo que sy sus i uyen a los índices no p imados, y pyqa los p imados. En p ime luga e isa emos la desc ipción ealizada en la e e encia [85], en la que las 5. LA CONVERSIÓN PARAMÉTRICA A LA BAJA EN LA WRHP 69 modi icaciones a ec aban a los dos haces. Po ejemplo, aplicando una di e encia de ase de π en e las dos componen es de pola ización en el haz 2de las exp esiones dadas en (5.21), se gene a el es ado |Ψ−i. Así, los dos es ados |Ψ±ipueden ep esen a se po las exp esiones F(+) 1( , ) = F(+) s( , )i+F(+) p( , )j, F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+eiκF(+) ( , )j0,(5.24) donde κ=0 (κ=π) co esponde a |Ψ+i(|Ψ−i). Aho a, pa a ob ene los es ados |Φ±ise e ec úa una o ación en pola ización de 90oen el haz 1: F(+) 1( , ) = −F(+) p( , )i+F(+) s( , )j, F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+eiκF(+) ( , )j0,(5.25) donde κ= 0 (κ=π) co esponde a |Φ−i(|Φ+i). Conside emos a con inuación la desc ipción ealizada en la e e encia [84]. Podemos gene a una exp esión compac a pa a los cua o es ados de Bell median e la conside ación de dos pa áme os angula es, uno de ase y o o de pola ización, asociados a las modi icaciones en uno de los dos haces, lo cual es consis en e con el hecho de que se puede pasa de un es ado de Bell a o o median e ope aciones uni a ias aplicadas a uno de los qubi s en elazados, median e la aplicación de las ma ices de Pauli. Po ejemplo, si conside amos un o ado de pola ización en el haz 1el plano de pola ización de F(+) 1se gi a un ángulo β, y las componen es del haz modi icado son: F0(+) 1( , ) = cos β−sen β sen βcos β! F(+) s( , ) F(+) p( , )! = F(+) s( , ) cos β−F(+) p( , ) sen β F(+) s( , ) sen β+F(+) p( , ) cos β!. (5.26) A con inuación, un e a dado de onda in oduce un cambio de ase κen e las componen es ho izon al y e ical. La exp esión compac a de los haces, a pa i de los pa áme os βyκes: F00(+) 1( , ) = hF(+) s( , ) cos β−senβF (+) p( , )ii+eiκ hF(+) s( , )senβ+ cos βF (+) p( , )ij F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+F(+) ( , )j0. (5.27) Pa a β= 0 yκ= 0 ob enemos |Ψ+i, mien as que, con β= 0 yκ=π esul a |Ψ−i: F(+) 1( , ) = F(+) s( , )i−F(+) p( , )j;F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+F(+) ( , )j0.(5.28) Po o o lado, la ans o mación β=−π/2yκ=πse co esponde con la desc ipción 70 5.4. El p oblema de la de ección del es ado |Φ+i: F(+) 1( , ) = F(+) p( , )i+F(+) s( , )j;F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+F(+) ( , )j0.(5.29) Finalmen e, pa a β=−π/2yκ= 0 ob enemos |Φ−i: F(+) 1( , ) = F(+) p( , )i−F(+) s( , )j;F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0+F(+) ( , )j0.(5.30) Nó ese que lo que di e encia un es ado de o o en nues a desc ipción es, po un lado, cuáles son las componen es de pola ización de un haz que es án co elacionadas con las del o o haz: En los haces que desc iben los es ados |Ψ±ilas componen es co elacionadas son las co espondien es a pola izaciones o ogonales en e sí, y en los haces co espondien es a los es ados |Φ±ilas ampli udes co elacionadas son las que ienen la misma pola ización. Po o o lado, el asgo di e enciado en cada pa eja de haces co espondien e a los es ados (|Ψ±ió|Φ±i), es que: Las co elaciones no nulas ienen el mismo signo, en el caso (+), y signos opues os en el caso (−). 5.4. El p oblema de la de ección El o malismo de la unción de Wigne es ablece un nexo o mal en e la óp ica es ocás ica y la óp ica cuán ica, y o o en e las eo ías de a iables ocul as locales y la óp ica cuán ica, a a és del papel que eje ce la adiación de pun o ce o10. Po un lado, la óp ica escocás ica ue desa ollada po los D s. San os y Ma shall en las e e encias [191, 192], y se aplicó a los p ime os expe imen os de desigualdades de Bell con cascadas a ómicas pa a ep oduci los esul ados expe imen ales con modelos basados en la in luencia del pun o ce o11. La óp ica es ocás ica su gió como una ama de la elec odinámica es ocás ica (SED)12 pa a expe imen os con luz, y esal aba la p esencia del acío en los canales acíos de los analizado es, así como su papel de umb al de de ección. La unción de Wigne de la óp ica cuán ica es análoga a la óp ica es ocás ica, en el sen ido de que el papel de la adiación de pun o ce o, “ideado”po Ma shall y San os en la óp i- ca es ocás ica, enía su con apa ida en la óp ica cuán ica en el espacio de ases [148]. Una ede inición ecien e de la óp ica es ocás ica, se basa en la conside ación del ZPF en los expe- imen os, y el es udio de sus e ec os, den o del o malismo cuán ico [223]. Po o o lado, la 10Pa a una e isión de los e ec os del acío en elec odinámica cuán ica éase la e e encia [198]. 11Pa a una e isión de o os modelos de a iables ocul as pa a el es udio de expe imen os de Bell ealizados usando cascadas a ómicas o PDC, éanse las e e encias [220,224,187]. 12Pa a una e isión de los aspec os undamen ales de la elec odinámica es ocás ica, éase [101,186,64,100, 140]. 5. LA CONVERSIÓN PARAMÉTRICA A LA BAJA EN LA WRHP 71 conje u a de que aquellos es ados que son ealmen e ealizables en el labo a o io son aquellos en los que la unción de Wigne es posi i a, en a izando el papel de la posi i idad de es a unción de dis ibución en su elación con el ca ác e clásico de la luz, ue desa ollada a lo la go de los abajos [190,189,193,188,221]. Po o o lado, la eo ía de la de ección en la o mulación de Wigne pa a expe imen os PDC es o malmen e análoga a las exp esiones que p edice una eo ía de a iables ocul as locales, según el abajo de Clause y Ho ne [95]: pa=Zdλρ(λ)p(a, λ) ; pb=Zdλρ(λ)p(b, λ), pab =Zdλρ(λ)p(a, λ)p(b, λ),(5.31) donde las a iables ocul as λse ían las ampli udes del ZPF que en a en el c is al α, y es a ían gobe nadas po una dis ibución de p obabilidad ρ(λ)co espondien e a la dis ibución de Wigne de la adiación de pun o ce o (4.12). La disc epancia que o igina la sepa ación en e ealismo local y mecánica cuán ica, se encuen a jus amen e en que Q(α, φ)no se co esponde con la p obabilidad p(λ, φ)pues o que no es de inido posi i o. Es e es el pun o donde se p odu- ce la disco dancia en e las p edicciones de la ísica clásica y la ísica cuán ica en expe imen os PDC. De es e modo, la ep esen ación de Wigne pe mi e es ablece , pa a odos los expe imen- os con PDC, aquello que se puede in e p e a clásicamen e en es os expe imen os, y ambién dónde se halla la disc epancia undamen al, es deci , dónde se halla el ca ác e no local del o malismo ( eo ía de la de ección). En es e apa ado no amos a hace un análisis de allado del p oblema de la de ección, pues no es el obje o de es a esis, pe o sí mos a emos la bibliog a ía elacionada con los a ances p oducidos en es e campo. Des acamos en p incipio las discusiones de los a ículos [88] y [86], ace ca de la impo ancia de la in eg ación en la en ana de de ección y en la supe icie del de ec o con el obje o de educi el ele ado alo de las luc uaciones del acío en la de ección. Es as luc uaciones son el núcleo de la nega i idad, pa a cie as ealizaciones del acío, de la di e encia en e la in ensidad o al y la in ensidad del pun o ce o, la cual se a ó de e i a p oponiendo modi icaciones a la eo ía de la de ección, del ipo Q(α, φ)→ {Q(α, φ)}+, donde {Q(α, φ)}+co esponde sólo a la pa e Q(α, φ)>0, al y como se hizo en [88]. Es a ap oximación se basaba en que la en ana de de ección es a ios ó denes de magni ud el alo del iempo de cohe encia de la luz, con lo cual se conje u ó que la di e encia en e la eo ía cuán ica de la de ección y la eo ía modi icada se ía del o den de las cuen as oscu as del de ec o . Sin emba go, es a ap oximación no es co ec a [92,222]. En [80, 89, 147, 91] se es udió con de alle una clase de modelos de a iables ocul as en los que se modi icaba la eo ía cuán ica de la de ección y se es ablecie on los pa áme os necesa ios pa a que es os modelos se ajus asen al compo amien o expe imen al del de ec o . Sin emba go, es e ipo de modelos alla a la ho a de ep oduci las asas de coincidencia, pues las 72 5.4. El p oblema de la de ección luc uaciones del pun o ce o, necesa ias pa a ep oduci los expe imen os de coincidencia, son demasiado ele adas. T abajos pos e io es donde se analizan dis in os ipos de modelos en los que el de ec o sus ae con enien emen e las luc uaciones del pun o ce o pueden encon a se en [222,219]. Capí ulo 6 INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 6.1. In oducción Con el desa ollo de la eo ía de la in o mación y compu ación cuán icas desde hace casi es décadas, se hizo necesa io un p oceso de adap ación del lenguaje que se había usado has a en onces en el ámbi o de los undamen os de la mecánica cuán ica, al incipien e campo de la in o mación cuán ica. El ejemplo más ep esen a i o de es o es el concep o de bi cuán ico, o qubi , que ep esen a la supe posición de dos es ados (base compu acional) de un espacio de Hilbe bidimensional. La manipulación de qubi s, con o sin en elazamien o, median e la acción de las llama- das pue as lógicas cuán icas, pe mi e la ealización expe imen al de aspec os básicos de la in o mación cuán ica pa a desa olla , po ejemplo, codi icación densa, c ip og a ía cuán ica, o compu ación cuán ica. Las pue as básicas usadas en compu ación cuán ica pa a la manipu- lación de qubi s indi iduales (single-qubi s) son la pue a de Hadama d y la pue a de cambio de ase (phase-shi ga e). Cualquie opa ación uni a ia sob e un qubi puede cons ui se u i- lizando únicamen e es as dos pue as cuán icas. Po o o lado, en el caso de un sis ema de dos qubi s, la pue a básica, capaz de gene a en elazamien o, es la CNOT (con olled-NOT ga e). La implemen ación expe imen al de las pue as cuán icas median e o ones se hace me- dian e el uso de di iso es de haz (beam-spli e s), pa a el caso de la opa ación de Hadama d, los sepa ado es de pola ización (pola izing beam-spli e s) pa a el caso de la pue a CNOT, y e a dado es de ase pa a la pue a con ol-phase. Apa e se usan o os elemen os óp icos como láminas de media y cua o de onda, espejos, o ado es de pola ización, e c... Es os apa a os se u iliza on du an e muchos años pa a la expe imen ación en los aspec os con ain ui i os del mundo cuán ico, pe o con el desa ollo de la eo ía de la in o mación cuán ica, se con i ie on en los elemen os básicos de las pue as lógicas cuán icas, den o del o malismo de Hilbe . Siguiendo nues a línea de abajo, su ge la necesidad de analiza es os sis emas con el o malismo de Wigne en la imagen de Heisenbe g, donde los e ec os de 73 74 6.2. El qubi espacial en la WRHP los apa a os óp icos se exp esan median e ma ices, pe o adap ando los es udios p e ios ya ealizados a un lenguaje más adecuado al ámbi o en que nos mo emos. Una cues ión básica an es de comenza el desa ollo del capí ulo es qué elación exis e en e la apa ición de los ope ado es de acío en el espacio de Hilbe , y la co espondien e conside ación del ZPF en la WRHP, cuando los elemen os óp icos ienen canales po los que no hay ninguna señal de en ada, o modos “ acíos”. En la e e encia [178] se mues an los e ec os del acío en un BS a a és de la conside ación del ope ado del acío asociado a un canal po el que no en a ninguna señal, con obje o de que se conse en las elaciones de conmu ación de los ope ado es de c eación y des ucción a la en ada y salida del apa a o. Es a conse ación es á elacionada con el ca ác e uni a io de la ans o mación, y se e leja en la WRHP a a és de la conside ación de un campo es ocás ico en las en adas acías de los elemen os, co espondien e al ZPF. Aunque el ZPF es inalmen e sus aído en el p oceso de de ección, sus e ec os en las p opiedades de la luz se hacen explíci os en es e o malismo. Es e capí ulo es á dedicado a la desc ipción con la unción de Wigne de los aspec os básicos de la in o mación cuán ica en el ámbi o de la óp ica, y es la an esala del es o de capí ulos en los que se desa olla án los pun os ca dinales de la comunicación cuán ica con o ones en la WRHP, omando como elemen o esencial de su desc ipción a la adiación de pun o ce o, y sus e ec os en: (a)la gene ación del bi cuán ico y (b) el en elazamien o gene ado en una pue a CNOT. Es os dos pun os son los que pe mi en un amplio es udio de los e ec os del ZPF en la implemen ación de pue as lógicas en el campo de la óp ica cuán ica. Se comienza en la sección 6.2 con la desc ipción del qubi o ónico espacial en la WRHP, pa a con inua en la sección 6.3 con los elemen os óp icos u ilizados en óp ica lineal ales como el di iso de haz (apa ado 6.3.1), el sepa ado de pola ización (apa ado 6.3.2), e a dado es (apa ado 6.3.3), o ado es (apa ado 6.3.4) y el pola izado (apa ado 6.3.6). Después de e los gene ado es alea o ios cuán icos (sección 6.4), dedica emos la úl ima pa e del capí ulo (sección 6.5) a una e isión de bibliog a ía en la que se aplica la unción de Wigne en la in o mación cuán ica. 6.2. El qubi espacial en la WRHP En la sección 2.2 in odujimos el qubi como elemen o undamen al de la eo ía de la in o mación cuán ica ( e ecuación (2.1)) y conside amos a ios ipos de qubi s o ónicos a en- diendo al g ado de libe ad ep esen a i o en el que se codi ica la in o mación. El obje i o de es e apa ado es el análisis del concep o de qubi en el o malismo de Wigne (WRHP), pa a mos a la ele ancia de la adiación de pun o ce o en su desc ipción y p opiedades. En conc e o, amos a cen a nos en el qubi espacial dado po la ecuación (2.3). Si los es ados de la base compu acional ep esen an el momen o del o ón, el bi cuán ico es á ep esen ado po dos haces, cuyas ampli udes F(+) 0(modo “a”) y F(+) 1(modo “b”) e i ican 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 75 las siguien es p opiedades de co elación1: P0=F(+) 0 2−I0,ZP F =|α|2,(6.1) P1=F(+) 1 2−I1,ZP F =|β|2,(6.2) P01 =F(+) 0 2−I0,ZP F F(+) 1 2−I1,ZP F = 0,(6.3) DF(+) 0F(−) 1E−DF(+) 0F(−) 1EZP F =−iαβ∗.