Modelos de regressão para dados de contagem: aplicação a dados de contagem rodoviários

Cátia Maria Oliveira de Sousa Modelos de Regressão para Dados de Contagem: Aplicação a Dados de Contagem Rodoviários outubro de 2022 UMinho | 2022 Cátia Maria Oliveira de Sousa Modelos de Regressão para Dados de Contagem: Aplicação a Dados de Contagem Rodoviários Universidade do Minho Escola de Ciências Cátia Maria Oliveira de Sousa Modelos de Regressão para Dados de Contagem: Aplicação a Dados de Contagem Rodoviários Dissertação de Mestrado Mestrado em Estatística Trabalho efetuado sob a orientação do(a) Professora Doutora Susana Faria Professora Doutora Elisabete Fraga Universidade do Minho Escola de Ciências outubro de 2022 DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição CC BY https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Agradecimentos A realiza¸c˜ao deste trabalho decorreu enquanto trabalhador estudante e conseguilo terminar foi uma ´ardua tarefa e s´o foi poss´ıvel com a ajuda e apoio de v´arias pessoas `as quais eu quero expressar os meus sinceros agradecimentos, em particular: ` A professora Susana Faria, pela incans´avel disponibilidade, paciˆencia e compreens˜ao, bem como os incentivos dados, e pela partilha de conhecimentos. ` A professora Elisabete Fraga, por todo o apoio, ajuda e dedica¸c˜ao. ` A minha m˜ae, o meu maior pilar, que me incentivou e sempre me apoiou em todos os momentos. Ao meu pai, por apoiar as minhas escolhas ao longo desta jornada. Ao meu namorado, por todo o apoio e carinho incondicional. Aos meus irm˜aos por estarem sempre do meu lado. Um especial agradecimento ao Helder pelo apoio log´ıstico na minha recolha de dados. DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. Resumo Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem: Aplica¸c˜ao a Dados de Contagem Rodovi´arios (em autoestradas) Os acidentes de via¸c˜ao apresentam uma enorme carga social e econ´omica que ´e imposta `a sociedade. A modela¸c˜ao de frequˆencia de acidentes ´e uma ferramenta importante para a gest˜ao de seguran¸ca rodovi´aria. O aumento da procura dos meios de transporte, em especial, transporte rodovi´ario, tem resultado num claro aumento do n´umero de acidentes nessa envolvente. Consequentemente, um dos grandes desafios para os investigadores e gestores rodovi´arios passa pela redu¸c˜ao dos acidentes nas estradas. Dessa forma, ´e apresentado um estudo dos Modelos Lineares Generalizados Mistos com distribui¸c˜ao de Poisson, sendo esta a mais utilizada para modelar dados de contagem. Esta disserta¸c˜ao visa estudar o efeito das diferentes vari´aveis que definem o estado do pavimento, a geometria da estrada e o tr´afego sobre o n´umero de acidentes atrav´es da constru¸c˜ao e an´alise de um modelo de regress˜ao de Poisson com efeitos aleat´orios. Os dados utilizados s˜ao referentes a segmentos das autoestradas A4, A44 e A41 em Portugal, disponibilizados pela Concession´aria Ascendi. O modelo desenvolvido teve como vari´avel resposta o n´umero de acidentes, num periodo de quatro anos (2014 a 2017). Palavras-chave: Acidentes; Distribui¸c˜ao de Poisson; Modelos Lineares Generalizados Mistos; Seguran¸ca Rodovi´aria. v Abstract Regression Models for Count Data: Application to Road Count Data (on highways) Road accidents present an enormous social and economic burden that is imposed on society. Accident frequency modeling is an important tool for road safety management. The increase in demand for means of transport, especially road transport, has resulted in a clear increase in the number of accidents in this environment. Consequently, one of the great challenges for road investigators and managers is the reduction of road accidents. Thus, a study of mixed generalized linear models with Poisson distribution is presented, which is the most used to model counting data. This dissertation aims to study the effect of the different variables that define the state of the pavement, the geometry of the road and the traffic on the number of accidents through the construction and analysis of a Poisson regression model with random effects. The data used refer to segments of the A4, A44 and A41 motorways in Portugal, made available by the Ascendi Concessionaire. The model developed had the number of accidents as a response variable, over a period of four years (2014 to 2017). Keywords: Accidents; Mixed Generalized Linear Models; Poisson Distribution; Road safety. vi Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Objetivos ................................. 2 1.2 Estrutura da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Modelos Lineares Generalizados Mistos 4 2.1 Estrutura do modelo linear generalizado misto . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Interpreta¸c˜ao dos parˆametros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Inferˆencia ................................. 7 2.3.1 Estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2 Testes de hip´otese e sele¸c˜ao do modelo . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.3 An´alise de Res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Modelos de Regress˜ao de Poisson de Efeitos Aleat´orios . . . . . . . . 10 3 An´alise e Modela¸c˜ao dos Dados 12 3.1 BasedeDados............................... 12 3.2 An´aliseDescritiva............................. 21 3.3 Aplica¸c˜ao dos Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Conclus˜ao e Trabalho Futuro 47 vii Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao Atualmente, a Sinistralidade Rodovi´aria ´e um problema muito grave, sendo considerada uma quest˜ao de Sa´ude P´ublica. Os acidentes rodovi´arios s˜ao a principal causa de morte a n´ıvel mundial na faixa et´aria mais jovem, e a oitava em todas as idades, apresentando uma elevada carga social e econ´omica na popul¸c˜ao (ANSR, 2020). A seguran¸ca dos utilizadores do sistema rodovi´ario constitui, cada vez mais, um dos principais objetivos no planeamento e opera¸c˜ao deste meio de transporte (Sinay and Tamayo, 2005). Deste modo, as empresas e as institui¸c˜oes que atuam na seguran¸ca rodovi´aria, apresentam uma grande responsabilidade na implementa¸c˜ao de medidas que incluem, entre outras, medidas que visam melhorar a concess˜ao e opera¸c˜ao das vias. Estas medidas podem representar uma importante redu¸c˜ao da frequˆencia de acidentes, assim como, na gravidade dos ferimentos sofridos pelos seres humanos envolvidos. A n´ıvel mundial, quando se avaliam as causas que afetam a seguran¸ca rodovi´aria, conclui-se que esta depende da contribui¸c˜ao de m´ultiplos fatores, nomeadamente: (i) condutor; (ii) estrada e ambiente rodovi´ario; (iii) ve´ıculo. Estes fatores podem agir de forma isolada quer associados entre si. Durante d´ecadas tem sido evidenciado o consenso sobre a responsabilidade do comportamento do condutor na maioria dos acidentes de via¸c˜ao. Por´em, salienta-se a influˆencia das caracter´ısticas da estrada da infraestrutura rodovi´aria e, particularmente, das estrat´egias de gest˜ao e controlo da velocidade ao longo de um determinado itiner´ario. Em Portugal, a Autoridade Nacional de Seguran¸ca Rodovi´aria (ANSR) ´e a institui¸c˜ao respons´avel pela gest˜ao da seguran¸ca rodovi´aria. Esta entidade tem 1 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios como miss˜ao o planeamento e a coordena¸c˜ao no territ´orio portuguˆes, no que diz respeito `a seguran¸ca rodovi´aria, bem como a aplica¸c˜ao do direito contraordenacional rodovi´ario. Devido aos enormes custos dos acidentes de via¸c˜ao para a sociedade, o conhecimento dos fatores que afetam a ocorrˆencia dum acidente tem sido uma ´area de investiga¸c˜ao h´a muitas d´ecadas. Estes estudos resultam, na sua grande maioria, na descri¸c˜ao da rela¸c˜ao entre os acidentes de via¸c˜ao, o tr´afego, n´umero de interse¸c˜oes, caracter´ısticas do piso, entre outras. Em dados de contagem, ´e usual a mesma unidade experimental ser observada ao longo do tempo, pelo que se espera que haja uma correla¸c˜ao n˜ao nula entre as v´arias observa¸c˜oes das unidades individuais, levando `a viola¸c˜ao do pressuposto de indepˆendencia entre todas as observa¸c˜oes. Uma forma de se ter em considera¸c˜ao os dados correlacionados passa por considerar os modelos lineares generalizados mistos (GLMM). Estes modelo s˜ao uma extens˜ao dos Modelos Lineares Generalizados (GLM) dado que permitem a inclus˜ao de efeitos aleat´orios no preditor linear para que se tenha em conta a correla¸c˜ao existente entre as v´arias observa¸c˜oes da mesma unidade experimental (Cabral e Gon¸calves, 2011; Breslow e Clayton, 1993; Hedker, 2005). 1.1 Objetivos Este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento de modelos de regress˜ao com efeitos aleat´orios para dados de contagem relativamente ao n´umero de acidentes de via¸c˜ao para segmentos das autoestras A4, A44 e A41. Estes segmentos s˜ao Gulpilhares - Coimbr˜oes (A44), Matosinhos - ´ Aguas Santas (A4) e Perafita - Alfena (A41). Para a modela¸c˜ao dos modelos s˜ao utilizados a frequˆencia dos acidentes de via¸c˜ao, o tr´afego m´edio di´ario anual (TMDA), as vari´aveis referentes ao estado do pavimento e `as caracter´ısticas geom´etricas tanto em perfil como em planta da via. No ˆambito da seguran¸ca rodovi´aria, este estudo permite, atrav´es de m´etodos estat´ısticos, relacionar o n´umero de acidentes com outras vari´aveis, criando uma ferramenta robusta que permite por um lado, avaliar o efeito dessas vari´aveis na sinistralidade e por outro, estimar a sinistralidade em cen´arios espec´ıficos. 2 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Todos os estudos computacionais realizados ao longo deste trabalho foram desenvolvidos recorrendo `a linguagem de programa¸c˜ao R (R Development Core Team, 2022) 1.2 Estrutura da Disserta¸c˜ao A estrutura da disserta¸c˜ao encontra-se dividida por quatro cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1 ´e realizada uma introdu¸c˜ao, uma breve explica¸c˜ao do tema e ˆambito de estudo. No Cap´ıtulo 2 descrevem-se os conte´udos te´oricos relacionados com os modelos lineares generalizados mistos, mais concretamente, a descri¸c˜ao dos modelos lineares generalizados mistos, a estima¸c˜ao dos parˆametros, testes de hip´otese, sele¸c˜ao do modelo e an´alise dos res´ıduos. A aplica¸c˜ao das metodologias aos dados ´e apresentada no Cap´ıtulo 3. Inicialmente, ´e feita uma breve an´alise das autoestradas. Depois de apresentados os dados em estudo, realiza-se uma an´alise explorat´oria dos mesmo, seguindo-se a aplica¸c˜ao das metodologias. As principais conclus˜oes do trabalho desenvolvido e sobre os resultados obtidos s˜ao descritas no Cap´ıtulo 4, assim como algumas sugest˜oes de investiga¸c˜ao para trabalho futuro. 3 Cap´ıtulo 2 Modelos Lineares Generalizados Mistos Os Modelos Lineares Generalizados Mistos (GLMM) s˜ao uma extens˜ao dos modelos lineares generalizados (GLM) que permitem a inclus˜ao de efeitos aleat´orios no preditor linear. O facto dos GLMM permitirem a introdu¸c˜ao de efeitos aleat´orios, permite que a estrutura de correla¸c˜ao entre observa¸c˜oes de um mesmo indiv´ıduo possa ser modelada. Como mencionam Cabral e Gon¸calves (2011), o objetivo dos Modelos Lineares Generalizados Mistos ´e descrever as altera¸c˜oes da resposta m´edia de cada indiv´ıduo e a rela¸c˜ao destas altera¸c˜oes com as covari´aveis de interesse. Estes modelos pretendem, assim, inferir sobre o indiv´ıduo e n˜ao sobre a popula¸c˜ao (Cabral and Gon¸calves, 2011). A n´ıvel computacional e de interpreta¸c˜ao dos parˆametros estimados, estes modelos apresentam algumas complica¸c˜oes provenientes da estrutura n˜ao linear agregada `a inclus˜ao de efeitos aleat´orios. 2.1 Estrutura do modelo linear generalizado misto Seja yit o valor da resposta observada para o indiv´ıduo i(i= 1, ..., n) no instante t= 1, ..., Ti, ou seja, yit ´e a realiza¸c˜ao da vari´avel resposta Yit e Yi= (Yi1, ..., YiTi)T(2.1) representa o vetor das vari´aveis resposta para o indiv´ıduo i. O perfil de cada indiv´ıduo ´e assim dado pelo vetor yi= (yi1, ..., yiTi)T. 4 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Seja xT it = (x1it, ..., xpit), o vetor das covari´aveis de interesse associado a cada Yit, de dimens˜ao p, a matriz das covari´aveis, Xi, de ordem (Ti×p) e o vetor dos parˆametros de regress˜ao desconhecidos β= (β1, ..., βp)T, de dimens˜ao (p×1). Por fim, zT it = (z1it, ..., zqit) (2.2) ´e o vetor (q×1) de covari´aveis (usualmente um subconjunto de xit) associado a um vetor (q×1) de efeitos aleat´orios bi(Cabral and Gon¸calves, 2011). Os modelos lineares generalizados mistos podem ser especificados da seguinte forma: 1. A vari´avel resposta Yi= (Yi1, ..., YiTi), condicionada pelo vetor dos efeitos aleat´orios bi, segue uma distribui¸c˜ao pertencente `a fam´ılia exponencial com fun¸c˜ao densidade f(yit|bi) = exp ωit ϕ(yitθit −b(θit) + c(yit, ϕ)(2.3) O valor m´edio e a variˆancia condicional s˜ao expressos, respetivamente, por: E(Yit|bi) = µit =b′(θit),(2.4) V ar(Yit|bi) = σit =b′′ (θit)ϕ ωit .