(6.4) )( 0 + F 2 ' )( ,1 )( 0)( 1 ++ ++ =ZPF iFF F 2 ' )( 0 )( ,1 )( 0 ++ ++ = iFF FZPF )( ,1 + ZPF F Figu a 6.1: En la ep esen ación de Wigne , el qubi o ónico co espondien e a la supe posición de es ados del momen o del o ón, es á ep esen ado po dos haces co elacionados po encima del umb al del pun o ce o, al y como indican las ecuaciones (6.1) a (6.4). La acción de un di iso de haz sob e el qubi se a a igual que en óp ica clásica, eniendo en cuen a la ans o mación de los haces en el BS (en la igu a el BS iene idén icos coe icien es de ansmisión y e lexión). Las ecuaciones (6.1) y (6.2) indican que la p obabilidad de ob ene uno u o o alo del qubi al medi lo, es igual (sal o ac o es dimensionales) a la di e encia en e la in ensidad asociada al haz que incide en cada canal y la co espondien e a la adiación de pun o ce o asociada a dicho canal. La ecuación (6.3) es á elacionada con el hecho de que es imposible de ec a simul áneamen e el bi 0 y el bi 1 en ambos canales de salida (de ección conjun a nula). La úl ima ecuación indica que exis e un acoplamien o en e las dos ampli udes que ep esen an al qubi , a a és de la co elación po encima del umb al de pun o ce o en e F(+) 0yF(−) 1. La jus i icación de las ecuaciones (6.1) a (6.4) in oduce la adiación de pun o ce o como elemen o esencial en la desc ipción del bi cuán ico en el o malismo de Wigne . Conside a emos la si uación siguien e, en el ámbi o de la óp ica clásica: un haz de luz monoc omá ica incide 1En es a sección omi i emos po simplicidad la dependencia con y con , la cual no es ele an e pa a mos a los esul ados undamen ales. Po o o lado, supond emos que las ampli udes F(+) 0yF(+) 1es án “adimensionalizadas”con enien emen e, de modo que su módulo al cuad ado sea un núme o posi i o sin dimensiones (p obabilidad). 82 6.3. Elemen os óp icos lineales en comunicación cuán ica, en la WRHP |Vi|ai → |Vi|bi,(6.29) |Vi|bi → |Vi|ai.(6.30) V V V V V H (a) (c) H H V V V H H H H d a c b H (b) Figu a 6.5: El PBS ansmi e componen e ho izon al de la pola ización y e leja la componen e e ical. En el caso en el que cada canal de en ada es á ocupado po un o ón, si los dos o ones inciden es en el PBS iene la misma pola ización salen po di e en es di ecciones, al que hab á un o ón en cada uno de los modos de salida. Po o a pa e, si los dos o ones inciden es ienen pola ización opues a siemp e sald án en la misma di ección, al que hab á dos o ones en una de las dos salidas y ninguno en la o a en la o a. Pa a e cómo se gene a en elazamien o a pa i de un PBS conside a emos que un o ón de momen o de inido ~ ka, incide po el canal ade un PBS, encon ándose en una supe posición de es ados de pola ización. El es ado del o ón se desc ibe median e el ke : |ψi=|ai⊗(α|Hi+β|Vi),(6.31) donde el segundo é mino del p oduc o enso ial co esponde a un qubi de pola ización, de i- nido en la ecuación (2.2). La acción del PBS sob e el es ado (6.31) da luga al en elazamien o en e los g ados de libe ad pola ización y momen o, de un o ón. Es deci , se gene a el en e- lazamien o de qubi s: |ψi=α|ai⊗|Hi+β|bi⊗|Vi,(6.32) donde hemos hecho uso de las ecuaciones (6.27) a (6.30). Desde el pun o de is a del o malismo de Wigne , el a amien o del PBS se hace igual que en óp ica clásica, si más que conside a la acción del pun o ce o en el caso de que exis a algún canal acío. Conside a emos p ime amen e la si uación gene al en la que dos señales inciden sob e el PBS, y más adelan e la desc ipción en la WRHP de la si uación desc i a po la ecuación (6.32), en la que uno de los canales es á acío: 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 83 Las exp esiones de los haces a la en ada del PBS son ( éase la igu a 6.6): F(+) a=F(+) Hia+F(+) Vja,(6.33) F(+) b=F0 H(+)ib+F0 V(+)jb,(6.34) donde las ampli udes F(+) H,F(+) V,F0 H(+), y F0 V(+) end án unas p opiedades de co elación que depende án de la dinámica co espondien e al p oceso po el cual se hayan gene ado4. Las ampli udes co espondien es a las salidas po los canales a1yb1son ( e igu a 6.6): F(+) a1=F(+) Hia1+iF0 V(+)ja1,(6.35) F(+) b1=F0 H(+)ib1+iF(+) Vjb1.(6.36) b )( a F )( b F a b1 a1 )( 1  a F )( 1  b F Figu a 6.6: E ec os del PBS sob e los haces de Wigne que en an po los dos canales. A con inuación e emos qué sucede si uno de los canales es á acío, como mues a la igu a 6.7. En es e caso hay que conside a la en ada de una ampli ud de pun o ce o, F(+) ZP F,b, con sus co espondien es componen es ho izon al y e ical. En el o malismo de la unción de Wigne , las ampli udes (6.33) deben e i ica las siguien es p opiedades de co elación: F(+) H 2−IH,ZP F =|α|2,(6.37) 4No man enemos en es a sección la no ación de inida en el capí ulo 5 (apa ado 5.3.1), pues es especí ica de la luz con e ida a la baja. 84 6.3. Elemen os óp icos lineales en comunicación cuán ica, en la WRHP F(+) V 2−IV,ZP F =|β|2,(6.38) F(+) H 2−IH,ZP F F(+) V 2−IV,ZP F = 0,(6.39) lo que indica que la p obabilidad de de ección ho izon al ( e ical), suponiendo que as pasa po el PBS de la igu a 6.7) se si uasen unos de ec o es, es |α|2(|β|2). Po o o lado, la p obabilidad de de ección conjun a es nula, dado que se supone que el haz (6.33) con iene un sólo o ón. Es impo an e ambién ene en conside ación que pa a que el haz desc i o en (6.33) pueda ep esen a a un bi cuán ico de pola ización, las ampli udes que lo de inen deben es a desco elacionadas con cualquie o a ampli ud (en es e caso con F(+) ZP F,b), pues de lo con a io la desc ipción en el espacio de Hilbe no se ía la dada po la ecuación (6.31). Las ampli udes co espondien es a las salidas a1yb1son: F(+) a1=F(+) Hia1+ihF(+) ZP F,b ·jija1,(6.40) F(+) b1=hF(+) ZP F,b ·iiib1+iF(+) Vjb1.(6.41) b )( a F )(, ZPFb F a b1 a1 )( 1  a F )( 1  b F Figu a 6.7: E ec os del PBS conside ando la en ada de pun o ce o po uno de los canales. Como emos, el pun o ce o se epa e en e ambas señales de salida, pues la pa e ho- izon al del acío se ansmi e y la e ical se e leja. Las ecuaciones (6.40) y (6.41) cons i uyen la base pa a el análisis de la con e sión de un es ado sepa able en o o en- elazado en la WRHP y mues an, una ez más, la ele ancia del ZPF en la gene ación de en elazamien o. El e ec o del PBS sob e el pun o ce o que en a po el canal acío, es 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 85 ac i a los modos (b, H)y(b, V )del ZPF, dando luga a sendos haces con las p opiedades del en elazamien o de dos qubi s pe enecien es a un mismo o ón. 6.3.3. Re a dado es Los e a dado es, comúnmen e denominados láminas e a dado as, son una de las aplica- ciones más co ien es de los medios anisó opos. Se u ilizan pa a cambia la ase ela i a en e las componen es de los haces pola izados. Los más comunes son las láminas de media onda5 (λ/2, κ=π), que p oducen una e lexión del es ado de pola ización con espec o a los ejes de la lámina, y las láminas cua o de onda (λ/4, κ=π/2), que ans o man un haz de luz ci cu- la men e pola izado en o o pola izado linealmen e que o ma 45◦con los ejes de la lámina, y ice e sa [142]. -Lámina de cua o de onda: Conside emos el caso de una lámina de cua o de onda con eje ápido a un ángulo θ, medido desde el eje X. La acción de la lámina de cua o de onda es á ep esen ada po la ma iz: ˆ MQWP = cos2θ+isen2θ(1 −i) sen θcos θ (1 −i) sen θcos θsen2θ+icos2θ!.(6.42) Supongamos que el haz F(+) in =F(+) Hi+F(+) Vjincide sob e una QWP. Las ampli udes que ep esen an el haz salien e son: F(+) ou =ˆ MQWP F(+) in = cos2θ+isen2θ(1 −i) sen θcos θ (1 −i) sen θcos θsen2θ+icos2θ! F(+) H F(+) V! =hcos2θ+isen2θF(+) H+ [(1 −i) sen θcos θ]F(+) Vii +h[(1 −i) sen θcos θ]F(+) H+sen2θ+icos2θF(+) Vij, (6.43) Pa a el eje ápido en θ= 0, la ma iz es ˆ MQWP = 1 0 0i!,(6.44) y la ampli ud del campo F(+) ou =F(+) Hi+iF(+) Vj.(6.45) 5Los e a dado es más usuales es án o mados po una lámina de ma e ial bi e ingen e uniáxico en el cual el eje óp ico es pa alelo a su supe icie. Al incidi una onda plana sob e una lámina de es e ipo, és a se descompone en dos ondas, la ex ao dina ia (e) que ib a pa alelamen e al eje óp ico de la lámina, siendo el índice de e acción ne, y la o dina ia (o), que ib a pe pendicula men e a la an e io con un índice no. Las di ecciones de ib ación coinciden con los ejes de la lámina (X-Y), y se denominan eje ápido y eje len o. Si el medio es uniáxico nega i o (ne−no>0) el eje ápido coincide con el eje óp ico. El des ase que in oduce un e a dado de espeso d iene dado po la exp esión: κ= 2πd(ne−no)/λ. 86 6.3. Elemen os óp icos lineales en comunicación cuán ica, en la WRHP Eje ápido a 0= θ , espec o al eje X jiF )()( +++ += VH iFF )( salida jiF )()( +++ += VHen ada FF )( Figu a 6.8: Acción de una QWP, en el caso de que eje ápido es é a 0◦, se p oduce un des ase de π/2 en e las componen es ho izon al y e ical del campo. - Lámina de media onda: ans o ma luz pola izada linealmen e en o a con pola ización ambién lineal, pe o gi ada un ángulo 2θ espec o al plano de pola ización de la luz inciden e; y luz pola izada ci cula men e dex ógi a en le ógi a. Su e ec o iene dado po la ma iz [141]: ˆ MHW P = cos 2θsen 2θ sen 2θ−cos 2θ!,(6.46) de al modo que las ampli udes a la salida de la HWP son: F(+) ou =ˆ MHW P F(+) in = cos 2θsen 2θ sen 2θ−cos 2θ! F(+) H F(+) V! =hcos(2θ)F(+) H+ sen(2θ)F(+) Vii+hsen(2θ)F(+) H−cos(2θ)F(+) Vij. (6.47) Pa a θ= 0 la ma iz es ˆ MHW P = 1 0 0−1!,(6.48) y la ampli ud queda F(+) ou =F(+) Hi−F(+) Vj.(6.49) 6.3.4. El o ado de pola ización El e ec o de es e elemen o óp ico es o a el ec o campo un ángulo β. Es á ep esen ado po la ma iz: ˆ MPR = cos β−sen β sen βcos β!,(6.50) 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 87 j-iF )()(  VHsalida FF )( Eje ápido a 0   , espec o al eje X jiF )()(   VHen ada FF )( Figu a 6.9: Acción de una HWP, pa a θ= 0, lo que p oduce un cambio de ase πen e las componen es e ical y ho izon al del campo eléc ico. y el e ec o sob e las ampli udes del campo eléc ico es: F(+) ou =ˆ MPRF(+) in = cos β−sen β sen βcos β! F(+) H F(+) V! =hcos βF (+) H−sen βF(+) Vii+hsen βF(+) H+ cos βF (+) Vij. (6.51) 6.3.5. Mach-Zhende El e ec o de es e disposi i o es el siguien e: un haz es sepa ado median e un BS en dos haces, los cuales eco en di e en e camino, an es de incidi sob e un segundo BS a la salida del in e e óme o, igu a 7.6. Es e sis ema pe mi e gene a el ime-bin qubi desc i o en la ecuación (2.4). Debido a la ele ancia de es e sis ema óp ico en el p ocesamien o de in o mación con en elazamien o en ene gía y iempo, lo es udia emos con más de enimien o en la sección 7.6.1, de c ip og a ía con PDC ipo I. 6.3.6. El pola izado El pola izado elíp ico es á desc i o po dos pa áme os θyδ, donde θes el ángulo en e el eje p incipal de la elipse y la di ección ho izon al, y δes la excen icidad. El e ec o del pola izado se exp esa median e la ma iz: ˆ MEP = cos2θsen θcos θe−iδ sen θcos θeiδ sen2θ!.