(2.5) Tal como nos modelos lineares generalizados, assume-se que: g(µit) = xT itβ+zT itbi,(2.6) σit =V(µit)ϕ ωit ,(2.7) onde g(.) ´e uma fun¸c˜ao de liga¸c˜ao e V´e a fun¸c˜ao de variˆancia, ambas conhecidas, ϕ´e o parˆametro de dispers˜ao e ωit ´e uma constante conhecida atribuida `as observa¸c˜oes da vari´avel resposta. Uma vez fixados os efeitos aleat´orio bi, as vari´aveis resposta assumem-se mutuamente independentes. 2. A m´edia condicional da vari´avel resposta Yit, depende dos efeitos fixos e dos efeitos aleat´orios. Deste modo, o modelo linear generalizado misto pode ser escrito por g{E(Yit|bi)}=ηit =xT itβ+zT itbi(2.8) 5 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios 3. Por fim, resta-nos especificar a distribui¸c˜ao dos efeitos aleat´orios bi.` A partida, qualquer distribui¸c˜ao multivariada poderia ser considerada para bi. Contudo, na pr´atica, assume-se que a distribui¸c˜ao comum aos efeitos aleat´orios bi´e a Gaussiana Multivariada com valor esperado zero e matriz de variˆanciacovariˆancia D. Destaca-se o facto dos efeitos aleat´orios bise assumirem independentes das covari´aveis. Modelo linear generalizado misto para contagens Considere-se que Yit, a vari´avel resposta do indiv´ıduo ino instante t, sob a forma de contagens. Nesta situa¸c˜ao tem-se: 1. A vari´avel resposta Yit, condicional aos efeitos aleat´orios bis˜ao independentes e seguem uma distribui¸c˜ao de Poisson, com E(Yit|bi) = V ar(Yit|bi) (ϕ= 1).(2.9) 2. A m´edia µit est´a relacionada com a componente sistem´atica do modelo (que supomos incluir um termo constante) atrav´es da equa¸c˜ao log(µit) = (1,xT it)Tβ+ (1,zT it )Tbi(2.10) = (β0+b0i)+(β1+b1i)x1it +... + (βp+bpi)xpit, onde log ´e a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao can´onica quando estamos na presen¸ca de dados de contagem. 3. Por fim, assume-se que o vector dos efeitos aleat´orios, bi, segue uma distribui¸c˜ao Gaussiana de valor m´edio zero e matriz de variˆancia-covariˆancia D, de dimens˜ao (p+ 2) ×(p+ 2). 2.2 Interpreta¸c˜ao dos parˆametros do modelo A interpreta¸c˜ao dos parˆametros fixos nos GLMM ser´a assim afetada pelos efeitos aleat´orios presentes no modelo, como explicam Cabral e Gon¸calves (2011). Nos GLMM E(Yit) = E{E(Yit|bi)}=Eg−1(xT itβ+zT itbi),(2.11) 6 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios que, em geral, n˜ao pode ser simplificado devido `a presen¸ca de fun¸c˜oes n˜ao lineares em g−1(.) e, portanto, E[g(Yit|bi)] =g[E(Yit|bi)] .(2.12) Existe altera¸c˜ao na interpreta¸c˜ao dos parˆametros dos efeitos fixos quando a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao can´onica dos GLMM n˜ao ´e linear. De acordo com Cabral e Gon¸calves (2011), nos GLMM podemos considerar as seguintes interpreta¸c˜oes para os parˆametros fixos e para a componente aleat´oria do modelo: (i) Parte Fixa: As componentes βj,j= 0,1, ..., p, do vetor βtˆem uma interpreta¸c˜ao em termos espec´ıficos do indiv´ıduo. Elas representam a influˆenia das covari´aveis de interesse na altera¸c˜ao da resposta m´edia esperada de um determinado indiv´ıduo. Estes coeficientes, β, s˜ao designados por coeficientes de regress˜ao espec´ıficos do indiv´ıduo dado que a interpreta¸c˜ao de βjdepende dos efeitos aleat´orios do i-´esimo indiv´ıduo assumirem um valor fixo. (ii) Parte Aleat´oria: Uma forma de interpretar as estimativas das variˆancias dos efeitos aleat´orios passa por considerar percentis dos efeitos aleat´orios baseados na hip´otese Gaussiana e, com base nos percentis obtidos calcular os limites de varia¸c˜ao dos valores esperados. Outra maneira ´e considerar a representa¸c˜ao gr´afica dos perfis de cada indiv´ıduo. 2.3 Inferˆencia Para que se possa aplicar a metodologia dos Modelos Lineares Generalizados Mistos (GLMM) a um conjunto de dados, h´a necessidade, ap´os a formula¸c˜ao do modelo que se pensa adequado, de proceder `a realiza¸c˜ao de inferˆencias sobre esse modelo. A inferˆencia nos GLMM ´e baseada na verosimilhan¸ca. Com efeito, n˜ao s´o o M´etodo da M´axima Verosimilhan¸ca ´e o m´etodo de elei¸c˜ao para estimar os parˆametros βe a matriz variˆancia-covariˆancia D, como tamb´em os testes de hip´oteses sobre os parˆametros do modelo s˜ao baseados na verosimilhan¸ca. 2.3.1 Estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo ` A semelhan¸ca do que acontece nos GLM, a estima¸c˜ao dos parˆametros nos Mdelos Lineares Generalizados Mistos tamb´em recorre ao M´etodo da M´axima Verosimilhan¸ca. Nesta situa¸c˜ao, a estima¸c˜ao de βe dos parˆametros D´e feita atrav´es da 7 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca, obtida atrav´es da integra¸c˜ao da fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca sobre os efeitos aleat´orios bi. A contribui¸c˜ao do i-´esimo indiv´ıduo para a fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca ´e LA(β, ϕ, D) = ZTi Y t=1 f(yit|bi,β, ϕ)f(bi|D)dbi,(2.13) onde QTi t=1 f(yit|bi, β, ϕ) diz respeito `a fun¸c˜ao verosimilhan¸ca do modelo com efeitos aleat´orios e f(bi|D) representa a distribui¸c˜ao dos efeitos aleat´orios, assumida como sendo uma distribui¸c˜ao normal multivariada. O expoente A na fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca indica que se trata da fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca do modelo com efeitos aleat´orios (Cabral and Gon¸calves, 2011). J´a a fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca para a amostra, contendo os nindiv´ıduos ´e expressa por LA(β, ϕ, D) = n Y i=1 Li(β, ϕ, D) (2.14) = n Y i=1 ZLF i(β, ϕ, D)f(bi|D)dbi, onde o expoente Fna fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca indica que se trata da fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca do modelo com efeitos fixos. Tomando o logaritmo da fun¸c˜ao verosimilhan¸ca, tem-se, naturalmente, lA(β, ϕ, D) = n X i=1 logLA i(β, ϕ, D) (2.15) Maximizando a fun¸c˜ao (2.15), obt´em-se os estimadores de m´axima verosimilhan¸ca dos parˆametros de regress˜ao βe da matriz de variˆancia-covariˆancia dos efeitos aleat´orios bi. Contudo, ao contr´ario do que acontece nos GLM, onde estes parˆametros s˜ao facilmente estimados atrav´es do m´etodo iterativo de min´ımos quadrados reponderados, nos modelos lineares generalizados mistos este processo n˜ao permite calcular estas estimativas. Neste tipo de modelos, a maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao log-verosimilhan¸ca ´e bastante complexa e o problema, geralmente, n˜ao tem uma solu¸c˜ao anal´ıtica. Consequentemente, para que se possa inferir com base na verosimilhan¸ca, tem de se recorrer ao c´alculo num´erico. Como qualquer m´etodo, o c´alculo num´erico possui limita¸c˜oies, podendo tornar a obten¸c˜ao das estimativas um processo computacinalmente intensivo, aumentando o seu tempo de resposta 8 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios quando se est´a na presen¸ca de grandes amostras e/ou quando a estrutura do modelo ´e complexa. Como referem Cabral e Gon¸calves (2011), de forma a resolver este problema tˆem sido propostas v´arias aproxima¸c˜oes num´ericas: (i) as que s˜ao baseadas na aproxima¸c˜ao de dados (consideram o desenvolvimnto da s´erie de Taylor e insere-se na metodologia do m´etodo da quasi-verosimilhan¸ca penalizada (PQL), proposto por Breslow and Clayron (1993) e o m´etodo da quasi-verosimilhan¸ca marginal (MQL) apresentado por Goldenstein (1991)); (ii) as que s˜ao baseadas na proxima¸c˜ao da fun¸c˜ao a integrar (tˆem como base a aproxima¸c˜ao de Laplace); (iii) as que s˜ao baseadas na aproxima¸c˜ao do integral (salienta-se, por exemplo, o m´etodo num´erico da quadratura de Gauss-Hermite). Outros m´etodos tˆem sido implementados na tentativa de evitar os problemas de integra¸c˜ao num´erica, como por exemplo, a utiliza¸c˜ao de Modelos de Cadeias de Markov via m´etodos de Monte Carlo (Clayton, 1996). 2.3.2 Testes de hip´otese e sele¸c˜ao do modelo Nos modelos lineares generalizados mistos, para comparar a signficˆancia estat´ıstica dos parˆametros de regress˜ao βpode ser utilizado o teste de Wald. J´a quando se pretende comparar a estrutura fixa de dois modelos encaixados que possuam os mesmos efeitos aleat´orio recorre-se, geralmente, a testes de raz˜ao de verosimilhan¸ca. O crit´erio de sele¸c˜ao de modelos, quando estes n˜ao s˜ao encaixados, passa por considerar o Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike (AIC) ou Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiana (BIC). Cabral e Gon¸calves (2011) alertam para o facto de que, em qualquer modelo deve ter-se em aten¸c˜ao qual o m´etodo utilizado na maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca, dado que esta tem de se basear nos dados e n˜ao na aproxima¸c˜ao aos dados. Caso se pretenda testar a presen¸ca de efeitos aleat´orios, tem-se um problema fronteira (Cabral e Gon¸calves, 2011) e, portanto, assume-se que a distribui¸c˜ao assint´otica sob a hip´otese nula para uma estat´ıstica de teste de raz˜ao de verosimilhan¸ca ´e uma mistura de Qui-quadrados. 9 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios 2.3.3 An´alise de Res´ıduos A an´alise de res´ıduos ´e uma forma eficiente de verificar a qualidade de ajuste do modelo. Nesta pretende-se identificar valores da vari´avel resposta que apresentem algum comportamento at´ıpico. Isto ´e, que possuem comportamentos fora do padr˜ao esperado em rela¸c˜ao ao assumido para a vari´avel yi. Por meio desta an´alise ´e possivel investigar possiveis falhas de suposi¸c˜oes feitas a respeito do modelo, tais como a escolha da fun¸c˜ao de liga¸c˜ao ou da distribui¸c˜ao da vari´avel resposta. Esta an˜alise ´e feita recorrendo a m´etodos gr´aficos. Res´ıduos Quant´ılicos Aleatorizados Os res´ıduos quant´ılicos aleatorizados, que foram introduzidos por Dunn e Smyth (1996), apresentam distribui¸c˜ao normal, independentemente da distribui¸c˜ao da vari´avel resposta e da sua dispers˜ao. Assumindo que yi´e uma vari´avel discreta, os res´ıduos quant´ılicos aleatorizados s˜ao definidos da seguinte forma. ˆrq i= Φ−1{ui}, i = 1,2, ..., n (2.16) em que Φ ´e a fun¸c˜ao da distribui¸c˜ao acumulada da Normal Padr˜ao e ui´e uma vari´avel aleat´oria uniformemente distribu´ıda no intervalo [ai, bi], com ai=F(yi−1; ˆµi) e bi=F(yi; ˆµi). Assim, se os parˆametros do modelo s˜ao consitentemente estimados, ent˜ao a distribui¸c˜ao ˆrq iconverge para uma distribui¸c˜ao Normal padr˜ao. 2.4 Modelos de Regress˜ao de Poisson de Efeitos Aleat´orios O modelo de regress˜ao de Poisson de efeitos mistos ´e proposto para analisar a frequˆencia de uma vari´avel resposta (dados de contagem). Seja yit = 0,1, ... o valor da resposta observada para o individuo ino instante textra´ıda de uma distribui¸c˜ao de Poisson. O modelo de regress˜ao de Poisson com efeitos mistos espec´ıfica o n´umero esperado de contagens, dado por log(µit) = xT itβ+zT itbi.(2.17) 10 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios assim, como os segmentos em estudo tˆem uma extens˜ao de 500m, o valor do ind´ıce ´e obtido calculando a m´edia aritm´etica dos valores de cada segmento de 500m. Em rela¸c˜ao a este ´ındice foram constru´ıdas duas vari´aveis: 1. IRImd : M´edia aritm´etica do IRI nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. 2. IRImx : Valor m´aximo do IRI nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. •RD: Rodeiras (mm) A profundidade das rodeiras ´e o indicador que melhor traduz a irregularidade transversal. A avalia¸c˜ao deste ´e importamte pois, a presen¸ca de rodeiras para al´em de poder afetar as condi¸c˜oes de conforto, ´e o fator de degrada¸c˜ao da seguran¸ca quando a superf´ıcie do pavimento se encontra molhada. Sendo as medi¸c˜oes realizadas de 10m em 10m, o valor para esta vari´avel foi obtido da m´edia aritm´etica dos valores de cada segmento de 500m. Esta caracter´ıstica foi estudada em duas vari´aveis, sendo: 1. RDmd : M´edia aritm´etica da profundidade de RD nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. 2. RDmx : Valor m´aximo da profundidade de RD nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. •MPD: Profundidade M´edia de Perfil (mm) Este indicador caracteriza a textura da superf´ıcie. ´ E uma medida de rugosidade. Neste caso, quanto maior for o valor deste indicador mais irregular e melhor ser˜ao as condi¸c˜oes de drenabilidade e de atrito, espera-se maior seguran¸ca. Estes valores s˜ao determinados a cada 10m, portanto o valor da extens˜ao de 500m ´e obtido do c´alculo da m´edia aritm´etica. Com a agrega¸c˜ao dos dados por sentido, obtemos duas vari´aveis: 1. MPDmd : M´edia aritm´etica do ind´ıce MPD nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. 2. MPDmn : Valor min´ımo do ind´ıce MPD nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. 