(6.52) 88 6.3. Elemen os óp icos lineales en comunicación cuán ica, en la WRHP Pa a δ= 0 ob enemos la ma iz del pola izado ci cula 6: ˆ MCP = cos2θsen θcos θ sen θcos θsen2θ!.(6.53) El e ec o del pola izado ci cula sob e las ampli udes del campo eléc ico consis e en la p oyección del campo eléc ico sob e la di ección del pola izado , ep esen ada po el ec o uni a io u1= cos θi+ sen θj. En es e caso, es necesa io conside a una en ada de pun o ce o, F(+) ZP F , pe pendicula a F(+) in . Así, enemos: F(+) ou =hF(+) in ·u1iu1=ˆ MCP F(+) in = cos2θsen θcos θ sen θcos θsen2θ! F(+) H+F(+) ZP F,H F(+) V+F(+) ZP F,V ! = [(F(+) H+F(+) ZP F,H ) cos θ+ (F(+) V+F(+) ZP F,V ) sen θ](cos θi+ sen θj). (6.54) De iniendo la ampli ud F(+) POL = (F(+) H+F(+) ZP F,H ) cos θ+ (F(+) V+F(+) ZP F,H ) sen θ, (6.55) la exp esión de un haz linealmen e pola izado a un ángulo θes á dado po : F(+) =F(+) POL cos θi+F(+) POL sen θj.(6.56)  1 u )( 1 F )( ZPF F Y i j X Di ección de p ola ización Figu a 6.10: Vis a on al del pola izado , con el ZPF pe pendicula a F1, siendo u1el ec o pola- ización. 6En lo sucesi o conside a emos el pola izado ci cula , dejando el caso más gene al, δ6= 0, pa a la sección 7.4, donde es udia emos la acción de un espía a a és de una medida p oyec i a en el p oceso de dis ibución cuán ica de cla e. 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 89 6.4. Los gene ado es alea o ios cuán icos Son la base de la c ip og a ía cuán ica, pues gene an es ados de una mane a au én icamen e a bi a ia, po ejemplo la salida del BS o del PBS se p oduce de una o ma o almen e al aza , debido a los canales acíos, lo que nos pe mi e una elección alea o ia de la base de medición. Un ejemplo ípico de es os sis emas lo podemos e en la igu a 6.11. El di iso de haz ansmi e o e leja cada o ón inciden e. En el camino e lejado hay un PBS que analiza en la base H,V. En el camino ansmi ido, la combinación de una lámina e a dado a de media onda a 22,5oy un PBS idén ico al an e io , cons i uyen un analizado en la base 45o,-45o. Desde un pun o de is a ísico, los únicos p ocesos conocidos que gene an e en os ealmen e alea o ios son aquellos basados en la mecánica cuán ica (como en es e caso). En la igu a podemos e cómo el pun o ce o con ibuye a al in po su ca ác e es ocás ico, además de se una exigencia en nues o o malismo. BS HWP Ve ical 45º -45º Ho izon al ZPF ZPF ZPF PBS PBS Figu a 6.11: El PBS o mando pa e del gene ado alea o io. Pa a inaliza debemos indica que pa a cie as aplicaciones (po ejemplo, la ealización de pue as cuán icas de dos o ones) se hace necesa ia la no linealidad. Es e ipo de no linealidad se puede log a , ya sea po medio de la inducción de in e acciones o ón- o ón (como la no linealidad en un medio Ke 7, conocida como la no linealidad Ke ) o median e medida inducida po la no linealidad óp ica e ec i a. La disponibilidad en la ac ualidad de la no linealidad Ke es demasiado pequeña pa a se ú il pa a los ines especi icados. La no linealidad e ec i a inducida po la mediciones p oyec i as 7E ec o Ke o e ec o elec óp ico cuad á ico (e ec o de QEO) es un cambio en el índice de e acción de un ma e ial en espues a a un campo eléc ico. Es dis in o del e ec o de Pockels en el que el cambio inducido del índice es di ec amen e p opo cional al cuad ado del campo eléc ico en ez de a la magni ud del campo. Todos los ma e iales mues an un e ec o Ke , pe o cie os líquidos mues an el e ec o más ue emen e que lo hacen o os ma e iales. El e ec o Ke ue encon ado en 1875 po John Ke , un ísico escocés. 90 6.5. La unción de Wigne en la Teo ía de la In o mación Cuán ica es ánda es (de ección de e en os) se econoce ac ualmen e como una o ma ac ible de aplica , po ejemplo, pue as p obabilís icas de dos qubi s con o ones. 6.5. La unción de Wigne en la Teo ía de la In o mación Cuán- ica La unción de Wigne es una he amien a con una g an can idad de aplicaciones en el campo de la In o mación Cuán ica. El o malismo WRHP aplicado a los expe imen os de comunicación cuán ica con o ones, que desa ollamos en es a esis, es sólo una de las aplicaciones que iene es e o malismo. El obje o de es a sección es mos a o os abajos en los que se u iliza la unción de Wigne en es e campo: 1. La aplicación de la unción de dis ibución disc e a de Wigne a la ca ac e ización de las p opiedades de en elazamien o de dos qubi s [118], donde se demues a que un es ado es en elazado si, al menos, uno de los alo es asumidos po las co espondien es unciones de Wigne disc e as es más pequeño que un cie o alo c í ico (nega i o). Sob e la base del c i e io de la ansposición pa cial, se es ablece la elación en e la sepa abilidad de una ma iz densidad y la no nega i idad de la unción de Wigne disc e a, ele an e an o pa a la ma iz densidad como pa a la ansposición pa cial de la misma. Es os c i e ios son de g an in e és pa a la cons ucción de en elazados en in o mación cuán ica. O o a ículo de in e és es el [110], en donde se aplica la o ma disc e a de la unción de Wigne y donde se mues an las conexiones que exis en en e la omog a ía SIC POVM (symme ic, in o ma ionally comple e, posi i e ope a o alued measu e) y ep esen aciones disc e as de la unción de Wigne . También cabe des aca la aplicación de la unción de Wigne a a iables con inuas [65], donde se p esen a un p o ocolo pa a compa i en elazamien o y codi ica la ampli ud de cuad a u a del campo elec omagné ico, o ambién el abajo de Oli e Glöckl e al. [135], donde se p esen a un p o ocolo pa a ealiza in e cambio de en elazamien o median e un haz con un pulso de al a in ensidad y, inalmen e, en un a ículo de Konio czyk e al. [159], en el que se p esen a un en oque uni icado de la ele anspo ación cuán ica en dimensiones a bi a ias basado en el o malismo de la unción de Wigne . Es e en oque nos o ece una imagen cla a de odas las manipulaciones ealizadas en el p o ocolo de ele anspo e. Además, den o del o malismo de la unción de Wigne se da cuen a de odas las impe ecciones de las manipulaciones. 2. Siguiendo la línea an e io , pa a a iables disc e as, en la e e encia [45], se nos mues a, la o ma de ep esen a el es ado y la e olución de un o denado cuán ico en el espacio de ases. Pa a ello, u ilizan ambién una e sión disc e a de la unción de Wigne , que, pa a un Na bi a io, se de ine en un espacio de ase ed de 2N×2Npun os, y calculan dicha unción de Wigne pa a los es ados que sean pe inen es pa a compu ación cuán ica. 6. INFORMACIÓN CUÁNTICA EN ÓPTICA CON LA WRHP 91 Finalmen e, discu en las p opiedades de los algo i mos cuán icos en el espacio de ase y la ep esen ación en el espacio de ase del algo i mo cuán ico de búsqueda de G o e. También podemos des aca la aplicación de la e sión disc e a de la unción de Wigne al ele anspo e, en el abajo de Juan Pablo Paz [209]. 3. La ca ac e ización de la dinámica de sis emas cuán icos es uno de los p oblemas cla e que debe so ea la compu ación cuán ica, pa a se iable. Es e p oblema consis e en iden i ica y cuan i ica los ac o es que ac úan en una dinámica cuán ica, de una mane a sis emá ica y se denomina omog a ía de p ocesos cuán icos. En a ios abajos [173,174, 172] se ha demos ado que la idea de medida puede gene aliza se, aún más, pa a inclui la de e minación expe imen al de p ocesos, y po p ocesos en endemos ans o maciones en ada-salida y mon ajes de medida. Es posible ca ac e iza comple amen e cualquie p oceso cuán ico median e una unción, U(k, α)que es un análogo cuán ico de la unción de espues a de impulsos de la óp ica clásica ˜ W(k) = Zd2αU(k, α)W(α).(6.57) Si el p oceso es una ans o mación en ada-salida, es a unción U(k, α) elaciona las dis ibuciones sob e el espacio de ase asociadas al es ado inicial y al es ado inal W(α), ˜ W(k). Si el p oceso es una medida, la unción elaciona la dis ibución sob e el espacio de ase del es ado inciden e W(α)con la es adís ica de la medida ˜ W(k). Es as unciones son ácilmen e medibles expe imen almen e, lo que nos pe mi e habla de la medida de un p oceso. En pa icula se han gene alizado las écnicas omog á icas pa a que puedan se aplicadas a la de e minación de ans omaciones en ada-salida, pa a las pue as lógicas cuán icas, po ejemplo [172]. 4. Un análisis con la unción de Wigne , de g an in e és pa a la compu ación cuán ica es la de los es ados es abilizado es, en la e e encia [98] se hace un análisis en p o undidad de es e ema. Los es ados es abilizado es juegan oles cla e en la compu ación cuán ica; cons i uyen un ecu so esencial en el modelo de compu ación cuán ica basado en la medición y en la cons ucción de códigos de co ección de e o es. El o malismo de es abilizado es ue desa ollado po Daniel Go esman, en el ma co del es udio de códigos cuán icos de co ección de e o es. La idea básica de es os códigos es p o ege la in o mación con enida en un qubi a a és de su codi icación en el es ado de un g upo de qubi s. De es a o ma, los es ados lógicos acep ables son un subespacio de dimensión 2, den o del espacio de Hilbe del g upo de qubi s, y los e o es en el cómpu o son de ec ados cuando el es ado del sis ema se escapa de es e subespacio. El o malismo de es abilizado es pe mi e ca ac e iza el subespacio de es ados lógicos como el o mado po aquellos es ados que son au oes ados con au o alo 1de un cie o conjun o de ope ado es de Pauli, que se llama el es abilizado del código. La ep esen ación de los 98 7.3. Expe imen os con PDC ipo II pa a dis ibución de cla e segu a odas las señales y en e ellas. Además la cons an e3KDT 1,DT2da cuen a de la e iciencia del p oceso de de ección. Po o a pa e, PDT 1,DR2∝ |hF(+) sF(+) qi|2+|hF(+) sF(+) ZP F 2,T i|2 +|hF(+) ZP F 1,RF(+) ZP F 2,T i|2+|hF(+) ZP F 1,RF(+) qi|2= 0.(7.5) Siguiendo el mismo p oceso, ob enemos pa a el es o de p obabilidades: PDR1,DR2=KDR1,DR2|hF(+) qF(+) pi|2,(7.6) y PDR1,DT 2=PDT 1,DR2= 0.(7.7) De las ecuaciones (7.4) a (7.7), enemos: PDR1,DR2+PDT 1,DT2+PDR1,DT2+PDT 1,DR2 =KDR1,DR2|hF(+) qF(+) pi|2+KDT 1,DT 2|hF(+) sF(+) i|2.(7.8) En el caso ideal4, KDR1,DR2|hF(+) qF(+) pi|2=KDT 1,DT 2|hF(+) sF(+) i|2=1 2,(7.9) así que PDR1,DR2+PDT 1,DT2+PDR1,DT2+PDT 1,DR2= 1.(7.10) 7.3. Expe imen os con PDC ipo II pa a dis ibución de cla e segu a La con igu ación mos ada en la igu a 7.1 no es segu a po que un espía, conocido ge- ne almen e como E a, pod ía en p incipio medi la pola ización de la luz usando un disposi i o simila al de Bob, y ol e a en ia pulsos pola izados simila es a él. Po es a azón, pa a es ablece una cla e segu a y de ec a al espía, Alicia y Bob, al aza , selecciona án di e en es 3Es a cons an e puede exp esa se a su ez de la o ma KDT 1,DT 2=KDT 1KDT 2, donde KDT i es á elacio- nada con la e iciencia del de ec o i( éase la ecuación (4.69)). 4La p obabilidad de de ección conjun a es p opo cional al cuad ado de la cons an e de acoplamien o y a la in ensidad del láse , a a és del ac o g2|V|2, al y como se mues a en la ecuación (5.19), y a la e iciencia e ec i a en el p oceso de de ección, és a úl ima p opo cional a la e iciencia (η) del de ec o . El esul ado mos ado en (7.9), en el que la p obabilidad de de ección es 0,5, es ideal en cuan o a la emisión de la pa eja de o ones, y a su de ección, y se ajus a a la desc ipción que se ealiza en el espacio de Hilbe , a a és de las exp esiones de los es ados de la base de Bell, ealizada en la sección 5.3.1. 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 99 analizado es de pola ización aplicando o aciones o cambios de ase [150,203,115]. Siguiendo el p o ocolo de Eke [112], se comunican median e un canal público las o ien aciones que se u iliza on pa a cada uno de las mediciones, pe o no los esul ados ob enidos. En el caso de medidas compa ibles, se man end ían los esul ados a in de es ablece la cla e c ip og á ica. Los esul ados co espondien es a o ien aciones no compa ibles se comunican en e ellos y se usan pa a de ec a si ha habido o no un a aque, a pa i de la medición del pa áme o de Bell [96]: S=−E(α, β) + E(α, β0) + E(α0, β) + E(α0, β0),(7.11) donde E(α, β) = PT1,T2(α, β) + PR1,R2(α, β)−PT1,R2(α, β)−RR1,T 2(α, β) PT1,T2(α, β) + PR1,R2(α, β) + PT1,R2(α, β) + PR1,T 2(α, β).