17 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios •GRIP: Coeficiente de Atrito (GNgrip number) O atrito de um pavimento pode ser avaliado atrav´es de dois parˆametros. O coeficiente de atrito longitudinal (CAL), que ´e importante na avalia¸c˜ao da distˆancia de paragem de um ve´ıculo, e o coeficiente de atrito transversal (CAT), que traduz a seguran¸ca de circula¸c˜ao dos ve´ıculos em curva. Neste estudo apenas se utiliza a medi¸c˜ao realizada atrav´es do GripTester (Figura 3.4), que devolve o CAL. Quanto maior for o valor do coeficiente de atrito, maior ser´a a for¸ca de atrito gerada e consequentemente o movimento ser´a feito com maior esfor¸co, portanto a paragem de um ve´ıculo ´e realizada mais eficientemente. Da mesma forma que as outras caracter´ısticas, existem duas vari´aveis em estudo: 1. GRIPmd : M´edia aritm´etica do ind´ıce GRIP nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. 2. GRIPmn : Valor min´ımo do ind´ıce GRIP nos 500m, considerando as observa¸c˜oes efectuadas em todas as vias (VE, VC, VD) em cada sentido. Figura 3.4: GripTester Vari´aveis referentes `as caracter´ısticas geom´etricas em planta O tra¸cado em planta de uma estrada ´e composto por curvas circulares de raio constante, curvas de transi¸c˜ao de raio vari´avel e alinhamentos retos de raio infinito. As curvas s˜ao introduzidas no tra¸cado para realizar a concordˆancia entre alinhamentos retos consecutivos e abrangem dois tipos de curvas: as circulares e as de transi¸c˜ao, habitualmente definidas por um tro¸co de clot´oide. 18 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios •EmAR: Extens˜ao de Alinhamentos Retos (em metros) Os alinhamentos retos s˜ao elementos com raio infinito, que permitem movimentos uniformes e facilitam as ultrapassagens entre ve´ıculos. Contudo, provocam o aumento da dura¸c˜ao do encadeamento na condu¸c˜ao noturna, podem tornar a condu¸c˜ao mon´otona, dificultam a an´alise sobre as velocidades e distˆancias em rela¸c˜ao a outros ve´ıculos e, geralmente n˜ao se integram bem na morfologia do terreno natural. •EmCL: Extens˜ao da ClUt´oide (em metros) As clot´oides s˜ao curvas de transi¸c˜ao que possibilitam a liga¸c˜ao entre alinhamentos retos e curvas circulares, garantindo uma varia¸c˜ao gradual do raio de valor infinito, at´e ao valor do raio da curva circular ou vice-versa. A sua implementa¸c˜ao no tra¸cado assegura um maior n´ıvel de seguran¸ca e comodidade ´otica que torna poss´ıvel a percep¸c˜ao antecipada do tra¸cado. S˜ao definidas pelo parˆametro da clot´oide A. •EmCC: Extens˜ao de Curva Circular (em metros) As curvas circulares s˜ao elementos que permitem efetuar a concordˆancia entre alinhamentos retos consecutivos. Assim, sempre que a morfologia do terreno natural o permita, as curvas circulares devem apresentar os maiores valores de raio poss´ıveis, com o intuito de facilitar a visibilidade e a perce¸c˜ao do tra¸cado ao condutor. As curvas circulares s˜ao definidas pelo seu raio. •MIR: M´edia do Inverso do Raio (m-1) Nesta vari´avel, ´e calculado o inverso da m´edia do raio pois, como se trata de tra¸cado em autoestrada, os raios das curvas s˜ao muito elevados dado que as velocidades praticadas s˜ao tamb´em elevadas. •MPA: M´edia do Parˆametro A (m) O parˆametro A representa um valor que permite avaliar a qualidade de perce- ¸c˜ao da estrada para o condutor, e define a clot´oide. A equa¸c˜ao que define o parˆametro A ´e dada por A2=R×L(3.1) onde AParˆamtero A (clot´oide) RRaio da Curva Circular 19 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios LExtens˜ao da Curva Circular Vari´aveis referentes `as caraceter´ısticas geom´etricas em perfil A defini¸c˜ao altim´etrica de uma infraestrutura rodovi´aria ´e concretizada a partir de uma linha cont´ınua localizada ao longo da respetiva plataforma, a qual se designa por rasante e corresponde ao perfil longitudinal da via. O perfil longitudinal ´e constitu´ıdo por train´eis, que s˜ao elementos retos ascendentes (quando apresentam uma inclina¸c˜ao positiva) ou descendentes (quando apresentam uma inclina¸c˜ao negativa), e por concordˆancias verticais, que se subdividem em curvas cˆoncavas (de raio negativo) ou convexas (de raio positivo). As curvas verticais s˜ao elementos da rasante que permitem realizar a concordˆancia entre dois train´eis de diferentes inclina¸c˜oes. As vari´aveis que resultam destes elementos s˜ao: •EmT: Extens˜ao em Trainel (em metros) Os train´eis s˜ao os elementos mais simples da rasante, onde a inclina¸c˜ao ´e constante. No caso de ser positiva, ´e designada por rampa, e, caso seja negativa ´e designada por declive. •EmCCX : Extens˜ao em Curva Convexa (em metros) As curvas convexas s˜ao utilizadas devido `a necessidade de assegurar uma distˆancia de visibilidade adequada, de forma a garantir a seguran¸ca na circula¸c˜ao da estrada. Estas s˜ao usualmente designadas como lombas. •EmCCV : Extens˜ao em Curva Concˆava (em metros) As curvas concˆavas s˜ao introduzidas no tra¸cado com o intuito de assegurar a visibilidade noturna e a comodidade na circula¸c˜ao da via. Usualmente designadas como depress˜oes. •MIP: M´edia da Inclina¸c˜ao Positiva (m/m) M´edia aritm´etica dos valores positivos da inclina¸c˜ao. •MIN : M´edia da Inclina¸c˜ao Negativa (m/m) M´edia aritm´etica dos valores negativos da inclina¸c˜ao. •MRCP: M´edia do Raio da Curva Positiva (m) M´edia aritm´etica dos valores do raio positivo correspondentes `as curvas concˆavas. 20 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios •MRCN : M´edia do Raio da Curva Negativa (m) M´edia aritm´etica dos valores do raio positivo correspondentes `as curvas convexas. Tr´afego M´edio Di´ario Anual (TMDA) Volume total de tr´afego que passa numa estrada durante um ano, dividido pelo n´umero de dias do ano. O volume varia com a presen¸ca de n´os e com o ano. •Ligeiros: N´umero total de ve´ıculos ligeiros, num segmento de 500m. •Pesados: N´umero total de ve´ıculos pesados, num segmento de 500m. •Total: N´umero total de ve´ıculos ligeiros e pesados, num segmento de 500m. Vari´aveis Complementares •N´o: Indica a presen¸ca ou ausˆencia de n´os no segmento. •Tro¸co: Identifica¸c˜ao de cada segmento de 500 metros. •PKi: Indica o km em que se inicia o segmento de 500 metros. •PKf : Indica o km em que acaba o segmento de 500 metros. •Acid: N´umero de acidentes. Vari´avel resposta nos modelos utilizados neste estudo. •Nvias: N´umero de Vias. •Ano: Indica o ano em que foram observados os dados. Apenas teremos em estudo os anos 2014, 2015, 2016, 2017. •Sentido: Identifica o sentido. Est´a codificada como CCrescente, DDecrescente. •Auto: Indica a autoestrada. Vari´avel com as categorias: A4, A44 e A41. 