(7.12) El alo de |S|que p edice la mecánica cuán ica es 2√2, pe o la p esencia de E a educe el alo obse ado de dicho pa áme o, al que |SE a| ≤ √2. Si se de ec a la p esencia de E a, se abo a el p o ocolo de dis ibución de cla e (se desca an los esul ados an e io men e gua dados). Vamos a es udia dos expe imen os de c ip og a ía cuán ica que usan pa es de o ones en elazados en pola ización: en el p ime o e emos la codi icación en pola ización y en el segundo la codi icación en ase. A pesa de que es os expe imen os son simila es a an e io es p uebas de las desigualdades de Bell, mos a emos en de alle los cálculos co espondien es a la codi icación en pola ización, con obje o de acla a la elación en e la dis ibución cuán ica de cla es (segu a) y el o malismo de Wigne pa a el PDC. El campo eléc ico en los de ec o es se ob end á a pa i de la p opagación, a a és de di e en es elemen os óp icos, de las ampli udes co espondien es a la salida del c is al. Pa a simpli ica nues os cálculos conside a emos que la dis ancia que sepa a la uen e de los elemen os óp icos, y és os de los de ec o es, es idén ica pa a Alicia y Bob, de al mane a que la con ibución al cambio de ase en la ecuación (5.14) no se end á en cuen a en los cálculos de las p obabilidades5. 7.3.1. Codi icación en pola ización En nues o p ime disposi i o expe imen al si ua emos o ado es de pola ización en e a los PBS [150]. Los haces que salen del c is al se co esponden con el es ado single e |ψ−i, que en nues o o malismo se co esponde con las ecuaciones: F(+) 1( , ) = F(+) s( , )i+F(+) p( , )j, F(+) 2( , ) = F(+) q( , )i0−F(+) ( , )j0.(7.13) El disposi i o pa a la dis ibución segu a de cla e cuán ica se mues a en la igu a 7.2. Dos o ado es de pola ización, PR1 y PR2, se disponen en e a los PBS con obje o de o a el 5Es as di e encias de camino óp ico son ele an es en expe imen os que u ilizan, po ejemplo, en elazamien o iempo-ene gía [248]. 100 7.3. Expe imen os con PDC ipo II pa a dis ibución de cla e segu a plano del pola ización de la ampli ud del campo eléc ico. El o ado de pola ización P R1 o a 1 2 PR1 PR2 CRISTAL NO LINEAL ZPF ZPF ZPF1 ZPF2 PBS2 DT1 DR1 DR2 DT2 LASER PBS1 α β Figu a 7.2: Disposi i o pa a la dis ibución segu a cuán ica de cla e, u ilizando la pola ización del campo eléc ico. Dos o ado es de pola ización, PR1 y PR2, se usan pa a gi a el plano de pola ización de la ampli ud del campo eléc ico. el plano de pola ización de F(+) 1un ángulo α. Las componen es del campo de ás de P R1, se calculan a a és de la exp esión mos ada en el apa ado 6.3.4: F0(+) 1( 1, 1) = cosα−senα senαcosα! F(+) s( 1, 1) F(+) p( 1, 1)!= = F(+) s( 1, 1)cosα−F(+) p( 1, 1)senα F(+) s( 1, 1)senα+F(+) p( 1, 1)cosα!.(7.14) De mane a simila , el cálculo pa a F0(+) 2( 2, 2)da F0(+) 2( 2, 2) = F(+) q( 2, 2)cosβ+F(+) ( 2, 2)senβ F(+) q( 2, 2)senβ−F(+) ( 2, 2)cosβ!.(7.15) La p opiedad undamen al de la mecánica cuán ica, que puede se usado pa a us a escu- chas du an e el in e cambio de una cla e c ip og á ica, se basa en el p incipio de ince idumb e de Heisenbe g: si las o ien aciones u ilizadas po Alicia y Bob son compa ibles (los co espon- dien es ope ado es conmu an en el espacio de Hilbe ), en onces la mecánica cuán ica p edice una an ico elación pe ec a en e los esul ados. Sin emba go, es e no se á el caso cuando las o ien aciones no son compa ibles (los co espondien es ope ado es no conmu an). En la ep esen ación de Wigne , es os esul ados es án elacionados di ec amen e con la ans o ma- ción en las p opiedades de co elación de los haces de luz cuando a a iesan los o ado es de pola ización. Pa a explica es e pun o amos a calcula las di e en es co elaciones en e las componen es de F0(+) 1( 1, 1)yF0(+) 2( 2, 2). Po simplicidad, amos a desca a la dependencia con la posición y el iempo, lo que conseguimos haciendo 1= 2y posiciones ca ac e izadas 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 101 po un camino óp ico idén ico desde el c is al. Tenemos: h(F0(+) 1·i)(F0(+) 2·i0)i=hF(+) sF(+) isen(β−α),(7.16) h(F0(+) 1·i)(F0(+) 2·j0)i=−hF(+) sF(+) icos(β−α),(7.17) h(F0(+) 1·j)(F0(+) 2·i0)i=hF(+) sF(+) icos(β−α),(7.18) h(F0(+) 1·j)(F0(+) 2·j0)i=hF(+) sF(+) isen(β−α).(7.19) Nó ese que, pa a α=β, las p opiedades de co elación son idén icas a las co espondien es a la salida del c is al. Es e esul ado concue da con que el es ado single e |ψ−i iene in a iancia o acional [126], p opiedad que es undamen al en el a gumen o EPR. Sin emba go, en el caso β−α= 45◦, odas las co elaciones ienen el mismo módulo. Como e emos más adelan e, es o implica que las cua o p obabilidades de de ección conjun a ienen el mismo alo . Conside ando la adiación de pun o ce o que en a en el segundo canal del PBS1, las ampli udes en los de ec o es DT1 y DR1 son: F(+) DT 1( 1, 1) = [F(+) s( 1, 1)senα+F(+) p( 1, 1)cosα]j+F(+) ZP F 1,R( 1, 1),(7.20) F(+) DR1( 0 1, 0 1) = i[F(+) s( 0 1, 0 1)cosα−F(+) p( 0 1, 0 1)senα]i+F(+) ZP F 1,T ( 0 1, 0 1),(7.21) donde F(+) ZP F 1,R (F(+) ZP F 1,T ) es la pa e de F(+) ZP F 1que es e lejada ( ansmi ida) en el PBS1. De la misma mane a, las ampli udes del campo eléc ico en los de ec o es de Bob son: F(+) DT 2( 2, 2) = [F(+) q( 2, 2)senβ−F(+) ( 2, 2)cosβ]j0+F(+) ZP F 2,R( 2, 2),(7.22) F(+) DR2( 0 2, 0 2) = i[F(+) q( 0 2, 0 2)cosβ+F(+) ( 0 2, 0 2)senβ]i0+F(+) ZP F 2,T ( 0 2, 0 2).(7.23) Con obje o de calcula las p obabilidades de de ección PT1,T 2,PT1,R2,PR1,R2yPR1,T 2, usa emos la ecuación (4.69) y las exp esiones (7.20), (7.21), (7.22) y (7.23). Tenemos: PDT 1,DT 2=KDT 1,DT2Pλ,λ0hF(+) DT 1,λF(+) DT 2,λ0i 2 =KDT 1,DT 2hF(+) pF(+) qisen βcos α−hF(+) sF(+) icos βsen α 2=1 2sen2(β−α), (7.24) donde hemos enido en cuen a que el pun o ce o que en a po los canales acíos de los PBS 102 7.3. Expe imen os con PDC ipo II pa a dis ibución de cla e segu a es á desco elacionado con cualquie o a ampli ud, y que en la si uación ideal se e i ican las elaciones siguien es: KDT 1,DT 2hF(+) pF(+) qi 2=KDT 1,DT 2hF(+) F(+) si 2=1 2.(7.25) Siguiendo el mismo p ocedimien o pa a el cálculo del es o de p obabilidades, ob enemos las elaciones siguien es: PT1,T2=PR1,R2= sen2(β−α) ; PT1,R2=PR1,T 2= cos2(β−α).(7.26) Nó ese que, pa a β−α= 45◦las p obabilidades conjun as son PT1,T 2=PR1,R2=PT1,R2= PR1,T2= 1/4, según (7.26). Po an o, si ealizamos la suma de las cua o p obabilidades, ecupe amos el esul ado dado po (7.10), pa a cualquie alo que omen αyβ. 7.3.2. Codi icación en ase El disposi i o expe imen al se mues a en la igu a 7.3. Las co elaciones de los haces que salen del c is al en el o malismo de Wigne ienen dadas po (7.1) (que se co esponde con el es ado |φ+i). Cada analizado es á o mado po un e a dado de onda y una lámina de media onda en e a los PBS [203]. 1 2 PLATO MEDIA ONDA PLATO MEDIA ONDA RETARDADOR DE ONDA α CRISTAL NO LINEAL ZPF ZPF ZPF1 ZPF2 PBS2 DT1 DR1 DR2 DT2 LASER PBS1 RETARDADOR DE ONDA β ALICIA BOB Figu a 7.3: Disposi i o pa a codi ica en ase median e o ones en elazados, donde igu an los e a - dado es de onda y los pla os de media onda en los haces an es de los PBS espec i os. El campo F0(+) 10( , )de ás del e a dado de onda (el cual in oduce un cambio de ase α en e las componen es e ical y ho izon al de campo), es: F0(+) 10( , ) = −F(+) p( , )i+ eiαF(+) s( , )j.(7.27) Con obje o de ajus a nos a los cálculos desa ollados en [85], sus i ui emos la acción de la lámina de media onda (con eje óp ico 22,5◦) po una o ación del plano de pola ización de F0(+) 10un ángulo de 45◦al ededo de su di ección de p opagación, lo que no al e a los esul ados 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 103 undamen ales del abajo. La co espondien e ampli ud, F0(+) 100 es: F0(+) 100 ( , ) = −√2 2[F(+) p( , )+eiαF(+) s( , )] i+√2 2[−F(+) p( , )+eiαF(+) s( , )] j.(7.28) Finalmen e, el PBS sepa a las componen es e ical y ho izon al del campo. Teniendo en cuen a la adiación de pun o ce o que en a po el o o canal del PBS1, y que es á desco ela- cionado con F0(+) 100 , las ampli udes en los de ec o es DT1 y DR1 son: F(+) DT 1( 1, 1) = √2 2[−F(+) p( 1, 1)+eiαF(+) s( 1, 1)] j+F(+) ZP F 1,R( 1, 1),(7.29) F(+) DR1( 0 1, 0 1) = −i√2 2[F(+) p( 0 1, 0 1)+eiαF(+) s( 0 1, 0 1)] i+F(+) ZP F 1,T ( 0 1, 0 1),(7.30) donde F(+) ZP F 1,R (F(+) ZP F 1,T ) es la pa e de F(+) ZP F 1que es e lejada ( ansmi ida) en el PBS1. De o ma simila , pa a las ampli udes de los campos en los de ec o es DT2 y DR2 si uados en el lado de Bob, enemos: F(+) DT 2( 2, 2) = √2 2[F(+) q( 2, 2)−eiβF(+) ( 2, 2)] j0+F(+) ZP F 2,R( 2, 2),(7.31) F(+) DR2( 0 2, 0 2) = i√2 2[F(+) q( 0 2, 0 2)+eiβF(+) ( 0 2, 0 2)] i0+F(+) ZP F 2,T ( 0 2, 0 2).(7.32) Pa a calcula las p obabilidades conjun as PT1,T 2,PT1,R2,PR1,R2yPR1,T 2u iliza emos las exp esiones (7.29) a (7.32), y la ecuación (4.69). Después de unos cálculos análogos a los del apa ado an e io , ob enemos: PT1,R2=PR1,T 2∝1−cos(α+β),(7.33) PT1,T2=PR1,R2∝1 + cos(α+β),(7.34) donde la cons an e de p opo cionalidad, en el caso ideal, es igual a 1/4. 7.4. El espionaje en el o malismo de Wigne En es e apa ado amos a analiza , en la ep esen ación de Wigne , la pe u bación que p o oca un espía en la dis ibución de cla e cuán ica. Como consecuencia de uno de los p inci- pios de la Mecánica Cuán ica, la medición implica el colapso del ec o de es ado del sis ema, lo que pe mi e que la c ip og a ía cuán ica sea segu a. En es e apa ado amos a analiza el espionaje basado en una medida ue emen e il an e de la pola ización. El o malismo de Wigne da un en oque in e esan e, ya que nos pe mi e e que la acción del espía conduce a 104 7.4. El espionaje en el o malismo de Wigne la pé dida de co elación. Vamos a examina la si uación co espondien e al expe imen o desc i o en la sección an- e io . Simula emos el e ec o del espía (E a) colocando un pola izado elíp ico en la ubicación de Bob, donde θes el ángulo en e el eje p incipal de la elipse y la di ección ho izon al, y δes la excen icidad. La adiación de pun o ce o co espondien e al pola izado se mues a en la igu a 7.4. Las ampli udes del campo eléc ico en la zona de Alicia ienen dadas po (7.29) y 2 1 LASER PBS2 RETARDADOR DE ONDA β PLATO MEDIA ONDA PLATO MEDIA ONDA RETARDADOR DE ONDA α CRISTAL NO LINEAL ZPF ZPF ZPF1 ZPF2 DT1 DR1 DR2 DT2 ALICIA BOB EVA ZPF Figu a 7.4: El espía se simula median e un pola izado elíp ico que modi ica el campo en la zona de Bob. El campo de pun o ce o en el pola izado es necesa io en la ep esen ación de Wigne , pa a la desc ipción del a aque de E a. (7.30), mien as que la ampli ud en la zona de Bob se modi ica po la acción del pola izado elíp ico, mos ada en el apa ado 6.3.6: F(+) 20( , ) = cos2θcosθsenθe−iδ cosθsenθe+iδ sen2θ! F(+) q( , ) −F(+) ( , )!+F(+) ZP F (E a)( , ) = [cosθeiδF(+) q( , )−senθF (+) ( , )](cosθe−iδi0+ senθj0) + F(+) ZP F (E a)( , ),(7.35) donde F(+) ZP F (E a)( , )es la pa e e lejada del pun o ce o, que en a po el segundo canal del pola izado , y que es á elacionada con la conse ación de los conmu ado es de los ope ado es de las ampli udes del campo eléc ico en el o malismo del espacio de Hilbe . La acción de E a causa una modi icación de las p opiedades de co elación de los campos que puede se de ec ada median e la medida del pa áme o de Bell, S. Pa a ilus a es e pun o en el o malismo de Wigne , calcula emos el cuad ado del módulo de las co elaciones en e di e en es componen es de los campos co espondien es a (7.1) (sin modi ica el haz 1 de la igu a 7.4), y (7.35) (modi icando el haz 2). Es as can idades son p opo cionales a las p obabilidades de de ección eniendo en cuen a una modi icación del disposi i o de la igu a 7.2, que se ha hecho eniendo en cuen a la acción de E a en el lado de Bob. Conside ando 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 105 aho a que el campo F(+) ZP F (E a)es á desco elacionado con F0(+) 1, ob enemos |h(F0(+) 1·i)(F(+) 20·i0)i|2=|hF(+) sF(+) i|2cos4θ, (7.36) |h(F0(+) 1·i)(F(+) 20·j0)i|2=|h(F0(+) 1·j)(F(+) 20·i0)i|2=|hF(+) sF(+) i|2cos2θsen2θ, (7.37) |h(F0(+) 1·j)(F(+) 20·j0)i|2=|hF(+) sF(+) i|2sen4θ. (7.38) Independien emen e de la elección de θyδ, la suma de las cua o p obabilidades, en el caso ideal, debe se igual a 0,5. Es e esul ado es jus o la mi ad del co espondien e a (7.10), y e leja el hecho de que la acción de E a da luga a la pé dida de co elación. En el o malismo de la unción de Wigne , la co elación se pie de a a és de la p oyección de la ampli ud del campo eléc ico en el lado de Bob, sob e la di ección ca ac e ís ica del pola izado . Es a desc ipción con as a con la que u iliza la del o malismo del espacio de Hilbe , donde la medida p oyec i a cambia el ec o de es ado del campo elec omagné ico. Hemos de esal a que la acción de E a, a a és de la conside ación de la en ada de pun o ce o que en a po el segundo canal del pola izado , in oduce un uido undamen al en lo que espec a a la de ección del espía. El campo F(+) 200 ( , )de ás del e a dado de onda (el cual in oduce un cambio de ase β en e las componen es e ical y ho izon al), es: F(+) 200 ( , ) = {[cosθeiδF(+) q( , )−senθF (+) ( , )]cosθe−iδ + [F(+) ZP F (E a)( , )·i0]}i0 +eiβ{[cosθeiδF(+) q( , )−senθF (+) ( , )]senθ+ [F(+) ZP F (E a)( , )·j0]}j0.(7.39) Aho a, examinamos la acción de la lámina de media onda, que da los siguien es esul ados pa a la ampli ud del campo F(+) 2000 ( , ): F(+) 2000 ( , ) = √2 2h[cosθeiδF(+) q( , )−senθF (+) ( , )](cosθe−iδ −senθeiβ) +F(+) ZP F (E a)( , )·i0−eiβ[F(+) ZP F (E a)( , )·j0]ii0 +√2 2h[cosθeiδF(+) q( , )−senθF (+) ( , )](cosθe−iδ + senθeiβ) +F(+) ZP F (E a)( , )·i0+ eiβ[F(+) ZP F (E a)( , )·j0]ij0.(7.40) Finalmen e, las componen es son sepa adas en el di iso de pola ización, de al mane a 106 7.4. El espionaje en el o malismo de Wigne que las ampli udes de los campos en los de ec o es DT2 y DR2 son: F(+) DT 2( 2, 2) = √2 2h[cosθeiδF(+) q( 2, 2)−senθF (+) ( 2, 2)](cosθe−iδ + senθeiβ) +F(+) ZP F (E a)( 2, 2)·i0+ eiβ[F(+) ZP F (E a)( 2, 2)·j0]ij0+F(+) ZP F 2,R( 2, 2),(7.41) F(+) DR2( 02, 0 2) = i√2 2h[cosθeiδF(+) q( 02, 0 2)−senθF (+) ( 02, 0 2)](cosθe−iδ −senθeiβ) +F(+) ZP F (E a)( 02, 0 2)·i0−eiβ[F(+) ZP F (E a)( 02, 0 2)·j0]ii0+F(+) ZP F 2,T ( 02, 0 2),(7.42) donde F(+) ZP F 2,T (F(+) ZP F 2,R) es la pa e del campo pun o ce o F(+) ZP F 2que es ansmi ida ( e le- jada) en el PBS2. Aho a, pa a calcula las p obabilidades conjun as, PT1,T 2,PT1,R2,PR1,R2y PR1,T2sus i uimos las exp esiones (7.29), (7.30), (7.41) y (7.42) en la ecuación (4.69). Teniendo en cuen a que las en adas de pun o ce o, F(+) ZP F (E a),F(+) ZP F 1yF(+) ZP F 2es ás desco elaciona- das en e ellas y con cualquie a de las señales que in e ienen en el expe imen o, después de algunos cálculos sencillos se ob iene: PXY (θ, δ) = C[1 ±cos(α−δ)sen2θ][1 ±cos(β+δ)sen2θ],(7.43) siendo Cuna cons an e. Po o a pa e X≡T1oR1yY≡T2oR2, y el signo “ + ” (“−”) apa ece en la asmisión, “T”( e lexión, “R”). Pa a una de ección pe ec a, el alo de Ces 1/8. Podemos calcula el pa áme o de Bell (7.11) pa a α= 45◦,β= 0,α0= 135◦yβ0= 90◦. Usando (7.43) ob enemos, E(α, β) = sen2(2θ)cos(α−δ)cos(β+δ),(7.44) y |S(θ, δ)|=√2 sen2(2θ).(7.45) Po úl imo, amos a conside a los siguien es dos casos especiales, que han sido es udiados [203]: Caso I (δ= 0), co espondien e al uso de un pola izado lineal. De las exp esiones (7.12) y (7.45) ob enemos PXY (θ) = C(1 ±cosαsen2θ)(1 ±cosβsen2θ); |S|=√2 sen2(2θ).(7.46) Caso II (θ= 45◦), enemos PXY (δ) = C[1 ±cos(α−δ)][1 ±cos(β+δ)] ; |S|=√2.(7.47) 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 107 7.5. Es ados GHZ en la Rep esen ación de Wigne En el año 1989, G eenbe ge , Ho ne y Zeilinge [139] encon a on que los es ados en e- lazados, de al menos es sis emas cuán icos, pueden p esen a con adicciones con modelos ealis as locales mucho más acusadas que las encon adas pa a dos pa ículas en iolaciones de las desigualdades de Bell. Na u almen e, se a ó de cons ui ales es ados e in es iga sus p opiedades, pe o como no hay uen es na u ales e icien es y con olables, pa a es ados de es o más o ones, los in es igado es u ie on que ecu i a écnicas que pe mi ie an cons ui es ados en elazados, en espacios de Hilbe de dimensión mayo , median e la manipulación del en elazamien o en e dos pa ículas (es ados de Bell). En 1999, Bouwmees e e al. [62] in o mó de la p ime a obse ación del en elazamien o de es pa ículas. El equipo empleó dos pa ejas de o ones p oducidos en la con e sión pa amé- ica a la baja gene ados median e un láse UV no colineal, pos e io men e se ecombinan los pa es en elazados combinándolos a a és de di iso es de haz a un es ado condicional de es pa ículas en elazadas. En es e sen ido, los es ados GHZ consis en en un en elazamien o de es o ones. El esquema de la igu a 7.5 mues a la con igu ación u ilizada po Bouwmees e e al. [62]. Pa a p oduci es o ones GHZ co elacionados, se gene an al mismo iempo dos pa es de o ones independien es y, de cada pa , se en ía un o ón a la de echa y o o a la izquie da. Pos e io men e, po la acción del PBS de la izquie da, sólo o ones pola izados ho izon almen- e pueden alcanza el de ec o de dispa o, DT. Pa a egis a coincidencias simul áneas en e es de ecciones de D1,D2yD3, el o o o ón debe se e lejado po el PBS, es deci , debe se de pola ización e ical. Es e o ón es pos e io men e o ado 45◦, median e una lámina de media onda, pudiendo se de ec ado e icalmen e en el de ec o D1, u ho izon almen e en el de ec o D2. Las dos únicas o mas posibles en que un e en o de iple coincidencia su ge en los de ec o es D1,D2yD3, ocu e cuando los dos o ones de la de echa son sepa ados en el di iso de haz y cuando los dos o ones que se han de ec ado en la pa e supe io del P BS ienen la misma pola ización - ambos ho izon al o ambos e ical. En el espacio de Hilbe , el es ado de los cua o o ones se puede exp esa de la o ma: |Ψi123T=|HTi⊗|ΨiGHZ ;|ΨiGHZ =1 √2(|Hi1|Hi2|Vi3+|Vi1|Vi2|Hi3).(7.48) Con los abajos pione os de G eenbe ge e al. [206], se hizo e iden e que los es ados en e- lazados de es o más pa ículas son muy impo an es pa a p uebas undamen ales de la eo ía cuán ica. Po o a pa e, aplicaciones en la comunicación cuán ica como el sec e o cuán ico compa ido (QSS)6 eque i ía de múl iples pa ículas en elazadas, aunque se ha demos ado 6La compa ición de sec e o cuán ico es una gene alización de la dis ibución cuán ica de cla es a más de dos pa ículas. En es a nue a aplicación de la comunicación cuán ica un emiso no malmen e llamada Alicia, dis ibuye una cla e sec e a en e dos pa es Bob y Ca los, de mane a que ninguno de ellos, po sepa ado iene in o mación sob e la cla e, pe o jun os ienen la in o mación comple a. Si un espía in en a accede a la in o mación se p oduci ía un e o en la ansmisión de da os y se e ela ía su p esencia. La mo i ación del 114 7.6. Expe imen os con PDC ipo I: en elazamien o iempo-ene gía en la WRHP Las exp esiones (7.64) y (7.65) cons i uyen la ep esen ación, en el o malismo WRHP, del es ado p oduc o |Ψi=1 2[|a1i+|b1i]⊗[|a2i+|b2i] = 1 2[|a1i|a2i+|a1i|b2i+|b1i|a2i+|b1i|b2i].(7.66) Como se puede obse a , las en adas de pun o ce o en los BS son c uciales en la ge- ne ación de es e es ado, pues apo an el elemen o de indis inguibilidad en los caminos de los o ones en los in e e óme os. Es deci , es es e pun o ce o el esponsable de que exis an cua o “ampli udes de p obabilidad”que, al supe pone se, den los esul ados que desc ibe el es ado (7.66). Como las dis ancias en e el c is al y los BS de en ada al Mach-Zehnde , y las que hay de los BS de la salida a los de ec o es son idén icas, no con ibuyen al cálculo, po lo que, po simplicidad las igno amos. Con obje o de es ablece el p o ocolo de codi icación en ase, se in oducen unos des asado es en los caminos la gos de los in e e óme os, que p oduci án los des ases Φ1yΦ2. Las ampli udes en los de ec o es son 11 : F(+) a0 1( a1, ) = 1 2{eiw1b1 c+Φ1hiF(+) (0, −b1 c) + F(+) ZP F 1(0, −b1 c)i +ieiw1a1 chF(+) (0, −a1 c) + iF(+) ZP F 1(0, −a1 c)i},(7.67) F(+) b0 1( b1, ) = 1 2{ieiw1b1 c+Φ1hiF(+) (0, −b1 c) + F(+) ZP F 1(0, −b1 c)i +eiw1a1 chF(+) (0, −a1 c) + iF(+) ZP F 1(0, −a1 c)i},(7.68) F(+) a0 2( a2, 0) = 1 2{eiw2b2 c+Φ2hiF(+) s(0, 0−b2 c) + F(+) ZP F 2(0, 0−b2 c)i +ieiw2a2 chF(+) s(0, 0−a2 c) + iF(+) ZP F 2(0, 0−a2 c)i},(7.69) F(+) b0 2( b2, 0) = 1 2{ieiw2b2 c+Φ2hiF(+) s(0, 0−b2 c) + F(+) ZP F 2(0, 0−b2 c)i +eiw2a2 chF(+) s(0, 0−a2 c) + iF(+) ZP F 2(0, 0−a2 c)i},(7.70) donde =0se ha omado como el cen o del c is al, al desp ecia la p opagación hacia los in e e óme os po el idén ico cambio de ase. Las exp esiones an e io es mues an el alo de las ampli udes del campo eléc ico en los de ec o es. Nó ese que in e ienen las en adas de pun o ce o en el c is al en cua o ins an es dis in os, −b1/c, −a1/c, 0−a2/c y 0−b2/c, las cuales es án con enidas en las ampli udes F(+) yF(+) s, pe o ambién hay que ene en cuen a las en adas de pun o ce o en los BS de los in e e óme os, cada una en dos ins an es dis in os. La p edicción pa a la p obabilidad de de ección conjun a en los de ec o es Da01yDa02; 11Las ecuaciones (7.67) y (7.68) (o las co espondien es al haz 2, (7.69) y (7.70)), cons i uyen la desc ipción en el o malismo WRHP del qubi bin de inido en la ecuación (2.4). Nó ese que en es e caso el ZPF in e iene a a és de la en ada del p ime BS, pe o en la exp esión del campo eléc ico apa ece la co espondien e ampli ud del ZPF en dos ins an es dis in os. Es o gua da elación con la supe posición ep esen ada en la ecuación (2.4). 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 115 Db01yDb02;Db01yDa02; y Da01yDb02, se basa en la exp esión (4.68). Tenemos: P12( 1, 2) = η1η2 ~ω1ω2R +T1 d R 0+T2 0d 0F(+)( 1, )F(+)( 2, 0) 2.(7.71) Teniendo en cuen a que el pun o ce o que en a en los BS es á desco elacionado con cualquie o a señal, e imponiendo la condición de que ∆Li=|bi−ai|>> cτ, donde τes el iempo de cohe encia del láse , las con ibuciones de los p ocesos co o-la go y la go-co o son nulas as ealiza la in eg ación en la en ana, al y como se explica en la e e encia [76]. T as unos cálculos sencillos, el esul ado inal es12: PDa0 1,Da0 2 KDa0 1KDa0 2 =PDb0 1,Db0 2 KDb0 1KDb0 2 =g2|V|2 8[1 + cos(Φ1+ Φ2+θ)],(7.72) PDa0 1,Db0 2 KDa0 1KDb0 2 =PDb0 1,Da0 2 KDb0 1KDa0 2 =g2|V|2 8[1 −cos(Φ1+ Φ2+θ)],(7.73) siendo θ=ω(b1−a1) c+ω(b2−a2) c.(7.74) Nó ese que la suma de las p obabilidades es igual a 1/2, dado que los casos la go-co o y co o-la go co esponden a la mi ad de odas las de ecciones dobles. Si se hace un ajus e en los in e e óme os al que, θ= 2πn (n= 0,1,2,3...), se puede implemen a un p o ocolo de dis ibución de cla e. Asociando el bi 0(1) a los pue os de salida del segundo di iso de cada in e e óme o, donde se ha p oducido una ansmisión ( e lexión), las p obabilidades de que Alicia y Bob ob engan cuen as co elacionadas, es deci que, Alicia y Bob ob engan el mismo bi 0ó1, son: Pco =PDa01,Da02 KDa01KDa02 +PDb01,Db02 KDb01KDb02 =1 4[1 + cos(Φ1+ Φ2)] ,(7.75) y la p obabilidad de que Alicia y Bob ob engan dis in os bi s: Pan i =PDa01,Db02 KDa01KDb02 +PDb01,Da02 KDb01KDa02 =1 4[1 −cos(Φ1+ Φ2)] ,(7.76) donde las ases de Alicia y de Bob pueden es ablece se independien emen e, en cada uno de los in e e óme os. Se e que, si la suma de las ases es igual es 0,Pco = 1/2yPan i = 0. De es e modo, se pueden elegi las ases de o ma que se dé una de las dos si uaciones an e io es, 12La pos -selección ealizada en el p oceso de de ección, con obje o de desca a los p ocesos la go-co o y co o-la go, no implica que pueda a i ma se que el es ado del campo elec omagné ico as los BS de en ada de los in e e óme os, ep esen e un es ado en elazado. De hecho la ecuación (7.66) ep esen a un es ado ac o izable. Es e aspec o del expe imen o de F anson, es deci , la con o e sia en e en elazamien o y pos - selección, ha sido c i icado desde hace bas an es años [216]. En las conclusiones del capí ulo (sección 7.7), mos amos un a gumen o en con a de la pos -selección basado en el e ec o del ZPF de los BS a la en ada de los in e e óme os. 116 7.6. Expe imen os con PDC ipo I: en elazamien o iempo-ene gía en la WRHP de mane a que Alicia y Bob pueden gene a una cla e. Si se quie e que el sis ema de dis ibución de cla e sea segu o con a a aques, se debe de aplica una segunda base de medición. Es o se puede consegui , po ejemplo, al añadi un segundo in e e óme o, median e un disposi i o como el que emos en la igu a 7.7 [215]. ФB ФA 2π/λB.ΔLB 2π/λA.ΔLA 2π/λA.ΔLA+π/2 2π/λB.