3.2 An´alise Descritiva Inicialmente foi realizada uma an´alise explorat´oria do n´umero de acidentes, consoante a autoestrada e sentido. 21 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.5: N´umero de Acidentes por Ano e Autoestrada Da Figura 3.5 observa-se que a autoestrada com maior varia¸c˜ao do n´umero de acidentes ´e a A41, sendo 2014 o ano com mais acidentes e 2015 o ano com menos acidentes. Na autoestrada A44 observa-se um decr´escimo do n´umero de acidentes ao longo dos anos. Por fim, na A4 observa-se inicialmente um ligeiro decr´escimo, mas a partir de 2016 observa-se um aumento do mesmo, sendo 2017 o ano com maior n´umero de acidentes e 2015 o ano com menor n´umero de acidentes. Tabela 3.2: N´umero Total de Acidentes por Autoestrada e Ano AUTOESTRADA 2014 2015 2016 2017 NºTOTAL A4 35 31 37 45 148 A41 56 27 44 44 171 A44 37 33 33 25 128 NºTOTAL 128 91 114 114 447 Da observa¸c˜ao da Tabela 3.2 refor¸ca-se que 2015 ´e o ano com o menor n´umero total de acidentes e 2014 ´e o ano com maior n´umero total de acidentes. O n´umero total de acidentes em 2016 e 2017 ´e igual, embora com varia¸c˜ao entre as diversas autoestradas. Neste estudo o n´umero total de acidentes ´e 447 para o periodo considerado. Considerando a extens˜ao em quil´ometros para cada autoestrada no estudo 22 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios e o n´umero total de acidentes das mesmas foi calculado o n´umero m´edio de acidentes/km para cada uma delas. Assim obteve-se em m´edia, 12 acidentes/km na A41, 20 acidentes/km na A4 e 33 acidentes/km na A44. Observando estes valores pode-se concluir que a autoestrada em estudo com maior incidˆencia de acidentes ´e a A44 apesar de esta ser a de menor extens˜ao. Em contrapartida, a A41 que ´e a mais extensa, apresenta menor sinistralidade m´edia por km. Figura 3.6: N´umero de Acidentes por Autoestrada e Sentido Tabela 3.3: N´umero de Acidentes por Autoestrada e Sentido AUTOESTRADA CRESCENTE DECRESCENTE NºTOTAL A4 65 83 148 A44 64 64 128 A41 71 100 171 NºTOTAL 200 247 447 Quanto ao estudo do n´umero de acidentes por sentido, foi observado que o sentido com maior sinistralidade ´e o decrescente (Figura 3.6). Separando por autoestrada, apenas a A44 tem um valor igual de acidentes nos dois sentidos, as restantes tˆem mais acidentes no sentido decrescente (Tabela 3.3). 23 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Tabela 3.4: An´alise Descritiva das Vari´aveis correspondentes `as Caracter´ısticas Geom´etricas. AUTOESTRADA VARI´ AVEL N´ UMERO DE OBSERVA¸C˜ OES MIN´ IMO M´ AXIMO M´ EDIA DESVIO PADR˜ AO COEFICIENTE DE VARIA¸C˜ AO EmAR 120 0 500 187,3 158,542 0,846 EmCL 120 0 300 140 103,062 0,736 EmCC 120 0 400 172 119,281 0,693 MIR 120 0 0,002 0,001 0,001 0,775 MPA 120 0 560 286,4 148,443 0,518 EmT 120 0 500 264 180,338 0,683 EmCCX 120 0 500 161,3 194,819 1,208 EmCCV 120 0 390 74,67 117,559 1,574 MIP 120 0 0,050 0,010 0,0144 1,414 MIN 120 -0,045 0-0,011 0,013 -1,208 MRCP 120 0 27000 9513 10114,76 1,063 A4 MRCN 120 -7000 0 -2233 2909,639 -1,303 EmAR 64 0 320 132,5 113,781 0,859 EmCL 64 0 350 107,5 120,712 1,123 EmCC 64 90 480 251,2 132,898 0,529 MIR 64 0,00007 0,002 0,001 0,001 0,823 MPA 64 0 351 183,8 117,337 0,638 EmT 64 80 500 302,5 146,385 0,484 EmCCX 64 0 230 110 92,513 0,841 EmCCV 64 0 240 78,75 98,810 1,255 MIP 64 0 0,037 0,023 0,015 0,671 MIN 64 -0,046 0 -0,023 0,018 -0,804 MRCP 64 0 50000 9276 15842,39 1,708 A44 MRCN 64 -6000 0 -2270 2414,656 -1,064 EmAR 232 0 500 190 141,189 0,743 EmCL 232 0 280 156,9 75,138 0,479 EmCC 232 0 490 156,9 115,323 0,735 MIR 232 0 0,002 0,001 0,001 0,633 MPA 232 0 970 331,8 244,362 0,737 EmT 232 10 500 192,1 113,546 0,591 EmCCX 232 0 490 154,1 149,840 0,972 EmCCV 232 0 410 154,1 133,615 0,867 MIP 232 0 0,050 0,012 0,0180 1,518 MIN 232 -0,046 0 -0.012 0,016 -1,307 MRCP 232 0 260000 29426,37 55278,76 1,819 A41 MRCN 232 -832000 0 -103786 210011,9 -2,024 Na Tabela 3.4 apresenta-se uma an´alise descritiva das vari´aveis correspondentes 24 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios `as carater´ısticas geom´etricas. Observa-se que: •Para a vari´avel EmCC, a A44 ´e a autoestrada com maior valor m´edio de extens˜ao em curva circular, e ainda menor valor de EmCL. Pelo facto de uma clot´oide apenas ser utilizada em curvas que apresentem raios menores, logo, curvas mais ”apertadas”, infere-se que, a A44 ´e uma autoestrada que apresentar´a curvas com raios maiores e por consequˆencia menos perigosas. •A vari´avel MPA devolve o valor m´edio do parˆametro A. Assim, visto que apenas existe parˆametro A quando existe clot´oide, o valor desta vari´avel ir´a depender da vari´avel EmCL, de forma que quanto maior for o valor de A2 maior ser´a a extens˜ao m´edia da clut´oide ou maior o raio da curva subjacente. Das trˆes autoestradas em estudo, a que tem maior extens˜ao m´edia de clot´oide ´e a A41, sendo tamb´em a autoestrada que apresenta o maior valor m´edio do parˆametro A, logo maior qualidade de percep¸c˜ao da estrada para o condutor. •Com exce¸c˜ao da A41, que cont´em exatamente o mesmo valor em m´edia de extens˜ao de curvas convexas e concˆavas, a A4 e A44 tˆem mais curvas convexas (lombas) do que curvas concˆavas (depress˜oes). •Considerando os valores em m´odulo das vari´aveis correspondentes `a m´edia do raio da curva tanto positivo como negativo, para as autoestradas A44 e A4, estes tomam valores superiores para o raio da curva positivo que corresponde `as curvas concˆavas. Contudo acontece o contr´ario para a A41. •Pela an´alise do valor m´edio das vari´aveis MIP eMIN pode concluir-se que nas trˆes autoestradas existe praticamente a mesma inclina¸c˜ao tanto positiva como negativa para cada uma delas. Visto que os parˆametros de estado e do tr´afego ir˜ao variar consoante a autoestrada, sentido e ano, ser´a realizada uma an´alise das mesmas separadamente por autoestrada. 