ΔLB-π/2 2 1 Láse ZPF DA BBO BSA ZPF2 ZPFB1 ZPFA2 ZPFA1 ZPF1 BSB DB DD DC DE DF DH DG ZPFB2 BS Alicia Bob ZPF Base 1 Base 2 Base 1 Base 2 Figu a 7.7: Codi icación en ase segu a, con las nue as bases y los des ases co espondien es en cada in e e óme o. La adiación de pun o ce o que en a en los di iso es BSA yBSB iene el papel de gene ado alea o io na u al, básico en la segu idad del sis ema de dis ibución cuán ica de cla e. Los dos BS pe mi en di idi cada haz co elacionado, p oducido en el con e so , pa a se en iados a su co espondien e pa eja de in e e óme os. Ello posibili a el uso de una nue a base de medida en la desc ipción ealizada en el espacio de Hilbe , y cumplen la unción de gene ado alea o io. Desde el pun o de is a de nues o o malismo, el canal lib e que igu a en es os elemen os, pe mi e que el pun o ce o ac úe como un campo es ocás ico, in e i iendo con las señales de en ada pa a cons i ui un gene ado alea o io na u al que pe mi e da segu idad al sis ema mencionado. Es a es la in e p e ación con la WRHP en un lenguaje pu amen e 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 117 ondula o io, de la a i mación: “cada o ón elige alea o iamen e a qué in e e óme o a”. Como puede e se en la igu a 7.7, las ases co espondien es al segundo conjun o de in e - e óme os deben ajus a se de mane a que en el caso de que los o ones ayan a in e e óme os que no es én asociados es deci , que se p oduzca e lexión ( ansmisión) en BSA y ansmisión ( e lexión) en BSB, los esul ados es én comple amen e desco elacionados [129]. Así, la ase en el in e e óme o co espondien e a la base 2en la zona de Alicia (Bob) se oma igual a π/2(−π/2), mien as que en los in e e óme os co espondien es a la base 1se oman ases φA(Alicia) y φB(Bob). 2π/λA.ΔLA ФA 2 1 BSA ZPFA2 BS1 BS1´ )()( 1   FF ZPF1 DD ZPFA1 DC a2 b2 BS2 BS2´ DB DA a1 b1 Alicia 2π/λA.ΔLA+π/2 Figu a 7.8: En adas pun o ce o en los BS de la es ación de Alicia. Las ampli udes en los de ec o es se ob ienen de o ma simila a las ecuaciones (7.67) a (7.70). Tenemos: F(+) A( A, ) = 1 2√2nieiw1b1 c+ΦAhiF(+) (0, −b1 c)−F(+) ZP F 1(0, −b1 c) + F(+) ZP F A1(0, −b1 c)i +eiw1a1 chF(+) (0, −a1 c) + iF(+) ZP F 1(0, −a1 c) + iF(+) ZP F A1(0, −a1 c)io, (7.77) F(+) B( B, ) = 1 2√2neiw1b1 c+ΦAhiF(+) (0, −b1 c)−F(+) ZP F 1(0, −b1 c) + F(+) ZP F A1(0, −b1 c)i +ieiw1a1 chF(+) (0, −a1 c) + iF(+) ZP F 1(0, −a1 c) + iF(+) ZP F A1(0, −a1 c)io, (7.78) F(+) C( C, ) = 1 2√2nieiw2b2 c+π 2h−F(+) (0, −b2 c) + iF(+) ZP F 1(0, −b2 c) + F(+) ZP F A2(0, −b2 c)i +eiw2a2 chiF(+) (0, −a2 c) + F(+) ZP F 1(0, −a2 c) + iF(+) ZP F A2(0, −a2 c)io, (7.79) 118 7.6. Expe imen os con PDC ipo I: en elazamien o iempo-ene gía en la WRHP F(+) D( D, ) = 1 2√2neiw2b2 c+π 2h−F(+) (0, −b2 c) + iF(+) ZP F 1(0, −b2 c) + F(+) ZP F A2(0, −b2 c)i +ieiw2a2 chiF(+) (0, −a2 c) + F(+) ZP F 1(0, −a2 c) + iF(+) ZP F A2(0, −a2 c)io, (7.80) F(+) E( E, 0) = 1 2√2nieiw3b3 c−π 2h−F(+) s(0, 0−b3 c) + iF0(+) ZP F 2(0, 0−b3 c) + F(+) ZP F B1(0, 0−b3 c)i +eiw3a3 chiF(+) s(0, 0−a3 c) + F(+) ZP F 2(0, 0−a3 c) + iF(+) ZP F B1(0, 0−a3 c)io, (7.81) F(+) F( F, 0) = 1 2√2neiw3b3 c−π 2h−F(+) s(0, 0−b3 c) + iF(+) ZP F 2(0, −b3 c) + F(+) ZP F B1(0, 0−b3 c)i +ieiw3a3 chiF(+) s(0, 0−a3 c) + F(+) ZP F 2(0, 0−a3 c) + iF(+) ZP F B1(0, 0−a3 c)io, (7.82) F(+) G( G, 0) = 1 2√2neiw4b4 c+ΦBhiF(+) (0, 0−b4 c)−F0(+) ZP F 2(0, 0−b4 c) + iF(+) ZP F B2(0, −b4 c)i +ieiw4a4 chF(+) s(0, 0−a4 c) + iF(+) ZP F 2(0, 0−a4 c) + iF(+) ZP F B2(0, 0−a4 c)io, (7.83) F(+) H( H, 0) = 1 2√2nieiw4b4 c+ΦBhiF(+) s(0, 0−b4 c)−F(+) ZP F 2(0, −b4 c) + F(+) ZP F B2(0, 0−b4 c)i +eiw4a4 chF(+) s(0, 0−a4 c) + iF(+) ZP F 2(0, 0−a4 c) + iF(+) ZP F B2(0, 0−a4 c)io. (7.84) Aplicando la exp esión (7.71), y ealizando las mismas conside aciones que en el apa ado an e io pa a desca a los p ocesos la go-co o y co o-la go, se ob iene Pco =Pan i = 1/32 en los 8casos en que las de ecciones se p oduzcan en in e e óme os no asociados (dis in a base), lo que da luga a una p obabilidad o al igual a 1/4. En el es o de los casos, en los que las de ecciones se p oducen en in e e óme os asociados, enemos: Pco =PDA,DH KDAKDH +PDB,DG KDBKDG +PDD,DE KDDKDE +PDC,DF KDCKDF =1 8[1 + cos(ΦA+ ΦB)],(7.85) Pan i =PDA,DG KDAKDG +PDB,DH KDBKDH +PDD,DF KDDKDF +PDC,DE KDCKDE =1 8[1 −cos(ΦA+ ΦB)].(7.86) Como hemos podido e la c ip og a ía segu a con ipo I, median e codi icación en ase, es posible g acias a: 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 119 1. Las en adas de ZPF en BSA yBSB, que jus i ican la gene ación de un sis ema de “elección”de bases, necesa io en el p o ocolo BB84, in ínsecamen e alea o io g acias a la adiación de pun o ce o. 2. Los des asado es colocados en los in e e óme os ac úan di ec amen e sob e las ases de las ampli udes del ZPF que in e ienen en el campo eléc ico. Median e una elección adecuada del cambio de ase en los in e e óme os co espondien es a la base 2de Alicia y Bob, los esul ados conce nien es a de ecciones dobles (en el caso en que los in e - e óme os no es án asociados) es án comple amen e desco elacionados, lo que ga an iza la segu idad del p o ocolo. 7.7. Conclusiones En es e capí ulo hemos es udiado a ios expe imen os de c ip og a ía cuán ica con o ones gene ados en el p oceso PDC bajo el ángulo de la unción de Wigne y la adiación de pun o ce o, la cual su ge de o ma na u al en es e o malismo. Es bien sabido que las cla es de las aplicaciones de la mecánica cuán ica a la eo ía y expe imen ación en in o mación cuán ica es án en las supe posiciones cuán icas, la medida (pos ulado del colapso), y el en elazamien o. Todos es os aspec os ienen su con apa ida en es e o malismo, de al modo que cualquie aspec o ele an e del compo amien o cuán ico de la luz debe e leja se en las ampli udes de la adiación de pun o ce o que en an en el c is al y en los di e en es elemen os óp icos, así como en su pos e io sus acción en el p oceso de de ección. El análisis del expe imen o no segu o de gene ación cuán ica de cla e ealizado en la sección 7.2 nos mues a la elación en e en elazamien o y c ip og a ía. La in o mación, que pos e- io men e se á gene ada en el p oceso de medición conjun a en las es aciones de Alicia y Bob, es anspo ada po las ampli udes de pun o ce o que in e ienen en cada una de las componen es del campo eléc ico co espondien e a cada haz. Nó ese que cada uno de los sepa ado es de pola ización que emos en la igu a 7.1 in oduce un uido a a és de los canales acíos, el cual es el esponsable de que, en cada uno de los medido es, exis a una p obabilidad idén ica de de ección en el co espondien e DT oDR. Además, eniendo en cuen a que el en elazamien o se gene a a pa i de cua o conjun os de modos de pun o ce o independien es que en an en el c is al, las dos en adas acías de los di iso es de pola ización nos indican cómo Alicia y Bob pueden gene a , en sus espec i as es aciones, sendas lis as de bi s clásicos una ez ealizada la medida (4−2 = 2 bi s po cada pa eja de o ones de ec ada). El uso del es ado |φ+i, desc i o po los haces co elacionados desc i os en la ecuación (7.1), nos indica que las co elaciones en e los modos del pun o ce o que in e ienen en es os haces son las esponsables de que los esul ados es én pe ec amen e co elacionados. La c ip og a ía segu a es á ligada al eo ema de compa ibilidad de la mecánica cuán ica, que a su ez gua da una es echa elación con la elación de ince idumb e de Heisenbe g. Todo ello, a su ez, o ma pa e de aspec os undamen ales de la eo ía de la in o mación 120 7.7. Conclusiones cuán ica, como el eo ema de no clonación o la segu idad basada en es ados no o ogonales. El uso alea o io de bases compa ibles e incompa ibles pa a medi los qubi s es básico en los p o ocolos de gene ación cuán ica de cla e. En el lenguaje de la unción de Wigne , el uso de bases de medida (que ope an en el espacio de Hilbe ) se co esponde con el uso de elemen os óp icos cuyo uncionamien o sob e los haces se a a de o ma idén ica a la óp ica clásica. Las di e en es o ien aciones de los o ado es de pola ización en el disposi i o de la igu a 7.2 pa a la dis ibución cuán ica de cla e usando codi icación en pola ización, iene como e ec o el cambio en las p opiedades de co elación en e las componen es de los haces que inalmen e alcanzan los de ec o es, como puede e se en las ecuaciones (7.16) a (7.19). Los o ado es PR1(α) y PR2(β) no in oducen ningún uido de pun o ce o, de modo que es posible la codi icación de la in o mación (segu a) en las ampli udes de pun o ce o que de inen cada una de las ampli udes de los haces que ca ac e izan el paso po los o ado es, como puede e se en las ecuaciones (7.14) y (7.15). Finalmen e, los di iso es de pola ización in oducen dos en adas de pun o ce o que educen a dos bi s clásicos el esul ado de cada medida en coincidencia en las es aciones de Alicia y Bob. El análisis de la codi icación en ase desc i o en el apa ado 7.3.2 da luga al mismo ipo de conclusiones, con la di e encia de que en es a ocasión, los pa áme os αyβco esponden a cambios de ase que a ec an di ec amen e a las ampli udes de pun o ce o que in e ienen en los haces. En es e caso, la in o mación se codi ica modi icando las ases asociadas a las ampli udes del pun o ce o. La in e ención de un espía en el sis ema de dis ibución cuán ica de cla e se ha hecho conside ando el e ec o de medidas p oyec i as, a a és del uso de un pola izado en el expe i- men o de codi icación en ase, al y como apa ece en la igu a 7.3. La acción del espía da luga a una pé dida de co elación c uzada en e las componen es del campo eléc ico que ca ac e iza los haces que an hacia Bob (a acado), y Alicia. Es a pé dida de co elación, que se mues a en las ecuaciones (7.36), (7.37) y (7.38), se p oduce po la p oyección del campo eléc ico sob e la di ección ca ac e ís ica del pola izado , en la zona en que se encuen a Bob, y con as a con el e ec o de una medida p oyec i a en el o malismo del espacio de Hilbe , que da luga a una pé dida de en elazamien o. Nó ese que la acción del pola izado in oduce un uido de pun o ce o a a és del canal acío, que sumado a las dos en adas de pun o ce o en los canales acíos de los di iso es de pola ización, cons i uye un conjun o de es en adas de uido que gene a una pé dida de in- o mación adicional espec o al caso en que E a no ac úa. Es e e ec o puede se de ec ado po Alicia y Bob cuando, como pa e del p o ocolo de Eke , miden las co elaciones co espon- dien es a medidas no compa ibles y cuan i ican el alo del pa áme o de Bell, que cae po debajo de √2. Las a iables ocul as que in oduce E a en su acción de espionaje, y que dan luga a la iolación de una desigualdad de Bell, es án elacionadas, den o de nues o análisis, con las ampli udes del pun o ce o que in oduce E a en su medida p oyec i a. El uido in oducido po E a es impo an e en expe imen os donde las in ensidades de 7. CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CON PDC EN LA WRHP 121 la luz son an bajas, que sólo se de ec a un o ón. la azón de ello es que en es os casos las luc uaciones de pun o ce o p esen es en el canal acío del pola izado son c uciales pa a de ec a la p esencia del espía. Pe o es as luc uaciones dejan de se ele an es en el e eno de la c ip og a ía clásica, donde las señales son an in ensas que el uido in oducido po E a no end ía un e ec o ele an e (luz clásica). En es e caso, el espionaje pod ía ealiza se con éxi o. En la sección 7.5 hemos abo dado los es ados GHZ en es e o malismo, los cuales se en- cuen an en la base concep ual del sec e o cuán ico compa ido (QSS). Hay dos aspec os que se e elan undamen ales en nues o análisis: po un lado, los es ados GHZ, que ca ac e izan en elazamien o en e más de dos pa ículas, y que equie en de espacios de Hilbe mul i- dimensionales pa a su desc ipción, se ajus an en el o malismo de Wigne a la desc ipción básica de en elazamien o ealizada en el capí ulo 5, a a és de dos haces co elacionados, a lo que debe suma se la acción de elemen os óp icos cuyo e ec o es gene a mul ien elazamien o, como el PBS y el BS que se encuen an en los haces aybde la igu a 7.5, y que in oducen pun o ce o a a és de los canales acíos. Es as en adas de pun o ce o con ienen un o al de cua o conjun os de modos del acío, ya que pa a cada modo hay que ene en cuen a las dos componen es de la pola ización, y ac úan como elemen o de in o mación adicional a las cua o en adas de pun o ce o en el c is al, y son básicas en la gene ación del en elazamien o múl iple. En segundo luga , nó ese que, al no exis i en adas de pun o ce o adicionales en el es o de disposi i os de la igu a 7.4, los dos p ocesos de posible de ección cuád uple en D1, D2,D3yDT , gene an cua o bi s po cada una de las dos p obabilidades cuád uples no nulas, en base a las p opiedades de co elación (7.58) a (7.61). En lo que se e ie e a los expe imen os de c ip og a ía que usan con e sión a la baja ipo I, hemos analizado dos expe imen os basados en el expe imen o de F anson, donde cada uno de los haces de (7.63) incide sob e un in e e óme o Mach-Zehnde . En el caso no segu o ( igu a 7.6), la exis encia de sendos caminos la go y co o en cada in e e óme o implica que la ampli ud que ca ac e iza un haz en cualquie a de los de ec o es con iene in o mación del pun o ce o que en a en el c is al en dos ins an es dis in os, pa a in e e óme os de ca ac e ís icas simila es en lo que se e ie e a la longi ud de sus caminos. De es e modo, los dos haces de pun o ce o que emos en la igu a 7.6, si se conside an en dos ins an es di e en es, dan luga a las cua o en adas necesa ias pa a gene a en elazamien o. Nó ese sin emba go que cada in e e óme o in oduce un uido a a és de los canales acíos de los sepa ado es (BS) que hay al p incipio. Es e uido ae como consecuencia que el es ado en es e caso no es ealmen e en elazado, dado que la di e encia en e las en adas de pun o ce o en el c is al a iempos dis in os, y las co espondien es a los in e e óme os, es igual a dos, el mimo núme o que se e in oluc ado en la con e sión ipo I, donde no se gene a en elazamien o de o ma di ec a. Es o es así, independien emen e de que se ealice un p oceso de pos -selección que se quede sólo con las co elaciones c uzadas co espondien es a los p ocesos la go-la go y co o-co o. Capí ulo 8 CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 8.1. In oducción Es e capí ulo es á dedicado al es udio de los e ec os de la adiación de pun o ce o en la medida de los es ados de Bell, pa cial o o al (es ados hipe en elazados). Todo ello es undamen al en la consecución de la codi icación densa, aspec o cla e en comunicación cuán ica. Los pun os ca dinales de la codi icación densa son, po un lado, la capacidad pa a gene a los es ados de Bell median e la manipulación de uno de los qubi s de una pa eja en elazada, y po o o lado, la necesidad de dis ingui los es ados de Bell en la medida. En la sección 8.2 analiza emos la es adís ica de dos o ones en un di iso de haz en el o malismo de Wigne y la impo ancia de la sime ía y an isime ía de la pa e espacial de la unción de onda de los es ados de Bell, jun o con las en adas pun o ce o y la manipulación de es os modos de acío, median e di e en es elemen os óp icos, pa a gene a odos los es ados de Bell y su de ección pos e io . Usa emos odo lo que ya sabemos sob e la eo ía de la de ección con el in de desc ibi odo es e p oceso en la siguien e sección, 8.3, donde comp oba emos cómo la implemen ación o iginal de la codi icación densa, po sí sola, no es su icien e pa a dis ingui odos los es ados de Bell, algo esencial pa a ob ene la máxima e iciencia en los di e en es p o ocolos cuán icos que usan la codi icación densa. Con inua emos en la sección 8.4 con la desc ipción o mal, median e la unción de Wigne y el pun o ce o, del en elazamien o en más de un g ado de libe ad, denominado hipe en elazamien o, cen ándonos en es a sección en el hipe en elazamien o pola ización-momen o. Así, la sección 8.5 es á dedicada al análisis de un expe imen o de análisis de es ados de Bell, u ilizando hipe en elazamien o pola ización- momen o. Las secciones 8.2 y 8.3, co espondien es a la es adís ica de dos o ones en un BS y la medida pa cial de los es ados de Bell en la ep esen ación de Wigne , se hallan desa olladas en la e e encia [84]. Po o o lado, pa e de la sección 8.4, donde se explica cómo se gene an los es ados hipe en elazados en la WRHP, se halla en la e e encia [81]. 123 130 8.4. Hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP 8.4. Hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP Conside emos la siguien e si uación: Una uen e de con e sión pa amé ica a la baja ipo I, gene ado a de es ados hipe en elazados, es á cons i uida po dos c is ales. El p ime (segundo) c is al emi e pa es de o ones con pola ización lineal ho izon al ( e ical), de al modo que los conos de adiación emi idos po cada c is al es án supe pues os. Seleccionando dos conjun os de haces co elacionados (a1,b2)y(a2, b1) [163], ep esen ados po los ec o es de onda kai, kbi(i=1,2) y si el olumen de cohe encia del láse con iene la zona de in e acción (la cual aba ca los dos c is ales), el es ado cuán ico co espondien e a es a ecuación puede exp esa se de la o ma |Φ+i⊗|ψ+i=1 √2[|Hi1|Hi2+|Vi1|Vi2]⊗1 √2[|ai1|bi2+|bi1|ai2].(8.29) El es ado dado po (8.29) es uno de los dieciséis es ados pe enecien es a la base de es ados hipe en elazados en los g ados de libe ad de pola ización y momen o [256], co espondien e a dos o ones: Ψ±⊗ψ±=1 √2[|Hi1|Vi2±|Vi1|Hi2]⊗1 √2[|ai1|bi2±|bi1|ai2](8.30) Ψ±⊗φ±=1 √2[|Hi1|Vi2±|Vi1|Hi2]⊗1 √2[|ai1|ai2±|bi1|bi2](8.31) Φ±⊗ψ±=1 √2[|Hi1|Hi2±|Vi1|Vi2]⊗1 √2[|ai1|bi2±|bi1|ai2](8.32) Φ±⊗φ±=1 √2[|Hi1|Hi2±|Vi1|Vi2]⊗1 √2[|ai1|ai2±|bi1|bi2](8.33) En el o malismo de Wigne la desc ipción del hipe en elazamien o descansa sob e las mismas ideas a las desa olladas en las e e encias [79] y [88], pa a el PDC ipo I y ipo II, espec i amen e. El pun o esencial es que la uen e (dos c is ales ipo I) in e accionan con el láse , de al modo que la onda clásica (8.40) y la adiación de pun o ce o (5.4) se acoplan den o de la zona de in e acción dando luga a conos de adiación supe pues os, cada uno de ellos ca ac e izado po una pola ización lineal, ho izon al o e ical. La selección de dos pa ejas de haces co elacionados, (a1, b2)y(a2, b1), necesi a de la conside ación de ocho conjun os de modos de la adiación de pun o ce o, los cuales se ac i an po su acoplamien o con el láse , gene ando de es e modo la luz en la salida del c is al, Po ejemplo, pa a el haz de momen o ai, el conjun o de modos ep esen a i os con pola ización λ=H, V , se ep esen a de la o ma siguien e: {αai,λ} ≡ αk,λ,k∈[k]ai;λ=H, V ;i= 1,2.(8.34) 8. CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 131 Análogamen e pa a bi: {αbi,λ} ≡ αk,λ,k∈[k]bi;λ=H, V ;i= 1,2.(8.35) De es e modo, la desc ipción con el o malismo de Wigne del es ado hipe en elazado (8.29) consis e en los cua o haces siguien es: ZPF b2 b1 a2 a1 CONO DE PUNTO CERO CONVERSORES TIPO I ENTRELAZA DOS EN MOMENTO Figu a 8.2: Los haces de la izquie da ep esen an las en adas de pun o ce o necesa ias pa a la gene- ación del hipe en elazamien o pola ización-momen o. Po cada en ada hay dos conjun os de modos independien es, co espondien es a las componen es ho izon al y e ical de la pola ización. F(+) a1( , ) = F(+) p( , ;{αa1,H;α∗ b2,H})ia1+F(+) s( , ;{αa1,V ;α∗ b2,V })ja1,(8.36) F(+) b1( , ) = F0 p(+)( , ;{αb1,H ;α∗ a2,H})ib1+F0 s(+)( , ;{αb1,V ;α∗ a2,V })jb1,(8.37) F(+) a2( , ) = F0 q(+)( , ;{αa2,H ;α∗ b1,H})ia2+F0 (+)( , ;{αa2,V ;α∗ b1,V })ja2,(8.38) F(+) b2( , ) = F(+) q( , ;{αb2,H;α∗ a1,H})ib2+F(+) ( , ;{αb2,V ;α∗ a1,V })jb2,(8.39) donde iaiyjai(ibiyjbi), i= 1,2, son ec o es uni a ios que ep esen an la pola ización lineal ho izon al y e ical. Hemos incluido el conjun o de modos ele an es de la ampli ud de cada haz. Puede e se ácilmen e que F(+) psólo es á co elacionado con F(+) qpo que {αa1,H }es á co elacionado sólo con {α∗ a1,H}, y {α∗ b2,H}con {αb2,H }. Es e azonamien o se aplica ambién aF(+) yF(+) s,F0 p(+) yF0 q(+), y F0 (+) yF0 s(+). El es o de co elaciones son nulas. La conside ación de que los cua o haces anspo an dos o ones, en los haces (a1,b2), o en (a2, b1), se explica en nues o o malismo conside ando que la ene gía de la onda clásica co espondien e al láse , la cual es p opo cional a |V|2, se epa e igualmen e en la gene ación de los cua o haces, de al modo que el hamil oniano que ep esen a el acoplamien o de los dis in os modos del acío con el láse puede exp esa se de la o ma: H=Hlib e +Hin =X λ=H, V X k ~ωk,λ α∗ k,λ αk,λ 132 8.4. Hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP +           i~g0V 2 2 X i, j = 1 i6=j X λ=H,V X k∈[k]ai k0∈[k]bj k,k0exp (−iωp )α∗ k,λα∗ k,λ + c.c.           ,(8.40) donde la di e encia c ucial con la exp esión (1) de la e e encia [88] es el cambio V→V/2. Todo el desa ollo ma emá ico has a las exp esiones de los haces es idén ico al ealizado en [79] y [88] y po an o no amos a ep oduci lo. No obs an e, es impo an e señala que las co elaciones no nulas en e las ampli udes de (8.36) a (8.39) pueden exp esa se como: DF(+) p(0, )F(+) q(0, 0)E=gV 2ν( 0− ),(8.41) con exp esiones análogas pa a las co elaciones hF(+) F(+) si,hF0 p(+)F0 q(+)iyhF0 (+)F0 s(+)i. Pasemos aho a a da una exp esión compac a de la base de 16 es ados de Bell, pa a lo cual, amos a u iliza las exp esiones [84]. Po ejemplo, los ocho es ados |Ψ±i⊗|ψ±iy|Φ±i⊗|ψ±i se pueden exp esa de la o ma: F(+) a1= [F(+) scosβ−F(+) psenβ]ia1+ eiκ[F(+) ssenβ+F(+) pcosβ]ja1,(8.42) F(+) b1=h[F0 s(+)cosβ−F0 p(+)senβ]ib1+ eiκ[F0 s(+)senβ+F0 p(+)cosβ]jb1ieiϕ,(8.43) F(+) a2=F0(+) qia2+F0(+) ja2,(8.44) F(+) b2=F(+) qib2+F(+) jb2,(8.45) donde la ase ϕen la ecuación (8.43) se elaciona con la conside ación del es ado de momen o |ψ+i(en el caso ϕ= 0) o el es ado de momen o |ψ−i(en el caso ϕ=π). Po o o lado, la elación en e los dis in os es ados de pola ización y los pa áme os βyκse halla desc i a en el apa ado 5.3.1. Po úl imo, con el in de ans o ma |ψ+i(|ψ−i) en |φ+i(|φ−i), sólo enemos que in e cambia , en las ecuaciones (8.44) y (8.45), F0 q(+) po F(+) qyF0 (+) po F(+) , modi icando de es a mane a las pa ejas de haces co elacionados. Es o se consigue aplicando los di iso es de pola ización en los caminos de F(+) a2yF(+) b2, ope ando de o ma in e sa. Es deci 2, el p ime di iso PBS1 ansmi e la pola ización e ical y cambia de momen o y e leja la pola ización ho izon al, man eniendo el mismo momen o. Po o o lado, el segundo 2A lo la go de la esis apa ecen dis in os ipos de PBS, a endiendo a la pola ización que ansmi en o e lejan, y en cada caso, si se modi ica o no el momen o del o ón. No hemos elegido un c i e io único, pues hemos p e e ido espe a los usados en la bibliog a ía co espondien e a la pa e de la esis que se es é desa ollando. 8. CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 133 di iso PBS2 ansmi e la pola ización ho izon al y cambia el momen o, y e leja la e ical sin cambia el momen o. En la igu a 8.3 se mues a es a doble ope ación, pe o sólo con ibuye con un ac o de ase i ele an e. De hecho, el di iso se puede diseña de o ma que no apa ezca la unidad imagina ia en la e lexión [269]. Las conside aciones an e io es nos pe mi en esc ibi a2 PBS1 PBS2 FH ia2+ FV ja2 b2 iFH ia2+ F’V ja2 i(F’H ia2+ F’V ja2) F’H ib2+ F’V jb2 iF’H ib2+ FV jb2 i(FH ib2+ FV jb2) Figu a 8.3: E ec o de la doble ope ación CNOT sob e los haces de Wigne . los dieciséis es ados base, en la ep esen ación de Wigne , de la o ma compac a: F(+) x1= [F(+) scosβ−F(+) psenβ]ix1+ eiκ[F(+) ssenβ+F(+) pcosβ]jx1,(8.46) F(+) y1=h[F0 s(+)cosβ−F0 p(+)senβ]iy1+ eiκ[F0 s(+)senβ+F0 p(+)cosβ]jy1ieiϕ,(8.47) F(+) a2=F0 q(+)ia2+F0 (+)ja2,(8.48) F(+) b2=F(+) qib2+F(+) jb2,(8.49) donde pa a x≡a,y≡byϕ= 0 ob enemos nue amen e los es ados |Ψ±i⊗|ψ+iy|Φ±i⊗|ψ+i, y pa a x≡a,y≡byϕ=πlos es ados |Ψ±i⊗|ψ−iy|Φ±i⊗|ψ−i. Po o a pa e, si x≡b, y≡ayϕ= 0 enemos los cua o es ados |Ψ±i⊗|φ+iy|Φ±i⊗|φ+i, y en el caso de que x≡b, y≡ayϕ=πob enemos |Ψ±i⊗|φ−iy|Φ±i⊗|φ−i. 8.5. BSM con hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP En es a sección ha emos un análisis comple o de los es ados de Bell con el o malismo de Wigne . Pa a ello usa emos la e e encia Walbo n e al. [256], donde se mues a un esquema simple, igu a 8.4, pa a la medición comple a de los es ados de Bell, usando o ones hipe en- elazados. El disposi i o expe imen al pe mi e dis ingui los es ados de Bell de pola ización median e hipe en elazamien o en momen o y pola ización, donde el es ado de momen o ac úa como auxilia . El analizado cons a de sendas pue as CNOT que se implemen an median e dos PBS, los cuales ansmi en ( e lejan) la pola ización e ical (ho izon al), modi icando (man- 134 8.5. BSM con hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP eniendo) el momen o. T as los di iso es de pola ización se hallan analizado es de pola ización en la base diagonal (±45◦) consis en es en láminas de media onda y di iso es de pola ización, as los que se si úan los de ec o es. De las ecuaciones (8.46) a (8.49), haciendo x=a,y=byϕ= 0 ob enemos los es ados: |Ψ±i ⊗ |ψ+iy|Φ±i ⊗ |ψ+i. Con el p opósi o de ep esen a los campos de los haces en el o malismo de Wigne , debemos ene en cuen a la en ada de la ampli ud del campo pun o ce o en los PBS, como se indica en la igu a 8.4. Las ampli udes as las pue as CNOT son: HWP PBS ZPFB2 CNOT ZPF A 2 B2- B2+ A2- A2+ PA PA b2 a2 a2 b2 ZPFB1 CNOT ZPF A 1 B1- B1+ A1+ PA PA b1 a1 a1 b1 A1- Figu a 8.4: Analizado de hipe en elazamien o pola ización-momen o. Nó ese que hay cua o canales acíos po los que en a pun o ce o, uno po cada PBS p e io a cada dos de ec o es. F0(+) a1=i[F(+) scosβ−F(+) psenβ]ia1+ eiκ[F0 s(+)senβ+F0 p(+)cosβ]ja1,(8.50) F0(+) b1=i[F0 s(+)cosβ−F0 p(+)senβ]ib1+ eiκ[F(+) ssenβ+F(+) pcosβ]jb1,(8.51) F0(+) a2=iF0 q(+)ia2+F(+) ja2,(8.52) 8. CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 135 F0(+) b2=iF(+) qib2+F0 (+)jb2.