25 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Tabela 3.5: An´alise Descritiva das Vari´aveis correspondentes ao Estado do Pavimento (A44) ANO VARI´ AVEL SENTIDO N´ UMERO DE OBSERVA¸C˜ OES MIN´ IMO M´ AXIMO M´ EDIA DESVIO PADR˜ AO COEFICIENTE DE VARIA¸C˜ AO C 16 1,040 2,055 1,462 0,297 0,203 IRImd D 16 0,830 1,745 1,375 0,309 0,224 C 16 1,130 2,350 1,570 0,354 0,225 IRImx D 16 0,900 1,960 1,462 0,329 0,225 C 16 1,255 2,380 1,654 0,405 0,245 RDmd D 16 0,435 2,130 1,448 0,574 0,397 C 16 1,420 2,710 1,960 0,439 0,224 RDmx D 16 0,640 3,140 1,905 0,693 0,364 C 16 1,140 1,805 1,562 0,214 0,138 MPDmd D 16 1,245 1,770 1,529 0,176 0,115 C 16 1,050 1,730 1,490 0,215 0,144 MPDmn D 16 1,120 1,700 1,442 0,177 0,123 C 16 0,370 0,475 0,414 0,039 0,093 GRIPmd D 16 0,365 0,455 0,411 0,032 0,078 C 16 0,270 0,460 0,376 0,071 0,186 2014/ GRIPmn D 16 0,300 0,440 0,375 0,057 0,151 2015 C 16 1,085 1,735 1,506 0,206 0,137 IRImd D 16 0,945 1,895 1,464 0,301 0,206 C 16 1,260 1,880 1,625 0,206 0,127 IRImx D 16 1,080 2,020 1,570 0,293 0,187 C 16 0,885 1,755 1,304 0,265 0,203 RDmd D 16 0,545 1,750 1,129 0,416 0,368 C 16 1,110 1,930 1,561 0,291 0,186 RDmx D 16 0,710 2,680 1,350 0,641 0,474 C 16 1,540 2,075 1,809 0,199 0,111 MPDmd D 16 1,370 2,110 1,799 0,244 0,135 C 16 1,530 2,110 1,799 0,176 0,103 MPDmn D 16 1,340 2,010 1,722 0,203 0,118 C 16 0,460 0,525 0,494 0,021 0,041 GRIPmd D 16 0,465 0,530 0,498 0,025 0,062 2016/ C 16 0,450 0,500 0,475 0,019 0,041 2017 GRIPmn D 16 0,460 0,510 0,483 0,017 0,035 Pela observa¸c˜ao da Tabela 3.5 pode concluir-se que h´a um aumento nos valores m´edios das vari´aveis ao longo do tempo. Tanto em 2014/2015 como em 2016/2017 o sentido com valores m´edios maiores para os indicadores de IRI eRD ´e o sentido crescente, o que se traduz num piso mais irregular e degradado comparativamente ao sentido decrescente. Comparando os valores m´edios das vari´aveis referentes ao atrito (GRIP), observa-se um aumento dos mesmos com o passar dos anos, onde as 26 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.13: Box plot da Vari´avel RDmd eRDmx (A4) Figura 3.14: Box plot da Vari´avel MPDmd eMPDmn (A4) 33 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.15: Box plot da Vari´avel GRIPmd eGRIPmn (A4) Observando o comportamento do n´umero de acidentes por tro¸co em rela¸c˜ao ao anos, pode-se concluir que n˜ao existe uma grande varia¸c˜ao entre 2014 e 2017 (Figura 3.16). Figura 3.16: Gr´afico de Dispers˜ao do N´umero de Acidentes por Ano e Tro¸co (A4) Na Tabela 3.8 apresenta-se uma an´alise explorat´oria das vari´aveis correspondentes ao tr´afego m´edio di´ario anual. Observa-se que h´a um crescimento de aproximadamente 40% ((21294+20844)−(28108+30881) 21294+20844 ) no valor total do tr´afego m´edio di´ario anual de 2014/2015 para 2016/2017, verificando-se um aumento do tr´afego em 30% ((1000+938)−(1152+1346) 1000+938 ) de ve´ıculos pesados e de 40,5% ((20294+19906)−(26956+29534) 20294+19906 )) 34 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios nos ve´ıculos ligeiros. Nos anos de 2014/2015, observa-se um tr´afego maior no sentido crescente, sendo que em 2016/2017 este ´e maior no sentido decrescente. Tabela 3.8: An´alise Descritiva das Vari´aveis correspondentes ao Tr´afego M´edio Di´ario (A4) ANO VARI´ AVEL SENTIDO N´ UMERO DE OBSERVA¸C˜ OES MIN´ IMO M´ AXIMO M´ EDIA DESVIO PADR˜ AO COEFICIENTE DE VARIA¸C˜ AO C 30 17092 22726 20294 1927,041 0,095 Ligeiros D 30 16867 23574 19906 2096,850 0,105 C 30 616 1523 1000 388,168 0,388 Pesados D 30 505 1479 937,9 426,830 0,455 C 30 17708 24249 21294 2298,899 0,109 2014/ Total D 30 17427 25048 20844 2507,4 0,120 2015 C 30 23295 29655 26956 2099,6 0,078 Ligeiros D 30 23395 33595 29534 3441,551 0,112 C 30 917 1384 1152 144,581 0,125 Pesados D 30 1033 1541 1346 183,971 0,137 2016/ C 30 24212 3075 28108 2193,376 0,078 2017 Total D 30 24428 35109 30881 3553,676 0,115 Analisando os resultados obtidos relativamente ao n´umero de acidentes por sentido (Figura 3.6) com o tr´afego (Tabela 3.8) constata-se que apesar do sentido decrescente ser o que apresenta maior n´umero de acidentes ´e o sentido crescente que tem o maior tr´afego m´edio di´ario anual. Um dos motivos pelo qual o sentido decrescente ser o sentido com maior n´umero de acidentes pode ser o facto deste ser o que apresenta menores valores para os indicadores de profundidade m´edia de perfil (MPD) e de atrito (GRIP) o que sugere um piso com piores condi¸c˜oes de drenabilidade e de atrito, n˜ao fornecendo seguran¸ca na imobiliza¸c˜ao de um ve´ıculo, podendo causar acidentes. 35 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Tabela 3.9: An´alise Descritiva das Vari´aveis correspondentes ao Estado do Pavimento (A41) ANO VARI´ AVEL SENTIDO N´ UMERO DE OBSERVA¸C˜ OES MIN´ IMO M´ AXIMO M´ EDIA DESVIO PADR˜ AO COEFICIENTE DE VARIA¸C˜ AO C 58 0,933 1,467 1,191 0,134 0,113 IRImd D 58 0,933 1,567 1,221 0,193 0,158 C 58 1,000 1,600 1,303 0,166 0,127 IRImx D 58 1,000 1,800 1,362 0,229 0,168 C 58 0,800 1,367 1,061 0,157 0,148 RDmd D 58 0,767 1,533 1,075 0,166 0,154 C 58 1,200 2,600 1,859 0,376 0,202 RDmx D 58 1,100 3,000 1,841 0,407 0,221 C 58 0,833 1,567 1,355 0,162 0,119 MPDmd D 58 0,933 1,733 1,359 0,178 0,131 C 58 0,300 1,500 1,224 0,327 0,267 MPDmn D 58 0,100 1,700 1,217 0,385 0,316 C 58 0,27 0,537 0,399 0,056 0,141 GRIPmd D 58 0,310 0,477 0,376 0,044 0,118 C 58 0,100 0,51 0,361 0,086 0,237 2014/ GRIPmn D 58 0,280 0,460 0,349 0,041 0,118 2015 C 58 1,000 1,633 1,256 0,155 0,123 IRImd D 58 0,967 1,7 1,279 0,212 0,166 C 58 1,100 1,700 1,369 0,175 0,128 IRImx D 58 1,000 1,900 1,441 0,224 0,156 C 58 0,767 2,567 1,381 0,399 0,289 RDmd D 58 0,767 1,833 1,271 0,242 0,191 C 58 1,200 3,500 2,193 0,535 0,244 RDmx D 58 1,100 3,700 2,169 0,531 0,245 C 58 1,400 1,600 1,510 0,071 0,046 MPDmd D 58 1,300 1,733 1,489 0,101 0,068 C 58 1,300 1,600 1,466 0,077 0,052 MPDmn D 58 1,100 1,700 1,431 0,126 0,088 C 58 0,463 0,567 0,514 0,025 0,048 GRIPmd D 58 0,450 0,547 0,504 0,025 0,067 2016/ C 58 0,440 0,530 0,485 0,024 0,051 2017 GRIPmn D 58 0,420 0,530 0,476 0,028 0,059 Atrav´es da observa¸c˜ao dos valores m´edios das vari´aveis correspondentes aos parˆametros de estado do pavimento da A41 (Tabela 3.9), apesar de existir um aumento dos valores com o passar dos anos, este n˜ao ´e assim t˜ao elevado, sendo que os valores pouco diferem consoante o sentido. Contudo, os valores indicam que o piso que se encontra em melhor estado ´e o piso no sentido crescente, com um piso menos irregular (valores para IRI menores), menos degradado ( valores de RD menores) e com 36 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios melhores condi¸c˜oes de drenabilidade e de atrito (valores de MPD eGRIP maiores). O que pode ser uma das causas pelo qual o sentido crescente ´e o que apresenta o menor n´umero de acidentes (Tabela 3.3). Figura 3.17: Box plot da Vari´avel IRImd eIRImx (A41) Figura 3.18: Box plot da Vari´avel RDmd eRDmx (A41) 37 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.19: Box plot da Vari´avel MPDmd eMPDmn (A41) Figura 3.20: Box plot da Vari´avel GRIPmd eGRIPmn (A41) Atrav´es da Figura 3.17 ´e observado que a variabilidade dos valores relativas ao ´ındice internacional de rugosidade ´e superior no sentido decrescente. Pelas Figuras 3.18 e 3.19 verifica-se que os valores relativos `as vari´aveis RDmd,RDmx,MPDmd eMPDmn nos anos 2016/2017 s˜ao superiores aos valores de 2014/2015. A Figura 3.20 sugere que os valores do atrito de 2016/2017 s˜ao muito superiores aos valores de 2014/2015. 