(8.53) En onces la acción de la lámina de media onda, jun o con el PBS o ien ado 45◦, da luga a las siguien es componen es iyjen la exp esión de las ampli udes de los campos pa a el camino a1: F00(+) a1( , ) = 1 √2 1 1 1−1! ihF(+) s( , ) cos β−F(+) p( , )senβi eiκ F0 s(+)( , )senβ+ F0 p(+)( , ) cos β! =1 √2  ihF(+) s( , ) cos β−F(+) p( , )senβi+eiκ F0 s(+)( , )senβ+ F0 p(+)( , ) cos β ihF(+) s( , ) cos β−F(+) p( , )senβi−eiκ F0 s(+)( , )senβ+ F0 p(+)( , ) cos β . (8.54) Pa a el es o de los caminos, usando la misma ans o mación, ob enemos F00(+) b1=1 √2  iF0 s(+)( , ) cos β−F0 p(+)( , )senβ+eiκ hF(+) s( , )senβ+ F(+) p( , ) cos βi iF0 s(+)( , ) cos β−F0 p(+)( , )senβ−eiκ hF(+) s( , )senβ+ F(+) p( , ) cos βi , (8.55) F00(+) a2( , ) = 1 √2hiF0 q(+)( , ) + F(+) ( , )i+iF0 q(+)( , )−F(+) ( , )ji,(8.56) F00(+) b2( , ) = 1 √2hiF(+) q( , ) + F0 (+)( , )i+iF(+) q( , )−F0 (+)( , )ji.(8.57) Al a a esa los PBS, la componen e ho izon al se e leja y la componen e e ical se ansmi e. Añadimos la componen e co espondien e de pun o ce o, que en a po el canal lib e de cada PBS. De es a mane a, podemos ob ene las siguien es ampli udes de los caminos a1yb1en los de ec o es: F(+) A1+ ( A1+ , A1+ ) = i √2ni[F(+) s( A1+ , A1+ )cosβ−F(+) p( A1+ , A1+ )senβ] + eiκ[F0 s(+)( A1+ , A1)senβ+ F0 p(+)( A1+ , A1) cos β]i+ [F(+) ZPFA1+( A1+, A1+)·j]j, (8.58) F(+) A1−( A1−, A1−) = 1 √2ni[F(+) s( A1−, A1−)cosβ−F(+) p( A1−, A1−)senβ] −eiκ[F0 s(+)( A1−, A1−)senβ+ F0 p(+)( A1−, A1−) cos β]j+ [F(+) ZP F A1−( A1−, A1−)·i]i, (8.59) 136 8.5. BSM con hipe en elazamien o pola ización-momen o en la WRHP F(+) B1+ ( B1+ , B1) = i √2[F0 s(+)( B1+ , B1+)cosβ−F0 p(+)( B1+ , B1+ )senβ] +eiκ[F(+) s( B1+ , B1+ )senβ+ F(+) p( B1+ , B1+ ) cos β]oi+ [F(+) ZP F B1+ ( B1+ , B1+ )·j]j, (8.60) F(+) B1−( B1−, B1−) = 1 √2ni[F(+) s( B1−, B1−)cosβ−F(+) p( B1−, B1−)senβ] −eiκ[F0 s(+)( B1−, B1−)senβ+ F0 p(+)( B1−, B1−) cos β]j+ [F(+) ZP F B1−( B1−, B1−)·i]i, (8.61) y pa a los caminos a2yb2 F(+) A2+ ( A2+ , A2+ ) = i √2hiF0 q(+)( A2+ , A2+ ) + F(+) ( A2+ , A2+ )ii0+ [F(+) ZP F A2+ ( A2+ , A2+ )·j0]j0, (8.62) F(+) A2−( 0A2−, 0 A2−) = 1 √2hiF0 q(+)( 0A2−, 0 A2−)−F(+) ( 0A2−, 0 A2−)ij0+ [F(+) ZP F A2−( A2−, A2−)·i0]i0, (8.63) F(+) B2+ ( B2+ , B2+ ) = i √2hiF(+) q( B2+ , B2+ ) + F0 (+)( B2+ , B2+ )ii0+ [F(+) ZP F B2+ ( B2+ , B2+ )·j0]j0, (8.64) F(+) B2−( 0B2−, 0 B2−) = 1 √2hiF(+) q( 0B2−, 0 B2−)−F0 (+)( 0B2−, 0 B2−)ij0+ [F(+) ZP F B2−( B2−, B2−)·i0]i0. (8.65) U ilizando aho a la exp esión de la eo ía de la de ección (4.69) jun o con las p opiedades de co elación: |hF(+) pF(+) qi|2=|hF(+) F(+) si|2=|hF0 p(+)F0 q(+)i|2=|hF0 (+)F0 s(+)i|2=g2|V|2 4,(8.66) y eniendo en cuen a que el ZPF que en a en los PBS no es á co elacionado con el es o de las ampli udes, se ienen las p obabilidades en el caso ideal ( e la no a al pie 4 del capí ulo 7). Pa a β= 0, enemos: PA1+,A2+ =PB1+,B2+ =PA1−,A2−=PB1−,B2−=1 16 1 + eiκ 2,(8.67) 8. CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 137 PA1+,A2−=PB1+,B2−=PA1−,A2+ =PB1−,B2+ =1 16 1−eiκ 2,(8.68) siendo nulas el es o de las p obabilidades dobles. Pa a iden i ica el es ado |Ψ+i ⊗|ψ+i, sus i uyendo κ= 0, sólo las siguien es p obabilidades son no nulas: PA1+,A2+ =PB1+,B2+ =PA1−,A2−=PB1−,B2−=1 4.(8.69) Po o o lado, en el caso del es ado |Ψ−i ⊗|ψ+i, sus i uyendo κ=π, sólo las siguien es p obabilidades son no nulas: PA1+,A2−=PB1+,B2−=PA1−,A2+ =PB1−,B2+ =1 4.(8.70) Es o nos pe mi e iden i ica los es ados de acue do con las siguien es elaciones de p oba- bilidades no nulas asociadas a cada uno de ellos: |Ψ+i ⇒ PA1+,A2+ ;PB1+,B2+ ;PA1−,A2−PB1−,B2−.(8.71) |Ψ−i ⇒ PA1+,A2−;PB1+,B2−;PA1−,A2+ ;PB1−,B2+ .(8.72) Po o a pa e, pa a los es ados |Φ±i ⊗|ψ+i, donde β=−π/2, y siguiendo un p oceso simila , enemos: PA1+,B2+ =PB1+,A2+ =PA1−,B2−=PB1−,A2−=1 16 1 + eiκ 2,(8.73) PA1+,B2−=PB1+,A2−=PA1−,B2+ =PB1−,A2+ =1 16 1−eiκ 2,(8.74) siendo nulas el es o de las p obabilidades. Sus i uyendo κ= 0 (co espondien e a |Φ−i), PA1+,B2+ =PB1+,A2+ =PA1−,B2−=PB1−,A2−=1 4,(8.75) siendo nulas el es o, y sus i uyendo κ=π(co espondien e a |Φ+i), se ob ienen las siguien es p obabilidades no nulas: PA1+,B2−=PB1+,A2−=PA1−,B2+ =PB1−,A2+ =1 4.(8.76) Po an o, se es ablecen las siguien es elaciones pa a iden i ica es os es ados: |Φ−i ⇒ PA1+,B2+ ;PB1+,A2+ ;PA1−,B2−;PB1−,A2−.(8.77) 138 8.6. Conclusiones |Φ+i ⇒ PA1+,B2−;PB1+,A2−;PA1−,B2+ ;PB1−,A2+ .(8.78) La disc epancia obse ada con la abla de [256], consis en e en que en las elaciones (8.77) y (8.78) apa ecen in e cambiados los es ados |Φ+iy|Φ−i, es sólo debida al ipo de PBS que se usó en los expe imen os, en el que no se conside aba la unidad imagina ia en la e lexión [269], que sí hemos conside ado en es os cálculos, y de ahí la di e encia en los esul ados. 8.6. Conclusiones En es e capí ulo hemos aplicado el o malismo de Wigne pa a el es udio es adís ico de dos o ones en un di iso de haz equilib ado. También hemos a ado un mon aje expe imen al pa a el análisis pa cial de los es ados de Bell. El o malismo de Wigne pe mi e una in e p e ación de es os expe imen os en é minos de ondas, pe o, sin emba go, el o malismo en su conjun o pe enece al dominio cuán ico, al se el campo del pun o ce o una al e na i a al papel de luc uaciones de acío en el espacio de Hilbe . Como ya hemos dicho, una ez en el ma co de Wigne , los esul ados cuán icos apa ecen p ecisamen e como consecuencia de la in e ención del campo del pun o ce o. Es e campo en a en el c is al y en los demás apa a os óp icos, siendo sus aído en el p oceso de de ección. Las co elaciones cuán icas sólo pueden explica se en é minos de la p opagación de las ampli udes de acío a a és de los disposi i os expe imen ales, y su pos e io sus acción en los de ec o es. Al comienzo de la sección 8.2 se han p esen ado las ideas undamen ales sob e es adís icas de dos o ones en un di iso de haz en el o malismo de espacio de Hilbe , en el que se sub aya la na u aleza co puscula de la luz. En el o malismo de Wigne , se encuen a una cla a con apa ida con esa desc ipción pues, con obje o de p ese a el ca ác e bosónico de los o ones, la pa e espacial del es ado cuán ico es e obligada a pe manece an isimé ica. Es o ocu e sólo pa a |Ψ−i, y, en es e caso, el pa de o ones se compo a como e miones en el di iso de haces, eme giendo po di e en es pue os de salida. Pa a los o os es es ados de Bell, en los que an o la pola ización como la pa e espacial del es ado de dos o ones son simé icas, los dos o ones eme gen jun os en el mismo pue o de salida del BS. Pa a la ep esen ación de Wigne , el aspec o co puscula de la luz apa ece como una in e- acción de (Maxwell) ondas, incluyendo el campo de pun o ce o. La acción del BS debe a a se como en el caso clásico: de modo que una pa e de cada haz de en ada se ansmi e, y la o a pa e se e leja, sin ningún cambio en las p opiedades de pola ización. De (8.16) se puede obse a que la co elación en e las componen es del campo co espondien es a di e en e pola ización y di e en es canales de salida, se anulan pa a β=π/2(es ados |Φ±i), y ambién pa a κ= 0 (es ado |Ψ+i). En es e úl imo caso, el ac o i2indica que la con ibución a la co elación de la componen e ansmi ida es cancelada po la con ibución de la componen e e lejada. Sin emba go, en el caso κ=πhay una supe posición cons uc i a de los dos é minos en la ecuación (8.16). En o as palab as, el e ec o ne o del cambio de ase κ=πy del di iso 8. CODIFICACIÓN DENSA Y BSM EN LA WRHP 139 de haz en las ampli udes del campo es deja las p opiedades de co elación sin cambios. Es a p opiedad es equi alen e, en el espacio de Hilbe , al hecho de que |ψAies un es ado p opio del ope ado Hadama d. En es e pun o ale la pena hace de nue o la p egun a: ¿cómo podemos explica un compo - amien o ípico de pa ícula (la na u aleza bosónica de los o ones en la desc ipción del espacio de Hilbe ), a pa i de una desc ipción ondula o ia, con la inclusión de las luc uaciones del campo elec omagné ico de acío? Po inspección de (5.27) puede e se que, sólo en el caso de |Ψ−i, el in e cambio 1→2implica un cambio de signo en las p opiedades de co elación de los haces (en los o os es casos pe manecen igual). La na u aleza bosónica de los o ones es á comple amen e ep esen ada po las p opiedades de co elación que ca ac e izan a cada una de los cua o es ados de Bell. Si, aho a, Bob ac i a el e a dado de onda, da luga a un cambio, no solo en el es ado in e no (pola ización), sino ambién en la pa e espacial del es ado cuán ico con el in de conse a la sime ía bosónica. Es e doble e ec o se explica, en el o malismo de Wigne , eniendo en cuen a la o ma en la que el campo pun o ce o se acopla en el in e io del c is al. La medida del es ado de Bell que ealiza Alicia sólo iden i ica los es ados |Ψ−iy|Ψ+i. Nó ese, po o o lado, que el analizado in oduce algo de uido undamen al en los canales lib es de los PBS. Es as luc uaciones del pun o ce o, aunque sean inalmen e sus aídas en los de ec o es y no es án co elacionadas con las señales, uel en a se el ing edien e undamen- al de la WRHP pa a la in e p e ación de los expe imen os. La igu a 8.1 mues a que hay cua o conjun os ele an es de modos de acío que en an en el c is al, que “ anspo an”la in o mación, y dos en adas de pun o ce o asociadas a los canales acíos de los PBS. A pa i de la sección 8.4 comenzamos con el es udio, con el o malismo de Wigne , del hi- pe en elazamien o con obje o de pode dis ingui los cua o es ados de Bell. Hemos es udiado la medición comple a de los es ados de Bell con o ones hipe en elazados en pola ización- momen o. El pun o c ucial en la ep esen ación de Wigne es que la selección de dos conjun os de haces, (a1, b2)y(a2, b1), implica la conside ación de 8 conjun os de modos de acío, que se ac i an y se acoplan con el láse en el in e io del c is al. Las conside aciones an e io es nos pe mi en exp esa de una o ma compac a los 4haces co elacionados que dan luga , según el alo de cie os pa áme os, a los 16 es ados base del espacio de Hilbe del sis ema. Pa a la ep esen ación de Wigne , el aspec o co puscula de la luz apa ece sólo como un conjun o de (Maxwell) ondas con la inclusión de un campo de pun o ce o. Si analizamos el expe imen o Walbo n, emos que hay 8conjun os de modos de ZPF en an en el c is al, y el analizado iene 4canales lib es (4pun os de en ada de uido). Po úl imo, se puede de e mina los cua o es ados de Bell es ando el núme o de canales con uido del núme o de modos de en ada de ZPF (haciendo al sis ema más local y los esul ados más de e minis as). El uso de los espacios de Hilbe de dimensiones supe io es es á elacionado (en el o malismo de Wigne ) con la inclusión de más conjun os de modos de acío que en an en el c is al. Con un aumen o del núme o de en adas de acío, la posibilidad de ex ae más in o mación