38 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.21: Gr´afico de Dispers˜ao do N´umero de Acidentes por Ano e Tro¸co (A41) A Figura 3.21 relativa ao n´umero de acidentes por ano e tro¸co sugere que existe um aumento, mesmo que pouco acentuado, do n´umero de acidentes, em alguns tro¸cos, com o passar do tempo. Tabela 3.10: An´alise Descritiva das Vari´aveis correspondentes ao Tr´afego M´edio Di´ario (A41) ANO VARI´ AVEL SENTIDO N´ UMERO DE OBSERVA¸C˜ OES MIN´ IMO M´ AXIMO M´ EDIA DESVIO PADR˜ AO COEFICIENTE DE VARIA¸C˜ AO C 58 10745 15830 12839 1957,524 0,152 Ligeiros D 58 9992 16209 13049 2087,145 0,159 C 58 544 1227 840 287,919 0,343 Pesados D 58 578 1249 805 261,036 0,324 C 58 11493 16374 13659 1996,563 0,146 2014/ Total D 58 10990 16788 13854 2119,499 0,153 2015 C 58 14272 20719 17847 1996,717 0,112 Ligeiros D 58 13528 19659 16561 2466,441 0,149 C 58 605 1621 1181 326,529 0,277 Pesados D 58 1060 1650 1268 207,654 0,164 2016/ C 58 15711 21986 19027 2185,009 0,115 2017 Total D 58 14866 21309 17829 2606,149 0,146 O TMDA total na A41 teve um aumento de 34% (13659+13854)−(19027+17829) 13659+13854 com o tempo, sendo que existe um aumento de ve´ıculos quer ligeiros quer pesados. No entanto, comparando este valor entre sentido, n˜ao existe uma grande diferen¸ca, o que poder´a vir a justificar o facto de as vari´aveis relativas ao estado do pavimento (Tabela 3.9) n˜ao variarem muito consoante o sentido. 39 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Figura 3.22: Gr´afico de Dispers˜ao do N´umero de Acidentes por Ano e Autoestrada Na observa¸c˜ao do gr´afico de dispers˜ao da Figura 3.22 que descreve o n´umero de acidentes em cada autoestrada no per´ıodo de quatro anos, pode-se observar que n˜ao existe um aumento relevante do n´umero de acidentes ao longo dos anos. 3.3 Aplica¸c˜ao dos Modelos A aplica¸c˜ao destes modelos no R foi executada atrav´es da fun¸c˜ao glmer() da biblioteca lme4. Esta fun¸c˜ao ajusta os dados a um modelo linear generalizado misto aplicando o m´etodo de estima¸c˜ao de m´axima verosimilhan¸ca e utilizando o m´etodo num´erico de Laplace. Em R existem outras fun¸c˜oes que podem ser utilizadas no ajustamento a um modelo linear generalizado misto, como por exemplo a fun¸c˜ao glmm() da biblioteca glmmML, a fun¸c˜ao glmmPQL() da biblioteca MASS e a fun¸c˜ao glmmadmb() da biblioteca glmmADMB. A escolha da fun¸c˜ao utilizada recaiu sobre a fun¸c˜ao glmer() por ser a mais utilizada nos diversos estudos revistos. Inicialmente foi necess´aria proceder-se a uma reescala de algumas vari´aveis de forma a facilitar a estima¸c˜ao do modelo. Assim, as vari´aveis iniciais resultam da multiplica¸c˜ao das vari´aveis novas com a sua respetiva reescala. (Tabela 3.11) 40 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Tabela 3.11: Reescala de vari´aveis VARI´ AVEL INICIAL Ligeiros Pesados Total EmAR EmCC EmCL MIR MPA VARI´ AVEL NOVA Ligeiros2 Pesados2 Total2 EmAR2 EmCC2 EmCL2 MIR2 MPA2 REESCALA 10 000 1 000 10 000 100 100 100 0,01 1 000 VARI´ AVEL INICIAL EmT EmCCX EmCCV MIN MIP MRCN MRCP VARI´ AVEL NOVA EmT2 EmCCX2 EmCCV2 MIN2 MIP2 MRCN2 MRCP2 REESCALA 100 100 100 0,01 0,01 10 000 10 000 Antes de se ajustar um modelo linear generalizado misto com resposta que segue uma distribui¸c˜ao de Poisson, dado que os dados s˜ao de contagem, ´e importante estudar quais os efeitos aleat´orios que devem ser considerados. O efeito aleat´orio foi escolhido atrav´es do Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike. Desta forma, analisando os modelos •Modelo Nulo com efeito aleat´orio Tro¸co: AIC=1182,723 •Modelo Nulo com efeito aleat´orio Ano: AIC=1316,327 •Modelo Nulo com efeito aleat´orio Autoestrada: AIC=1258,487 O modelo nulo com menor valor AIC ´e o modelo com efeito aleat´orio Tro¸co. Na forma¸c˜ao da base de dados foram construidas duas vari´aveis correspondente ao estado do pavimento, nomeadamente IRImd eIRImx,RDmd eRDmx,MPDmd eMPDmn e por fim GRIPmd eGRIPmn. De seguida, procede-se uma an´alise de qual a vari´avel a usar no modelo. 41 Modelos de Regress˜ao para Dados de Contagem Rodovi´arios Tabela 3.12: Resultados dos Modelos Simples das vari´aveis relativas ao estado do pavimento VARI´ AVEL MODELO AIC VALOR P IRImd vs IRImx Regress˜ao Simples: IRImd 1184,681 0,835 Regress˜ao Simples: IRImx 1181,329 0,0634 RDmd vs RDmx Regress˜ao Simples: RDmd 1184,694 0,862 Regress˜ao Simples: RDmx 1181,783 0,0834 MPDmd vs MPDmn Regress˜ao Simples: MPDmd 1184,502 0,634 Regress˜ao Simples: MPDmn 1183,127 0,194 GRIPmd vs GRIPmn Regress˜ao Simples: GRIPmd 1179,575 0,0210 Regress˜ao Simples: GRIPmn 1175,156 0,00137 Foram selecionadas as vari´aveis IRImx,RDmx,MPDmn eGRIPmn (modelos a negrito na Tabela 3.12), pois s˜ao os modelos com menor valor AIC. Observa-se ainda que essas vari´aveis correspondem ao Valor P mais pequeno no modelo simples. Antes da formula¸c˜ao do modelo final, foram realizadas compara¸c˜oes entre modelos para a escolha de combina¸c˜oes de duas vari´aveis entre trˆes vari´aveis correlacionadas. Nesta situa¸c˜ao existem trˆes grupos de vari´aveis que est˜ao relacionadas entre si. Estes trˆes grupos ser˜ao tr´afego (Ligeiros2,Pesados2 eTotal2), caracter´ısticas geom´etricas em planta (EmAR2,EmCC2 eEmCL2) e as caracter´ısticas geom´etricas em perfil (EmT2,EmCCX2 eEmCCV2). No caso do tr´afego, onde Ligeiros2 +Pesados2 =Total2, foram construidos trˆes modelos com combina¸c˜oes de duas vari´aveis diferentes, sendo: •Ligeiros2 ePesados2 com AIC=1147,301 •Ligeiros2 eTotal2 com AIC=1153,264 •Pesados2 eTotal2 com AIC=1147,448 apesar da diferen¸ca m´ınima entre AIC dos modelos, a combina¸c˜ao escolhida ser´a de Ligeiros2 ePesados2. Em rela¸c˜ao `as caracter´ısticas geom´etricas em planta, onde EmAR2 +EmCC2 + EmCL2 = 500 : 42 Bibliografia [1] ANSR (2020). 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